Metodi matematici per l'ingegneria · Politecnico di Torino Anno Accademico 2011/2012 ... il nome...

Appunti di 05BQXNZ - Metodi matematici per

l’ingegneria

Studente: MACI SamuelePolitecnico di Torino

Anno Accademico 2011/[email protected]

Docente: RECUPERO VincenzoRicercatore Confermato

[email protected]

16 maggio 2012

mailto:[email protected]


c©

c© Il testo e stato redatto in LATEX attraverso l’applicativo TEXnicCenter; i grafici sono realizzati at-traverso il software di calcolo numerico Matlab, mentre le immagini attraverso un programma di graficavettoriale (nel caso specifico Inkscape).Sono stati sfruttati pacchetti per LATEX come caption, changepage, eso-pic, fancyhdr, geometry,listings, subfig, . . . .N.B. Il seguente documento e un quaderno di appunti ; il nome del corso (Appunti di 05BQXNZ - Metodimatematici per l’ingegneria) e fornito solo per avere un’indicazione riguardo agli argomenti/metodo-logie affrontate nel corso; questo non implica una diretta verifica/approvazione da parte del/dei docentiindicati (che sono forniti sempre in via indicativa).Si vuol ricordare che tali appunti possono essere affetti da errori e per questo motivo si richiede di comu-nicare il sottoscritto, alla mail [email protected], con eventuali correzioni e/o suggerimenti nellastesura, indicando chiaramente il documento a cui ci si riferisce.


Indice

I Probabilita 1

1 Calcolo Combinatorio 3

1.1 Permutazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Combinazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Assiomi della probabilita 7

2.1 Definizione assiomatica di probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Principio di inclusione-esclusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Probabilita condizionata 17

3.1 Dipendenza condizionata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Variabili Aleatorie 25

4.1 Variabili Aleatorie Discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1.1 Trasformazione di una variabile aleatoria discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.2 Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.3 Variabili aleatorie discrete notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Variabili aleatorie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.1 Valore atteso di una variabile aleatoria continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.2 Variabili aleatorie continue notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3 Leggi congiunte di variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3.1 Funzioni di densita congiunte di variabili aleatorie discrete . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3.2 Funzioni di densita congiunte di variabili aleatorie continue . . . . . . . . . . . . . 45

4.4 Variabili aleatorie indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4.1 Somma di variabili aleatorie indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

II Analisi Matematica 51

5 Ripasso numeri complessi 53

5.1 Rappresentazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2 Operazioni fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6 Funzioni complesse 59

6.1 Esponenziale complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.2 Funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.2.1 Proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.3 Funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.3.1 Proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7 Analisi in Campo Complesso 63

7.1 Curve in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.2 Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.3 Derivata complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

I

8 Integrali 698.1 Definizioni: Curve in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698.2 Integrali curvilinei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.2.1 Richiamo di Analisi Matematica II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9 Successioni e Serie 799.1 Serie in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799.2 Serie di potenze in C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

10 Teorema di Laurent e dei Residui 8510.1 Metodi di calcolo dei Residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8610.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

11 Distribuzioni 9111.1 Introduzione (non formale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.2 Distribuzione: definizioni rigorose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9211.3 Operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9511.4 Convergenza di distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

11.4.1 Estensione a C∞(R) delle distribuzioni a supporto compatto . . . . . . . . . . . . 9811.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

12 Appendice 107

II

Elenco delle figure

2.1 Griglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Rappresentazione insiemistica degli studenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.1 Sintesi grafica della rappresentazione di numeri complessi sul piano di Gauss (piano complesso) 54

6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

11.1 Grafici di f(x) degli esercizi 11.23, 11.24, 11.25, 11.26, 11.31, 11.41 . . . . . . . . . . . . . 106

III

Parte I

Probabilita

1

Capitolo 1

Calcolo Combinatorio

Il calcolo combinatorio ci aiuta a numerare gli elementi di un insieme che gode di determinate caratteri-stiche.Un banale esempio applicativo e contare il numero di targhe italiane11 che possono essere realizzata (inparticolare si ha che la cardinalita dell’insieme delle targhe e #(targhe) = 212 · 103 · 212).

1.1 Permutazioni

Sia N = x1, x2, . . . , xn un insieme di elementi distinti, dove n = #(N) e la cardinalita dell’insieme.

Definizione 1.1 L’insieme delle permutazioni di N , P(N), e l’insieme di tutti i possibili ordinamentidell’insieme N .

Il numero delle permutazioni, indicato come, #(P(N)) = n!.Sorge ora il problema di calcolare il numero di permutazioni di un insieme N ′ nel quale sono presenti nelementi non tutti distinti. In questo caso si considerano tutte le permutazioni degli elementi (n!) e sidivide il risultato per la permutazione dei singoli elementi ripetuti.

Esempio 1.1 Quanti sono gli anagrammi della parola PEPPER?

N = P,E, P, P,E,Rcon n1P = 3, n2E = 2, n3R = 1; pertanto

#(P(N)) =n!

n1! · n2! · n3!=

6!

3! · 2!

In generale quindi

#(P(N)) =n!k∏i=1

nk

dove n = #(N), k e il numero di elementi distinti e nk e il numero di elementi indistinguibili.

1.2 Combinazioni

Sia N = x1, x2, . . . , xn un insieme di elementi distinti, dove n = #(N) e la cardinalita dell’insieme.

Definizione 1.2 L’insieme delle combinazioni di N di classe k, con k ≤ n, Cn,k(N) e l’insieme deisottoinsiemi di N con cardinalita k.

Due combinazioni sono distinte se varia almeno un elemento, non e quindi importante l’ordine.Per il conteggio delle combinazioni si prendono tutte le permutazioni di k elementi realizzabili con elementi

di N(

n!(n−k)!

)e si divide per il numero di permutazioni dei k elementi presi, pertanto

#(Cn,k(N)) =n!

(n− k)! · k!=

(n

k

)1targhe composte da due lettere, tre cifre, due lettere

3

4 CAPITOLO 1. CALCOLO COMBINATORIO

Proprieta del coefficiente binomiale

•(nk

)=(n

n−k)

•(nk

)=(n−1k

)+(n−1k−1

)•(n0

)=(nn

)= 1

• (x+ y)n =

n∑i=1

(n

i

)· xi · yn−1

–

n∑i=1

(n

i

)=

n∑i=1

(n

i

)· 1i · 1n−1 = 2n

Le combinazioni, attraverso il coefficiente binomiale, suddividono l’insieme N in due partizioni; ma sevolessimo suddividere N in r partizioni distinte come dovremmo operare?Si ragiona per induzione, cioe si sistema la prima partizione, dagli elementi non selezionati si continuacon la seconda partizione e cosı via.(

n

n1

)·(n− n1

n2

)· · ·(n−

∑r−2i=1 ni

nr−1

)·(nrnr

)=

n!∏ri=1 ni!

=

(n

n1, n2, . . . , nr

)coefficiente multinominale

Proprieta del coefficiente binomiale

• (x1 + . . .+ xr)n =

[ ∑k1+...+kr=n

(n

n1, n2, . . . , nr

)·r∏i=1

xkii

]

–∑

k1+...+kr=n

(n

n1, n2, . . . , nr

)=

∑k1+...+kr=n

[(n

n1, n2, . . . , nr

)·r∏i=1

1ki

]= rn

Esercizio 1.1 Quante sono le possibili squadre distinte se ogni squadra contiene 3 giocatori e occorrerealizzare 3 squadre partendo da 9 ragazzi?(

9

3, 3, 3

)=

9!

3! · 3! · 3!=

9!

33 · 23=

7!

3= 1680

E se le squadre giocassero nello stesso campionato? (cioe non e piu importante conoscere l’ordinamentodelle squadre) (

93,3,3

)3!

=9!

3! · 3! · 3! · 3!=

9!

34 · 24=

7!

32 · 2= 560

Esercizio 1.2 Si hanno n antenne di cui m sono difettose2.

N = 1, 1, . . . , 1︸︷︷︸n−m

, 0, 0, . . . , 0︸︷︷︸m

F = il sistema funziona ⇒ non si sono 0 consecutivi

P(F ) =#(casi favorevoli a F)

#(casi possibili)

#(casi possibili) = #(P(N)) =

(n

m

)Ipotizziamo di avere le n−m antenne funzionanti e di interporre al centro le m antenne difettose

#(casi favorevoli a F ) = #(Cn−m+1,m) =

(n−m+ 1

m

)

P(F ) =

(n−m+1

m

)(nm

)2antenna difettosa e indicata come 0

1.2. COMBINAZIONI 5

Esercizio 1.3 (Paradosso del compleanno) Abbiamo n studenti tutti nati in anni non bisestili (annitutti da 365 giorni).

E = nessuno festeggi il compleanno nello stesso giorno

P(E) =#(casi favorevoli a E)

#(casi possibili)=

365!(365−n)!

365n

Se n = 23 si ha la probabilita di circa il 51% di probabilita che almeno due ragazzi compiano il compleannonello stesso giorno.

Esercizio 1.4 Ho 7 caramelle da dare a 3 bambini, supponendo che ad ogni bambino vengadata almenouna caramella; in quanti modi distinti si possono distribuire le caramelle?Occorre quindi risolvere il seguente sistema

x1 + x2 + x3 = 7∀i ∈ [1, 3], xi ∈ N+

Dal punto di vista logico, la separazione delle caramelle si puo vedere come un separatore interposto trale caramelle (facendo cura a non porre due serapatori tra due caramelle, in tal modo ci si garantisce cheogni bambino riceve almeno una caramella); poiche si hanno 7 caramelle allora si hanno 6 spazi doveporre i separatori (che nel nostro caso saranno 2), pertanto il problema si riduce a calcolare il numero dimodi distinti di porre 2 separatori in 6 spazi.

#(C6,2) =6!

4! · 2!= 15

Generalizzando il problema a c caramelle e b bambini il numero di distinti di modi e

#(Cc−1,b−1) =(c− 1)!

(b− 1)! · (c− 1− b+ 1)!=

(c− 1

b− 1

)Modificando il problema supponendo che i bambini possano anche restare senza caramelle il problema siriformalizza nel seguente modo

x1 + x2 + x3 = 7∀i ∈ [1, 3], xi ∈ N

Con questa nuova riformulazione si hanno b− 1 separatori e le c caramelle; pertanto il calcolo dei modidistinti per la distribuzione e semplicemente la permutazione di tutti gli elementi dell’insieme

#(P(N)) =9!

7! · 2!=

(9

2

)Il problema poteva anche essere risolto utilizzando i calcoli precedenti nel seguente modo

#(distribuzione caramelle) =

b∑i=1

(c− 1

i− 1

)Infine generalizzando il problema considerando b bambini e c caramelle

#(S) = #(P(|, |, . . . , |︸︷︷︸b−1

, 0, 0, . . . , 0︸︷︷︸n

)) =(b+ c− 1)!

(b− 1)! · c!=

(b+ c+ 1

b− 1

)

Un metodo alternativo alla risoluzione del problema

b∑i=1

xi = c, xi > 0 e quello di distribuire ad ogni

bambino una caramella e quindi ci si conduce a risolvere

b∑i=1

xi = c− b, xi ≥ 0 pertanto si pongono b− 1

separatori tra c− b caramelle, pertanto tutte le possibili permutazioni sono

#(S) =(c− b+ b− 1)!

(b− 1)! · (c− b)!=

(c− 1)!

(b− 1)! · (c− b)!=

(c− 1

b− 1

)

Nel caso in cui si vuol risolvere il problema

b∑i=1

xi = c, xi ≥ 0 si puo anche pensare a sommare tutte

le possibili soluzioni considerando che nessun bambino resti senza caramelle, un bambino resti senzacaramelle, . . . , b− 1 bambini restano senza caramelle; ci si riconduce a trattare il seguente problema

#

(b∑i=1

xi = c, xi ≥ 0

)=

b−1∑i=0

#

b−i∑j=1

xj = c, xj 6= 0

6 CAPITOLO 1. CALCOLO COMBINATORIO

Riducendo il problema a 3 bambini e a 7 caramelle si ha

#

(3∑i=1

xi = 7, xi ≥ 0

)=

(3

0

)·# (x1 + x2 + x3 = 7, xi > 0) +

(3

1

)·# (x1 + x2 = 7, xi > 0) +

+

(3

2

)·# (x1 = 7, xi > 0) =

=

(6

2

)+ 3 ·

(6

1

)+

(3

2

)= 15 + 18 + 3 = 36

Capitolo 2

Assiomi della probabilita

Ci si interessa di eventi/fenomeni il cui risultato non puo essere previsto con certezza.

Definizione 2.1 [Spazio campionario] Lo spazio campionario, S, e l’insieme di tutti i possibili esitidell’esperimento preso in esame.

Definizione 2.2 [Evento] Un evento, E, e un sottoinsieme di S.

Si richiede che la famiglia degli eventi deve essere chiusa rispetto all’unione e al complementare.

Definizione 2.3 [Tipi di eventi] Un evento

∅ si dice impossibile

S si dice certo

Dati due eventi E e F si definiscono:

• l’evento unione, E ∪ F , l’evento che contiene tutti i risultati di E e di F (si verifica almeno unodei due eventi)

• l’evento intersezione, E ∩ F , l’evento che contiene tutti i risultati comui di E e di F (si verificanoentrambi gli eventi)

• l’evento complementare, EC , l’evento che contiene tutti i risultati di S che non sono contenuti inE(EC = S\E

)• l’evento differenza, E − F = E ∩ FC , contiene tutti i risultati di E che non sono risultati di F

Inoltre data una successione di eventi di S En, n ≥ 1 si definisce

•+∞⋃n=1

En, l’evento unione degli eventi che si verifica quando almeno uno degli eventi si verifica

•+∞⋂n=1

En, l’evento intersezione degli eventi che si verifica quando tutti gli eventi si verificano

Due eventi si definiscono incompatibili se non hanno risultati comuni, cioe E ∩ F = ∅

Proprieta algebriche di unione e intersezione

commutativa E ∩ F = F ∩ E E ∪ F = F ∪ E

associativa E ∩ (F ∩G) = (E ∩ F ) ∩G) E ∪ (F ∪G) = (E ∪ F ) ∪G)

distributiva E ∩ (F ∪G) = (E ∩ F ) ∪ (E ∩G) E ∪ (F ∩G) = (E ∪ F ) ∩ (E ∪G)

leggi di De Morgan

(n⋂i=1

Ei

)C=

n⋃i=1

ECi

(n⋃i=1

Ei

)C=

n⋂i=1

ECi

7

8 CAPITOLO 2. ASSIOMI DELLA PROBABILITA

2.1 Definizione assiomatica di probabilita

Definizione 2.4 Dati uno spazio campionario, S, e una famiglia di eventi, E, una misura di probabilita,probabilita, e una funzione degli eventi che soddisfa i seguenti assiomi:

A1 0 ≤ P(E) ≤ 1

A2 P(S) = 1

A3 Se En, n ≥ 1 e una successione di eventi a due a due incompatibili1, allora

P

(+∞⋃i=1

Ei

)=

+∞∑i=1

P(Ei) additivita numerabile

Dagli assiomi seguono le seguenti proprieta

P1 P(∅) = 0

Dimostrazione 2.1 Sia E1 = S, ∀n > 1, En 6= 0, dall’assioma A3 si ha che

P

(+∞⋃n=1

En

)= P(S) +

+∞∑n=2

P(∅) = 1 +

+∞∑n=2

P(∅)

poiche 0 ≤ P(E) ≤ 1 si ha che+∞∑n=2

P(∅)⇒ P(∅) = 0

P2 Se E1, E2, . . . , En sono eventi a due a due incompatibili allora

P

(n⋃i=1

Ei

)=

n∑i=1

P(Ei) additivita finita

Dimostrazione 2.2 Applicando l’assioma A2 con Ei = ∅,∀i > n e sfruttando la proprieta P1 siha che (

n⋃i=1

Ei

)=

(+∞⋃i=1

Ei

)=

+∞∑i=1

P(Ei) =

n∑i=1

P(Ei) +

+∞∑j=n+1

P(∅) =

n∑i=1

P(Ei)

P3 P(EC) = 1− P(E)

Dimostrazione 2.3 Si osserva che S = E ∪ EC e che E ∩ EC = ∅

1 = P(S) = P(E ∪ EC) = P(E) + P(EC)⇒ P(EC) = 1− P(E)

P4 Se E ⊂ F allora P(E) ≤ P(F )

Dimostrazione 2.4 Si osserva che F = E ∪ (F − E) e che E ∩ (F − E) = ∅

P(F ) = P(E ∪ (F − E)) = P(E) + P(F − E) ≥ P(E)

P5 P(E ∪ F ) = P(E) + P(F )− P(E ∩ F )

Dimostrazione 2.5 Si osserva che F = (F ∩ E) ∪ (F ∩ EC) e che E ∪ F = E ∪ (F ∩ EC); glieventi F e E ∪ F , in base alla definizione data, sono realizzati come unione di eventi incompatibili

P(F ) = P(F ∩ E) + P(F ∩ EC)

P(E ∪ F ) = P(E ∪ (F ∩ EC)) = P(E) + P(F ∩ EC)⇒ P(E ∪ F ) = P(E) + P(F )− P(E ∩ F )

1En ∩ Em = ∅, n 6= m

2.1. DEFINIZIONE ASSIOMATICA DI PROBABILITA 9

2.1.1 Principio di inclusione-esclusione

P

(n⋃i=1

Ei

)=

n∑i=1

P(Ei)−∑i<j

P(Ei ∩ Ej) +∑i<j<k

P(Ei ∩ Ej ∩ Ek) + . . .+ (−1)n−1 · P

(n⋂i=1

Ei

)

Esercizio 2.1 (Problema delle corrispondenze) N coppie (uomo/donna) vanno ad una lezione ditango argentino. Supponendo che le coppie di ballo si formino casualmente, si calcoli la probabilita che:

1. nessun uomo stia ballando con la propria partner

2. esattamente k uomuni stiano ballando con la propria partner

Supponendo che gli uomini restino fermi il numero di possibili accoppiamenti e dato dal numero dipermutazioni distinte delle donne, il numero di possibili accoppiamenti e quindi

#(1, 2, . . . , N) = N !

Svolgimento

1. Definendo l’evento Ei = l’uomo i balla con la propria moglie

P(nessun uomo balla con la moglie) = 1− P(almeno uno balla con la moglie) = 1− P

(N⋃i=1

Ei

)

P

(N⋃i=1

Ei

)=

N∑i=1

P(Ei)−∑i<j

P(Ei ∩ Ej) +∑i<j<k

P(Ei ∩ Ej ∩ Ek) + . . .+ (−1)N−1 · P

(N⋂i=1

Ei

)Nel caso in cui solo una coppia sia sistemata occorre ancora disporre N − 1 donne, pertanto si ha

P(Ei) =(N − 1)!

N !

Nel caso in cui solo due coppie siano sistemate occorre ancora disporre N − 2 donne, pertanto si ha

P(Ei ∩ Ej) =(N − 2)!

N !

Come e chiaro nel caso di c coppie (con c ≤ N) sistemate occorre disporre N − c donne, pertantosi ha

P

(N−c⋂i=1

Ei

)=

(N − c)!N !

pertanto

P

(N⋃i=1

Ei

)=

N∑i=1

(N − 1)!

N !−∑i<j

(N − 2)!

N !+∑i<j<k

(N − 3)!

N !+ . . .+ (−1)N−1 · 1

N !=

= 1−(N

2

)· (N − 2)!

N !+

(N

3

)· (N − 3)!

N !+ . . .+ (−1)N−1 · 1

N !=

= 1− 1

2!+

1

3!+ . . .+ (−1)N−1 · 1

N !=

N∑i=1

(−1)i+1 · 1

i!

P(nessun uomo balla con la moglie) = 1−N∑i=1

(−1)i+1 · 1

i!=

N∑i=2

(−1)i · 1

i!

Se il numero di coppie tende ad infinito si ha che la probabilita che nessun unomo balla con lapropria moglie si ha una probabilita di 1

e .

2. P(k uomini ballano con la propria moglie) = P

((k⋂i=1

Ei

)∩

(N⋂

i=k+1

ECi

))

P(nessuno degli N-k uomini stia ballano con la propria moglie) =

N−k∑i=2

(−1)i · 1

i!


poiche P(A) =#(A)

#(possibili)⇒ #(A) = #(possibili) ·#(A)

P

((k⋂i=1

Ei

)∩

(N⋂

i=k+1

ECi

))=

(N − k)! ·N−k∑i=2

(−1)i · 1

i!

N !·(N

k

)=

=(N − k)!

N !·N−k∑i=2

(−1)i · 1

i!· N !

(N − k)! · k!=

1

k!·N−k∑i=2

(−1)i · 1

i!

Definizione 2.5 [Probabilita uniforme] Si ha probabilita uniforme se tutti i possibili eventi, Si, di unospazio campionario, S = s1, s2, . . . , sn, sono eventi incompatibili ed equamente probabili.

P(si) = c⇒ 1 = P(S) = P

(n⋃i=1

si

)=

n∑i=1

P(si) =

n∑i=1

c = n · c⇒ c =1

n

Esercizio 2.2 Un’urna contiene 6 palline bianche e 5 nere. Se ne estraggono 3 a caso, calcolare laprobabilita che ne vengano estrette 1 bianca e 2 nere.

P(E) =

(6

1

)·(

5

2

)(

11

3

) =4

11= 0.36

Esercizio 2.3 Calcolare la probabilita di ottenere i punteggi del poker (coppia, doppia coppia, tris, full,poker, colore, scala semplice, scala reale) con le 5 carte servite dal mazzo.

P(scala reale) =10 · 4(

525

)P(scala semplice) =

10 · (45 − 4)(525

)P(colore) =

4 ·[(

135

)− 10

](525

)P(poker) =

13 ·(

44

)· 48(

525

)P(full) = P(tris+ coppia) =

13 ·(

43

)· 12 ·

(42

)(525

)P(doppia coppia) =

(132

)·(

42

)·(

42

)· 48 · 4(

525

)P(tris) =

13 ·(

43

)·(

122

)· 42(

525

)P(coppia) =

13 ·(

42

)·(

123

)· 43(

525

)Prosizione 2.1 Se En, n ≥ 1 e una successione di eventi monotona allora

P(

limn→+∞

En

)= limn→+∞

P (En)

Dimostrazione 2.6 Sia En, n ≥ 1 una successione crescente, cioe E1 ⊂ E2 ⊂ . . . ⊂ En (eventual-mente E1 ⊆ E2 ⊆ . . . ⊆ En)

limn→+∞

En =

+∞⋃n=1

En


poiche En contiene tutti gli eventi E1, E2, . . . , En−1

Si “costruisce” una successione ausiliaria

F1 = E1 F2 = E2\E1 = E2∩EC1 F3 = E3\E2 = E3∩EC2 Fn = En\En−1 = En∩ECn−1,∀n ∈ N+

per costruzione la successione Fn, n ≥ 1 e composta da elementi disgiunti/incompatibili

P(

limn→+∞

En

)= P

(+∞⋃n=1

En

)= P

(+∞⋃n=1

Fn

)σ−additivita

=

+∞∑n=1

P(Fn) =

= limm→+∞

m∑n=1

P(Fn)additivita finita

= limm→+∞

P

(m⋃n=1

Fn

)=

= limm→+∞

P(Em)

Sia En, n ≥ 1 una successione decrescente, cioe E1 ⊃ E2 ⊃ . . . ⊃ En (eventualmente Ei ⊇ E2 ⊇ . . . ⊇ En)

limn→+∞

En =

+∞⋂n=1

En

poiche Ei contiene tutti gli eventi Ei+1, Ei+2, . . .

Utilazzando la successione ECn , n ≥ 1 si osserva che tale successione e crescente, pertanto poiche(+∞⋃n=1

ECn

)C=

+∞⋂n=1

En (legge di De Morgan)

P(

limn→+∞

En

)= 1− P

(lim

n→+∞ECn

)= 1− lim

m→+∞P

(m⋃n=1

Fn

)= 1− lim

m→+∞P

(m⋂n=1

ECn

)=

= limn→+∞

P

(m⋂n=1

En

)= limm→+∞

P(En)

Esercizio 2.4 Calcola la probabilita che

E1 = somma 7 con il lancio di 2 dadi

E2 = somma 12 con il lancio di 3 dadi

Supponendo i dadi bilanciati si definisce lo spazio campionario S1 = (i, j) : i, j ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6, S2 =(i, j, k) : i, j, k ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6

#(S1) = 62 = 36

P(i+ j = 7) =#(i+ j = 7)

#(S1)

soluzioni intere dell’equazione=

(61

)36

=6

36=

1

6

#(S2) = 62 = 36

P(i+ j + k = 12) =#(i+ j + k = 12)

#(S1)

#(i+ j+k = 12) =(

112

)= 55, considera anche le soluzioni in cui xi > 6; pertanto e necessario eliminare

tale soluzioni. Prestando attenzione alla natura del problema si nota che una sola variabile puo esseresuperiore a 6; definendo quindi x1 = x1 + 6, x1 > 0

3 ·#(x1 + 6 + x2 + x3 = 12) = 3 ·#(x1 + x2 + x3 = 6) = 3 ·(

5

2

)= 30

pertanto si ha

P(E2) = P(i+ j + k = 12) =55− 30

216=

25

216


Esercizio 2.5 Un’urna contiene una pallina rossa e tutte le altre bianche (in totale le palline sono n).

U = rossa

1 ,bianche

2, 3, 4, . . . , n

Si effettuano k estrazioni, calcolare la probabilita che si verifichi E

E = venga estratta la palla rossa

Poiche non e influente l’ordine di estrazione allora lo spazio campionario S = Cn,k

#(S) =

(n

k

)

P(E) =

(n−1k−1

)(nk

) =(n− 1)!

(k − 1)! · (n− k)!· k! · (n− k)!

n!=k

n

Esercizio 2.6 Sei persone X = A,B,C,D,E, F si devono mettere in fila. Calcolare

1. in quanti modi possono si possono ordinare in fila indiana

2. im quanti si possono ordinare intorno ad un tavolo rotondo

3. la probabilita che E1 = C e F siano vicini in fila indiana

4. la probabilita che E2 = C e F siano vicini vicino al tavolo rotondo

1. Il numero di file indiane distinte e dato dal numero di permutazioni degli elementi, pertanto sonoP(X) = 6! = 720

2. due ordinamento attorno al tavolo rotondo sono diversi se ad almeno una persona ha i due vicinidiversi; pertanto

ABCDEF BCDEFA CDEFAB DEFABC EFABCD FABCDEFEDCBA AFEDCB BAFEDC CBAFED DCBAFE EDCBAF

indicano lo stesso ordinamento attorno al tavolo. In definitiva quindi ad ogni ordinamento attornoal tavolo corrispondono 12 file indiane distinte e quindi

#(ordinamenti attorno al tavolo) =6!

12=

5!

2= 60

3. affinche C e F siano vicini si puo considerare la coppia (C,F ) come un unico blocco e poi permutaregli elementi del blocco

#(numero di ordinamenti con C, F vicini) = 2 · 5! = 240

P(E1) =2 · 5!

6!=

1

3

4. considerando le osservazioni fatte nel punto 2 si ha che

#(numero di ordinamenti con C, F vicini (tavolo rotondo)) =#(numero di ordinamenti con C, F vicini)

12

P(E2) =

6 · 2 · 4!

126!

12

=6 · 2 · 4!

6!=

2

5

Esercizio 2.7 In quanti modi si possono distribuire 4 libri a 7 bambini?

#((x1, x2, x3, x4), xi ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,∀i) = D′7,4 = 74 = 2401

Se ad ogni bambino si puo dare al massimo un libro si ha

#((x1, x2, x3, x4),∀i, xi ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, i 6= j, xi 6= xj) = D7,4 =7!

3!= 7 · 6 · 5 = 210


Esercizio 2.8 Due dadi equi vengono lanciati ripetutamente. Quale e la probabilita che

E = la somma 5 arrivi prima della somma 7

Si definisce quindi En = somma 5 all’n-esimo lancio

P(somma 5) = P

(+∞⋃n=1

En

)=

+∞∑n=1

P(En) =

+∞∑n=1

26n−1 · 436n

=4

36·+∞∑n=1

(26

36

)n=

1

9· 1

1− 1318

=1

9· 18

18− 13=

2

5

Poiche si lanciano due dadi in contemporanea, una per la somma 5 e una per la somma 7, si ha aldenominatore 36n; inoltre poiche fino all’(n − 1)-esimo lancio non si ha somma 5 o 7 si hanno 26 casiin cui non si ha tale somma, inoltre il 4 e il numero di coppie che formano la somma 5.

Esercizio 2.9 Una persona parte da A per arrivare in B (i passi possibili sono solo verso destra e versol’alto).Se tutti i percorsi sono equiprobabili quale e la probabilita di passare per P?

A

PB

Figura 2.1: Griglia

Per giungere da A a B e necessario effettuare 3 passi in alto e 4 passi verso destra; perstanto ilnumero di percorsi distinti sono

#(P(D,D,D,D,A,A,A)) =7!

3! · 4!=

(7

3

)=

(7

4

)(

73

)puo essere inteso come il numero di scelte dei passi in cui andare in alto.(

74

)puo essere inteso come il numero di scelte dei passi in cui andare verso destra.

P(passo per P ) =

(42

)·(

31

)(73

) =4! · 32! · 2!

· 3! · 4!

7!=

18

35

Esercizio 2.10 Una persona ha 8 amici (N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), decide di invitare alla sua festa solo5 amici.

1. in quanti modi li puo invitare se 2 amici non possono essere invitati insieme

2. in quanti modi li puo invitare se 2 amici sono una coppia (o li si invitano entrambi o non li siinvita)

1.

tutti(8

5

)−

insiemi che contengono

quelli che non possono

essere invitati insieme(6

3

)= 36

insiemi che non contengono

quelli che non possono

essere invitati insieme(6

5

)+

(2

1

)·

gruppi che contengono

uno solo di quelli che

non essere invitati insieme(6

4

)=

6!

5! · 1!· 2 · 6!

2! · 4!= 6 + 2 · 15 = 36

2.

coppia non invitata(6

5

)+

coppia invitata(6

3

)= 6 + 20 = 26


Esercizio 2.11 Un esame e composto da 5 quesiti scelti a caso tra 10 disponibili. Uno studente sarisolvere esattamente 7 di 10 problemi.Calcolare la probabilita che si verifiche E1 = risponde esattemente a 5 quesiti,E2 = risponde ad almeno 4 quesiti

P(E1) =

(7

5

)(

10

5

) =

7!

5! · 2!10!

5! · 5!

=1

12

P(E2) =

(7

4

)· 3 +

(7

5

)(

10

5

) =

7!

3! · 4!· 3 +

7!

2! · 5!10!

5! · 5!

=1

2

Esercizio 2.12 Un armadio contiene 10 paia di scarpe. Scegliendo 8 scarpe a caso calcolare la probabilitache si verifichi

1. E1 = non si scelga un paio completo di scarpe

2. E2 = ci sia esattamente un paio completo di scarpe

1. P(E1) =

(10

8

)· 28(

20

8

) =384

4119, 28 indica la possibilita di scelta tra scarpa destra o sinistra delle 8

scarpe prese,(

108

)indica il numero di possibili scarpe prese

2. P(E2) =

10 ·(

9

6

)· 26(

20

8

) =1792

4199

Esercizio 2.13 Vi sono 100 studenti di cui

• 28 studiano spagnolo

• 26 studiano francese

• 16 studiano tedesco

di questi

• 12 studiano spagnolo e francese

• 6 studiano francese e tedesco

• 4 studiano spagnolo e tedesco

• 2 studiano spagnolo, francese e tedesco

#(S) = 28 #(F ) = 26 #(T ) = 16

#(S ∩ F ) = 12 #(S ∩ T ) = 4 #(F ∩ T ) = 6 #(S ∩ F ∩ T ) = 2


Figura 2.2: Rappresentazione insiemistica degli studenti

Calcolare la probabilita che

1. E1 = si prenda uno studente che studi almeno una lingua

2. E2 = si prenda uno studente che non stidia alcuna lingua

3. E3 = si prenda uno studente che studia una sola lingua

4. E4 = presi a caso due studenti almeno uno studi almeno una lingua

1. P(E1) = #(S)+#(F−S)+#(T−S−F )#(S∪F∪T ) = 28+14+8

100 = 12

2. P(E2) = 1− P(E1) = 12

3. P(E3) = #(S−F−T )+#(F−S−T )+#(T−S−F )#(S∪F∪T ) = 14+10+8

100 = 825

4. P(E4) = 1− P(nessuno studi alcuna lingua) = 1−(

502

)(1002

) =149

198

Capitolo 3

Probabilita condizionata

Questo approccio operativo consente il calcolo della probabilita di eventi di cui si hanno informazioniparziali; puo anche essere adottato nella risoluzione di calcolo di probabilita di eventi complessi (realiz-zando appositamente eventi che ne semplificano il lavoro).

