Metodo de Montecarlo (Geotecnia).pdf

5/19/2018 Metodo de Montecarlo (Geotecnia).pdf

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XVII Seminario Venezolano de Geotecnia.

Del Estado del Arte a la Prctica

VIII CONFERENCIA GUSTAVO PEREZ GUERRA

SIMULACION DE MONTE CARLO Y SU APLICACION A LAINGENIERIA GEOTECNICA

Prof. Ing. Roberto Rafael Centeno Werner(1)

Centeno Rodriguez & asociados. Ingenieros ConsultoresCaracas VenezuelaEmail: [email protected]

RESUMEN

La VIII Conferencia Gustavo Prez Guerra ha sido dedicada a la presentacin delMtodo de Simulacin de Monte Carlo en la solucin de problemas relacionados conel ejercicio de la ingeniera geotcnica. Cada vez es ms frecuente el empleo de

modelos matemticos en los que las variables que representan las propiedades de lossuelos son de tipo probabilstico; por cuanto las mismas presentan variabilidadinherente al proceso geolgico y en muchos casos, incertidumbre debida a errores,omisiones en las tcnicas de caracterizacin de dichas propiedades y a limitaciones enel volumen de informacin empleada. La herramienta Cristal BallProfesional 2000resulta de gran utilidad para el estudio e interpretacin de los resultados que producenestos modelos y para profundizar en aspectos que no pueden ser considerados enmodelos de tipo determinstico.

1 Profesor del Curso de Postgrado en Mecnica de Suelos Avanzada en la Escuela de Ingeniera Civil,Departamento de Ingeniera Vial de la Universidad Central de Venezuela. Ingeniero Director de Centeno Rodriguez& Asociados, Ingenieros Consultores. Caracas-Venezuela. Noviembre de 2.002


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1. INTRODUCCION

Hace aproximadamente un ao, cuando la Junta Directiva de la Sociedad Venezolana deGeotecnia me confiri el alto honor de elegirmepara dictar la conferencia que lleva el nombredel ilustre maestro Gustavo Luis Prez Guerra, medit detenidamente sobre el tema que escogerapara esta importante ocasin y solicit la opinin de varios de mis colegas y de algunosprofesores de diferentes universidades venezolanas. La mayora de ellos me aconsej quedisertara sobre la materia que ms he trajinado durante los ltimos veinte aos: La aplicacin dela estadstica matemtica y de la teora de las probabilidades al campo de la ingeniera civil.

Al analizar la sugerencia de mis distinguidos colegas y sopesar el conocimiento que llegu a tenerdel carcter y recia personalidad del maestro Prez Guerra, conclu en que la mejor contribucin

que mi modesta persona podra dar a este evento especial, dedicado a su ilustre memoria, no eraotra que poner al alcance de estudiantes y profesionales una herramienta de trabajo que lespermitiera entender, en forma sencilla y a la vez precisa, la importancia y utilidad de los procesosde simulacin probabilstica, especialmente aquellos en los cuales se manejaran parmetros quepresentan al mismo tiempo variabilidad e incertidumbre.

El maestro Prez Guerra, adems de haber sido un brillante y honesto ingeniero, combin lasabidura con la modestia y la paciencia y dedic buena parte de su vida a la docencia, labor en lacual tuvo notable xito, como lo demuestra el hecho de haber podido impartir enseanza a varioscientos de ingenieros, quienes hoy ejercen la profesin siguiendo las normas ticas y morales quel les inculc.

Gustavo fue en vida un ser especial, dotado de una fe inquebrantable y de una humildad quemantuvo hasta el da de su sentida desaparicin fsica, por ello estoy seguro de que transit elcamino hacia la santificacin y dio de s todo lo que estuvo a su alcance para elevar la calidadhumana de quienes fuimos sus discpulos.

La responsabilidad que implica dedicar una exposicin tcnica a su memoria, no slo exige unapreparacin muy detallada de la misma, sino aferrarse a un poder de sntesis que permitapresentar el tema en forma clara y accesible, con la finalidad de lograr el efecto que el ProfesorGustavo siempre tuvo en mente: ENSEANZA DE CALIDAD en forma entendible para todos.

En varias ocasiones tuve la necesidad de solicitar su consejo sobre temas relacionados con eldiseo de fundaciones profundas y en otras, sobre la construccin de ncleos impermeables depresas de tierra. Era la poca en la que me toc desempearme como ingeniero residente de laconstruccin de la Represa de Camatagua. Siempre obtuve una cordial atencin y una respuestamuy satisfactoria, y la acertada recomendacin hacia la lectura de la bibliografa ms reciente que


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para esa poca l conservaba en su biblioteca, la cual me permita consultar con toda libertad,ponindome siempre a disposicin con suma cortesa un escritorio en su oficina de Chacao.

Lo que nunca podr olvidar es la seriedad de sus consejos y su recomendacin de que no perdieratiempo en detalles, ni en la utilizacin de modelos de respuesta que no pudieran ser validados. Noobstante, siempre me recomend observar las respuestas de campo para ver si se llegaban aparecer a las respuestas de los modelos matemticos; por ello, tengo la costumbre de conformarbases de datos con las observaciones que, en el diario ejercicio de mi profesin, debo recabar enel campo.

El Dr, Gustavo, como solamos llamarle, no era dado al empleo de modelos complicados y tenalo que en la profesin mdica se denominaba ojo clnico, siendo capaz de realizar pronsticosacertados sin el empleo de tcnicas probabilsticas, cuyo manejo resultaba complicado en su

tiempo por no disponer de procesadores de data.Con el paso de los aos los recursos tecnolgicos han progresado notablemente y hoy se cuentacon computadoras Pentium IV muy veloces, capaces de procesar mucha data en escasossegundos. Este hecho ha venido ocurriendo en conjuncin con una paulatina disminucin de losrecursos econmicos y ha obligado a una relacin consultor-cliente en la que el primero tieneque ofrecer garantas cuantitativas que sirvan para medir el riesgo de la inversin del cliente ypara evaluar los ndices de Fiabilidad que sean compatibles con el uso que se le dar a la obra ycon la expectativa que tenga el cliente sobre la funcionalidad de dicha obra.

La preparacin de esta exposicin me ha obligado a repasar y consultar un voluminoso cmulo

de referencias publicadas por expertos en mecnica de suelos e Ingeniera Geotcnica, enreferencia con el tema de la Probabilidad Aplicada a la Geotecnia; destacando entre ellas laspresentadas por Arthur Casagrande, 1965, Ref. (5); T. William Lambe, 1973, Ref (20), A Hettler,1989, Ref (17), Nacional Research Council of Canada, 1995, Ref (26); Robert V. Whitman, 1997Ref (31); Michael Duncan, 2000, Ref (11) y John Christian, Charles Ladd, Gregory Baeccher2001. Ref(9); Kok-Kwang Phoon y Fred H Kulhawy (1998), Ref (28); A.I. Husein Malkawi,J.F.Hassan y S.K. Sarma (2001), Ref (21).

La determinacin de la amenaza, del riesgo geotcnico o geolgico debe ser hecha en trminoscuantitativos y por ello es necesario medir la fiabilidad de los distintos componentes de la obra;as como la fabilidad del modelo empleado por el consultor. Por este motivo el uso de la

simulacin por el Mtodo de Monte Carlo le permite al ingeniero el empleo de procesosempricos, a los cuales debe aadirse una componente heurstica, fundamentada en la experiencia.

Todos los mtodos de Simulacin probabilstica se fundamentan en la hiptesis de que lasvariables que emplean dichos modelos al ser comparadas como pares, o como conjunto, muestran


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covarianzas muy bajas; es decir que no presentan correlacin entre ellasy que por lo tanto sonindependientes entre s.

El mtodo de Monte Carlo no es la excepcin y por ello debe ser manejado con sumo cuidado,para evitar evaluaciones de fiabilidad que pudieran ser sobrestimadas en perjuicio del proyecto,lo cual ocurre a menudo cuando se soslaya el anlisis previo de posible correlacin entre lasvariables de asuncin. Para este tipo de anlisis se emplea la MATRIZ DE CORRELACION, lacual ser analizada, en forma detallada, ms adelante en esta conferencia.

La imperiosa necesidad de entender cabalmente la respuesta de los modelos probabilsticosderivados de los procesos de simulacin Monte Carlo, obliga a evaluar personalmente lasrespuestas de pronstico y las distribuciones asumidas para los parmetros que constituyen ladata de alimentacin del modelo. Si la respuesta del modelo, por ms sofisticacin probabilstica

que se le asigne, no es parecida a la respuesta que dan los instrumentos de medicin instalados enla obra, algo anda mal y el modelo original debe ser revisado.

En ocasiones se trata de errores en la escogencia del criterio de falla que represente mejor elcaso, y resultan ms frecuentes de lo que se pueda pensar. En otras ocasiones la respuestadepende de la precisin de los instrumentos empleados en la medicin de las propiedades, en elcuidado que se ponga en la ejecucin de los ensayos o de la escogencia del nmero deestimadores que alimentan al modelo.

El trabajo que hoy presento a la consideracin de los asistentes a este XVII Seminario responde ala necesidad de poner a la disposicin de colegas y alumnos una herramienta que les ayude a

penetrar hacia el fondo de los problemas relacionados con el comportamiento aleatorio y/oestocstico de las variables que utilicen en los modelos asociados a la prctica de la ingenieracivil.

Como se desprende del estudio detallado de la literatura tcnica existente, resulta imprescindibleseparar cuantitativamente la variabilidad de la incertidumbre. Este punto debe ser un punto dehonor entre el promotor y un consultor geotcnico competente, pues la incertidumbreproviene frecuentemente de la escasa data y del ruido estadstico causado por sesgos externosgenerados por apuros impuestos por la programacin Fast Track.

Al promotor o a su representante se le debe hacer resaltar la ventaja que obtiene al aceptar el

programa de muestreo y de ensayos propuesto por el consultor geotcnico, demostrndole queopera en su propio beneficio econmico, no obstante, tal cosa debe ser hecha en trminossencillos y proactivos demostrndole, SIN IMPOSICION ni PRESION, que deriva msbeneficios econmicos si est mejor informado. Por otra parte es indispensable que el promotorpalpe y sienta la magnitud de los beneficios que obtendr al eliminar la incertidumbre.


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2. ORIGEN DE LOS METODOS DE SIMULACION

El ingeniero geotcnico es uno de los profesionales de la ingeniera civil que con mayorfrecuencia debe recurrir a las PREDICCIONES, con el objeto de adelantarse a losacontecimientos y de lograr inducir a los clientes en la toma de decisiones seguras, duraderas yeconmicas.

