LIBRO Metodi Per l'Ingegneria

8/6/2019 LIBRO Metodi Per l'Ingegneria

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Lezioni del prof. Marco Codegone

appunti di Capuzzo Alessandro v 1.3

Metodimatematici

perl'ingegneria.


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Note dell'autore:

Sicuramente non sostituiscono un libro di testo,probabilmente non sono un lavoro sensazionale,

senza dubbio sono molti gli errori, di vario genere;

ma questi appunti, presi guardando le videolezioni

di Marco Codegone

(professore di analisi matematica presso il Politecnico di Torino)

sono il frutto di settimane di lavoro e

a me personalmente sono stati molto utili.

Ho deciso quindi di renderli disponibili in rete

per chiunque pensasse di ricavarne un qualche vantaggio,

poich penso che la condivisione sia il bene che salver il mondo eperch ci avvenga, bisogna uscire dalla logica del guadagno a tutti i costi,

convincendosi che contribuire disinteressatamente alla ricchezza culturale del propriopaese non tempo perso, n mancato guadagno, ma il bene pi grande che si possa fare a s stessi,

...

e ai propri figli.

Capuzzo Alessandro

... buon lavoro.


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Tabelle riassuntive.........................................................................................................................82

Osservazioni finali.........................................................................................................................83

Residui.........................................................................................................85Calcolo pratico dei residui in poli del 1 ordine............................................................................88Calcolo pratico dei residui in poli di ordine N>=1........................................................................90

Integrali impropri col metodo dei residui......................................................................................92

Lemma di Jordan (per cammini paralleli all'asse reale).................................................................95Lemma di Jordan (per cammini paralleli all'asse immaginario)....................................................96

Decomposizione in fratti semplici ............................................................101Poli semplici................................................................................................................................101

Poli multipli.................................................................................................................................106

Poli complessi coniugati..............................................................................................................109

Distribuzioni..............................................................................................115Funzionali....................................................................................................................................115

Limiti (nel senso delle distribuzioni)...........................................................................................115Derivate distribuzionali................................................................................................................120

Modelli (ingresso - uscita)...........................................................................................................125Prodotto di convoluzione.............................................................................................................125

Propriet del prodotto di convoluzione........................................................................................130

Trasformata di Fourier...............................................................................131Trasformata della porta................................................................................................................131

Trasformata della campana razionale..........................................................................................132

Trasformata della delta di Dirac..................................................................................................133Trasformata della costante 1........................................................................................................134

Antitrasformata di Fourier...........................................................................................................135

Propriet della trasformata di Fourier..........................................................................................136

Altre trasformate..........................................................................................................................145

Trasformata del gradino unitario.................................................................................................146

Equazioni nel dominio delle distribuzioni...................................................................................147Esempi di trasformate di Fourier.................................................................................................150

Esercizi introduttivi alle distribuzioni limitate e a crescita lenta.................................................156

Distribuzioni limitate...................................................................................................................159

Distribuzioni a crescita lenta........................................................................................................160

Treno di impulsi...........................................................................................................................161

Trasformata di Fourier di distribuzioni periodiche......................................................................165Esempi di trasformate di Fourier di segnali periodici..................................................................168

Trasformata di Laplace..............................................................................175

Trasformata di Laplace bilatera...................................................................................................175Propriet della trasformata di Laplace.........................................................................................180

Esercizi su trasformate fondamentali...........................................................................................184

Trasformata di Laplace unilatera.................................................................................................191Antitrasformata di Laplace..........................................................................................................192

Esercizi di antitrasformazione.....................................................................................................193

Trasformata di Laplace per segnali periodici per t>=0................................................................197Considerazioni pratiche...............................................................................................................200

Teorema del valor finale..............................................................................................................201

Teorema del valore iniziale..........................................................................................................201Uso della trasformata di Laplace nei modelli differenziali..........................................................202

Applicazione ad un modello concreto.........................................................................................203Separazione dei termini di transitorio e di regime.......................................................................206


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zx jy

x

y

Appunti di Capuzzo Alessandro - Numeri complessi

Numeri complessiI numeri complessi si possono presentare in tre forme:

Forma cartesiana

Forma trigonometrica

Forma esponenziale

Forma cartesianaIl numero complesso in forma cartesiana si scrive nel seguente modo:

zxjy

con j si intende l'unit immaginaria, ovvero quel numero complesso che verifica la seguenteuguaglianza:

j21

Nei corsi di matematica normalmente l'unit immaginaria simboleggiata dalla lettera i , mentrenei corsi di applicazione all'elettronica si utilizza la lettera j , perch la i riservata alla

corrente. Noi ci uniformiamo a quest'ultima indicazione in quanto il nostro corso ha una forte

inclinazione alle applicazioni elettroniche.

Il vantaggio della forma cartesiana che si possono leggere immediatamente la parte reale e la parte

immaginaria del numero complesso:

Rezx

Im zy

La forma cartesiana presenta invece qualche difficolt quando se ne vogliono cercare il modulo el'argomento. Rappresentando in un piano cartesiano il numero complesso, si utilizza l'asse delle

ascisse per la parte reale e l'asse delle ordinate per la parte immaginaria e la loro composizione

individua un punto nel piano che lo rappresenta.

Il modulo di un numero complesso rappresenta

quella che la distanza del punto del piano xy

dall'origine, dunque:zx2y2 .

Invece l'argomento di un numero complesso

l'angolo formato dalla semiretta che partedall'asse delle x e ruota fino ad incontrare il

numero z

E' chiaro che se facciamo una rotazione in sensoantiorario indichiamo l'angolo positivamente, se la facciamo in senso orario, lo indichiamo

negativamente.

Come facciamo ad individuare il valore di ? Se guardiamo in figura abbiamo il triangolo

Forma cartesiana - Pag. 1


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2

2

2


rettangolo Oxz. In questo triangolo l'angolo adiacente al cateto Ox ed opposto al cateto xz,quindi si ha, grazie alla trigonometria:

tg y

x

arctg

y

x

Bisogna per fare una certa attenzione nel calcolo

di , perch la funzione tangente non invertibile in tutto il suo dominio: una funzione

periodica di periodo ed essendo la funzionearcotangente l'inversa della funzione tangente

esclusivamente nell'intervallo 2 ,2 ,la formula cos com' vale solo se l'angolo compreso in tale intervallo, ovvero:

quando la parte reale del numero complesso

positiva, la formula per ricavarlo quella scritta

sopra.

Se invece l'angolo si trova fuori da questo

intervallo, ovvero:

quando la parte reale del numero complesso

negativa, bisogna aggiungere o togliere (vedifigura : la freccia indica lo spostamento necessario

per rientrare nel dominio dell'arcotangente

partendo con fuori del dominiodell'arcotangente, questo spostamento vale ).

Concludendo:

se xRe z0 arg zarctg yx se xRe z0 arg zarctg yx

- Pag. 2


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zxjy

x

y

z*x jy


Complesso coniugatoIl simbolo z

* rappresenta il complesso coniugato di z e si ottiene cambiando il segno della

parte immaginaria :se zx jy , z*xjy

Dal punto di vista geometrico ricavare ilcomplesso coniugato corrisponde a fare una

simmetria rispetto all'asse reale.

La forma cartesiana permette di fare agevolmente

somme e sottrazioni, ma diventa un po' pi

problematica tutte le volte che dobbiamo fareprodotti o potenze. Infatti si vede subito che nella

forma cartesiana il numero complesso corrisponde

ad un binomio, con tutte le conseguenze del caso:un prodotto porta a 4 termini, una potenza ancora

peggio.

Vediamo un esempio:

z434 j

dunque:

Re z43

Im z4

E' sempre molto importante valutare subito modulo ed argomento:

z4324 28 (osserviamo che il modulo sempre positivo)Ci vuol dire che la distanza dall'origine di z 8. E'

molto importante da comprendere: come dire che il

nostro numero complesso sta su di una circonferenza di

centro l'origine e raggio 8 (vedi figura). Calcoliamoadesso l'argomento: dobbiamo subito fare unariflessione sul segno della parte reale. Nel nostro caso

negativa per cui dobbiamo aggiungere

arg zarctg 443arctg1

3

6

7

6

Complesso coniugato - Pag. 3


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Forma trigonometricaIl numero complesso si scrive nella forma:

zcos j senQuando il numero complesso espresso in forma trigonometrica leggiamo subito il valore del

modulo ( ) e dell'argomento ( ).

E' invece necessario qualche calcolo per le parti reale ed immaginaria:

Re z cos Im z sen

Il complesso coniugato di z si ottiene cambiando il segno alla parte immaginaria oppure

cambiando il segno all'argomento:

z*cos j sencos j sen

La validit del secondo membro facilmente verificabile in quanto il coseno una funzione pari,dunque coscos ed il seno una funzione dispari, dunque sen sen .

La forma trigonometrica evidenzia il fatto che il complesso coniugato si ottiene semplicemente

cambiando segno all'angolo (infatti in questo modo si ottiene la simmetria del numerocomplesso rispetto all'asse delle x).

Vediamo un esempio.

z5

cos

4

3

j sen

4

3

Per rappresentare questo numero nel piano cartesiano osserviamo che il numero star su di unacirconferenza di raggio 5 ed il suo modulo former un angolo di

4

3con l'asse delle x.

