Mettiti alla prova METTITI ALLA PROVA -...

Mettiti alla prova

4Copyright © 2016 Zanichelli editore S.p.A., BolognaQuesto file è una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Graziella Barozzi e Anna Trifone

Limiti e continuità

Sia data la funzione ( ),

f xe x x c

xx x

2 02

0

sesin

se

x cax b

1

!$=

-+

* , con , ,a b cR R! ! + .

a. Ricava i valori di a, b e c in modo tale che:

f(x) sia continua in x 0= ; ( )lim f x e2x

=" 3+

; ( )lim f x 0x 3

=" -

. ; ;a b c1 0 3= = =6 @b. Posto che a, b e c siano i valori trovati al punto precedente, calcola: ( )lim f x

x 3" +; ( )lim f xx" 3-

. ; 03+6 @

c. Stabilisci se esistono i seguenti limiti e, nel caso, calcolali: lim xx" 3-( )f x ;

( )lim x

f xx 0" -

. ;non esiste 3-6 @

Considera la funzione f di variabile reale definita, per x c! , da ( )f x x cx a x b

= -- -^ ^h h

, con a, b, c parametri reali, a positivo.

a. Determina a, b, c affinché il grafico di f:abbia un asintoto verticale di equazione x 2= ;passi per il punto A(1; 0);abbia un asintoto obliquo passante per il punto B(0; 3).

b. Disegna il grafico di f.c. A partire dal grafico di f disegna il grafico della funzione g definita da ( )

( )g x f x

1= mettendo in evidenza

intersezioni con gli assi e asintoti. [ , , ]a b c1 2 2a) = =- =

Calcola lim x2 1

x

x

0

-"

.

Sfruttando anche il risultato ottenuto, studia i punti di discontinuità della seguente funzione:

( )

logf x

x e xx x x

x x

2 10

3 2 0 3

112

3

se

se

se

x2

2

$ 1

12#=

-

+ +

+

Z

[

\

]]

]].

Stabilisci se ci sono punti di discontinuità di terza specie e in tal caso indica come può essere eliminata la discontinuità modificando la definizione della funzione. [x = 0 disc. III specie; x = 3 disc. I specie]

REALTÀ E MODELLI Una nuova vettura Una casa automobilistica ha progettato una vettura in cui il costo per il consumo di carburante, espresso in euro, dipen-de dai kilometri percorsi x secondo la funzione:

f xxa

xbx cx x

3

10 201

3

se

se2

2

#

=-+ +^ h *

con a, b, c parametri reali. Durante la presentazione della vettura viene dichiarato che, all’aumentare dei kilometri percorsi, il costo per il consumo di carburante tende a diventare € 1 ogni 10 km. Determina:

a. i parametri b e c;

b. il parametro a affinché la funzione sia continua in x 3= ;

c. il numero minimo di kilometri da percorrere per avere una differenza di costi tra i valori reali e quelli dichiarati inferiore al decimillesimo di euro.

, ; ;b c a1 2 52

1003a) b) c)= =- =: D

1

2

3

4

Raw

pix

el.c

om

/Sh

utt

erst

ock

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REALTÀ E MODELLI Il moscerino della frutta Un modello cherappresenta l’evoluzione della popolazione del moscerinodella frutta ha equazione:

N te3 2

200t

52=+

-^ h ,

dove N t^ h è il numero di moscerini e t è il tempo (misurato in giorni).

a. Quanti sono i moscerini all’inizio dell’osservazione?In quanto tempo la popolazione diventa di 50 individui?

b. Disegna il grafico di N t^ h e osserva che ammette un asintoto orizzontale. Che significato assume per la popolazione di moscerini questa retta? Verifica tale risultato attraverso la definizione di limite.

, );t N40 1 100a) giorno b- =6 @

Considera la funzione:

ea x 200 1x

x3

300 100

2

= --

- -^ ` ^h jh.

a. Per quale valore di x la funzione si annulla?

b. Quanto vale a 0^ h?c. Per quale x la funzione assume un valore pari

al 75% di a 0^ h? ) : , ; ) ,x D a x0 5 9 0 76a b) cb ! - -^ h6 @

Calcolare lim x x3 5 3 2x

+ - -" 3+^ h 06 @

[Liceo scientifico opzione internazionale italo-inglese 2015 - Sessione ordinaria - Quesito 5]

Verificare che la funzione

f x3 1

1

x1=

+

^ hha una discontinuità di prima specie («a salto»), mentre la funzione:

f x x

3 1x1=

+

^ hha una discontinuità di terza specie («eliminabile»).

[Corso di ordinamento 2015 - Sessione straordinaria - Quesito 2]

Un triangolo ha i lati che misurano rispettiva-mente 3a, 4a e 5a. Sia A l’area del triangolo stesso, A1 l’area del cerchio inscritto e A2 quella del cerchio circoscritto. Calcola i seguenti limiti:

a. lim AA

a1

" 3+; b. lim A

Aa 1

2

" 3+.