Siempre me ha llamado la atencin la clasificacin de las PREDICCIONES hecha por T WilliamLambe en 1973, Ref (20). La cual cito textualmente traducida al idioma espaol, mediante laTabla N 1:

Tipo Oportunidad de la Prediccin Resul tados de la Prediccin

A Antes del Evento -

B Durante el Evento Desconocidos

B1 Durante el Evento Conocidos

C Despus del Evento Desconocidos

C1 Despus del Evento ConocidosTabla N 1

Lambe expresa entre otras cosas que la profesin tiene una gran necesidad de Predicciones de

TipoA, pues las de tipo C, aunque muy frecuentes, no son ms que AUTOPSIAS.La experiencia de quien hoy se dirige a ustedes, le permite concluir que, en Venezuela se practicacada vez ms la Ingeniera Geotcnica Forense, la cual se asocia con la investigacin de daosy fallas. Ello se debe a la falta de continuidad del trabajo del consultor geotcnico en el proyecto,toda vez que en la mayora de los casos no tiene presencia en el proyecto definitivo y en laconstruccin de la obra. En tal sentido los efectos de las predicciones del tipoAse encuentran enuna especie de Limbo.

La labor de todo ingeniero competente es hacer predicciones tipo A, con experticia y demostrar alcliente la conveniencia de hacer un seguimiento de estas predicciones en la obra para comprobar

la bondad o el desajuste de ellas y tomar medidas para hacer correcciones.La simulacin es un procedimiento bastante viejo remontndose su origen a 1.777, con lasolucin del problema planteado por Buffon, el cual consiste en encontrar el nmero de veces


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que una aguja de dimensin conocida corte una de varias lneas paralelas dibujadas en unasuperficie plana con una separacin de dos veces la dimensin longitudinal de la aguja.

El nombre Monte Carlo, se origina hacia 1.942, como palabra clave usada en los experimentospara el diseo de la carcasa contenedora de la bomba atmica, debido a la necesidad de simularen la computadora el proceso de fisin nuclear, para lo cual se requiere de la utilizacin de losnmeros aleatorios similares a los que genera la ruleta que opera en el clebre casino de esalocalidad de Francia.

Modernamente, cuando se emplea el Mtodo de Monte Carlo para resolver problemas como el dela Aguja de Buffon se dice que se est utilizando el Procedimiento de aciertos y fallas, todavez que se trata de contar el nmero de veces que se acierta y deducir el nmero de fallasrestando del total de intentos el nmero de aciertos.

Resulta interesante saber que en el caso del Problema de la Aguja de Buffon la simulacinpermiti determinar el valor del nmero PI en 1.777. Laplace generaliz la matemticaprobabilstica del mtodo de Buffon en 1.812. La precisin del mtodo depende del nmero deintentos, lo cual no es problema alguno para las computadoras modernas. Ref. (15 y 18)

En la ingeniera geotcnica este proceso de Aciertos y Fallas del Mtodo de Monte Carlo seaplica diariamente, sin que nos demos cuenta de ello, cada vez que programamos el tiempo detamizado de una muestra de suelo. Ver figura N 1:

Figura N 1:Representacin de un cedazo


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La figura N 1, muestra las dimensiones de la malla, incluyendo el calibre del alambre y ladimensin de sus aberturas cuadradas. La esfera debe ser tal que su dimetro resulte igual o

menor al 90% de la abertura cuadrada, con el fin de que no quede atrapada.

La esfera tiene dos probabilidades: o golpea al alambre o pasa por la abertura, pero estasprobabilidades no resultan iguales al lanzar la esfera sobre la malla.

La probabilidad de que la esfera considerada, golpee la malla en el primer intento, viene dada porsiguiente expresin:

Probabilidad de Golpear alambre = p =2

1

+

Dw

dw

Si el evento se repite N veces, la probabilidad de golpear el alambre va disminuyendo y aumentala probabilidad de pasar por la abertura.

El proceso del mltiple lanzamiento de la esfera sobre la malla produce la siguiente expresin dela probabilidad de golpear el alambre, la cual se puede simular con la distribucin binomial.

Probabilidad de Golpear alambre = p =N

Dw

dw

+

1

3. NUMEROS PSEUDOALEATORIOS

Los nmeros aleatorios son aquellos que solamente ocurren al azar y son generados por fichasnumeradas que son sacadas al azar de bolsos permitiendo reemplazo, por dados bien equilibrados,por una ruleta y por equipos de lotera neumticos. Todos estos sistemas generan corrientes denmeros aleatorios sin ciclos repetitivos y se distribuyen uniformemente entre los valores 0 y 1.Esto quiere decir, que la corriente de nmeros as obtenida queda representada por unadistribucin uniforme, cuyo valor esperado (media) es y cuya varianza es 1/12.

Cuando los extremos de la distribucin uniforme no son 0 y 1, sino a y b, el valor esperado

(media) es (a+b)/2 y la varianza (b-a)2/12

, con lo cual se obtiene una corriente de nmerosaleatorios que se distribuye uniformemente entre los valores extremos ay b.


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La funcin de densidad f(x) es:

( )ab

xF=1

Lo cual quiere decir que cualquier nmero aleatorio comprendido entre a y b tiene la mismaoportunidad de salir sorteado, sea cual fuere el medio fsico empleado para obtenerlo.

La generacin de una corriente de nmeros aleatorios empleando cualquiera de los sistemas antesdescritos slo sirve en salas de juegos, en loteras y en la enseanza de la matemticaprobabilstica, por la sencilla razn que el jugador no cree en otra cosa cuando apuesta y elestudiante entiende mejor el sentido de la probabilidad cuando utiliza los generadores fsicos. Noen vano sus profesores siempre utilizan los ejemplos de las esferas numeradas sacadas de una

bolsa y las ruletas.

Cuando tratamos de resolver casos de simulacin en los que se requiere de un NUMEROGRANDE DE REPETICIONES, como por ejemplo son los lanzamientos de dados, o los giros deuna ruleta, el problema se hace tedioso y largo, consumiendo mucho tiempo al calculista; enconsideracin los mtodos fsicos dejan de ser tiles en estos casos y es necesario recurrir a losnmeros generados por computadoras.

El problema consiste en que los nmeros que generan las computadoras NO SONCOMPLETAMENTE ALEATORIOS, debido a que responden a la aplicacin de un algoritmodeterminstico, el cual, podra generar CICLOS REPETITIVOS en algn momento y en el caso

que tales ciclos se generen, resultara fcil observar el proceso para saber cual nmero resultarseleccionado en un momento dado, lo cual invalidara el proceso.

Como se comprender no hay casino que soporte a un jugador que descubra el ciclo de losnmeros que generan unas ruletas virtuales, pues estara arruinado al poco tiempo. Por otraparte, los jugadores, como los votantes en una eleccin para cargos polticos desconfan de lascomputadoras, pues piensan que estn arregladas.

Los nmeros generados por las computadoras reciben el nombre de pseudoaleatorios, puesforman corrientes que pueden tener un ciclo de repeticin tan largo que resulta improbable de serdescubierto y que adems, sirven para los clculos de tipo probabilstico, pues producen

respuestas muy similares a las que se obtienen con arduo trabajo empleando ruletas o dados.

En trminos matemticos se dice que el carcter determinstico del algoritmo que genera losnmeros pseudoaleatorios, resulta til en muchos casos debido a que la longitud de las secuenciasque podran producir resulta difcil que lleguen a igualar al tamao del nmero de ensayos


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requerido. Es decir que si se requieren 100.000 ensayos en una simulacin es difcil que ocurransecuencias cuya longitud resulte menor de 100.000.

4. MANERAS DE GENERAR NUMEROS PSEUDOALEATORIOS

Existen dos maneras bien conocidas para generar nmeros pseudoaleatorios. La primera de ellasPOCO EFICIENTE y la segunda TAN EFICIENTE COMO SE REQUIERA.

La primera manera slo la presentaremos con la finalidad de explicar lo que se refiere al riesgo deobtener secuencias cortas, de manera que el lector comprenda la necesidad de observar reglasmuy precisas para evitarlo.

Antes de proceder a explicar los mtodos de generacin es indispensable dejar claro elsignificado de nmero semilla, pues de no poder contar con uno invariable en todos los intentosde simulacin que se apliquen a un mismo problema geotcnico podramos obtener corrientesdiferentes y resultara imposible hacer comparaciones.

Si utilizamos una frmula generadora SIN NUMERO SEMILLA, podremos obtener corrientesdiferentes y nos resultar muy difcil, si no imposible, validar el modelo que estemos estudiando.

4.1. La primera manera de generar estos nmeros es la denominada TECNICA DE LOSDIGITOS MEDIOS DE UN CUADRADO y es as denominada por utilizar el juego de dgitosque se ubica en la mitad del nmero que resulta de elevar al cuadrado el nmero semilla.

Ejemplo: Sea el nmero semilla 7143 (Se utilizan 8 dgitos para representar el cuadrado delnumero). Como podremos observar en la tabla N 2, se trata de una secuencia MUY CORTA queparte del nmero semilla 7143 y converge hacia cero (0) a las nueve (9) repeticiones. Por lo tantono es til.

Si el lector lo desea, puede calcular una secuencia partiendo del nmero semilla 7144 yencontrar que logra producir una corriente de cincuenta (50) nmeros pseudoaleatorios sin quese produzca convergencia o repeticin de secuencia; pero no sabemos que pueda suceder alseguir adelante, pues primero tenemos que realizar los clculos.


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71432 51022449 0224

02242

00050176 050105012 00251001 2510

25102 06300100 3001

30012 09006001 0060

00602 00003600 0036

00362 00001296 0012

00122 00000144 0001

00012 00000001 0000

Se repite el 0000

Tabla N 2

4.2. CONDICIONES QUE DEBEN SER CUMPLIDAS POR LOS NUMEROSPSEUDOALEATORIOS

Los nmeros pseudoaleatorios deben cumplir con tres condiciones muy importantes para quepuedan servir en los procesos de simulacin:

1. Todos ellos deben estar distribuidos uniformemente entre 0 y 1.

2. Los nmeros que se generen no deben presentar correlacin serial. (Se explica msadelante)

3. Deben presentar un ciclo muy largo, que resulte muy superior al tamao de la muestra(Nmero de Repeticiones de la Simulacin) que requiera la simulacin.

Los nmeros generados con los DIGITOS MEDIOS DE UN CUADRADO no cumplen con lastres condiciones antes sealadas y por ello no son buenos como nmeros aleatorios. En

consecuencia, es preciso emplear otro mtodo de generacin.

Ntese que en el caso de los Dgitos Medios de un cuadrado, una simple diferencia de una unidaden un nmero semilla (entre 7143 y 7144) genera dos corrientes diferentes que no cumplen con


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los tres requisitos exigidos y por lo tanto es un sistema que debe ser descartado para realizarsimulaciones con la distribucin uniforme.

Vamos a estudiar ahora otro sistema que s nos permita cumplir con los tres requisitos y queresulte preciso para el clculo de simulaciones.

4.3. SISTEMA DE LOS NUMEROS ALEATORIOS CONGRUENTES

En la presente demostracin se emplea el trmino NUMERO ALEATORIO con el mismosignificado de NUMERO PSEUDOALEATORIO, pero el nmero generado es Pseudo aleatorioy no aleatorio por estar determinado con un algoritmo determnistico.

Emplearemos una funcin nueva para muchos estudiantes e ingenieros la cual es la funcin mod,la cual genera una expresin como la siguiente:

10mod3

Cuyo significado es el siguiente: Si mes un nmero entero positivo, llamado mdulo, entoncesla expresin xmod(m)es el RESIDUO de dividirxentre mtantas veces como resulte posible.

