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METODO DEGLI ELEMENTI FINITI Corso 2012/2013 Antonio Pantano - Dipartimento di Meccanica, Università di Palermo 3.4 CENNI SULLA FORMULAZIONE VARIAZIONALE DEL METODO DEGLI SPOSTAMENTI In un corpo elastico caricato da un sistema di forze, l'energia potenziale totale П uguaglia la somma della energia di deformazione U e del potenziale delle forze esterne W; si ha cioè per un elemento: П = U + W con: e, nel caso di carichi concentrati: L'equazione matriciale di equilibrio dell'elemento può essere ottenuta anche dal principio della minima energia potenziale totale, in base al quale, fra tutti i sistemi di spostamenti ammissibili, quello che soddisfa le condizioni di equilibrio fà assumere alla energia potenziale totale un valore stazionario, in particolare minimo. T T T T V V 1 1 1 U dV q ( B E B dV) q q k q 2 2 2 T W q Q
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3.4 CENNI SULLA FORMULAZIONE VARIAZIONALE DEL METODO
DEGLI SPOSTAMENTI
In un corpo elastico caricato da un sistema di forze, l'energia potenziale totale П
uguaglia la somma della energia di deformazione U e del potenziale delle forze
esterne W; si ha cioè per un elemento:
П = U + W
con:
e, nel caso di carichi concentrati:
L'equazione matriciale di equilibrio dell'elemento può essere ottenuta anche dal
principio della minima energia potenziale totale, in base al quale, fra tutti i
sistemi di spostamenti ammissibili, quello che soddisfa le condizioni di
equilibrio fà assumere alla energia potenziale totale un valore stazionario, in
particolare minimo.
T T TT
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1 1 1U dV q ( B E B dV) q q k q
2 2 2
T
W q Q
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Pertanto per gli n spostamenti nodali dell'elemento dovrà risultare:
che fornisce, tenendo presente l'espressione di П:
[k]{q}={Q}
Si osservi che, essendo l’energia di deformazione una quantità non negativa,
l’espressione trovata di U giustifica la denominazione di [k] semidefinita
positiva.
Una matrice [A] si definisce semidefinita positiva se:
T
x A x 0 x 0
i
0 i 1,2,....,nq
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3.5 STIMA DEL VALORE DEGLI SPOSTAMENTI
Per il principio di conservazione dell'energia, l'energia di deformazione deve
essere uguale al lavoro eseguito dai carichi esterni che crescono uniformemente a
partire da 0. Questo lavoro è pari a -0.5W dove W è il potenziale delle forze
esterne.
Allora, qualunque sia il campo di spostamenti, esatto o approssimato, si ha:
П = U + W = U - 2U = -U
Poiché è U > 0, sarà П < 0, e quindi, essendo il valore esatto dell'energia
potenziale totale, Пes , pari al valor minimo, sarà:
Пapp > Пes → Uapp < Ues
Pertanto la soluzione approssimata sottostima il valore di U.
1U W
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Per un’asta soggetta ad una forza concentrata si ha, in particolare:
e quindi risulta dapp < des , cioè lo spostamento approssimato risulterà
sottostimato.
Tale risultato è del tutto generale, per cui si può affermare che con l'approccio
agli spostamenti, il MEF conduce in generale a strutture più rigide della struttura
reale.
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3.6 CONDIZIONI DI CONVERGENZA
Affinché la soluzione, approssimata, converga al valore esatto del problema
all'aumentare del numero degli elementi col quale si modella una struttura, la
funzione degli spostamenti che si assume deve soddisfare alcune condizioni, da
considerarsi sufficienti . In particolare, per quanto detto al punto precedente,
all'infittire della discretizzazione in EF lo spostamento approssimato dovrebbe
tendere al valore esatto “dal basso”.