Calcoliamo le parti reale ed immaginaria

Re5cos 43 51252Im z5sin 43 532 532

Il numero complesso pu essere cos espresso in

forma cartesiana: z5

25

32

ed il coniugato z*

5

25

32

=

5cos43 j sen43

Forma trigonometrica - Pag. 4


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z

z

z

Circonferenza

unitaria


Vogliamo fare adesso delle considerazioni che ci introducano alla forma esponenziale. La seguente

uguaglianza sicuramente ovvia:

zz zz

Geometricamente questo vuol dire che ogni

numero complesso pu essere scritto come il

prodotto di un numero reale z per un numerocomplesso che sta sulla circonferenza unitaria

z

z.

Abbiamo fatto questa osservazione perch per ora vogliamo occuparci esclusivamente di numeri

complessi che hanno modulo 1.

Prendiamo i seguenti numeri complessi e scriviamoli in forma trigonometrica:

z11 z1cos1 j sen1

z21 z2cos2 j sen2

e moltiplichiamoli tra loro:

z1z2cos1 cos2sen1 sen2 j cos1 sen2sen1 cos2

ricordando le formule di addizione e sottrazione

z1z2cos1 cos2sen1 sen2

cos12

j cos1 sen2sen1 cos2

sen12

risulta

z1z2cos12 j sen12

Questo un risultato estremamente interessante perch illustra che per fare il prodotto di due

numeri complessi ci siamo ricondotti a fare una somma tra gli argomenti. Vi un'analogia con laforma esponenziale:

ea ebeab

- il prodotto degli esponenziali si traduce in una somma degli esponenti;

il prodotto dei numeri complessi si traduce in una somma degli argomenti.

Questo ci porta a riflettere sulla possibilit che potrebbe esserci una forma di rappresentazione deinumeri complessi come esponenziale. In effetti cos, ma certo non pu essere una forma

esponenziale di tipo reale, perch se si volesse rappresentare ad esempio il numero complesso j :

jcos

2

j sen

2

, chiaro che una forma esponenziale del tipo

e

2 sarebbe un numero

Forma trigonometrica - Pag. 5


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reale, dunque non andrebbe bene. Bisogner in qualche misura introdurre un oggetto nuovo.

La forma corretta la seguente in quanto l'esponente non un numero reale ma un numero

immaginario:

z1e j1

z2ej2

Questa rappresentazione traduce molto bene anche il prodotto, infatti volendo fare il prodotto di due

numeri complessi dobbiamo fare la somma degli argomenti:

z1z2ej 1 e

j2ej 12

Bisognerebbe per essere sicuri che questo tipo di notazione in qualche misura coerente con tutte

le propriet degli esponenziali. Pi avanti nel corso, quando avremo gli strumenti necessari,

dimostreremo che cos. Siamo dunque giunti alla

Formula di Euleroe

jcos j sen

Questa una formula fondamentale nel nostro cammino.

Familiarizziamo un po' con essa effettuando una divisione tra due numeri complessi:

z1

z2cos12 j sin 12 =

ej1

ej2e

j 12

Utilizzando la formula di Eulero possiamo scrivere un numero complesso nel seguente modo:

z e j

La forma esponenziale una forma in cui si leggono agevolmente modulo e argomento ed

estremamente pratica per fare le operazioni di prodotto, di potenza, di radice n-sima.

Per esempio l'elevamento a potenza diviene il seguente:

zne j

n

n e jn

n e j n

EsempiVediamo un esempio pratico.

Prendiamo z333 j

e facciamone la potenza ottava.

Diciamo subito che se dovessimo eseguire questo calcolo in forma cartesiana, ci ritroveremmo a

dover fare il prodotto di un binomio con due addendi per s stesso 8 volte, ed il calcolodiventerebbe una cosa estremamente faticosa. Se invece scriviamo il numero complesso in forma

esponenziale questo diventa molto semplice:

z332

32366

Esempi - Pag. 6


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z

z8


arg zarctg 333

6osserviamo che a0 , quindi non si aggiunge

per cui la potenza

z86 e j

6 8

68 ej 8

6

E' molto importante verificare cosa succede

graficamente, facendo una rappresentazionegeometrica; fare l'ottava potenza significato

elevare il modulo all'ottava potenza; ed avere fatto

una rotazione, moltiplicando l'argomento per 8.

Vediamo un altro esempio.

Ci poniamo la questione di fare la radice n-sima di z . Ricordando che fare la radice n-sima

significa fare un elevamento a potenza frazionaria, possiamo scrivere:

nzne je j

1

n

Si tratta anche in questo caso di sfruttare le propriet dell'esponenziale, tenendo per conto della

periodicit di che rimane pur sempre un angolo della circonferenza goniometrica, per cuirisulta:

nzn

eje

j

1

nej2 k j

1

n

Aggiungere un multiplo di 2 a ci fa ottenere lo stesso numero complesso. Dobbiamoquindi tenerne conto e sviluppare la radice come segue:

nzne je j

1

ne j2 k j

1

n

1

ne

j

n

2

nkj

con k

Osserviamo adesso che se se noi facciamo variare k non otteniamo infinite radici distinte, perch

k0 porta allo stesso angolo a cui porta kn , per cui sar sufficiente far variare knell'insieme k0,1,2, ..., n1

Traduciamo in un esempio numerico.Calcolare

4223 jIl primo problema che affrontiamo scrivere il numero nella forma esponenziale:

2232 2232164

arg zarctg232

3

4

3(in questo caso ao per cui si aggiunge )

possiamo scrivere:

Esempi - Pag. 7


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4223 j4

4 e j4

3 44 e

j

3

2

4kj

Rappresentiamo nel piano complesso le radici

quarte di z . Osserviamo che hanno tutte lo

stesso modulo: 44 22 . Quello che cambia l'angolo perch dobbiamo variare il parametro k.

Osserviamo che al variare di k si ottengonosempre gli stessi 4 punti, quindi per ottenere

radici distinte si prende, come gi detto, solo

k0,1,2,3

I punti sono i vertici di un poligono regolare che

ha tanti lati quanto l'indice della radice (in

questo caso abbiamo un quadrato regolare inscritto nella circonferenza di raggio 2 .


51

Scriviamo il numero in forma esponenziale (quando il numero cos semplice pi facile ricavarsi

modulo e argomento graficamente che far calcoli)

Il modulo 1, l'anomalia o argomento per cui

515e je j

1

5e

j

5

2

5kj

La prima radice la otteniamo mettendo k0 , ilmodulo sempre 1.

Aggiungendo multipli di2

5otteniamo gli altri

punti (che corrispondono ai vertici di un pentagono

regolare iscritto nella circonferenza unitaria).


Esempi - Pag. 8

z0

z1

z3

z2

-1


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z22 j

13 je

j

4

Supponiamo di essere interessati, come spesso capita, a vedere subito il modulo e l'argomento di

questo numero complesso. Questo calcolo diviene semplice se noi utilizziamo le propriet cheabbiamo appena mostrato:

z22 j13 j

e j

4 8412

arg zarg 22 j arg 13 jarge j

4 arctg 1arctg 34

4

3

4

6

Osservazione

z ej corrisponde ad una rotazione, in quanto il modulo di z non cambia, mentre l'argomento

viene moltiplicato per .

Per esempio zj porta ad una rotazione di

2di z .

Questo evidenzia una caratteristica di j , proviamo a svilupparne le potenze:

j01

j1 j

j

2

1j

3j

j41

............

Si pu vedere dal grafico che effettivamente ogni prodotto per j corrisponde ad una rotazione di

2, per cui calcolare le potenze di j diventa effettivamente semplice (si divide l'indice della

potenza per 4 e si prende il resto della divisione ...)

Propriet del modulo e dell'argomento - Pag. 10

j

-1 1

-j


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Seni e coseni complessiConsideriamo

ez

exj y

ex

ej y

e ricordando la formula di Eulero

ex

ej yex cos y j sen y

abbiamo cos potuto scrivere e elevato ad un qualunque numero complesso.

Possiamo subito osservare che

ezex

arg ezy

Abbiamo appena trattato una forma un pochino pi completa della formula di Eulero:e

zex cos y j sen y

Facciamo le seguenti considerazioni, abbiamo

ejcos j sen

iniziamo subito col dire che grazie alla formula di Eulero possiamo dire che l'esponenziale

complesso pu essere visto come una combinazione lineare di coseni e seni.

Cerchiamo il complesso coniugato

ejcos j sen

e adesso sommiamo membro a membro le due uguaglianze, ottenendo

ejej2cos cos

eje

j

2

osserviamo che il coseno pu essere visto come una combinazione lineare di esponenziali

complessi, e questo un fatto molto importante. Facciamo adesso la sottrazione membro a membro

ejej2 j sin sen

ejej

2j

osserviamo che anche il seno pu essere espresso come combinazione lineare di 2 esponenziali

complessi. Mettere come argomento di seno e coseno un numero complesso di difficileinterpretazione (non sappiamo dire cosa significa), ma se noi sfruttiamo le uguaglianze che ci siamo

appena ricavati, possibile farlo (perch un esponenziale complesso ha significato, come gi vistoprecedentemente), dunque possiamo procedere con le seguenti definizioni:

cosze

j zej z

2definizione dicoseno complesso

sen ze

j zej z

2 jdefinizione diseno complesso

Vediamo un esempio. Abbiamo

Seni e coseni complessi - Pag. 11


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z2 j

vogliamo calcolarne il seno:

sen2 j

ej 2 jej 2 j

2 j

ej

e2eje2

2 j

se adesso riflettiamo su quanto vale ej , notiamo che ha modulo 1 ed argomento , dunque

il numero reale -1. Lo stesso vale per ej . L'equazione diventa:

sen2 je2e2

2 j

molte volte il j a denominatore disturba, quindi lo si porta a numeratore moltiplicando e

dividendo per j :

sen2 je2e2

2 j

j

je2e2

2j

Osserviamo che il seno di un numero complesso un numero complesso.