Ejemplo 1:

En concordancia con la definicin 10mod(3)es 1puesto que 3 cabe 3 veces en10 para dar 9 y el residuo es 1.

Ejemplo 2:

En concordancia con la definicin 7mod(3) es 1puesto que 3 cabe 2 veces en 7para dar 6 y el residuo es 1.

Ejemplo 3:

En concordancia con la definicin 16mod(4)es 0puesto que 4 cabe 4 veces en16 para dar 16 y no hay residuo.


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Ejemplo 4:

En concordancia con la definicin 6mod(13) es 6puesto que 13 no cabe entre 6 yno genera un entero, y adems 6 es menor que 13; en consecuencia el residuo es 6.

Los algoritmos generadores de nmeros aleatorios congruentes tienen la forma:

( ) ( )mmodZFZ I1i =+

En la que F(Zi) = azi o F(Zi) = azi + c.

Modernamente se ha preferido la funcin lineal con trmino independiente, la cual debe cumplircon algunos requisitos a fin de garantizar que la corriente de nmeros que se obtenga cumpla conlas tres condiciones a las que se refiere el prrafo 4.2.

Se ha podido comprobar que es posible disponer de un generador de ciclo completo paracualquier mdulo my semillas, s y slo s, el trmino independiente c termina en uno de lossiguientes dgitos: 1,3,7, 9 y el trmino multiplicador de zi, es decir a, termina en 01, 21, 41,61 u, 81. Para el mdulo m resulta mejor emplear un nmero primo grande.

Es de hacer notar que si bien una computadora moderna de 32 bits puede manejar 31 cifrassignificativas, al traducirlas a cdigo binario, este nmero resulta menor que el mayor nmero

primo que se conoca para 1876, el cual tena 39 cifras y corresponda a (2127

-1); por ello losverdaderos avances en la generacin de nmeros pseudo aleatorios se han logrado al definir losdgitos terminales de ay c.

El procedimiento para generar la corriente de nmeros pseudoaleatorios es el siguiente:

1. Escogemos un nmero semilla cualquiera, preferentemente menor que 1000

2. Escogemos un mdulo representado por un nmero primo grande

3. Escogemos un coeficiente a que termine en 1,3,5,7, 9

4. Escogemos un trmino independiente c que termine en 01, 21, 41, 61 u, 81.

5. Para el primer nmero pseudoaleatorio, correspondiente a z0 calculamos zi = nmerosemilla y f(zi) empleando a * zi + c


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6. Calculamos el valor de f(zi) mod(m)

7. Dividimos el valor encontrado en el paso 6 entre el mdulo m y obtenemos el primernmero pseudoaleatorio comprendido entre 0 y 1

8. Utilizamos el valor de f(zi) mod(m) obtenido en el paso 6 como valor z1 y procedemos acalcular el segundo nmero repitiendo los pasos 5 a 7.

9. Repetimos el procedimiento tantas veces como nmeros aleatorios deseamos obtener

Ejemplo:Sea el nmero semilla = 999; a = 241 y c = 107. Escojamos el mdulo 32767, nmeroprimo grande proveniente de 215-1.

Ntese que el valor Ri+1 de la tabla de clculo N 2, que se presenta a continuacin es el cocienteresultante de dividir f(zi) mod(m) entre m, y que siempre resulta comprendido entre 0 y 1,porque f(zi) mod(m) es necesariamente menor que el mdulo. (Ri+1 es el NUMEROALEATORIO buscado).

En la tabla N 3, se muestran flechas que indican como se mueve el nmero f(zi) mod(m) desdela columna donde aparece despus de haber sido calculado a la primera columna, con la finalidadde servir como nuevo nmeroZi para el clculo de un nuevo valor de f(zi) mod(m) y aspoderobtener el nuevo nmero pseudoaleatorio uniformemente distribuido.

Ntese que para encontrar f(zi) mod(m) slo tiene que dividir f(zi) entre m y encontrar el residuo

de esa divisin. Dicho residuo es f(zi) mod(m).La tabla N 3, ha permitido calcular los primeros 8 nmeros pseudoaleatorios distribuidosuniformemente que comienzan con el nmero semilla 999. Se puede seguir calculando lacorriente hasta la longitud que se desee. La prueba Chi Cuadrado permite comprobar que lacorriente obtenida responde a una distribucin UNIFORME.

La tarea que se ha realizado manualmente para confeccionar esta tabla toma alrededor de veinteminutos, si se hace con cuidado, para evitar errores y omisiones. Y es la misma que realiza lacomputadora en menos de un segundo.


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i zI f(zi) f(zi) mod(m) RI+1

0 999 240866 11497 0.35087130

1 11497 2770884 18456 0.56324961

2 18456 4448003 24458 0.74642170

3 24458 5894485 29192 0.89089632

4 29192 7035379 23241 0.70928067

5 23241 5601188 30798 0.939909056 30798 7422425 17083 0.52134769

7 17083 4117110 21235 0.64806054

Tabla N 3

Las corrientes de nmeros pseudoaleatorios uniformemente distribuidos las genera lacomputadora cuando se invoca el comando RND() lo cual se puede comprobar en la hoja Excel,pero es necesario tener en consideracin el hecho que esta funcin no tiene nmero semilla y porlo tanto cambia la corriente cada vez que se invoca, por tal motivo no conviene utilizarla enprocesos de simulacin que requieren de una validacin posterior.

En el programa CRYSTAL BALLque se utilizar en el curso de la exposicin, se utiliza numerosemilla y por lo tanto es el adecuado para realizar estudios por simulacin de Monte Carlo. Porello, cada vez que se va a ejecutar una nueva simulacin del mismo caso, con data diferente, lacomputadora guarda en la memoria el nmero semilla empleado en la vez anterior y ello puedeser constatado cuando trata de correr el programa con la instruccin Run al abrir el comandoRun Preferentes> Sampling.

Los nmeros pseudoaleatorios uniformemente distribuidos son muy tiles para realizarsimulaciones por el mtodo de Monte Carlo cuando sabemos que la variable se comporta deacuerdo a una distribucin uniforme. Un ejemplo de ello es la CAMINATA ALEATORIA, en elcual la probabilidad de escoger los caminos a seguir es siempre la misma. Tambin son utilizadosen el caso del SALTO ALEATORIO.


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Recientemente, en la Universidad de Jordania, el A.I.Husein Malkawi, W.F Hassan y S.K.Sarma(2001) han presentado una solucin muy interesante para determinar en forma eficiente y muy

rpida, la posicin del centro de un crculo con factor de seguridad mnimo en el anlisis deestabilidad de un talud. En la referencia (21) se encuentra detallado este proceso. Se explica, eneste trabajo de investigacin, que la retcula que normalmente utilizan los mtodosconvencionales para localizar el centro del crculo de menor factor de seguridad no es eficiente niprecisa, por cuanto al establecerla a priori, se obliga a la computadora a seguir un caminopredeterminado.

El mtodo al cual se hace referencia en el prrafo anterior emplea una combinacin de CaminataAleatoria y de Salto Aleatorio para encontrar el centro del crculo de menor factor de seguridad,lo cual hace que la bsqueda sea muy rpida.

En la referencia (14), Hantao Zhang (Diciembre 2001) se presenta la estrategia necesaria para labsqueda combinatoria por el mtodo del Salto Aleatorio, lo cual constituye una herramientamuy novedosa que ha permitido optimizar los procesos que hasta el ao 2000 consuman muchotiempo de computadora.

Para quienes deban realizar frecuentes anlisis de estabilidad de taludes y/o llevar a cabo anlisisparamtricos que les permitan comprender la incidencia de las variables en el factor de seguridadmnimo, el procedimiento combinado RW-RJ, desarrollado en la Universidad de Jordania, lesreportar beneficio en el rendimiento del clculo, permitindoles acortar notablemente lasbsquedas de los crculos de menor factor de seguridad.

5. NUMEROS PSEUDOALEATORIOS NORMALES (GAUSSIANOS)

Si slo se dispusiera de nmeros aleatorios uniformemente distribuidos no sera posible emplearel proceso de simulacin de Monte Carlo, por cuanto obligaramos a emplear una distribucin deprobabilidades que no se ajustara a la realidad en la mayora de los casos, pues es seguro quemuchas variables empleadas en los modelos de simulacin probabilstica responden adistribuciones que difieren notablemente de la uniforme.

La distribucin NORMAL o Gaussiana es una de las que ms se ajusta a los casos que seestudian en la geotecnia, seguida por las distribuciones LOGNORMAL , BETA y GAMMA.

La distribucin del VALOR EXTREMO es de suma utilidad cuando se trabaja en IngenieraSismoresistente y en Hidrologa.


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De igual manera las distribuciones Bernoulli, Poisson y Binomial, aplicables a las variablesDISCRETAS, son muy tiles en las simulaciones que tienen que ver con Ingeniera Vial y con el

estudio de terremotos.

Todas las distribuciones antes mencionadas producen corrientes de nmeros pseudo aleatoriosque son muy tiles en los modelos de Simulacin Monte Carlo y que amplan notablemente lasposibilidades de este mtodo de simulacin, confirindole un poder matemtico extraordinario.

Para quienes se inician en el uso de la Simulacin de Monte Carlo, les resulta complejo entendercomo se puede fabricar una corriente de nmeros pseudoaleatorios que responda a unadistribucin diferente a la uniforme, si la primera condicin de dicha corriente es que debe estaruniformemente distribuida entre 0 y 1; es decir que cualquier nmero sorteado debe tener lamisma probabilidad de ocurrir.

Con la finalidad de aclarar la duda expuesta en el prrafo anterior, imaginemos que acudimos auna tienda donde venden corrientes de nmeros aleatorios y le solicitamos al dependiente que nosvenda una que represente a una distribucin de probabilidades que se ajuste a nuestra necesidad.Lo primero que preguntar el dependiente es Cual es su necesidad? Y tendremos queresponderle en forme precisa, pues de ello depende la bondad de los que nos venda.

Lo primero que tenemos que proporcionarle es el PARAMETRO DE FORMA de la distribuciny luego los parmetros de LOCALIZACION y de ESCALA, pues las distribuciones deprobabilidades son como los trajes de vestir los cuales se definen por su talla, estilo, tipo de telay color.

Cada distribucin de probabilidades, y hay muchas, est perfectamente definida por susparmetros de ESCALA, DE FORMA Y DE LOCALIZACION y con ello no pueden serconfundidas una con la otra, por lo tanto el proceso de compra depende de cuan claros seamospara definir estos parmetros.

Algunas distribuciones se definen con slo dos parmetros y otras necesariamente requieren detres parmetros. Por tal motivo tendremos que consultar al catlogo de ventas para saber cualesparmetros son indispensables para definir bien la distribucin que queremos adquirir. Una vezque lo sepamos, no hay duda razonable para realizar nuestra compra.