Esempio 3.1 Si lanciano due dadi. Calcolare la probabilita che si verifichi E = la somma dei due dadi e 8.

P(E) =5

36

Supponiamo ora che il primo dado ha valore 6 calcolare nuovamente P(E).Si pone F = primo dado vale 6

P(E|F ) =#(E ∩ F )

#(F )=

1

6

Prosizione 3.1 (Probabilita condizionata) Sia F un evento non trascurabile1 e sia E un eventoallora la probabilita dell’evento E condizionato da F (cioe ponendo che si sia gia verificato F ) e

P(E|F ) =P(E ∩ F )

P(F )

Esempio 3.2 Una moneta equa viene lanciata due volte. Si calcoli la probabilita che E = si ottengono due testecondizionatamente a

F = primo lancio e testa G = si ha almeno una volta testa

Lo spazio campionario S = (T, T ), (T,C), (C, T ), (C,C)

Prosizione 3.2 (Formula del prodotto, 2 eventi) Si osserva che dalla formulazione della probabilitacondizionata si ha che

P(E ∩ F ) = P(F ) · P(E|F )

Definizione 3.1 [Formula del prodotto, n eventi] Sia En, n ≥ 1 e sia P(⋂n−1

i=1 Ei

)> 0 allora

P

(n⋂i=1

Ei

)= P(E1) · P(E2|E1) · P(E3|E1 ∩ E2) . . .P

(En|

n−1⋂i=1

Ei

)

Si puo dimostrare tale relazione applicando la probabilita condizionata, inoltre si puo osservare che la

condizione P(⋂n−1

i=1 Ei

)> 0 e sufficiente per poter definizre tutte le probabilita condizionate coinvolte

nella formula.

Esempio 3.3 Un’urna contiene 8 palline rosse e 4 bianche.Estraendo 4 palline senza reinserimento quale e la probabilita che si verifichi E?

E = estratte due palline rosse e una bianca1cioe con probabilita non nulla

17

18 CAPITOLO 3. PROBABILITA CONDIZIONATA

Si definiscono due eventi

Ri = rossa all’i-esima estrazione Bi = bianca all’i-esima estrazione

In questo modoP(E) = P(B1 ∩R2 ∩R3) ∪ P(R1 ∩B2 ∩R3) ∪ P(R1 ∩R2 ∩B3)

poiche gli eventi sono incompatibili si sostituisce l’unione con la somma (additivita finita)

P(E) = P(B1 ∩R2 ∩R3) + P(R1 ∩B2 ∩R3) + P(R1 ∩R2 ∩B3)

P(B1 ∩R2 ∩R3) = P(B1) · P(R2|B1) · P(R3|B1 ∩R2) =4

11· 8

11· 7

10=

28

165

P(R1 ∩B2 ∩R3) = P(R1) · P(B2|R1) · P(R3|R1 ∩B2) =4

11· 8

11· 7

10=

28

165

P(R1 ∩R2 ∩B3) = P(R1) · P(R2|R1) · P(B3|R1 ∩R2) =4

11· 8

11· 7

10=

28

165

Pertanto

P(E) = 3 · 28

165=

84

165

Esempio 3.4 (Bridge) Un mazzo di 52 carte viene suddiviso in 4 mazzetti di 13 carte ciascuno. Cal-colare la probabilita che si verifichi E = un asso in ogni mazzettoSi definiscono i seguenti eventi

E1 = asso di picche in 1 dei mazzettiE2 = asso di picche e cuori in 2 mazzetti distintiE3 = asso di picche, cuori e fiori in 3 mazzetti distintiE4 = asso di picche, cuori, fiori e quadri in 4 mazzetti distinti

P(E) = P(E4) = P(E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ E4) = P(E1) · P(E2|E1) · P(E3|E1 ∩ E2) · P(E4|E1 ∩ E2 ∩ E3)

P(E1) = 1

P(E2|E1) =39

51

P(E3|E1 ∩ E2) =26

50

P(E4|E1 ∩ E2 ∩ E3) =13

49

P(E) =39 · 26 · 13

51 · 50 · 49= 13 · 3! · 48!

51!=

13(513

)Prosizione 3.3 Dato uno spazio campionario S, una famiglia di eventi, una probabilita e un evento nontrascurabile, F allora P(· · · |F ) e una misura di probabilita sullo spazio campionario S.

Dimostrazione 3.1 Per verificare se P(· · · |F ) e una misura di probabilita occorre verificare la validitadegli assiomi

A1 ∀E ∈ S, 0 ≤ P(E|F ) = P(E∩F )P(F ) ≤ 1

P(E∩F )P(F ) ≤ 1 poiche (E ∩ F ) ⊂ F pertanto P(E ∩ F ) ≤ P(F )

A2 P(S|F ) = P(S∩F )P(F ) = PP(F )P(F ) = 1

A3 Se En, n ≥ 1 e una successione di eventi a due a due incompatibili allora

P

[(+∞⋃n=1

En

)|F

]=

+∞∑n=1

P(En|F )

P

[(+∞⋃n=1

En

)|F

]=

P

[(+∞⋃n=1

En

)|F

]P(F )

=

P

[+∞⋃n=1

(En|F )

]P(F )

=

+∞∑n=1

P(En|F )

P(F )=

+∞∑n=1

P(En|F )

19

Prosizione 3.4 (Formula delle probabilita totali) Sia 0 < P(F ) < 1 allora per ogni evento E vale

P(E) = P(F ) · P(E|F ) + P(F c) · P(E|F c)

Dimostrazione 3.2 E possibile scrivere l’evento E come l’unione di due eventi incompatibili

E = E ∩ (F ∪ F c) = (E ∩ F ) ∪ (E ∩ F c)

P(E) = P(E ∩ F ) + P(E ∩ F c) = P(F ) · P(E|F ) + P(FC) · P(E|F c)

Definizione 3.2 [Generalizzazione della formula delle probabilita totali] Si puo generalizzare la formuladelle probabilita totali prendendo una partizione di S

S =

n⋃i=1

Fi Fi ∩ Fj = ∅, ∀i 6= j

P(E) =

n∑i=1

P(Fi) · P(E|Fi)

Prosizione 3.5 (Formula di Bayes) Si consideri una partizione S formata da n eventi F1, F2, . . . , Fnnon trascurabili; sia inoltre E un evento di probabilita non nulla allora

∀Fj , P(Fj |E) =P(Fj) · P(E|Fj)n∑i=1

P(Fi) · P(E|Fi)

Dove

• Fi rappresenta le ipotesi alternative

• P(Fj) e la probabilita iniziale (probabilita a priori)

• P(Fj |E) e la probabilita a posteriori

Esercizio 3.1 (Dimostrazione del Gioco Monty Hall)

F = vinco la macchina

f = macchina dietro la porta scelta inizialmente

Non cambio la scelta P(F ) = P(f) · P(F |f) + P(f c) · P(F |fC) = 13 · 1 + 2

3 · 0 = 13

Cambio la scelta P(F ) = P(f) · P(F |f) + P(f c) · P(F |fC) = 13 · 0 + 2

3 · 1 = 23

Si puo osservare che cambiare la scelta nel gioco raddoppia la probabilita di vincere la macchina.

Esempio 3.5 Una compagnia assicurativa divide gli assicurati in due gruppi

A = automobilisti piu propensi agli incidenti

I = incidente entro l’anno

E noto poi cheP(A) = 0.3 P(I|A) = 0.4 P(I|Ac) = 0.2

Si chiede di calcolare la probabilita di incidente entro l’anno; nel caso in cui si ha l’incidente dire qualee la probabilita che l’automobilista sia piu propenso agli incidenti.

P(I) = P(A) · P(I|A) + P(Ac) · P(I|Ac) = 0.3 · 0.4 + 0.7 · 0.2 = 0.26

P(A|I) =P(A ∩ I)

P(I)=

P(A) · P(A|I)

P(I)=

0.12

0.26=

6

13


Definizione 3.3 [Eventi indipendenti] Sia S uno spazio campuionario e siano E,F ∈ S. E ed F sidicondo indipendenti se il verificarsi di F non modifica la probabilita che si verifichi E, cioe

P(E|F ) = P(E)

P(E|F ) =P(E ∩ F )

P(F )= P(E)⇒ P(E ∩ F ) = P(E) · P(F )

Corollario 3.1 Se E e F sono indipendenti allora Ec e F c sono indipendenti.

Dimostrazione 3.3

P(Ec ∩ F c) = P ((E ∪ F )c) = 1− P(E ∪ F ) = 1− P(E)− P(F ) + P(E ∩ F )

eventiindipendenti

== 1− P(E)− P(F ) + P(E) · P(F ) == 1− P(E)− P(F ) · [1− P(E)] = [1− P(F )] · [1− P(E)] = P(Ec) · P(F c)

Prosizione 3.6 Se E ⊂ F , E ed F sono indipendenti se e solo se la probabilita di E e nulla o F el’evento certo.

Dimostrazione 3.4

P(E) = P(E ∩ F ) = P(E) · P(F )⇒ P(E) · [1− P(E)] = 0⇔ P(E) = 0P(F ) = 1

Definizione 3.4 [Eventi indipendenti, 3 eventi] E,F,G sono indipendenti se

P(E ∩ F ∩G) = P(E) · P(F ) · P(G)P(E ∩ F ) = P(E) · P(F )P(E ∩G) = P(E) · P(G)P(F ∩G) = P(F ) · P(G)

Definizione 3.5 [Eventi indipendenti, n eventi] Ei, i ∈ [1, n] ∩ N sono indipendenti se

∀i, ∀k ∈ [2, n] ∩ N, P(Ei1, . . . , Eik) =

k∏j=1

P(Eij)

Esercizio 3.2 Ogni prova ha probabilita di successo p = P(E), le prove sono indipendenti Calcolare

1. la probabilita di almeno un successo

2. k successi nelle prime n prove

3. tutti successi (infinite prove ripetute)

4. avere almeno n successi prima m insuccessi

Si definisce Ei = successo all’i-esima prova

1.

P

(n⋃i=1

Ei

)= 1− P

(n⋂i=1

Eci

)= 1−

n∏i=1

P(Eci ) = 1− (1− p)n

2.

P

k⋂i=1

Ei ∩n⋂

j=k+1

ECj

=

(n

k

)· pk · (1− p)n−k

21

3.

P

(+∞⋂i=1

Ei

)= P

(lim

n→+∞

n⋂i=1

Ei

)= limn→+∞

P

(n⋂i=1

Ei

)= limn→+∞

n∏i=1

P(Ei) = limn→+∞

pn =

0 p < 11 p = 1

4. In questo caso e sufficiente considerare n+m−1 prove. Calcolando la probabilita di avere n successisi ha la probabilita richiesta

P(E) = P(tra n+m− 1 prove almeno n successi)

Considerando ad esempio n = 2 e m = 3 basta valutare 4 prove; inoltre supponendo che A vince se(s, s, s, i) e che B vince se (i, s, i, s) (dove i e insuccesso ed s e successo) si puo osservare che

(s, s, s, i) ∈ E (i, s, i, s) ∈ Ec

poiche E ⇒ F (avere almeno n successi prima m insuccessi) e EC ⇒ FC allora si ha che E = Fpertanto e possibile valutare la probabilita di E (calcolata su un numero finito di prove) al posto divalutare la probabilita di F (calcolata su un numero infinito di prove).

P(E) = P

(n+m−1⋃k=n

esattamente k successi in n+m− 1 prove

)=

=

n+m−1∑k=n

P (esattamente k successi in n+m− 1 prove) =

=n+m−1∑k=n

(n+m− 1

k

)· pk · (1− p)n+m−1−k

Si poteva risolvere lo stesso problema in maniera ricorsiva considerando il seguente problema

P(A vinca | ad A mancano n punti e a B mancano m punti) = pn,m

Dopo la prima partita si ha se

vince A P(A vinca | ad A mancano n− 1 punti e a B mancano m punti) = pn−1,m

vince B P(A vinca | ad A mancano n punti e a B mancano m− 1 punti) = pn,m−1

Pertantopn,m = p · pn−1,m + (1− p) · pn,m−1

Occorre imporre le seguenti condizioni aggiuntive (per rendere consistente il calcolo ricorsivo dellaprobabilita)

p0,m = 1, ∀m ∈ R+ pn,0 = 0, ∀n ∈ R+

P(E) = pn,m =

p · pn−1,m + (1− p) · pn,m−1

p0,m = 1, ∀m ∈ R+

pn,0 = 0, ∀n ∈ R+

Esercizio 3.3 Due urne U1 e U2 hanno la seguente composizione

U1 = 4E, 2B U1 = 3R, 3B

Lanciando una moneta equa si sceglie l’urna; scelta l’urna si effettuano due estrazioni con reimmissione.Calcolare

1. P(estrarre due palline rosse)

2. la probabilita che sia stata scelta U1 dato che sono state estratte due palline rosse

Si definisce Ri = pallina rossa all’i-esima estrazione pertanto

P(estrarre due palline rosse) = P(R1 ∩R2) = P(R1,∩R2|U1) + P(R1,∩R2|U2)= P(U1) · P(R1 ∩R2|U1) + P(U2) · P(R1 ∩R2|U2) =

=1

2· 4

6· 4

6+

1

2· 3

6· 3

6=

25

72

Per la risoluzione del punto 2. occore ricorrere al teorema di Bayes, pertanto si ha

P(U1|R1 ∩R2) =P(U1) · P(R1 ∩R2|U1)

P(R1 ∩R2)=

12 ·

46 ·

46

2572

=16

25


3.1 Dipendenza condizionata

Definizione 3.6 [Dipendenza condizionata] Sia G un evento non trascurabile, E ed F si dicono indi-pendenti condizionatamente a G se

P(E ∩ F |G) = P(E|G) · P(F |G)

Esercizio 3.4 In seguito all’acquisizione di dati sperimentali si ha che

P(T+|HIV +) = 0.99 P(T−|HIV −) = 0.99

dove HIV + = soggetto sieropositivo e T+ = test con risultato positivo; saranno indicati ancheHIV − = HIV +c e T− = T+c Si ha inoltre che sull’intera popolazione P(HIV +) = 0.001Si calcoli

1. P(T+)

2. P(HIV +|T+)

3. P(HIV +|T+1 ∩ T

+2 )

1.P(T+) = P(HIV +) · P(T+|HIV +) + P(HIV −) · P(T+|HIV −)

P(T+|HIV −) = P(

(T−)C∣∣∣HIV −) = 1− P(T−|HIV −)

P(T+) = 0.001 · 0.99 + 0.999 · (1− 0.99) = 0.001 · 0.99 + 0.999 · 0.01 = 0.01098

2.

P(HIV +|T+) =P(HIV +) · P(T+|HIV +)

P(T+)=

0.001 · 0.99

0.01098≈ 0.09016

3.

P(HIV +|T+1 ∩ T

+2 ) =

P(HIV +|T+1 ∩ T

+2 ) · P(T+

1 ∩ T+2 |HIV +)

P(T+1 ∩ T

+2 )

P(T+1 ∩ T

+2 ) = P(HIV +) · P(T+

1 ∩ T+2 |HIV +) + P(HIV −) · P(T+

1 ∩ T+2 |HIV −) =

= P(HIV +) · P(T+1 |HIV +) · P(T+

2 |HIV +) + P(HIV −) · P(T+1 |HIV −) · P(T+

2 |HIV −) == 0.001 · (0.99)2 + 0.999 · (0.01)2

P(HIV +|T+1 ∩ T

+2 ) =

0.001 · (0.99)2

0.001 · (0.99)2 + 0.999 · (0.01)2≈ 0.00098

pn = P

(HIV +

∣∣∣∣∣n⋂i=1

T+i

)=

0.001 · (0.99)n

0.001 · (0.99)n + 0.999 · (0.01)n

p3 ≈ 0.99897p4 ≈ 0.9999896

Esercizio 3.5 In un test a risposta multipla (m risposte)

p = P(E) = P(studente conosce la risposta) P(C|Ec) =1

m

C = risposta corretta

Calcolare probabilita che lo studente conosca la risposta dato che ha risposto correttamente.

P(E|C) =P(E) · P(C|E)

P(C)

P(C) = P(E) · P(C|E) + P(EC) · P(C|EC) = p · 1 + (1− p) · 1

m

P(E|C) =p · 1

p · 1 + (1− p) · 1m

=m · p

m · p− p+ 1

3.1. DIPENDENZA CONDIZIONATA 23

Esercizio 3.6 Si hanno tre monete

M1 = (T, T ) M2 = (C,C) M3 = (T,C)

Si sceglie una moneta a caso, la si lancia e da come risultato testa. Calcolare la probabilita che sull’altrafaccia vi sia la croce (cioe che si sia lanciata M3).

M1 = scelgo la moneta i, P(Mi) =1

3

P(M3|T ) =P(M3) · P(T |M3)

P(T )

P(T ) = P(M1) · P(T |M1) + P(M2) · P(T |M2) + P(M3) · P(T |M3) =1

3· 1 +

1

3· 0 +

1

3· 1

2=

1

2

P(M3|T ) =13 ·

12

12

=1

3

Esercizio 3.7 Una scatola contiene 3 tipi di lampadine diverse. La probabilita che una lampadina delprimo tipo superi le 1000h e 0.7, per una del secondo tipo e 0.4 e per una del terzo tipo e 0.3

E = lampadina supera le 1000h P(E|T1) = 0.7 P(E|T2) = 0.4 P(E|T3) = 0.2

Supponendo che il 20% sia del primo tipo, il 30% sia del secondo tipo e il 50% sia del terzo tipo

P(T1) = 0.2 P(T2) = 0.3 P(T3) = 0.5

Calcolare la probabilita che una lampadina scelta a caso superi e 1000h e calcolare la probabilita che lalampadina sia del primo tipo sapendo che supera le 1000h.

P(E) = P(T1) · P(E|T1) + P(T2) · P(E|T2) + P(T3) · P(E|T3) == 0.2 · 0.7 + 0.3 · 0.4 + 0.5 · 0.3 = 0.41

P(T1|E) =P(T1) · P(E|T1)

P(E)=

0.2 · 0.70.41

≈ 0.3415

Esercizio 3.8 Si ha un album con n figurine. In ogni pacchetto di figurine si hanno k figurine.

pi = P(una figurina del pacchetto sia di tipo i),∀i ∈ [1, n]∩N indipendentemente dalle altre figurine

Supponiamo di acquistare un pacchetto di figurine, calcolare

1. P(Ai) = P(c’e almeno yna figurina di tipo i nel pacchetto)

2. P(Ai ∪Aj), i 6= j

3. P(Ai|Aj), i 6= j

I tipi delle figurine sono indipendenti, pertanto si puo pensare alle prove ripetute con pi come probabilitadi successo e (1− pi) come probabilita di insuccesso.

1. P(Ai) = 1− P(ACi ) = 1− (1− pi)k

2. P(Ai ∪Aj) = 1− P((Ai ∪Aj)C

)= 1− (1− pi − pj)k

3. P(Ai|Aj) =P(Ai∩Aj)

P(Aj)

P(E ∪ F ) = P(E) + P(F )− P(E ∩ F )⇒ P(E ∩ F ) = P(E) + P(F )− P(E ∪ F )

P(Ai|Aj) =P(Ai ∩Aj)

P(Aj)=

P(Ai) + P(Aj)− P(Ai ∪Aj)P(Aj)

=pi + pj + 1− (1− pi − pj)k

pj

Capitolo 4

Variabili Aleatorie

Molto spesso si e interessati a “funzioni” degli esiti degli esperimenti piu che agli esiti stessi, ad esempio

• Nel lancio di due dati si puo essere interessati alla somma pari a 6, piuttosto che a come si ottienetale somma

• Nel caso di n lanci di una moneta, si potrebbe essere interessati al numero di lanci che hanno datotesta, piuttosto che la sequenza esatta

• . . .

Per ogni esempio che si puo formulare si puo sempre introdurre una funzione degli esiti o variabile alea-toria.Di queste variabili aleatorie ne esistono tante ma verranno trattate in dettaglio solo un limitato sottoin-sieme di esse.

Esempio 4.1 (Passare un esame) Si suppone di provare a passare un esame presentandosi ad ogniappello con la stessa preparazione e che ogni volta la probabilita di passarlo sia p. Nel caso in cui si vengabocciati si riprova l’esame all’appello successivo.Se X e il numero di volte che si ripete l’esame per passarlo si ha

P(X = 1) = P(Pass) = pP(X = 2) = P(Bocc, Pass) = (1− p) · pP(X = 3) = P(Bocc,Bocc, Pass) = (1− p)2 · p. . .P(X = n) = P(Bocc, . . . , Bocc, Pass) = (1− p)n−1 · p

Si puo osservare che+∞∑n=1

P(X = n) =

+∞∑n=1

(1− p)n−1 · p = 1

Pertanto si e certi di passare l’esame, prima o poi.

Definizione 4.1 [Variabile Aleatoria e Legge di X] Dato uno spazio campionario S, una famiglia dieventi e una probabilita P; una variabile aleatoria e una funzione X : S → R tale che

∀B ⊂ R, X ∈ B = s : X(s) ∈ B

e un evento.All’evento X ∈ B e associata una probabilita

PX(B) = P(X ∈ B)

PX e una misura di probabilita su R e si chiama legge di X

Definizione 4.2 [Funzione di distribuzione o di ripartizione] Una funzione di distribuzione o di riparti-zione di una variabile aleatoria1 e una funzione F : R→ [0, 1] definita da

F (x) = P(X ≤ x), x ∈ R1nel seguito della trattazione variabile aleatoria e abbreviata con v.a.

25

26 CAPITOLO 4. VARIABILI ALEATORIE

F (x) = P(−∞ < X ≤ x) = P(B)

Proprieta 4.1 (Funzione di distribuzione) Una funzione di distribuzione di una v.a. X e

• non decrescente

• continua a destra

• limx→−∞

F (x) = 0 limx→+∞

F (x) = 1

4.1 Variabili Aleatorie Discrete

Definizione 4.3 [V.A. Discrete e Supporto di X] Una v.a. X che puo assumere un numero finito o alpiu numerabile di valori e detta variabile aletoria discreta.Si definisce supporto di X e lo si indica con X l’insieme dei valori che la variabile X puo assumere.

Ad ogni v.a. discreta e associata una funzione di densita discreta p : X→ [0, 1]

∀xi ∈ X, p(xi) = P(X = xi)

Osservazione 4.1∀xi ∈ X, p(xi) ≥ 0

∑xi∈X

p(xi) = 1

Definizione 4.4 [Valore medio o valor atteso] Sia X una v.a. discreta. Si definisce valore atteso omedia di X la quantita

E(X) =∑xi∈X

xi · p(xi)

se la serie e convergente.2.

Esempio 4.2 (Valore atteso, dado) Si lancia un dato equo e X e il numero uscito.Si ha che p(i) = 1

6 , i = 1, 2, . . . , 6

E(X) = 1 · 1

6+ 2 · 1

6+ 3 · 1

6+ 4 · 1

6+ 5 · 1

6+ 6 · 1

6=

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

6=

21

6= 3.5

Esempio 4.3 (Valore atteso, tram) A Melbourne (Australia), non si puo acquistare il biglietto a bor-do del tram.Solo occasionalmente, dei controllori passano e danno una multa ai passeggeri senza biglietto.Il biglietto costa 2$, la multa e di 30$ e la probabilita di incontrare un controllore e del 5%.Per minimizzare il costo medio sarebbe necessario comprare il biglietto?Si definisce C il costo

• Comprando il biglietto il costo ogni volta e C con probabilita 1. Pertanto E(C) = 2 · 1 = 2$

• Non comprando il biglietto il costo e

– C = 0$ se non si incontra il controllore, P(C = 0) = 0.95

– C = 30$ se si incontra il controllore, P(C = 30) = 0.05

PertantoE(C) = 0 · 0.095 + 30 · 0.05 = 1.5$

In queste condizioni per minimizzare il costo medio non bisogna comprare il biglietto.

E possibile realizzare una funzione di utilita, U(X), in modo da riuscire meglio a caratterizzare il dif-ferente atteggiamento degli sperimentatori. Infatti negli esperimenti precendenti si puo capire che perpassare un esame uno studente potrebbe anche non essere disposto a farsi bocciare (per tanto vuol ridurreil numero di bocciature). Utilizzando la funzione di utilita si calcola il valor atteso con E(U(X)).

2nello svolgimento del corso si supporra che il valor atteso esiste sempre

4.1. VARIABILI ALEATORIE DISCRETE 27

4.1.1 Trasformazione di una variabile aleatoria discreta

Data una v.a. discreta, X, si puo definire una nuova v.a. discreta, Y = g(X). Data la funzione di densitadiscreta di X si puo ottenere quella di Y per poterla utilizzare nel calcolo del valore atteso di Y .

Esempio 4.4 Sia X una v.a. discreta che assume i valori −2,−1, 0, 1, 2 e sia Y = X2 chiaramenteY assume, quindi, i valori 0, 1, 4 e

P(Y = 4) = P(X = −2) = P(X = 2)P(Y = 1) = P(X = −1) = P(X = 1)P(Y = 0) = P(X = 0)

PertantoE(Y ) = 0 · P(Y = 0) + 1 · P(Y = 1) + 4 · P(Y = 4)

Proprieta 4.2 Sia X una v.a. aleatoria discreta e g una funzione a valori reali allora il valore atteso dig(x) se esiste e dato da

E(g(X)) =∑xi∈X

g(xi) · P(xi)

Proprieta 4.3 (Linearita del valore atteso) Il valore atteso e lineare rispetto a trasformazioni linea-ri

• E(a ·X + b) = a · E(X) + b

Dimostrazione 4.1

E(a·X+b) =∑xi∈X

(a·xi+b)·p(xi) =∑xi∈X

a·xi·p(xi)+∑xi∈X

b·p(xi) = a·∑xi∈X

xi·p(xi)+b·∑xi∈X

= a·E(X)+b

• E(f(X) + g(X)) = E(f(X)) + E(g(X)) con f, g funzioni a valori reali.

4.1.2 Varianza

Ogni variabile aleatoria, X, viene completamente caratterizzata dalla distribuzione ma puo essere utilesintetizzare le caratteristiche con delle “misure”. Si puo osservare che negli esempi seguenti si ha sempreun valore atteso nullo ma si puo capire che le v.a. sono molto distinte pertanto e chiaro che manca unvalore discriminante, la varianza.

Esempio 4.5X = 0 probabilita = 1Y = 1 e Y = −1 probabilita = 0.5Z = 100 e Z = −100 probabilita = 0.5

Definizione 4.5 [Varianza] Sia X una v.a. di media E(X) allora la varianza di X e definita da

V ar(X) = E[(X − E(X))2

]che e indice della variabilita della v.a. .

Proprieta 4.4 La varianza ha le seguenti proprieta

• V ar(X) = E[(X − E(X))2

]= E(X2)− [E(X)]

2

Dimostrazione 4.2

V ar(X) = E[(X − E(X))2

]= E

[X2 − 2 · E(X) + [E(X)]

]=

= E(X2)− 2 · E(X) · E(X) + [E(X)]2

= E(X2)− [E(X)]2

• V ar(X) ≥ 0

• V ar(a ·X + b) = a2 · V ar(X)


Dimostrazione 4.3

V ar(a ·X + b) = E[[a ·X + b− E(a ·X + b)]2

]= E

[[a ·X + b− a · E(X)− b]2

]=

= E[a2 · (X − E(X))2

]= a2 · E

[(X − E(X))2

]= a2 · V ar(X)

• E(xn) si chama momento n-esimo, pertanto V ar(X) e il momento secondo centrato

• Si puo definire la quantita σX =√V ar(X), scarto quadratico medio. Si definisce questo coefficiente

che e indice della variabilita di X mantenendo lo stesso ordine di grandezza.

• E possibile trasformare una v.a., X, in una altra v.a. standardizzata,Y , che mantiene le seguenticaratteristiche

Y =X − E(X)

σXE(Y ) = 0 V ar(X) = 1

Dimostrazione 4.4

Y =1

σX·X − E(X)

σX

E(Y ) = E(

1

σX·X − E(X)

σX

)=

1

σX· E(X)− E(X)

σX= 0

V ar(Y ) = V ar

(1

σX·X − E(X)

σX

)=

1

σ2X

· V ar(X) =V ar(X)

V ar(X)= 1

4.1.3 Variabili aleatorie discrete notevoli

Variabile aleatoria di Bernoulli

Supponiamo che in un esperimento si sia interessati al verificarsi di un determinato evento che indichiamocome “successo” che avviene con probabilita p. La funzione X = 1successo e una v.a. discreta che vale

• 1 in caso di successo con probabilita p

• 0 in caso di insuccesso con probabilita 1− p

Definizione 4.6 [V.a. di Bernoulli] La variabile di Bernoulli di parametro p e X ∼ Be(p) che assumevalori in 0, 1.Tale v.a. gode delle seguenti proprieta

p(0) = 1− p p(1) = p F (x) =

0 x < 01− p 0 ≤ x < 11 x ≤ 1

funzione di distribuzione

E(X) = 0 · (1− p) + 1 · p = p

V ar(X) = E(X2)− [E(X)]2 = p− p2 = p · (1− p)

Variabile aleatoria binomiale

Siamo interessati al “numero di successi” realizzati in n prove indipendenti, ognuna con probabilita disuccesso pari a p.La v.a. X che conta il numero di successi assume valori in X = 0, 1, . . . , n e ha

P((X = k)) =

(n

k

)· pk · (1− p)n−k, k ∈ 0, 1, . . . , n


Definizione 4.7 [V.a. Binomiale] La variabile Binomiale di parametri n e p e X ∼ Bi(n, p)3.

p(k) =

(n

k

)· pk · (1− p)n−k, k ∈ 0, 1, . . . , n

E(X) = n · p V ar(X) = n · p · (1− p)

Dimostrazione 4.5 • E(X) = n · p

E(X) =

n∑k=0

k · p(k) =

n∑k=0

k ·(n

k

)· pk · (1− p)n−k =

n∑k=1

k · n!

k · (k − 1)! · (n− k)!· pk · (1− p)n−k =

=

n∑k=1

n · (n− 1)!

(k − 1)! · (n− k)!· pk · (1− p)n−k = n · p ·

n∑k=1

(n− 1)!

(k − 1)! · (n− k)!· pk−1 · (1− p)n−k =

j=k−1= n · p ·

n−1∑j=0

(n− 1

j

)· pj · (1− p)n−1−j = n · p

n∑k=0

(n

k

)· pk · (1− p)n−k = (p+ 1− p)n = 1n = 1

• V ar(X) = n · p · (1− p)

V ar(X) =

n∑i=1

V ar(Xi) = n · p · (1− p) perche le Xi sono indipendenti

Esempio 4.6 (Analisi del Sangue) Un numero N , molto grande, di persone, si deve sottoporre adun’analisi del sangue. Sono state pensate 2 procedure

1. ogni persona viene analizzata separatamente, sono necessari N test

2. i campioni di k persone vengono mescolati ed analizzati insieme. Se il test e positivo allora enecessario effettuare singolarmente il test alle k persone (complessivamente 1 + k prove necessa-rie); mentre se il test e negativo allora e sufficiente il test effettuato (complessivamente 1 provanecessaria)

Supponiamo che la probabilita di essere positivi al test sia p per ogniuna delle N persone e che questieventi sono indipendenti

1. trovare la probabilita che il test sia positivo per il campione formato dal miscuglio relativo a kpersone

2. qual’e il valore atteso e la varianza del numero di tes necessari, Y , con la seconda procedura? (sisuppone che N sia divisibile per k)

Risoluzione

1.