; 25

6a) b)r8 B

Considera la funzione :f R R" definita da

( ) ,f x xx x x x

a x2

2 22

2

se

se

3 2

!= -- + -

=)

con a parametro reale.

a. Determina a affinché l’immagine mediante f dell’intervallo ;I 1 3= -6 @ sia un intervallo chiuso.

b. Determina gli estremi dell’immagine f(I) di I. ) ; ) ,5 2 10a b6 @Esplicita, rispetto alla variabile y, l’equazione del-la curva x xy x y3 2 02- - - + = . Stabilisci se la curva presenta degli asintoti e, in caso di risposta affermativa, determinane le equazioni. Individua il punto di intersezione C degli asintoti e verifica che è centro di simmetria per la curva, scrivendo le equazioni della simmetria centrale rispetto al punto C. , ; ;x y x C1 4 1 5=- = - - -^ h6 @

Derivate

Sia data la funzione ( ) ,sinf x

ax b xx x

c x

0

0 23

23

se

se

se

1

2

# # r

r=

+Z

[

\

]]

]] dove a, b e c sono parametri reali.

a. Determina i parametri a, b, c in modo che la funzione sia derivabile per ogni x reale. Disegna il grafico di f.b. La funzione f l è continua? Disegna il suo grafico. La funzione f l è derivabile? , ,a b c1 0 1a) = = =-6 @

5

Ro

bia

n/S

hu

tter

sto

ck

6

7

8

9

10

11

12

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Considera la famiglia di funzioni di una variabile reale definita, per x 02 , da ( ) lnf x kx x2= + + , dove k è un parametro reale.

a. Dimostra che per ogni k 0$ la funzione f è invertibile.

b. Per k 1= , nella famiglia di funzioni data, ottieni la funzione h. Indica con g la funzione inversa di h. Cal-cola g 3l̂ h e determina un’equazione della retta tangente al grafico di g nel suo punto di ascissa 3.

( ) ;g x y3 21

2 1 0= - - =l8 B

Data nel piano Oxy la curva c di equazione y x1

2= , sia P un punto di c di ascissa t 02 e sia r la retta tangente a c nel punto P.

a. Esprimi in funzione di t l’area S1 del triangolo OPA, essendo A l’intersezione di r con l’asse y.

b. Detta n la retta per P perpendicolare a r, esprimi in funzione di t l’area S2 del triangolo OPB, essendo B l’intersezione di n con l’asse x.

c. Calcola il limite lim SS

t 2

1

" 3+. ( ) ; ( ) ;S t t S t t

t23

22

3a) b) c)1 2 7

6

= =-: D

La funzione f è continua e indefinitamente derivabile in R . Nell’intervallo [1; 8] ha le seguenti caratteristiche:

( ) , ( )f f1 23

8 5= = ; ( )f x 27

= soltanto in x 5= ;

( )f x 01m per [ ; [; ( ) ; ( )x f f x1 5 5 0 02! =m m per ] ; ]x 5 8! .

Dimostra che esistono soltanto due punti interni all’intervallo [1; 8] in cui la funzione verifica il teorema di Lagrange.

ESERCIZIO SVOLTO Determiniamo il parametro reale h in modo che il seguente limite abbia il valore asse-

gnato: limlne x

x he2

x x1

2-=

".

Quando x tende a 1, il rapporto lne x

x hx2-

tende alla forma h

01-

.

Se h 1! , il limite tende allora a infinito ed è diverso da e2

.

Se h 1= , invece, il limite si presenta nella forma indeterminata del tipo 00

. Verifichiamo se, in questo caso,

sciogliendo la forma indeterminata otteniamo il valore e2

. Applichiamo De L’Hospital:

limln

limln

limlne x

xe x x

ex

xe x ex

e1 2 2 2

x x x xx x x x

1

2

1 1

2-=

+=

+=

" " ".

La forma indeterminata porta effettivamente al valore e2

, quindi il valore cercato per h è 1.

REALTÀ E MODELLI Scatto Un centometrista si sta riscaldando prima della gara. Dopo uno scatto di 4 s a velocità crescente, rapidamente decelera e si ferma in 2 s, per poi tornare ai blocchi con velocità costante. La legge oraria con cui si muove nella fase di accelerazione è ,s t t1 2 2=^ h ; nella fase di dece-lerazione ha percorso 9,6 m e quando torna ai blocchi di partenza sono passati in tutto 20,4 s.

a. Trova la legge oraria s t^ h che descrive tutte e tre le fasi.

b. Calcola le funzioni s tl^ h e s tm^ h e spiegane il significato fisico.

c. Disegna sullo stesso piano i tre grafici.

