Il pricing dei derivati:Metodo di Montecarlo, Path Integrals

L. Bellucci, G. Cipriani M.Rosa-Clot, S.Taddei Firenze

E. Bennati Dip Scienze Econ. (Pisa)

M.Cerchiai, C.Giannotti G. Einaudi, P. Rosa-Clot (Pisa)

A. Amendolia, (Sassari)

Un indice di borsa: il cambio EURO/$

Analisi dell’indice

• Ci sono andamenti di lungo periodo • Si sovrappongono movimenti veloci

Rumore

Fisici e ingegneri chiamano rumore tutti quei fenomeni impreditibili che alterano il processo fisico e le sue leggi di fondo

Volatilità

Gli economisti chiamano volatilità la rapida fluttuazione di un indice o di un prezzo determinata dalle spinte impredittibili del mercato

La legge binomiale

• Si assume che ci sia una probalbilità definita che abbia luogo un evento (1/2 se si lancia una moneta e si vuole trovare testa) e si chiede con quale frequenza compare testa in un certo numero di lanci.

• In generale

Eventi casuali Rischio

Esempio canonico : il lancio della monetatesta p=.5croce q= .5

p + q = 1

Distribuzione Binomiale Curva Gaussiana

mNqmpmmN

NNmp

!)!(

!),(

Legge dei grandi numeri

npqNmpmmnpmNmmp

Nmp

),()(),(1),(

2

isto.m monte1.m

Distribuzioni di probabilità

• Come verificare che la legge gaussiana è vera ? • Osservando molte volte l’evento !• Quante volte ? Moltissime ! ! !• Processo di Wiener : per il lancio della moneta

abbiamo assunto x= 1 x =w

• MATALAB: BINOMIALE

Lanci ripetuti:100, 1000, 10000, 50000

Il continuo e il metodo di Montecarloun semplice caso di barriera

0 2 4 6 8 10 12-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

monte1.m

Processo di Wiener

In generale assumiamo:

x =x,t)t + (x,t) w

In particolare per esempio si ha

r =a (b - r ) t + w Vasicek

oppure

r =a (b - r ) t + r w CIR

Il caso generale: equazioni stocastiche

• Soluzioni analitiche (in pochi casi)

• equazione differenziale (Fokker Plank) • metodo di montecarlo (lunghi tempi di CPU)• Metodi discretizzati ad albero

dWtxdttxdx ),(),(

),,,(22),(

21),,,(),(),,,( txTyF

xtxtxTyF

xtxtxTyF

t

E la corrispondente equazione differezniale

Le tecniche di soluzione

• Soluzioni analitiche (in pochi casi)

• Soluzione della equazione differenziale (metodo generale ci sono problemi matematici delicati)

• metodo di montecarlo (lunghi tempi di CPU)

• Metodi discretizzati ad albero (funziona bene solo in casi 1D)

• Metodo dei Path Integral (funziona in 1 2 3 dimensioni ed è rapido e generale)

Un sempio disoluzione analitica IL MODELLO CIR

Una realizzazione del modello CIR

0 2 4 6 8 10 120

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2Cox, Ingersoll, Ross a= 0.5 b= 0.1 sigma= 0.075

monte3.m

Modelli realistici

• Il modello di Vasicek ha seri limiti (ammette per esempio tassi di interesse negativi)

• Un modello migliore è quello CIR (Cox Ingersoll Ross) che sostituisce ad una volatilità costante una legata alla radice del tasso. Tale modello ammette soluzioni analitiche.

