Michele Vinci è responsabile dello sviluppo del software VEMNL (Stacec) nonché autore di:

Metodi di calcolo e tecniche di consolidamento per edifici in muratura Dario Flaccovio Editore 640 pagine – 2012 46,75 € ISBN 9788857901381

Il contributo dei tiranti nelle costruzioni in muratura interessate da azioni sismiche Come oramai noto, l’Italia è un territorio ad altissimo rischio sismico. I vari eventi che si sono verificati hanno messo in evidenza quanto il patrimonio edilizio della nazione sia vulnerabile. I crolli o i danni registrati interessano spesso edifici antichi mai consolidati (spesso si procede a ristrutturare le costruzioni dal punto di vista energetico ed estetico e si tende a trascurare il lato strutturale), mentre edifici ugualmente antichi ma consolidati, si danneggiano in maniera meno grave e meno frequente. In altre parole, si intuisce (facendo un ragionamento prettamente statistico) che il sisma è più severo nei confronti degli edifici che non hanno alcun accorgimento tecnico pensato per ridurne la vulnerabilità sismica, mentre edifici che sono stati consolidati subiscono generalmente danni lievi, per cui se ne deduce che gli interventi sulle costruzioni sono molto efficaci. Tra le cause di dissesto più comuni per gli edifici in muratura a seguito di eventi sismici, citiamo la perdita di equilibrio della parete investita dal sisma (ribaltamento delle pareti fuori dal piano) e la scarsa resistenza nel proprio piano. Le suddette cause di dissesto possono essere drasticamente ridotte, se si consolida in maniera opportuna l’edificio. Nella pratica comune esistono numerose tecniche di consolidamento che consentono di aumentare la resistenza di questa tipologia di costruzioni nei confronti delle azioni sismiche. Una delle tecniche più antiche ed efficaci è quella dei tiranti metallici. Questi ultimi sono elementi strutturali costituiti da un cavo metallico che può essere scarico o preteso, e da due chiavi (o capochiavi) collocate agli estremi del cavo che contrastano sulla muratura. Inoltre, l’intervento ha anche altri vantaggi come quello di non richiedere maestranze specializzate e non risulta essere eccessivamente costoso (rispetto ad altre tipologie di consolidamenti). I tiranti consentono di incrementare la resistenza di una parete nei confronti di entrambe le cause di dissesto dovute al sisma sopra riportate (perdita di equilibrio fuori dal piano e scarsa resistenza nel piano). I tiranti consentono di incrementare la resistenza (o ridurre le possibilità di dissesto) nei confronti di numerose tipologie di meccanismi locali, quali meccanismi a ribaltamento semplice e composto, a flessione verticale ed orizzontale ed a ribaltamento del cantonale. Nella figura successiva si riporta una possibile disposizione per i tiranti, collocati a quota solaio e disposti in pareti ortogonali.

Collocare i tiranti nelle pareti ortogonali alla parete investita dal sisma, implica una ridotta possibilità alla parete di subire il ribaltamento (il capochiave del tirante ne contrasta il ribaltamento – vedi figura sopra), mentre se collocato nella parete investita dal sisma, consente di ridurre le probabilità di meccanismo a flessione orizzontale (le chiavi del tirante impediscono agli estremi della parete di allontanarsi e quindi il verificarsi del meccanismo). Oltre ai vantaggi sopra riportati, i tiranti contribuiscono ad incrementare la resistenza anche nel piano di una parete. Per esempio, per normativa, se si schematizza una parete con la tecnica del telaio equivalente (si ricorda brevemente che secondo questa tecnica una parete si schematizza come un insieme di elementi strutturali monodimensionali orizzontali e verticali detti rispettivamente maschi murari e fasce di piano (o travi di accoppiamento) collegati tra di loro attraverso conci rigidi), le fasce di piano possono essere considerate solo se sono presenti elementi resistenti a trazione, come per esempio i tiranti. Nel caso in cui le fasce non sono dotate di tiranti, possono essere considerate nel modello strutturale in maniera da non trasferire azioni flessionali e taglianti provenienti da azioni sismiche (la parete in questa circostanza assume un comportamento a mensola). Nel caso in cui le fasce di piano sono dotate di tiranti, entrano in gioco nel modello strutturale in maniera efficace, trasmettendo anche azioni flessionali e taglianti (la parete assume un comportamento a telaio). Nei due casi cambiano le condizioni di vincolo e quindi la distribuzione delle sollecitazioni. Nella figura sotto riportata, poiché ai primi due livelli sono presenti tiranti, le fasce sono collegate ai conci rigidi attraverso incastri, mentre le fasce ai piani superiori, essendo sprovviste di tiranti sono collegate attraverso vincoli cerniera. In generale, quando le fasce di piano vengono considerati nel modello, lo stato sollecitazionale sui maschi murari è inferiore rispetto al caso in cui le fasce non vengono considerate. Come controindicazione, aumenta lo stato sollecitazionale (taglio e momento) della fasce di piano, che a sua volta richiedono una verifica.