Xi =

1 P(almeno 1 dei k e positivo) = q0 P(nessuno dei k e positivo) = 1− q Variabile di Bernoulli del i-esimo gruppo

1− q = (1− p)k︸︷︷︸P(Z=0)

Z ∼ Bi(k; p)

P(test positivo nel gruppo) = P(Z ≥ 1) = 1− P(Z = 0) = 1− (1− p)k

3n ∈ N e p ∈ (0, 1) che assume valori in X = 0, 1, . . . , n


2. m = Nk = #(gruppi di k persone)

Y = m+ k ·X1 + k ·X2 + . . .+ k ·Xm = m+ k ·

(m∑i=1

Xi

)︸︷︷︸Bi(m,q)

E(Y ) = k · E

(m∑i=1

Xi

)+m = k ·m · q +m = m · (k · q + 1) = m · [k · (1− p)k + 1]

V ar(Y ) = V ar

(k ·

n∑i=1

Xi +m

)= k2 · V ar

(m∑i=1

Xi

)= k2 ·m · q · (1− q)

Variabile aleatoria di Poisson

Definizione 4.8 [V.a. di Poisson] La variabile di Poisson di parametro λ e X ∼ Poisson(λ) con λ ∈ R+

e una v.a. discreta che assume valori di X = 0, 1, . . . e gode delle seguenti proprieta

p(k) =e−λ · λk

k!k ∈ X E(X) = λ V ar(X) = λ

Dimostrazione 4.6 •+∞∑k=0

e−λ · λk

k!= e−λ ·

+∞∑k=0

λk

k!= e−λ · eλ = 1

• E(X) =

+∞∑k=0

k · e−λ · λk

k · (k − 1)!=

+∞∑k=1

k · e−λ · λk

k · (k − 1)!= λ · e−λ ·

+∞∑n=1

λk−

(k − 1)!= λ · e−λ · eλ = λ

• V ar(X) = E(X2)− [E(X)]2 = E(X2)−E(X) +E(X)− [E(X)]2 = E[X · (X − 1)] +E(X)− [E(X)]2

E(X · (X − 1)) =

+∞∑k=0

k · (k − 1) · p(k) =

+∞∑k=2

e−λ · λk

(k − 2)!= e−λ · λ2 ·

+∞∑k=2

λk−2

(k − 2)!= λ2 · e−λ · eλ = λ2

V ar(X) = E[X · (X − 1)] + E(X)− [E(X)]2 = λ2 + λ− λ2 = λ

La distribuzione di Poisson puo essere vista come una approssimazione della variabile Binomiale, sottodeterminate ipotesi.

Prosizione 4.1 (Legge degli eventi rari) Sia Xn, n ≥ 1 con Xn ∼ Bi(n, pn), se

limn→+∞

pn = 0 limn→+∞

E(Xn) = limn→+∞

(n · pn) = λ

allora

limn→+∞

pXn(k) =e−λ · λk

k!

Dimostrazione 4.7 Lo si dimostra solo nel caso specifico di pn = λn

limn→+∞

pXn(k) = limn→+∞

(n

k

)·(λ

n

)k·(

1− λ

n

)n−k=

= limn→+∞

n!

k! · (n− k)!· λ

k

nk·(

1− λ

n

)n·(

1− λ

n

)−k=

=λk

k!· limn→+∞

n · (n− 1) · . . . · (n− k + 1)

nk· limn→+∞

(1− λ

n

)n· limn→+∞

(1− λ

n

)−k=

=λk

k!· 1 · e−λ · 1 =

e−λ · λk

k!


Esercizio 4.1 Ogni anno la polizia municipale di Londra registra circa 160 omicidi e questo dato e stabileda 5 anni. Si suppone che ogni omicidio e indipendente dagli altri.Sembra strano ma questa apparente casualita e in qualche modo predicibile, nel senso che il numero diomicidi giornalieri si adatta molto bene alla legge di Poisson di parametro λ = 160

365 ≈ 0.44 e quindi si puocalcolare la probabilita di

• un giorno tranquillo (senza omicidi), cioe P(X = 0)

• una settimana tranquilla (senza omicidi)

• a blody sunday, cioe 3 o piu omicidi in un giorno

X ∼ Poisson(λ) omicidi giornalieri

Si suppone omogeneita temporale per gli omicidi, pertanto

P(X = 0) =e−

160365 ·

(160365

)00!

= e−160365 ≈ 0.65

P(X ≥ 3) = 1− P(X ≤ 2) = 1− (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)) =

= 1−

(e−

160365 + e−

160365 · 160

365+e−

160365 ·

(160365

)22

)≈ 0.01

Si considera Y ∼ Poisson(

160365 · 7

), il numero di omicidi in una settimana; pertanto

P(Y = 0) = e−160365 ·7 ≈ 0.047

Variabile aleatoria geometrica

Si consideri lo schema delle prove ripetute con una successione infinita di prove indipendenti.Ogni prova ha 2 esiti possibili: successo (con probaiblita p) o insuccesso (con probabilita 1− p).Si ha Xi prova in cui si ha il primo successo

X = 1, 2, . . . = N+

pX(k) = P(X = k) = (1− p)k−1 · p, ∀k

Affinche la funzione di densita sia valida e necessario che

+∞∑k=1

pX(k) = 1, infatti

+∞∑k=1

pX(k) =

+∞∑k=1

(1− p)k−1 · p = p ·+∞∑k=0

1− k = p · 1

1− (1− p)= p · 1

p= 1

La media vale

E(X) =

+∞∑k=1

k · pX(k) =

+∞∑k=1

k · (1− p)k−1 · p =

=

pX(1)+ pX(2)+ pX(3)+ . . .pX(2)+ pX(3)+ . . .

pX(3)+ . . .

= P(X ≥ 1) + P(X ≥ 2) + P(X ≥ 3) + . . . =

=

+∞∑k=1

P(X ≥ k) =

+∞∑k=1

(1− p)k−1 =1

p

Per il calcolo della varianza si calcola

V ar(X) = E(X2)− [E(X)]2 = E(X2)− E(X) + E(X)− [E(X)]2 = E(X · (X − 1)) + E(X)− [E(X)]2

E(X · (X − 1)) =

+∞∑k=1

k · (k − 1) · p · (1− p)k−1 q=1−p= (1− p) · p ·

+∞∑k=1

k · (k − 1) · qk−2 =

= (1− p) · p ·∂2

+∞∑k=1

qk

∂q2= (1− p) · p ·

∂2 11−q

∂q2= p · (1− p) · 2

(1− q)3=

= p · (1− p) · 1

p3= 2 · 1− p

p2


V ar(X) = E(X · (X − 1)) + E(X)− [E(X)]2 = 2 · 1− pp2

+1

p−(

1

p

)2

=2− 2 · p+ p− 1

p2=

1− pp2

Esempio 4.7 Un’urna contiene N palline di cui m rosse e N −m blu.Dall’urna vengono estrette, in blocco, n palline. Determinare la legge di X = numero di palline rosse estratte.

P(X = k) =

(nk

)·(N−mn−k

)(Nk

)Per far si che la relazione sopra sia valida e necessario che

k ≤ nk ≤ mk ≥ 0n− k ≤ N −m

⇒

k ≤ nk ≤ mk ≥ 0k ≥ n− (N −m)

⇒ k ∈ [max(0, n− (N −m)),min(n,m)] ∩ N

E(X) = n− m

NV ar(X) = n · n

M·(

1− m

N

)·(

1− n− 1

N − 1

)Esempio 4.8 (Indagine) Si hanno N = 40 abitazioni; m = 5 numero di famiglie che si trovano sottoil livello di poverta; n = 7 numero di famiglie campionate.Sia X il numero di famiglie sotto il livello di poterta campionati, allora calcolare:

• P(X = 0)

• P(X = 4)

• P(X ≤ 2)

• P(X ≥ 3)

P(X = 0) =

(357

)(407

)P(X = 4) =

(54

)·(

353

)(407

)P(X ≤ 2) = pX(0) + pX(1) + pX(2) =

(357

)+(

51

)·(

356

)+(

52

)·(

355

)(407

)P(X ≥ 3) = 1− P(X ≤ 2)

Esempio 4.9 (Modello di cattura e ricattura) Si ha una popolazione di N elementi, N non e notoma lo si vuol stimare. Si marchiano m elementi della popolazione e li si lasciano nel gruppo. Dall’interapopolazione si estraggono n elementi, si hanno quindi k elementi ricatturati che sono marchiati.

P(X = k) =

(mk

)·(N−mn−k

)(Nn

)Si cerca N tale da massimizzare la probabilita P(X = k) (si ha quindi in questo modo una buona stimasulla dimensione della popolazione).Sono noti i parametri k, n ed m (chiaramente si deve avere N ≥ max(n,m)).Si ha chiaramente che pX(k) e una funzione di N , la si puo quindi considerare come successone di aN ;ci si aspetta che aN sia crescente e da un punto in poi, N , e decrescente.Si cerca N tale che aN−1 ≥ aN(mk

)·(N−1−mn−k

)(N−1n

) ≥(mk

)·(N−mn−k

)(Nn

) ⇒(N−1−mn−k

)(N−1n

) ≥(N−mn−k

)(Nn

) ⇒(N−1−m)!

(n−k)!·(N−1−m−(n−k))!

(N−1)!n!·(N−1−n)!

≥(N−m)!

(n−k)!·(N−m−(n−k))!

N !n!·(N−n)!

⇒

⇒ 1 ≥N−m

N−m−(n−k)

NN−n

⇒ N − nN

≤ N −m− (n− k)

N −m⇒ 1− n

N≤ 1− n− k

N −m⇒ n

N≥ n− kN −m

⇒

⇒ N −mn

· nN≥ n− kN −m

· N −mn

⇒ N −mN

≥ n− kn⇒ 1− m

N≥ 1− k

n⇒ m

N≤ k

n⇒ N ≥ n ·m

k

4.2. VARIABILI ALEATORIE CONTINUE 33

N =⌊m · n

k

⌋N e detta stima di massima verosimiglianza; N e la dimensione piu probabile della popolazione presa inesame.

Sia m = 100, n = 50 e k = 35, 5

Nk=35 =

⌊100 · 50

35

⌋= 142

Nk=5 =

⌊100 · 50

5

⌋= 1000

Esempio 4.10 Un dispositivo scenico e fatto da 5 lampade di potenza diversa N = (40, 50, 75, 100, 200).Un operatore vede che sono accese le lampade da 40 e da 200; ha a disposizione 5 interrutori e non saquale siano gli interruttori a cui corrispondono le lampade accesse. Determinare:

• P(spegne tutte le lampade)

• P(X = k), dove X e il numero di luci spente dopo la manovra dell’operatore X = 1, 3, 5

P(X = 1) = pX(1) =

(32

)(52

) =3

10

P(X = 5) = pX(5) =

(22

)(52

) =1

10

P(X = 3) = 1− pX(1)− pX(5) =6

10

E(X) = 1 · 3

10+ 3 · 6

10+ 5 · 1

10=

3 + 18 + 5

10=

26

10= 2.6

V ar(X) = E(X2)− [E(X)]2 = 1 · 3

10+ 9 · 6

10+ 25 · 1

10−(

26

10

)2

=1394

100= 13.94

4.2 Variabili aleatorie continue

Supponiamo che X sia una v.a. reale che assume valori in un sottoinsieme continuo di R.

Definizione 4.9 [Variabile aleatoria continua] Una variabile aleatoria, X, si dice continua se esiste

f : R→ [0,+∞) : P(x ∈ B) =

∫B

f(x) · dx

con B ⊂ R per cui l’integrale e definito.

Definizione 4.10 [Funzione di densita] f(x) definita nell’integrale di una v.a. continua si dice funzionedi densita.

Proprieta 4.5 Per v.a. continua

P(x ∈ R) =

∫ +∞

−∞f(x) · dx = 1

Definizione 4.11 [Funzione di distribuzione] Si definisce funzione di distribuzione F : R→ [0, 1]

F (x) = P(X ≤ x)

Proprieta 4.6 • ∀B = [a, b] P(a ≤ X ≤ b) =

∫ b

a

f(x) · dx = F (b)− F (a)


• Per piccoli intervalli B = (x, x+ ∆x) (∆x→ 0)

P(x ∈ B) =

∫ x+∆x

x

f(u) · du ≈ f(x) ·∆x

E chiaro che f(x) non e una misura di probabilita.

• P(X = x) =

∫x

f(u) · du =

∫ x

x

f(u) · du = 0

pertanto la probabilita che la v.a. assuma esattamente un valore (o un numero finito di essi, oun’infinita numerabili di essi) e sempre nulla; pertanto

P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b)

Esempio 4.11 Si consideri

f(x) =

C · (4 · x− 2 · x2) x ∈ (0, 2)0 x /∈ (0, 2)

stabilire per quali valori di C la funzione f e una funzione di densita di una v.a. co0ntinua e calcolareP(X > 1).Affinche f sia una funzione di distribuzione occorre imporre

• f(x) ≤ 0, ∀x

•∫Rf(x) · dx = 1

Poiche 4 · x− 2 · x2 ≥ 0, ∀x ∈ (0, 2) allora e necessario che C ≥ 0∫ +∞

−∞f(x)·dx =

∫ 2

0

C·(4·x−2·x2)·dx = C

∫ 2

0

(4·x−2·x2)·dx = C·[4 · x

2

2− 2 · x

3

3

]2

0

= C·(

8− 16

3

)= C·8

3= 1

C =3

8

Pertanto

f(x) =

38 · (4 · x− 2 · x2) x ∈ (0, 2)0 x /∈ (0, 2)

P(X > 1) =

∫ +∞

1

f(x) · dx =

∫ 2

1

f(x) · dx+

∫ +∞

2

f(x) · dx =

∫ 2

1

3

8· (4 · x− 2 · x2) · dx+

∫ +∞

2

0 · dx =

=

∫ 2

1

3

8· (4 · x− 2 · x2) · dx =

3

4·[x2 − x3

3

]2

1

=3

4·(

4− 8

3− 1 +

1

3

)=

3

4· 2

3=

1

2

Si poteva evitare il calcolo esplicito poiche osservando il grafico di f(x) si osserva che f e simmetricarispetto alla retta x = 1 pertanto ∫ 1

−∞f(x) · dx =

∫ +∞

1

f(x) · dx

e poiche ∫ +∞

−∞f(x) · dx =

∫ 1

−∞f(x) · dx+

∫ +∞

1

f(x) · dx = 1⇒∫ +∞

1

f(x) · dx =1

2

Esempio 4.12 Il tempo di guasto di un dispositivo ha la seguente funzione di densita

f(x) =

λ · e− x

100 x > 00 x ≤ 0

Si determini λ affinche f sia una funzione di densita e si calcoli P(X > 50).Poiche f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R si ha che λ ≥ 0∫ +∞

−∞f(x) ·dx =

∫ +∞

0

λ ·e− x100 ·dx = −100 ·λ ·

∫ +∞

0

− 1

100·e− x

100 ·dx = −100 ·λ ·[e−

x100

]+∞0

= 100 ·λ = 1

λ =1

100


Pertanto

f(x) =

1

100 · e− x

100 x > 00 x ≤ 0

P(X > 50) =

∫ +∞

−∞f(x) · dx =

∫ +∞

50

1

100· e− x

100 · dx =[e−

x100

]+∞50

= e−50100 = e−

12

Esempio 4.13 X e una v.a. continua con funzione di densita fX . Detarminare la funzione di densitadella v.a. Y = 2 ·X.Poiche X e una v.a. continua allora lo e anche Y .

∀y ∈ R, FY (y) = P(Y ≤ y) = P(2 ·X ≤ y) = P(X ≤ y

2

)= Fx

(y2

)fY (y) = F ′Y (y) = fx

(y2

)· 1

2

Per l’ultima relazione si sfrutta la derivata di un integrale definito

∂

∫ b(y)

a(y)

f(x) · dx

∂y=∂F (b(y))− F (a(y))

∂y=∂F (b(y))

∂y− ∂F (a(y))

∂y= f(b(y)) · ∂b(y)

∂y− f(a(y)) · ∂a(y)

∂y

4.2.1 Valore atteso di una variabile aleatoria continua

Definizione 4.12 [Valore atteso] Se X ha funzione di densita f , allora si definisce valore atteso di X(se l’integrale esiste)

E(x) =

∫ +∞

−∞x · f(x) · dx

Osservazione 4.2 Se X e dice simmetrica rispetto a x0, cioe se f(x+x0) = f(−x−x0), il valore attesoe

E(X) = x0

Proprieta 4.7 Se X e una v.a. aleatoria continua non negativa, allora

E(x) =

∫ +∞

0

P(X > x) · dx =

∫ +∞

0

R(X) · dx =

∫ +∞

0

(1− FX(x)) · dx

R(x) e detta funzione di sopravvivenza.

Dimostrazione 4.8∫ +∞

0

P(X ≥ x)·dx =

∫ +∞

0

(∫ +∞

x

fX(u) · du)·dx =

∫ +∞

0

(∫ u

0

dx

)·fX(u)·du =

∫ +∞

0

u·fX(u)·du = E(x)

Funzione di una variabile aleatoria continua

Spesso si e interessati allo studio di funzione di variabili aleatorie.

Esempio 4.14 Sia X una v.a. continua con funzione di densita fX . Determinarela densita delle variabiliY = X2, T = |X| e Z = a ·X + b con a,b ∈ R.

• poiche F (Y < y) = P(Y ≤ y) = P(X2 ≤ y), se y < 0 allora P(X2 ≤ y) = 0, mentre

FY (y) = P(Y ≤ y) = P(X2 ≤ y) = P(−√y ≤ X ≤ √y) =

∫ √y−√y

fX(x) · dx

fY (y) =

fX(√y) · 1

2·√y − fX(−√y) · −12·√y = 1

2·√ ·[fX(√y) + fX(

√y)]

y ≥ 0

0 y < 0

fY (y) =

1

2·√ ·[fX(√y) + fX(

√y)]

y ≥ 0

0 y < 0


• FZ(z) = P(a ·X + b ≤ z) = P(X ≥ z − b

a

)=

∫ +∞

z−ba

fX(x) · dx, a < 0, b ∈ R

FZ(z) = P(a ·X + b ≤ z) = P(X ≤ z − b

a

)=

∫ z−ba

−∞fX(x) · dx, a > 0, b ∈ R

∀a ∈ R\0, ∀b ∈ R, fZ(z) =

fX(z−ba

)·(− 1a

)a < 0

z−ba ·

1a a > 0

= fX

(z − ba

)· 1

|a|

Prosizione 4.2 (Funzione di densita di una variabile aleatoria composta) Sia X una variabilealeatoria continua e sia Y = g(X) con g una funzione monotona si ha

fY (y) = fX(g−1(y)) ·∣∣∣∣∂g−1(y)

∂y

∣∣∣∣Dimostrazione 4.9 La dimostrazione si suddivide in due casi distinti:

• nel caso in cui g sia monotona crescente si ha

FY (y) = P(Y ≤ y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ≤ g−1(y)) =

∫ g−1(y)

−∞fX(x) · dx

fY (y) = F ′Y (y) = fX(g−1(y)) · ∂g−1(y)

∂y

• nel caso in cui g sia monotona decrescente si ha

FY (y) = P(Y ≤ y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ≥ g−1(y)) =

∫ +∞

g−1(y)

fX(x) · dx

fY (y) = F ′Y (y) = −fX(g−1(y)) · ∂g−1(y)

∂y

Pertanto fY (y) = fX(g−1(y)) ·∣∣∣∂g−1(y)

∂y

∣∣∣Prosizione 4.3 Sia X una v.a. continua, con f la sua funzione di densita, e sia g una funzione realeallora

E(g(X)) =

∫ +∞

−∞g(x) · f(x) · dx

Dimostrazione 4.10 Lo si dimostra limitatamente al caso in cui ∀x ∈ X, g(x) ≥ 0

E(g(X)) =

∫ +∞

0

P(g(X) > y)·dy =

∫ +∞

0

(∫x: g(x)>yfX(x) · dx

)·dy =

∫ +∞

−∞

(∫ g(x)

0

fX(x) · dx

)·dy =

∫ +∞

−∞g(x)·f(x)·dx

Proprieta 4.8 • E(a ·X + b) = a · E(X) + b

Dimostrazione 4.11

E(a ·X + b) =

∫ +∞

−∞(a · x+ b) · fX(x) · dx =

∫ +∞

−∞a · x · fX(x) · dx+

∫ +∞

−∞b · fX(x) · dx =

= a ·∫ +∞

−∞x · fX(x) · dx+ b ·

∫ +∞

−∞fX(x) · dx = a · E(x) + b

• E(f(X) + g(X)) = E(f(X)) + E(g(X))


Dimostrazione 4.12

E(f(X) + g(X)) =

∫ +∞

−∞(f(x) + g(x)) · fX(x) · dx =

∫ +∞

−∞f(x) · fX(x) · dx+

∫ +∞

−∞g(x) · fX(x) · dx =

= E(f(X)) + E(g(X))

Esempio 4.15 (Tempi di attesa) Supponiamo che il numero di eventi che si verificanp oin un inter-vallo di tempo [0, t] segue la distribuzione di Poisson, di parametro λ · t.Mostrare che il tempo di attesa del primo evento e una v.a. continua con

fX(x) =

λ · e−λ·x x > 00 x ≤ 0

Inoltre, si trovi la distribuzione del tempo di arrivo dell’n-esimo evento.Si definisce NT il numero di eventi in [0, t]

NT ∼ Poisson(λ · t) pX(x) =e−λ·t · (λ · t)x

x!

P(T ≤ t) = 1− P(T > t) = 1− P(NT = 0) = 1− e−λ·t · (λ · t)0

0!= 1− e−λ·t

fT (t) = F ′T (t)=

1− e−λ·t t > 00 t ≤ 0

FTn = P(Tn ≤ t)t>0= P(Tn ≤ n) =

+∞∑k=n

pNt(k) =

+∞∑t=n

e−λ·t · (λ · t)k

k!

fTn(t) = F ′Tn(t) =

+∞∑n=n

e−λ·t · (−λ) · (λ · t)k + e−λ·t · k · (λ · t)k−1 · λk!

=

= −+∞∑k=n

e−λ·t · λ · (λ · t)k

k!+

+∞∑k=n

e−λ·t · λ · (λ · t)k−1

(k − 1)!=

= −+∞∑k=n

e−λ·t · λ · (λ · t)k

k!+

+∞∑j=n−1

e−λ·t · λ · (λ · t)j

j!=

= −+∞∑k=n

e−λ·t · λ · (λ · t)k

k!+

+∞∑j=n

e−λ·t · λ · (λ · t)j

j!+e−λ·t · (λ · t)n−1 · λ

(n− 1)!=e−λ·t · (λ · t)n−1 · λ

(n− 1)!, t > 0

fTn(t) e un caso particolare di una distribuzione notevole chiamata variabile aleatoria gamma.

Esempio 4.16 Si suppone che si ricevano, in media, 2 chiamate per ora (unita di misura di tempo) eche si abbia appena finito una telefonata

1. Quale e la probabilita di aspettare per piu di un’ora per la prossima telefonata?

2. Qual’e la probabilita di ricevere almeno una telefonata nei prossimi 10 minuti?

3. Qual’e la probablita di aspettare piu di 10 minuti e meno di 1 ora per la prossima chiamata?

Dai dati del problema e chiaro che la v.a. da considerare e T ∼ exp(2), pertanto

1. P(T > 1) =

∫ +∞

1

2 · e−2·t · dt = [−e−2·t]+∞1 = e−2

2. P(T <

1

6

)=

∫ 16

−∞2 · e−2·t · dt+

∫ 16

0

2 · e−2·t · dt = [−e−2·t]160 = 1− e− 1

3

3.P(

1

6< T < 1

)= FT (1)− FT

(1

3

)= P(T ≤ 1)− P

(T ≤ 1

6

)= 1− P(T > 1)− P

(T ≤ 1

6

)=

= 1− e−2 − 1 + e−13 = e−

13 − e−2


4.2.2 Variabili aleatorie continue notevoli

Variabile aleatoria esponenziale

Definizione 4.13 [v.a. continua, esponenziale] Una v.a. continua, X, si dice esponenziale di parametroλ, X ∼ exp(λ), se ha la seguente funzione di densita

f(x) =

λ · e−λ·x x > 00 x ≤ 0

Proprieta 4.9 Una v.a. continua di tipo esponenziale ha

• E(X) =1

λ

Dimostrazione 4.13

E(X) =

∫ +∞

−∞x · f(x) · dx =

∫ +∞

0

x · λ · e−λ·x · dx = [−x · e−λ·x]+∞0 +

∫ +∞

0

e−λ·x · dx =

= − 1

λ·∫ +∞

0

−λ · e−λ·x · dx =1

λ

• V ar(X) =1

λ2

Dimostrazione 4.14

V ar(X) = E((X − E(X))2) = E(X2)− [E(X)]2

E(X2) =

∫ +∞

−∞x2 · f(x) · dx =

∫ +∞

0

x2 · λ · e−λ·x · dx pp= [−e−λ·x · x2]+∞0 +

∫ +∞

0

2 · x · e−λ·x · dx =

= 2 ·∫ +∞

0

x · e−λ·x · dx =2

λ·∫ +∞

0

x · e−λ·x · dx =2

λ2

V ar(X) = E(X2)− [E(X)]2 =2

λ2− 1

λ2=

1

λ2

• P(X > s + t|X > s) = P(X > t), proprieta di non memoria della distribuzione esponenziale (utileper la modellizzazione di apparati non soggetti ad usura)

Dimostrazione 4.15

1− FX(t) = R(t) = P(X > t) =

∫ +∞

t

λ · e−λ·u · du = e−λ·t, t > 0

poiche X > s = (X > t+ s) ∪ (s < X ≤ t+ s)⇒ (X > t+ s) ∩ (X > s) = X > t+ s pertanto

P(X > t+ s|X > s) =P(X > t+ s)

P(X > s)=e−λ·(t+s)

e−λ·s= e−λ·t = P(X > t)

• la funzione di rischio e r(x) =f(x)

1− F (x)= λ, ∀x > 0

Dimostrazione 4.16

r(x) =f(x)

1− F (x)=λ · e−λ·x

e−λ·x= λ, ∀x > 0

Si puo interpretare la funzione di rischio come il rapporto tra la memoria della distribuzione esponenzialee una ampiezza (se questa tende a 0)

P(x ≤ X ≤ x+dx|X > x) =P(x ≤ X ≤ x+ dx)

P(X > x)

dx→0≈ f(x) · dx

1− F (x)= r(x)·dx⇒ r(x) =

P(x ≤ X ≤ x+ dx|X > x)

dx


Variabile aleatoria gamma

Definizione 4.14 [v.a. continua, gamma] Una v.a. continua, X, si dice gamma di parametri λ e α,λ,α > 0, X ∼ gamma(α, λ), se ha la seguente funzione di densita

f(x) =

λ · e−λ·x · (λ · x)α−1

Γ(α)x > 0

0 x ≤ 0

con Γ(α) =

∫ +∞

0

xα−1 · e−x · dx

Γ(α) = (α− 1) · Γ(α− 1), Γ(1) = 1se α ∈ N allora Γ(α) = (α− 1)!

Proprieta 4.10 Una v.a. continua di tipo gamma ha

• E(X) =α

λ

• V ar(X) =α

λ2

Dimostrazione 4.17 Una v.a. gamma la si puo interpretare come la somma di α distinte v.a. continuedi tipo esponenziale di parametro λ, pertanto

E(X) = E(∑

Ti

)= α · E(T1) =

α

λ

V ar(X) = V ar(∑

Ti

)= α · V ar(T1) =

α

λ2

Variabile aleatoria uniforme

Definizione 4.15 [v.a. continua, uniforme] Una v.a. continua, X, si dice uniforme, di parametro (a, b),se ha la seguente funzione di densita

f(x) =

1

b− ax ∈ (a, b)

0 x /∈ (a, b)

Proprieta 4.11 Una v.a. continua di tipo uniforme ha

• E(X) =b+ a

2

Dimostrazione 4.18 Si ha che a ≤ b (per mantenere la relazione d’ordine dell’insieme (a, b))

E(X) =

∫ +∞

−∞x·f(x)·dx =

∫ b

a

1

b− a·x·dx =

1

b− a·[x2

2

]ba

=b2 − a2

2 · (b− a)=

(b+ a) · (b− a)

2 · (b− a)=b+ a

2

• V ar(X) =b2 + a · b+ a2

3


V ar(X) = E(X2)− [E(X)]2

E(X2) =

∫ +∞

−∞x2 · f(x) · dx =

∫ b

a

1

b− a· x2 · dx =

1

b− a·[x3

3

]ba

=

=b3 − a3

3 · (b− a)=

(b− a) · (b2 + a · b+ a2)

3 · (b− a)=b2 + a · b+ a2

3


• F (x) =

0 x < 1

x− ab− a

x ∈ (a, b)

1 x > 1


F (x) = 0,∀x < a F (x) = 1, ∀x > b

∀x ∈ (a, b),

∫ x

a

1

b− a· du =

1

b− a· (x− a) =

x− ab− a

F (x) =

0 x < 1

x− ab− a

x ∈ (a, b)

1 x > 1

Variabile aleatoria normale

Definizione 4.16 [v.a. continua, Normale o Gaussiana] Una variabile aleatoria continua, X, si diceNormale o Gaussiana di parametri µ e σ2, X ∼ N(µ, σ2), se

fX =1√

2 · π · σ2· e−

(x−µ)2

2·σ2 ≤ 0, x ∈ R

Dimostrazione 4.21∫ +∞

−∞

1√2 · π · σ2

· e−(x−µ)2

2·σ2 · dxz= x−µ

σ=

∫ +∞

−∞

1√2 · π

· e− z2

2 · dzu= z√

2=

=

∫ +∞

−∞

e−u2

√π· du =

1√π·∫ +∞

−∞e−u

2

· du =1√π· π = 1

I =

∫ +∞

−∞e−u

2

· du

I2 =

∫ +∞

−∞

(∫ +∞

−∞e−(u2+v2) · du

)· dv = π ⇒ I =

√π

√π =

∫ +∞

−∞e−u

2

· du = 2 ·∫ +∞

0

e−u2

· du x=u2

=

∫ +∞

0

1√x· e−x · dx =

∫ +∞

0

x12−1 · e−x · dx = Γ

(1

2

)

Proprieta 4.12 In una v.a. continua, X ∼ N(µ, σ2), fX :

• ha valore massimo in x = µ

• e crescente per x ≤ µ ed e decrescente per x ≥ µ

• ha concavita verso l’alto per x ≤ µ− σ ∪ x ≥ µ+ σ e concavita verso il basso per x ∈ [µ− σ, µ+ σ]

Dimostrazione 4.22

fX(x) =1√

2 · π · σ2· e−

(x−µ)2

2·σ2

f ′X(x) =1√

2 · π · σ2· e−

(x−µ)2

2·σ2 ·(−2 · (x− µ)

2 · σ2

)= −x− µ

σ2· 1√

2 · π · σ2· e−

(x−µ)2

2·σ2

f ′X(x) > 0, ∀x < µ f ′X(x) = 0, x = µ f ′X(x) < 0, ∀x > µ

f ′′X(x) =1√

2 · π · σ2· e−

(x−µ)2

2·σ2 ·

[(x− µσ2

)2

− 1

σ2

]=

1√2 · π · σ2 · σ4

· e−(x−µ)2

2·σ2 ·[(x− µ)2 − σ2

]f ′′X(x) < 0, ∀x ∈ (µ−σ, µ+σ) f ′′X(x) = 0, ∀x ∈ x−µ, x+µ f ′′X(x) > 0, ∀x ∈ R\[µ−σ, µ+σ]


Proprieta 4.13 Una variabile esponenziale di tipo normale ha:

• E(X) = µ

Dimostrazione 4.23

E(X) =

∫ +∞

−∞x · fX(x) · dx =

∫ +∞

−∞

(x− µ√2 · π · σ2

· e−(x−µ)2·σ2 +

µ√2 · π · σ2

· e−(x−µ)2·σ2

)· dx =

z= x−µσ=

∫ +∞

−∞

σ · z√2 · π

· e− z2

2 · dz + µ ·∫ +∞

−∞

e−(x−µ)2

2·σ2

√2 · π · σ2

· dx = 0 + µ · 1 = µ

∫ +∞

−∞

σ · z√2 · π

· e−z2

2 · dz = 0 perche la funzione integranda e una funzione dispari

• V ar(X) = σ2

Dimostrazione 4.24

V ar(X) = E((X − µ)2) =

∫ +∞

−∞(x− µ)2 · fX(x) · dx

z= x−µσ= σ2 ·

∫ +∞

−∞

z2 · e− z2

2

√2 · π

· dz =

p.p.= σ2 ·

(−z · e− z22√2 · π

)∣∣∣∣∣+∞

−∞

+

∫ +∞

−∞

e−z2

2

√2 · π

· dz

= σ2

Il calcolo esplicito della funzione di ripartizione

FX(x) =

∫ x

−∞fX(x) · dx

e analiticamente impossibile; pertanto si procede linearizzando la v.a. in modo da poter utilizzare letavole con i valori di Φ(z) (dove Φ(z) e la funzione FZ(z) con Z la v.a. standardizzata di X).