La distribucin NORMAL est perfectamente definida por dos parmetros, el deLOCALIZACION y el de ESCALA. El primero corresponde al VALOR MEDIO y el segundo ala DESVIACION ESTANDAR. Esta distribucin no tiene parmetro de forma, por ser simtrica.


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Con el fin de ser perfectamente claros en el significado de estos tres parmetros diremos que elPARAMETRO DE LOCALIZACION nos ubica un punto notable de la distribucin de forma tal

que podemos saber de donde partimos. El parmetro de ESCALA nos va a indicar cuanto seextiende la distribucin a partir de su punto de localizacin y si lo hace hacia un lado o haciaambos de dicho punto.

En el caso de la distribucin NORMAL la media de la poblacin ubica exactamente lalocalizacin de un punto notable de partida, y la desviacin estndar nos dice cuanto se extiendehacia ambos lados de la media de la curva simtrica, en forma de campana, que constituye lafuncin de densidad.

Una vez definidos los parmetros antes indicados, el dependiente de la tienda de distribuciones aquien de ahora en adelante llamaremos la computadora, proceder velozmente a producir la

corriente de nmeros solicitada, procediendo internamente a realizar las siguientes operaciones:1) Lo primero que hace es recordar que no es posible resolver el problema de generar nmeros

aleatorios empleando directamente la funcin de densidad de la distribucin, por cuanto laintegral no existe en forma explcita. En consecuencia deber utilizar un mtodo indirectopara lograrlo.

2) La segunda tarea de la computadora consistir en encontrar la funcin de probabilidadACUMULADA que corresponde a la distribucin Normal, lo cual se logra al determinar losvalores z de las variables tipificadas. Estas variables vienen en funcin de la desviacinestndar y a cada una de ellas le corresponde una frecuencia acumulada2.

Ahora la computadora hace corresponder cada NUMERO ALEATORIO obtenido con ladistribucin UNIFORME con el valor de la Probabilidad acumulada de la DISTRIBUCIONNORMAL en la ordenada de la curva, para ir obteniendo los valores correspondientes de lavariable TIPIFICADA en la abscisa. (Ver figura N 2, referencia 6).

El mismo efecto puede lograrse al escoger un nmero aleatorio UNIFORME y entrando en latabla de la Distribucin Normal ACUMULADA con este valor como PROBABILIDADACUMULADA y buscando la variable tipificada que le corresponde a dicho valor deprobabilidad. Por ejemplo, si el nmero aleatorio UNIFORME es 0,56946, la variable tipificadaNORMAL correspondiente es 0,175 y si el nmero aleatorio UNIFORME es 09510 la variable

tipificada NORMAL correspondiente es -1,310.

2Si se analiza la tabla de la distribucin normal acumulada se ver que la frecuencia acumulada ocurreentre los valores 0 y 1 para variables tipificadas que van de z = -3.20 a z =+3.20


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Distribucion Normal Acumulada

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-3,0

0

-2,8

0

-2,6

0

-2,4

0

-2,2

0

-2,0

0

-1,8

0

-1,6

0

-1,4

0

-1,2

0

-1,0

0

-0,8

0

-0,6

0

-0,4

0

-0,2

0

0,0

0

0,2

0

0,4

0

0,6

0

0,8

0

1,0

0

1,2

0

1,4

0

1,6

0

1,8

0

2,0

0

2,2

0

2,4

0

2,6

0

2,8

0

3,0

0

Valores de Z

P

robabilidadAcumulada

Nmero Aleatorio Uniforme 0,74

Nmero pseudoaleatorio

Normal

igual a 0,6433

Figura N 2

3) Con la finalidad de satisfacer al comprador de la distribucin, la computadora calcula lamedia y la desviacin estndar de la corriente de los nmeros aleatorios normales obtenidos(media y desviacin estndar de las variables tipificadas) y procede de inmediato a producirel nmero de corrientes que le exija el comprador con el tamao de muestra que se le haexigido.

4) Una vez producidas las corrientes exigidas por el comprador, la computadora promedia losvalores mustrales de la media y de la desviacin estndar y le demuestra al comprador queestos promedios difieren en muy poco de 0 y 1 respectivamente, lo cual es un claro indicativode que se trata de una DISTRIBUCION NORMAL.

5) Como paso final, la computadora adapta los valores comprendidos entre 0 y 1 a los valores delos parmetros exigidos por el comprador, es decir el valor medio y la desviacin estndarque suministra el comprador cuando el vendedor se los pide para fabricarle la corriente. Estoquiere decir que transforma las variables tipificadas a variables convencionales condimensiones.


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Estas operaciones son realizadas por la computadora en escasos segundos y por ello se dice que

es una fbrica de corrientes de nmeros aleatorios muy eficiente y econmica.

En el caso del programa CRYSTAL BALL, versin Profesional 2000, la computadora pide elvalor de la media y el de la desviacin estndar y pide adems el tamao de la muestra,solicitando el NUMERO DE REPETICIONES para correr el mtodo Monte Carlo y el errorestndar admisible para el clculo. El valor de referencia que emplea el programa para el rangode la variable tipificada es 2.6, pero puede utilizarse el que el comprador desee, por ejemplo 3.23,con el fin de obtener un 99.99 % de confianza estadstica en la produccin de la corriente.

Conviene hacer notar el hecho que el programa CRYSTAL BALL utiliza un nmero semilla fijoel cual slo puede ser cambiado por el usuario y que adems, maneja muestras de gran tamao

(1.000.000), por ello se puede intuir que las corrientes producidas son muy precisas.El precio que debe pagar el comprador por estas corrientes de nmeros aleatorios es el tiempo decomputadora, por cuanto dicho tiempo depender del tamao de muestra solicitado. Por ejemplouna muestra de tamao 500 tardara tres (3) segundos para ser producida, mientras que una detamao 5000 tarda 23 segundos, una de tamao 100.000 tarda 460 segundos, es decir 7 minutos y36 segundos y finalmente una de 1.000.000 tarda 4600 segundos ( 1 hora 16 minutos y 36segundos).

Qu tamao de muestra escogeremos?. Todo depende de la precisin que se requiera para larespuesta y por ello es por lo que pagaremos.

La computadora tambin puede proceder con un enfoque directo para calcular la corriente denmeros aleatorios NORMALES, empleando para ello un par de ecuaciones que van a dar elmismo resultado que la integral que no es posible calcular por no existir en forma explcita. Estasecuaciones son las siguientes:

( ) ( )20.5

1e1 r2cosrlog2X =

( ) ( )20.5

1e2 r2senrlog2X =

Siendo r1yr2dos nmeros aleatorios uniformemente distribuidos yx1yx2desviaciones estndarde una distribucin normal aleatoriamente distribuidas. Este mtodo es conocido como el mtodopolar de Marsaglia.


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Supongamos que r1= 0.34563 y r2= 0.78965. Aplicando Marsaglia se obtiene:

X1= 1.45219 X2= 0.12606.

Los nmerosx1y x2son las desviaciones tpicas normales que corresponden a r1y r2, los cualesson nmeros aleatorios uniformemente distribuidos. Al utilizar otro par de nmeros aleatoriosuniformemente distribuidos, obtendremos otro par de desviaciones normales correspondientes atales nmeros aleatorios uniformes. Cualquiera de los dos mtodos producir el mismo efecto yservir para obtener la corriente de nmeros aleatorios (pseudoaleatorios) normalmentedistribuidos deseada; sin embargo, el programa CRYSTAL BALL trabaja con el mtodoPolar Marsaglia para el caso de la Simulacin Monte Carlo.

Ms adelante, al presentar un ejemplo de aplicacin del mtodo de Monte Carlo podremosapreciar la ventaja del uso de los nmeros pseudoaleatorios normales, teniendo en la mente quees preciso estar seguros de que la distribucin normal es la apropiada para representar la variablealeatoria en juego. El empleo de una distribucin incorrecta produce un resultado elegante peroincorrecto.

Antes de entrar en materia sobre la aplicacin del Mtodo Monte Carlo es preciso saber que cadadistribucin de probabilidades genera una corriente especfica de nmeros pseudoaleatorios y questas, y solo stas, deben ser empleadas para realizar las simulaciones, en el entendido que quiensimula debe saber a priori y por experiencia, cual es la distribucin que mejor se adapta a la dataque maneja. A este conocimiento a priori se le denomina conocimiento heurstico.

Una de las distribuciones de probabilidades ms empleadas en la Ingeniera Geotcnica es laDISTRIBUCION LOGNORMAL. Por otra parte, conviene decir que muchos de losPRONOSTICOS que se obtienen en el proceso de simulacin de Monte Carlo aplicado a laingeniera de fundaciones y muros responden a una distribucin LOGNORMAL. Esta afirmacinser demostrada por medio de ejemplos de diario uso en la geotecnia en los que se aplica elmtodo Monte Carlo.

6. CUANDO ES CONVENIENTE USAR LA DISTRIBUCION LOGNORMAL

La Distribucin Log Normal es ampliamente empleada en aquellas situaciones en las que las quelas variables de asuncin tienen un SESGO POSITIVO.


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Uno de los primeros reportes sobre pruebas de carga exhaustivas para estimar la resistencia depunta de pilas vaciadas en sitio, fue el presentado por el Dr. A Hettler en la Discusin de la

Sesin 10 de la Conferencia Internacional de Mecnica de Suelos e Ingeniera de Fundacionescelebrada en Ro Janeiro, Brasil (1989). El Dr Hettler fue en esa oportunidad Relator General dela Sesin, bajo la presidencia de S .Frydman de Israel. En esa oportunidad pude orle decir losiguiente: La resistencia de punta de una pila, con la data analizada, est mejor representada porla distribucin LOG-NORMAL. Esta result la primera vez que o hablar de la Distribucin LogNormal en problemas aplicados a la geotecnia y debo decir que sent curiosidad por llegar a lasrazones de tal predileccin matemtica. De ah en adelante me dedique a estudiar el caso y nofue hasta que apliqu el mtodo de Monte Carlo cuando pude entender la aseveracin de HettlerRef (17) (1989).

La Distribucin Log Normal tiene una larga historia en la ingeniera civil. Fue inicialmente

adoptada en los estudios estadsticos de data hidrolgica por Hazen en 1914 y en estudios defatiga de materiales

Lomnitz en 1964, utiliz el mtodo del modelo multiplicativo para describir la distribucin delas magnitudes Richter de los Terremotos. El encontr que la distribucin Log Normal es la quemejor se ajusta a las magnitudes y a los tiempos de Inter-llegadas de los terremotos.

La Distribucin Log Normal tambin ha sido encontrada apta para describir la resistencia devolmenes elementales de materiales plsticos (Johnson 1953) y en el esfuerzo de fluencia de lasbarras de acero de refuerzo en el concreto (Freudenthal 1948). Un tratamiento muy detallado dela adaptacin de esta distribucin a muchos problemas de ingeniera de materiales puede ser

encontrado en Aithchison y Brown (1957)Parecer que nos estamos refiriendo a tiempos lejanos y que en un evento que se celebra enNoviembre de 2002, es necesario presentar referencias ms modernas que avalen la utilidad deesta Distribucin de Probabilidades. Para la preparacin de la presente exposicin hemosconsultado literatura tcnica moderna, la cual est contenida en las publicaciones recientes deASCE y del Canadian Geotechnical Journal (Aos 1999 a 2001).

