MISELN-GEN-04 Generalità sulle Misure di Grandezze Fisiche · Il misurando non è messo a...

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Misure-generalità n. 4

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MISELN-GEN-04

Torino, 28-May-02

Franco FerrarisMarco Parvis

Generalità sulle Misure diGrandezze Fisiche

- Misurazioni indirette- Esempi di stima di incertezze

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Testi consigliati

• Norma UNI 4546 - Misure e Misurazioni; terminie definizioni fondamentali - Milano - 1984

• Norma UNI-CEI 9 - Guida all’espressionedell’incertezza nella misurazione - Milano - 1997

– UNI: Ente Nazionale Italiano di UnificazioneCEI: Comitato Elettrotecnico Italiano

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Il misurando non è messo a confronto con una gran-dezza di riferimento della stessa specie (campione),

ma

il valore del misurando e’ ottenuto

elaborando i risultati di una o piu’misurazioni dirette

effettuate su grandezze ad esso collegate

Misurazioni indirette

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• Esempi:– Velocità di un oggetto: misurazioni dirette

di lunghezza e tempo

– Densità di una sostanza: misurazioni di-rette di massa e di volume

– Volume di un solido sferico: misurazionediretta di lunghezza (diametro)

– Resistenza di un resistore: misurazionidirette di tensione e corrente


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• La maggior parte delle misure è ottenu-ta in questo modo

• Motivazione della scelta: quasi sempreper ragioni di comodita’ (costo,...)

– Con riferimento agli esempi:

– la densità potrebbe essere ottenutaanche con un densimetro

– la resistenza potrebbe essere ottenutaper confronto con resistore campione


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• La misurazione indiretta presupponel’esistenza di un modello

n’ = f(n1, n2, .. n i ... nm )

che lega le m misure ni delle grandezzeq1, ...qm alla misura n’ della grandezza q’

• La presenza del modello implica unaincertezza aggiuntiva “di modello”:f(...) non descrive adeguatamente lerelazioni nel mondo empirico


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• Esempi:– Velocità: v = l / t

– Densità: δ = m / V

– Volume: V = π · d3 / 6

– Resistenza: R = V / I


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Stima delle incertezze Modello deterministico

• Ipotesi:– Sono definite e note le incertezze δni delle

misure dirette ni

ni = nio ± δni

– Le grandezze qi sono tutte indipendenti– Le incertezze δni sono piccole rispetto alle

misure ni

– Sono definite e calcolabili le derivate parzialiprime di f rispetto alle variabili indipendenti

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• Il valore centrale n’o da attribuire allamisura è dato da:

– con nio valori centrali delle misure ni

StimaModello deterministico

n’o = f(n1o, n2o, .... nmo)

δ ∂∂

δ ∂∂

δ ∂∂

δ′ = + +nf

nn

fn

nf

n mn m

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22 ...

• L’incertezza massima δn’ da attribuirealla misura è data da:

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Esempi (a > 0, b > 0)

• Somma

• Differenza

x a b

x E a bx

= += = +δ δ δ

x a b

x E a bx

= −= = +δ δ δ

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Esempi

• Prodotto

• Quoziente

x a b

x

x

a

a

b

bx a b

= ⋅

= = + = +δ ε δ δ ε ε

xa

bx

x

a

a

b

bx a b

=

= = + = +δ ε δ δ ε ε

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Esempi

• Potenza

• Radice

x a

x

xn

a

an

n

x a

=

= = =δ ε δ ε

x a

x

x n

a

a n

n

xa

=

= = =δ ε δ ε1

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Esempi

• Piccolo incremento

x aa

x

x

a

a a ax a

= + <<

= = + ⋅ = +

∆ ∆

∆ ∆∆

∆∆

; 1

δ ε δ δ ε ε

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Modello probabilistico

• La stima n’o da attribuire alla misura èdata da:

– con nio valori stimati delle misure niottenute con le misurazioni dirette

n’o = f(n1o, n2o, .... nmo )

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• Ipotesi analoghe al caso deterministico:– Sono definite e note le incertezze tipo uni

dellemisure dirette ni

– Le grandezze qi sono tutte statisticamenteindipendenti

– Le incertezze tipo uni sono piccole rispetto alle

misure ni


Stima delle incertezze modello probabilistico - I

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Stimamodello probabilistico - I

• La varianza composta u2n’ da attribuire

alla misura è data da:

• L’incertezza tipo composta un’ è laradice quadrata positiva della varianzacomposta

u nf

nu n

fn

u nf

nmu n m′ =

+

+

2

1

22

2

22

22

1 2

∂∂

∂∂

∂∂

. . .

