MISURE DI BATTIMENTI ACUSTICI Quando due suoni sinusoidali, con frequenze leggermente diverse, si sovrappongono, avviene il fenomeno dei battimenti. Consideriamo le equazioni che descrivono le due onde:

𝑦! = 𝐴 sin𝜔!𝑡𝑦! = 𝐵 sin𝜔!𝑡

(ricordiamo che la pulsazione 𝜔 è collegata alla frequenza 𝑓 del suono dalla relazione: 𝜔 = 2𝜋𝑓). L’onda che descrive l’effetto combinato di 𝑦! e 𝑦! è data da:

𝑦 = 𝑦! + 𝑦! = 𝐴 sin𝜔!𝑡 + 𝐵 sin𝜔!𝑡 Se poniamo 𝐵 = 𝐴 + 𝐶, possiamo scrivere:

𝑦 = 𝐴 sin𝜔!𝑡 + 𝐴 sin𝜔!𝑡 + 𝐶 sin𝜔!𝑡 Per mettere questa equazione in una forma diversa, utilizziamo adesso le formule di prostaferesi:

𝑦 = 𝐴 sin𝜔!𝑡 + 𝐴 sin𝜔!𝑡 + 𝐶 sin𝜔!𝑡 = 2𝐴 cosω! −ω!

2 𝑡 ∙ sinω! +ω!

2 𝑡 + 𝐶 sin𝜔! 𝑡                  (1) Il risultato si interpreta così: la nuova equazione descrive un’onda, la cui pulsazione è uguale alla media aritmetica di 𝜔! e 𝜔! e la cui ampiezza 𝐷(𝑡) è variabile:

𝐷 𝑡 = 2𝐴 cosω! −ω!

2 𝑡 Nella figura sono illustrate le due onde che si sommano (a) e l’onda risultante (b). Quando le onde generatrici sono in fase si ottiene l’ampiezza massima dell’onda risultante; al contrario, quando le onde generatrici sono in controfase, l’onda risultante si annulla. In realtà questo risultato è vero soltanto se le due ampiezze sono uguali (𝐴 = 𝐵): in caso contrario, come vediamo nell’equazione (1), si ottiene anche un termine aggiuntivo 𝐶 sin𝜔!𝑡. In questo caso l’onda risultante non si annulla nell’istante in cui le due onde che la generano sono esattamente in controfase. Inoltre i battimenti si distinguono in modo chiaro solo se la modulazione dell’ampiezza del segnale è molto meno veloce della frequenza propria di oscillazione di ciascuno dei due segnali acustici: questo si ottiene se le frequenze delle due onde 𝑦! e 𝑦! non sono molto diverse fra loro. La frequenza dei battimenti è data da questa formula:

𝑓!"## =𝑓! − 𝑓!2

Misure Utilizzare il software presente sul computer per visualizzare l’andamento in funzione del tempo della differenza di potenziale generata dal microfono quando è investito da un’onda sonora. Ottimizzare i parametri di acquisizione del segnale (intervallo di misura, numero di punti, ecc.) Determinare il periodo dell’onda sonora generata dal primo diapason e ricavare da questo valore la sua frequenza nel modo più accurato possibile. Ripetere la misura per il secondo diapason, tenendo presente che la sua frequenza risulterà diversa da quella del primo, a causa della piccola massa attaccata al corpo oscillante. Determinare la frequenza di battimento attesa quando i due diapason oscillano contemporaneamente. Dilatando poi la scala temporale sul programma di acquisizione, misurare direttamente la frequenza di battimento e confrontarla con il valore ricavato in precedenza.