Qu significa que la Distribucin Log Normal est esviada Positivamente y cmo se comparacon la Distribucin Normal de Gauss?. En que beneficia este detalle a la Ingeniera?

Debe entenderse que un ESVIAJE POSITIVO es el que causa que la campana SIMETRICA yano lo resulte as y que el APICE de la misma se desplace hacia la IZQUIERDA, causando unamayor concentracin de probabilidad entre dicho APICE y la cola inferior. En la figura N 3 semuestra el referido desplazamiento del pice hacia la izquierda.


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Frequency Chart

Certainty is 50,16% from 43,60 to +Infinity

Mean = 44,80,000

,006

,011

,017

,023

0

28,5

57

85,5

114

21,57 33,90 46,23 58,56 70,89

5.000 Trials 64 Outliers

Forecast: Distribucin Log Normal

Figura N 3

NTESE QUE 43,60 ES MENOR QUE 44,80 Y QUE LA PROBABILIDAD DE OBTENERVALORES POR ENCIMA DE LA MEDIA ES MENOR DE 50 %

Lo anterior trae como consecuencia que resulte probable encontrar muchos valores hacia la colainferior y menos valores hacia la cola superior; lo cual puede traer consecuencias no deseables encuanto a la evaluacin del RIESGO se refiere.

Debe entenderse que en el caso de la distribucin normal SIMETRICA con respecto a la media,las probabilidades de obtener valores por debajo y por encima de la media son IGUALES (50% y50%), no as en la distribucin Log Normal.

El uso de la Distribucin Log Normal esta condicionado a los siguientes puntos:

1) La variable INCIERTA puede sufrir incrementos SIN LIMITES, pero NUNCA puederesultar menor que CERO.

2) La variable incierta est sesgada POSITIVAMENTE, con la mayora de sus valoresconcentrados hacia el LIMITE INFERIOR.

3) El logaritmo natural de la variable INCIERTA genera una distribucin NORMAL (Nteseque no son los valores de la variable incierta los que se distribuyen normalmente, sino loslogaritmos neperianos de dichos valores).


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En este trabajo se presentan las distribuciones mas empleadas en la ingeniera civil y susparmetros de localizacin, escala y forma, incluyendo, adems, los valores esperados, la

varianza y el coeficiente de variacin. Con esta informacin a la mano y con la tabla de lavariabilidad esperada en muchos materiales y suelos; estamos casi preparados para iniciar nuestrorecorrido por la Simulacin Probabilistica de Monte Carlo.

7. METODOS DE MUESTREO PARA LA SIMULACION PROBABILISTICA

En casos especiales, y con el fin de realizar procesos de simulacin de alta precisinemplearemos el mtodo de muestreo que se denomina Hipercubo Latino, el cual difiere delMtodo de Muestreo Monte Carlo en pequeos detalles en cuanto a la sectorizacin del reabajo la curva de distribucin de frecuencias, haciendo que se generen reas idnticas en todo el

rango de la variable tipificada y que, en consecuencia, se evite el solape que ocurre cuando losnmeros aleatorios se distribuyen en TODO EL RANGO y no en sectores de igual probabilidad.

Cuando se utiliza el mtodo Monte Carlo con Crystal Ball genera Valores al Azar en la celdade asuncin, correspondientes a nmeros pseudoaleatorios TOTALMENTEINDEPENDIENTES. Ello, dicho en otras palabras, significa que el nmero aleatorioseleccionado para un ensayo, no tiene efecto en el prximo nmero aleatorio que se genere.

Si resulta imprescindible aproximar lo ms posible la forma de la distribucin, es indispensableque se realicen muchos ensayos, es decir repeticiones. Cuando se utiliza el mtodo Monte Carlose requieren ms repeticiones que cuando se emplea el mtodo del Hipercubo Latino, lo cual

quiere decir que el mtodo del Hipercubo Latino es ms eficiente que el Mtodo Montecarlo. Sinembargo; la prctica ha permitido comprobar que cuando se desea simular que pasa si en elmundo real, es ms conveniente emplear el Mtodo Monte Carlo, y por ello es un mtodo tanpopular. Ref. (12)

Cuando el programa Crystal Ball utiliza el mtodo de Muestreo Hipercubo Latino, divide ladistribucin de probabilidades de cada asuncin en SEGMENTOS NO SOLAPANTES, deforma que cada uno de ellos tenga igual probabilidad (reas iguales); por tal circunstancia, lossegmentos de las colas estn ms separados que los segmentos centrales.

El mtodo Hipercubo Latinoes generalmente ms preciso que el Mtodo Monte Carlo cuando

se trata de calcular las estadsticas de la simulacin, porque la muestra es ms consistente en elrango completo de la distribucin. No obstante, esta mayor precisin se paga con mayor tiempode computadora.


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Por lo antes expuesto se aconseja utilizar el muestreo por Hipercubo Latino slo si se desea unamayor precisin en la estadstica de la simulacin en casos en los que ello resulte absolutamente

indispensable.

Ms adelante, en el aparte 11 de este trabajo, dedicado al manejo del programa CRYSTAL BALLPROFESIONAL 2000, presentaremos un caso en el que se han empleado ambos mtodos paraque el lector pueda apreciar la diferencia.

8. PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE PARA LA DATA CON LA QUE SEPRETENDE SIMULAR

Como ya lo hemos expresado en los apartados precedentes, quien pretenda modelar por

simulacin debe conocer la distribucin de probabilidades que corresponda realmente a cadaasuncin que emplee en el modelo. Para ello est obligado a determinar la BONDAD DEAJUSTE de los datos de los que dispone a la distribucin que pretende emplear.

Los tres mtodos ms conocidos para practicar la Bondad de Ajuste son:

Mtodo Chi Cuadrado. Mtodo Kolmogorov Smirnov Mtodo Andersen Darling.

El programa Crystal Ball compara la data que se le propone con cada una de las distribuciones de

frecuencia y utiliza para ello estadsticos de prueba que buscan medir las diferencias entre la datay los valores correspondientes a la distribucin de comparacin. Tomando como base estasdiferencias toma la decisin de escoger la distribucin que ms se ajuste a la data.

Con Crystal Ball la prueba de bondad de ajuste se realiza automticamente y emplea lossiguientes valores tope para indicar buen ajuste:

Prueba Chi Cuadrado ___________________Valor Prueba > de 0,5.Prueba Kolmogorov Smirnov_____________Valor Prueba < 0,03(2)Prueba Anderson Darling_________________Valor Prueba < 1,50

2El Valor 0.03 proviene del empleo del criterio de Masey cuando la desviacin estndar es conocida y la

significacin estadstica es = 0.05, pues el valor KS es 1.36/n y N = 2000. Por ello si N < 2000 y KS 0.03 es preciso aumentar el tamao de la muestra locual no resulta difcil con el programa Crystal Ball Profesional 2000.


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Cada vez que el programa produce un PRONSTICO de SIMULACION tambin realiza laprueba de bondad de ajuste, de manera tal que quien interprete los resultados sepa cual es la

distribucin de respuesta que presente la mejor bondad de ajuste.

La Prueba Kolmogorov Smirnov analiza la zona central del histograma de distribucin deprobabilidades producido por la data y contrasta la diferencia entre dicha data y los valoresexactos de la distribucin de probabilidades en estudio. Por su parte, la prueba Anderson Darlingse centra en el anlisis del rea de las colas de la distribucin, con el fin de determinar si elhistograma producido por la data asumida se aleja o se acerca a la distribucin exacta. Estaprueba es de vital importancia cuando estamos verificando valores extremos, o cuando serequiere calcular la probabilidad de obtener valores por debajo de un valor crtico ingenieril

Cuando una data produce un histograma que concentra valores en las colas, la prueba Anderson

Darling genera un valor de contraste superior a 1,50 y ello es un indicio de que con la datadisponible no es posible analizar los extremos para calcular probabilidades de excedencia, ya seasta positiva o negativa.

En la referencia (6), Centeno R (1982), se detalla el fundamento terico de las tres (3) pruebas,con el fin de que el lector no se sienta incapaz de entender como trabaja la herramienta Batch Fitdel programa Crystal Ball Profesional 2000.

Cuando el analista simulador desea verificar un modelo y tiene a la mano una data superior aveinte (20) valores, puede realizar la prueba de bondad de ajuste empleando la herramientaBATCH FIT, la cual se encuentra en CBTOOLS en el men desplegado en la fila superior de

la ventana de Crystal Ball Profesional 2000. Al pulsar BATCH FIT aparecer en la ventana undialogo que ir preguntando si la data est en filas o en columnas y con cual prueba se deseallevar a cabo el ajuste.

Ejemplo N 1 .-

Supongamos que disponemos de la data que se muestra en la tabla N 4 en la que se indican losvalores de la RESISTENCIA DE PUNTA en varios pilotes sometidos a prueba de carga y quequeremos probar si esta data responde a una distribucin LogNormal.

Si calculamos el valor esperado de esta data obtendremos que para 20 datos el valor medio es

190.965 Ton, la Desviacin Estndar sesgada es 10.348 Ton y la Desviacin Estndar nosesgada es 10.6169 Ton. El Coeficiente de Variacin es 5.559 %


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RESISTENCIA DE PUNTA EN VEINTE (20) PRUEBAS DE CARGA (TON)

187.6 188.2 200.5 185.5 178.9 177.3 205.9 199.2 187.6 181.6199.0 178.8 178.3 179.9 205.4 206.9 198.0 192.7 195.6 186.4Tabla N 4

Utilizando la hoja Excel se coloca la data en una columna y se barren los veinte valores. Luego sebusca CBTOOLS en el men horizontal superior en CRYSTAL BALL PROFESIONAL 2000 yse selecciona BATCH FIT, siguiendo de all en adelante las instrucciones de la ventana queaparece en la pantalla. Los resultados obtenidos son:

METODO CHI CUADRADO 0.0942643 < 0.5 No responde

METODO KOLMOGOROV SMIRNOV 0.13831443 > 0.03 No respondeMETODO ANDERSON DARLING 0.515632 0.03 Weibull

METODO ANDERSON DARLING 0.5085


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fundamental para poder realizar simulaciones que respondan a la realidad. Por ello siemprehemos recomendado acumular el mayor nmero de ensayos en bases de datos para obtener

experiencia en Venezuela o recurrir a bases de datos publicadas en la literatura tcnicainternacional teniendo especial cuidado de validar dicha data.

9. IMPORTANCIA DE LA VALIDACION DE MODELOS FORANEOS

De acuerdo con la experiencia que hemos podido acumular a lo largo de ms de treinta aos, noes prudente emplear modelos forneos sin antes VALIDAR los mismos en Venezuela. Tal es elcaso de los modelos destinados a estimar la humedad de equilibrio bajo los pavimentos en lascarreteras africanas Ref (16), en los que se han encontrado correlaciones muy interesantes con elporcentaje ms fino que el cedazo 40, el lmite lquido y la densidad seca del suelo. No obstante

los autores de esta investigacin recomiendan VALIDAR el modelo para lugares distintos dePretoria, Sur frica.