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• Se non vale l’ipotesi di non correla-zione:

– Sono definite e note le incertezze tipo unidelle misure dirette ni

– Le grandezze qi sono correlate– Le incertezze tipo uni

sono piccole rispettoalle misure ni


Stima delle incertezze modello probabilistico - II

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Stimamodello probabilistico - II

• La varianza composta u2n’ da

attribuire alla misura è data da:

• dove uni,nj è la covarianza stimata

associata a ni e nj

u nf

n iu n

i

m fn ij i

m

i

m fn j

u n ni

i j′ =

=+

= +

−

=

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2

12

1

1

1

∂∂

∂∂

∂∂ ,

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• Anche in questo caso:L’incertezza tipo composta un’ è laradice quadrata positiva della varianza

composta


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• La covarianza delle medie aritmetiche di duevariabili aleatorie p e q è data da:


( )u p q m mp k p

k

mq k q,

_ _=

−−

=−

1

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• Somma

• Differenza

x a b

u u ux a b

= +

= +2 2 2

Esempi (a > 0, b > 0, non correlati)

x a b

u u ux a b

= −

= +2 2 2

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Esempi (non correlati)

• Prodotto

• Quoziente

x a b

u

x

u

a

u

bx a b

= ⋅ =

+

2 2 2

xa

b

u

x

u

a

u

bx a b

=

=

+ 2 2 2

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Esempi

• Potenza

• Radice

x a n=. . . . . . . . . . . . .

x an=. . . . . . . . . . . . .

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• Se tutte le stime d’ingresso sono correlatecon coefficienti di correlazione rni,nj

= 1

• I coefficienti di correlazionesono definiti come:

Esempi

rp qu p q

u p u q,

,=⋅

u nf

n iu n

i

m

i′ ==

2

1

2∂

∂

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Misurazioni dirette e indirette

Un esempio:

misura di resistenza di unresistore

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Misurazione di resistenze(modello deterministico dell’incertezza)

Si analizzano tre metodi:• ohmetro• metodo “volt-amperometrico”• ponte di Wheatstone

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Ohmetro

Metodo di misurazione in cui lo strumentofornisce direttamente la misura.Prestazioni metrologiche definite da:

• Caratteristiche dello strumento

• Grandezze di influenza

• Incertezza intrinseca del misurando(effetto della temperatura, resistenze di contatto,ecc.)

L’incertezza intrinseca del misurando sarà discussa unasola volta parlando del ponte di Wheatstone

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Le prestazioni dello strumentoricavate dal manuale sono diversein base alla portata impiegata:Portata Incertezza

300 Ω 0.7%+2 count

3kΩ - 3MΩ 0.7%+1 count

30MΩ 2%+1 count

OhmetroCaratteristiche strumento

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Grandezze influenzaOhmetro

Il campo d’impiego delle grandezzedi influenza per il corretto funziona-mento dello strumento è letto sulmanuale; ad esempio:

• temperatura: 25±5 °C

• tempo dalla taratura: 1 anno

Si ipotizza che la misurazione siaeseguita all’interno del campo d’impiego

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Ohmetro

La formula dell’incertezza è binomia e quindiincertezze relative inferiori si hanno vicinoal fondo scala

Esempi (L é la lettura):

( )

R L

E

R L

E

R R

R R

= =

= ⋅ + = = ≈ ≈

= =

= ⋅ ⋅ + = = ≈ ≈

2900 2900

2900 0 007 1 213213

29000 0074 0 7%

3100 310

10 310 0 007 1 317317

31000 01 1%

Ω

Ω

Ω

Ω

. ..

. .

. ..

.

ε

ε

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Metodo “ volt-amperometrico”

Metodo di misurazione indiretto in cui ilvalore di resistenza è ottenuto come:

RV

I=

a partire dalle misurazioni dirette di unvoltmetro ed un amperometro.

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Metodo “ volt-amperometrico”

Prestazioni metrologiche definite da:

• Caratteristiche degli strumenti, grandezze diinfluenza e composizione delle incertezze

• Incertezza intrinseca del misurando (effetto dellatemperatura, resistenze di contatto, ecc.)

• Tipo di circuito impiegato per la misurazione:voltmetro “a monte” oppure voltmetro “a valle”(problema del carico strumentale o “consumo”)

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Misurazione indiretta: si sommano le incertez-ze relative degli strumenti :

RV

I R V I= = +ε ε ε

Metodo “volt-amperometrico”

Esempio: strumenti elettromeccanici in classe 1

V V

I A

V V V V

I A I A

RV

I

FS

FS

V

I

R

==

= == =

=

=

= = =

100

10

1 80

01 4

125%

2 5%

20 375%

δδ

εε

ε

.

.

.