)

,

, , ,

, ,

s tt t

t t tt t

1 2 0 4

2 4 28 8 57 6 4 6

2 40 8 6 20 4

a

se

se

se

2

2 1

1

# #

#

#

= - + -

- +

^ hR

T

SSSS

V

X

WWWW

Z

[

\

]]

]

13

14

15

16

17

Jaco

b L

un

d/S

hu

tter

sto

ck

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ESERCIZIO SVOLTO Tuffi Aldo si tuffa da una piattaforma alta 5 m sopra la superficie del mare. I suoi tuffi possono essere descritti, nel riferimento Oxy in figura, dalla famiglia di parabole:

,y m x mx m101

5 R2

2 !=-+

+ + .

a. Ricaviamo in funzione di m la tangente dell’angolo a

0 21 1a r` j che le braccia di Aldo formano con la ver-

ticale nel punto di ingresso in acqua e dimostriamo che:

tan0 221 #a .

y (m)

x (m)O

5

α

C

b. Determiniamo il valore positivo di m per il quale °30a = e calcoliamo la distanza tra la base della piat-taforma e il punto di ingresso in acqua per questo valore di m.

a. Ricaviamo l’ascissa xC del punto in cui Aldo entra in acqua risolvendo la seguente equazione:

m x mx m x mx101

5 0 1 10 50 02

2 2 2" "-+

+ + = + - - =^ hx m

m m x mm m

15 75 50

15 3 2

C2

2

2

2

"!

=+

+=

++ +^ h

.⤻

xC è la soluzione positiva

Calcoliamo la derivata prima in xC che rappresenta il coefficiente angola-

re della tangente al grafico nel punto C. Poiché y x m x m51 2

=-+

+l^ h ,

la derivata nel punto di ascissa xC è:

y x mm

m m m

m m

51

15 3 2

3 2 3 2

C2

2

2

2 2

$=- +

++ +

+ =

+ + .m m- - + =-

l^ ^h h

x (m)

α

C

β

Il coefficiente angolare è uguale anche a tanb, essendo b l’angolo che la retta forma con la direzione

positiva dell’asse x. L’angolo a richiesto dal problema è uguale a 2br

- . Otteniamo:

tan tantan

cotm2

1

3 2

12

a br

bb= - - =

+=- =` j .

Da m

03 2

1

2

12

1 #+

segue che tan0 221 #a .

b. Calcoliamo il valore positivo di m per il quale °30a = risolvendo la seguente equazione:

tanm

m m33

3 2

1

3

13 2 3 3

32

2" " "a =+= + = = .

Determiniamo la distanza tra la base della piattaforma e il punto di ingresso in acqua, sostituendo

m 33

= nell’espressione di xC:

,x1 3

1

5 33

35 3 8 66 mC -=

+

+=

a k.

18

ally

y/Sh

utt

erst

ock

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REALTÀ E MODELLI Circuito RC In un circuito RC, la quantità di carica Q accumulata in un condensatore in funzione del tempo t è espressa dalla formula:

q t C eV 1 RCt

$ $D= --^ _h i,

dove C è la capacità del condensatore, VD la differenza di potenziale a cui è sottoposto il condensatore e R la resi-stenza del conduttore inserito nel circuito.

a. Scrivi la funzione che esprime l’intensità di corrente che scorre nel circuito ricordando che i t q t= l^ ^h h.

b. Scrivi la funzione che esprime l’intensità di corrente relativa a un circuito con capacità ,C 2 5 Fn= , resi-stenza R 200 X= e differenza di potenziale V 10 VD = .

c. Calcola l’intensità di corrente massima che può circolare nel circuito del punto precedente.

d. Stabilisci quando il circuito è percorso dal 70% della corrente massima.

) ; ) ; ) , ; ) ,i t R e i t e i tV201

0 05 1 78 10a b c A d smaxRCt t

5 10 44 $-D

= = =$- - --^ ^h h: D

REALTÀ E MODELLI Il fiume Un geologo sta stu-diando il territorio che circonda un tratto di un fiume. Tale tratto forma un’ansa che può essere rappresentata dalla curva OA del grafico di

sinf x x xr= +^ ^h h nell’intervallo ;0 26 @.a. Traccia la curva OA nel riferimento Oxy e

ricava l’equazione della retta OA.

b. Ricava l’area del parallelogramma PQRS in cui risulta inscritta la curva OA, cioè il paral-lelogramma che ha due lati tangenti alla cur-va e paralleli alla corda OA e due lati sulle rette di equazione x 0= e x 2= .

c. Perché è garantita l’esistenza di almeno una delle rette tangenti alla curva parallele alla corda OA?