Proprieta 4.14 Se X ∼ N(µ, σ2) allora

a ·X + b ∼ N(a · µ+ b, a2 · σ2), ∀a ∈ R\0,∀b ∈ R

Dimostrazione 4.25 Se:

• a > 0

Fa·X+b(y) = P(a ·X + b ≤ y) = P(X ≤ y − b

a

)= FX

(y − ba

)=

∫ y−ba

−∞

1√2 · π · σ2

· e−(x−µ)2

2·σ2 · dx

fa·X+b(y) = F ′a·X+b(y) =1√

2 · π · σ2· e−

( y−ba −µ)2

2·σ2 · 1

a=

1√2 · π · σ2 · a2

· e−(y−b−a·µ)2

2·σ2·a2 =

=1√

2 · π · σ2 · a2· e−

(y−(a·µ+b))2

2·σ2·a2 =1√

2 · π · σ2· e−

(y−µ)2

2·σ2

µ = a · µ+ b σ2 = a2 · σ2

• a < 0

Fa·X+b(y) = P(a ·X + b ≤ y) = P(X ≥ y − b

a

)=

∫ +∞

y−ba

1√2 · π · σ2

· e−(x−µ)2

2·σ2 · dx

fa·X+b(y) = F ′a·X+b(y) = − 1√2 · π · σ2

· e−( y−ba −µ)

2

2·σ2 · 1

a=

1√2 · π · σ2

· e−( y−ba −µ)

2

2·σ2 · 1

−a=

=1√

2 · π · σ2 · a2· e−

(y−b−a·µ)2

2·σ2·a2 =1√

2 · π · σ2· e−

(y−µ)2

2·σ2

µ = a · µ+ b σ2 = a2 · σ2


Pertanto se X ∼ N(µ, σ2) allora

a ·X + b ∼ N(µ, σ2) = N(a · µ+ b, a2 · σ2), ∀a ∈ R\0,∀b ∈ R

Definizione 4.17 [v.a. standardizzata] Sia X una v.a. si dice Y standardizzata di X se

Y =X − µσ

⇒ E(Y ) = 0V ar(Y ) = 1

Sulle tavole, come detto in precedenza, e presente il valore di Φ che e la funzione di distribuzione dellanormale standardizzata, cioe di N(0, 1).Tali tavole, inoltre, sfruttano la proprieta di simmetria della funzione infatti sono forniti Φ(x), x > 0

x > 0, Φ(−x) = 1− Φ(x)

Esercizio 4.2 Sia X : altezzia di un bambino (di sette mesi) con X ∼ N(71[cm], 6.25).Calcolare:

• P(X > 74)

• P(X > 77)

• P(|X − µ| < 2)

P(X > 74) = P(X − 71√

6.25>

74− 71√6.25

)= P

(Z >

3√6.25

)= P(Z > 1.2) =

= 1− P(X ≤ 1.2) = 1− Φ(1.2) ≈ 1− 0.88493 = 0.11507

P(X > 77) = P(X − 71√

6.25>

77− 71√6.25

)= P

(Z >

6√6.25

)= P(Z > 2.4) =

= 1− P(X ≤ 2.4) = 1− Φ(2.4) ≈ 1− 0.99180 = 0.0082

P(|X − µ| < 2) = P(∣∣∣∣X − 71√

6.25

∣∣∣∣ < 2√6.25

)= P

(− 2√

6.25< Z <

2√6.25

)=

= P(−0.8 < Z < 0.8) = Φ(0.8)− Φ(−0.8) = Φ(0.8)− 1 + Φ(0.8) =

= 2 · Φ(0.8)− 1 ≈ 0.57628

Per l’ultimo risultato si poteva effettuare anche un ragionemento piu “geometrico”; cioe poiche gli estremisono simmetrici rispetto al valor medio (µ = 0) allora

z = 0.8 P(−z < Z < z) = 2 ·A A =

∫ z

0

fX(x) · dx = Φ(z)− Φ(0) = Φ(z)− 1

2

P(−z < Z < z) = 2 ·A = 2 · Φ(z)− 2 · 1

2= 2 · Φ(z)− 1

Esercizio 4.3 Sia Z la distribuzione normale standardizzata, determinare la distribuzione Z2.

FZ2(u) = 0, ∀u ≤ 0

FZ2(u) = P(Z2 ≤ u) = P(−√u ≤ Z ≤

√u) = 2 · Φ(

√u)− 1 = 2 ·

∫ √u−∞

e−z2

2

√2 · π

· dz

fZ2(u) = F ′Z2(u) = 2 · e−u2√

2 · π· 1

2 ·√u

=e−

12 ·u · u− 1

2 ·(

12

) 12

√π

Sia X ∼ gamma(α, λ)

fX(x) =λα · xα−1 · e−λ·x

Γ(α)

pertanto ponendo α = λ = 12 si ha che fX(u) = fZ2(u) e quindi

Z2 ∼ gamma(

1

2,

1

2

)


La risoluzione dell’esercizio precedente porta alla definizione della va continua χ21 (dove il pedice 1 indica

il numero di gradi di liberta).Nel caso generale, cioe nel caso di χ2

n si ha

χ2n :=

n∑i=1

Z2i

con Zi indipendenti tra loro.

Teorema 4.1 Sia Xn, n ≥ 1 con Xn ∼ Bi(n, p); se n → +∞ allora Xn → X con X distribuzionenormale.

P

(Xn − n · p√n · p · (1− p)

≤ x

)n→+∞→ Φ(x), ∀x ∈ R

Xn → N(n · p, n · p · (1− p))

Esercizio 4.4 Si lancia un dado regolare a sei facce n = 1000 volte.Sia X il numero di lanci con esito 6 (X ∼ Bi

(1000, 1

6

)Determinare P(150 ≤ X ≤ 200).

P(150 ≤ X ≤ 200) =

200∑k=150

(1000

k

)·(

1

6

)k·(

5

6

)1000−k

=1

61000·

200∑k=150

(1000

k

)· 51000−k ≈ 0.92645

per ricavare tale soluzione e stato necessario l’uso di un PC.

Come si puo osservare bisogna maneggiare numeri estremamente grandi, mentre accettando una piccolaapprossimazione si puo calcolare la medesima probabilita approssimando la distribuzione binomiale conuna distribuzione normale, X

X ∼ N(

1000

6,

5000

36

)poiche si approssima una distribuzione discreta con una distribuzione continua P(X = x) ≈ P

(∣∣∣X − ε∣∣∣ ≤ x),

ponendo ε = 0.5 si ha P(X = x) ≈ P(x− 0.5 ≤ X ≤ x+ .05

). Seguendo questa strada si ha che

P(150 ≤ X ≤ 200) =

200∑k=150

P(X = k) ≈200∑k=150

P(k − 0.5 ≤ X ≤ k + 0.5) = P(150− 0.5 ≤ X ≤ 200 + 0.5) =

= P

150− 0.5− 10006√

500036

≤X − 1000

6√500036

≤2000 + 0.5− 1000

6√500036

=

= P

150− 0.5− 10006√

500036

≤ Z ≤2000 + 0.5− 1000

6√500036

=

= P

(−103 ·

√2

100≤ Z ≤ 203 ·

√2

100

)≈ P(−1.457 ≤ Z ≤ 2.871) =

= Φ(2.871)− 1 + Φ(1.457) ≈ 0.99795− 1 + 0.927442 = 0.92539

Esercizio 4.5 Si consideri X il tempo di riparazione di un oggetto, sapendo che X ∼ exp(

12

)calcolare

• P(X > 2)

• P(X > 10|X > 9)

fX(x) =1

2· e− 1

2 ·x

P(X > 2) =

∫ +∞

2

1

2· e− 1

2 ·x · dx =[−e− 1

2 ·x]+∞

2= e−1

P(X > 10|X > 9)

definizioneprobabilitacondizionata

=P(X > 10)

P(X > 9)=

∫ +∞

10

1

2· e− 1

2 ·x · dx∫ +∞

9

1

2· e− 1

2 ·x · dx=

[−e− 1

2 ·x]+∞

10[−e− 1

2 ·x]+∞

9

=e−5

e−92

= e−12


Ricorrendo invece alla proprieta di non memoria della distribuzione esponenziale (P(X > s+ t|X > s) =P(X > t))

P(X > 10|X > 9) = P(X > 9 + 1|X > 9) = P(X > 1) =

∫ +∞

1

1

2· e− 1

2 ·x · dx =[−e− 1

2 ·x]+∞

1= e−

12

Esercizio 4.6 La quantita giornaliera di rifiuti segue la distribuzione

X ∼ N(25[g], 16)

Supponendo che la quantita di rifiuti giornaliesi siano tra di loro indipendenti, determinare

• P(X > 30)

• P(X1 ≤ 30, X2 ≤ 30) (con X1 e X2 la quantita di rifiuti in due giorni distinti)

• P(su 10 giorni X > 30 al piu 2 volte)

P(X > 30) = P(X − 25

4>

30− 25

4

)= P

(Z >

5

4

)= 1− Φ

(5

4

)≈ 1− 0.89435 = 0.10565

P(X1 ≤ 30, X2 ≤ 30) = P(X1 ≤ 30) · P(X2 ≤ 30) = P(X ≤ 30)2 =

= P(X − 25

4≤ 30− 25

4

)2

= Φ

(5

4

)2

≈ 0.79986

Per l’ultimo punto occorre definire una variabile aleatoria di tipo binomiale, N , che rappresenta il numerodi giorni in cui X > 30

N ∼ Bi(10,P(X > 30)) = Bi

(10, 1− Φ

(5

4

))≈ Bi(10, 0.10565)

pertanto

P(su 10 giorni X > 30 al piu 2 volte) = P(N ≤ 2) = PN (0) + PN (1) + PN (2) =

=

(10

0

)· (0.89435)10 +

(10

1

)· (0.10565) · (0.89435)9 +

(10

2

)· (0.10565)2 · (0.89435)8 = 0.91975

4.3 Leggi congiunte di variabili aleatorie

Siano X e Y due v.a. reali

Definizione 4.18 La funzione di distribuzione congiunta di X e Y e una funzione

FXY (x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) = P((x, y) ∈ B), x,y ∈ R

con B = (−∞, x]× (−∞, y]

Nel caso di congiunzione di n v.a. si ha

F(X1,...,Xn)(x1, . . . , xn) = P(X1 ≤ x1, . . . Xn ≤ xn), ∀xi ∈ R,∀i ≤ n ∩ N

La FXY (x, y) puo essere interpretata come funzione di distribuzione di una variabile aleatoria X come

FX(x) = P(X ≤ x), X =

X1

...Xn

Dalla definizione di FXY e possibile ricavare la distribuzione di X e Y , definendole funzioni di distribuzionimarginali.

Definizione 4.19 Si definisce funzione di distribuzione marginale di FXY

FX(x) = P(X ≤ x) = P(X ≤ x, Y ≤ +∞) = limy→+∞

FXY (x, y)

FY (y) = P(Y ≤ y) = P(X ≤ +∞, Y ≤ y) = limx→+∞

FXY (x, y)

Osservazione 4.3 A partire da FXY si possono calcolare, con il principio di inclusione-esclusione, leprobabilita delle altre regioni di forma rettangolare

P(x1 ≤ X ≤ x2, y1 ≤ Y ≤ y2) = FXY (x2, y2)− FXY (x1, y2)− FXY (x2, y1) + FXY (x1, y1)

P(X > x, Y > y) = P(Y > y)−[P(X ≤ x)−P(X ≤ x, Y ≤ y)] = 1−P(X ≤ x)−P(Y ≤ y)+P(X ≤ x, Y ≤ y)

4.3. LEGGI CONGIUNTE DI VARIABILI ALEATORIE 45

4.3.1 Funzioni di densita congiunte di variabili aleatorie discrete

Si considerino due v.a. reali discrete, X e Y

Definizione 4.20 Si definisce funzione di densita congiunta di X e Y la funzione

p : X× Y→ [0, 1]

p(x, y) = P(X = x, Y = y), (x, y) ∈ X× Y

In base alla definizione e necessario che

p(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ X× Y

∑(x,y)∈X×Y

p(x, y) = 1 = P(S) = P

⋃

xi ∈ Xyj ∈ Y

(X = xi, Y = yj)

e si ha che le densita marginali sono rispettivalmente

pX(x) =∑y∈Y

p(x, y), x ∈ X

pY (y) =∑x∈X

p(x, y), y ∈ Y

pX(x) = P(X = x) = P

X = x,⋃y∈Y

Y = y

= P

⋃y∈Y

(X = x, Y = y)

=∑y∈Y

P(X = x, Y = y) =∑y∈Y

p(x, y)

Esempio 4.17 Si consideri un’estrazione di 3 palline da un’urna composta da 3 palline rosse, 4 blu e 5bianche. Siano X e Y rispettivamente il numero di palline rosseestrette e il numero di palline blu estrette.Supposto che tutte le estrazioni sono equiprobabili, determinare la distribuzione congiunta di X e Y .

x ∈ X = 0, 1, 2, 3 y ∈ Y = 0, 1, 2, 3

Si puo facilemnte osservare che

p(x, y) =

(

3x

)·(

4y

)·(

53−x−y

)(123

) ∀(x, y) ∈ X× Y : x+ y ≤ 3

0 altrimenti

4.3.2 Funzioni di densita congiunte di variabili aleatorie continue

Si considerino due v.a. reali continue, X e Y

Definizione 4.21 X e Y si dicono congiuntamente continue o assolutamente continue se esiste lafunzione di densita congiunta

f : R× R→ [0,+∞)

tale che, tutte le volte che l’integrale e definito

P((X,Y ) ∈ C) =

∫∫C

f(u, v) · du · dv, C = (−∞, x]× (−∞, y]

f deve soddisfare ∫∫R2

f(x, y) · dx · dy = 1

FXY (x, y) =

∫ x

−∞

∫ y

−∞f(u, v) · du · dv


Osservazione 4.4 Derivando FXY si ha la funzione di densita congiunta

fXY (x, y) =∂2FXY (x, y)

∂x · ∂y

Inoltre se si prendono dx e dy piccoli si ha che

P(x ≤ X ≤ x+ dx, y ≤ Y ≤ y + dy) =

∫ x+dx

x

∫ y+dy

y

f(u, v) · du · dv ≈ f(x, y) · dx · dy

Esempio 4.18 Si consideri la funzione

f(x, y) =

k · x 0 < x < 1, 0 < y < 10 altrimenti

Trovare k in modo che f sia la densita congiunta di 2 v.a.E necessario che f(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ [0, 1]× [0, 1], questa condizione impone k > 0, inoltre e necessarioche

1 =

∫∫R2

f(x, y) · dx · dy =

∫ 1

0

∫ 1

0

k · x · dx · dy = k ·∫ 1

0

dy ·∫ 1

0

x · dx = k ·[x2

2

]1

0

=k

2⇒ k = 2

Esempio 4.19 Un dispositivo composto da 2 componenti smette di funzionare non appena una delle duecomponenti smette di funzionare.La densita congiunta dei tempi di vita dei due componenti misurata in ore e

f(x, y) =

2 · x 0 < x < 1, 0 < y < 10 altrimenti

Determinare la probabilita che il dispositivo smette di funzionare nella prima mezz’ora.

P(dispositivo non funziona prima di mezz’ora) = P(

min(x, y) ≤ 1

2

)P(min(x, y) ≤ 1

2

)= P

((X ≤ 1

2

)∪(Y ≤ 1

2

))= P

(X ≤ 1

2

)+ P

(Y ≤ 1

2

)− P

((X ≤ 1

2

)∩(Y ≤ 1

2

))=

P(X ≤ 1

2

)+ P

(Y ≤ 1

2

)− P

(X ≤ 1

2, Y ≤ 1

2

)=∫ 1

0

∫ 12

0

2 · x · dx · dy +

∫ 12

0

∫ 1

12

2 · x · dx · dy =[x2] 1

2

0+

1

2·[x2]1

12

=1

4+

1

2· 3

4=

5

8

Se le X e Y sono congiuntamente continue allora anche le v.a. X e P sono continue, inoltre la funzionedi densita della X e Y si dicono densita marginali.

fX(x) =

∫Rf(x, y) · dy, x ∈ R

fY (y) =

∫Rf(x, y) · dx, y ∈ R

Le relazioni sopra si ottengono differenziando

FX(x) = P(X ≤ x,−∞ < y < +∞)

∫ x

−∞

∫ +∞

−∞f(u, v) · du · dv

Esempio 4.20 Un dispositivo smette di funzionare appena entrambe le componenti smettono di funzio-nare.La densita congiunta dei tempi di vita dei 2 componenti, misurato in ore, e

f(x, y) =

x+y

8 0 < x < 2, 0 < y < 20 altrimenti

Determinare la probabilita che il dispositivo smette di funzionare nella prima ora.

P(dispositivo non funziona prima di ora) = P (max(x, y) ≤ 1)

P (max(x, y) ≤ 1) = P(X ≤ 1, Y ≤ 1) =

∫ 1

0

∫ 1

0

x+ y

8· dx · dy =

1

8·∫ 1

0

[x2

2+ x · y

]1

0

· dy =

1

8

∫1

2+ y · dy =

1

8·[y

2+y2

2

]1

0

=1

8

4.4. VARIABILI ALEATORIE INDIPENDENTI 47

fX(x) =

∫Rf(x, y) · dy

∀x ∈ [0, 2] : fX(x) =

∫ 2

0

x+ y

8· dy =

x

8· [y]20 +

1

8·[y2

2

]2

0

=x+ 1

4

Si puo verificare che

1 =

∫RfX(x) · dx =

(1

4+

3

4

)· 2 · 1

2= 1

pertanto

fX(x) =

∫Rf(x, y) · dy =

x+1

4 0 ≤ x ≤ 20 altrimenti

per il calcolo di fY (y) si puo osservare che X e Y sono simmetriche, pertanto

fY (y) =

∫Rf(x, y) · dx =

y+1

4 0 ≤ y ≤ 20 altrimenti

4.4 Variabili aleatorie indipendenti

Nel calcolo delle probabilita le v.a. indipendenti svolgono un ruolo fondamentale.La definizione di indipendenza tra le variabili aleatorie si basa sul concetto di indipendenza di eventi.

Definizione 4.22 Due v.a. si dicono indipendenti se gli eventi determinati da X e gli eventi determinatida Y sono indipendenti, cioe se

P(X ∈ A, Y ∈ B) = P(X ∈ A) · P(X ∈ B), ∀A,B

cioe conoscere il valore di una delle variabile non modifica la distribuzione di probabilita dell’altra.

Utiizzando gli assiomi della probabilita si puo dimostrare che due variabili aleatorie X e Y sono indipen-denti se e solo se

FXY (x, y) = FX(x) · FY (y), ∀A,B

Esempio 4.21 Siano X,Y v.a. continue con

∀(x, y) ∈ R2, fXY (x, y) =

2 · e−x · e−2·y x > 0, y > 00 altrimenti

Si determini

• P(X > 1, Y < 1)

• P(X < Y )

• P(X < a)

• la densita di Z = XY

P(X > 1, Y < 1) =

∫ +∞

1

(∫ 1

0

2 · e−x · e−2·y · dy)· dx =

∫ +∞

1

e−x ·(∫ 1

0

2 · e−2·y · dy)· dx =

=

∫ +∞

1

e−x · (1− e−2) · dx = e−1 · (1− e−2)

P(X < Y ) =

∫(x,y): x<yfXY (x, y) · dx · dy =

∫ +∞

0

e−x ·(∫ +∞

x

2 · e−2·y · dy)· dx =

=

∫ +∞

0

e−x · e−2·x · dx =

[e−3·x

3

]+∞

0

=1

3

P(X < a) =

∫ +∞

0

2 · e−2·y ·(∫ a

0

e−x · dx)· dy =

∫ +∞

0

2 · e−2·y · (1− e−a) · dy = 1− e−a, a > 0

P(X < a) =

0 a < 01− e−a a > 0


Z =X

Y⇒ FZ(z) =

0 z ≤ 0P(Z ≤ z)z>0 z > 0

P(Z ≤ z)z>0 = P(X

Y≤ z)

= P(X ≤ z · Y ) =

∫ +∞

0

2 · e−2·y ·(∫ z·y

0

e−x · dx)· dy =∫ +∞

0

2 · e−2·y · (1− e−z·y) · dy =

∫ +∞

0

2 · e−2·y · dy −∫ +∞

0

2 · e−(z+2)·y · dy =

1− 2

2 + z·∫ +∞

0

(2 + z) · e−(2+z)·y · dy = 1− 2

2 + z=

z

2 + z

FZ(z) =

0 z ≤ 0z

2+z z > 0

Definizione 4.23 Due v.a. si dicono indipendenti se

FXY (x, y) = FX(x) · FY (y), ∀(x, y) ∈ R2

inoltre si puo dimostrare che

• nel caso discreto pXY (x, y) = pX(x) · p(y), ∀x ∈ X, y ∈ Y

• nel caso continuo fXY (x, y) = fX(x) · f(y), ∀(x, y) ∈ R2

Esercizio 4.7 Ugo e Zoe si danno appuntamento all’ingresso di un locale con l’accordo di aspettarsi persolo 10 minuti.Se ogniuno di loro arriva indipendentemente dall’altro in un istante compreso tra le 21 e le 22, determinarela probabilita che entrino insieme nel locale.Si definiscono le seguenti v.a.

U ∼ Uniforme[0, 60] Z ∼ Uniforme[0, 60]

che rappresenta il momento di arrivo di rispettivamente Ugo e Zoe.Poiche U e Z sono indipendenti allora

fUZ(u, z) =

(160

)2u, z ∈ (0, 60)

0 u, z /∈ (0, 60)

Q = [0, 60]× [0, 60]

P(|U − Z| ≤ 10) = P(U ≤ 10+z, Z ≤ 10+U) =

∫(u,z)∈Q: |u−z|≤10

(1

60

)2

·dx·dy =

(1

60

)2

·(602−502) =11

36

Esercizio 4.8 Siano X,Y due v.a. con

fXY (x, y) =

6 · e−2·x · e−3·y x > 0, y > 00 altrimenti

determinare se X e Y sono indipendenti.

fXY (x, y) =

6 · e−2·x · e−3·y x > 0, y > 00 altrimenti

=

2 · e−2·x · 3 · e−3·y x > 0, y > 00 altrimenti

fX(x) =

∫RfXY (x, y) · dy =

∫ +∞

0

2 · e−2·x · 3 · e−3·y · dy = 2 · e−2·x

fY (y) =

∫RfXY (x, y) · dx =

∫ +∞

0

2 · e−2·x · 3 · e−3·y · dx = 3 · e−3·y

Poiche fXY (x, y) = fX(x) · fY (y) allora X e Y sono indipendenti.

Esercizio 4.9 Siano X,Y due v.a. con

fXY (x, y) =

24 · x · y 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x+ y < 10 altrimenti

4.4. VARIABILI ALEATORIE INDIPENDENTI 49

determinare se X e Y sono indipendenti.

Q = [0, 1]× [0, 1] 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x+ y < 1 ≡ Q ∩ (0 < x+ y < 1) = T

Poiche fX(x) e chiaramente 0 se ha x < 0 o x > 1 e tra 0 e 1 vale

∫T

24 · x · y · dx · dy > 0 (lo stesso

discorso vale per fY (y) oiche ha formulazione equivalente); se X e Y fossero indipendenti si avrebbe chefXY (x, y) = fX(x) · fY (y) > 0,∀(x, y) ∈ Q che e in contraddizione con la fXY (x, y) fornita, pertanto, Xe Y sono v.a. non indipendenti.Analiticamente si ha

fX(x) =

∫T

24 · x · y · dx · dy =

∫ 1−x

0

24 · x · y · dy = 12 · x · (1− x)2

fY (y) =

∫T

24 · x · y · dx · dy =

∫ 1−y

0

24 · x · y · dx = 12 · y · (1− y)2

E evidente che

fX(x) · fY (y) = 144 · x · y · (1− x)2 · (1− y)2 6= 24 · x · y = fXY (x, y)

4.4.1 Somma di variabili aleatorie indipendenti

Siano X e Y indipendenti con funzioni di densita associate fX(x) e fY (y)

Z = X + Y

FZ(z) = P(Z ≤ z) = P(X+Y ≤ z) =

∫ +∞

−∞fX(x) ·

(∫ z−x

−∞fY (y) · dy

)·dx =

∫ +∞

−∞fX(x) ·FY (z−x) ·dx

fZ(z) = F ′Z(z) =

∫ +∞

−∞fX(x) · fY (z − x) · dx = fX+Y (z) = fX ? fY caso continuo

pZ(z) = pX+Y (z) =∑

x+y=2

pX(x) · pY (y) =∑x∈X

pX(x) · pY (z − x) pY (λ) = 0, λ /∈ Y caso discreto

Somma di variabili aleatorie indipendenti notevole

Uniforme

X ∼ Uniforme[0, 1] Y ∼ Uniforme[0, 1] indipendenti

fX(x) =

1 0 < x < 10 altrove

fY (y) =

1 0 < y < 10 altrove

Si ha che

fX+Y (z) =

0 z ≤ 0z 0 < z ≤ 12− z 1 < z ≤ 20 z > 2

La convoluzione di due uniformi tra 0 e 1 e una “triangolare” tra 0 e 2.

Binomiale Sia X ∼ Bi(n, p) e Y ∼ Bi(m, p) indipendenti; si ha intuitivamente che Z = X + Y ∼Bi(n+m, p), infatti

∀k ∈ [0, n+m]∩N, pZ(k) =

n∑i=0

pX(i) · pY (k− i) =

n∑i=0

(n

i

)· pi · (1− p)n−i ·

(m

k − i

)· pk−i · (1− p)m−k+i

e necessario che i ≤ n e che k − i ≤ m, ma ponendo la convenzione che

(n

k

)= 0 se k < n si ha

pZ(k) = (1− p)n+m−k · pk ·n∑i=0

(n

i

)·(

m

k − i

)=

(n+m

k

)pk · (1− p)n+m−k


Poisson Sia X ∼ Poisson(λ1) e Y ∼ Poisson(λ2) indipendenti; si ha intuitivamente che Z = X+Y ∼Poisson(λ1 + λ2), infatti

pX+Y (k) =

k∑i=0

pX(i) · pY (k − i) =

k∑i=0

e−λ1 · λi1

i!· e−λ2 · λk−i2

(k − i)!= e−(λ1+λ2) ·

k∑i=0

λi1 · λk−i2

i! · (k − i)!=

=e−(λ1+λ2)

k!·k∑i=0

k!

i! · (k − i)!· λi1 · λk−i2 =

e−(λ1+λ2)

k!·k∑i=0

(k

i

)· λi1 · λk−i2 =

= (λ1 + λ2)k · e−(λ1+λ2)

k!·k∑i=0

(n

i

)·(

λ1

λ1 + λ2

)i·(

λ2

λ1 + λ2

)k−i︸︷︷︸

1

= (λ1 + λ2)k · e−(λ1+λ2)

k!

Parte II

Analisi Matematica

51

Capitolo 5

Ripasso numeri complessi (C)

Insiemisticamnente l’insieme dei numeri complessi si ha che

C = R2 = ∀x, y ∈ R : x+ i · y

a differenza di R in C e presente un’unita immaginaria tale che i2 = −1, inoltre in C non e possibiledefinire relazioni d’ordine1.

5.1 Rappresentazioni

Un numero z ∈ C : z = (x, y) puo essere rappresentato nei seguenti modi2

forma cartesiana

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x · (1, 0) + y · (0, 1) = x · 1 + y · i = x+ i · y

forma polare o trigonometrica, se z 6= 0, z = |z| · z|z| , poiche

∃ϑ ∈ R :z

|z|= (cos(ϑ), sin(ϑ)) = cos(ϑ) + i · sin(ϑ)

z = ρ · (cos(ϑ) + i · sin(ϑ)) ρ = |z|, ϑ = arg(z)

forma esponenziale se z 6= 0, poiche ei·ϑ := cos(ϑ) + i · sin(ϑ)

z = ρ · ei·ϑ

5.2 Operazioni fondamentali

Operazioni fondamentali, considerando z = x+ i · y ∈ C:

parte reale rappresenta la componente reale del numero

Re [z] := x |Re [z]| ≤ |z|

parte immaginaria rappresenta la componente immaginaria del numero

Im [z] := y |Im [z]| ≤ |z|

modulo rappresenta la distanza euclidea del numero complesso dall’origine, nel piano complesso

|z| :=√

Re [z]2

+ Im [z]2

fase rappresena l’angolo che vi e tra l’asse reale e la congiungente del numero complesso con l’originedel piano complesso

arg(z) :=

arctan(

Im[z]Re[z]

)Re [z] ≥ 0

arctan(

Im[z]Re[z]

)+ π Re [z] < 0

1che significato ha dire un punto e minore di un altro?2per una visualizzazione grafica consultare la Figura (5.1a)

53

54 CAPITOLO 5. RIPASSO NUMERI COMPLESSI

coniugato rappresenta il numero complesso riflesso all’asse reale, vi e cambiamento di segno solo sullaparte immaginaria

z := x− i · y

prodotto ha definizioni operative distinte in base alla rappresentazione

• siano z1 = x1 + i · y1 ∈ C e z2 = x2 + i · y2 ∈ C

z1 · z2 := (x1 + i · y1) · (x2 + i · y2) = x1 · x2 − y1 · y2 + i · (x1 · y2 + x2 · y1)

• siano z1 = ρ1 · ei·ϑ1 e z2 = ρ2 · ei·ϑ2

z1 · z2 := ρ1 · ei·ϑ1 · ρ2 · ei·ϑ2 = ρ1 · ρ2 · ei·(ϑ1+ϑ2)

parte reale, definizione operativa , Figura (5.1b)

Re [z] =z + z

2

parte immaginaria, definizione operativa , Figura (5.1c)

Im [z] =z − z2 · i

potenza n-esima di un binomio complesso

∀n ∈ N (z + w)n =

n∑k=0

(n

k

)· zn−k · wk =

n∑k=0

n!