En el caso de la investigacin realizada en Pretoria, Sur frica, se ha utilizado un anlisis deregresin mltiple y se han verificado estadsticamente los resultados, comprobando debidamentelos coeficientes de las variables y el coeficiente de correlacin con las pruebas t y Frespectivamente para una significacin estadstica del 5 % por dos colas.

En Venezuela es frecuente observar como se utilizan los modelos obtenidos en otras latitudes sinsiquiera detenerse a realizar una sencilla prueba de validacin. No sabemos si tal cosa ocurre enotros pases latinoamericanos, pero si estamos seguros de que es una mala costumbre venezolana.

Hemos podido revisar numerosos trabajos especiales de pregrado en los cuales los estudiantesemplean programas comerciales de estadstica para obtener ecuaciones de regresin mltiple yobtener resultados cuyo coeficiente de correlacin es altamente significativo; no obstante, en lostrabajos revisados por el autor de esta conferencia, nunca se presentan las pruebas designificacin estadstica de los coeficientes de las variables empleadas en el modelo de regresinmltiple, con el agravante de que algunas de las variables empleadas, muy poco contribuyen aaportar valor al modelo y slo constituyen una inversin de tiempo y de dinero innecesarios.

Este tipo de anlisis es poco frecuente en las escuelas de ingeniera civil en Venezuela, hecho quehemos podido comprobar las veces que nos ha tocado ser examinador de trabajos de

investigacin geotcnica realizados por estudiantes de pregrado. Es por lo tanto indispensableque se corrija esta anomala para mejorar la enseanza de la ingeniera civil y poder as impulsarla investigacin tecnolgica en nuestro pas.


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La enseanza de la estadstica matemtica aplicada a la ingeniera civil debe estar en manos deprofesores con experiencia en la investigacin tecnolgica y no en manos de matemticospuros

que slo ensean el aspecto terico de esta ciencia tan til para los profesionales de la ingenieray que muy poca curiosidad siembran en la conciencia de los estudiantes.

Esta observacin es muy importante cuando se trata de modelar empleando la simulacin deMonte Carlo, pues en la mayora de los programas de los cuales se dispone, incluyendoCRYSTAL BALL PROFESIONAL 2000, las variables de asuncin se consideranINDEPENDIENTES; es decir que su covarianza es CERO y si ello no es cierto, se corre el riesgode obtener un modelo sesgado. Por ello es indispensable que se le ensee a los estudiantes lamanera de comprobar si existe correlacin entre variables y cual puede ser el grado decorrelacin en caso de existir.

El programa CRYSTAL BALL PROFESIONAL2000 permite realizar correcciones en los modelosde simulacin de Monte Carlo cuando hay vestigios de correlacin entre las variables de asunciny para ello emplea la MATRIZ DE CORRELACION. Esta posibilidad es bastante novedosa ydebe ser conocida por quienes pretendan utilizar el mtodo de Monte Carlo para obtenermodelos por simulacin probabilstica.

Como quiera que en Venezuela es muy famoso el refrn Nadie es Profeta en su Propia Tierra,he credo conveniente citar la opinin del profesor Robert Withman del MIT, Ref (31), quienhace muchos aos visit nuestro pas para dictar un curso en la Universidad Catlica AndrsBello y recientemente, en 1995 expres lo siguiente. Morgenstern en 1995 argument que sonlos principios de la Gerencia del Riesgo lo que debe ser enseado en el nivel fundamental y

luego ilustrado con ejemplos prcticos.Yo preferira ver una materia que cubra laprctica de la Gerencia del Riesgo la cual fuera dictada muy tempranamente en un curriculum,en vez de una materia destinada a la enseanza de la Teora de la Probabilidad, a pesar de quepienso que algunos conceptos relacionados con dicha teora deben de ser incorporados a lamateria que sugiero

10.LA SIMULACION DE MONTE CARLO APLICADA A LA DISTRIBUCION DEEPICENTROS DE SISMOS A LO LARGO DE FALLAS MAYORES ENCALIFORNIA

El empleo del Mtodo de Monte Carlo para ubicar epicentros de terremotos en regionesatravesadas por importantes sistemas de fallas fue referido en el ao 1965 en dos de los trabajospresentados ante la Tercera Conferencia Mundial sobre Ingeniera de Terremotos, celebrado enAuckland y en Wellington, en Nueva Zelandia en 1965. El primero de ellos corresponde al Sr.Donald A. Lacer, de Aeroespace Corporation de California, quien tuvo a su cargo el anlisis de


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1000 sismos cuyos epicentros estuvieron ubicados a lo largo de las fallas de San Andrs, SanJacinto, Elsinore, Garlock y Newport-Inglewood en el Sur de California.

La distribucin de esos epicentros con sus respectivas coordenadas geogrficas (Latitud yLongitud) se hizo de dos (2) maneras diferentes:

La primera manera consisti en ubicar los mil epicentros UNIFORMEMENTE distribuidos a lolargo de las fallas, cuya longitud era de 2000 millas, quedando cada punto separado del otro 2.

La segunda manera consisti en ubicar los epicentros normalmente distribuidos con respecto a laslneas mayores de falla, suponiendo que por tratarse de eventos naturales que ocurren al azar susepicentros deben quedar distribuidos alrededor de la falla y no a lo largo y encima de la mismasegn la funcin de Gauss con una media 0 y una desviacin estndar de 2 millas Se tomaron las

1000 desviaciones estndar obtenidas por nmeros pseudoaleatorios normales y semultiplicaron por 2, obtenindose como resultado la distancia desde la lnea de falla al epicentro,con lo que los puntos no quedaron paralelos a las fallas sino ubicados al azar a cada lado de ellas.

Acto seguido, los valores normalmente distribuidos fueron asociados con cada uno de los milvalores uniformemente distribuidos a lo largo de las fallas y se asociaron a la vez con lascoordenadas geogrficas de cada epicentro, obtenindose as, la latitud y la longitud de cadaepicentro.

En esta forma se pudieron ubicar 1000 epicentros por el proceso de simulacin de Monte Carlo,con la ventaja de que cualquiera de ellos representara un terremoto con la misma probabilidad de

ocurrir. Con esta ubicacin se prepar un mapa de localizacin de epicentros distribuidos por elMtodo de Monte Carlo, empleando para ello nmeros psudoaleatorios uniformes y desviacionesnormales.

Con esta metodologa pueden ser ubicados mil epicentros adicionales sin mayor consumo detiempo, con la finalidad de hacer una reparticin equitativa, basada en el azar, para ubicarinstrumentos que permitan medir aceleraciones superficiales, velocidades superficiales ydesplazamientos superficiales en aquellos puntos en los que un terremoto tiene la mismaprobabilidad de ocurrir.

Si una vez ubicados los epicentros probables ocurre un evento de una magnitud dada, es posible

obtener las velocidades superficiales que se producen en el resto de los puntos y as establecercon que probabilidad se produce un valor de la velocidad que exceda a un valor predeterminado.

Es conveniente dejar constancia de que no se trata de colocar la posicin de epicentrosestablecidos por triangulacin de observatorios sismolgicos, lo cual resultara una operacin


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sencilla de realizar; sino de SIMULAR nuevos puntos donde no han ocurrido fsicamenteterremotos, pero que tienen la misma probabilidad de ser epicentros de nuevos terremotos a lo

largo y ancho de sistemas principales de fallas.

11.VENTAJAS DEL USO DEL SOFTWARE CRYSTAL BALL PROFESIONAL 2000EN LA SIMULACION MONTE CARLO

Existen varios programas en el mercado que sirven para disear modelos por el mtodo deSimulacin de Monte Carlo. La mayora de ellos son buenos y producen resultados tiles parainversionistas, investigadores y proyectistas en general.

El programa que se presenta en esta conferencia, dedicada a la memoria del maestro Gustavo

Prez Guerra, est considerado entre los tres primeros en el mercado Norteamericano y esutilizado por ms de las tres cuartas partes de las cien mayores empresas de los Estados Unidos,tal y como lo reporta la revista Fortune. Este programa tiene una gran ventaja sobre los dems:ES EDUCATIVO Y DE MUY FACIL COMPRENSION PARA LOS NO EXPERTOS EN LAMATERIA.

Para comenzar, este programa emplea la hoja EXCEL, la cual es la hoja de clculo mas conocidaen el mundo entero y es la herramienta ms empleada por los ingenieros y estudiantes deingeniera en Venezuela.

Cualquier modelo puede ser diseado en la hoja Excel trabajando con variables determinsticas y

luego ser convertido a un modelo probabilstico con el empleo de unas reglas que slo toman treso cuatro horas para ser aprendidas por personas que no tengan mayores conocimientos sobre lateora de probabilidades.

Se trata de un programa muy amigable, que utiliza MACROS diversos para convertir elcontenido de una celda que viene manejando valores determinsticos en una celda que, de ah enadelante, manejar distribuciones de probabilidades en las que el valor determinstico con el queoriginalmente fue alimentada la celda pasa a conformar una de las ordenadas del diagrama deprobabilidad cuyos parmetros se conocen..Supngase que el experto analista afirma que una variable que constituye una celda de asuncin

que hasta ahora representa un valor determinstico de 1.87 Kg/cm

2

, ser una de las ordenadasde una distribucin Normal en el nuevo modelo probabilstico. Supongamos tambin que lamedia poblacional de la distribucin normal escogida es 1.85 y que la desviacin estndarpoblacional es 0.16 Kg/cm2. El valor 1.87 Kg/cm2ser entonces uno de los muchos que ocurrencuando se toma una muestra en el universo normalmente distribuido.


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Digamos que esta variable aleatoria va a ser multiplicada por una variable determinstica(constante) cuyo valor es uno (1). El resultado de la multiplicacinser un PRONOSTICO que se

distribuir segn una funcin de frecuencia normal con media 1.85 y desviacin estndar 0.16.

Si corremos este caso con el programa Cristal Ball Profesional 2000, empleando ambos mtodosde muestreo y utilizamos un valor semilla 999 para 1000 repeticiones ALEATORIAS denmeros pseudoaleatorios normales, obtendremos la siguiente estadstica, (ver tablas N 5 y 6):

Forecast: Distribucion Normal (Hipercubo Latino)Statistic ValueTrials 1.000Mean 1,85Median 1,85

Mode ---Standard Deviation 0,16Variance 0,03Skewness -0,01Kurtosis 2,93Coeff. of Variability 0,09Range Minimum 1,32Range Maximum 2,32Range Width 1,00Mean Std. Error 0,01

Tabla N 5

Forecast: Distribucion Normal (Muestreo Monte Carlo)Statistic ValueTrials 1.000Mean 1,85Median 1,84Mode ---Standard Deviation 0,16Variance 0,03Skewness -0,01Kurtosis 2,84

Coeff. of Variability 0,09Range Minimum 1,39Range Maximum 2,32RangeWidth 0,92Mean Std. Error 0,01

Tabla N 6


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En las dos salidas anteriores se observa que, dependiendo del mtodo de muestreo empleado,algunos de los valores estadsticos resultan diferentes, como es el caso de la mediana y de la

Kurtosis, entre otros.