Calcolare sin2 j log2dobbiamo anche in questo caso ricorrere alla definizione di seno complesso:

sin2 j log2e

j

2l log2

ej

2j log2

2 j

e j

2 elog2ej

2 elog2

2 j

j 2 j1

2

2 j1

1

4

5

4

in questo caso abbiamo ottenuto un numero reale (ricordiamo che il numero reale un casoparticolare del numero complesso).

Vogliamo sottolineare con grande rilievo che il risultato un numero reale > 1. Questo fatto

sembrerebbe in contrapposizione con le normali regole del seno, ma non dimentichiamo che

abbiamo fatto il seno di un numero complesso: il modulo di un seno complesso pu essere pigrande di uno.

Seni e coseni complessi - Pag. 12


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Seni e coseni iperboliciIntroduciamo adesso le funzioni iperboliche, che con gli strumenti che abbiamo introdotto,

diventano di comprensione piuttosto semplice.

Definizione in ambito reale di seno e coseno iperbolico

senhee

2 cosh

ee

2

Definizione in ambito complesso di seno e coseno iperbolico

senh ze

zez

2cosh z

ezez

2

Possiamo osservare che cos come seno e coseno complesso sono una combinazione di esponenzialicomplessi, anche seno e coseno iperbolici complessi sono una combinazione di esponenzialicomplessi, anche se ovviamente diversa. Dunque possiamo concludere che l'esponenziale

complesso comprende dentro di s tutte queste funzioni, ovvero, attraverso opportune combinazioni

di di esponenziale complesso si ottengono le funzioni seno e coseno circolari, seno e coseno

iperbolici, complessi.

Essendoci dunque questo legame con l'esponenziale complesso, possiamo dedurre che ci sar anche

un legame tra le funzioni seno e coseno circolari e seno e coseno iperbolici.

Calcoliamo il sen j z

sen j z e

j j z ej j z

2 j ezez

2 j ezez

2 j j

jezez

2 je

zez

2 j j senh z

Abbiamo trovato un legame molto stretto tra seno complesso di z e seno iperbolico complesso di z.

Analogamente si ottengono le altre relazioni. Il quadro generale risultante il seguente:

sen jz j senh z

senh jz j senz

cos jzcosh z

cosh jzcosz

Seni e coseni iperbolici - Pag. 13


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Logaritmo complessoIl logaritmo complesso si scrive nella forma

log zSi utilizza la stessa notazione del logaritmo di un numero reale; sar il contesto a segnalarci se sitratta del logaritmo di un numero reale o del logaritmo di un numero complesso. Prendiamo come

definizione di logaritmo quella che si ottiene in modo naturale, facendo il logaritmo del numero

complesso scritto sotto forma esponenziale:

z e j per cui

log zlog e jdiventa allora abbastanza naturale definire il logaritmo di un numero complesso in modo che siano

rispettate le propriet che avevano i logaritmi dei numeri reali. E' possibile scomporre il logaritmo

di un prodotto in una somma di logaritmi:

log e jloglog e j

ricordando la periodicit dell'argomento, dobbiamo scrivere:

log e jloglog e jloglog e jk jlog j2 k jDunque grazie ai conti che abbiamo fatto possiamo dare la definizione di logaritmo di un numero

complesso

log zlog j2k j

Osserviamo il grafico.

Facendo il logaritmo, otteniamo un numero

complesso con parte reale uguale al logaritmo di

e parte immaginaria uguale a j2 k j

Vediamo che solo la parte immaginaria ad essere

periodica di periodo 2 k . Questo, si traduce nelfatto che esso star su di una retta parallela all'asse

delle ordinate (la x costante) ed apparir, partendo

da un'ordinata uguale a (con k=0) con unperiodo di 2 j . Il logaritmo ci porta dunque adinfiniti valori immaginari.

Vediamo un esempio.

log1 j 3log2 ej

32 k jlog2 j

32 k j

Logaritmo complesso - Pag. 14

2

log


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Esponenziale complessoAttraverso il logaritmo complesso si pu anche definire l'esponenziale con base complessa:

z

e logz

e logz j2 k j

Anche per l'esponenziale quando la base complessa otteniamo infiniti risultati.

Terminiamo il capitolo riguardante i numeri complessi con alcune osservazioni.

In campo complesso:

vi sono radici di numeri negativi

vi sono logaritmi di numeri negativi

seno e coseno possono avere moduli maggiori di 1

l'esponenziale complesso comprende seni e coseni

Esponenziale complesso - Pag. 15


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Esponenziale complesso - Pag. 16


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ex

cosx

Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni a valori complessi

Funzioni a valori complessi

Funzioni reali di variabile realeOccupiamoci inizialmente di funzioni reali di variabile reale, facendo per intervenire i numeri

complessi. Consideriamo

x tRee1 jtRe ete j tRe etcos tj sen tetcos t

si vede che otteniamo una funzione reale di variabile reale da un'espressione che per complessa.

Qualcuno si chieder perch non abbiamo subito preso l'espressione finale et

cos t . La risposta

che nel nostro corso capiter spesso di ottenere funzioni reali da funzioni complesse, quindi molto

importante capire come una funzione reale possa

essere rappresentata da una funzione complessa.

Mostriamo il grafico della funzione cercando di

capire come un grafico di questo tipo possa essere

immediatamente percepito senza passare attraverso

lo studio di funzione.

La funzione cos t nota. Ci sono dei punti in cui

essa assume valore 1, -1 e 0. In tutti gli altri punti

ha valori che sono compresi tra -1 e 1.

L'osservazione che se noi prendiamo i punti in

cui il coseno vale 1 la funzione prodotto assumer

il valore della funzione esponenziale. Possiamo

dunque prendere il grafico dell'esponenziale e segnarci i punti in cui cos t1 , che saranno ripetoi punti in cui la funzione prodotto varr e

t . Lo stesso ragionamento si pu fare per i punti in cui

cos t1 (prendendo per i valori di et , visto che l'esponenziale viene moltiplicato per -1).

Infine nei punti in cui cos t0 la funzione prodotto star sull'asse delle x. Per tutti i valori interniavremo dei valori compresi, sar dunque facile immaginare l'andamento della funzione. A titolo

informativo diciamo che il grafico che abbiamo trovato una modulazione in ampiezza di una

funzione periodica che ha un andamento sinusoidale.

Nel seguito useremo il termine segnale al posto del termine funzione, perch pi indicato nelle

applicazioni matematiche.

Vediamo un altro esempio di funzione reale di variabile reale che descriviamo attraverso i numeri

complessi:

x tIm ej tIm costj sentIm cos t j sen tsent

Dunque abbiamo rappresentato la funzione sent come esponenziale complesso.

Funzioni reali di variabile reale - Pag. 17


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Funzioni complesse di variabile realeVediamo adesso lefunzioni a valori complessi di variabile reale.

Sia x te s t con s j costante complessa fissata;

pur essendo t una variabile reale, i valori che la funzione assume ad ogni t sono dei numeri

complessi, quindi si tratta di una funzione che dai reali va ai complessi ( ).

x tes te

j te t

ej te

tcos t j sen t

Riflettiamo su cosa sono parte reale e parte immaginaria di questo numero

Reeste

tcos t

osserviamo che a parte le costanti e , che modificano quelle che sono le scale del nostronumero (riscalamento), questa funzione ha un grafico qualitativamente simile a quello che abbiamo

visto prima;

Imest

e tsin t

ed anche questa appare come una modulazione in ampiezza di una funzione sinusoidale. Vediamo

adesso quali sono modulo e argomento della funzione complessa

Modulo:

x teste t

ej te

te j te

t

ej t un esponenziale con all'esponente la sola parte immaginaria, dunque il suo modulo 1

e t un esponenziale con all'esponente la sola parte reale, dunque il suo modulo l'esponenziale

stesso e t .

Il modulo della nostra funzione complessa dunque un esponenziale reale.

Argomento:

arg x targ e j targ e t e j t t

dunque l'argomento ha un comportamento lineare ( una retta passante per l'origine).

Funzioni complesse di variabile reale - Pag. 18


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x t

t0

Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni periodiche

Funzioni periodicheUna funzione periodica tale se si verifica la seguente uguaglianza

x tx tT

Infatti aggiungere una costante reale alla nostra variabile t, significa traslare la nostra funzione a

sinistra di T , dal momento che la funzione traslata uguale alla funzione stessa ne consegue che

la funzione periodica di periodo T . Risulta immediato osservare che se T il periodo di

una funzione, risultano essere periodi della stessa funzione anche i suoi multipli, ovvero:

x tx tk T con k

se x t non una funzione costante e T il pi piccolo numero reale positivo, per il quale

si hax

t

x

t

T

allora T dettoperiodo fondamentale o lunghezza d'onda.Vediamo un esempio.

Quello rappresentato in figura un segnale

periodico di periodo T (traslando lafunzione del periodo se ne ottiene una uguale)

Richiamiamo adesso alcuni altri oggetti che sono

importanti nella descrizione di una funzione

periodica:

T periodo

1

T f frequenza T

1

f

2

T frequenza angolare

T2

Nel caso dell'esempio avendo T si ottengono

f1

T

1

2

T

2

2

TRUCCO: nelle funzioni sinusoidali il valore della frequenza angolare corrisponde al

coefficiente della variabile t.