(n− k)! · k!· zn−k · wk

differenza di potenze n-esima

∀n ∈ N zn−wn = (z−w) ·(zn−1 +zn−2 ·w+ . . .+z ·wn−2 +wn−1) = (z−w) ·

(n−1∑k=0

zn−1−k · wk)

inverso

z · z = (x+ i · y) · (x− i · y) = x2 + y2 =(√

x2 + y2)2

= |z|2

z−1 :=1

z=

1

z· zz

=z

|z|2

z

ϑ

z

1

i

ρ

(a) Piano Complesso (ρ, ϑ, z)

z

z

z + z2

Real[z] z + z

(b) Piano Complesso, evidenziato ilprocedimento per ricavare Re [z]

z − z2 · i

z − z

Imag[z]− z z

(c) Piano Complesso, evidenziato ilprocedimento per ricavare Im [z]

Figura 5.1: Sintesi grafica della rappresentazione di numeri complessi sul piano di Gauss (piano complesso)

5.3. ESERCIZI 55

Proprieta specifiche della rappresentazione esponenziale

•∣∣ei·ϑ∣∣ = 1, infatti

∣∣ei·ϑ∣∣ =√

cos2(ϑ) + sin2(ϑ) = 1

• ei·ϑ = e−i·ϑ

• e−i·ϑ = 1ei·ϑ

• ∀n ∈ N(ei·ϑ)n

= ei·n·ϑ

• ei·ϑ · ei·ϕ = ei·(ϑ+ϕ)

• ∀n ∈ Z zn = ρn · ei·n·ϑ = ρn · (cos(n · ϑ) + i · sin(n · ϑ))

• |z1 · z2| = |z1| · |z2|∣∣∣∣z1

z2

∣∣∣∣ =|z1||z2|

Proprieta di un esponenziale complesso Sia z ∈ C si definisce esponenziale complesso la quantita

ez := eRe[z]+i·Im[z] = eRe[z] · ei·Im[z]

5.3 Esercizi

Esercizio 5.1 (11/11/2006) Risolvere in C l’equazione

z2 + 2 · z = 5 · |z|2

Un semplice metodo risolutivo e quello di sostituire z = x+ i · y pertanto

z2 + 2 · z = 5 · |z|2 ⇒ (x+ i · y)2 + 5 · (x− i · y) = 5 · (x2 + y2)⇒⇒ x2 + 2 · i · x · y − y2 + 5 · x− 5 · i · y − 5 · x2 − 5 · y2 = 0⇒⇒ −4 · x2 − 6 · y2 + 5 · x+ i · (2 · x · y − 5 · y) = 0⇒

⇒

4 · x2 + 6 · y2 − 5 · x = 0y · (2 · x− 5) = 0

⇒

⇒

4 · x2 − 5 · x = 0y = 0

∪

4 ·(

52

)2+ 6 · y2 − 5 ·

(52

)= 0

x = 52

⇒

⇒x · (4 · x− 5) = 0y = 0

∪

4 ·(

52

)2+ 6 · y2 − 5 ·

(52

)= 0

x = 52

⇒

⇒x = 0y = 0

∪x = 5

4y = 0

∪

25 + 6 · y2 − 252 = 0

x = 52

⇒

⇒x = 0y = 0

∪x = 5

4y = 0

∪

6 · y2 + 252 = 0

x = 52

⇒

⇒x = 0y = 0

∪x = 5

4y = 0

∪ ⇒

⇒x = 0y = 0

∪x = 5

4y = 0

z = 0 ∪ z =5

4

Esercizio 5.2 Scrivere x2 + i · x · y in funzione di z e z

x =z + z

2y =

z − z2 · i

x2 + i · x · y =

(z + z

2

)2

+ i · z + z

2· z − z

2 · i=

1

4· (z2 + 2 · z · z2) +

1

4· (z2 − z2) =

z

2· (z + z) = z · Re [z]

Esercizio 5.3 (#12, capitolo 1 delle dispense) Esprimere in funzione di z

f(x, y) = x2 − y2 − 2 · y + 2 · i · x · (1− y)

x2 − y2 − 2 · y + 2 · i · x · (1− y) = x2 − y2 − 2 · y + 2 · i · x− 2 · i · x · y = (x− i · y)2 + 2 · (i · x− y) == (x− i · y)2 + 2 · i · (x+ i · y) = z2 + 2 · i · z


Esercizio 5.4 Trovare i numeri z ∈ C tali che |z − 1| ≤ 1

|z − 1| = |x+ i · y − 1| = |(x− 1) + i · y| =√

(x− 1)2 + y2 ≤ 1

cioe tutti i punti interni alla circonferenza, bordo bompreso, di centro (1, 0) e raggio 1.

Esercizio 5.5 Scrivere in forma algebrica z = 1+2·i3−4·i

z =(1 + 2 · i) · (3− 4 · i)

9 + 16=

3 + 4 · i+ 6 · i− 6

25=−3 + 10 · i

25

Esercizio 5.6 Scrivere in forma polare (trigonometrica) i seguenti numeri complessi

• z = i |z| = |i| = 1arg(i) = π

2

⇒ z = cos(π

2

)+ i · sin

(π2

)= ei·

π2

• z = 1 + i |z| =

√1 + 1 =

√2

arg(i) = π4

⇒ z =√

2 ·[cos(π

4

)+ i · sin

(π4

)]=√

2 · ei·π4

• z = i · (1 + i) = i− 1|z| =

√1 + 1 =

√2

arg(i) = − 34 · π

⇒ z =√

2 ·[cos

(−3

4· π)

+ i · sin(−3

4· π)]

=√

2 · e−i· 34 ·π

• z = sin(ϑ) + i · cos(ϑ)

z = sin(ϑ) + i · cos(ϑ) = i · (cos(ϑ)− i · sin(ϑ)) = i · [cos(−ϑ) + i · sin(−ϑ)] = i · e−i·ϑ = ei·(π2−ϑ) = z

Esercizio 5.7 Calcolare il modulo di z =1 +√

7 · i√3− i

· e2+i·π8

|z| =∣∣1 +

√7 · i∣∣∣∣√3− i∣∣ · ∣∣e2

∣∣ · ∣∣ei·π8 ∣∣ =

√1 + 7√3 + 1

· e2 =√

2 · e2

Esercizio 5.8 Sia z = 1−ii , calcolare z9

z =1− ii

= −i · (1− i) = −i− 1 =√

2 · ei· 54 ·π

z9 = (√

2)9 · ei·9· 54 ·π = 16 ·√

2 · ei·(10+ 54 )·π = 16 ·

√2 · ei· 54 ·π

Esercizio 5.9 Calcolare le radici quarte in C di −4

z = ρ · ei·ϑ

−4 = 4 · (−1) = 4 · ei·π ⇒ z4 = −4⇔ ρ4 · ei·4·ϑ = 4 · ei·πρ4 = 44 · ϑ = π + 2 · k · π ⇒

ρ =√

2ϑ = π

4 + k · π2k ∈ 0, 1, 2, 3

z1 = 1 + i, z2 = −1− i, z3 = 1− i z4 = −1 + i

Dai risultati si puo ossevare che le radici sono i vertici di un poligono di n vertici, dove n e il numero diradici, inscritto in una circonferenza centrata in (0, 0).

Esercizio 5.10 Calcolare le soluzioni di z2 − 2 · z + 2 = 0.In generale

a · z2 + b · z + c = 0, a 6= 0, a, b, c ∈ C

z1,2 =−b±

√b2 − 4 · a · c2 · a

occorre quindi trovare le radici complesse di√b2 − 4 · a · c.

Nell’esempio specifico si ha che

b2 − 4 · a · c = 4− 8 = −4⇒√−4 = ±2 · i

pertanto

z1,2 =2± 2 · i

2= 1± i

5.3. ESERCIZI 57

Esercizio 5.11 Calcolare le soluzioni di 4 · z2 + 4 · z + 1− i = 0.

b2 − 4 · a · c = 16− 16 + 16 · i = 16 · iw2 = 16 · iw = ρ · ei·ϑ ⇒

w2 = 16 · i = 16 · ei·π2w2 = ρ2 · ei·2·ϑ ⇒

ρ = 42 · ϑ = π

2 + 2 · k · π ⇒ρ = 4ϑ = π

4 + k · π k ∈ 0, 1

pertantoz1 = 4 · ei· 14 ·π = 2 ·

√2 + i · 2 ·

√2, z2 = 4 · ei· 54 ·π = −2 ·

√2− i · 2 ·

√2

Capitolo 6

Funzioni complesse

6.1 Esponenziale complesso

La funzione esponenziale complessa e

ez := ex+i·y = ex · ei·y

Siano z1 = x1 + i·1 ∈ C e sia z2 = x2 + i · y2 allora

ez1 = ez2 ⇔x1 = x2

y1 = y2 + 2 · π · k k ∈ Z

ez = ez ⇔ z = z + i · 2 · π · k ≡ x+ i · y = x− i · y + 2 · π · k ≡ y = k · π k ∈ ZPoiche l’esponenziale complesso e il prodotto di un esponenziale reale con la rappresentazione esponenzialedi un numero complesso valgono tutte le proprieta di uso abituale.

6.2 Funzioni trigonometriche

Attraverso le formule di Eulero, nel campo reale, si puo definire il seno e coseno (reali)

∀t ∈ R

ei·t − e−i·t

2 · i= sin(t)

ei·t + e−i·t

2= cos(t)

Si possono definire le funzioni seno e coseno complesso.

∀z ∈ Csin(z) :=

ei·z − e−i·z

2 · i

cos(z) :=ei·z + e−i·z

2

6.2.1 Proprieta

1 = sin2(z) + cos2(z) =

(ei·z − e−i·z

2 · i

)2

+

(ei·z + e−i·z

2

)2

=

= −1

4·(ei·2·z − 2 · ei·z−i·z + e−i·2·z

)+

1

4·(ei·2·z + 2 + e−i·2·z

)=

=1

4·(−ei·2·z + 2− e−i·2·z + ei·2·z + 2 + e−i·2·z

)=

4

4= 1

sin(z) = 0⇔ z = k · π, k ∈ Z ⇔ ei·z − e−i·z

2 · i= 0 ≡ ei·z = e−i·z ≡ e−y · ei·x = ey · e−i·x ≡

≡ey = e−y

x = −x+ 2 · k · π ≡y = 0x = k · π k ∈ Z

cos(z) = 0⇔ z = π2 + k · π, k ∈ Z ⇔ ei·z + e−i·z

2= 0 ≡ ei·z = −e−i·z = e−i·z · ei·π ≡

≡ e−y · ei·x = ey · ei·(π−x) ≡

≡ey = e−y

x = π − x+ 2 · k · π ≡y = 0x = π

2 + k · π k ∈ Z

59

60 CAPITOLO 6. FUNZIONI COMPLESSE

6.3 Funzioni iperboliche

∀z ∈ Csinh(z) :=

ez − e−z

2

cosh(z) :=ez + e−z

2

6.3.1 Proprieta

cosh2(z)− sinh2(z) = 1

sinh(z) = 0⇔ z = k · π · i, k ∈ Z

cosh(z) = 0⇔ z =π

2· i+ k · π · i, k ∈ Z

6.4 Esercizi

Esercizio 6.1 (11/02/2009) Disegnare il dominio della funzione e trovare gli zeri di

f(z) =ei·3·z − 1

z4 − 4

dominio dom(f) = z ∈ C : z4 6= 4z4 = 4z = ρ · ei·ϑ ⇒

z4 = 4 = 4 · ei·0z4 = ρ4 · ei·4·ϑ ⇒

ρ4 = 44 · ϑ = 2 · k · π ⇒

ρ =√

2ϑ = k · π2

k ∈ 0, 1, 2, 3

dom(f) = C\√

2 · ei·k·π2 , k ∈ 0, 1, 2, 3

= C\±i ·√

2,±√

2

zeri Si ricercano gli z tali che ei·3·z = 1 = 1 · ei·0

i · 3 · z = i · 2 · k · π ⇒ 3 · z = 2 · k · π ⇒ z =2

3· k · π k ∈ Z

Occorre, infine, verificare se gli zeri trovati fanno parte del dominio. Attraverso il grafico si puoosservare che gli zeri sono tutti interni al dominio.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

0

sqrt(2)

−4/3 ⋅π −2/3 ⋅π

sqrt(2)

−sqrt(2) ⋅i

sqrt(2) ⋅i

2/3 ⋅π 4/3 ⋅π

punti esterni al dominio

zeri della funzione

-

Figura 6.1

f(z) = 0⇒ z =2

3· k · π k ∈ Z

6.4. ESERCIZI 61

Esercizio 6.2 (17/02/2011) Trovare gli zeri di

f(z) =sin(2 · π · z)

8− z3

dom(f) = z ∈ C : 8 6= z3 = C\

2, 2 · ei· 23π, 2 · ei· 43 ·π

sin(2 · π · z) = 0 ≡ 2 · π · z = k · π ≡ z =k

2k ∈ Z

f(z) = 0⇒ z =k

2k ∈ Z

Esercizio 6.3 Risolvere in C l’equazione e disegnare il luogo degli zeri

(z − i)2 · (z + i) = 9 · z − i · 9

(z − i) · (z + i) = 9 ∪ z = i

z · z + i · z − i · z + 1 = 9 ∪ z = i

z · z + i · (z − z) = x2 + y2 + i · (i · 2 · y) = x2 + y2 − 2 · y = 8 ∪ z = i

zeri: z ∈ C : |z − i| = 3 ∪ z = i

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

i

3

Figura 6.2

62 CAPITOLO 6. FUNZIONI COMPLESSE

Capitolo 7

Analisi in Campo Complesso

Definizione 7.1 Sia z0 = (x0, y0) = x0 + i · y0 ∈ C e sia r > 0.Si definisce palla aperta o intorno aperto o disco aperto centrato in z0 di raggio r l’insieme

Br(z0) = z ∈ C : |z − z0| < r

Esempio 7.1 Calcola l’intorno di i di raggio 3.

B3(i) = z ∈ C : |z − i| < 3 =z = x+ i · y : x, y ∈ R,

√x2 + (y − 1)2 < 3

Definizione 7.2 Si consideri D ⊆ C, D si dice aperto se

∀z0 ∈ D,∃Br(z0) ⊆ D

Definizione 7.3 Un punto z0 ∈ D si dice punto di bordo o punto di frontiera per D ⊆ C se

∀r > 0, Br(z0) 6⊆ D

La frontiera si indica con ∂D.

Definizione 7.4 Si dice chiusura di D l’insieme

D := D ∪ ∂D

Definizione 7.5 Un insieme D ⊆ C si dice chiuso se D = D (contiene i punti interni e i punti difrontiera dell’insieme D).

Esempio 7.2 Sia D = Br(z0) ⊆ C, un insieme aperto.

∂Br(z0) = z ∈ C : |z − z0| = r

Br(z0) = z ∈ C : |z − z0| ≤ r

Definizione 7.6 Sia D ⊆ C, z0 ∈ C si dice punto di accumulazione per D se ogni intorno di z0 contieneinfiniti punti di D, tali punti sono punti nei quali e possibile calcolare il limite.

63

64 CAPITOLO 7. ANALISI IN CAMPO COMPLESSO

7.1 Curve in CDefinizione 7.7 Una curva in C e una funzione γ : [a, b]→ C continua.γ([a, b]) e l’immagine di γ sull’intervallo [a, b]; l’immagine si dice anche sostegno.

γ continua significa che se γ(t) = u(t) + i · v(t) allora u, v : R→ R continue.

Esempio 7.3γ : [0, 2 · π]→ C

γ(t) := ei·t = (cos(t), sin(t)) = cos(t) + i · sin(t)

γ e continua poiche sin e cos sono funzioni continue

Esempio 7.4γ : [0, 2 · π]→ C

γ(t) := z0 + r · ei·t = x0 + i · y0 + r · cos(t) + i · r · sin(t) = x0 + r · cos(t) + i · [y0 + r · sin(t)]

γ e continua poiche sin e cos sono funzioni continue

Definizione 7.8 Sia γ : [a, b]→ C, se γ(t) = u(t) + i · v(t)

γ′(t) = γ(t) = u′(t) + i · v′(t)

Definizione 7.9 Una curva ha derivata continua se ha le componenti della curva hanno derivate conti-nue.

u, v ∈ C1 ⇒ γ ∈ C1

Definizione 7.10 γ si dice C1 a tratti se ha derivata continua tranne un numero finito di punti, cioe

∃a = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = b : γ ∈ C1([ti, ti+1]),∀i ∈ [0, n− 1] ∩ N

Definizione 7.11 Sia Ω ⊆ C aperto, Ω si dice connesso se dati due qualsiasi punti esiste una curva,interamente contenuta in Ω, che li unisce.

∀z1, z2 ∈ Ω, z1 6= z2 : ∃a, b ∈ R, c,d ∈ [a, b],∃γ([a, b]) ⊆ Ω : γ(c) = z1 e γ(d) = z2

7.2 Limiti

Definizione 7.12 Sia f : D ⊆ C→ C e sia z0 punto di accumulazione di D, si dice che

limz→z0

f(z) = l ∈ C ≡ lim(x,t)→(x0,y0)

|f(x, y)− l| = 0

se∀ε > 0,∃δε > 0 : 0 < |z − z0| < δε ⇒ |f(z)− l| < ε

Anche in campo complesso valgono le principali proprieta algebriche dei limiti in campo reale.Cioe se f → l, g → m per z → z0 allora

limz→z0

[f(z) + g(z)] = limz→z0

f(z) + limz→z0

g(z) = l +m

limz→z0

[f(z) · g(z)] = limz→z0

f(z) · limz→z0

g(z) = l ·m

∀z ∈ Br(z0) : g(z) 6= 0,m 6= 0 : limz→z0

f(z)

g(z)=

limz→z0

f(z)

limz→z0

g(z)=

l

m

7.3. DERIVATA COMPLESSA 65

Osservazione Se f(z) = u(z) + i · v(z)

∃ limz→z0

f(z) = l = a+ i · b⇔

∃ lim

(x,y)→(x0,y0)u(x, y) = a

∃ lim(x,y)→(x0,y0)

v(x, y) = b

7.3 Derivata complessa

Definizione 7.13 Sia f : Ω ⊆ C → C con Ω aperto e sia z0 ∈ Ω. Si dice che f ha derivata complessain z0 pari ad l ∈ C se

∃ limz→z0

f(z)− f(z0)

z − z0= l ∈ C ≡ ∃ lim

h→0

f(z0)− f(z0 + h)

h= l ∈ C

Si dice che f ′(z0) = ∂f∂z (z0) = l

E possibile effettuare anche le derivate di ordine superiore denotandole con f′′(z0), f (n)(z0), ∂nf

∂zn Anchein campo complesso continuano a valere le regole algebriche

α, β ∈ R, (α · f + β · g)′(z0) = α · f ′(z0) + β · g′(z0)

(f · g)′(z0) = f ′(z0) · g(z0) + f(z0) · g′(z0)

g(z0) 6= 0⇒(f

g

)′(z0) =

f ′(z0) · g(z0)− f(z0) · g′(z0)

[g(z0)]2

∂f(g(z))

∂z= f ′(g(z)) · g′(z)

f e continua in z01 se e solo se u(x,y), v(x,y) sono continue in (x0,y0).

Esempio 7.5 Verificare se f(z) = z2 − z e continua

f(x+ i · y) = (x+ i · y)2 − (x− i · y) = x2 − y2 − x+ i · (2 · x · y + y)

u(x, y) = x2 − y2 − x v(x, y) = 2 · x · y + y

poiche u e v sono continue allora f e continua.Per la derivata complessa non e sufficiente la derivabilita di u e v; infatti z non e derivabile, nel sensocomplesso, in C.

Definizione 7.14 Sia Ω ⊆ C aperto, f : Ω→ C; f si dice analitica o olomorfa se f e derivabile in ognipunto di Ω

∀z ∈ Ω,∃f ′(z)

Esiste un teorema che afferma che se f(z) = u(z) + i · v(z) e analitica in Ω allora u, v ∈ C1(Ω).

Osservazione 7.1 Sia u(x, y) armonica e sia v(x, y) una sua armonica coniugata. In generale, pero,u(x, y) non e un’armonica coniugata di v(x, y).

Esempio 7.6 Sia u(x, y) = x una funzione armonica.Un’armonica coniugata di u(x, y) e v(x, y) = y, infatti f(z) = u(x, y)+i ·v(x, y) = x+i ·y = z e analitica;pero u(x, y) = x non e un’armonica coniugata di v(x, y) = y infatti

f(z) = v(x, y) + i · u(x, y) = y + i · x = i · (x− i · y) = i · z non e analitica

Teorema 7.1 Sia f(z) = u(z) + i · v(z) : Ω→ C; supponiamo che u, v ∈ C1(Ω) allora f e derivabile inz0 = x0 + i · y0 se e solo se valgono le equazioni di Cauchy-Reimann2 in z0

∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0)

∂u

∂y(x0, y0) = −∂v

∂x(x0, y0)

1 limz→z0

f(z) = f(z0)

2nel seguito della trattazione tali equazioni saranno denominate C-R


Cioe

f e derivabile⇔

∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0)

∂u

∂y(x0, y0) = −∂v

∂x(x0, y0)

Dimostrazione 7.1 La dimostrazione bisogna eseguirla per entrambi i sensi dell’implicazione.

• f e derivabile⇒

∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0)

∂u

∂y(x0, y0) = −∂v

∂x(x0, y0)

L’idea e quella di calcolare la derivata come limite

del rapporto incrementale avvicinandosi a z lungo i due assi coordinati

f ′(z0) = limz → z0

z = (x, y0)

f(z)− f(z0)

z − z0= lim

z → z0z = (x, y0)

f(x, y0)− f(x0, y0)

x− x0= limx→x0

f(x, y0)− f(x0, y0)

x− x0=

= limx→x0

u(x, y0) + i · v(x, y0)− u(x0, y0)− i · v(x0, y0)

x− x0=

= limx→x0

[u(x, y0)− u(x0, y0)

x− x0+ i · v(x, y0)− v(x0, y0)

x− x0

]=∂u

∂x(x0, y0) + i · ∂v

∂x(x0, y0)

f ′(z0) = limz → z0

z = (x0, y)

f(z)− f(z0)

z − z0= lim

z → z0z = (x0, y)

f(x0, y)− f(x0, y0)

i · (y − y0)= limy→y0

f(x0, y)− f(x0, y0)

i · (y − y0)=

= limy→y0

u(x0, y) + i · v(x0, y)− u(x0, y0)− i · v(x0, y0)

i · (y − y0)=

= limy→y0

[−i · u(x0, y) + i · v(x0, y)− u(x0, y0)− i · v(x0, y0)

y − y0

]=

= limy→y0

[v(x0, y)− v(x0, y0)

y − y0+ i ·

(−u(x0, y)− u(x0, y0)

y − y0

)]=

=∂v

∂y(x0, y0) + i ·

[−∂u∂y

(x0, y0)

]Poiche il valore della derivata e indipendente dalla direzione scelta si ha che

f ′(z0) =∂u

∂x(x0, y0) + i · ∂v

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0) + i ·

[−∂u∂y

(x0, y0)

]L’uguaglianza sopra e vera se sono uguali le parti reali e le parti immaginarie

∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0)

∂v

∂x(x0, y0) = −∂u

∂y(x0, y0)

• f e derivabile⇐

∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0)

∂u

∂y(x0, y0) = −∂v

∂x(x0, y0)

Si assume che valgono le C-R e si verifica che ∃f ′(z0); dall’enunciato si ha che u, v ∈ C1(Ω)pertanto esiste lo sviluppo di Taylor al primo ordine (piano tangente)

u(z)− u(z0) =∂u

∂x(z0) · (x− x0) +

∂u

∂y(z0) · (y − y0) + o(|z − z0|)z→z0

v(z)− v(z0) =∂v

∂x(z0) · (x− x0) +

∂v

∂y(z0) · (y − y0) + o(|z − z0|)z→z0

7.4. ESERCIZI 67

limz→z0

f(z)− f(z0)

z − z0= limz→z0

u(z) + i · v(z)− u(z0)− i · v(z0)

z − z0= limz→z0

u(z)− u(z0) + i · [v(z)− v(z0)]

z − z0=

= limz→z0

∂u∂x (z0) · (x− x0) + ∂u

∂y (z0) · (y − y0) + i ·[∂v∂x (z0) · (x− x0) + ∂v

∂y (z0) · (y − y0)]

z − z0=

= limz→z0

[∂u∂x (z0) + i · ∂v∂x (z0)

]· (x− x0) +

[∂u∂y (z0) + i · ∂v∂y (z0)

]· (y − y0)

z − z0=

= limz→z0

[∂u∂x (z0) + i · ∂v∂x (z0)

]· (x− x0) + i ·

[∂v∂y (z0)− i · ∂u∂y (z0)

]· (y − y0)

z − z0=

C-R= lim

z→z0

[∂u∂x (z0) + i · ∂v∂x (z0)

]· (x− x0) + i ·

[∂u∂x (z0) + ∂v

∂x (z0)]· (y − y0)

z − z0=

= limz→z0

[∂u∂x (z0) + i · ∂v∂x (z0)

]· (z − z0)

z − z0=∂u

∂x(z0) + i · ∂v

∂x(z0)

Si e quindi riusciti a dimostrare che il limite del rapporto incrementale esiste e soprattutto che laderivata vale

f ′(z0) =∂u

∂x(z0) + i · ∂v

∂x(z0)

7.4 Esercizi

Esercizio 7.1 Determinare la derivata e l’insieme di derivabilita delle seguenti funzioni

• f(z) = ez

ez = ex · ei·y = ex · cos(y) + i · ex · sin(y)

Si osserva che u e v sono funzioni C1(R2) (addirittura sono C∞(R2), occorre quindi verificare laveridicita delle C-R

∂u

∂x(z) =

∂v

∂y(z)

∂u

∂y(z) = −∂v

∂x

⇒ex · cos(x) = ex · cos(x)−ex · sin(x) = − (ex · sin(x))

Poiche le C-R sono valide per ogni z ∈ C allora f(z) e derivabile in C e

f ′(z) =∂u

∂x(z) + i · ∂v

∂x(z) = ex · cos(y) + i · ex · sin(y) = ez

∀z ∈ C,∂ez

∂z= ez

• f(z) = sin(z)

sin(z) =ei·z − e−i·z

2 · i

∂ sin(z)

∂z=∂ei·z − e−i·z

2 · i∂z

=1

2 · i·(i · ei·z − (−i) · e−i·z

)=

1

2 · i· i ·(ei·z + e−i·z

)= cos(z)

∀z ∈ C,∂ sin(z)

∂z= cos(z)

• f(z) = cos(z)

cos(z) =ei·z + e−i·z

2

∂ cos(z)

∂z=∂ei·z + e−i·z

2∂z

=1

2·(i · ei·z + (−i) · e−i·z

)=

1

2· i ·(ei·z + e−i·z

)= − sin(z)

∀z ∈ C,∂ cos(z)

∂z= − sin(z)


• f(z) =

n∑i=0

ai · zi

poiche (z)′ = limz→z0

z − z0

z − z0= 1 e sfruttando la derivata del prodotto si ha che(

z2)′

= z · z = 1 · z + z · 1 = 2 · z(z3)′

= z2 · z = 2 · z · z + z2 · 1 = 3 · z2

procedendo per induzione si ha che (zn)′

= n · zn−1 pertanto

f ′(z) =∂

∂z

(n∑i=0

ai · zi)

=

n∑i=1

ai · zi+1

∀z ∈ C,∂

∂z

(n∑i=0

ai · zi)

=

n∑i=1

ai · zi+1

• f(z) = sinh(z)

sinh(z) =ez − e−z

2

∂ sinh(z)

∂z=∂ez − e−z

2∂z

=1

2·[ez −

(−e−z

)]=

1

2·[ez + e−z

]= cosh(z)

∀z ∈ C,∂ sinh(z)

∂z= cosh(z)

• f(z) = cosh(z)

sinh(z) =ez + e−z

2

∂ cos(z)

∂z=∂ez + e−z

2∂z

=1

2·[ez +

(−e−z

)]=

1

2·[ez − e−z

]= sinh(z)

∀z ∈ C,∂ cosh(z)

∂z= sinh(z)

Esercizio 7.2 (15/02/2007) Determinare l’insieme de analiticita di f(z) =cos(4 · z)

(2 · z + i) · (z2 + 5).

Poiche cos(4 · z) e derivabile, perche composizione di funzioni derivabili, e poiche il denominatore e unpolinomio e quindi derivabile si ha che f(z) e derivabile in tutto il dominio di f .

dom(f) = C\z ∈ C : 2 · z + i = 0, z2 + 5 = 0 = C\− i

2,±i ·

√5

f e derivabile in C\

− i

2,±i ·

√5

Esercizio 7.3 Dire dove e derivabile:

• f(z) = zf(z) = z = x− i · y

Poiche u, v ∈ C∞(R2) si verificano le C-R.∂u

∂x(z) =

∂v

∂y(z)

∂u

∂y(z) = −∂v

∂x

⇒

1 = −10 = 0

Poiche la prima equazione non vale per nessun z ∈ C allora z non e mai derivabile.

• f(z) = |z|2

f(z) = |z|2 = x2 + y2

Poiche u, v ∈ C∞(R2) si verificano le C-R.∂u

∂x(z) =

∂v

∂y(z)

∂u

∂y(z) = −∂v

∂x

⇒

2 · x = 02 · y = 0

⇒x = 0y = 0

Pertanto |z|2 e derivabile solo per z = 0.

Capitolo 8

Integrali

8.1 Definizioni: Curve in CSi trattera nello svolgimento γ : [a, b]→ Ω ⊆ C curva continua, C1 a tratti.

Definizione 8.1 [Punto iniziale, punto finale] Il punto γ(a) e detto punto iniziale, mentre il punto γb edetto punto finale.

Definizione 8.2 [Curva chiusa] Una curva si dice chiusa se il punto iniziale coincide con il punto finale.

γ(a) = γ(b)

Definizione 8.3 [Parametrizzazione] Se C ⊆ C e C = γ([a, b]) allora γ si dice parametrizzazione di C.

Definizione 8.4 [Curva di Jordan o curva semplice] Una curva si dice di Jordan o semplice se la curvanon passa mai due volte per lo stesso punto, fatta eccezione del punto iniziale; cioe

∀c, d ∈ (a, b), γ(c) 6= γ(d)

Esempio 8.1γ1 = z0 + r · ei·t, t ∈ [0, 2 · π]

γ1 e una curva di Jordan perche e la parametrizzazione di un giro di circonferenza di raggio r e centroz0.

γ2 = z0 + r · ei·t, t ∈ [0, 4 · π]

γ2 non e una curva di Jordan perche e la parametrizzazione di due giri di circonferenza di raggio r ecentro z0.

8.2 Integrali curvilinei

Definizione 8.5 [Integrale di curva] L’integrale della curva γ e∫ b

a

γ(t) · dt :=

∫ b

a

Re [γ(t)] · dt+ i ·∫ b

a

Im [γ(t)] · dt

Re [γ(t)], Im [γ(t)] : C→ R

Poiche l’integrale della curva si scompone in due integrali di funzione reale di variabile reale valgono tuttele proprieta valide per gli integrali presentati nel corso di Analisi Matematica I.

69

70 CAPITOLO 8. INTEGRALI

Definizione 8.6 [Teorema fondamentale del calcolo integrale] Sia γ,Γ curve tali che Γ′(t) = γ(t) allora∫ b

a

γ(t) · dt =

∫ b

a

Γ′(t) · dt = Γ(b)− Γ(a)

Definizione 8.7 [Integrale curvilineo] Sia f : Ω ⊆ C→ C continua e sia γ : [a, b]→ Ω, C1 a tratti su Ω∫γ

f(z) · dz :=

∫ b

a

f(γ(t)) · γ′(t) · dt

La nuova ridefinizione dell’integrale e un integrale di una curva pertanto e possibile risolverlo mediantela scomposizione della parte reale e della parte immaginaria.

Proprieta 8.1 Se γ1, γ2 sono due diverse parametrizzazioni dello stesso sostegno che lo percorrono nellostesso verso e lo stesso numero di volte allora∫

γ1

f(z) · dz =

∫γ2

f(z) · dz

Proprieta 8.2 Se γ1, γ2 percorrono lo stesso sostegno lo stesso numero di volte ma con verso oppostoallora ∫

γ1

f(z) · dz = −∫γ2

f(z) · dz

Proprieta 8.3 Se γ = γ1 ∪ γ2 allora∫γ

f(z) · dz =

∫γ1

f(z) · dz +

∫γ2

f(z) · dz

Proprieta 8.4 Sia γ : [a, b]→ C curva C1 a tratti che percorre il sostegno una sola volta ( curva iniettiva)allora ∣∣∣∣∫

γ

f(z) · dz∣∣∣∣ ≤

(sup

z∈γ([a,b])

|f(z)|

)· L(γ)

con

L(γ) :=

∫ b

a

|γ′(t)| · dt

detta lunghezza della curva.

Definizione 8.8 [Insieme regolare] Sia Ω ⊆ C aperto e connesso. Ω si dice regolare o regione con bordoes ∂Ω (frontiera di Ω) e l’unione di un numero finito di curve di Jordan disgiunte.

