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Fisica per MedicinaLezione 23 - Onde

Dr. Cristiano Fontana

Dipartimento di Fisica ed Astronomia “Galileo Galilei”Università degli Studi di Padova

4 dicembre 2017

Indice

OndeMoto delle ondeEnergia di un’onda

2/27 FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde – Dr. Cristiano Fontana – 4 dicembre 2017

Densità di carica sulla superficie di un conduttore III

Scaricatori dicarica elettrostatica

Sulle ali degli aerei sono montati deibastoncini che servono a creare dellezone ad alta curvatura. Attorno aqueste punte il campo elettrico siconcentra e può diventare moltointenso se l’aereo ha accumulatomolta carica elettrostatica durante ilvolo. Se il campo elettrico è moltointenso le cariche sono espulse dalcampo elettrico stesso e quindivengono dissipate lentamente,evitando scariche improvvise.


Onde

Figura: La grande onda di Kanagawa[wiki]

Le onde sono delle perturbazioniche si propagano nel tempo e nellospazio, trasportando energia equantità di moto.Esistono diversi tipi di onde, e.g.

I onde meccaniche in un mezzoelastico: perturbazioni deglielementi del mezzo attornoall’equilibrio;

I onde elettromagnetiche nelvuoto: campoelettromagnetico variabile.


https://en.wikipedia.org/wiki/File:Great_Wave_off_Kanagawa2.jpg

Tipi di onde

v ⃗

Onde trasversali(e.g. oscillazione diuna corda)

xy

Perturbazionex

y

Onde longitudinali(e.g. suono nell'aria)v ⃗

Due tipi di onde molto comuni sono le onde trasversali e le ondelongitudinali, che si differenziano per la diversa direzione dellaperturbazione rispetto alla direzione di propagazione.


Propagazione dell’onda I

L’affermazione che un’onda si propaghi sia nel tempo che nello spazioimplica che sia funzione di entrambe le variabili:(

t ,~r)7→ u

(t ,~r

)(1)

ove u(·) è una funzione che descrive la forma e l’evoluzione dell’ondanel tempo e nello spazio.


Propagazione dell’onda II

5 0 5 10 15 20 25 30 350.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

v

xu(t,0) = f(t) u(t+ t, x)

Data un’onda che sipropaga con velocità~v lungo x , diciamoche nel punto x = 0abbia una certaforma descritta daf (·):

u(t ,0) = f (t). (2)

Assumendo che la forma dell’onda non varia abbiamo che, dopo uncerto tempo ∆t = ∆x

v , nel punto x = ∆x avrà la stessa forma cheaveva precedentemente nel punto x = 0. Ovvero la forma in(t ′ = t +∆t , x ′ = ∆x) dovrà essere uguale a quella in (t ,0):

u(t ′, x ′) = u(t +∆t ,∆x) (3)= u(t ,0) = f (t) (4)


Propagazione dell’onda III

Risolvendo t rispetto a t ′ otteniamo

t = t ′ −∆t (5)

ottenendo che

u(t ′, x ′) = u(t ,0) (6)= u(t ′ −∆t ,0) (7)= f (t ′ −∆t) (8)

= f(

t ′ − ∆xv

)(9)

Di conseguenza in generale la formula che descrive un’onda che sipropaga è

u(t , x) = f(

t − xv

)(10)


Equazione delle onde

In generale l’equazione di un’onda unidimensionale soddisfal’equazione differenziale

∂2u∂t2 − v2 ∂

2u∂x2 = 0 (11)

che ammette soluzioni del tipo

u(t , x) = f(

t − xv

)+ g

(t +

xv

)(12)

che rappresentano due onde che si propagano con versi opposti.


Onda piana in tre dimensioni

In generale per un’onda piana che si propaga in una direzionearbitraria vale

u(t ,~r) = f(

t − ~k ·~r)

(13)

ove ~k è detto vettore d’onda ed è diretto lungo la direzione dipropagazione dell’onda, ovvero:

~k ‖ ~v (14)

ed il modulo del vettore d’onra è l’inverso della velocità dipropagazione. ∣∣∣~k ∣∣∣ = 1

v(15)


Forme d’onda

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.01

0

1

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.01

0

1

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.01

0

1

Le onde periodiche possono avere forme molto diverse tra loro, ma glisi può sempre associare una frequenza ν: rappresenta il numero divolte che l’onda si ripete nell’unità di tempo.Esempio: http://www.pd.infn.it/~fontana/didattica/2017/02/28/suoni.html