) ; ) ;y x A 4a b c) teorema di LagrangePQRS= =6 @

REALTÀ E MODELLI Intensità di corrente Sia q t t t43 2=- +^ h la quantità di carica in funzione del tempo che attraversa la sezione di un conduttore. Il tempo è misurato in secondi e t0 2# # .

a. Determina l’intensità media di corrente im, ossia la variazione della quantità di carica in un generico inter-

vallo di tempo ;t t h+6 @ e nell’intervallo ;0 238 B.

b. Determina se esiste un istante t interno all’intervallo ;0 238 B nel quale l’intensità istantanea di corrente è

uguale a quella media.

c. Determina il massimo valore dell’intensità di corrente istantanea nell’intervallo ;0 26 @. ) ; ) , ; ) ,t ii 4

155 330 6a A b c Asm - -=8 B

Una sfera ha il raggio che aumenta al passare del tempo secondo una data funzione r t^ h. Calcolare il raggio della sfera nell’istante in cui la velocità di crescita della superficie sferica e la velocità di crescita del raggio sono numericamente uguali. u8

1r: D


19

R

CV

20

Vla

dim

ir M

eln

iko

v/Sh

utt

erst

ock

21

22

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ESERCIZIO SVOLTO Data la funzione ( ) logy x x2= , determiniamo l’equazione della retta tangente al suo grafico condotta dal punto di coordinate (0; 1). Disegniamo anche il grafico della funzione e la tangente.

Sia ( ; )logP 2a a , con 02a , un generico punto appartenente alla curva di equazione logy x2= .

y

xO 1–1 2 3 4 5 6

P

7 8 9 10

log2α

1

–1

2

3

4

y = log2x

α

Il coefficiente angolare della retta t tangente alla curva in P è dato dalla derivata prima della funzione cal-colata in x a= :

( ) ( )log logy x x e y e1 12 2"$ $a a= =l l .

L’equazione della generica retta tangente t è dunque:

( )log logy e x22$a a a- = - .

Per determinare l’equazione di t imponiamo il passaggio per il punto (0; 1):

( )log loglog log log loge e e e1 0 1 2 22

22 2 2 2" " "$a a a a a a- = - = + = = .

L’equazione della retta tangente t cercata è pertanto:

( )log log logy e ee x e y e

e x2 2 2 2 122 2

"$ $- = - = + .

Trovare l’equazione della retta perpendicolare al grafico di f x x x4 73 2= -^ h nel punto di ascissa 3. x y66 2973 0+ - =6 @ [Scuole italiane all’estero (Europa) 2015 - Sessione ordinaria - Quesito 10]

REALTÀ E MODELLI Esposizione di quadri Un quadro è appeso alla parete sopra al livello dell’osservatore come indi-cato in figura.

a. Esprimi in funzione di x l’angolo i sotteso da a b+ e l’angolo b sotteso da b.

Calcola poi:

b. limx b

i" 3+

;

c. limx 0 b

i" +

. ) ; )ba b

1b c+: D

23

24

25

b

β

a

x

θ

Bes

tPh

oto

Stu

dio

/Sh

utt

erst

ock

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Dimostra che la funzione

( ) lnf x x1 1= + +^ hè biunivoca. Determina poi la tangente al grafico della funzione inversa nel suo punto di ascissa ln 2. lny x4 4 2= -6 @

Funzioni

In un piano riferito a un sistema di assi ortogonali Oxy sono assegnate le rette :r y tx= e :s y x t2= + , con t parametro reale.

a. Determina le coordinate del punto P intersezione delle rette r e s in funzione di t, quindi ricava l’ordinata di P come funzione y f x= ^ h della sua ascissa.

b. Stabilito che la funzione richiesta al punto a è f x xx

2

2

= -^ h , studiala in modo esauriente, determinando

eventuali asintoti, punti di massimo/minimo relativi, flessi, e rappresentala graficamente.

c. Dimostra che dal punto C(2; 4) non può essere condotta nessuna retta che sia tangente al grafico di f (x).

;a) ; ,P tt

tt y x

x1

21

22

2 2

- - = -a k ; b) a.v.: x 2= , a.o.: y x 2= + , max: (0; 0), min: (4; 8), nessun flessoE

Date le funzioni ( )f x e x1= - , ( )g x x1 2=- - e i corrispondenti grafici { e c, determina le coordinate del punto di { che si trova alla minima distanza da c. ;ln1 2 2-^ h6 @È assegnata la famiglia di funzioni y x a ebx= -^ h , con a, b R! .

a. Determina i valori di a e b per i quali la funzione presenta un minimo relativo nel punto di ascissa x 2= e un flesso obliquo nel punto di ascissa x 1= .