L’obbiettivo di questa discussione è quello di individuare i vantaggi apportati dal consolidamento con tiranti, soprattutto dal punto di vista numerico. In altre parole, si vuole riportare come calcolare l’incremento di resistenza dovuto ai tiranti per alcuni casi semplici di strutture, secondo le prescrizioni delle normative vigenti e soprattutto individuare quantitativamente quanto le strutture sono molto meno vulnerabili a seguito degli interventi. Esempio 1 – Verifica fuori piano di una parete consolidata con tiranti

Data la semplicissima scatola muraria di figura 1, si vuole dimensionare il tirante in modo da far verificare a ribaltamento semplice (meccanismi locali) la parete tratteggiata in figura.

Figura 1 – Geometria della parete

Dati

- Materiale : pietrame disordinata; - Spessore della parete (t) : 40 cm; - Altezza della parete (h) : 300 cm; - Altezza del solaio (hs) : 20 cm; - Peso solaio (comprensivo dei coefficienti di combinazione) : 480 daN/m2; - Livello di conoscenza : LC1; - Categoria di sottosuolo : C; - Categoria topografica : T1; - Accelerazione di picco (ag) : 0.25; - Coefficiente di sicurezza della muratura (γm) : 3;

Soluzione L’esempio viene svolto attraverso l’analisi cinematica lineare, secondo quanto riportato nel punto C8.A.4 della Circolare 617/2009. I carichi che gravano sulla parete da analizzare sono il peso proprio della parete stessa (W), il peso del solaio (Ps), la forza di inerzia della parete (α0·W) e la forza di inerzia del solaio (α0·Ps). Le forze relative al peso della parete (W, α0·W) sono applicate nel baricentro della parete stessa, mentre le forze relative al solaio (Ps, α0·Ps) sono applicate sulla testa del muro, i cui punti di applicazione si ottengono in funzione dell’altezza del solaio (vedi figura 2). A vantaggio della sicurezza, non si considera il contributo dovuto alle pareti ortogonali.

Figura 2 – Punto di applicazione della forza relativa al solaio

La tipologia di muratura di cui è costituita la costruzione è di tipo “pietrame disordinata” le cui caratteristiche meccaniche sono fornite dalla Tabella C8A.2.1 della Circolare 617/2009 e di seguito riportate.

fm [daN/cm2]

τ0 [daN/cm2]

E [daN/cm2]

G [daN/cm2] Tipologia di

muratura min - max min - max min - max min - max

γ [daN/m3]

Muratura in pietrame disordinata (ciottoli, pietre erratiche e irregolari)

10.0 18.0

0.20 0.32

6900 10500

2300 3500 1900

Tabella 1 – Parametri meccanici forniti dalla Tabella C8A.2.1 della Circolare 617/2009 Dalla geometria della costruzione si ottiene il peso della parete ed il carico del solaio: W = l · t · h · γ = 4 · 0.4 · 3 · 1900 = 9120 daN Ps = 4 · 2 · 480 = 3840 daN

Figura 3 – Punti di applicazione delle forze

Dall’equilibrio al ribaltamento della parete (vedi figura 3) si ottiene il moltiplicatore di attivazione del meccanismo (α0)

W ⋅

t2−α

0 ⋅W ⋅

h2+P

s t − x

s ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟−α

0 ⋅P

s ⋅h = 0 (1)

(2)

La massa partecipante al cinematismo M* è (secondo la definizione riportata nel punto C8A.4 della Circolare 617/2009):

M* =W ⋅ h2 +P

s⋅h( )

2

g ⋅ W ⋅h

2

2 +Ps⋅h

2⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=

W2 +P

s( ) 2

g ⋅ W4 +P

s( )=11.76 daNm (3)

La frazione di massa partecipante è (vedi punto C8A.4 della Circolare 617/2009):

e* =g ⋅M*

W +Ps =

980.6 ⋅11.769120+3840

= 0.890 (4)

L’accelerazione spettrale di attivazione del meccanismo (a*0) è:

(5)

L’esito della verifica si ritiene soddisfatto se si verifica la seguente relazione:

(6)

Il coefficiente S si ottiene dalla categoria di sottosuolo e dalla categoria topografica, per cui nel caso specifico vale 1.5. Il fattore di struttura q vale 2 (vedi punto C8A.4.2.3) della Circolare 617/2009. In definitiva si ha:

(Verifica non soddisfatta)

Per far rientrare la verifica occorre far aumentare il valore dell’accelerazione spettrale a*0 in modo tale che sia maggiore o uguale al minimo previsto per normativa (183.86 cm/s2). Dalla relazione (5) si evince che occorre far aumentare il moltiplicatore di attivazione del meccanismo (α0) al seguente valore:

Per aumentare il valore di α0 (si indica con α0,c il moltiplicatore relativo alla struttura consolidata) occorre consolidare la struttura. In questo caso si consolida con quattro tiranti a quota solaio disposti ortogonalmente (vedi figura 4).