Esempio 8.2 Ω1 = Br(z0) Ω1 e regolare poiche ∂Ω1 e racchiuso una circonferenza (curva di Jordan).Ω2 = z ∈ C : 1 < |z + i| < 2 ∂Ω2 e l’unione di due circonferenze disgiunte, pertanto Ω2 e regolare.Ω3 = z ∈ C : |z + 1| < 2, |z + 1| 6= 1 ∂Ω3 e l’unione di due curve disgiunte ma Ω3 non e regolarepoiche l’insieme non e connesso (ad esempio i punti (−1, 0) e

(12 , 0)

non sono collegabili da una curvache resti sempre in Ω3)

8.2.1 Richiamo di Analisi Matematica II

Teorema 8.1 (di Gauss-Green) Sia A ⊆ R2 aperto, connesso e regolare e sia ~E : A → R2 campo

vettoriale1 continuo2 tale che ~E ∈ C1(A)3 allora∫A

(~∇× ~E

)· dx · dy =

∫A

(∂b

∂x− ∂a

∂y

)· dx · dy =

∫∂A

~E · d~l

dove γ : [a, b]→ R2 parametrizza ∂A percorrendolo una sola volta in senso positivo4∫∂A

~E · d~l =

∫∂A

~E · d~s :=

∫ b

a

~E(γ(t)) · γ′(t) · dt

1funzione che ad ogni punto associa un vettore, in generale ~E : Rn → Rm

2un campo vettoriale e continuo se ha le sue componenti continue3un campo vettoriale e di classe C1 se ha le derivate parziali continue4geometricamente si intende verso positivo il verso di percorrenza che si ottiene quanto si lascia A sulla sinistra

8.2. INTEGRALI CURVILINEI 71

Teorema 8.2 (di Cauchy-Goursat) Sia A ⊆ C aperto, connesso e regolare e sia f : A→ C continuae analitica in A allora ∫

∂A

f(z) · dz = 0

Dimostrazione 8.1 Si definiscono

f(z) = u(x, y) + i · v(x, y) γ : [a, b]→ C parametrizzazione di ∂A∫∂A

f(z) · dz :=

∫ b

a

(u(γ(t)) + i · v(γ(t)))︸︷︷︸f(γ(t))

· (x′(t) + i · y′(t))︸︷︷︸γ′(t)

·dt =

=

∫ b

a

[u · x′ − v · y′] · dt+ i ·∫ b

a

[v · x′ + u · y′] · dt =

=

∫ b

a

(u,−v) · (x′, y′) · dt+ i ·∫ b

a

(v, u) · (x′, y′) · dt =

=

∫∂A

(u,−v) · d~l + i ·∫∂A

(v, u) · d~l Gauss−Green=

=

∫A

(−∂v∂x− ∂u

∂y

)· dx · dy + i ·

∫A

(∂u

∂x− ∂v

∂y

)· dx · dy C−R=

=

∫A

0 · dx · dy + i ·∫A

0 · dx · dy = 0

Definizione 8.9 [Indice di avvolgimento] Sia Γ : [a, b] → C una curva di Jordan che circonda z0 ∈ C.Si definisce indice di Γ

IΓ = Ind(Γ, z0) :=1

2 · π · i·∫

Γ

dz

z − z0

Esempio 8.3 Calcolare

I =

∫γ

dz

z − z0

con z0 ∈ C e r > 0; sulle curve

γ1 = [0, 2 · π]→ C γ1(t) = z0 + r · ei·t

γn = [0, 2 · n · π]→ C γn(t) = z0 + r · ei·t∫γ1

dz

z − z0=

∫ 2·π

0

1

r · ei·t· r · ei·t · i · dt = i ·

∫ 2·π

0

dt = 2 · π · i

∫γn

dz

z − z0=

∫ 2·n·π

0

1

r · ei·t· r · ei·t · i · dt = i ·

∫ 2·n·π

0

dt = 2 · n · π · i

Si osserva dunque che1

2 · π · i·∫γn

dz

z − z0= n

indica il numero di volte che la parametrizzazione γn apassa attorno a z0 in senso antiorario.

Dimostrazione 8.2 Sia Γ una curva di Jordan qualsiasi, contenente z0 ∈ C, si prende Br(z0) tale chestia tutto all’interno dell’area racchiusa da Γ.Per il teorema di Cauchy-Goursat si ha che∫

Γ∪Br(z0)

dz

z − z0=

∫Γ

dz

z − z0−∫Br(z0)

dz

z − z0=

∫Γ

dz

z − z0− 2 · π · i = 0

IΓ =

∫γ

dz

z − z0= 2 · π · i


Osservazione 8.1 Sia f(z) analitica in Ω ⊆ C aperto. Siano γ1, γ2 due curve di Jordan disgiuntecontenute in Ω, una interna all’altra allora∫

γ1

f(z) · dz∫γ2

f(z) · dz

Infatti per Cauchy-Goursat applicato all’area racchiusa tra le due curve si ha che∫∂A

f(z) · dz =

∫γ1

f(z) · dz −∫γ2

f(z) · dz = 0⇒∫γ1

f(z) · dz =

∫γ2

f(z) · dz

Teorema 8.3 (formula di Cauchy) Sia A ⊆ C un insieme aperto e regolare5, z0 ∈ A e f : A → Acontinua e analitica in Aallora

f(z0) =1

2 · π · i·∫∂A

f(z)

z − z0· dz

∂A e percorsa una sola volta con senso positivo

Dimostrazione 8.3 Si considera g(z) =f(z)

z − z0, g e analitica in A pertanto lo e anche in A\Br(z0), ∀r ∈

R+ : Br(z0) ⊂ A.L’insieme A\Br(z0) cosı definito e regolare e la sua frontiera e

∂(A\Br(z0)) = ∂A ∪ ∂Br(z0)

sotto queste condizioni e possibile applicare il teorema di Cauchy-Goursat pertanto

0 =

∫∂(A\Br(z0))

g(z)

z − z0· dz =

∫∂A

f(z)

z − z0· dz −

∫∂Br(z0)

f(z)

z − z0· dz

∫∂A

f(z)

z − z0· dz =

∫∂Br(z0)

f(z)

z − z0· dz,∀r ∈ R+ : Br(z0) ⊂ A

passando al limite si ha∫∂A

f(z)

z − z0· dz = lim

r→0+

∫∂A

f(z)

z − z0· dz = lim

r→0+

∫∂Br(z0)

f(z)

z − z0· dz

∫∂Br(z0)

f(z)

z − z0· dz =

∫∂Br(z0)

f(z)− f(z0) + f(z0)

z − z0· dz =

=

∫∂Br(z0)

f(z)− f(z0)

z − z0· dz + f(z0) ·

∫∂Br(z0)

1

z − z0· dz =

=

∫∂Br(z0)

f(z)− f(z0)

z − z0· dz + f(z0) · 2 · π · i

limr→0+

∫∂Br(z0)

f(z)

z − z0· dz = lim

r→0+

(∫∂Br(z0)

f(z)− f(z0)

z − z0· dz

)+ f(z0) · 2 · π · i

poiche (come visto in precedenza si ha)∣∣∣∣∣∫∂Br(z0)

f(z)− f(z0)

z − z0· dz

∣∣∣∣∣ ≤ supz∈Br(z0)

|f(z)− f(z0)||z − z0|

· 2 · π · r =

= supz∈Br(z0)

|f(z)− f(z0)|r

· 2 · π · r =

= supz∈Br(z0)

|f(z)− f(z0)| · 2 · π

poiche f e continua

(limr→0+

|f(z)− f(z0)| = 0

)

limr→0+

∣∣∣∣∣∫∂Br(z0)

f(z)− f(z0)

z − z0· dz

∣∣∣∣∣ ≤ limr→0+

∣∣∣∣∣ supz∈Br(z0)

|f(z)− f(z0)| · 2 · π

∣∣∣∣∣ = 0

E, quindi, possibile concludere che ∫∂A

f(z)

z − z0· dz = f(z0) · 2 · π · i

5regolare ≡ connesso, limitato con bordo composto da un numero finito di curve di Jordan disgiunte

8.3. ESERCIZI 73

Definizione 8.10 [formula di Cauchy per le derivate] Sia f analitica in A aperto, regolare; continua suA e regolare

∀n ∈ N : ∃f (n)(z) =n!

2 · π · i

∫∂A

f(w)

(w − z)n+1· dw

Dimostrazione 8.4 Si puo dimostrare, non lo si fa, che si puo derivare f(z) sotto il segno di integrale,pertanto

f ′(z) =1

2 · π · i

∫∂A

f(w)

(w − z)2· dw

f ′′(z) =2

2 · π · i

∫∂A

f(w)

(w − z)3· dw

per induzione si ha che

∀n ∈ N : ∃f (n)(z) =n!

2 · π · i

∫∂A

f(w)

(w − z)n+1· dw

Corollario 8.1 Sotto l’ipotesi di f analitica in un insieme apero si ha che f ∈ C∞(A); in particolare siha che se f(z) = u(x, y) + i · v(x, y)

u, v ∈ C∞(A)

In R C1 ⊃ C2 ⊃ . . . ⊃ C∞In C C1 = C2 = . . . = C∞

8.3 Esercizi

Esercizio 8.1 Calcolare

I =

∫ b

a

ei·t · dt

Sfruttando la definizione di integrale si ha

I =

∫ b

a

ei·t · dt =

∫ b

a

cos(t) · dt+ i ·∫ b

a

sin(t) · dt =

= [sin(t)]ba + i · [− cos(t)]ba = sin(b)− sin(a)− i · cos(b) + i · cos(a) == −i · (cos(b) + i · sin(b)) + i · (cos(a) + i · sin(a)) =

−i · ei·b + i · ei·a = −i · (ei·b − ei·a)

Sfruttando il teorema fondamentale si ha

I =

∫ b

a

ei·t · dt =

[ei·t

i

]ba

=1

i· (ei·b − ei·a) = −i · (ei·b − ei·a)

Esercizio 8.2 (18/04/2005) Calcolare

I =

∫γ

(2 · z + 3) · dz

dove γ e il cammino chiuso semplice avente come sostegno la circonferenza di centro Z0 = 0 e raggior = 1, percorsa in senso antiorario.Si ha subito che

γ(t) = z0 + r · ei·t = ei·t, t ∈ [0, 2 · π]

I =

∫γ

(2 · z + 3) · dz =

∫ 2·π

0

(2 · γ(t) + 3) · γ′(t) · dt =

∫ 2·π

0

(2 · e−i·t + 3

)· i · ei·t · dt =

∫ 2·π

0

[2 · i+ 3 · i · ei·t

]· dt =

=[2 · i · t+ 3 · ei·t

]2·π0

= 4 · i · π + 3− 0− 3 = 4 · i · π



I =

∫γ

eπ·z · dz

dove γ ha come sostegno il segmento che va da i a i2 .

Si parametrizza la curva in senso inverso, perche piu comodo.

γ−(t) = i · t, t ∈[

1

2, 1

]

I =

∫γ

eπ·z ·dz = −∫γ−eπ·z ·dz = −

∫ 1

12

ei·π·t ·i ·dz = −i ·[ei·π·t

i · π

]1

12

= −[ei·π·t

π

]1

12

= −ei·π − ei·π2

π=

1− iπ

Esercizio 8.4 (15/02/2007) Si calcoli

I =

∫γ

(2− i · z) · dz

doveγ : [0, 1]→ C γ(t) = (t, t− t2) = t+ i · (t− t2)

Provando a risolvere l’integrale attraverso la definizione si potrebbero avere passaggi molto lunghi, ma

applicando Cauchy-Goursat si ha che poiche f(z) e analitica allora

∫γ∪γ−

f(z) · dz = 0 con γ curva di

natura piu semplice rispetto a γ ma con stasso punto iniziale e finale.

γ = t t ∈ [0, 1]

pertanto

I =

∫γ

(2− i · z) · dz =

∫γ

(2− i · z) · dz =

∫ 1

0

(2− i · t) · dt =

[2 · t− i · t

2

2

]1

0

= 2− i

2


I =

∫γ

(12 · z2 − 4 · i · z

)· dz

su γ una curva che parametrizza l’insieme

C =z = x+ i · y : y = x3 − 3 · x2 + 4 · x− 1, 1 ≤ x ≤ 2

Tracciando il grafico di C si osserva che la curva parte dal punto (1, 1) e giunge nel punto (2, 3) effettuandoil percorso una sola volta. Poiche f e analitica allora si puo prendere un percorso alternativo che abbiacome punti iniziale e finale gli stessi punti di C. Si formano quindi

γ1 = t+ i t ∈ [1, 2] γ2 = 2 + i · t t ∈ [1, 3]

in questo modo γ− ∪ γ1 ∪ γ2 forma un percorso chiuso e per il teorema si ha che

I =

∫γ

f(z) · dz =

∫γ1∪γ2

f(z) · dz =

∫γ1

f(z) · dz +

∫γ2

f(z) · dz =

=

∫ 2

1

·(12 · (t+ i)2 − 4 · (t+ i)

)· dt+

∫ 3

1

(12 · (2 + i · t)2 − 4 · (2 + i · t)

)· dt =

= 4 ·∫ 2

1

·(3 · t2 − t− 3 + i · (6 · t− 1)

)· dt+ 4 ·

∫ 3

1

(−3 · t2 + 10 + i · 11 · t

)· dt =

= 4 ·

([t3 − t2

2− 3 · t+ i ·

(3 · t2 − t

)]2

1

+

[−t3 + 10 · t+ 11 · i · t

2

2

]3

1

)=

= 4 ·(

5

2+ 8 · i− 6 + 44 · i

)= −14 + 208 · i


I =1

2 · π · i·∫γ

dz

z − z0

dove γ curva di Jordan con senso positivo e sia z0 ∈ C all’interno di γ Poiche γ e una curva di Jordan(percorre il sostegno, C, una sola volta) si ha

I = Ind(γ, z0) = 1

E possibile utilizzare tale formula in quanto f(z) = 1z−z0 e analitica in C\Br(z0),∀r ∈ R+ : Br(z0) ⊂ C

8.3. ESERCIZI 75

Esercizio 8.7 Sia γ(t) = 2 · cos(t) + i · sin(t), t ∈ [−2 · π, 4 · π]

∫γ

dz

z − 1=

a) 2 · π · ib) 0c) −4 · π · id) 6 · π · i

γ e la parametrizzazione di un ellisse.

In generale un ellisse ha la seguente equazione cartesiana(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2= 1 a, b ∈ R+

x = x0 + a · cos(t)y = y0 + b · sin(t)

t ∈ [0, 2 · π]

Prendendo Br(1),∀r ∈ R+ : Br(1) ⊂ area racchiusa da γ si ha∫γ

dz

z − 1=

∫ 4·π

−2·π

1

r · ei·π· i · r · ei·t · dt = 6 · π · i

Pertanto la soluzione corretta e d.E possibile farlo poiche z = 1 e all’interno dell’area racchiusa da γ (se fosse esterno l’integrale varrebbe0).

Esercizio 8.8 (settembre 2006) Calcolare

I =

∫C

z12

ecos(z)· dz

con C = z ∈ C : |z + 2| = 16.

Poiche f(z) = z12

ecos(z)e analitica in C (cmposizione di funzioni analitiche) si ha per il teorema di Cauchy-

Goursat che ∫C

f(z) · dz = 0


I =

∫γ

(2 · |z| − 3 · z2

)· dz

con γ parametrizzazione di C = z ∈ C : |z| = 2.Il teorema di Cauchy-Goursat non puo essere usato poiche f non e analitica (e una composizione difunzioni non analitiche, |z|) pertanto e necessaro ricorrere alla definizione.

γ(t) = 2 · ei·t t ∈ [0, 2 · π]

I =

∫γ

(2 · |z| − 3 · z2

)· dz = 2 ·

∫γ

|z| · dz − 3 ·∫γ

z2 · dz Cauchy−Goursat= = 2 ·∫γ

|z| · dz =

= 2 ·∫ 2·π

0

∣∣2 · ei·t∣∣ · 2 · i · ei·t · dt = 8 ·∫ 2·π

0

∣∣ei·t∣∣︸︷︷︸1

·i · ei·t · dt = 6 ·[ei·t]2·t0

= 0

I = 0


I =

∫C

z · dz

dove C = z = t2 + i · t, t ∈ [0, 2]Poiche f non e analitica pertanto occorre ricorrere alla definizione

I =

∫ 2

0

t2 + i · t · (2 · t+ i) · dt =

∫ 2

0

(t2 − i · t) · (2 · t+ i) · dt =

∫ 2

0

[2 · t3 − i · t2 + t

]· dt =

=

[t4

2− i · t

3

3+t2

2

]2

0

= 8− i · 8

3+ 2 = 10− i · 8

3

6quando non sono indicate le caratteristiche di una curva si intendono curve percorse una sola volta in senso positivo



I =

∫C

e−5·i·z

z2 + 4 · i · z − 3· dz

con C = z ∈ C : |z| =√

3Occorre verificare dove la funzione e definita, e quindi l’insieme di analiticita (essendo il rapporto difunzioni analitiche nel loro dominio l’indieme di analiticita e dom(f)).

z2 + 4 · i · z − 3 = 0⇔ z1,2 =−4 · i±

√−16 + 12

2= −2 · i± i⇒ dom(f) = C\ −3 · i,−1

I =

∫C

e−5·i·z

(z + i) · (z + 3 · i)· dz

poiche z = −3 · i (polo di f(z)) non e contenuto nell’area racchiusa da C si puo riscrivere l’integrale nelseguente modo

I =

∫C

e−5·i·z

z + 3 · i· 1

z + i· dz

Mediante questa riscrittura e possibile applicare la formula di Cauchy con

f(z) =e−5·i·z

z + 3 · iz0 = −i

pertanto

I = 2 · π · i · f(−i) = 2 · π · i · e−5·i·(−i)

−i+ 3 · i= 2 · π · i · e

−5

2 · i= e−5 · π


I =

∫γ

ez · (z2 − 3)

2 · z2 + 3

dove γ ha come sostegno C =

z = x+ i · y : x2 +

2

3·

(y −

√3

2

)= 1

2 · z2 + 3 = 2 ·(z2 +

3

2

)= 2 ·

(z + i ·

√32)·(z − i ·

√32)

=

I =

∫γ

ez · (z2 − 3)

2 ·(z + i ·

√32

) · 1

z − i ·√

32

· dz = 2 · π · i

ez · (z2 − 3)

2 ·(z + i ·

√32

)z=i·√

32

=

= 2 · π · i ·ei·√

32 ·[(i ·√

32

)2

− 3

]2 ·(i ·√

32 + i ·

√32

) = 2 · π · i ·ei·√

32 ·(− 3

2 − 3)

2 ·(i · 2 ·

√32

) =

=π · ei·

√32 ·(− 9

2

)√

2 ·√

3= −π · ei·

√32 · 3 ·

√3

2 ·√

2


I =

∫C

1

z2 · (z2 + 9)· dz

dove C e il bordo dell’insieme z ∈ C : |z − 1| < 21

z2 · (z2 + 9)=

1

z2 · (z + i · 3) · (z − i · 3)

Poiche il polo doppio in z = 0 e l’unico polo all’interno dell’insieme delimitato da C allora si puo definire

f(z) =1

z2 + 9

una f analitica in C pertanto si ha

I =

∫C

f(z)

z2· dz

Utilizzando la formula di Cauchy per le derivate (n = 1) si ha

I =2 · π · i

1!· ∂f∂z

(z0) = 2 · π · i ·(− 2 · z

(z2 + 9)2

)∣∣∣∣z=0

= 0

8.3. ESERCIZI 77


I =

∫γ

ez+1

(z − 2)24

dove γ e il sostegno di C = |z| = 4Utilizzando la formula per le derivate di Cauchy con n = 23 e f(z) = ez+1 analitica

I =2 · π · i

23!· ∂

23ez+1

∂z23

∣∣∣∣z=2

=2 · π · i

23!· e3

Capitolo 9

Successioni e Serie

Definizione 9.1 [Successioni in C] Una successione di numeri complessi zn ∈ C converge a l ∈ C se

limn→+∞

|zn − l| = 0

Prosizione 9.1 Se zn = an + i · bn, an, bn ∈ R converge a l = a + i · b allora an converge ad a e bnconverge a b.

9.1 Serie in CDefinizione 9.2 [Serie complessa] Una serie si dice complessa se il termine generale della serie ecomplesso

+∞∑n=0

cn, cn ∈ C

Prosizione 9.2 (Convergenza serie complessa) Una serie complessa,

+∞∑n=0

cn, converge alla somma

s se converge la successione delle somme parziali; cioe

+∞∑n=0

cn = s⇔ limk→+∞

(k∑

n=1

ck

)= s

Proprieta 9.1 (Convergenza della Serie) Data la serie complessa

+∞∑n=0

cn

1. La serie converge se converge la serie delle parti reali e la serie delle parti immaginarie.

2. Se la serie converge allora limn→+∞

cn = 0

(cioe anche se lim

n→+∞|cn| = 0

)

3. Se converge la serie in valore assoluto,

+∞∑n=0

|cn|, converge allora

+∞∑n=0

cn converge. Se si ha conver-

genza assoluta allora si ha anche convergenza semplice (non vale l’opposto).

9.2 Serie di potenze in CDefinizione 9.3 [Serie di potenze] Si dice serie di potenze centrata in z0 ∈ C la serie

+∞∑n=0

an · (z − z0)n, an, z ∈ C

79

80 CAPITOLO 9. SUCCESSIONI E SERIE

Teorema 9.1 (Convergenza serie di potenze) Se S(z) :=

+∞∑n=0

an · (z − z0)n allora ∃R ∈ R+0 (raggio

di convergenza)

• S(z) converge se z ∈ BR(z0)

• S(z) non converge se z ∈ C\BR(z0)

Definizione 9.4 [Raggio di convergenza] Si definisce raggio di convergenza

R =1

limn→+∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ =1

limn→+∞

n√|an|

per convenzione se il limite vale 0 allora R = +∞; mentre se il limite vale +∞ allora R = 0

Definizione 9.5 [Serie geometrica] La serie

+∞∑n=0

zn

si dice serie geometrica; tale serie converge a 11−z con |z| < 1

Teorema 9.2 (Derivata per serie) Sia

S(z) =

+∞∑n=0

an · (z − z0)n

una serie convergente in z ∈ BR(z0); allora

∃S′(z) =

+∞∑n=1

an · n · (z − z0)n−1, z ∈ BR(z0)

Corollario 9.1 Le serie di potenze hanno infinite derivate nell’insieme di convergenza.

Teorema 9.3 (sviluppo in serie di Taylor) Sia Ω ⊆ C aperto e sia f : Ω→ C analitica e sia z0 ∈ Ω,∀r > 0 : Br(z0) ⊆ Ω si ha che

f(z) =

+∞∑n=0

f (n)(z0)

n!· (z − z0)n, ∀z ∈ Br(z0)

f (n)(z0) =n!

2 · π · i·∫C

f(w)

(w − z0)n+1· dw con C circonferenza arbitraria in Ω di centro z0

Dimostrazione 9.1 Sia 0 < r1 < r, per la formula di Cauchy per le derivate si ha che

∀z ∈ Br1(z0), f(z) =1

2 · π · i·∫∂Br1

f(w)

w − z· dw =

1

2 · π · i·∫C

f(w)

z − z0 − z + z0· dw =

=1

2 · π · i·∫C

f(w)

(w − z0)− (z − z0)· dw =

=1

2 · π · i·∫C

f(w)

(w − z0) ·[1− z−z0

w−z0

] · dw =

=1

2 · π · i·∫C

f(w)

w − z0·

+∞∑n=0

(z − z0

w − z0

)n· dw T

=

T=

+∞∑n=0

[1

2 · π · i·∫C

(f(w)

(w − z0)n+1

)· dw · (z − z0)n

]=

+∞∑n=0

f (n)

n!· (z − z0)n

9.3. ESERCIZI 81

“T=” suppone la conoscenza di un teorema che consente di trasportare il simbolo di serie “fuori” dal

simbolo di integrale.Inoltre l’indipendenza di C deriva dall’applicazione del teorema di Cauchy-Gousart.

Esempio 9.1 (Sviluppi di Taylor notevoli)

ez =

+∞∑n=0

zn

n!R = +∞

sin(z) =

+∞∑n=0

(−1)n · z2·n+1

(2 · n+ 1)!R = +∞

cos(z) =

+∞∑n=0

(−1)n · z2·n

(2 · n)!R = +∞

sinh(z) =

+∞∑n=0

z2·n+1

(2 · n+ 1)!R = +∞

cosh(z) =

+∞∑n=0

z2·n

(2 · n)!R = +∞

9.3 Esercizi

Esercizio 9.1 (06/09/2005) Determinare l’insieme di convergenza di

+∞∑n=1

(z − 4)n

n3 · (9 · i)n

Si osserva che la serie e una serie di potenza centrata in z0 = 4 con an =1

n3 · (9 · i)n

1

R= limn→+∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn→+∞

∣∣∣∣ n3 · (9 · i)n

(n+ 1)3 · 9 · i · (9 · i)n

∣∣∣∣ =1

9⇒ R = 9

1

R= limn→+∞

n√|ab| = lim

n→+∞n

√1

n3 · 9n= limn→+∞

1n√n

3 · 9=

1

9⇒ R = 9

Se |z − z0| = R, cioe |z − 4| = 9, si considera

|an · (z − z0)n| = 1

n3 · 9n· |z − 4|n =

1

n3 · 9n· 9n =

1

n3

poiche

+∞∑n=0

1

n3converge allora converge

+∞∑n=0

|an · (z − z0)n| e di conseguenza anche

+∞∑n=0

an·(z−z0)n pertanto

la serie+∞∑n=0

an · (z − z0)n

converge per z ∈ B9(4)


+∞∑n=0

(n+ 3) · z2·n

in · 5n

+∞∑n=0

(n+ 3) · z2·n

in · 5n=

+∞∑n=0

(n+ 3)

in · 5n· wn, w = z2

Si studia la serie in w e poi si trasformano i risultati in z.

1

Rw= limn→+∞

∣∣∣∣ n+ 3 + 1

5 · i · (5 · i)n· (5 · i)n

n+ 3

∣∣∣∣ = limn→+∞

n+ 4

5 · (n+ 3)=

1

5⇒ Rw = 5


Se |w| = 5 si considera il modulo del termine n-esimo

|an · wn| =∣∣∣∣ (n+ 3) · 5n

in · 5n

∣∣∣∣ = n+ 3

poiche limn→+∞

|an| 6= 0 allora la serie non converge per |w| = 5 Il raggio di convergenza trovato precen-

dentemente riguarda la serie in w, pertanto la serie converge per

|w| =∣∣z2∣∣ < 5⇒ |z| <

√5

Pertanto la serie converge per z ∈ B√5(0)

Esercizio 9.3 (17/02/2011) Trovare l’insieme di convergenza e disegnarlo della serie

+∞∑n=2

e−2·n·i·z

ei · [n3 + (−1)n]

+∞∑n=2

e−2·n·i·z

ei · [n3 + (−1)n]=

+∞∑n=2

wn

ei · [n3 + (−1)n], w = e−2·i·z

1

Rw= limn→+∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn→+∞

∣∣∣∣ ei · [n3 + (−1)n]

ei · [(n+ 1)3 − (−1)n]

∣∣∣∣ = 1⇒ Rw = 1

Se |w| = 1

|an · wn| =∣∣∣∣ 1

ei · (n3 + (−1)n)

∣∣∣∣ =1

n3 + (−1)nn→+∞→ 1

n3

Poiche

+∞∑n=2

|an · wn| converge allora

+∞∑n=2

an · wn converge. Pertanto la serie converge se

|w| ≤ 1⇒∣∣e−2·i·z∣∣ ≤ 1∣∣e−2·i·z∣∣ = eRe[−2·i·z] = eRe[−2·i·x+2·y] = e2·y ≤ 1

Pertanto la serie converge inz ∈ C : Im [z] ≤ 0

Esercizio 9.4 Sia f : C→ C analitica tale che f(z) = 0, ∀z ∈ C. Provare che f(z) = 0, ∀z ∈ C.Per il teorema dello sviluppo in serie si ha che

f(z) =

+∞∑n=0

f (n)(0)

n!· zn R = +∞

∀n, f (n)(0) = 0 poiche f(z) = 0 se z ∈ B1(0) di conseguenza

f(z) =

+∞∑n=0

0

n!· zn = 0

Esercizio 9.5 (12/02/2008) Ricavare l’insieme di convergenza e la somma di

+∞∑n=0

(z + 3 · i)2·n+1

(3 + 4 · i)n

+∞∑n=0

(z + 3 · i)2·n+1

(3 + 4 · i)n= (z + 3 · i) ·

+∞∑n=0

wn, w =(z + 3 · i)2

3 + 4 · i

poiche si ha usa serie geometrica si sa che Rw = 1 pertanto

+∞∑n=0

wn =1

1− w

(z + 3 · i) ·+∞∑n=0

wn = (z + 3 · i) · 1

1− w= (z + 3 · i) · 1

1− (z + 3 · i)2

3 + 4 · i

=(z + 3 · i) · (3 + 4 · i)3 + 4 · i− (z + 3 · i)2

9.3. ESERCIZI 83

|w| =∣∣∣∣ (z + 3 · i)2

3 + 4 · i

∣∣∣∣ =|z + 3 · i|2

5< 1⇒ |z + 3 · i| <

√5

La serie converge per z ∈ B√5(−3 · i)

+∞∑n=0

(z + 3 · i)2·n+1

(3 + 4 · i)n=

(z + 3 · i) · (3 + 4 · i)3 + 4 · i− (z + 3 · i)2

Esercizio 9.6 Determinare l’insieme di convergenza e la somma di

+∞∑n=1

(3 · i)n · (z − i)n

n!

Ricordando che ew =

+∞∑n=1

wn

n!, R = +∞ si ha che

+∞∑n=1

(3 · i)n · (z − i)n

n!=

+∞∑n=1

[(3 · i) · (z − 1)]n

n!= e(3·i)·(z−i) − 1, R = +∞

L’insieme di convergenza pertanto e tutto C+∞∑n=1

(3 · i)n · (z − i)n

n!= e(3·i)·(z−i) − 1, ∀z ∈ C

Esercizio 9.7 Determinare l’insieme di convergenza e la somma di

+∞∑n=1

e2·n·z+i·n·z =

+∞∑n=1

(e2·z+i·z)n =

+∞∑n=1

wn, w = e2·z+i·z

+∞∑n=1

wn =1

1− w− 1, ∀w : |w| < 1

+∞∑n=1

e2·n·z+i·n·z =1

1− e2·z+i·z − 1 =e2·z+i·z

1− e2·z+i·z

∀z :∣∣e2·z+i·z∣∣ =

∣∣e2·x+2·i·y+i·x−y∣∣ < 1⇒ e2·x−y < 1⇒ 2 · x− y < 0⇒ y > 2 · x+∞∑n=1

e2·n·z+i·n·z =e2·z+i·z

1− e2·z+i·z , ∀z ∈ w ∈ C : Im [w] > 2 · Re [w]


+∞∑n=1

3√n · (z + i)4·n

2 · i · n2 + (i+ 3) · log n

+∞∑n=1

3√n · (z + i)4·n

2 · i · n2 + (i+ 3) · log n=

+∞∑n=1

3√n

2 · i · n2 + (i+ 3) · log n· wn, w = (z + i)4

Utilizzando il criterio del rapporto si ha

limn→+∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn→+∞

∣∣∣∣ 3√n+ 1

2 · i · (n+ 1)2 + (i+ 3) · log(n+ 1)· 2 · i · n2 + (i+ 3) · log(n)

3√n

∣∣∣∣ = 1⇒ R = 1

Se |w| = 1 si ha∣∣∣∣ 3√n · wn

2 · i · n2 + (i+ 3) · log(n)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 3√n

2 · i · n2 + (i+ 3) · log(n)

∣∣∣∣ n→+∞→∣∣∣∣ 3√n

2 · i · n2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ 1

2 · i · n2− 13

∣∣∣∣ =1

2 · n 53

+∞∑n=1

|an · wn| =+∞∑n=1

1

2 · n 53

converge

Pertanto l’insieme di convergenza della serie e

|w| ≤ 1⇒∣∣(z + i)4

∣∣ ≤ 1⇒ |z + i| ≤ 1 ≡ z ∈ B1(−i)

Capitolo 10

Teorema di Laurent e dei Residui

Teorema 10.1 (Teorema di Laurent) Siano 0 ≤ r1 < r2 ≤ +∞ e sia f analitica in r1 < |z − z0| <r2, z0 ∈ C, allora

f(z) =

+∞∑n=−∞

cn · (z − z0)n

:=

+∞∑n=1

c−k(z − z0)k

+

+∞∑n=0

cn · (z − z0)n, ∀z ∈ Br2(z0)\Br1(z0)

dove

cn :=1

2 · π · i

∫C

f(w)

(w − z0)n+1· dw

con C una qualunque circonderenza di centro z0 e raggio r ∈ (r1, r2)

Definizione 10.1 [Singolarita isolata di f ] Sia Ω aperto, z0 ∈ Ω e sia f(z) analitica in Ω\z0, si diceche z0 e una singolarita isolata di f .