; .Ω

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Gli strumenti non sono “ideali”

• L’amperometro ha una resistenza interna RAnon nulla

• Il voltmetro ha una resistenza interna RVnon infinita

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Voltmetro a monte: si misura R+RA

Voltmetro a valle: si misura R//RV

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Il “consumo” può essere uno scostamentoperché:

• può essere descritto da un modello e quindipuò essere corretto

• la correzione non può essere totale, perchéi valori del carico strumentale sono affetti daincertezza

• e quindi conviene cercare prima di tutto lacondizione operativa in cui l’effetto delcarico strumentale è minore

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Il ponte di Wheatstone

Metodo di misurazione in cui il valore diresistenza è ottenuto per “confronto” del

resistore incognito con resistori campione

Il confronto si effettua ricercando unequilibrio di tensioni, cioè la misura nulla

di una tensione “a vuoto”

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RR

RRX

A

BC=

Si modifica il campione C fino a che il galvano-metro G indica equilibrio

• RX: misurando

• RA/RB: trasduttore“comandato”

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Prestazioni metrologiche definite da:

• Caratteristiche dei resistori impiegati

• Grandezze di influenza

• Risoluzione del galvanometro

• Fenomeni secondari (forze termoelettromotrici,resistenze di contatto,...)

• Incertezza intrinseca del misurando (effettodella temperatura, resistenze di contatto, ecc.)


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L’incertezza su RX relativa ai resistori impiegatisi ottiene con le regole di composizione delleincertezze:

RR

RRX

A

BC R R R RX A B C i

= = + + +ε ε ε ε ε δ

Note:

• I termini εδi rappresentano gli effetti secondari di cui si

tiene conto nel calcolo delle incertezze

• Nel calcolo delle incertezze ε si è tenuto conto dellegrandezze di influenza (temperatura, tempo, ...)

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L’incertezza σX dovuta al galvanometro si deter-mina sperimentalmente squilibrando leggermenteil ponte

σδ

δ

XX X

X

X

X

R R

e e

R

R

e

e

R=

∆∆

∆∆ ∆

/

/ dove

valore di equilibrio di X

variazione intorno all'equilibrio

deviazione prodotta da

minima deviazione apprezzabile

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• L’incertezza stimata finora è dunquecomposta dai termini:

ε ε ε ε σR R R R XX A B C= + + + +. ..


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• L’incertezza dovuta ad alcuni effetti secondarisi può valutare con prove “ad hoc”.

• I principali effetti secondari sono:• le forze termoelettromotrici (FTEM)• le resistenze di contatto.

• Questi effetti secondari sono:• correggibili con opportuni modelli• riducibili con opportuni procedimenti

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Una FTEM è una tensione chesi genera quando:

• Esiste una giunzione tramateriali diversi

• Esiste una differenza ditemperatura tra i punti delcircuito.

( ) ( ) ( )e f T T T T T T

V K

FTEM = − ≈ − + − +

≈ ÷ ≈

1 2 1 2 1 2

2

5 50 0

α βα µ β

..

/ ;

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L’effetto delle FTEM:

• Si minimizza equalizzando termicamente ilcircuito

• Si rende sufficientemente piccoloeseguendo due misure prima e dopo averinvertito l’ali-mentazione del ponte (le FTEM,che dipendono dalla temperatura, non si invertono)

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La resistenza di contatto è quella resistenzache si genera ove esiste un contatto mobile tradue conduttori.

Le resistenze di contatto sono causa di problemiperché:

• Il valore varia ogni volta che si fa il contatto

• Si tratta di resistenze non note che sipongono in serie ai diversi elementi e nealterano il valore

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Le resistenze di contatto sono dell’ordinedei centesimi di ohm. Il loro effettorelativo é tanto più elevato quanto piùsono bassi i valori di resistenza coinvolti

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I contatti sono due per ogni oggetto, cioè dieciin un ponte

Ogni contatto si puòmodellizzare conuna resistenza

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L’effetto delle resistenze di contatto può esserediminuito operando (se possibile) con resistoriA, B e C di elevato valore

NOTA: esistono confi-gurazioni circuitali per“eliminare” l’effetto dialcune resistenze dicontatto, ma NON ditutte

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• Soluzione: prelevare la tensione che definiscela resistenza in modo indipendente dall’ad-duzione della corrente

Si costruisce il resistore con quattro morsetti: duedestinati all’adduzione della corrente (amperome-trici) e due destinati al prelievo della tensione(voltmetrici)

Le resistenze di contatto

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La resistenza del doppio bipolo è ora definitacome rapporto tra la corrente I ai morsettiamperometrici e la tensione V tra i morsettivoltmetrici

RV

I=


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Le resistenze di contatto ora noninfluenzano né la definizione, né lamisurazione di R.


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