Figura 4 – Disposizione dei tiranti in pianta

Nella relazione (1) occorre aggiungere il contributo stabilizzante dovuto ai tiranti (T - vedi figura 5).

W ⋅

t2−α

0,C ⋅W ⋅

h2+P

s t − x

s ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟−α

0,C ⋅P

s ⋅h+ T ⋅h

t = 0 (7)

Esplicitando T dalla precedente si ottiene:

(8)

Figura 5 – Punti di applicazione delle forze (con tirante)

Poiché i tiranti sono due (uno per ogni estremo del muro), occorre dimensionarli in maniera tale da reggere un carico assiale pari a 962.2 / 2 = 481.1 daN. Si assume per il tirante una piastra quadrata con le caratteristiche riportate in figura 6.

Figura 6 – Geometria del tirante

Tenendo conto del livello di conoscenza LC1, del coefficiente di sicurezza (γm) e della Tabella 1, si possono ricavare i parametri meccanici della muratura riportati nella tabella 2. Per il cavo si assume il materiale B450C mentre per la chiave si assume il materiale S235.

Muratura Acciaio cavo Acciaio chiave

τ0 [daN/cm2]

fctd [daN/cm2]

fvd0 [daN/cm2]

fyd [daN/cm2]

fyd [daN/cm2]

0.0494 0.0741 0.0494 3913 2350 Tabella 2 – Parametri meccanici di calcolo della muratura e dell’acciaio

La resistenza del tirante si ottiene dal minimo della resistenza del cavo, della muratura (punzonamento) e del capochiave. Per tirante con chiave quadrata la resistenza delle suddette parti è data dalle seguenti: Resistenza del cavo

(sezione circolare del cavo) (9) Resistenza della muratura

Tm =min

Tm,a

= 2 ⋅ fctd

⋅ t ⋅ a+b+ 2t( )

Tm, t

= 2 ⋅ t ⋅ fvd0

⋅ a+b+ 2 ⋅ t( ) +n ⋅σ0 ⋅ a+ t( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

(10)

dove

- a è lunghezza in orizzontale della chiave; - b è lunghezza in verticale della chiave; - t è lo spessore della parete; - σ0 è la tensione media nella muratura in corrispondenza del punto di applicazione del tirante.

Resistenza del capochiave (o chiave)

(11)

(12)

dove

- Tc è la forza totale trasmessa dal tirante alla muratura; - b è il lato minore del capochiave;

Nel nostro caso la resistenza del cavo è (vedi relazione 9):

La resistenza della muratura è (vedi relazioni 10 - tenendo conto che la resistenza richiesta per il tirante è modesta, per semplicità di calcolo ed a vantaggio della sicurezza, si trascura il contributo dovuto al carico che grava sulla muratura (σ0 = 0)):

Tm =min

Tm,a

= 2 ⋅0.0741⋅ 40 ⋅ 25+ 25+ 2 ⋅ 40( ) = 770.6

Tm, t

= 2 ⋅ 40 ⋅ 0.0494 ⋅ 25+ 25+ 2 ⋅ 40( )⎡⎣

⎤⎦= 513.8

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

= 513.8 daN

Poiché per la chiave non è prevista la nervatura, per il calcolo delle sollecitazioni e delle tensioni si può sfruttare quanto previsto per le sezioni rettangolari. Ipotizziamo per la chiave una resistenza pari al minimo tra la resistenza della muratura e quella del cavo:

TC = min(513,8; 7868) = 513.8 daN Ipotizzando le tensioni uniformemente distribuite sulla superficie del capochiave, momento flettente e taglio nella sezione di verifica (in corrispondenza della posizione del cavo) sono:

Dalla Scienza delle Costruzioni si ottengono le massime tensioni σ e τ nella sezione di verifica e sono di seguito riportate (si vuole ricordare che la sezione di verifica è rettangolare con base pari a 25 cm ed altezza pari a 8 mm):

daN/cm2

daN/cm2

La tensione ideale raggiunta dalla chiave è:

daN/cm2 In definitiva le dimensioni scelte per il tirante sono idonee per resistere alla forza minima prefissata di 481.1 daN. Sostituendo nella (7) la resistenza del tirante (considerata due volte in quanto due sono i tiranti) ed esplicitando secondo il moltiplicatore di attivazione del meccanismo si ottiene:

Calcolando l’accelerazione spettrale di attivazione del meccanismo si ottiene:

(Verifica soddisfatta) Esempio 2 – Verifica nel piano di una parete consolidata con tiranti Data la parete riportata in figura 7, progettare i tiranti in modo che sia verificata secondo la tecnica dell’analisi statica non lineare (pushover).

