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Metodo delle Forze nelle strutture a nodi spostabili

L’inserimento delle cerniere nelle strutture a nodi spostabilirende queste labili ma quest’operazione si rendenecessaria se vogliamo utilizzare i coefficienti noti delletravi appoggiate.

La struttura viene resa isostatica imponendo vincoli ausiliaricome ad esempio delle bielle fittizie ed ammettendo lapresenza di uno spostamento h incognito.

Se gli spostamenti h fossero reali le reazioni delle biellesarebbero nulle, da questa condizione (reazioni nulle) siricava l’entità dello spostamento.

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Il metodo ha lo svantaggio di aggiungere incognite ma ha ilvantaggio di poter utilizzare i noti coefficienti delle traviappoggiate.

Ricavare la rotazione f2 e lo spostamento h2 incogniti

Metodo biella fittizia

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Evidenziamo in 1 il momento X = M inserendo in 1 una cerniera. Con ciò la trave diverrebbe ipostatica e non potrebbe in genere sostenere carichi esterni.

Ristabiliamo l'isostaticità aggiungendo in 2 una biella fittizia imponendo però che la reazione R2, funzione di M e di P, sia uguale a zero, cioè imponendo che:

(come ottenibile direttamente usando la struttura a mensola)

Poiché in 2 nella realtà avviene uno spostamento h2, questo deve essere tale da produrre in 1 la rotazione finale nulla, cioè f1 (M,P,h2)= 0, in modo da soddisfare la condizione d'incastro perfetto al piede:

Da quanto ottenuto con i corollari di Mohr sappiamo che:

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Il problema è stato risolto ricorrendo a 2 incognite (M e h2) e a 2equazioni, di cui, l'una di equilibrio e l'altra di congruenza. Da qui ladenominazione di metodo misto .In generale la struttura ipostatica, derivante dall'inserzione dellecerniere in tutti i nodi, viene resa isostatica imponendo vincoliausiliari di ritegno (le bielle) ed ammettendo via via la presenza diuno spostamento incognito come moto rigido in corrispondenza diciascuna biella. Se gli spostamenti imposti fossero quelli reali, iritegni avrebbero esaurito la loro funzione e le relative reazionicomplessive sarebbero nulle: da questa condizione si ricavano leentità degli spostamenti.

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Risolvere il telaio iperstatico.ESERCIZIO N°11

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7si considerano positive le forze che tendono le biellette medesime

Mediante le condizioni di congruenza,calcoliamo i momenti iperstatici Mi0 e leforze Hi0 nelle bielle. Queste forze sonole reazioni orizzontali che si scaricanosulle biellette per effetto di q ed Mi0.

1°FASE

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Se H = L risulta:

cioè M20 ha senso inverso a quello ipotizzato.

Dall’equilibrio alla rotazione si ricava la forza nella biella:

cioè di compressione.

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2°FASEAffinché la struttura principale, sotto i carichi e leiperstatiche, venga a coincidere con quella reale,bisogna ammettere di saper imporre ai vincoliaggiuntivi (cioè alle biellette) gli stessi spostamentiorizzontali hi che avvengono nella struttura reale.

Gli spostamenti hi, a priori incogniti, sono definiti tali darendere nulle le reazioni dei vincoli aggiuntivi, questosignifica imporre un numero di equazioni di equilibrioalla traslazione orizzontale delle aste pari al numerodegli spostamenti impediti. In tal modo, sovrapponendogli effetti della 1a e della 2a fase, si ottiene una strutturastaticamente coincidente con quella di partenza.

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Indicato con d3 lo spostamento unitario e detti M1h Ie M2h gliincrementi di momento dovuti a tale spostamento, le equazioni dicongruenza per H=L sono:

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trazione.

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Imponendo ora la condizione di rendere nulla l'azione sulla bielletta(il che equivale ad imporre la condizione di equilibrio alla traslazione dell'asta 2-3) si ha:

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I momenti finali si ottengono per sovrapposizione:

Diagramma dei momenti Deformata qualitativa

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Procedimento sinteticoPer risolvere l'esercizio precedente si poteva più sinteticamente operare in un'unica fase: tenendo subito conto dello spostamento orizzontale d3a priori incognito che la struttura subisce per effetto dei carichi.

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Impostiamo un sistema di tre equazioni in cui le prime due dicongruenza esprimono rispettivamente l'annullamento dellerotazioni elastiche e rigide delle estremità delle aste in 1 e 2, e laterza di equilibrio, esprimente l'annullamento di tutte le forzeorizzontali che vengono a sollecitare l'asta 2-3 (ossia la biellafittizia).

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Poiché nella terza equazione risulta M1=M2, sostituendo tali valori nella prima equazione si ricava per L=H:

e quindi andando nuovamente a sostituire i valori precedentemente ottenuti nella seconda equazione, si ha:

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2°modo - Struttura principale "isostatica".Allo stesso risultato si poteva giungere rendendo la struttura isostaticamediante l'introduzione di una cerniera in corrispondenza del nodo 2 edevidenziando il corrispondente momento iperstatico M2: osservandoallora che il pilastro 1-2 si comporta staticamente come una mensola,essendo l'estremità 1 incastrata e l'estremità 2 libera di spostarsiorizzontalmente, basta scrivere l'equazione di congruenza esprimente lacondizione che sia nulla la rotazione relativa in 2.

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Scrivendo l'equazione di congruenza al nodo 2 si ottiene"

Per L=H risulta:

Lo spostamento orizzontale del nodo 2 e quindi dell'asta 2-3 vale pertanto:

La convenienza di applicazione dei tre procedimenti:- per fasi (con struttura ipostatica)- sintetico (con struttura ipostatica)- con struttura isostatica

è connessa alla maggiore o minore complessità del telaio.Parrebbe di poter concludere che si ha convenienza a considerare ipilastri come travi a mensola adottando la soluzione sintetica. Ciò perònon è più vero per i telai a più piani e soggetti a carichi orizzontali, lungol'altezza dei pilastri.