Funzioni periodiche - Pag.19


24/206

x t

t0

Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni periodiche

Vediamo cosa succede raddoppiando la frequenza.

Osservando il grafico, vediamo che abbiamo

ottenuto una funzione periodica con periodo

fondamentale che esattamente uguale alla met

del precedente (per anche il vecchio periodo

rimane periodo della funzione anche se non pi

fondamentale).

Funzioni periodiche - Pag.20


25/206

ex

cosx


Funzioni a valori complessi

Funzioni reali di variabile realeOccupiamoci inizialmente di funzioni reali di variabile reale, facendo per intervenire i numeri

complessi. Consideriamo

x tRee1 jtRe ete j tRe etcos tj sen tetcos t

si vede che otteniamo una funzione reale di variabile reale da un'espressione che per complessa.

Qualcuno si chieder perch non abbiamo subito preso l'espressione finale et

cos t . La risposta

che nel nostro corso capiter spesso di ottenere funzioni reali da funzioni complesse, quindi molto

importante capire come una funzione reale possa

essere rappresentata da una funzione complessa.

Mostriamo il grafico della funzione cercando di

capire come un grafico di questo tipo possa essere

immediatamente percepito senza passare attraverso

lo studio di funzione.

La funzione cos t nota. Ci sono dei punti in cui

essa assume valore 1, -1 e 0. In tutti gli altri punti

ha valori che sono compresi tra -1 e 1.

L'osservazione che se noi prendiamo i punti in

cui il coseno vale 1 la funzione prodotto assumer

il valore della funzione esponenziale. Possiamo

dunque prendere il grafico dell'esponenziale e segnarci i punti in cui cos t1 , che saranno ripetoi punti in cui la funzione prodotto varr e

t . Lo stesso ragionamento si pu fare per i punti in cui

cos t1 (prendendo per i valori di et , visto che l'esponenziale viene moltiplicato per -1).

Infine nei punti in cui cos t0 la funzione prodotto star sull'asse delle x. Per tutti i valori interniavremo dei valori compresi, sar dunque facile immaginare l'andamento della funzione. A titolo

informativo diciamo che il grafico che abbiamo trovato una modulazione in ampiezza di una

funzione periodica che ha un andamento sinusoidale.

Nel seguito useremo il termine segnale al posto del termine funzione, perch pi indicato nelle

applicazioni matematiche.

Vediamo un altro esempio di funzione reale di variabile reale che descriviamo attraverso i numeri

complessi:

x tIm ej tIm costj sentIm cos t j sen tsent

Dunque abbiamo rappresentato la funzione sent come esponenziale complesso.

Funzioni reali di variabile reale - Pag. 17


26/206


Funzioni complesse di variabile realeVediamo adesso lefunzioni a valori complessi di variabile reale.

Sia x te s t con s j costante complessa fissata;

pur essendo t una variabile reale, i valori che la funzione assume ad ogni t sono dei numeri

complessi, quindi si tratta di una funzione che dai reali va ai complessi ( ).

x tes te

j te t

ej te

tcos t j sen t

Riflettiamo su cosa sono parte reale e parte immaginaria di questo numero

Reeste

tcos t

osserviamo che a parte le costanti e , che modificano quelle che sono le scale del nostronumero (riscalamento), questa funzione ha un grafico qualitativamente simile a quello che abbiamo

visto prima;

Imest

e tsin t

ed anche questa appare come una modulazione in ampiezza di una funzione sinusoidale. Vediamo

adesso quali sono modulo e argomento della funzione complessa

Modulo:

x teste t

ej te

te j te

t

ej t un esponenziale con all'esponente la sola parte immaginaria, dunque il suo modulo 1

e t un esponenziale con all'esponente la sola parte reale, dunque il suo modulo l'esponenziale

stesso e t .

Il modulo della nostra funzione complessa dunque un esponenziale reale.

Argomento:

arg x targ e j targ e t e j t t

dunque l'argomento ha un comportamento lineare ( una retta passante per l'origine).

Funzioni complesse di variabile reale - Pag. 18


27/206

Appunti di Capuzzo Alessandro - Polinomi di Fourier

Polinomi di FourierI seguenti polinomi

Pn t0k1

n

kcos k tksenk t

Pn t0k1

n

ksenk tk

Pn tkn

n

kej k t

sono sommatorie delle armoniche elementari che abbiamo appena studiato.

Osserviamo che la frequenza di ciascun addendo k volte la frequenza fondamentale, quindi

possiamo dire che la frequenza angolare di tutto il polinomio uguale a . I polinomi di Fourierhanno dunque

T periodo fondamentale

1

T f frequenza fondamentale T

1

f

2

T frequenza angolare fondamentale T

2

in k=1 e tutti gli altri addendi hanno periodo e frequenze che sono multipli di questi.

Tutte le considerazioni che abbiamo fatto per le armoniche si possono fare anche per i polinomi di

Fourier, in particolar modo vorremmo richiamare la seguente:

se kk*

con k0

allora abbiamo la piena equivalenza tra i polinomi nelle tre forme, in quanto il polinomio nella

forma complessa di fatto un polinomio reale, sono verificate perci le uguaglianze

kkk*2Rek

kj

k

k

* 2 Imk

00

Esempio 1 :onda triangolare

Consideriamo il seguente polinomio

Pn t1

2

kn , ko

n1k1

k22

ej 2k t

Polinomi di Fourier - Pag.25


28/206


osserviamo subito che k1k1

k22

la frequenza angolare del polinomio 2 , quindi

T2

osserviamo anche che il termine 1k1 vale -2 per k dispari e zero per k pari

Prendiamo adesso il polinomio per n = 1

P1t1

22

2ej 2t

2

2e

j 2t

molte volte comodo esprimere il polinomio in termini di seno e coseno, abbiamo

P1t1222ej 2t2

2ej 2t12 22 e

j 2 tej 2 t12 42 cos2 t

Analogamente possiamo calcolare il polinomio per n = 3

P3t1

22

92ej 6 t

2

2ej 2 t

2

2e

j 2 t2

92e

j 6 t

mettiamo in evidenza alcuni termini

P3t1

24

2cos2 t

4

2cos6 t

Vediamo i grafici.

P1t

P3t

P5t



29/206


P7t

Aumentando n si accentua la vicinanza del polinomio di Fourier al segnale triangolare.

Esempio 2 : onda quadra.

Pn t kn , ko

nj

k1k1e j k t

la frequenza angolare 1, quindi

T22

Calcoliamo i polinomi

P1t2 j

ej t

2 j

e

j t

mettendo in evidenza2 j

otteniamo

P1t2 j

ej tej t2 j

2 j sent4 j

j sent

P3t2 j

3ej 3t

2 j

ej t

2 j

e

j t2 j

3e

j 3 t

P3t4

3sen3 t

Vediamo i grafici.

P1t



30/206


P3t

P5t

P7t

Questa volta abbiamo un'onda quadra. Anche in questo caso, all'aumentare di n ci si avvicinasempre pi al segnale di base.

Esempio 3 : onda a dente di sega.

Pn t1 kn , ko

n1

kj e

j k t

osserviamo che , T2 , f1

2

P1t11

j e

j t1

j e

j t12

sen t

P2t11

2j e

j 2 t1

j e

j t1

j e

j t1

2j e

j 2 t11

sen2 t

2

sen t

Vediamo i grafici.

P1t



31/206


P3t

P5t

P7t

Energia di un polinomio di FourierVediamo adesso cos' l'energia di un polinomio di Fourier

Pnt2

o

T

Pnt2dt=

o

T

knn

kej k t

2

dto

T

knn

kej k tkn

n

k*ej k tdt=

o

T

hn

n

h ej h tkn

n

k*ej k tdt=oT

hn

n

kn

n

hk*e

j hk tdtquando h diverso da k siamo sicuri che l'integrale zero, in quanto l'esponenziale ha proprioperiodo T. Rimane dunque solo il caso in cui h=k che porta a

Pnt2

o

T

kn

n

k2dtT

kn

n

k2

Questo risultato ci dice che l'energia di un polinomio di Fourier strettamente legata ai suoi

Energia di un polinomio di Fourier - Pag.29


32/206


coefficienti.

Se invece vogliamo esprimere l'energia nel caso in cui ci troviamo di fronte a polinomi di Fourier

nella forma reale sufficiente ricordare la relazione tra i coefficienti:

essendo k12 k j k e ricordando che 00 (la sommatoria comincia da 1), si ha

Pnt2T0

2T

2k1

n

k2k

2

Polinomio di Fourier di x(t)Da ci che abbiamo visto, possiamo dire che sembrerebbero esserci dei polinomi di Fourier in

qualche misura associati a delle funzioni. Vediamo in che modo questo pu essere fatto.La strada quella di cercare un polinomio di Fourier in modo che la sua differenza con il segnale x

(t) abbia un'energia minima:

x tPnt2

minima

Vediamo con qualche calcolo come fatto il polinomio di Fourier che ha questa caratteristica.

Indichiamo con

ck1

T

0

T

x tej k tdt

il coefficiente del polinomio di Fourier cercato.