Sia r > 0 e Br(z0) ⊆ Ω e sia

f(z) = . . .+c−2

(z − z0)2+

c−1

z − z0+

+∞∑n=0

cn · (z − z0)n

Definizione 10.2 [Residuo di f ] Si definisce residuo di f in z0 la quantita

Resf (z0) := c−1 =1

2 · π · i·∫c

f(w) · dw

Definizione 10.3 [Polo di ordine n] Se

f(z) =c−n

(z − z0)n+ . . .+

c−1

z − z0+

+∞∑n=0

cn · (z − z0)n

con c−n 6= 0 e c−k = 0, ∀k > nz0 si dice polo di ordine n, in particolare se n = 2 z0 si dice polo doppio, mentre se n = 1 si dice polosemplice.

Definizione 10.4 [Parte principale di f ] Si definisce parte principale di

f(z) =

+∞∑n=1

c−k(z − z0)k

+

+∞∑n=0

cn · (z − z0)n

la parte di serie con potenze negative di (z − z0) cioe

+∞∑n=1

c−k(z − z0)k

85

86 CAPITOLO 10. TEOREMA DI LAURENT E DEI RESIDUI

Definizione 10.5 [Punto di singolarita essenziale di f ] Si definisce z0 punto di singolarita essenziale dif(z) se la parte principale contiene un numero infinito di termini (cioe ha un numero finito di c−k 6= 0)

Definizione 10.6 [Zero di ordine h] Se f(z) =

+∞∑n=h

cn · (z − z0)n con h ∈ N+, z0 si dice singolarita

eliminabile o apparente, se ch 6= 0 z0 si dice zero di ordine h.

10.1 Metodi di calcolo dei Residui

Il calcolo dei residui puo essere eseguito attraverso la determinazione della serie di Laurent, tuttavia visono dei metodi che consentono il loro calcolo senza la determinazione esplifica della serie di Laurentassociata ad f .

Teorema 10.2 (Calcolo dei residui, poli semplici) Se z0 e un polo sempolice per f(z) allora f(z) =g(z)

z − z0,

con g analitica in Ω; sotto quest’ipotesi

Resf (z0) = g(z0) = limz→z0

(z − z0) · f(z)

Dimostrazione 10.1 Se z0 e un polo semplice allora

f(z) =c−1

z − z0+

+∞∑n=0

cn · (z − z0)n =1

z − z0·

[c−1 +

+∞∑n=0

cn · (z − z0)n+1

]

g(z) = c−1 +

+∞∑n=0

cn · (z − z0)n+1

Teorema 10.3 (Calcolo dei residui, poli multipli) Se z0 e un polo di ordine n ∈ N con n > 1 allora

f(z) =g(z)

(z − z0)n

con g analitica in Ω e g(z0) 6= 0allora

Resf (z0) =g(n−1)(z0)

(n− 1)!= limz→z0

1

(n− 1)!· ∂

n−1g(z)

∂zn−1= limz→z0

1

(n− 1)!· ∂

n

∂zn[(z − z0)n · f(z)]

Osservazione 10.1 Se f(z) =n(z)

d(z)con n, d analitiche in Ω con

n(z0) 6= 0 d(z0) = 0 d′(z0) 6= 0

allora z0 e un polo semplice di f e Resf (z0) =n(z0)

d′(z0)

Teorema 10.4 (dei Residui) Se C e una curva do Jordan e se f e analitica all’interno di C (esufficiente che C racchiuda le singolarita), tranne che nelle singolarita isolate z1, z2, . . . , za∫

C

f(z) · dz = 2 · π · i ·a∑k=1

Resf (() zk)

10.2. ESERCIZI 87

Dimostrazione 10.2 Per il teorema di Cauchy-Goursat poiche il bordo dell’insieme preso in esame e

∂Ω =

a⋃k=1

∂Brk ∪ C

Integrando su ∂Ω, ricordando che le varie curve devono essere percorse in senso positivo si ha che

0 =

∫∂Ω

f(z) · dz =

∫C

f(z) · dz −a∑k=1

(∫∂Brk

f(z) · dz

)=

=

∫C

f(z) · dz −a∑k=1

2 · π · i · Resf (zk)⇒∫C

f(z) · dz = 2 · π · i ·a∑k=1

Resf (() zk)

10.2 Esercizi

Esercizio 10.1 (17/11/2007) Trovare lo sviluppo di Laurent in z0 = 0 nella regione C\0 di

f(z) =sinh

(2 · z2

)z11

e ricavare i residui e le singolarita di f .Attraverso lo sviluppo di McLaurin si ha

f(z) =1

z11·

+∞∑n=0

(2 · z2)2·n+1

(2 · n+ 1)!=

+∞∑n=0

22·n+1 · z4·n−9

(2 · n+ 1)!=

2

z9+

23

3! · z5+

25

5! · z︸︷︷︸potenze negative

+

+∞∑n=3

22·n+1 · z4·n−9

(2 · n+ 1)!︸︷︷︸potenze positive

Resf (0) =25

5!coefficiente di

1

z

z0 = 0 e un polo di ordine 9 di f

Esercizio 10.2 Determinare lo sviluppo di Laurent di f(z) in z0 = 0 e il residuo re le singolarita.

f(z) = z4 · cos

(2

z

)Attraverso lo sviluppo di McLaurin si ha

f(z) =z4 ·+∞∑n=0

(−1)n

(2 · n)!·(

2

z

)2·n

=

+∞∑n=0

(−1)n · 4n

(2 · n)! · z2·n−4= z4 − 4

2· z2 +

42

4!︸︷︷︸potenze positive

− 43

6! · z2+

+∞∑n=4

(−1)n · 4n

(2 · n)! · z2·n−4︸︷︷︸potenze negative

Resf (0) = 0 z0 e un punto di singolarita essenziale di f (ha infiniti termini con potenza negativa)

Esercizio 10.3 (27/01/2010) Determinare lo sviluppo di Laurent in z0 = 0, il residuo e le singolaritain C\0, al variare di α ∈ R

f(z) = (α− 3) · z · cosh

(1

z

)− α

z

f(z) = (α− 3) · z ·

[+∞∑n=0

1

(2 · n)!·(

1

z

)2·n]− α

z= (α− 3) ·

[+∞∑n=0

1

(2 · n)!· 1

z2·n−1

]− α

z=

= (α− 3) · z +

(α− 3

2− α

)· 1

z+ (α− 3) ·

[+∞∑n=0

1

(2 · n)! · z2·n−1

]

Resf (0) =α− 3

2− α = −3 + α

2

se α 6= 3, z0 e un punto di singolatrita essenzialese α = 3, z0 e un punto di singolatrita semplice


Esercizio 10.4 (12/02/2010) Determinare lo sviluppo di Laurent in z0 = 0 nella regione di spazio0 < |z| < 1 di

f(z) =z3 − 4

z3 − z5

determinare inoltre il residuo e le singolarita

f(z) =(z3 − 4) · 1

z3 · (1− z2)=z3 − 4

z3· 1

1− z2=z3 − 4

z3·

+∞∑n=0

z2·n = (z3 − 4) ·+∞∑n=0

z2·n−3

Lo sviluppo trovato e valido nella regione di spazio, poiche la serie geometrica ha raggio di convergenzaR = 1, pertanto si ha convergenza per |z| < 1.

f(z) = (z3−4)·+∞∑n=0

z2·n−3 =

+∞∑n=0

z2·n−4·+∞∑n=0

z2·n−3 =(1 + z + z2 + z3 + . . .

)−4·(z−3 + z−2 + z−1 + 1 + z + z2 + . . .

)Resf (0) = −4 z0 e un polo di ordine 3

Esercizio 10.5 (03/09/2009) Determinare lo sviluppo di Laurent in z0 = 0 di f in |z| > 1

f(z) =1

i · z2 − z5

f(z) =1

i · z2 ·(

1− z3

i

) =1

i · z2·

+∞∑n=0

(z3

i

)n⇔∣∣∣∣z3

i

∣∣∣∣ < 1⇒ |z|z < 1

poiche con il raccoglimento scelto si ottiene un risultato esterno all’intervallo desiderato allora si cambiaraccoglimento

f(z) =1

i · z5 ·(i

z3− 1

) = − 1

z5 ·(

1− 1

z3

) = − 1

z5·

+∞∑n=0

(1

z3

)n⇔∣∣∣∣ 1

z3

∣∣∣∣ < 1⇒ |z| > 1

f(z) = −+∞∑n=0

in

z3·n+5

Esercizio 10.6 Calcolare la singolarita e i residui di

f(z) =cosh(z)

3 + 2 · i · z

f(z) =cosh(z)

3 + 2 · i · z=

cosh(z)

2 · i ·(

32·i + z

)z0 = − 3

2·i e un polo semplice di f poiche f e nella forma g(z)z−z0 ; poiche g(z0) 6= 0 e g′(z0) = 1

2·i ·cosh

(− 3

2·i)6= 0 allora si ha che

Resf

(− 3

2 · i

)=

cosh

(− 3

2 · i

)2 · i

Esercizio 10.7 Calcolare la singolarita e i residui di

f(z) =

(z + 1

z − 1

)2

f(z) =(z + 1)2

(z − 1)2

z0 = 1 e un polo doppio poiche

g(z)|z0=1 = (z + 1)2∣∣z0=1

= 22 = 4 6= 0

Resf (1) =g′(1)

1!=

1

1!· ∂(z + 1)2

∂z

∣∣∣∣z=1

= 2 · (z + 1)|z=1 = 4

10.2. ESERCIZI 89

Esercizio 10.8 (28/01/2009) Calcolare l’integrale

I =

∫C

dz

(z2 + 1) · (z − 1− i)

con C =z ∈ C :

∣∣z − i · 32

∣∣ = 32

I poli della funzione integranda sono

z1 = 1 + i z2 = −i z3 = i

I poli z1 e z3 sono interni alla curva, mentre z2 e esterno alla curva; pertanto

I = 2 · π · i · [Resf (i) + Resf (1 + i)] = 2 · π · i

[1

(z + i) · (z − 1− i)

∣∣∣∣z=i

+1

z2 + i

∣∣∣∣z=1+i

]=

= 2 · π · i ·[

1

2 · i · (−1)+

1

1 + 2 · i− 1 + 1

]= 2 · π · i

[− 1

2 · i+

1

1 + 2 · i

]Esercizio 10.9 (09/09/2010) Calcolare l’integrale

I =

∫c

z2

(z2 + 1) ·(z − i · 3

2

) · dzcon C = ∂ z = x+ i · y : |z| ≤ y ≤ 2 percorsa una sola volta in senso antiorarioI poli della funzione integranda sono

z1 = i z2 = −i z3 = 32 · i

I poli z1 e z3 sono interni alla curva, mentre z2 e esterno alla curva; pertanto

I = 2 · π · i ·[Resf (i) + Resf

(3

2· i)]

= 2 · π · i

[z2

(z + i) ·(z − i · 3

2

) ∣∣∣∣∣z=i

+z2

z2 + 1

∣∣∣∣z= 3

2 ·i

]=

= 2 · π · i

[−1

2 · i ·(− i

2

) +− 9

4

− 94 + 1

]= 2 · π · i ·

[−1 +

9

5

]= 2 · π · i · 4

5

Capitolo 11

Distribuzioni

11.1 Introduzione (non formale)

In questa sezione si introdurra il concetto di distribuzione utilizzando un approccio eristico per nullarigoroso.Si prende ad esempio una funzione

f(x) =

0 x ≤ 0x x > 0

derivandola puntualmente, cioe utilizzando la definizione “standard” di derivata, si ha

f ′(x) = H(x) =

0 x < 01 x > 0

, ∀x 6= 0

H(x) e detta Gradino di Heaviside

derivando ancora la funzione H(x) si ottiene a(x) = f ′′(x) = H ′(x) = 0, ∀x 6= 0 ma e chiaro che talefunzione non e soddisfacente dal punto di vista modellistico poiche in a(x) non vi sono informazionisull’impulso presente in x = 0.L’idea di Schwarz1 e quella di abbandonare il punto di vista puntuale (cioe non si guarda piu il valore delle

funzioni punto per punto) ma guardando le medie integrali delle funzioni, cioe si guarda1

b− a·∫ b

a

f(x)·dx

al posto di g(x)

Esempio 11.1 Si ipotizza che f ∈ C1 pertanto

v =f(b)− f(a)

b− a=

1

b− a·∫ b

a

f ′(x) · dx =1

b− a·∫ b

a

v(x) · dx

Definizione 11.1 [Funzione indicatrice] Si definisce una nuova funzione detta funzione indicatrice ofunzione caratteristica

χ[a,b](x) = 11[a,b](x) =

1 x ∈ [a, b]0 x /∈ [a, b]

Sfruttando la nuova definizione si ha che∫ b

a

f(x) · dx =

∫ +∞

−∞11[a,b](x) · f(x) · dx

pertanto la media integrale∫ b

a

1

b− a· f(x) · dx =

∫ +∞

−∞

1

b− a· 11[a,b](x) · f(x) · dx

Attraverso il teorema della media integrale, se f(x) ∈ C0, tramite il teorema della media integrale epossibile ricavare f(x) attraverso la sola conoscienza della media integrale di f(x), infatti, poiche

g(xc) =1

2 · h·∫ x+h

x−hg(t) · dt, con xc ∈ [x− h, x+ h]

1detentore della medaglia Fields per questo

91

92 CAPITOLO 11. DISTRIBUZIONI

facendo tendere h a 0 si ha

g(x) = limh→0

(1

2 · h·∫ x+h

x−hg(t) · dt

)

E comunque possibile utilizzare (si puo anche dimostrare) funzioni C∞ “vicine” a11[a,b]

b−a ; pertanto se siconosce ∫ +∞

−∞f(x) · ϕ(x) · dx, ∀ϕ ∈ C∞ del tipo sopra

e possibile ricavare anche le medie integrali.L’uso di questo tipo di funzioni, ϕ, rende operativamente puo semplice i calcoli.Se considerano, pertanto, corrispondenza del tipo

ϕ 7→∫ +∞

−∞f(x) · ϕ(x) · dx al posto di f(x)

Se f(x) e derivabile allora come si interpreta la derivata?

A f ′(x) si associa la corrispondenza ϕ 7→∫ +∞

−∞f ′(x) · ϕ(x) · dx ma attraverso l’integrazione per parti si

ottengono i seguenti risultati∫ +∞

−∞f ′(x) · ϕ(x) · dx = [f(x) · ϕ(x)]

+∞−∞ −

∫ +∞

−∞f(x) · ϕ′(x) · dx = −

∫ +∞

−∞f(x) · ϕ′(x) · dx

ϕ(±∞) = 0 in base alla definizione che e stata data.

pertanto si associa a f ′(x) la corrispondenza ϕ 7→∫ +∞

−∞f(x) · ϕ′(x) · dx che sara intesa come la nuova

nozione di derivata (per le distribuzioni).

Esempio 11.2 Tornando all’esempio precedente

f(x) =

0 x ≤ 0x x > 0

v(x) = f ′(x) = H(x) =

0 x ≤ 01 x > 0

a(x) = f ′′(x) = H ′(x) = 0, ∀x 6= 0

Come detto prima a(x) non va bene.

Consideriamo, allora, la corrispondenza ϕ 7→ −∫ +∞

−∞H(x) · ϕ′(x) · dx al posto di H ′(x) si ha

−∫ +∞

−∞H(x)·ϕ′(x)·dx = −

∫ 0

−∞H(x)·ϕ′(x)·dx−

∫ +∞

0

H(x)·ϕ′(x)·dx = −∫ +∞

0

ϕ′(x)·dx = −[ϕ(x)]+∞0 = ϕ(0)

cioe invece che la derivata classica (punto per punto), si considera la corrispondenza phi 7→ ϕ(0) che sichiama delta di Dirac che non e una funzione a valori reali, ma e un nuovo oggetto che verra denotatocon Distribuzione.

11.2 Distribuzione: definizioni rigorose

Definizione 11.2 [supporto di f ] Sia f : R→ C si dice supporto di f la chiusura dell’insiemex ∈ R : f(x) 6= 0 cioe il piu piccolo insieme chiuso che lo contiene.

Esempio 11.3 Determinare i supporti delle funzioni sotto elencate

• f(x) =

0 |x| ≥ 11 |x| < 1

.

supp(f) = [−1, 1]

• f(x) = x2.

supp(f) = R

poiche f(x) 6= 0, ∀x 6= 0 pertanto f(x) 6= 0 ∈ (−∞, 0) ∪ (0,+∞) ma chiudendo l’insieme si ha(−∞,+∞) = R

11.2. DISTRIBUZIONE: DEFINIZIONI RIGOROSE 93

• f(x) = sin(x)supp(f) = R

poiche f(x) 6= 0, ∀x 6= k · π, k ∈ Z

f(x) 6= 0, ∀+∞⋃

k=−∞

(k · π, (k + 1) · π)

pertanto chiudendo l’insieme si ha che

+∞⋃k=−∞

(k · π, (k + 1) · π) = R = supp(f)

Definizione 11.3 [funzione test] Si dice funzione test una funzione ϕ : R → C che gode delle seguentiproprieta:

• ϕ ∈ C∞

• supp(ϕ) e un insieme compatto2

Esempio 11.4 (funzione a supporto compatto) Un tipico esempio di funzione a supporto compattoe

ϕ(x) =

0 |x| ≥ 1

e

1

x2 + 1 |x| < 1

supp(ϕ) = [−1, 1]

Non e facile, ma e possibile dimostrare per induzione che ϕ ∈ C∞(R), pertanto ϕ e una funzione test.

Definizione 11.4 [Notazione funzione test] L’insieme delle funzioni test e denotato con D(R) o piusemplicemente D.

Definizione 11.5 [Norme di funzioni] Data una funzione f : I ⊆ R→ R e possibile definire le seguentinorme

norma 1 ||f ||2 =

∫ +∞

−∞|f(x)| · dx

norma 2 o norma quadratica ||f ||1 =

∫ +∞

−∞|f(x)|2 · dx

norma infinito o norma uniforme ||f |∞| = supx∈I|f(x)|

Richiamo di Analisi IISia fn, f : I → R si dice che fn converge uniformemente ad f se

limn→+∞

supx∈I|fn(x)− f(x)| = lim

n→+∞||fn(x)− f(x)|∞| = 0

Definizione 11.6 [convergenza funzione test] Siano ϕn, ϕ ∈ D; si dice che ϕn converge a ϕ,ϕn → ϕ ∈ D, se

• ∃R > 0 : ϕn(x) = 0 ∀x /∈ [−R,R]

• ∀p ∈ N, ϕ(p)n

unif→ ϕ(p)

D e uno spazio vettoriale, cioe se ϕ,ψ ∈ D ⇒ϕ+ ψ ∈ Dλ · ϕ ∈ D, ∀λ ∈ C

2insiem compatto e equivalente a sistema chiuso e limitato, cioe ∃R > 0 : ϕ(x) = 0, ∀x ∈ [−R,R]


Definizione 11.7 [distribuzione] Si dice distribuzione un’applicazione (o funzionale), T

T : D(R) → Cϕ 7→ T (ϕ) = 〈T, ϕ〉

tale che

• T e lineare, cioe

λ,µ ∈ C, ϕ,ψ ∈ D : 〈T, λ · ϕ+ µ · ψ〉 = λ · 〈T, ϕ〉+ µ · 〈T, ψ〉

• T e continua, cioe se ϕnunif→ ϕ ∈ D allora 〈T, ϕn〉 → 〈T, ϕ〉 (questione tecnica)

L’insieme delle distribuzioni si denota con D′ o D′(R).

Osservazione 11.1 Sia T : D → C lineare, allora T e continua se e solo se

ϕn → 0 ∈ D e 〈T, ϕn〉 → 0, n→ +∞

Dimostrazione 11.1 Supponendo che

ϕ→ 0 ∈ D ⇒ 〈T, ϕn〉 → 0, n→ +∞

sia vera si deve provare cheψn → ψ ∈ D ⇒ 〈T, ψn〉 → 〈T, ψ〉

Se consideriamo ϕn := ψn − ψ si puo verificare che ϕn → 0 ∈ D allora per l’ipotesi sopra si ha che

〈T, ϕn〉 → 0, n→ +∞

ma〈T, ϕn〉 = 〈T, ψn − ψ〉 = 〈T, ψn〉 − 〈T, ψ〉

quindi〈T, ψn〉 − 〈T, ψ〉 → 0⇒ 〈T, ψn〉 → 〈T, ψ〉

Definizione 11.8 [funzione localmente sommabile] Sia f : R→ C, f si dice localmente sommabile se

∀a,b ∈ R,∫ b

a

f(x) · dx ∈ R e

∫ b

a

|f(x)| · dx ∈ R

Notazionalmente si dice che f ∈ R1loc

Esempio 11.5 Verificare se le seguenti funzioni sono localmente sommabili:

• f(x) = x2

∀a,b ∈ R,∫ b

a

x2 · dx ∈ R∫ b

a

∣∣x2∣∣ · dx =

∫ b

a

x2 · dx

x2 e localmente sommabile

• f(x) =1√|x|

∀a,b ∈ R,∫ b

a

∣∣∣∣∣ 1√|x|

∣∣∣∣∣ · dx =

∫ b

a

1√|x|· dx ∈ R

1√|x|

e localmente sommabile

• f(x) =1

x

Poiche

∫ 1

0

dx

xnon converge allora 1

x non e localmente sommabile

11.3. OPERAZIONI 95

Definizione 11.9 [distribuzione regolare] Sia f ∈ R1loc; si definisce la distribuzione Tf associata ad f

tramite la seguente associazione

Tf : D → C

〈Tf , ϕ〉 :=

∫ +∞

−∞f(x) · ϕ(x) · dx, ϕ ∈ D

Dimostrazione 11.2 Verificare che Tf e lineare

〈Tf , λ · ϕ+ µ · ψ〉 =

∫ +∞

−∞f · (λ ·ϕ+µ ·ψ) ·dx = λ ·

∫ +∞

−∞ϕ ·dx+µ ·

∫ +∞

−∞ψ ·dx = λ · 〈Tf , ϕ〉+µ · 〈Tf , ψ〉

Dimostrazione 11.3 Verificare che Tf e continua, cioe che 〈Tf , ϕn〉 → 0.Si prende ϕn → 0 ∈ D

〈Tf , ϕn〉 =

∫ +∞

−∞f(x) · ϕn(x) · dx→ 0, n→ +∞

Lo si dimostra utilizzando la stima degli integrali definiti, cioe∣∣∣∣∫ +∞

−∞f(x) · ϕn(x) · dx

∣∣∣∣ ≤ ∫ +∞

−∞|f(x)| · |ϕn(x)| · dx =

∫ R

−R|f(x)| · |ϕn(x)| · dx ≤

≤∫ R

−R|f(x)| · sup

x∈R|ϕn(x)| · dx =

(∫ R

−R|f(x)| · dx

)· ||ϕn|∞| → 0, n→ +∞

Definizione 11.10 [distribuzione regolare] Una distribuzione, T , del tipo Tf , con f ∈ R1loc si dice

regolare.

Definizione 11.11 [delta di Dirac] Sia x0 ∈ R si dice delta di Dirac centrata il x0 la distribuzione

δx0: D → C

〈δx0, ϕ〉 := ϕ(x0)

Si puo verificare che δx0∈ D′.

Nel caso in cui sia indicata la distribuzione δ si intende

la distribuzione delta di Dirac centrata in 0, cioe δ := δ0.

11.3 Operazioni

Definizione 11.12 [Traslazione della distribuzione] Sia T ∈ D′ e sia x0 ∈ R si dice traslazione delladistribuzione (di x0) la distribuzione T(x−x0) definita da⟨

T(x−x0), ϕ⟩

:= 〈T, ϕ(x+ x0)〉 , ∀ϕ ∈ D

Definizione 11.13 [Riscalamento della distribuzione] Sia T ∈ D′,b ∈ R\0 si dice riscalamento delladistribuzione o modulazione della distribuzione la distribuzione T(b·x) definita da

⟨T(b·x), ϕ

⟩:=

⟨T,

1

|b|· ϕ ·

(xb

)⟩, ∀ϕ ∈ D

un caso particolare e quando si ha b = −1, infatti⟨T(−x), ϕ

⟩= 〈T, ϕ(−x)〉 e detta inversione temporale,

nome significativo quando la variabile x indica un tempo.


Definizione 11.14 [Prodotto di distribuzione per funzione] Sia g ∈ C∞(R) e sia T ∈ D′(R) allora sidefinisce g · T ∈ D′

〈g · T, ϕ〉 := 〈T, g · ϕ〉 , ∀ϕ ∈ D

Definizione 11.15 [Derivata di distribuzione] Se T ∈ D′(R), si dice derivata (distribuzionale) di T ladistribuzione T ′ ∈ D(R) definita da

〈T ′, ϕ〉 := 〈T, ϕ′〉

Osservazione 11.2 Se f e g differiscono solo in un numero finito di punti oppure in un’infinita di puntinumerabile allora Tf = Tg.

Proprieta 11.1 Per la derivata distribuzionale valgono le solite proprieta delle derivate di funzioni reali.

Teorema 11.1 Sia f ∈ R1loc(R), si suppone che

• f sia continua tranne in un numero finito di punti, cioe f ∈ C0(R\x1, x2, . . . , xm)

• i punti di discontinuita, x1, x2, . . . , xm, siano punti di discontinuita di salto, cioe

∃f(x−k ) = limx→x−k

f(x) ∈ R, ∃f(x+k ) = lim

x→x+k

f(x) ∈ R, ∀k ∈ [1,m] ∩ N

• esiste la derivata in tutti i punti in cui f e continua, cioe ∃f ′(x), ∀x /∈ x1, x2, . . . , xm

• la derivata sia localmente sommabile, cioe f ′ ∈ R1loc

allora

T ′f = Tf +

m∑k=1

[[f(x+

k )− f(xk−)] · δxk]

Definizione 11.16 [Funzione segno] Si definisce la funzione segno, sng, la funzione che vale −1 se x < 0e 1 se x > 0

sng(x) =

−1 x < 00 x = 01 x > 0

sng(0) = 0 per convenzione, dato che nell’ambito delle distribuzioni Tf = Tg se f(x) 6= g(x) solo in unnumero finito di punti.

Osservazione 11.3 Sia f : R→ R con f(x) =

0 x 6= 0+∞ x = 0∫ +∞

−∞f(x) · dx = 0 l’integrale e indipendente dal valore della funzione in un punto

Tuttavia esiste una teoria (teoria della misura) per la quale∫ +∞

−∞δ0(dx) = 1

N.B.: l’integrale sopra non e l’integrale di una funzione.

Osservazione 11.4 (Analisi I) Siano f, ϕ : [a, b]→ R tali che

• ϕ ∈ C1([a, b])

• f ∈ C1(]a, b[) con f ′ integrabile su (a, b) con f(a+),f(b−) ∈ R (esistono finiti i limiti)∫ b

a

f(x) ·ϕ′(x) ·dx p.p.= [f(x) ·ϕ(x)]b

−

a+−∫ b

a

f ′(x) ·ϕ(x) ·dx = f(b−) ·ϕ(b)−f(a+) ·ϕ(a)−∫ b

a

f ′(x) ·ϕ(x) ·x

11.4. CONVERGENZA DI DISTRIBUZIONI 97

Dimostrazione 11.4 Dimostrazione del teorema 11.1 nel caso di un solo punto di discontinuita di salto,x1.Sia ϕ ∈ D⟨T ′f , ϕ

⟩= −〈Tf , ϕ′〉 = −

∫ +∞

−∞f(x) · ϕ′(x) · dx = −

∫ x1

−∞f(x) · ϕ′(x) · dx−

∫ +∞

x1

f(x) · ϕ′(x) · dx p.p.=

p.p.= −[f(x−1 ) · ϕ(x1)− 0] +

∫ x1

−∞f ′(x) · ϕ(x) · dx− [0− f(x+

1 ) · ϕ(x1)] +

∫ +∞

x1

f ′(x) · ϕ(x) · dx =

[f(x+1 )− f(x−1 )] · ϕ(x1) +

∫ +∞

−∞f ′(x) · ϕ(x) · dx = [f(x+

1 )− f(x−1 )] 〈δx1 , ϕ〉+⟨T ′f , ϕ

⟩

Definizione 11.17 [funzione porta] Si definisce funzione porta di ampiezza a ∈ R+ la funzione pa : R→R

pa(x) =

1 |x| < a

20 |x| > a

2

Definizione 11.18 [Valore principale di 1x ] Si definisce valore principale di 1

x ∈ D′ ponendo⟨

v.p.1

x, ϕ

⟩:= lim

ε→o+

[∫ −ε−∞

ϕ(x)

x· dx+

∫ +∞−εϕ(x)

x· dx

]

Definizione 11.19 [Formula di Leibniz, per le distribuzioni] Sia g ∈ C∞(R) e T ∈ D′

(g · T )′ = g′ · T + g · T ′

Dimostrazione 11.5 Sia ϕ ∈ D

〈(g · T )′, ϕ〉 = −〈g · T, ϕ′〉 = −〈T, g · ϕ′〉 = −〈T, (g · ϕ)′ − g′ · ϕ〉 = −〈T, (g · T )′〉+ 〈T, g′ · ϕ〉 == 〈T ′, g · ϕ〉+ 〈T · g′, ϕ〉 = 〈g · T ′, ϕ〉+ 〈g′ · T, ϕ〉

(g · T )′ = g · T ′ + g′ · T

Osservazione 11.5 Una distribuzione ha infinite derivate, poiche la derivata di una distribuzione e asua volta una distribuzione.

∀p ∈ N,⟨T (p), ϕ

⟩= (−1)p ·

⟨T, ϕ(p)

⟩Dimostrazione 11.6 Sia ϕ ∈ D

〈T ′, ϕ〉 = −〈T, ϕ〉

Si consideri G = T ′

〈G′, ϕ〉 = −〈G,ϕ〉 ⇒ 〈T ′′, ϕ〉 = −〈T ′, ϕ′〉 = 〈T, ϕ′′〉

procedendo per induzione si ha quindi

∀p ∈ N,⟨T (p), ϕ

⟩= (−1)p ·

⟨T, ϕ(p)

⟩

11.4 Convergenza di distribuzioni

Definizione 11.20 Sia Tn ∈ D′, ∀n ∈ N e T ∈ D′ si dice che Tn → T ∈ D′ (Tn converge a T nel sensodelle sistribuzioni), se

∀ϕ ∈ D, 〈Tn, ϕ〉n→+∞→ 〈T, ϕ〉


Proprieta 11.2 Se Tn → T e Sn → S in D′ e λ,µ ∈ C allora

λ · Tn + µ · Sn → λ · T + µ · S

Proprieta 11.3 Si definisce supporto di supp(f) := x : f(x) 6= 0. Si puo dimostrare che

Nf := unione di tutti gli intervalli aperti in cui f e nulla = ∪(a, b) : f((a, b)) = 0

supp(f) = R\Nf

Definizione 11.21 [Supporto di una distribuzione] Si dice che una distribuzione T ∈ D′ e nulla su (a, b)se

〈T, ϕ〉 = 0, ∀ϕ ∈ D con supp(ϕ) ⊆ (a, b)

e si pone

supp(T ) := R\(a, b) : T e nulla su (a, b) = R\ ∪ (a, b) : 〈T, ϕ〉 = 0, ∀ϕ ∈ D : supp(ϕ) ⊆ (a, b)

Si dice che T e a supporto compatto se supp(T ) e compatto in R (cioe ha supporto chiuso e limitato).