Figura 7 – Parete da esaminare

Dati

- Spessore della muratura (t) = 50 cm; - Solai: q = 500 daN/m2; sviluppo 2 m; - Coefficiente di sicurezza della muratura (γm) = 2; - Livello di conoscenza = LC1; - Suolo di fondazione = C; - Categoria topografica = T2; - Parametri sismici del sito (ag = 0.268; F0 = 2.423; T*c = 0.365); - Muratura in mattoni pieni e malta di calce con giunti sottili.

Soluzione Nella schematizzazione a telaio equivalente di una parete, le fasce di piano possono trasmettere sollecitazioni di taglio e flessione solo se sono dotate di elemento resistente a trazione (tiranti, cordoli, FRP, ecc.). La presenza dei tiranti muta notevolmente il comportamento nel proprio piano della parete. Si assume come schema strutturale quello riportato in figura 8. In assenza di tiranti, agli estremi delle fasce si considera il vincolo cerniera, mentre in presenza di tiranti si considera il vincolo incastro.

Figura 8 – Schematizzazione della parete da esaminare

Per analizzare la parete occorre determinare le caratteristiche meccaniche di calcolo della muratura. Tenendo conto che il livello di conoscenza assunto è LC1, si assumono i valori minimi per la resistenza (fd e τ0) ed i valori medi per i moduli elastici (E, G) dei dati riportati in tabella C8A.2.1 della Circolare 617/2009 (relativamente al materiale mattoni pieni e malta di calce). I valori delle resistenze devono essere divise ulteriormente per il fattore di confidenza FC = 1.35. Poiché la muratura ha giunti sottili, sia i parametri di resistenza che i moduli elastici devono essere moltiplicati per il coefficiente 1.5 (vedi tabella C8A.2.2 della Circolare 617/2009). Ai fini della resistenza a flessione e taglio non occorre dividere i parametri meccanici della muratura per il coefficiente di sicurezza in quanto si effettua l’analisi statica non lineare (vedi punti 7.8.2.2.1, 7.8.2.2.2, 7.8.2.2.4 del D.M. 14/01/2008). Nella tabella 3 si riportano i parametri di calcolo della muratura (si considera la resistenza a compressione in direzione orizzontale pari a 70% di quella in direzione verticale).

Tipologia di muratura

fd [daN/cm2]

fhd [daN/cm2]

τ0  =  fvd0 [daN/cm2]

E [daN/cm2]

G [daN/cm2]

γ [daN/m3]

Muratura in mattoni pieni e malta di calce

26.667 18.667 0.667 22500 7500 1800

Tabella 3 – Parametri meccanici di calcolo della muratura Gli elementi deformabili di cui è composta la parete sono riassunti nella tabella 4 (la numerazione degli elementi in tabella coincide con quella di figura 8), dove “E” è il modulo elastico normale, “G” è il modulo elastico tangenziale, “A” è l’area della sezione trasversale, “I” è il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico orizzontale ortogonale alla lunghezza dell’elemento e “h” è l’altezza dell’elemento. L’elemento deformabile si considera alla Timoshenko.

Caratteristiche meccaniche e geometriche degli elementi

n° elemento Tipo elemento

E [daN/cm2]

G [daN/cm2]

A [cm2]

I [m4]

h [cm]

1 Maschio 22500 7500 15000 1.125 170 2 Maschio 22500 7500 18000 1.944 270 3 Maschio 22500 7500 18000 1.944 270 4 Maschio 22500 7500 15000 1.125 170

5 Fascia 22500 7500 11500 0.507 230 6 Fascia 22500 7500 11500 0.507 230 7 Fascia 22500 7500 11500 0.507 230 8 Maschio 22500 7500 15000 1.125 170 9 Maschio 22500 7500 18000 1.944 170

10 Maschio 22500 7500 18000 1.944 170 11 Maschio 22500 7500 15000 1.125 170 12 Fascia 22500 7500 11500 0.507 230 13 Fascia 22500 7500 11500 0.507 230 14 Fascia 22500 7500 11500 0.507 230 15 Maschio 22500 7500 15000 1.125 170 16 Maschio 22500 7500 18000 1.944 170 17 Maschio 22500 7500 18000 1.944 170 18 Maschio 22500 7500 15000 1.125 170 19 Fascia 22500 7500 11500 0.507 230 20 Fascia 22500 7500 11500 0.507 230 21 Fascia 22500 7500 11500 0.507 230 22 Maschio 22500 7500 15000 1.125 170 23 Maschio 22500 7500 18000 1.944 170 24 Maschio 22500 7500 18000 1.944 170 25 Maschio 22500 7500 15000 1.125 170 26 Fascia 22500 7500 6500 0.092 130 27 Fascia 22500 7500 6500 0.092 130 28 Fascia 22500 7500 6500 0.092 130