Partiamo dalla definizione di energia

Pnt2

0

T

x tPnt2dt=

ricordiamo che il quadrato di una quantit complessa uguale a tale quantit moltiplicata per il

proprio coniugato

=0

T

x tPn tx tPnt*dt=

ricordiamo inoltre che il complesso coniugato di due addendi uguale al complesso coniugato di

ciascun addendo, poi sviluppiamo il prodotto

=0

T

x tPn tx t*Pn t

*dt=

=0

T

x t2Pnt2x*tPn tx tPn* tdt

adesso dobbiamo esplicitare Pnt :

Pn tkn

n

kej k t

e sostituirlo nell'integrale

Polinomio di Fourier di x(t) - Pag.30


33/206


=0

T

x t2 dt

energia di x(t)

0

T

Pnt2dt

energia di Pnt

kn

n

k0T

x*tej k tdt

T ck*

k*

0

T

x tej k tdt

T ck

ricordando dunque le definizioni di energia di una funzione e di un polinomio di Fourier, possiamoscrivere

=xc t2T

kn

n

k2

kn

n

kT ck*k* T ck=

raccogliamo la T e dentro la sommatoria aggiungiamo e togliamo ck2ck

2:

=xc t2T

kn

n

k2kck

*k*ckck

2

kckk*ck

*

ck2

=

=xc t2Tkn

n

ck2Tkn

n

kck k*ck* =

=xc t2T

kn

n

ck2T

kn

n

kck2

Riflettiamo adesso sul risultato ottenuto. Siamo partiti dalla differenza tra le energie del segnale edel polinomio, dicendo che la loro differenza doveva essere minima.

Osserviamo che

il primo addendo l'energia di x(t), che data.

ck un coefficiente che si calcola ed ha valori ben precisi a seconda della funzione x(t). k invece un valore che possiamo cambiare, in quanto fa parte proprio del polinomio di

Fourier che vogliamo trovare.

Dunque i primi due addendi non cambiano al variare di k , perch sono legati ad x(t), mentre ilterzo addendo cambia il suo valore ed essendo un modulo lo cambia tra numeri positivi. Possiamodunque dire che la differenza minima quando minimo il terzo addendo, che minimo quando

uguale a zero. Per cui deve essere

kck1

T

0

T

x tej k tdt

Questa espressione dunque molto importante perch ci fornisce il coefficiente del polinomio diFourier di x(t). Diamo dunque un nome a questo polinomio associato ad x(t) e ricapitoliamo la sua

espressione:

Xntxn

n

ckej k t

Ricordiamo anche che siamo partiti da una funzione periodica x(t) di periodo T. Trovata questa

espressione per un segnale complesso, il passaggio ai segnali reali rispetta gli stessi rapporti che cisono per i polinomi di Fourier gi visti:

Xnta0k1

n

akcos k tbksenk t



34/206


akckck*

1

T

0

T

x tejk tdt1

T

0

T

x tejk tdt1

T

0

T

x tejk tejk tdt

akckck*

2

T

0

T

x tcosk tdt , k 0

allo stesso modo

bkj ckck*

2

T

0

T

x t senk tdt k0

Ricapitolando si hanno le tre forme

Forma a x ta0k1

akcos k tbksenk t

a0c0

1

T0T

x tdt

akckck*

2

T

0

T

x tcosk tdt , k 0

bkj ckck*

2

T

0

T

x t senk tdt k0

Forma b x ta0k1

rksenk tqk

rkak2bk2

qkarctan

a

k

bk

se bk0

Forma c x tk

ckejk t

c0a01

T

0

T

x tdt

ck1

2akj bk

1

T

0

T

x tejk tdt k0 ckck*

k0

Osservazione 1Nel calcolo dei coefficienti di un polinomio di Fourier di un segnale x(t) interviene il calcolo di un

integrale tra 0 e T di una funzione periodica y(t). Fare questo integrale la stessa cosa che fare un

integrale tra t0 e t0T , come si vede dal grafico



35/206


0 T t0 t0T

Geometricamente evidente che le due aree sono uguali. Con semplici passaggi possibiledimostrarlo anche analiticamente.

Lo scopo di questa osservazione che quando noi andiamo a cercarci i coefficienti del polinomio di

Fourier, possiamo farlo nell'intervallo pi comodo.

Generalmente l'applicazione pi usata di questa osservazione la seguente:

0

T

y tdtT2

T2

y tdt

Osservazione 2

Abbiamo visto che

0x tPnt2xc t

2Tkn

n

ck2T

kn

n

kck2

Tkn

n

ck2xc t

2

Questa viene chiamata disuguaglianza di Bessele ci dice che l'energia del polinomio di Fourier

associato ad un segnale x(t) sicuramente minore o uguale all'energia del segnale stesso.



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Appunti di Capuzzo Alessandro - Serie di Fourier

Serie di Fourier

Funzioni continue a trattiUna funzione x(t) si dice continua a tratti in un intervalloI =[a,b] se continua inIeccetto che in

un numero finito di punti tia ,b e inoltre

lim x tt t

i

-

esiste finito

lim x tt t

i

+

esiste finito

limx tta+

esiste finito

limx ttb-

esiste finito

Diciamo per esempio che i segnali considerati nei paragrafi precedenti (onda triangolare, ondaquadra, onda a dente di sega, ...) sono delle funzioni continue a tratti.

Se esistono i limiti descritti sopra infatti, le funzioni, nell'intervallo I, avranno un numero finito di

discontinuit (che sono discontinuit di 1 specieovvero di tipo salto, appunto perch esistono finitiil limite destro e sinistro, anche se diversi).

Nei paragrafi precedenti ci siamo occupati di vedere cos' la differenza tra l'energia di un segnaleperiodicox(t) ed il rispettivo polinomio di Fourier. Abbiamo visto che essa

xc tXnt2xct

2Tkn

n

ck2

a partire da questo presupposto vogliamo fare la seguente riflessione: se pensassimo di prendere

degli n sempre pi grandi, cosa succederebbe dell' energia della differenza? Bene, per n che tende

all'infinito essa potrebbe tendere a zero. In questo caso (per n ) si ha l'identit di Parseval:

xct2T

k

ck2

questa identit riguarda una serie.

L'identit di Parseval si verifica se la funzione x(t) periodica e continua a tratti .

Si usa anche scrivere la seguente uguaglianza

x tk

ckej k t

nel senso della energia

Intendiamo x(t) uguale alla serie del secondo membro nel senso che la differenza tra x(t) e la

sommatoria finita tra -n ed n (che viene detta ridotta n-sima) tende a zero quando n tende a piinfinito.

Norma e prodotto scalareNon sembrerebbe molto evidente il legame con i vettori, ma c'. Vediamo in che senso. La radice

Norma e prodotto scalare - Pag.35


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quadrata dell'energia di un segnale si chiamanorma o norma quadratica.

xct : norma quadratica

L'uguaglianza vista prima x tk

cke

j k t

che era nel senso della energia, pu dunque essere definita un' uguaglianza nel senso delle norme (setende a zero una quantit, tende a zero anche la sua radice quadrata).

Si pu dire anche che la serie di Fourier, se x(t) continua a tratti, converge in norma quadratica

a x(t).Ipotizzando adesso che (come al solito) x(t) sia periodica di periodo T, definiamo il suo prodotto

scalare con un segnaley(t) anch'esso periodico.

x t, y t0

T

x ty*tdt prodotto scalare tra due funzioni definite in T

NOTA : E' lecito mettere il coniugato diy(t) in quanto si intendey(t) come un segnale reale che pu

benissimo essere espresso come funzione di variabile complessa; beninteso che se manca la parte

immaginaria, il coniugato di un numero reale non altro che il numero reale stesso.

Se noi facciamo il prodotto scalare dix(t) con s stessa, otteniamo

x t, x t0

T

x tx*tdt

0

T

x t2

dtx t2

osserviamo dunque che c' un legame tra la norma quadratica ed il prodotto scalare: la norma

quadratica di un segnale il prodotto scalare di questo segnale per s stesso. Possiamo dunque

sfruttare questi nuovi strumenti per riprendere alcune considerazioni fatte in precedenza. Facciamo

il prodotto scalare delle seguenti armoniche elementari

ej k t, ej h t0

T

ej k t

ej h t

dt0

T

ej kh t

dt

se hk l'integrale vale 0 (essendo la funzione periodica)

se hk l'integrale vale T

dunque se le due funzioni sono uguali (h=k), il loro prodotto scalare uguale al periodo, se sonodiverse, nullo. Ricordiamo che la definizione di prodotto scalare di due vettori, dice che esso

nullo se questi sono ortogonali. Quindi, rispetto alla definizione che qui abbiamo dato di prodotto

scalare, possiamo dire che due armoniche distinte che siano diverse tra di loro,sono ortogonali .

Ricordando la formula che ci descrive il coefficiente di un polinomio di Fourier

kck1

T

0

T

x tej k tdt , la possiamo riscrivere nel seguente modo, sfruttando la definizione

di prodotto scalare appena data

kck1

Tx t, ej k t

si pu dunque interpretare il coefficiente come la proiezione della funzione x(t) sulla componente

ej k t (tale il prodotto scalare tra due vettori).

Si riesce in questo modo a costruire tutta una serie di relazioni tra i polinomi di Fourier con le stesse

regole che governano i vettori.

Norma e prodotto scalare - Pag.36


38/206


Traslazionisia il segnale periodico

x tx tT continuo a tratti e siano

ck1

T

0

T

x tej k tdt i suoi coefficienti e sia

x tk

ckej k t

la sua serie di Fourier.

e supponiamo di traslarlo di t0 :

x tx tt0

otteniamo, risolvendo il semplice seguente integrale (lascio al lettore il compito di farlo)

ck1T

0

T

x tej k t

dtckej k t0

e quindi la serie di Fourier traslata

x tk

ckej k t

ej k t0

Riscalamento (dilatazione, omotetia)sia il segnale

x tx tT continuo a tratti e siano

ck1

T

0

T

x tej k tdt i suoi coefficienti e sia

x tk

ckej k t

la sua serie di Fourier.

e supponiamo di riscalarlo di a , con a0

x tx a t

si osserva subito che questo significa modificare la frequenza angolare. Si ottiene, per quanto

riguarda i coefficienti di Fourier checkck

e la serie risulta essere

x tk

ckej ka t

cambia la frequenza angolare

Riscalamento (dilatazione, omotetia) - Pag.37


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Convergenza puntuale e convergenzauniforme

Analizziamo adesso alcuni problemi riguardanti la convergenza delle serie in generale. Le due

questioni di cui vogliamo parlare sono appunto la convergenza puntuale e la convergenza uniforme.