b. Ricava l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di flesso. , ;a b y ex e3 1a b= = =- -h h6 @REALTÀ E MODELLI Mattoncini Una ditta produttrice di mattoncini per le costruzioni deve predisporre una

scatola a forma di parallelepipedo, con due facce parallele quadrate, che abbia una capienza di 64 000 cm3.Calcola qual è il quantitativo minimo di cartoncino da utilizzare per realizzare la scatola, supponendo che a causa dei lembi di cartoncino da incollare per chiuderla occorra circa il 5% in più di cartoncino. [10 080 cm2]

REALTÀ E MODELLI Torte e profitti Un laboratorio di pasticce-ria produce torte decorate da un noto cake-designer. Ogni mese ne vende 50 a un negozio a € 35 l’una e le altre le vende a € 50 direttamente al pubblico.Il laboratorio paga un affitto mensile di € 800, sostiene una spesa fissa media di € 500 per consumi e manutenzione attrezzature e una spesa variabile direttamente proporzionale al quadrato del numero delle torte prodotte, con costante di proporzionalità pari a € 0,125. Al laboratorio una torta costa in media € 15.

a. Esprimi il profitto annuo in funzione del numero di torte realizzate, ipotizzando che mediamente (tenendo conto anche dei periodi di chiusura) ogni mese vengano preparate almeno 100 torte.

b. Calcola la derivata della funzione profitto e determina quando si annulla.

c. Rappresenta graficamente la funzione profitto in un opportuno sistema di riferimento e interpreta il significato del numero di torte per cui la derivata si annulla.

[ ( ) , ,p x x x1 5 420 24 600a) 2=- + - con x torte prodotte al mese dove x 100$ ; ( )p x 0b) =l per x 140= ; c) profitto massimo per x 140= ]

26

27

28

29

30

31

To

rriP

ho

to/S

hu

tter

sto

ck

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REALTÀ E MODELLI Fra Bologna e Praga Una compagnia aerea pianifica una nuova tratta fra Bologna e Pra-ga, di 664 km. Il consumo di Jet-A1 (il combustibile utilizzato) è di circa 1,2 L/km e il suo costo è di circa € 2 al litro. La spesa oraria complessiva per il personale di bordo è di circa € 1000. Va inoltre previsto un costo variabile proporzionale al cubo della velocità media, con costante di proporzionalità pari a 0,001.

a. Individua la funzione che esprime il costo totale della tratta aerea, dovuto a tutti i fattori indicati, in funzione della velocità media v di volo e determina il punto stazionario di tale funzione.

b. Che significato ha il punto stazionario trova-to al punto precedente, sapendo che la velo-cità media del volo è di 500 km/h?

;a) ( ) , ; ( )c v vv c v1593 6

664 0001000 0

3

0= + + =l per ;v 122 km/h0 -

b) v0 è punto di minimo per c(v), ma non ha attinenza con la velocità «reale» dell’aereoE

Considera la curva di equazione y xx

2 2

3

=+^ h e rappresentala graficamente individuando, in particolare, i

suoi asintoti e i suoi punti di flesso. Determina poi l’equazione della retta t tangente alla curva nel suo punto di flesso. [asintoti ,x y x2 4=- = - ; flesso (0; 0); tangente y 0= ]

Sono date le seguenti informazioni riguardanti la funzione f (x):

( )lim f xx 3=+" 3-

, ( )f 2 5- =- , ( )f 1 2= , ( )lim f x 1x

=-" 3+

;

è derivabile su tutto R e

( )f x 01l per ] ; [ ] ; [x 2 1,3 3! - - + , ( )f x 02l per ] ; [, ( ) ( )x f f2 1 2 1 0! - - = =l l ;

la derivata seconda è continua su tutto R .

Determina il numero delle soluzioni dell’equazione ( )f x 2=- . [2]

ESERCIZIO SVOLTO Filoncini sul mercato In microeconomia la funzione domanda di mercato fornisce la quantità D di un dato bene che i consumatori sono disposti ad acquistare quando il costo unitario del bene è x. È data la seguente funzione relativa a un prodotto:

D x x ca b= + +^ h , con a, b, c parametri reali positivi.

a. Disegniamo il grafico qualitativo e dai un’interpretazione delle costanti.

b. Spieghiamo se si tratta di un bene essenziale o voluttuario.

c. In una città c’è un solo fornaio che vende filoncini di pane per celiaci. La funzione domanda che esprime il numero di filoncini che vende ogni giorno è la seguente:

D x x 2400

10= + +^ h .

Attualmente il prezzo a filoncino è di € 2 e per ragioni pratiche ogni aumento deve essere un multiplo n di 10 centesimi. Studiamo la funzione V(n) che esprime la variazione della domanda in funzione di n rispetto alla domanda iniziale D(2).

a. La funzione D(x) è una funzione omografica e rappresenta un’iperbole equilatera con asintoto verticale di equazione x c=- e asintoto orizzontale di equazione y b= . Verifichiamo che la funzione D(x) è una funzione omografica scrivendola nel seguente modo:

( )D x x cbx bc a

= ++ +

.