Tabella 4 – Caratteristiche meccaniche e geometriche degli elementi Se nelle fasce di piano sono presenti i tiranti (o altri elementi resistenti a trazione), il vincolo con il concio rigido agli estremi è un incastro (vedi “b” di figura 9), viceversa, se nelle fasce non sono presenti i suddetti elementi, il vincolo con il concio rigido è una cerniera (vedi “a” di figura 9). In quest’ultimo caso, il vincolo è incapace di trasmettere sollecitazioni flessionali e taglianti provenienti da forze orizzontali.

Figura 9 – Schema statico della parete con e senza tiranti

In una prima fase dell’esempio analizziamo la parete secondo l’analisi statica non lineare priva di tiranti1. Definito lo schema strutturale il passo successivo è quello di determinare la curva di capacità. Si assume come punto di controllo il baricentro delle masse dell’ultimo piano. Per semplicità si analizza la parete secondo un solo profilo di carico, quello proporzionale alle altezze (lo scopo dell’esempio è solo quello di far vedere come i tiranti entrano in gioco nell’analisi). Partendo dal valore del moltiplicatore α = 0, si ha uno stato iniziale in cui tutti gli elementi sono soggetti alle sole azioni dovute ai carichi verticali, pertanto, si può ipotizzare che lo spostamento relativo dei maschi è pressoché nullo. Incrementando i carichi (attraverso l’incremento del moltiplicatore α), raggiunto il valore di α = 37.05, si ha la plasticizzazione del primo maschio murario (elemento indicato con il numero “1” in figura 8). con la conseguente formazione della cerniera plastica. Lo spostamento relativo dell’elemento coincide con quello a limite elastico. A questo punto, l’elemento è in grado soltanto di subire ulteriori spostamenti relativi fino a raggiungere quello ultimo. Incrementando ancora i carichi, quando il moltiplicatore α raggiunge il valore 38.05 anche l’elemento “4” raggiunge la fase plastica. Quando α raggiunge il valore 42.27 anche gli elementi “2” e “3” si plasticizzano. A questo punto si forma il meccanismo di piano, per cui la struttura non è più in grado di subire ulteriori incrementi di carico. Tuttavia ha ancora una capacità residua di deformazione (δu – δ0 = 1.21 cm). Al punto di collasso, la parete è in grado di sopportare un tagliante alla base di 77946 daN. Considerando che il peso complessivo della parete è pari a 362796 daN, in definitiva la struttura resiste per un’azione orizzontale pari al 21.48% della totalità dei carichi verticali. Questo valore, relativamente basso, è dovuto principalmente alla resistenza nulla delle fasce di piano. L’incremento dei carichi orizzontali (ordinata della curva) e le successive plasticizzazioni degli elementi consentono di tracciare la curva di capacità della struttura. In definitiva, attraverso l’incremento dei carichi e lo spostamento progressivo del punto di controllo (ascissa della curva) si ottiene la suddetta curva (vedi figura 10). Nella Tabella 5 vengono riportati tutti gli elementi plasticizzati e collassati della parete durante il processo dell’incremento dei carichi orizzontali. Tutti gli altri elementi non riportati in Tabella, al momento del collasso della parete sono ancora in fase elastica. Nella Tabella si è indicato, per ogni elemento, con “n°” il numero dell’elemento coincidente con la numerazione riportata in figura 8, con “T” il tipo di elemento (M = Maschio; F = Fascia), con “P” il piano di appartenenza, con “l” la larghezza, con “h” l’altezza, con “t” lo spessore, con “Vu” la resistenza ultima, con “δ0” lo spostamento elastico, con “δu” lo spostamento ultimo, con “R” il tipo di rottura (T = Taglio, F = Flessione), con Vb il tagliante alla base, con “dc” lo spostamento del punto di controllo e con “α” il moltiplicatore dei carichi orizzontali. Nella seconda colonna della Tabella si indica con (P) l’elemento se plasticizzato e con (C) l’elemento se collassato.

Figura 10 – Curva di capacità della parete senza tiranti

Plasticizzazione degli elementi

n° T P l [cm]

h [cm]

t [cm]

Vu [daN]

δ0 [cm]

δu [cm] R Vb

[daN] dc

[cm] α

1 M (P) 1 300 170 50 103148 0.146 1.36 F 68677 1.35 37.05

1 Per risolvere l’esempio si utilizza il software VEMNL sviluppato e distribuito dalla STACEC Srl, specifico per il calcolo di edifici in muratura.