Convergenza puntualePrendiamo delle funzioni che dipendano da un indice (possiamo benissimo pensare anche a dei

polinomi di Fourier, se n va da pi a meno infinito possiamo pensare a delle serie di Fourier)

ynt con n oppure n

facciamo la ridotta k-sima

S ntk0

n

ykt

e facciamo poi il limite di questa ridotta per k che tende a pi infinito

Stk0

ykt

Supponiamo adesso di avere l'intervallo I con tI , di fissare un ben preciso puntodell'intervallo dato t0 e di fare la sommatoria calcolata in t0

S nt0k0

n

ykt0

Si osserva abbiamo ottenuto una serie numerica, perch ynt0 un ben preciso numero chedipende appunto da y1 , y2 e cos via, calcolati in t0 . Allora ha senso porsi la questione di

vedere cosa succede nel limite della successione numerica che abbiamo ottenuto

limk

S nt0

Se questo limite esiste finito e vale S, viene detto somma della serie nel senso puntuale.

limk

S t0S t0k0

ykt0

Se il limite esiste finito per ogni toI , allora possiamo generalizzare il concetto e parlare diconvergenza puntuale in un intervallo

S tk0

ykt con tI

Cerchiamo adesso di portare questo discorso alle serie di Fourier. Abbiamo la serie

x tk

ckej k t

con T2

(uguaglianza sempre nel senso della energia)

se anche in questo caso fissiamo un punto t0 e andiamo a considerare il polinomio di Fourier

calcolato nel puntot

0

Convergenza puntuale e convergenza uniforme - Pag.38


40/206


Xnt0kn

n

ckej k t0

possiamo dire che abbiamo anche in questo caso una successione numerica, e per n che tende ad

infinito abbiamoXtXt0

se e solo se sono verificate le seguenti condizioni:

x t continua a tratti in 0,T

x t regolarizzata

x 't anch'essa continua a tratti in 0,T

NOTA: Una funzione regolarizzata se nei punti di discontinuitt

i si ha la seguente propriet:

con ti0,T e limt t-

x tx ti- e lim

t t+x tx ti

+

risulta x tix ti

+x ti-

2

e se agli estremi del suo intervallo si ha

x 0+lim

t0+x t e x T

-limtT-

x t

e risultax 0x T

x 0+x T-

2

A queste condizioni la serieconverge puntualmente al segnale x(t) .

Se ci avviene l'uguaglianza

x tk

ckej k t

nel senso puntuale.

ConvergenzauniformePrendiamo anche in questo caso delle funzioni che dipendano da un indice (possiamo benissimo

pensare anche a dei polinomi di Fourier)ynt con n oppure n

facciamo la ridotta k-sima

Sn tkn

n

ykt

e facciamo poi il limite di questa ridotta per k che tende a infinito

Stk

ykt

vogliamo vedere in che modo questa sommatoria si avvicina al limite.



41/206


Facciamo la seguente considerazione

Se esiste una funzione S(t) per cui 0 n0 : nn0 e tI si ha

S tS ntS t

si dice che S nt per n converge a S t in modo uniforme in I.

Dunque la serie corrispondente converge in modo uniforme (o uniformemente).

Vediamo graficamente cosa vuol dire:

per tutti gli n > n0 , e tutti i S t

t0I , le ridotte S nt , devono S nt

essere comprese tra S t S t

S t e S t .

Se questo si verifica si parla di

convergenza uniforme.

Prendiamo adesso una serie di FourierXtXtT

se un punto ti punto di discontinuit per Xt , allora la serie non pu convergereuniformemente in un intorno di ti .

La convergenza uniforme dunque una richiesta di convergenza pi restrittiva della richiesta di

convergenza puntuale.

La diretta conseguenza di questo fatto sar che negli intorni dei punti di discontinuit, la serie di

Fourier produrr delle difficolt nella convergenza (questo interessante dal punto di vista

applicativo).

Se invece la funzione continua in un intervallo I e la sua derivata prima esiste ed continua atratti, allora abbiamo la convergenza uniforme.

Osservazione.

Prendiamo il coefficiente di una serie di Fourier.

ck1

TT2

T2

x tejk tdt 2

T

moltiplichiamo ambo i membri per il periodo



42/206


TckT2T2

x tejk t

dt

se consideriamo k2 k

Tpossiamo scrivere

TckT2T2

x tejktdt Xk

dove X k il nostro integrale calcolato in k .

Diamo dei valori a T, per esempio

prendendo T2 e k1 k1 oppure

prendendo T10 e k1 k0,2

osserviamo che pi grande il periodo, pi piccola k .

Variando k si ottengono infiniti valori discreti tanto pi vicini quanto T maggiore.

Prendiamo adesso una funzione qualunque, non periodica ed integrabile in un intervallo I, ad

esempio una funzione x t tale che assume valore 1 nell'intervallo 1,1 e 0 fuori daquesto intervallo.

Osserviamo che seT

21 l'integrale del coefficiente si riduce al seguente

Xk11

ej

ktdt e

jkt

jk11

cosktj sinktjk 11

j cosktsinktk 11

=

sinkk sin kk2sinkk

(il coseno si semplifica da s)

Come abbiamo detto per T molto grande si pu pensare di ottenere valori discreti sempre pi

ravvicinati fino ad ottenere quasi il grafico di una funzione continua.



43/206


Possiamo dunque, operando sulle serie di Fourier, pensare di operare anche su funzioni non periodiche facendo tendere il periodo ad infinito (ottenendo cos funzioni continue nella

variabile k ) ed introducendo dunque la trasformata di Fourier, della quale ci occuperemoper pi avanti.



44/206

Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni di variabile complessa

Funzioni di variabile complessaRiprendiamo adesso il cammino che avevamo intrapreso parlando di funzioni complesse,introducendo le

Funzioni reali di variabile complessaEsempi di funzioni di variabile complessa a valori reali sono

fz z

fz arg z

fz Re z

fz Im z

Osserviamo che in realt ci possiamo collegare alle funzioni di pi variabili, perch la variabilecomplessa equivale a 2 variabili reali. Si hanno:

fz z = x2y2

fz arg z = arctgy

x

fz Re z = x cos

fz Im z = y sin

Ragionare sulle funzioni di variabili complesse ci porta pertanto nel campo delle funzioni di pivariabili dove, ovviamente, le cose sono un po' pi complesse che su di una sola variabile. Facciamodei richiami con un paio di esempi.

Esempio.

fz 1

zacon a

Se vogliamo rappresentare questa funzionedobbiamo metterci nello spaziotridimensionale. Il piano il luogo dove si

muove la variabile z e le quote, ovvero laterza dimensione, saranno i valori che lafunzione assume al variare di z . Il graficosar dunque quello a fianco.

Funzioni complesse di variabile complessa - Pag.45


45/206


Facciamo un altro esempio.

fz ezexj yex ej yex

La funzione di fatto un esponenziale reale,infatti costante iny.

Funzioni complesse di variabilecomplessa

Facciamo subito alcuni esempi

fz z

fz z*

fz ez

Essendo la funzione di variabile complessa, come abbiamo gi detto non si pu pi parlare difunzione di una variabile ma il nostro discorso si traduce in funzioni di due variabili. Non si pu pidunque parlare di derivata della funzione, ma bisogna parlare di derivate parziali, o derivatedirezionali, o comunque bisogna riprendere la definizione di derivata per dare una definizione alladerivata di variabile complessa.

Vediamo in che modo possiamo ragionare sulle derivate. Parliamo di rapporto incrementale.Vediamo come si definisce il rapporto incrementale per una variabile complessa

limz0

fzz fz

z

dove con z abbiamo indicato un incremento della variabile z , a partire da un punto z0 . Sicapisce subito che non sufficiente aver fissato la lunghezza dell'incremento, per determinarne lanatura, in quanto esso stesso pu assumere una qualsiasi direzione nel piano complesso; dunque illimite dipender dalla direzione lungo la quale si prende l'incremento.

Consideriamo, per dimostrare tale asserzione, il rapporto incrementale delle funzioni di esempioprecedenti

Esempio 1.



46/206


Prendiamo la funzione

fz z*

e facciamo il limite del rapporto incrementale lungo differenti direzioni.

Ricordiamo innanzitutto che zxjy

Iniziamo a fare il limite in una direzione parallela all'asse delle x ( y0 ). Otteniamo

limz0y0

fzxfz

x

Adesso applichiamo il rapporto incrementale alla funzione fz z*

limx0

fzx*z*

x lim

x0

z*xz*

x1

Proviamo adesso a fare il limite in una direzione parallela all'asse delle y ( x0 ). Otteniamo

limz0x0

fzjyfz

jy

Adesso applichiamo il rapporto incrementale alla nostra funzione

limy0

fzjy*z*

jy lim

y0

z*jyz*

jy1

Ci accorgiamo dunque che il limite del rapporto incrementale dipende decisamente dalla direzione

lungo la quale viene calcolato.Osservazione

limz0y0

fzz fz

z fx la derivata parziale fatta rispetto ax.

limz0x0

fzz fz

z f

jy la derivata parziale fatta rispetto ay, con la costante1j

.