32

Bologna Praga

33

34

35

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Osserviamo che c- non è zero del nume-ratore, infatti bc bc a a- + + = , dove a è parametro reale positivo.La parte di grafico che costituisce il model-lo della situazione è quella del primo qua-drante (deve essere x 0$ ).

Dal grafico osserviamo che al crescere del prezzo diminuisce la domanda, che rima-ne però sempre superiore a b.

Il valore b rappresenta la quantità minima che sarà comunque venduta, indipenden-temente dal prezzo.

La quantità ca b+ che si ottiene per x 0=

corrisponde al valore massimo della fun-zione D(x), e cioè è la quantità massima che il mercato è in grado di assorbire.

b. Si tratta di un bene essenziale: infatti anche a prezzi alti la domanda non si riduce a 0. b corrisponde alla quantità minima necessaria che viene comunque venduta perché indispensabile alla sopravvivenza (per esempio: acqua, cibo, medicine, energia).

c. Determiniamo la funzione V(n):

V n D n D n nn

2 10 24 10

40010 110 40

100= + - =

++ - =- +^ ` ^ eh j h o , con n N! .

La funzione V(n) rappresenta un arco di iperbole passan-te per l’origine, contenuto nel quarto quadrante e con asintoto orizzontale y 100=- .

Il grafico di V(n) mostra quanti filoncini in meno vende il fornaio se decide di aumentare il prezzo di ciascun filoncino di 10x centesimi.

Per esempio, un aumento di € 2, che corrisponde a n 20= , comporterà un calo di vendite pari a circa 33 filoncini. Il valore y 100=- rappresenta il massimo calo di vendite.

y

nO

V(n)

y = –100

–10

–30–40–50–60–70–80–90

–20

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

REALTÀ E MODELLI In equilibrio Quando un bene è disponibile in abbondanza, il parametro che equilibra la domanda e l’offerta del bene stesso è il suo prezzo di vendita. Se x è il prezzo in euro a unità di un bene,

d x e x1= -^ h la legge della domanda e g x x21

=^ h la legge dell’offerta, allora:

a. determina il prezzo di equilibrio del bene con due cifre decimali esatte, ossia il prezzo per il quale doman-da e offerta assumono lo stesso valore;

b. traccia il grafico qualitativo della funzione h x d x g x= -^ ^ ^h h h , distanza tra domanda e offerta;

c. stabilisci per quale prezzo , ;x 0 50 3! 6 @ si ottiene la massima distanza tra domanda e offerta. Che tipo di singolarità rappresenta per h(x) il prezzo di equilibrio del punto a?

[a) € 1,375; c) € 0,50, punto angoloso]

y

xO

A(0; + b)ac—

D(x) = + bax + c—

y = b

x = –c

36

Mettiti alla prova


REALTÀ E MODELLI Conigli in pericolo Un batterio particolar-mente diffuso negli allevamenti di conigli ne causa la cecità. La rapidità di diffusione della popolazione batterica è descritta dalla legge:

lnB t N t t2 12= - + +^ ^h h,dove N è il numero iniziale di conigli presenti nell’allevamento, B t^ h è il tasso di variazione della popolazione batterica e il tem-po t è espresso in giorni.

a. Dopo quanti giorni si ha il massimo della diffusione della popolazione batterica?

b. Dopo quanti giorni la diffusione della popolazione batterica si arresta? [a) 1 giorno; b) 2 giorni]

REALTÀ E MODELLI Timpano umano L’intensità di un suono percepito da una persona, misurato in decibel, si ottiene dalla

formula log PP

200

a k, dove P è la pressione sonora dell’onda acu-

stica e P0 è la minima pressione rilevabile dal nostro orecchio. Una sirena emette un segnale sonoro variabile nel tempo secon-do la legge P t P Ate1 t

0= + -^ ^h h, dove A è una costante positiva e t è misurato in secondi.

a. Per quanto tempo l’intensità aumenta?

b. Se un suono ha un’intensità superiore ai 130 dB si avverte dolore. Qual è il massimo valore di A affinché la sirena non provochi dolore?

c. Quanto vale l’intensità della sirena quando il tempo tende all’infinito? ; , ;A1 8 6 10 0a) s b) c) dB6$-6 @

ESERCIZIO SVOLTO Aria Dobbiamo realizzare una condotta di aerazione di sezione circolare con raggio r 1 m= . La sezio-ne è parzialmente occupata da un disco concentrico alla sezio-ne stessa e da due segmenti circolari simmetrici, come in figura.

a. Detto 2a l’angolo al centro sotteso da ciascuno dei due seg-menti circolari, esprimiamo in funzione di a l’area utile S a^ h, corrispondente alla parte ombreggiata in figura.

b. Ricaviamo la misura in gradi, approssimata al primo deci-male, dell’angolo a per il quale l’area utile S a^ h risulta mas-sima e determiniamo la misura in metri quadrati, approssi-mata al secondo decimale, di tale area massima.