4 M (P) 1 300 170 50 103149 0.152 1.36 F 70531 1.40 38.05

2 M (P) 2 300 170 50 154242 0.16 1.76 F 77946 1.64 42.27

3 M (P) 2 360 170 50 154242 0.16 1.76 F 77946 1.64 42.27

1 M (C) 2 300 170 50 154242 0.16 1.76 F 77946 2.85 42.27 Tabella 5 – Plasticizzazione degli elementi Da notare che gli elementi che collassano sono i maschi murari al piano 1 e la rottura avviene per flessione. Inoltre, la plasticizzazione degli elementi con caratteristiche simili (elementi 1 – 4 ed 2 – 3) avviene quasi in contemporanea. Questo è dovuto al fatto che le fasce non sono in grado di trasmettere sollecitazioni di taglio e flessione, per cui sotto l’effetto dei carichi orizzontali gli elementi non subiscono significative variazioni di sforzo normale (si ricorda che la resistenza a pressoflessione e taglio di un elemento è legata alla tensione media σ0 e quindi allo sforzo normale che grava su di esso). In figura 11 viene visualizzato il tipo di rottura (flessione o taglio) degli elementi ed il meccanismo di piano.

Figura 11 – Elementi plasticizzati e meccanismo di piano

Data la curva di capacità del sistema a più gradi di libertà (MDOF), il passo successivo è quello di individuare la curva di capacità del sistema equivalente ad un solo grado di libertà. A tale scopo, noto l’autovettore del primo modo di vibrare della struttura (calcolato automaticamente attraverso software per l’elevato numero di gradi di libertà), si calcola il coefficiente di partecipazione Γ:

(13)

Dividendo per il coefficiente Γ ascisse ed ordinate della curva di capacità del sistema MDOF, si determina la curva di capacità del sistema SDOF (vedi figura 12). Determinato il sistema SDOF, si procede determinando il sistema bilineare equivalente. La massa m* del sistema bilineare equivalente è data dalla seguente:

daNm (14)

La rigidezza k* del sistema bilineare equivalente si ottiene da una retta che passa per l’origine degli assi ed interseca la curva di capacità del sistema equivalente al 70% della forza massima. Tenendo conto che la forza massima del sistema equivalente è F*max = 47820 daN (vedi figura 12), il 70% vale 33474. Dalla curva del sistema SDOF si ottiene lo spostamento corrispondente pari a d*A = 0.66. In definitiva la rigidezza k* vale:

daN/cm (15)

Dall’equilibrio delle aree (per determinare il tratto orizzontale del sistema bilineare equivalente le aree comprese tra la curva di capacità del sistema SDOF e del sistema bilineare equivalente stesso devono essere uguali) si ottiene la forza massima del sistema bilineare equivalente: F*y = 47564 daN (16)

Il periodo del sistema equivalente è:

s (17)

Nota la curva di capacità della struttura e definito il sistema equivalente rimane da determinare la capacità di spostamento (umax) e la domanda di spostamento (dmax). La capacità di spostamento si ottiene direttamente dalla curva di capacità del sistema MDOF (vedi figura 10). Poiché quest’ultima non assume tratti discendenti, si assume come umax l’ascissa massima della curva stessa:

umax = 2.85 cm (18) Per definire la domanda di spostamento (o spostamento richiesto) occorre definire i parametri che caratterizzano l’azione sismica sulla struttura. A tale scopo, tenendo conto dei parametri sismici del sito, della categoria topografica (T2) e del suolo di fondazione C, si ottiene quanto riportato in tabella 6:

Parametri sismici

Ss St S Cc TB [s]

TC [s]

TD [s]

Se,max [cm/s2]

1.31 1.2 1.57 1.46 0.18 0.53 2.67 999.7 Tabella 6 – Dati che definiscono lo spettro di progetto. Noti i parametri sismici è possibile determinare il fattore di struttura q* e la domanda di spostamento del sistema equivalente. Poiché il periodo del sistema equivalente (T*) dato dalla (17) è compreso tra TB e TC, il valore dello spettro elastico da assumere è quello massimo (ultima colonna della tabella 6). Secondo quanto riportato nel punto C7.3.4.1 della Circolare 617/2009, si calcola il fattore di struttura (q*) del sistema equivalente e la capacità di spostamento di seguito riportate:

(19)

cm (20)

cm (21)

cm (22)

In definitiva, dai valori ricavati dalle (18) e (22) si ottiene:

(verifica non soddisfatta) (23)

I risultati dell’analisi vengono riportati graficamente nella figura 12.