Si observamos la salida grfica del modelo de simulacin Monte Carlo podremos apreciar que elvalor 1,87 Kg./cm2 se encuentra ligeramente a la derecha de la media y constituye una de lasordenadas de la curva de distribucin de frecuencias. Ver figura N 4.

Frequency Chart

Certainty is 95,00% from 1,53 to 2,17

Mean = 1,85,000

,007

,015

,022

,029

0

7,25

14,5

21,75

29

1,43 1,64 1,84 2,05 2,26

1.000 Trials 9 Outliers

Forecast: Resistencia de Punta en Kg/cm2

Figura N 4

Conviene aclarar que la distribucin de frecuencias que arroja el modelo en la celda depronstico no tiene que ser igual a la correspondiente a las celdas de asuncin. En consecuencia,ser necesario estar pendientes de realizar las pruebas de Bondad de Ajuste de la respuesta.

La prueba de Bondad de Ajuste se hace utilizando la opcin Run que aparece encima de lagrfica de salida y escogiendo Overlay Chart del men y pulsando Add Forescart. Se escogedel men, la celda de pronstico cuya distribucin deseamos analizar y se pulsa OK. Actoseguido, se escoge Add Distribution y se coloca el cursor en Fit en la ventana Distribution

Overlay. Ahora se pulsa Next y se escoge la prueba que mas converga en Ranking Method,marcando en Show Comparison Chart and Grodned of fit-Statistics.


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En el caso de las distribuciones CONTINUAS, los parmetros son los que se indican en la tablaN 7:

DISTRIBUCIONES CONTINUAS

DISTRIBUCION POSICION ESCALA FORMA

Uniforme xmin Xmax- xmin -Normal (Gauss) -LogNormal -Gamma L Beta - s y Weibull L

Valor Extremo moda -Tabla N 7

En el caso de las distribuciones DISCRETAS, la definicin de las mismas viene dada por losparmetros expuestos en la tabla N 8:

BERNOULLI (1CASO) Probabilidad - -

Binomial (Eventos Repetidos) Probabilidad Intentos -

Poisson (Eventos en l tiempo) Rata de ocurrencia -

Hypergeomtrica (Sin reemplazo) Probabilidad Intentos

Tamao de

poblacinTabla N 8

La ventana de la computadora mostrar ahora la comparacin de las grficas de frecuencia con lacurva de ajuste dibujada encima del histograma, apareciendo como primera opcin la curva demejor ajuste y sus parmetros e indicando los valores Chi Cuadrado, Kolmogorov Smirnov yAnderson Darling.

No siempre es necesario utilizar la primera opcin y por ello conviene buscar una distribucinque cumpla con la prueba de bondad de ajuste y que sea fcil de manejar: Gamma, Beta,Lognormal y normal.

Cuando utilic por primera vez este programa qued muy sorprendido de su sencillez deoperacin y pude comprobar la certeza de los resultados obtenidos. Si se observa la salida queproduce una hoja de clculo Excel en la que se ha modelado el factor de seguridad al volcamientode un muro de concreto en voladizo de 6.5 metros de altura, el cual es sometido a empuje activo


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del terreno, se podr apreciar la ventaja del empleo del programa Cristal Ball. A continuacin,en la tabla N 9, se presenta la hoja Excel y la salida Cristal Ball.

PROFESOR ROBERTO CENTENO WERNERCURSO POSTGRADO MECANICA DE SUELOS AVANZADA

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA

METODO MONTE CARLO

SIMULACION DE EMPUJE ACTIVO SOBRE MUROSAPLICACION DE LA TEORIA DE COULOMB

EJEMPLO DE EMPLEO DEL PROGRAMACRISTAL BALL PROFESIONAL 2000

INCLINACION DE LA CARA INTERNA DEL MURO () 5ANGULO DE RUGOSIDAD EN CARA INTERNA DEL MURO() 18ANGULO DE INCLINACION DEL TERRENO () 20ANGULO DE FRICCION INTERNA DEL SUELO () 28

COEFICIENTE DE EMPUJE ACTIVO (Ka) 0,52183

DATOS DEL MURO A CALCULAR

ALTURA DEL MURO DESDE BASE 6,50 mPROFUNDIDAD DEL AGUA 3,04 mESPESOR SUPERIOR PARAMENTO 0,30 mESPESOR INFERIOR PARAMENTO 0,45 mPATA SALIENTE DE BASE 1,40 mTALON DE LA BASE 1,50 mBASE DEL MURO 4,00 mESPESOR DE LA BASE DEL MURO 0,45 mPESO UNITARIO DEL SUELO SATURADO 2,16 T/m3PESO UNITARIO DEL AGUA 1,00 T/m3

CALCULOS DE PESOS Y EMPUJES (DETERMINISTICOS)W1 5,45 T/mlW2 4,32 T/mlW3 22,87 T/mlPRESION DEL AGUA 5,99 T/mlPRESION ACTIVA DE TIERRA 23,79 T/ml


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CALCULOS PROBABILISTICOS CON CRYSTAL BALLMOMENTOS RESISTENTES CON RESPECTO AL PIETODO EL CONJUNTO RESISTENTE 76,9475MOMENTOS ACTUANTES CON RESPECTO AL PIEPRESION DE TIERRA Y AGUA 54,3619

FACTOR DE SEGURIDAD AL VOLCAMIENTO(DETERMINSTICO) 1,415FACTOR DE SEGURIDAD AL VOLCAMIENTO(PROBABILISTICO) 1,437DESVIACION ESTANDAR DE LA RESPUESTAPROBABILISTICA 0,164INDICE DE CONFIABILIDAD BETA -2,66463PROBABILIDAD DE FALLA AL VOLCAMIENTO 0,39%

FIABILIDAD DEL MURO AL VOLCAMIENTO 99,61%Tabla N 9

La salida grfica del modelo probabilstico se presenta a continuacin en la figura N 5, e indicaque la probabilidad de falla al volcamiento es virtualmente nula al obtener un factor de seguridadde 1.437 con una desviacin estndar de 0.164 para 1000 intentos.

Frequency Chart

Mean = 1,437,000

,007

,014

,021

,028

0

7

14

21

28

1,000 1,225 1,450 1,675 1,900

1.000 Trials 13 OutliersForecast: FACTOR DE SEGURIDAD AL VOLCAMIENTO

Figura N 5

En la tabla N 10, que sigue se presenta el comportamiento del modelo cuando se cambia elnmero de intentos y se mantiene el nmero semilla en 999.


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Nmero deIntentos

Factor deSeguridad

DesviacinEstndar

Coeficiente deVariacin (%)

ndiceFiabilidad ()

Fiabilidad(%)

500 1,430 0,170 11,89 2,53 99,431000 1,437 0,167 11,62 2,61 99,552000 1,437 0,166 11,55 2,63 99,574000 1,436 0,164 11,42 2,66 99.6110000 1,438 0,164 11,40 2,67 99,62

Tabla N 10

Como se puede apreciar, la fiabilidad aumenta algunas dcimas al aumentar el nmero deintentos, lo cual es perfectamente lgico. El tiempo requerido para realizar los clculos es de 2seg. para 500 intentos y de 22 seg. para 10.000 intentos, empleando una computadora conprocesador Pentium IV.

En el caso del muro en voladizo, se han alimentado variables con distribucin normal y se hanobtenido respuestas con distribucin de frecuencias Gamma o Lognormal con Bondad de ajusteaceptables.

Un programa de esta naturaleza no tiene lmites fijos, sino los que le establezca la inteligenciahumana, no obstante, es imprescindible que los resultados sean interpretados con pericia, paragarantizar que los pronsticos respondan a la realidad.

Hemos podido comprobar que el programa realiza operaciones matemticas empleandodistribuciones probabilsticas en vez de valores determinsticos; tales como sumas, restas,multiplicaciones y divisiones, las cuales seran bastante complejas para ser realizadas a mano.Adems, tiene la particularidad de poder ofrecer, ya incorporada a la solucin, la prueba debondad de ajuste que nos indicar cual es la distribucin o distribuciones de pronstico, con laque podemos cuantificar el riesgo de obtener valores de pronstico inferiores o superiores avalores de control preestablecidos.

La mayor ventaja que le vemos a este programa es la facilidad con la que explica cada paso queva dando y la forma como realiza los anlisis paramtricos y las pruebas de sensibilidad, dndoleoportunidad al usuario de comprender bien el significado de la simulacin probabilstica.Adems, ayuda notablemente a no perder tiempo en procesos complejos de interpretacin deresultados, por cuanto cuenta con herramientas que permiten hacer una diseccin completa delproblema que se analiza, no dejando dudas de ninguna especie.

Es el programa que mejor explica la diferencia entre la variabilidad matemtica y laincertidumbre, permitiendo SEPARAR ambas mediante un anlisis en dos dimensiones.


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Dispone de un mtodo incorporado de optimizacin, denominado OPTQUEST , el cual permiteescoger la solucin ptima de un problema por ms complejo que resulte, siempre y cuando se

definan bien las variables de decisin; tal como es el caso de los controles presupuestarios y losrendimientos fsicamente posibles para las operaciones de construccin.

El programa fue originalmente diseado para ser utilizado en el mundo financiero, pero suversatilidad lo hizo aplicable a problemas de optimizacin de diseo de aeronaves, del manejo desalas de emergencia en hospitales, del diseo de lanzamiento de cohetes espaciales, del manejode programas PERT CPM con variables Probabilsticas y con restriccin de gastos. Ha resultadomuy til en el estudio de canalizaciones complejas en la confluencias de ros que llegan al sitiocon diferente caudal, en los problemas relacionados con el arrastre de sedimentos y en el diseode distribuidores de trnsito y de cruces semaforizados.

12.APLICACIONES PRACTICAS DE LA SIMULACION MONTE CARLO EN LAINGENIERIA GEOTECNICA VENEZOLANA

En Venezuela he conformado un equipo de ingenieros civiles dedicados al uso de la SimulacinMonte Carlo en la Ingeniera Geotcnica, lo cual ha permitido iniciar la cuantificacin del riesgoen el anlisis de la estabilidad de taludes; analizar la fiabilidad del factor de seguridad en el casodel diseo de fundaciones profundas y estudiar la sensibilidad de los modelos a la variacininherente a la geologa y a la incertidumbre de las variables empleadas.

Con el empleo de la simulacin Monte Carlo y el programa Cristal Ball hemos podido analizar

hasta veinte pronsticos fundamentados en combinaciones de hasta seis variables de asuncinconsideradas actuando en tiempo real, y lo que es ms importante, hemos podido determinar losparmetros de las distribuciones resultantes en las celdas de pronstico e identificar dichasdistribuciones con pruebas contundentes de bondad de ajuste.