Proprieta 11.4 Sia T ∈ D′ allorasupp(T ′) ⊆ supp(T )

11.4.1 Estensione a C∞(R) delle distribuzioni a supporto compatto

Sia T : D(R)→ C distribuzione con supporto compatto.Sia or ψ ∈ C∞(R) e prendiamo ϕ0 ∈ D tale che ϕ0(x) = 1, ∀x ∈ (a, b); allora ϕ0 · ψ ∈ D.Si pone quindi

〈T, ψ〉 := 〈T, ϕ0 · ψ〉 , ∀ψ ∈ C∞(R)

Il fatto che supp(T ) e compatto consente di dimostrare che la definizione precedente non dipende dallascelta di ϕ0.Si e quindi estesa la distribuzione a supporto compatto da D a C∞, cioe si ha dato senso a 〈T, ψ〉 conψ ∈ C∞.

11.5 Esercizi

Esercizio 11.1 Sia T : D → C definita da 〈T, ϕ〉 =

∫ +∞

−∞ex · ϕ(x) · dx dire se T ∈ D′.

E una distribuzione poiche ex ∈ R1loc quindi

T = Tf = Tex ∈ D′

Esercizio 11.2 Dire se T : D → C definita da 〈T, ϕ〉 =

∫ 1

0

arctan(x) · ϕ(x) · dx e una distribuzione.

T e una distribuzione poiche

〈T, ϕ〉 =

∫ 1

0

arctan(x) · ϕ(x) · dx =

∫ +∞

−∞11[0,1](x) · arctan(x) · ϕ(x) · dx =

∫ +∞

−∞f(x) · ϕ(x) · dx

f(x) = 11[0,1](x) · arctan(x) ∈ R1loc


∫ 1

−1

x2 · ϕ(x) · dx +

∫ −1

−2

ex · ϕ(x) · dx e una

distribuzione.

〈T, ϕ〉 =

∫ +∞

−∞11[−1,1](x) · x2 · ϕ(x) · dx+

∫ +∞

−∞11[−2,−1](x) · ex · ϕ(x) · dx =

=

∫ +∞

−∞f(x) · ϕ(x) · dx+

∫ +∞

−∞g(x) · ϕ(x) · dx =

∫ +∞

−∞(f(x) + g(x)) · ϕ(x) · dx = Tf+g

pertanto T e una distribuzione.

11.5. ESERCIZI 99


∫ 1

0

x · ϕ′(x) · dx e una distribuzione.

〈T, ϕ〉 =

∫ 1

0

x · ϕ′(x) · dt p.p.= [x · ϕ(x)]10 −

∫ 1

0

ϕ(x) · dx = ϕ(1)−∫ 1

0

ϕ(x) · dx =

= ϕ(1)−∫ +∞

−∞11[0,1](x) · ϕ(x) · dx = 〈δ1, ϕ〉 −

⟨T11[0,1]

, ϕ⟩

=⟨δ1 − T11[0,1]

, ϕ⟩

Poiche T = δ1 − 11[0,1] allora T e una distribuzione ma non e regolare.

Esercizio 11.5 Dire se T : D → R definita da 〈T, ϕ〉 =

∫ 1

0

ϕ′(x) · dex e una distribuzione.

〈T, ϕ〉 =

∫ 1

0

ϕ′(x) · dx = ϕ(1)− ϕ(0) = 〈δ1 − δ0, ϕ〉

T = δ1 − δ0 ∈ D′, e una distribuzione

Esercizio 11.6 Verificare che δx0e una distribuzione.

Occorre verificare che:

• δx0sia lineare

λ,µ ∈ C, ϕ,ψ ∈ D 〈δx0 , λ · ϕ+ µ · ψ〉 = λ · ϕ(x0) + µ · ψ(x0) = λ · 〈δx0 , ϕ〉+ µ · 〈δx0 , ψ〉

• δx0sia continua, cioe se ϕn

unif→ ϕ ∈ D allora 〈δx0, ϕn〉

unif→ v 〈δx0, ϕ〉

〈δx0 , ϕn〉 = ϕn(x0)unif→ ϕ(x0) = 〈δx0 , ϕ〉

pertanto poiche 〈δx0, ϕn〉

unif→ 〈δx0, ϕ〉 allora δx0

∈ D′

Esercizio 11.7 Dire se T : D → C definita da 〈T, ϕ〉 = 1, ∀ϕ ∈ D e una distribuzione.T /∈ D′ poiche T non e lineare, infatti se ψ ∈ D allora anche −ψ ∈ D e in base alla definizione delladistribuzione si ha che

〈T,−ψ〉 = 1 = 〈T, ψ〉

ma per avere linearita e necessario che 〈T,−ψ〉 = −〈T, ψ〉 ma

1 = 〈T,−ψ〉 = −〈T, ψ〉 = −1

Esercizio 11.8 Sia T : D → R definito da 〈T, ϕ〉 = ||ϕ||1. Dire se T ∈ D′.

〈T, ψ〉 = ||ψ||1 ≤ 0

〈T,−ψ〉 = ||−ψ||1 = ||ψ||1 ≤ 0

Poiche affinche T ∈ D′ e necessario che T sia lineare e che 〈T, ψ〉 = 〈T,−ψ〉, non e lineare, alloraT /∈ D′.

Esercizio 11.9 Sia T : D → R definita da 〈T, ϕ〉 = ||ϕ||2, verificare che T /∈ D′.

〈T, ψ〉 = ||ψ||2 ≤ 0

〈T,−ψ〉 = ||−ψ||2 = ||ψ||2 ≤ 0

Poiche affinche T ∈ D′ e necessario che T sia lineare e che 〈T, ψ〉 = 〈T,−ψ〉, non e lineare, pertantoT /∈ D′.

Esercizio 11.10 Sia f : R → C con f ∈ R1loc, sia x0 ∈ R e g(x) = f(x − x0), verificare che 〈Tg, ϕ〉 =

〈Tf , ϕ(x+ x0)〉.Se ϕ ∈ D si ha che

〈Tg, ϕ〉 =

∫ +∞

−∞f(x−x0)·ϕ(x)·dx y=x−x0

=

∫ +∞

−∞f(y)·ϕ(y+x0)·dy x=y

=

∫ +∞

−∞f(x)·ϕ(x+x0)·dx = 〈Tf , ϕ(x+ x0)〉


Esercizio 11.11 Sia T = δ0 e sia x0 ∈ R, determinare T(x−x0) = δ0(x−x0).

Sia ϕ ∈ D ⟨δ0(x−x0)

, ϕ⟩

= 〈δ0, ϕ(x+ x0)〉 = ϕ(x0) = 〈δx0, ϕ〉

T(x−x0) = δ0(x−x0)= δx0

Esercizio 11.12 Sia T = δa e sia a,x0 ∈ R, determinare T(x−x0) = δa(x−x0).

Sia ϕ ∈ D ⟨δa(x−x0)

, ϕ⟩

= 〈δa, ϕ(x+ x0)〉 = ϕ(a+ x0) = 〈δa+x0, ϕ〉

T(x−x0) = δa(x−x0)= δa+x0

Esercizio 11.13 Sia f ∈ R1loc(R),b ∈ R\0 e sia g(x) = f(b·x), verificare che 〈Tg, ϕ〉 =

⟨Tf ,

1

|b|· ϕ(xb

)⟩.

Sia ϕ ∈ D

〈Tg, ϕ〉 =

∫ +∞

−∞f(b · x) · ϕ(x) · dx y=b·x

=

∫ +∞

−∞f(y) · 1

b· ϕ(yb

)· dy b > 0∫ +∞

−∞f(y) · 1

−b· ϕ(yb

)· dy b < 0

=

=

∫ +∞

−∞f(y) · 1

|b|· ϕ(yb

)· dy x=y

=

∫ +∞

−∞f(x) · 1

|b|· ϕ(xb

)· dx =

⟨Tf ,

1

|b|· ϕ ·

(xb

)⟩

〈Tg, ϕ〉 =

⟨Tf ,

1

|b|· ϕ(xb

)⟩Esercizio 11.14 Sia δa,a ∈ R, calcolare δa(b·x) con b ∈ R\0.Sia ϕ ∈ D ⟨

δa(b·x) , ϕ⟩

=

⟨δa,

1

|b|· ϕ(xb

)⟩=

1

|b|· ϕ(ab

)=

⟨1

|b|· δ a

b, ϕ

⟩⟨δa(b·x) , ϕ

⟩=

⟨1

|b|· δ a

b, ϕ

⟩Esercizio 11.15 Sia g ∈ C∞(R),a ∈ R calcolare g · δa.Sia ϕ ∈ D

〈g · δa, ϕ〉 = 〈δa, g · ϕ〉 = g(a) · ϕ(a) = g(a) · 〈δa, ϕ〉

pertanto g · δa = g(a) · δa

Esercizio 11.16 Sia f ∈ R1loc(R) : ∃f ′ ∈ R1

loc(R) of ∈ C1(R), verificare che 〈Tf ′ , ϕ〉 = −〈Tf , ϕ′〉

〈Tf ′ , ϕ〉 =

∫ +∞

−∞f ′(x) · ϕ(x) · dx =

∫ R

−Rf ′(x) · ϕ(x) · dx p.p.

=

p.p.= [f(x) · ϕ(x)]R−R −

∫ R

−Rf(x) · ϕ′(x) · dx = −

∫ +∞

−∞f(x) · ϕ′(x) · dx = −〈Tf , ϕ′〉

〈Tf ′ , ϕ〉 = −〈Tf , ϕ′〉 , ∀ϕ ∈ D, ∀f ∈ R1loc : f ′ ∈ R1

loc of ∈ C1

Esercizio 11.17 Sia f : R→ R la funzione rampa, si chiede di ricavare T ′f e T ′′f .

f(x) =

0 x ≤ 0x x > 0

Effettuando il calcolo diretto, prendendo ϕ ∈ D si ha che⟨T ′f , ϕ

⟩= −〈Tf , ϕ′〉 = −

∫ +∞

−∞f(x) · ϕ′(x) · dx = −

∫ 0

−∞f(x) · ϕ′(x) · dx−

∫ +∞

0

f(x) · ϕ′(x) · dx =

= −∫ 0

−∞0 · ϕ′(x) · dx−

∫ +∞

0

x · ϕ′(x) · dx = −∫ +∞

0

x · ϕ′(x) · dx p.p.=

p.p.= [x · ϕ′(x)]+∞0 +

∫ +∞

0

ϕ(x) · dx =

∫ +∞

0

ϕ(x) · dx =

∫ +∞

−∞H(x) · ϕ(x) · dx = 〈TH , ϕ〉

limx→+∞

ϕ′(x) = 0 poiche ϕ(x) = 0, ∀x /∈ [−R,R] pertanto essendo costante ha derivata nulla.

H(x) =

0 x ≤ 01 x > 0

11.5. ESERCIZI 101

T ′f = TH⟨T ′′f , ϕ

⟩= 〈T ′H , ϕ〉 = −〈TH , ϕ′〉 = −

∫ +∞

−∞H(x) · ϕ′(x) · dx = −

∫ +∞

0

ϕ′(x) · dx =

= −∫ R

0

ϕ′(x) · dx = −ϕ(R) + ϕ(0) = ϕ(0) = 〈δ0, ϕ〉

T ′′f = T ′H = δ0

Esercizio 11.18 Sia f(x) = |x| si chiede di ricavare T ′f .Sia ϕ ∈ D⟨

T ′f , ϕ⟩

= −〈Tf , ϕ′〉 = −∫ +∞

−∞|x| · ϕ′(x) · dx = −

∫ 0

−∞−x · ϕ′(x) · dx−

∫ +∞

0

x · ϕ′(x) · dx =

p.p.= [x · ϕ′(x)]0−∞ −

∫ 0

−∞ϕ(x) · dx− [x · ϕ(x)]+∞0 +

∫ +∞

0

ϕ(x) · dx =

= −∫ 0

−∞ϕ(x) · dx+

∫ +∞

0

ϕ(x) · dx =

∫ +∞

−∞sng(x) · ϕ(x) · dx =

⟨Tsng(x), ϕ

⟩T ′|x| = Tsng(x)

Esercizio 11.19 Determinare la distribuzione δ′x0.

Sia ϕ ∈ D ⟨δ′x0

, ϕ⟩

= −〈δx0, ϕ′〉 = −ϕ′(0)

Esercizio 11.20 Sia f(x) =

0 x /∈ (0, 1)e2·x x ∈ (0, 1)

, determinare T ′f .

Poiche f ∈ R1loc e

∀x 6= 0, 1, ∃f ′(x) =

0 x /∈ (0, 1)2 · e2·x x ∈ (0, 1)

∈ R1loc

poiche nei punti di discontinuita si hanno discontinuita di salto allora valgono le ipotesi del teoremapertanto

T ′f = Tf ′ + [f(0+)− f(0−)] · δ0 + [f(1+)− f(1−)] · δ1 = T[11[0,1]·2·e2·x] + δ0 − e2 · δ1

Esercizio 11.21 Calcolare la derivata distribuzionale di T = ex2

· δ−1 + T[3·sng(−x)].Poiche si puo facilmente osservare che le ipotesi del teorema sono rispettate allora dato che

T ′[3·sng(x)] = T0 + [3 · sng(0+)− 3 · sng(0−)] · δ0 = −6 · δ0

ex2

· δ−1 = e(−1)2 · δ−1 = e · δ−1

T ′ = [e · δ−1 − 6 · δ0]′

= e · δ′−1 − 6 · δ′0 = e · δ′−1

T ′ = e · δ′−1

Esercizio 11.22 (12/02/2008) Sia

f(x) =

sin(π · x) x ∈ (0, 9)x3 x /∈ (0, 9)

calcolare T ′f .

∀x ∈ R\0, 9,∃f ′(x) =

π · cos(π · x) x ∈ (0, 9)13 x /∈ [0, 9]

poiche f ′ ∈ R1loc allora

T ′f = Tf ′ + [f(0+)− f(0−)] · δ0 + [f(9+)− f(9−)] · δ9 = Tf ′ + 3 · δ9

Esercizio 11.23 (11/11/2006) Sia

f(x) =

[1− p2(x)] · [1 + log |x|] x 6= 00 x = 0

calcolare T ′f .

∀x ∈ R\±1,∃f ′(x) =

0 |x| < 11x |x| > 1

pertanto poiche f ′ ∈ R1loc si ha che T ′f = Tf ′ + δ−1 + δ1


Esercizio 11.24 (11/02/2009) Sia

f(x) = |3 · x| ·H(x+ 1) + sng(2 · x)

calcolare T ′f .

∀x ∈ R\−1, 0,∃f ′(x) =

0 x < −1−3 x ∈ (−1, 0)3 x > 0

pertanto T ′f = Tf ′ + 3 · δ−1 + 2 · δ0.

Esercizio 11.25 Siaf(x) = ex ·H(−x) + (ex + 1) · p2(x− 1)

calcolare T ′f .

∀x ∈ R\0,∃f ′(x) =

ex x < 20 x > 2

pertanto T ′f = Tf ′ + δ0 − (e2 + 1) · δ2.

Esercizio 11.26 (20/02/2012) Sia

f(x) = [sng(x− 1) + sng(x)] · x2

calcolare T ′f .

∀x ∈ R\1,∃f ′(x) =

−4 · x x < 00 0 ≤ 0 < 14 · x x > 1

pertanto T ′f = Tf ′ + 2 · δ1.

Esercizio 11.27 Sia ϕ ∈ D tale che ϕ′(0) = −2, calcolare 〈[sin(x)] · δ′′0 , ϕ〉.

〈[sin(x)] · δ′′0 , ϕ〉 = 〈δ′′0 , sin(x) · ϕ(x)〉 = −〈δ′0, cos(x) · ϕ(x) + sin(x) · ϕ′(x)〉 == 〈δ0,− sin(x) · ϕ(x) + cos(x) · ϕ′(x) + cos(x) · ϕ′(x) + sin(x) · ϕ′′(x)〉 =〈δ0, sin(x) · [ϕ′′(x)− ϕ(x)] + 2 · cos(x) · ϕ′(x)〉 = 2 · cos(0) · ϕ′(0) = −4

Esercizio 11.28 Sia T = (x3−12·cos(x))·δ3(x−4) calcolare 〈T, ϕ〉 dove ϕ(x) =

0 |x− 7| ≥ 1

e1

(x−7)2−1 |x− 7| < 1.

〈T, ϕ〉 =⟨[x3 − 12 · cos(x)] · δ3(x− 4), ϕ

⟩=⟨[x3 − 12 · cos(x)] · δ7, ϕ

⟩= [73 − 12 · cos(7)] · ϕ(7) =

= [73 − 12 · cos(7)] · e−1

Esercizio 11.29 Calcolare la derivata distribuzionale di T = TH(2·x) + 5 · δ3(2 · x).

H(2 · x) = H(x)⇒ T ′H(2·x) = T ′H(2·x) = δ0

δx0(a · x) =

1

|a|· δ x0

a⇒ (5 · δ3(2 · x))′ =

5

2· δ′3

2

pertanto T ′ = δ0 + 52 · δ

′32

.

Esercizio 11.30 Sia f : R\0 → R definita da f(x) = log |x|, calcolare T ′f .

f ∈ R1loc, infatti

limx→0|x|

12 · log |x| = 0⇒ |x|

12 · log |x| ≤ 1 ≡ log |x| ≤ 1

|x|12

Sia ϕ ∈ D⟨T ′f , ϕ

⟩= −〈Tf , ϕ′〉 = −

∫ +∞

−∞log |x| · ϕ′(x) · dx = − lim

ε→0+

[∫ −ε−∞

log |x| · ϕ′(x) · dx+

∫ +∞

ε

log |x| · ϕ′(x) · dx]

=

= − limε→0+

[log |ε| · ϕ(−ε)− 0−

∫ −ε−∞

ϕ(x)

x· dx+ 0− log |ε| · ϕ(ε)−

∫ +∞

ε

ϕ(x)

x· dx

]=

= limε→0+

[log |ε| · (ϕ(ε)− ϕ(−ε)) +

∫ −ε−∞

ϕ(x)

x· dx+

∫ +∞

ε

ϕ(x)

x· dx

]=

= limε→0+

[2 · ε · log |ε| · ϕ(ε)− ϕ(−ε)

2 · ε+

∫ −ε−∞

ϕ(x)

x· dx+

∫ +∞

ε

ϕ(x)

x· dx

]=

= limε→0+

[∫ −ε−∞

ϕ(x)

x· dx+

∫ +∞

ε

ϕ(x)

x· dx

]

11.5. ESERCIZI 103

Si pone ⟨v.f.

1

x, ϕ

⟩:= lim

ε→0+

[∫ −ε−∞

ϕ(x)

x· dx+

∫ +∞

ε

ϕ(x)

x· dx

]pertanto T ′log |x| = v.p

1

x∈ D′

Esercizio 11.31 Sia T = x2 · T11[−1,1], calcolare se esiste T ′.

T = Tf = x2 · T11[−1,1]= Tx2·11[−1,1]

T ′ = T2·x·11[−1,1]+ δ−1 + δ1

Ricorrendo alla formula di Leibniz si ha che

T ′ =(x2 · T11[−1,1]

)′= 2 · T11[−1,1]

+ x2 · T ′11[−1,1]= 2 · x · T11[−1,1]

+ x2 · (δ−1 + δ1) =

= 2 · x · T11[−1,1]+ x2 · δ−1 + x2 · δ1 = 2 · x · T11[−1,1]

+ δ−1 + δ1

Esercizio 11.32 Calcolare, se esiste, T ′ con T = (5 · x+ 3) · TH .Per la formula di Leibniz si ha

T ′ = 5 · TH + (5 · x+ 3) · δ0 = 5 · TH + 3 · δ0

Esercizio 11.33 Sia p ∈ N e T = δx0⟨δ(p)x0, ϕ⟩

= (−1)p ·⟨δx0

, ϕ(p)⟩

= (−1)p · ϕ(p)(x0)

Esercizio 11.34 Calcolare, se esiste, limn→+∞

δn.

Sia ϕ ∈ D〈δn, ϕ〉 = ϕ(n)

n→+∞→ 0

poiche ∀x ∈ R, ϕ(R\(−R,R)) = 0

δnn→+∞→ 0

Esercizio 11.35 (21/09/2011) Sia Tn = n · δ−n, calcolare se esiste limn→+∞

Tn.

Sia ϕ ∈ D〈Tn, ϕ〉 = 〈n · δ−n, ϕ〉 = n · ϕ(−n) = 0

n · δ−nn→+∞→ 0

Esercizio 11.36 Sia Tn = δ3·n − δ 1n

, calcolare se esiste limn→+∞

Tn.

Sia ϕ ∈ D

〈Tn, ϕ〉 =⟨δ3·n − δ 1

n, ϕ⟩

= ϕ(3 · n)− ϕ(

1

n

)n→+∞→ −ϕ(0)

δ3·n − δ 1n

n→+∞→ −δ0

Esercizio 11.37 Sia Tn = δ(−2)3·n·ln(n), calcolare se esiste limn→+∞

Tn.

Sia ϕ ∈ D〈Tn, ϕ〉 =

⟨δ(−2)3·n·ln(n), ϕ

⟩= ϕ

[(−2)3·n · ln(n)

]poiche (−2)3·n · ln(n) non ha limite si verifica che∣∣(−2)3·n · ln(n)

∣∣ = 23·n · ln(n)→ +∞

alloraϕ((−2)3·n · ln(n))

n→+∞→ 0

δ(−2)3·n·ln(n)n→+∞→ 0

Esercizio 11.38 Sia Tn = δ(−1)n , calcolare se esiste limn→+∞

Tn.

Sia ϕ ∈ D ⟨δ(−1)n , ϕ

⟩= ϕ((−1)n)

In generale la successione non converge pertanto 6 ∃ limn→+∞

Tn (si ha convergenza solo per alcune ϕ come

ad esempio ϕ(x) = x2 · 11[−R,R])


Esercizio 11.39 Sia fn(x) = n · p 1n

(x), calcolare se esiste T tale che Tfnn→+∞→ T .

Sia ϕ ∈ D

〈Tfn , ϕ〉 =

∫ +∞

−∞fn(x) ·ϕ(x) · dx =

∫ 12·n

− 12·n

n ·ϕ(x) · dx = n ·∫ 1

2·n

− 12·n

ϕ(x) · dx =11n

·∫ 1

2·n

− 12·n

ϕ(x) · dx = ϕ(xn)

xn ∈[− 1

2 · n,

1

2 · n

]ma per n→ +∞, xn → 0

fnn→+∞→ ϕ(0)

Tfn = Tn·p 1n

n→+∞→ δ0 = T

Esercizio 11.40 Sia fn(x) = n2 · p 1n

(x), calcolare se esiste T tale che Tfnn→+∞→ T .

Sia ϕ ∈ D

〈Tfn , ϕ〉 =

∫ +∞

−∞fn(x)·ϕ(x)·dx =

∫ 12·n

− 12·n

n2 ·ϕ(x)·dx = n2 ·∫ 1

2·n

− 12·n

ϕ(x)·dx =n1n

·∫ 1

2·n

− 12·n

ϕ(x)·dx = n·ϕ(xn)

per n→ +∞ (xn → 0)

• n · ϕ(xn)→ 0 se ϕ(xn) = 0

• n · ϕ(xn)→ +∞ se ϕ(xn) ∈ R\0

pertanto Tfn non converge in D′.

Esercizio 11.41 Sia fn(x) = sin(n · x), calcolare se esiste T tale che Tfnn→+∞→ T .

Dal grafico in Figura (11.1f) e chiaro che fn non converge a nessuna funzione.Sia ϕ ∈ D

〈Tfn , ϕ〉 =

∫ R

−Rsin(n · x) · ϕ(x) · dx p.p.

=

[−cos(n · x)

n· ϕ(x)

]R−R

+

∫ R

−R

cos(n · x)

n· ϕ′(x) · dx =

=1

n·∫ R

−Rcos(n · x) · ϕ′(x) · dx

∣∣∣∣∣ 1n ·∫ R

−Rcos(n · x) · ϕ′(x) · dx

∣∣∣∣∣ ≤ 1

n·∫ R

−R|cos(n · x)| · |ϕ′(x)| · dx ≤ 1

n·∫ R

−R|ϕ′(x)| · dx n→+∞→ 0

∫ R

−R|ϕ′(x)| · dx ∈ R poiche ϕ ∈ D e quindi a supporto compatto

Tfnn→+∞→ 0

Esercizio 11.42 (Treno di impulsi) Sia ∀n ∈ N, Tn =

n∑k=−n

δk, calcolare se esiste il limn→+∞

Tn.

Sia ϕ ∈ D

〈Tn, ϕ〉 =

⟨n∑

k=−n

δk, ϕ

⟩=

n∑k=−n

〈δk, ϕ〉 =

n∑k=−n

ϕ(k)

Non e restrittivo porre R ∈ N (al limite si prende l’intero superiore di R)

Tn =

n∑k=−n

δk →+∞∑

k=−∞

δk

+∞∑k=−∞

δk =

R∑k=−R

δk

poiche ha infiniti termini nulli

11.5. ESERCIZI 105

Esercizio 11.43 Sia Tn = n ·[δ0(x− 1

n

)− δ0

(x+ 2

n

)], calcolare se esiste il lim

n→+∞Tn.

Sia ϕ ∈ D

〈Tn, ϕ〉 =

⟨n ·[δ0

(x− 1

n

)− δ0

(x+

2

n

)], ϕ

⟩= n ·

[ϕ

(1

n

)− ϕ

(− 2

n

)]=

=ϕ(

1n

)− ϕ(0) + ϕ(0)− ϕ

(− 2n

)1n

=ϕ(

1n

)− ϕ(0

1n

−ϕ(− 2n

)− ϕ(0)

1n

=

=ϕ(

1n

)− ϕ(0

1n

+ 2 ·ϕ(− 2n

)− ϕ(0)

− 2n

= ϕ′(

1

n

)+ 2 · ϕ′

(− 2

n

)n→+∞→ ϕ′(0) + 2 · ϕ′(0) = 3 · ϕ′(0)

−3 · 〈δ′0, ϕ〉

n ·[δ0

(x− 1

n

)− δ0

(x+

2

n

)]n→+∞→ −3 · δ′0


−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

(a) Grafico di f(x) dell’esercizio 11.23

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

(b) Grafico di f(x) dell’esercizio 11.24

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

(c) Grafico di f(x) dell’esercizio 11.25

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

(d) Grafico di f(x) dell’esercizio 11.26

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

(e) Grafico di f(x) dell’esercizio 11.31

−10 −5 0 5 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

sin(x)

sin(2 ⋅x)

sin(5 ⋅x)

(f) Grafico di f(x) dell’esercizio 11.41

Figura 11.1: Grafici di f(x) degli esercizi 11.23, 11.24, 11.25, 11.26, 11.31, 11.41

108 CAPITOLO 12. APPENDICE

Capitolo 12

Appendice

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.50000 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.52790 0.53188 0.535860.1 0.53983 0.54380 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.575350.2 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.614090.3 0.61791 0.62172 0.62552 0.62930 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.651730.4 0.65542 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.687930.5 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.70540 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.722400.6 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.754900.7 0.75804 0.76115 0.76424 0.76730 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.78230 0.785240.8 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.813270.9 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.838911.0 0.84134 0.84375 0.84614 0.84850 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.862141.1 0.86433 0.86650 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.87900 0.88100 0.882981.2 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973 0.901471.3 0.90320 0.90490 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91309 0.91466 0.91621 0.917741.4 0.91924 0.92073 0.92220 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.931891.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.944081.6 0.94520 0.94630 0.94738 0.94845 0.94950 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352 0.954491.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.96080 0.96164 0.96246 0.963271.8 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926 0.96995 0.970621.9 0.97128 0.97193 0.97257 0.97320 0.97381 0.97441 0.97500 0.97558 0.97615 0.976702.0 0.97725 0.97778 0.97831 0.97882 0.97932 0.97982 0.98030 0.98077 0.98124 0.981692.1 0.98214 0.98257 0.98300 0.98341 0.98382 0.98422 0.98461 0.98500 0.98537 0.985742.2 0.98610 0.98645 0.98679 0.98713 0.98745 0.98778 0.98809 0.98840 0.98870 0.988992.3 0.98928 0.98956 0.98983 0.99010 0.99036 0.99061 0.99086 0.99111 0.99134 0.991582.4 0.99180 0.99202 0.99224 0.99245 0.99266 0.99286 0.99305 0.99324 0.99343 0.993612.5 0.99379 0.99396 0.99413 0.99430 0.99446 0.99461 0.99477 0.99492 0.99506 0.995202.6 0.99534 0.99547 0.99560 0.99573 0.99585 0.99597 0.99609 0.99621 0.99632 0.996432.7 0.99653 0.99664 0.99674 0.99683 0.99693 0.99702 0.99711 0.99720 0.99728 0.997362.8 0.99744 0.99752 0.99760 0.99767 0.99774 0.99781 0.99788 0.99795 0.99801 0.998072.9 0.99813 0.99819 0.99825 0.99831 0.99836 0.99841 0.99846 0.99851 0.99856 0.998613.0 0.99865 0.99869 0.99874 0.99878 0.99882 0.99886 0.99889 0.99893 0.99897 0.999003.1 0.99903 0.99906 0.99910 0.99913 0.99916 0.99918 0.99921 0.99924 0.99926 0.999293.2 0.99931 0.99934 0.99936 0.99938 0.99940 0.99942 0.99944 0.99946 0.99948 0.999503.3 0.99952 0.99953 0.99955 0.99957 0.99958 0.99960 0.99961 0.99962 0.99964 0.999653.4 0.99966 0.99968 0.99969 0.99970 0.99971 0.99972 0.99973 0.99974 0.99975 0.999763.5 0.99977 0.99978 0.99978 0.99979 0.99980 0.99981 0.99981 0.99982 0.99983 0.999833.6 0.99984 0.99985 0.99985 0.99986 0.99986 0.99987 0.99987 0.99988 0.99988 0.999893.7 0.99989 0.99990 0.99990 0.99990 0.99991 0.99991 0.99992 0.99992 0.99992 0.999923.8 0.99993 0.99993 0.99993 0.99994 0.99994 0.99994 0.99994 0.99995 0.99995 0.999953.9 0.99995 0.99995 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99996 0.99997 0.999974.0 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99998 0.99998 0.99998 0.999984.1 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 0.99998 0.99999 0.999994.2 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.999994.3 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.99999 0.999994.4 0.99999 0.99999 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

Tabella 12.1: Funzione di distribuzione Φ di X ∼ N(0, 1) con precisione 10−5 e passo di 0.01

109

clc

2 clear all

file = fopen(’distNormale.tex’, ’w’);

4 file = 1;

min = 0;

6 max = 4.4;

step_c = 0.1;

8 cifre_significative =5;

fx = inline(’1/sqrt (2*pi).*exp(-x.^2/2) ’);

10 c = min:step_c:max;

r = 0: step_c /10: step_c -step_c /10;

12 fprintf(file , ’\\ begintabular r’);

for indice = 1: length(r)

14 fprintf(file , ’|r’);

end

16 fprintf(file , ’’);

for indice = 1: length(r)

18 fprintf(file , ’ & %.*f’, -log10(step_c /10), r(indice));

end

20 fprintf(file , ’\\\\\n \\ hline \\\\\n’);

for indice = 1: length(c)

22 fprintf(file , ’ %.*f’, -log10(step_c), c(indice));

for indice1 = 1: length(r)

24 fprintf(file , ’ & %.*f’, cifre_significative , quadl(fx, -10, c(indice)+r

(indice1), 10^(- cifre_significative)));

end

26 fprintf(file , ’\\\\\n’);

end

28 fprintf(file , ’\\endtabular \n’);

fclose(file); Tabulazione della funzione di distribuzione di una normale standardizzata

Metodi matematici per l'ingegneria · Politecnico di Torino Anno Accademico 2011/2012 ... il nome...

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