α

a. La superficie utile della condotta è costituita dalla differenza tra l’area del cerchio di raggio r 1 m= , che vale r , e la somma della superficie del cerchio centrale, di raggio cosa , e del doppio della superficie di un segmento circolare che sottende un angolo 2a :

cos sin cos sin sinS 2 2 22 2a r r a a a a r a a a= - - - = - +^ ^h h .

37

dje

m/S

hu

tter

sto

ck

38

Lu

is M

oli

ner

o/S

hu

tter

sto

ck

39

Mettiti alla prova


b. Deriviamo la funzione S a^ h rispetto ad a , dove 0 21 1a r, quindi ricerchiamo gli zeri della funzione

derivata:

sin cosS 2 2 2 2a r a a= - +l̂ h .

Posto cosX 2a= e sinY 2a= , otteniamo:

SY X

X Y X X02 2 0

11

44

2 2 2

2

" " 0ar

rr

=- + =

== =

+-

+l̂ h ( ;

cosX 1 2 1 0" "a a= = = non accettabile;

, °cos arccosX44

244

21

44

1 57 5rad2

2

2

2

2

2

" " - -rr

arr

arr

=+-

=+-

=+-

.

Il valore trovato corrisponde al punto di massimo cercato, come possiamo verificare osservando l’anda-mento del segno di S al̂ h in un intorno del valore stesso. In alternativa, possiamo anche considerare che

S a^ h si annulla per 0a = e per 2ar

= ed è positiva altrove, quindi in 1 rad-a , unico punto estreman-

te interno all’intervallo di definizione, deve assumere il massimo relativo.

Il massimo corrispondente è:

,sin sinS S 1 1 2 1 2 1 13 mmax2 2$ -r= = - +^ ^ ^h h h .

LEGGI IL GRAFICO Lo scivolo La figura a fianco rap-presenta il profilo verticale di uno scivolo lungo il quale sale una macchinina telecomandata dalla posi-zione iniziale A. Si hanno le seguenti informazioni:

la macchinina è inizialmente ferma; Daniele aziona il telecomando e la fa partire;

Daniele abbandona improvvisamente il gioco e la macchinina si fer-ma prima di oltrepassare la sommità dello scivolo;

la macchinina inizia a indietreggiare ma non riesce a recuperare, scendendo, la sua posizione iniziale.

Nel diagramma sottostante sono rappresentate insieme la distanza s(t) dall’origine, la velocità istantanea v(t) e l’accelerazione istantanea a(t) della macchinina in funzione del tempo t.

s(t) (m)v(t) (m/s)a(t) (m/s2)

t (s)O

–0,25

C1

C2

C3

2

4

2 4

40

A

imag

edb

.co

m/S

hu

tter

sto

ck

Mettiti alla prova


a. Associa ciascuna funzione a una delle curve rappresentate, motivando la tua risposta.

b. In base ai dati riportati sul diagramma, quali sono la massima distanza dall’origine e la massima velocità istantanea raggiunte dalla macchinina? In quali istanti vengono raggiunti tali massimi?

c. Per quali valori dei parametri a, b, c la funzione

s t t bt cat

2

2

=+ +

^ h , con t 0$ ,

può plausibilmente adattarsi ai grafici rappresentati? Quale risulta la posizione finale della macchinina nel limite t " 3+ ?

, , ; , ; , , ;s t C v t C a t C s v a b c4 4 2 2 2 4 8 2a) b) m m/s c)M M3 2 1- - - = = = =- =^ ^ ^ ^ ^h h h h h6 @

ESERCIZIO SVOLTO Borse termiche La dispersione di calore di una borsa frigo termica dipende da vari fattori, uno dei quali è la sua superficie totale. Supponendo di voler produrre borse termiche della capacità di 27 litri a forma di parallelepipedo di dimensioni a, 2a e b, determiniamone le dimensioni in millimetri in modo da minimizzarne la superficie.

Il volume di un parallelepipedo di dimensioni a, 2a e b è:

V a b2 2= .

Se esprimiamo le misure di a e b in decimetri e il volume, indifferentemente, in litri o in dm3 (nelle misure di capacità, 1 L = 1 dm3), otteniamo:

a b b a2 272272

2"= = .

La superficie totale del parallelepipedo, e quindi della borsa, è:

( ; )S a b a ab ab a ab2 2 2 2 2 4 62 2$ $ $= + + = + .

Sostituendo b, otteniamo:

( )S a a a4812= + .