Le condizioni per la convergenza sono:
1) la funzione degli spostamenti:
1a) deve essere continua all'interno degli elementi; tale condizione è senz'altro
verificata se la funzione degli spostamenti è di tipo polinomiale;
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1b) deve essere tale che i valori degli spostamenti tra due elementi adiacenti
siano compatibili, cioè uguali, cioè tra gli elementi non devono esistere nè
distacchi, nè compenetrazioni; tale condizione è verificata se gli spostamenti
lungo un lato dell'elemento dipendono solo dagli spostamenti dei nodi di quel
lato; in fig. 3.8 sono rappresentati i possibili spostamenti in corrispondenza di tre
elementi triangolari (a), (b) e (c) a tre nodi; l'elemento (a) ha in comune con gli
altri due il lato 1-2 ed il lato 2-3 rispettivamente; si osserva che, potendo variare
la funzione di spostamento con continuità all'interno di ogni elemento ed in
funzione degli spostamenti ai nodi, appartenendo il nodo 2 solo agli elementi (b)
e (c), gli spostamenti saranno rappresentati da una superficie discontinua lungo
l'interfaccia 1-2-3, dove pertanto saranno incompatibili; la compatibilità sarebbe
assicurata se gli elementi fossero collegati in modo da far coincidere esattamente
i loro lati.
Figura 3.8
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1c) deve essere tale che le deformazioni alla interfaccia tra due elementi siano
finite, anche se danno luogo ad un valore indeterminato; se ciò si verifica la
differenza tra le deformazioni alle interfacce è finita e si riduce all'aumentare del
grado di infittimento. Per il significato di tale condizione si osservi la fig. 3.9,
che mostra due elementi a contatto, temporaneamente distanziati di una quantità
Δx.
Figura 3.9
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Si consideri adesso una funzione di spostamento che abbia un andamento del
tipo di fig. 3.9a, mentre le sue derivate prima e seconda abbiano gli andamenti
riportati nelle figg. 3.9b e 3.9c; se Δx tende a zero la derivata seconda
all'interfaccia degli elementi tende ad infinito, e quindi tende ad infinito la
discontinuità della derivata seconda; se allora per il problema che si sta
analizzando la deformazione è legata agli spostamenti per mezzo della derivata
prima (problema piano di tensione o di deformazione) la funzione degli
spostamenti scelta verifica la presente condizione; la condizione non è invece
rispettata per problemi per i quali le deformazioni sono legate agli spostamenti
tramite le derivate seconde (problemi delle travi o delle piastre).
Per il rispetto delle condizioni 1b ed 1c, pertanto, può dirsi che la funzione degli
spostamenti all'interfaccia tra gli elementi deve essere continua insieme alle sue
derivate fino all'ordine (n-1), se n è l'ordine max delle derivate che compare nelle
relazioni deformazioni-spostamenti.
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2) la funzione degli spostamenti deve poter rappresentare:
2a) spostamenti rigidi dell'elemento;
2b) stati di deformazione costante nell'elemento;
Entrambe tali condizioni si giustificano considerando che, al diminuire delle
dimensioni geometriche dell'elemento, e cioè allorché nell'elemento gli
spostamenti e le deformazioni tendono a valori costanti, è necessario che la
funzione degli spostamenti e la funzione conseguente che esprime le
deformazioni siano in grado di rappresentare tali stati. In particolare per il
rispetto della condizione 2a) è sufficiente che la funzione di spostamento sia un
polinomio contenente il termine noto e per il rispetto della condizione 2b) la
funzione di spostamento deve essere un polinomio di grado almeno pari
all'ordine più alto delle derivate presenti nelle relazioni deformazioni-
spostamenti (I grado per problemi piani, II grado per le travi).
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Condiz. 2a) :
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o Condiz. 2b) :
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Se è verificata la prima serie di condizioni 1a), 1b) ed 1c) la funzione degli
spostamenti (e quindi l'elemento, come si vedrà) si dice Compatibile.
Se è verificata la seconda serie 2a) e 2b) la formulazione si dice Completa.
In particolare la convergenza è monotona se i reticoli successivi contengono tutti
i nodi dei reticoli precedenti. Nella seguente figura lo schema 3 contiene il
reticolo dello schema 1, e lo schema 4 contiene il reticolo dello schema 2.
Mentre lo schema 2 non contiene il reticolo dello schema 1. Quindi passando dal
reticolo dello schema 1 allo schema 3 e dello schema 2 allo schema 4, la
convergenza monotona è assicurata. Mentre nel passaggio dello schema 1 allo
schema 2 non è assicurata.
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In generale il rispetto delle condizioni di completezza assicura la convergenza
della soluzione al crescere del numero di elementi; elementi completi ma non
compatibili hanno lo svantaggio che non è possibile prevedere la direzione di
convergenza (fig 3.7).
Figura 3.7
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