Onde sinusoidali

Un’onda sinusoidale, nel punto x = 0, ha forma

u(t ,0) = A sin (ωt) (16)

usando l’equazione (12) si ottiene

u(t , x) = u(t −∆t ,0) = A sin(ωt − ω

vx)

(17)

definendo il numero d’onda come

k =ω

v(18)

otteniamou(t , x) = A sin (ωt − kx) (19)


http://www.pd.infn.it/~fontana/didattica/2017/02/28/suoni.html

http://www.pd.infn.it/~fontana/didattica/2017/02/28/suoni.html

Propagazione di un’onda sinusoidaleVediamo come si muovono le creste dell’onda. Osserviamo due puntidell’onda che hanno la stessa perturbazione

u(t , x) = u(t ′, x ′) (20)A sin (ωt − kx) = A sin (ωt ′ − kx ′) (21)

ωt − kx = ωt ′ − kx ′, (22)

quindi per ωt − kx = cost. possiamo osservare l’evoluzione dei puntidell’onda ad un certo valore di perturbazione.Se per un certo valore (t0, x0), si ha che u(t0, x0) è massima, possiamoandare a seguire l’evoluzione del massimo calcolando la derivata diquell’espressione

ddt

(ωt0 − kx0) =ddt

(cost.) (23)

ωdt0dt

− kdx0

dt= 0 (24)

vcreste = c =dx0

dt=

ω

k(25)


Rappresentazione grafica di onde sinusoidali

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0x [m]

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0 u(0,x) = A sin(-kx)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0t [s]

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0 u(t,0) = A sin( t)

I due grafici, all’apparenza molto simili, hannosignificati molto diversi. Data un’onda del tipo

u(t , x) = A sin (ωt − kx) (26)

1. Il primo grafico rappresenta la posizionedi tutti i punti dell’onda congelati ad unistante t = 0 (e.g. una fotografia di unacorda che oscilla).

u(t , x) = A sin (−kx) (27)

2. Il secondo grafico rappresental’evoluzione temporale della posizionedel punto a x = 0.

u(t , x) = A sin (ωt) (28)


Lunghezza d’onda

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0x [m]

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0 u(0,x) = A sin(-kx)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0t [s]

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0 u(t,0) = A sin( t)

La lunghezza d’onda si calcola cercando leposizioni dei massimi delle onde, per il seno imassimi sono a

kx0 =π

2(29)

la posizione del massimo successivo è

kx1 = 2π +π

2(30)

La distanza tra i due è

λ = x1 − x0 =2πk

+π

2k− π

2k=

2πk

(31)

ove abbiamo definito λ = 2πk come la

lunghezza d’onda dell’onda.


Periodo

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0x [m]

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0 u(0,x) = A sin(-kx)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0t [s]

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0 u(t,0) = A sin( t)

Un discorso analogo può essere applicatocercando gli istanti dei massimi delle onde:

ωt0 =π

2, ωt1 = 2π +

π

2(32)

La differenza tra i due è

T = t1 − t0 =2πω

(33)

ove T è il periodo dell’onda. La frequenza ν èlegata al periodo dalla relazione

T =1ν

(34)


Frequenza e lunghezza d’onda

Ricordiamo l’espressione della velocità di propagazione dell’onda:

c =ω

k(35)

Sostituendo le relazioni appena trovate:

λ =2πk

, T =2πω

(36)

si ottienec =

λ

T= λν (37)


Onda stazionaria I

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x [m]

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

Immaginiamo di avere due onde identiche chesi propagano in direzioni opposte in unospazio chiuso:

u(t , x) = A sin(ωt −kx)+A sin(ωt +kx) (38)

Usando le formule di prostaferesi

sin(a)+sin(b) = 2 cos(

a − b2

)·sin

(a + b

2

)(39)

si ottiene

u(t , x) = 2 cos(ωt − kx − ωt − kx

2

)· sin

(ωt − kx + ωt + kx

2

)(40)

= 2 cos (−kx) · sin (ωt) = 2 cos (kx) · sin (ωt) (41)

ove abbiamo sfruttato la parità del coseno.


Onda stazionaria II

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x [m]

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

u(t , x) = 2 cos (kx) · sin (ωt) (42)

La funzione è composta da un termine chedipende solamente dallo spazio, che descrivela forma spaziale, e da un termine chedipende solo dal tempo che descrive comequesta forma oscilli nel tempo.