Dobbiamo trovare il valore di a che minimizza la superficie S(a). Calcoliamo dunque la derivata prima e studiamo il suo segno:

( )S a a a881

2= -l , con a 2 0.

( )S a a a aa a a0 8

810

8 810 8 81 0 2

332 2

33 3

" " " "2 2 2 2 2--

-l .

– +0

332–

S'

Smin

a

La superficie minima si ottiene quando a 23

33

= (misura espressa in decimetri). Per questo valore di a le misure della borsa termica sono:

a a23

3 216dm mm3

" -= ;

a a2 3 3 2 433dm mm3

" -= ;

b a b227

227

9 9

4

9

6288dm mm2 3 3 "$ -= = = .

41

b

a2a

Mettiti alla prova


Considerata la parabola di equazione y x4 2= - , nel primo quadrante ciascuna tangente alla parabola deli-mita con gli assi coordinati un triangolo. Determinare il punto di tangenza in modo che l’area di tale triangolo sia minima. ;3

2 338a k; E

[Corso di ordinamento 2015 - Sessione straordinaria - Questito 5]

Scrivere l’equazione della circonferenza C che ha il centro sull’asse y ed è tangente al grafico Gf di f x x x33 2= -^ h nel suo punto di flesso. x y y3 3 14 13 02 2+ + + =6 @


Sia P x x bx c2= + +^ h . Si suppone che P P P P1 02= =^^ ^^hh hh e che P P1 2!^ ^h h. Calcolare P 0^ h. P 2

30 =-^ h8 B

[Scuole italiane all’estero (Europa) 2015 - Sessione ordinaria - Quesito 4]

Una particella si muove lungo una certa curva secondo le seguenti leggi:

cosx t t3 2 $= -^ ^h h, siny t t2 3 $= +^ ^h h.Disegnare la traiettoria percorsa dalla particella per t che va da 0 a 2r secondi e determinare la velocità di

variazione di i, l’angolo formato dalla tangente alla traiettoria con l’asse x, per t 32r= secondi.

, s1 14rad

--: D [Scuole italiane all’estero (Europa) 2015 - Sessione ordinaria - Quesito 7]

Risolvere il seguente problema posto nel 1547 da Ludovico Ferrari a Niccolò Tartaglia:«Si divida il numero 8 in 2 numeri reali non negativi in modo che sia massimo il prodotto di uno per l’altro e per la loro differenza». ,3

12 4 33

12 4 3- +: D [Scuole italiane all’estero (Europa) 2015 - Sessione ordinaria - Quesito 9]

Data la funzione ( ) lny ax b x= + , con a e b parametri reali diversi da zero, trova i coefficienti a e b in modo tale che il grafico della funzione abbia un flesso nel punto F(e; 1) e determina poi l’equazione della tangente inflessionale. ; ;a e b y e x2

121

23

21

= = = -: D

In un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy è data la parabola di equazione y x x2 42= - . Considerato il vertice V, siano A e B due punti della parabola tali che il triangolo AVB risulti rettangolo in V.Trova il valore minimo dell’area del triangolo AVB. A u4

1 2=8 B

Studia la funzione y x x12

244 2

=-

, evidenziando in particolare le sue intersezioni con gli assi, i suoi punti di minimo e i suoi flessi.Calcola poi il rapporto tra la superficie del trapezio, avente per vertici le intersezioni, diverse dall’origine, della curva con l’asse delle ascisse e i punti di minimo della funzione, e la superficie del triangolo formato dalle tangenti alla curva nei suoi punti di flesso e la congiungente i punti di flesso.

;intersezioni con gli assi ;2 6 0!^ h, (0; 0); punti di minimo ;2 3 12! -^ h; punto di massimo (0; 0);

punti di flesso ;2 320

! -a k; rapporto 89

3 2 1= +^ hE

42

43

44

45

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È data una funzione f x^ h derivabile x R6 ! . Nella tabella sono riassunte le informazioni di cui si dispone: il segno di f l, la crescenza/decrescenza di f, alcuni valori particolari. Si sa inoltre che la derivata seconda è continua x R6 ! e che ( )lim f x

x!3=

"!3.

0–2 2

f'(x)

f(x)

x

++ – –0 0

(–2; π) (0; 2) (2; 3)Rispondi ai seguenti quesiti dando adeguata motivazione.

a. L’equazione della tangente al grafico nel punto di ascissa x 0= , potrebbe essere:

y 2= ,

y x21

2=- + ,

y x2 1= + ,

x 0= .

b. Puoi affermare che la funzione:

ha certamente almeno due punti di flesso;

ha certamente un punto di flesso;

non presenta punti di flesso;

x 2=- e x 2= sono punti di flesso con tangente orizzontale.

) ;y x21

2a b) ha certamente un punto di flesso=- +8 B

50

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