I calcoli si potevano infatti fare senza fare il limite del rapporto incrementale, ma semplicemente

esprimendo la funzione complessa in forma cartesiana e derivando rispetto ad x ed y.Riprendiamo la funzione fzz*xj y e facciamone le derivate parziali (moltiplicando la

derivata parziale della y per il coefficiente1j

, pensando la funzione come una funzione di due

variabili reali in cui intervengono dei coefficienti immaginari (che sono costanti):

xj y

x1

xj y

jy1

Esempio 2.

Prendiamo la funzione



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fz ez

Iniziamo a fare il limite in una direzione parallela all'asse delle x ( y0 ). Otteniamo

limz0y0

fzxfz

x

Adesso applichiamo il rapporto incrementale alla nostra funzione

limx0

ezxez

x lim

x0

ez ex1x

ez

Osserviamo che abbiamo un limite di quelli fondamentali (che fa 1) moltiplicato per la costante ez .

Muoviamoci adesso lungo la direzione parallela all'asse delle y ( x0 ). Otteniamo

limz0x0

fzjyfz

jy

cio

limy0

ezjyez

jy lim

y0

ez ejy1

jy

a questo punto si potrebbe trarre subito la stessa conclusione raggiunta calcolando il precedentelimite (cio che siamo di fronte ad un limite fondamentale), ma siccome in questo casointervengono coefficienti immaginari che non erano presenti quando nei moduli precedentistudiavamo i limiti, eseguiamo qualche ulteriore passaggio facendo intervenire la formula di Eulero

limy0

ez ejy1jy

limy0

ez cosyj seny1jy

limy0

ez cos

y1jy

j seny

jy abbiamo cos due limiti fondamentali

ez 1j limy0

cosy1y

limy0

seny

y ez 0j1ezCi si accorge che la derivata parziale fatta rispetto ad x d lo stesso risultato della derivata parzialefatta rispetto a jy .

Osservazione finale.

Abbiamo visto che ci sono funzioni complesse di variabile complessa per le quali, cambiando ladirezione di derivazione, cambia il valore del limite del rapporto incrementale, mentre sembrerebbeche ce ne siano altre per le quali, anche cambiando la direzione dell'incremento, il valore del limitedel rapporto incrementale non cambia.

Integrali di linea in campo complessoVogliamo dare significato all'integrale

fz dz



48/206


Pensiamo a fz come a una funzione decomposta in due funzioni reali di variabile reale nelseguente modo fzu x , y j v x , y

e nello stesso modo trattiamo il differenziale diz

dzdxj dyL'integrale risulta dunque essere il seguente

fz dz u x , y j v xy dxj dy =

u x , y dxv x , y dyjv x , y dxj u x , y dy =

separando la parte reale dalla parte immaginaria

u x , y dxv x , y dy j v x , y dxu x , y dy =

questi sono integrali di linea di forme differenziali e si possono semplificare se possibile

esprimere la curva , o come una funzione della solax, o come una funzione della solay, ovveronel seguente modo

: x , g x dxdx , dyg 'xdx oppure

: hy, y dydy , dxh 'ydy

Applicando la trasformazione ai nostri integrali otteniamo per esempio per il primo

u x , y dxv x , y dy x0x1

u x , g xdxv x , g x g 'xdx

quindi il nostro integrale di linea di partenza non altro che la somma di due integrali di una sola

variabile.Applichiamo ad alcuni esempi il calcolo dell'integrale di linea e facciamolo su due diverse curve, e 1 , che hanno per la caratteristica di avere in comune i punti di partenza e di arrivo.

Proviamo con z* facendo il calcolo osserviamo che z*dz1z

*dz .

Proviamo con ez facendo il calcolo osserviamo che ez

dz1 ez

dz .

Dunque ci sono funzioni complesse di variabile complessa per le quali cambiando il cammino diintegrazione cambia il valore dell'integrale, mentre ce ne sono altre per le quali, pur cambiandoil cammino d'integrazione, il valore dell'integrale sembrerebbe non cambiare.



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Appunti di Capuzzo Alessandro - Funzioni analitiche

Funzioni analiticheLe considerazioni fatte nel paragrafo precedente ci consentono di proseguire il nostro cammino con

altre considerazioni molto importanti.

Definizione 1

Supponiamo di avere fz :

se limz0

fzz fz

zesiste indipendentemente dalla direzione dell'incremento

allora si dice che la funzione fz : derivabile e si scrive

f 'z limz0

fzz fz

z

si usano anche le seguenti scritture equivalenti

f 'z D fzdf

dz

Ci sono dunque dei casi di funzione complessa in cui si pu parlare di derivata.

Definizione 2

Supponiamo di avere fz :

essa dettaolomorfain (regione connessa e regolare di )se z, f 'z (cio se in tutta la regione esiste la derivata, nel senso che abbiamo dato inDefinizione 1

Prendiamo per esempio la funzione

fz z*

abbiamo visto che d risultati differenti a seconda che noi facciamo il limite del rapporto

incrementale in una direzione parallela all'asse x o parallela all'asse y, quindi la funzione non haderivata, dunque non olomorfa.

Invece la funzione

fz ez

ha un limite del rapporto incrementale che non dipende dalla direzione (come avevamo infatti

dedotto dai conti fatti nei paragrafi precedenti) ed dunque derivabile in tutto ed iviolomorfa.

Teorema.

Funzioni analitiche - Pag.49


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Le seguenti affermazioni sono equivalenti

1) fz olomorfa in , (cio esiste f 'z )

2) fz infinite volte derivabile ed analitica

3) fz soddisfa le condizioni di Cauchy-Riemann: fx

1

j fy

Facciamo qualche commento al teorema.

La condizione di olomorfia chiedeva l'esistenza della derivata prima in una certa regione delpiano complesso. Il teorema ci dice che allora fz infinite volte derivabile. Questo per noiuna grossa sorpresa, perch nello studio delle funzioni di variabile reale a valori reali, l'esistenza

della derivata prima non diceva nulla circa l'esistenza della derivata seconda, mentre per le funzioni

di variabile complessa, l'esistenza della derivata indica automaticamente che la funzione derivabile per ogni ordine ed quindi analitica (anche se dobbiamo precisare che l'uso del termine

analitica utilizzato quanto la serie di Taylor converge con un raggio di convergenza non nullo, il

teorema ci dice che olomorfia ed analiticit sono equivalenti).

La condizione 3 invece ci dice che se la derivata rispetto ad x e la derivata rispetto ad y esistono e

sono uguali, a meno del fattore moltiplicativo1

j, allora la funzione olomorfa. Questa di gran

lunga la condizione pi debole e pi semplice da verificare.

Consideriamo ad esempio la funzione

fz ez

abbiamo gi visto che

ez

xez

ez

jyez

dunque la condizione di Cauchy-Riemann soddisfatta. La funzione olomorfa e analitica.

Facciamo un breve cenno di dimostrazione.

E' evidente che2) analiticit 1) omotetia

(se esistono tutte le derivate, esiste anche la derivata prima)

1) omotetia 3) cond. di C.-R.

(se esiste la derivata prima, esistono le derivate parziali)

Dimostriamo adesso che



51/206


3) cond. Di C.-R. 1) omotetia

Scriviamo il differenziale della funzione fz :

df fx

dx fy

dy

e ricordando la condizione di Cauchy-Riemann

fx

1

j fy

j fx

fy

sostituiamo

df fx

dxj fx

dy fx

dxj dy fx

dz

questo ci permette di concludere che

df

dz fx

ovvero la funzione derivabile.

Rimandiamo la dimostrazione che

1) omotetia 2) analiticit

a quando faremo le serie di Taylor.

Ricordando che una funzione complessa pu anche essere vista nel seguente modo

fu x , y j v x , y

la condizione di Cauchy-Riemann pu essere cos riscritta, separando la parte reale e la parte

immaginaria di u e di v

ux

vy

vx

uy

Grazie a questa forma di scrittura possiamo fare alcune ulteriori considerazioni, prendiamo la prima

di queste equazioni e facciamo la derivata rispetto allax:

Dx ux vy

2 u

x2

2 vyx

deriviamo adesso rispetto allay la seconda equazione

Dy vxuy

2 vxy

2 u

y2

ne consegue immediatamente che

2 u

x2

2 u

y2ovvero



52/206


2 u

x22 u

y20 uguaglianza che si usa anche scrivere nel seguente modo

2

x2

2

y2

u0

L'operatore tra parentesi tonde viene descritto col simbolo e viene chiamato operatore diLaplace.

L'equazione di Laplace dunque

u0

e, grazie ai passaggi che abbiamo appena svolto possiamo dire che se soddisfatta la condizione diCauchy Riemann, l'equazione di Laplace risulta vera.

Quando una funzione reale di due variabili reali soddisfa l'equazione di Laplace, possiamo dire che

unafunzione armonica.

Un ragionamento analogo ci porta a dire che anche la parte immaginaria di un'equazione complessa,

che soddisfa la condizione di Cauchy-Riemann, una funzione armonica.

Vediamo un esempio. Abbiamo

fz z ej z con zxj y

Ci chiediamo se una funzione analitica ed il modo pi semplice per verificarlo controllare se

soddisfa la condizione di Cauchy-Riemann

fx

ej zj z e j z fjy

ej z1j

z ej zej zj z e j z

Le due derivate parziali sono uguali, dunque la condizione di Cauchy-Riemann verificata, lafunzione analitica.