I nodi (punti fissi) si trovano nei punti in cui la componente spaziale siannulla:

cos (kx) = 0 ⇒ kx =π

2+ nπ (43)

ricordando che k = 2πλ si ottiene

x =λ

4(1 + 2n) (44)


Battimenti I

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.01.00.50.00.51.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.01.00.50.00.51.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.02.01.51.00.50.00.51.01.52.0

Esempio: http://www.pd.infn.it/~fontana/didattica/2017/02/28/battimenti.html


http://www.pd.infn.it/~fontana/didattica/2017/02/28/battimenti.html

http://www.pd.infn.it/~fontana/didattica/2017/02/28/battimenti.html

Battimenti II

È anche possibile vedere l’effetto dei battimenti usando dei motivigrafici.


Effetto Doppler I

v=⃗0

v ⃗

λ

λ'λ''

Immaginiamo di avere una sorgente cheemette un’onda che si propaga con velocità ~v .Se la sorgente stessa si sta avvicinando a noicon velocità ~vS la lunghezza d’onda percepitaλ′ corrisponde alla lunghezza d’onda reale λmeno la porzione di spazio percorsa duranteun periodo T

λ′ = λ− T · vS (45)

Ricordando che

v = λν ⇒ T =1ν=

λ

v(46)

otteniamo

λ′ = λ− λ

v· vS = λ ·

(1 − vS

v

)(47)


Effetto Doppler II

v=⃗0

v ⃗

λ

λ'λ''

La frequenza percepita è

ν′ =vλ′ =

vλ ·

(1 − vS

v

) (48)

= ν · vv − vS

(49)

ove abbiamo usato la velocità dipropagazione dell’onda v perché il mezzo dipropagazione non è in movimento.


Effetto Doppler III

v=⃗0

v ⃗

λ

λ'λ''

Riassumendo

λ′ = λ ·(

1 − vS

v

)(50)

ν′ = ν · vv − vS

(51)

la lunghezza d’onda percepita λ′ diminuiscese la sorgente si avvicina e la frequenza ν′

aumenta. Se la sorgente si allontana (ovverovS < 0) allora la lunghezza d’onda percepitaλ′′ aumenta e la frequenza ν′′ diminuisce.

Esempio: http://www.pd.infn.it/~fontana/didattica/2017/03/01/doppler.html


http://www.pd.infn.it/~fontana/didattica/2017/03/01/doppler.html

http://www.pd.infn.it/~fontana/didattica/2017/03/01/doppler.html

Energia di un’onda I

dx

ds

ds'

dx'

v ⃗

Prendiamo una stringaelastica su cui si propagalungo x un’ondasinusoidale:

u(t , x) = A sin (ωt − kx)(52)

Assumiamo che il movimento degli elementi della stringa sarà soloverticale e non orizzontale. Osserviamo che u(t , x) soddisfa lecondizioni dell’oscillatore armonico

d2

dt2 u(t , x) = −αu(t , x) (53)

Un elemento infinitesimo della stringa ds si comporta quindi come unoscillatore armonico.


Energia di un’onda IIL’energia totale di un elemento quindi è data dall’energia totale di unoscillatore armonico

dE =12κA2 (54)

ove A è lo spostamento massimo e κ è la costante elastica dellastringa. Ricordiamo che l’enegia totale non dipende dal tempo.Ricordiamo la pulsazione del moto armonico per un sistema elastico

ω =

√κ

m(55)

e risolviamola per κ:

κ = ω2 dm (56)

quindi sostituiamola nella formula precedente

dE =12κA2 =

12ω2A2 dm (57)


Energia di un’onda IIIEssendo il movimento delle porzioni di stringa solo verticale possiamocalcolare la massa come

dm = ρdx (58)

ove ρ è la densità lineare della stringa. ottenendo l’energia dellaporzione infinitesima

dE =12ω2A2 dm =

12ω2A2ρdx (59)

che integrata ci da il valore dell’energia conservata in tutta la stringa

Etot =

∫dE =

∫ L

0

12ω2A2ρdx =

12ω2A2ρL (60)

In generale si può dimostrare che l’energia trasportata da un’ondaqualunque è proporzionale al quadrato dell’ampiezza

Etot ∝ A2 (61)


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