As hemos podido resolver problemas que, en literatura tcnica reciente, asomaban distribucionesprobables de pronstico que no haban podido ser precisadas por mtodos convencionales. Tal esel caso del factor de seguridad al deslizamiento de un muro de contencin presentado en formamuy clara por el Prof. Michael Duncan en Abril de 2000, Ref (11), empleando el mtodo de lasSeries de Taylor para calcular las probabilidades del Factor de seguridad. El resultado obtenidopor quien les habla, es idntico al obtenido por el profesor Duncan, pero resulta ms

comprensible para los estudiantes de ingeniera y para los ingenieros geotcnicos.El programa Cristal Ball Profesional 2000 me ha permitido analizar con suma efectividad lasdistribuciones de respuesta en el caso del diseo de muros de retencin de tierra, en los anlisisde estabilidad de taludes y en el diseo de fundaciones. Del referido anlisis ha sido posible


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obtener el valor esperado y la varianza de la distribucin resultante, tarea que se facilitaenormemente por estar incorporado el anlisis de la bondad de ajuste en la simulacin Monte

Carlo. En los ejemplos que se presentan a continuacin se muestra la versatilidad del programade simulacin, incluyendo el anlisis de la incertidumbre.

El clculo del valor esperado y de la varianza poblacional se ha facilitado en el caso de lasdistribuciones BETA y GAMMA, pues se emplean los parmetros de posicionamiento, escala yformaque arroja la salida en las expresiones matemticas especialmente destinadas para tal fin,las cuales se incluyen en la hoja de clculo Excel. Las referidas expresiones son las que aparecena continuacin:

Distribucin GAMMA ( ) escalaE = 22 =

Distribucin BETA. ( ) posicinE ++

=

( ) ( )12

2

+++=

Para otras distribuciones tales como la Weibull y la del Valor Extremo se utilizan las expresionescontenidas en el manual del usuario del programa Cristal Ball, haciendo la salvedad que estasdistribuciones pueden salir como las favorecidas en el anlisis bondad de ajuste por presentarel valor Kolmogorov Smirnov y de Anderson Darling mas eficiente, pero se prefiere ir a unadistribucin ms conocida como los son la Gamma, la Beta, la Lognormal y la Normal , siemprey cuando la bondad de ajuste sea aceptable.

13.MANERA DE SEPARAR LA VARIABILIDAD DE LA INCERTIDUMBRE

Cuando el analista realiza un estudio destinado a medir la cuantificacin del riesgo geotcnico,debe considerar que existen dos fuentes de variacin en la respuesta que se obtiene con laSimulacin Monte Carlo:

a) Variabilidad

b) Incertidumbre

Conviene explicar detalladamente estas dos fuentes de variacin del pronstico para mejorcomprensin de la cuantificacin del Riesgo que se realiza con la simulacin Monte Carlo.

a) La Variabilidad Inherente al Suelo y sus fuentes.


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Como bien lo expresan Phoon y Kulhawy en la referencia (28), la incertidumbre en losestimadores de las propiedades de los suelos proviene de fuentes muy diversas entre las cuales

destacan la que se refiere a la Variabilidad Inherente al los Depsitos de Suelo, la que dependedel Proceso de Medicin y la que depende del Modelo de Transformacin Matemtica.

La Variabilidad Inherente al Depsito del Suelo no puede ser eliminada aumentando el tamaode la muestra, pues es inherente al sistema mismo y por ello genera un sesgo que siempre estarpresente y que slo puede ser cuantificado por mtodos aproximados, como los propuestos porVanmarcke 1977,Ref (9); Baecher (1985), Ref (2) y Christian, Baecher y Ladd (1997) Ref (9).En todo caso, seremos capaces de calcular estadsticos no sesgados que sirvan de estimadores delos parmetros de la poblacin, como es el caso de la varianza muestral insesgada (s2), pero nonos ser posible eliminar el error con el aumento del tamao de la muestra.

Si tomamos una muestra de tamao N y estimamos con ella la media poblacional () y ladesviacin estndar poblacional () siempre cometeremos un error e, cuyo valor podemoscontrolar aumentando el tamao de la muestra; sin embargo, el logro de errores muy bajosimplica en la prctica la toma de muestras muy grandes, lo cual resulta antieconmico y consumemucho tiempo. Por tal motivo, se emplea la Distribucin Student para le estimacin de laVarianza Insesgada en muestras de tamao pequeo 5


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conformar documentos que pueden ser comprendidos por cualquier experto de otro pas. Enespecial conviene emplear el concepto de la fluctuacin () en sentido vertical y horizontal.

La manera ms conveniente de expresar la VARIABILIDAD INHERENTE AL SUELO esaplicando los conceptos establecidos por Vanmarcke (1977,1983), Baecher (1985),Spry et al(1988) y Phoon & Kalhawy (1999).

La variacin inherente al suelo en sentido horizontal resulta menor que en el sentido vertical,debido a la conformacin geolgica de los estratos. Ello se debe a que en el proceso dedeposicin de los suelos, o de meteorizacin de la roca, la naturaleza se encarga de formar capascuyos espesores dependen del mismo proceso, las cuales presentan propiedades geotcnicas

variables que resaltan ms en el sentido vertical y que son ms homogneas en el sentidohorizontal.

El modelaje inherente a la variabilidad del suelo debe ser realizado siguiendo lasrecomendaciones establecidas en la referencia (2), toda vez que conviene utilizar una tcnicacomn de evaluacin que nos permita comparar los valores de la variabilidad geotcnicaobtenidos en un determinado pas y en un ambiente geolgico determinado, con los que seobtienen en el resto del mundo en ambientes geolgicos similares.

En la actualidad se realizan en Venezuela evaluaciones de la variabilidad inherente al suelo y a laroca en obras de ingeniera civil relacionadas con la construccin de stanos urbanos y de

fundaciones profundas, en las que se ejecutan pilas y muros colados excavados y vaciados ensitio con empleo de lodo bentontico. Esta investigacin se lleva a cabo en la zona Noreste deCaracas, donde el subsuelo est conformado por deposiciones aluvionales de tipo torrencial cuyadescripcin geomorfolgica ha sido presentada por Singer y Muoz.

Cuando se utilizan el mtodo de simulacin Monte Carlo es indispensable que se evale lavariabilidad en forma independiente de la incertidumbre y que al realizar la simulacin en dosdimensiones se establezcan cuales son las celdas de asuncin que representan variables aleatoriasde las que se sospecha que muestren incertidumbre y que se comparen con las que slo presentanvariabilidad inherente al suelo.

Si bien es cierto que lo expresado en el prrafo precedente parece una labor difcil de llevar acabo, especialmente cuando no se ha realizado un buen proceso de inspeccin de la exploracinde campo y del trabajo de laboratorio; siempre es posible realizar la simulacin en dosdimensiones suponiendo que una de las variables presenta mucho menos incertidumbre que elresto de las que utiliza el modelo. Por ejemplo, el ngulo de friccin interna efectivo tiende a


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presentar un COV bajo, vecino al 10 %, al igual que tanb(Medida de la Cohesin Aparente), encomparacin con la resistencia al corte no drenada Su, cuyo COV es > 20%.

La incertidumbre y su origen.

El trmino incertidumbre se refiere ms bien a falta de informacin o a la consecuencia deerrores en el muestreo o en los ensayos de laboratorio o de campo. Los referidos erroresconstituyen el sesgo externo cuya eliminacin es posible si se establece un control adecuado delos procesos de medicin y se emplean suficientes taladros exploratorios bien inspeccionados.Por tal motivo, no es recomendable dejar la evaluacin de las propiedades de los suelos en manosde personas no entrenadas, quienes no tengan pleno dominio de las normas establecidas en loscdigos de investigacin aceptados por la comunidad cientfica internacional.

Cuando se paga por obtener informacin que permita caracterizar las propiedades de los suelos esINDISPENSABLE que dicho pago no implique ahorros que vayan en perjuicio de la calidad dela informacin. En tal sentido, es muy poco recomendable la licitacin de estudios geotcnicos,basando la escogencia del consultor cuyo precio resulta ms barato, pues, por lo general losestudios baratos tienden a presentar ruido estadstico.

Un buen ejemplo del ruido estadstico es el que se presenta en los laboratorios de ensayo cuandolos equipos no estn debidamente calibrados de acuerdo a un patrn ISO. Otro ejemplo loconstituyen los sondeos SPT realizados sin la debida vigilancia de un profesional capacitado, enlos que el procedimiento de ejecucin se lleva a cabo con alejamiento de lo establecido en laespecificacin ASTM.

Por otra parte, cuando no disponemos de suficiente informacin, decimos que estamos ante uncaso de incertidumbre y que, en consecuencia es nuestro deber arreglarnos de la mejor maneralcita para mejorar la informacin disponible.

Cuando existe incertidumbre por falta de informacin crece la probabilidad de cometer errores deimportancia y con ello crece el riesgo de obtener resultados incmodos o indeseables. Por ello, siqueremos limitar el riesgo a un valor tolerable, resulta indispensable reducir al mximo posible laincertidumbre. Una manera prctica de reducir la incertidumbre a valores tolerables es empleandola informacin cartogrfica, en forma de mapas, la cual est disponible en entes pblicos dereconocida solvencia tcnica.

Por ejemplo, si estamos estudiando un terreno urbano difcil y no disponemos de fondos parahacer suficientes sondeos, podemos recurrir a los dueos de los terrenos vecinos para solicitarlesla informacin geotcnica que ellos poseen y, previo anlisis de su calidad, complementar lanuestra, sin tener que invertir excesivo tiempo y dinero para lograrlo.


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Otras veces es factible adquirir o consultar pares estereoscpicos secuenciales en el InstitutoCartogrfico del pas, los cuales sirven para aclarar la posicin de antiguos cauces de agua o

detectar cambios topogrficos causados por movimientos de tierra realizados en el lugar. Elempleo de esta tcnica sirve para eliminar o reducir la incertidumbre aumentando el cmulo deinformacin disponible.

Nuestra experiencia docente en Venezuela nos ha permitido entender que son pocos losingenieros que han recibido entrenamiento para lograr realizar mediciones en paresestereoscpicos. Pocos tienen conocimiento de lo que significa una correccin por paralaje, o unamarca fiduciaria y por tal motivo, son incapaces de determinar cotas aproximadas en fotografasareas.

La confeccin de mapas de ISOPACAS de relleno o de mapas de curvas de nivel del tope de la

roca subterrnea es una manera de reducir o de eliminar la incertidumbre cuando proyectamos unsistema de fundaciones profundas. Estos mapas pueden ser preparados por etapas, siendo laprimera de ellas la que utiliza la informacin obtenida de taladros exploratorios propios delterreno en estudio y de otros correspondientes a terrenos vecinos. Las etapas subsiguientes sebasan en informacin adicional obtenida de la excavacin de las pilas o pilotes durante laconstruccin de la edificacin, convirtiendo cada excavacin de pila o pilote en un nuevo sondeoexploratorio. Este es el caso del terreno donde se construye el Centro Comercial Lder en BoletaSur, en la Avenida Francisco de Miranda en Caracas.

Cuando se combina la informacin obtenida de las excavaciones de muros colados perimetralesde stanos con la que se obtiene de la excavacin de pilas de fundacin, s

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