• PROBELMA I : sganciarsi dai modelli e utilizzare i tassi “reali”

• PROBLEMA II: valutare un funzionale generico

Un esempio :anno 1998 interesse a 30 anni per la lira

Cosa è un funzionale

0 2 4 6 8 10 120

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2Cox, Ingersoll, Ross a= 0.5 b= 0.1 sigma= 0.075

Nella figura accanto

tutto quello e supera la linea nera viene pesato

calcolato attualizzando il valore col tasso di

interesse corrispondente

I funzionali possono essere molto complicati: per esempio i possono

essere barriere, oppure cedole,

oppure il diritto di esercizio di qualche clasuola

Calcolare un funzionale comporta

• Mediare su tutti i cammini possibili

• Ma icammini possono dipendere dal funzionale stesso

• Quindi iterare moltissimi processi mediando i diversi risultati

• MONTECARLO

• Discretizzare il processo a step finiti

• Conoscere la distribuzione di probabilità ad ogni istante

• Integrare numericamente sulle distribuzioni

• PATH INTEGRAL

Path Integral 1

• La distribuzione di probabilità condizionata (y,t,x,0) dà la probablità di trovare il valore y della variabile al tempo t essendo nota la distribuzione al tempo t=0.

• Per tale distribuzione vale la legge di composizione

dzxzztyxty )0,,,(),,,()0,,,(

Path Integral 1

Path Integral 2

• Per piccoli incrementi temporali si ha in generale

ttxxLetxt

txtty

),,(

),(21),,,(

Con

txyx

ttxxtx

txxL

)(

),(),(2

1),,(2

2

• Si tratta ora di effettuare N convoluzioni ottenendo in tal modo l’ampiezza di probabilità per tempi finiti.

• La grandezza (y-x)/t rappresenta una specie di velocità e la funzione L(x,v,t) è la lagrangiana del sistema.

tred.m

Path Integral 3

Realizzazione di alcuni cammini

0 2 4 6 8 10-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4 Partendo da zero

si realizzano

5 diversi percorsi

La funzione di

trasferimento è nota per ogni

intervallo t

path1.m

Il formalismo di Feymann• Wiener formula la teoria degli integrali stocastici nel 1921

• Feynman introduce il concetto di path integral in meccanica quantistica nel 42.

• Non vengono applicati fino al lavoro di Kreutz e Freedman del 1981 (problemi di calcolo)

• Poi esplodono gli approcci Montecarlo: problema di tempo ma “multidimensionalità”

• Più recentemente approcci “deterministici”: Rosa-Clot e Taddei. Molto veloci ma bassa dimensionalità: <4.

• Basta e avanza per i mercati finanziari.

Vantaggi formali e numerici

• Teoria solidamente fondata

• Sono noti tutti i casi analitici e le loro possibili estensioni

• Si riproducono tutti i casi noti in letteratura

• Sono note molte tecniche approssimate

• Numericamente stabile• Da fondamento più

generale agli alberi• E’ molto veloce

(quanto gli alberi)• Permette di estendere

a casi complessi la valutazione del funzionale

Il funzionale

• In genere si tratta di valutare grandezze che dipendono dalla realizzazione del processo stocastico.

• Esempi tipici sono il cap e la put american

Esempio di un cap

)),(()0,,,()(

trPedrEstrCdr

dreEdrtrP

)(),(Con

Questa definizione formale si traduce numericamente in una

prescrizione molto semplice: quando il tasso di interesse

supera il valore si calcola attualizzato il valore in eccesso.

Esempio di una put american

0 2 4 6 8 10-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

L’opzione viene

esercitata quando

il suo valore scende

sotto un valore tale

da massimizzare il

guadagno

path1.m

Tempi di CPU per il pricing di opzioni

Il problema delle volatilità

Un problema aperto e molto complesso è quello delle fluttuazioni non gaussiane degli indici di borsa.

In altre parole ci sono scarti molto elevati rispetto al valore della deviazione standard: la teoria prevede che la probabilità di una fluttuazione maggiore di 3 volte la deviazione standard sia 1/1000

In realtà abbiamo spesso deviazioni che sono 10 volte superiori alla deviazione standard

Il problema dei dati: il FIB30

Analisi degli scarti con ritardo di 1 4 16 64 256 1024 tic

Levy.m

Confronto con una gaussiana