Decomponiamo adesso la funzione in parte reale e parte immaginaria

fzxj y ej xyxj y ey ej xxj y ey cos xj sen x =

= x ey

cos xy ey sen x

u x , y

j y ey cos xx ey sen x

v x , y

Lasciamo allo studente l'esercizio di verificare l'uguaglianza di Cauchy-Riemann secondo gli altridue possibili procedimenti.

Formule integrali di CauchyIniziamo parlando del teorema di Cauchy.

Supponiamo di essere nel piano complesso e di avere una regione omega composta da una o picurve chiuse, semplicemente connessa (nel senso che due punti qualsiasi di questa regione possono

essere collegati tra loro da una curva tutta contenuta in omega). Diciamo inoltre che ha bordo e rappresentiamolo nel seguente modo:

Formule integrali di Cauchy - Pag.52


53/206


1

2

3

4

sta per bordo orientato.

Per di ciascuna di queste curve

importante dare l'orientamento: sidice che un bordo orientato

positivamente, quando percorrendoquesto bordo la regione rimane alla

sinistra del percorso.

Nel caso in figura, per avere un

bordo orientato positivamente, la

curva 1 deve essere percorsa insenso antiorario mentre le altre curve

(i buchi) devono essere percorse in senso orario.

In regioni di questo tipo vale il seguente

Teorema di Cauchy

se fz analitica in 1, allora

fz dz0

Facciamo un cenno di dimostrazione.

Abbiamo fzdz

per riuscire a comprendere meglio questo integrale lungo un percorso , bisogna esplicitareparte reale e parte immaginaria di fz , per cui

fzdz u x , y j v x , y dxj dy =

u x , y dxv x , y dyj v x , y dxu x , y dy

A questo punto, descrivendo come una funzione di x, a valori in y, (con le opportunescomposizioni della curva, se non avesse le caratteristiche di una funzione) questi integrali di linea

possono essere visti come la somma (o sottrazione) di integrali ordinari. C' per un risultato noto

che riguarda proprio gli integrali in cui compaiono solo funzioni reali, ed il seguente.

Si intendono le funzioni u e v come le componenti di un vettore, ed allo stesso modo dx e

dy , per cui l'integrando non altro che il prodotto scalare di due vettori e viene esplicitato, nelnostro caso, come segue.

Prendendo per esempio il primo integrale si ottiene

uvdxdyse le funzioni u e v sono definite in tutta la regione delimitata da e sono ivi continue ederivabili con derivata continua, allora l'integrale nullo se vero che

1 Perch ci possa essere detto necessario avere analiticit in una regione pi grande che contiene sia che ilsuo bordo.


1 2

3

4


54/206


v

xuy

0

ma questa una delle condizioni di Cauchy-Riemann e siccome noi abbiamo supposto all'inizio che

fz analitica in siamo sicuri che verificata.Allo stesso modo pu essere trattato il secondo integrale, quindi la loro somma uguale a zero, e

questo prova il teorema di Cauchy2.

Vediamo adesso quale interesse possiamo avere per il teorema di Cauchy con un esempio

esplicativo.

Supponiamo di essere in campo complesso e di avere una regione dove fz analitica, e

supponiamo di indicare con 1 il contornodella regione. Supponiamo infine di voler fare

l'integrale su 1 di fz in dz . A

questo punto dobbiamo fare attenzione al fattoche l'integrale non nullo, in quanto la regione

non tutta analitica (il buco interno un punto

dove le propriet della funzione non sono

conosciute).

Chiamiamo 2 una circonferenza tuttacompresa dentro come quella rossa infigura, allora possiamo applicare il teorema di

Cauchy al seguente integrale

1 2 fz dz0

ma c' una propriet estremamente importante che riguarda i cammini di integrazione ordinari incampo reale. Ricordiamo che quando si doveva calcolare l'integrale

a

b

f dta

c

f dtc

b

f dt

si poteva spezzare il cammino di integrazione nella somma di due integrali.

Poich abbiamo visto che l'integrale di linea in campo complesso si riduce ad integrali ordinari in

campo reale, dove questa propriet vale, possiamo affermare che

12 fzdz1 fz dz2 fz dz0

e di nuovo in modo analogo a quello che succede per gli integrali ordinari, possiamo dire che se

scambiamo gli estremi di integrazione, cambiamo il segno all'integrale, quindi cambiando il verso di

percorrenza di 2 cambiamo il segno all'integrale, per cui

1 fz dz2 fzdz1 fz dz2 fz dz0

possiamo dunque concludere che

1 fz dz2 fz dz

La straordinaria importanza di questa conclusione sta nel fatto di verificare che fare l'integrale su

2 Evidentemente rinviando i dettagli ad un problema che classico in ambito reale e che riguarda i campi vettoriali.


1

2


55/206


56/206


z0 , allora

fz01

2 j

fz

zz0dz

Vediamo qualche cenno di dimostrazione,

calcolando l'integrale della formula.

Prendiamo la regione (per semplicitla prendiamo senza buchi ma la questionenon modifica il ragionamento che stiamo

facendo), con il suo bordo orientato .Osserviamo subito che fare l'integrale su

, poich la regione tutta dianaliticit, la stessa cosa che fare

l'integrale su di una circonferenza di centro z0 e raggio , proprio grazie al teorema diCauchy. Cerchiamo dunque di rappresentare i punti di : prendiamo l'equazione di unacirconferenza di raggio sul piano complesso z ej ed effettuiamo una traslazione per

imporre che il suo centro sia z0 , ottenendo zz0ej

. Il suo modulo dunque

zz0 , ed il suo differenziale, derivando ovviamente il secondo membro rispetto a ,

diventa dzj ejd .

L'integrale che noi vogliamo calcolare allora diventa

fz01

2 j

0

2 fz0 ej

ejj ejd

1

2

0

2

fz0 ejd

osserviamo adesso che, proprio grazie al teorema di Cauchy, questo integrale sempre uguale,qualunque sia (purch la circonferenza di raggio stia dentro la regione ). Facendoallora il limite per che tende a zero di tutto l'integrale, continueremo ad avere lo stessorisultato, otteniamo dunque

fz01

2

0

2

fz0dfz0

22fz0

Si dimostrato quindi che l'uguaglianza valida.

Facciamo adesso una interessante riflessione che mette in evidenza l'importanza di questa formula.

Sia fz analitica in , z0 , allora possiamo dire, grazie alla formula di Cauchy,che la sua conoscenza determinata dalla conoscenza dei suoi valori nel bordo.

Riscriviamo infatti la formula utilizzando uno zeta generico e non fissato, cambiando il nome allavariabile indipendente

fz1

2 j

f

zd

quindi possiamo conoscere il valore di un generico puntoz se conosciamo la funzione sul bordo.

1 Formula integrale di Cauchy - Pag.56

z0


57/206


2 Formula integrale di Cauchysia fz analitica in , z0 , allora

12 j

fzzz0dz0

Se il punto esterno, il valore del nostro integrale nullo.

E' dalle formule integrali di Cauchy che noi possiamo dedurre il fatto che una funzione analitica ha

infinite derivate.

Supponiamo di avere una funzione olomorfa, condizione necessaria per la validit delle formule diCauchy, e studiamo la

Esistenza di derivate di ogni ordine di f(z)Partiamo dalla prima formula integrale di Cauchyfz

1

2 j

f

zd

e deriviamo parzialmente rispetto a dx

fx

D 12 jf

xj y d 12 j

f1

xj y 2

d1

2 j

f

z 2

d

per cui

fx

1

2 j

f

z 2

d

deriviamo adesso rispetto aj dy

f

jyD 12 j

f

xj y d 12 j

fj

xj y 2

dj

2 j

f

z 2

d

per cui

fjy

j2 j

fz 2d fy

12 j

f z 2d

le due derivate parziali danno lo stesso risultato e questa uguaglianza dice che la funzione soddisfala condizione di Cauchy-Riemann.

Questo ci permette di dire che

df

dz fx

fy

e quindi

Esistenza di derivate di ogni ordine di f(z) - Pag.57


58/206


f 'z 1

2 j

f

z 2

d

Partendo adesso dall'espressione di derivata prima di fappena ottenuta, possiamo derivare ancora

ottenendo

f ' 'z 2

2 j

f

z 3

d

e se si prosegue cos, constatando che le due derivate parziali sono uguali, si giunge alla

fnz

n!

2 j

f

z n1

d

espressione della derivata n-sima, che anche la giustificazione del fatto che una funzione

complessa, se ha derivata prima, ha ogni ordine di derivata.

Esistenza di derivate di ogni ordine di f(z) - Pag.58


59/206

Appunti di Capuzzo Alessandro - Sviluppi in serie

Sviluppi in serie

Sviluppi in serie di TaylorSia fz analitica in , z0 .

Costruiamo la circonferenza centrata in z0 , in modo tale che sia tutta contenuta in edabbia raggio . Abbiamo dimostrato nelcapitolo precedente che la funzione fz ha infinite derivate in ogni punto di .

Dimostriamo adesso che sotto queste ipotesi

vale la seguente

z :zz0 fz n0

anzz0n

dove anfnz0

n!

Queste sono potenze con esponente positivo e si chiamano serie di Taylor e c' una perfetta analogia

con le serie di Taylor gi studiate in ambito reale (al posto della z c'era lax). E' importante per lostudente imparare ad esplicitare ( bene farlo spesso le prime v

LIBRO Metodi Per l'Ingegneria

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