Figura 12 – Sistema equivalente

Avendo analizzato la parete senza tiranti, si evince che l’esito della verifica è negativo. Per incrementare la resistenza della parete nel proprio piano si consolida con tiranti, disposti parallelamente alla parete stessa a quota dei solai (vedi figura 13). Poiché si effettua l’analisi non lineare, per determinare la curva di capacità della parete occorre determinare a priori la resistenza delle fasce di piano. Tenendo conto che si ipotizza un comportamento ad impalcato rigido, la resistenza a taglio e flessione delle fasce si ottengono da quanto riportato nel punto 7.8.2.2.4 del D.M. 14/01/2008. La resistenza a flessione dipende dalla quantità Hp che a sua volta dipende dalla resistenza a trazione dell’elemento teso (tirante). In definitiva, per conoscere la resistenza delle fasce di piano occorre conoscere la resistenza dei tiranti. Il risultato dell’analisi è funzione della resistenza delle fasce per cui di conseguenza è funzione della resistenza dei tiranti.

Figura 13 – Disposizione dei tiranti

Per attribuire la massima resistenza alle fasce, si possono progettare i tiranti in maniera tale che la resistenza a flessione sia superiore a quella di taglio (secondo quanto riportato nel punto 7.8.2.2.4 del D.M. 14/01/2008 la resistenza a trazione dei tiranti entra in gioco solo nella valutazione della resistenza a

flessione delle fasce). La resistenza a taglio (si dimensiona il tirante per le fasce al primo livello) della fascia vale (vedi punto 7.8.2.2.4 del D.M. 14/01/2008):

Vt = 230 · 50 · 0.667 = 7670 daN (24) In definitiva, il tirante deve essere progettato in maniera tale che Hp (resistenza a trazione del tirante) fornisca un valore della resistenza a taglio per meccanismo a flessione superiore a Vt dato dalla (24):

(25)

Si rielabora la struttura secondo l’analisi statica non lineare ipotizzando di aver collocato tiranti per come riportato in figura 13 che soddisfano la (25). Sotto queste condizioni si ottiene la curva di capacità riportata in figura 14.

Figura 14 – Curve di capacità della parete con e senza tiranti

Come si vede, rispetto al caso senza tiranti, la struttura ha una resistenza maggiore (si passa da una resistenza di 77946 daN ad una di 115018 daN). La capacità di spostamento si riduce, passando da un valore di 2.85 cm ad uno di 2.34 cm. Quest’ultimo dato ha effetti negativi sull’esito della verifica. La minore capacità di spostamento può essere addebitabile ad una maggiore rigidezza della parete dovuta ai tiranti (vincoli incastri agli estremi). Al punto di collasso, la parete è in grado di sopportare un tagliante alla base di 115018 daN, per cui tenendo conto che pesa complessivamente 362796 daN, resiste per un’azione orizzontale pari al 31.70% della totalità dei carichi verticali. La parete ha un incremento di resistenza del 47.58%. Nella tabella 7 vengono riportati tutti gli elementi plasticizzati e collassati della parete durante il processo dell’incremento dei carichi orizzontali. Per il significato dei simboli valgono le stesse considerazioni viste per la tabella 5. In figura 15 viene visualizzato il tipo di rottura (flessione o taglio) degli elementi ed il meccanismo di piano.

Plasticizzazione degli elementi

n° T P l [cm]

h [cm]

t [cm]

Vu [daN]

δ0 [cm]

δu [cm] R Vb

[daN] dc

[cm] α

5 F (P) 1,2 230 140 50 7667 - - T 0 0.00 0.00

6 F (P) 1,2 230 140 50 7667 - - T 0 0.00 0.00

7 F (P) 1,2 230 140 50 7667 - - T 0 0.00 0.00

12 F (P) 2,3 230 140 50 7667 - - T 31605 0.12 17.05

13 F (P) 2,3 230 140 50 7667 - - T 39019 0.15 21.15

14 F (P) 2,3 230 140 50 7667 - - T 50141 0.21 27.08

19 F (P) 3,4 230 140 50 7667 - - T 59409 0.26 32.40

20 F (P) 3,4 230 140 50 7667 - - T 61263 0.27 33.11

21 F (P) 3,4 230 140 50 7667 - - T 77946 0.40 42.27

27 F (P) 4 130 140 50 4333 - - T 77946 0.40 42.27

23 M(P) 4 360 170 50 17713 0.12 1.36 F 81653 0.44 44.06

28 F (P) 4 130 140 50 4333 - - T 81653 0.44 44.06

15 M(P) 3 300 170 50 16242 0.13 1.36 F 85360 0.49 46.18

22 M(P) 4 300 170 50 6241 0.11 1.36 F 92775 0.62 50.05

1 M(P) 1 300 170 50 87951 0.16 1.36 F 96482 0.69 52.12

4 M(P) 1 300 170 50 118831 0.17 1.36 F 113165 1.09 61.32

2 M(P) 1 360 220 50 117446 0.18 1.76 F 115018 1.15 62.00

3 M(P) 1 360 220 50 118118 0.18 1.76 F 115018 1.15 62.00 Tabella 7 – Plasticizzazione degli elementi

Figura 15 – Elementi plasticizzati e meccanismo di piano

Il contributo delle fasce riduce le sollecitazioni di partenza sui maschi murari, per cui per raggiungere il collasso della parete occorre una forza alla base maggiore. Dalla figura 15 si osserva che le plasticizzazione degli elementi sono più diffusi su tutta la parete, a differenza del caso precedente (senza tiranti) dove a plasticizzarsi erano soltanto i maschi murari al piano 1. Tutti i maschi continuano a plasticizzarsi (tra quelli che raggiungono la fase plastica) per flessione, mentre le fasce di piano per taglio. Ai fini della verifica occorre valutare se il contributo positivo dell’incremento di resistenza e rigidezza (vedi curva di capacità in figura 14) sia superiore del contributo negativo della riduzione della capacità di spostamento. Dalla curva riportata in figura 14 si ottiene la capacità di spostamento:

umax = 2.34 cm (26) Per determinare la domanda di spostamento si definisce il sistema equivalente analogamente al caso senza tiranti (si riportano solo i risultati):

daNm

F*max = 76987 daN F*y = 73981 daN

daN/cm

s

cm

cm

cm (27)

I risultati dell’analisi vengono riportati graficamente nella figura 16. In definitiva, dai valori ricavati dalle (26) e (27) si ottiene:

(verifica soddisfatta) (28)

Avendo consolidato la parete con i tiranti, si passa da un valore del coefficiente di sicurezza di 0.60 dato dalla (23) ad un valore di 1.001 dato dalla (28). In definitiva, grazie ai tiranti si riesce a far verificare la parete secondo il metodo di calcolo dell’analisi statica non lineare.

Figura 16 – Sistema equivalente

Per completare l’esempio rimane da progettare i quattro tiranti. Si tenga presente che i tiranti, anche se apparentemente uguali possono avere resistenza diversa dovuto al diverso valore della tensione normale media σ0. Dalla (25) si evince che occorre progettare il tirante in maniera tale che la resistenza a flessione (Vf) della fascia sia maggiore di quella di taglio (Vt = 7670 daN). Se il tirante viene progettato in maniera tale

che Vf sia inferiore a Vt, non è garantito l’esito positivo della verifica dato dalla (28). In questo caso occorre ricalcolare la curva di capacità attribuendo alle fasce la giusta resistenza a flessione. Se il tirante viene progettato in modo tale che Vf sia maggiore di Vt, l’esito positivo della verifica è garantito in quanto la parete è stata calcolata attribuendo alle fasce la resistenza a taglio data dalla (24). Se Vf >> Vt non ha effetti sull’esito della verifica. La condizione ottimale è quella di progettare il tirante in modo tale che Vf = Vt. Risolvendo la (25) secondo Hp si ottiene: Hp = 4795 daN (29)

Secondo il punto 7.8.2.2.4 del D.M. 14/01/2008, Hp è definita come segue (si indica con “T” la resistenza a trazione del tirante):

(30)

In definitiva, affinché sia verificata la (29), occorre progettare il tirante in modo che T ≥ 4795 daN. Per il dimensionamento del tirante si ipotizza una sezione rettangolare del capochiave con le caratteristiche geometriche riportate in figura 17. Si assume l’acciaio S235. Per la muratura, i dati delle resistenze di calcolo riportate in tabella 3 devono essere divise per il coefficiente di sicurezza γm = 2 (si ricorda che per analisi statica non lineare si possono assumere i valori medi delle resistenze senza dividerle per il coefficiente di sicurezza γm – vedi punti 7.8.2.2.1, 7.8.2.2.2 e 7.8.2.2.4 del D.M. 14/01/2008).

Figura 17 – Dimensioni del tirante

Dalla relazione (9) si ottiene la resistenza del cavo:

daN

Dalle (10) si ottiene la resistenza della muratura (si assume fctd = 1.5 · τ0):

valore maggiore dei 4795 daN richiesti. Dalle (11) e (12) si ottengono rispettivamente il valore massimo per il momento flettente ed il valore massimo per il taglio:

Calcolando le tensioni σ e τ secondo le tecniche della Scienza delle Costruzioni per sezione di verifica a T, si ottiene:

σ = 1673.3 daN/cm2 ; τ = 594.0 daN/cm2 Dalla relazione (1.27) si ottiene la tensione ideale raggiunta dalla chiave:

daN/cm2 Le dimensioni scelte per il tirante sono sufficienti per garantire la rottura delle fasce a taglio e quindi il comportamento della parete analizzato.