method forze e cedimenti

7/23/2019 method forze e cedimenti

http://slidepdf.com/reader/full/method-forze-e-cedimenti 1/8

Capitolo7 METODO DELLE FORZE - IMPOSTAZIONE GENERALE

57

X1

cL

EJ

7. METODO DELLE FORZE – IMPOSTAZIONE GENERALE

INFLUENZA DEGLI SPOSTAMENTI DEI VINCOLI

SPOSTAMENTI ASSEGNATI DEI VINCOLI

Supponiamo che alcuni vincoli abbiano spostamenti / rotazioni assegnati icη

Esempio (caso particolare di una trave senza carico):

1° alternativa operativa: nel sistema principale quei vincoli sono stati

soppressi.

Allora ici η η = e non vi sono ulteriori osservazioni

Nell’esempio: 11110c Xη η η += ; 0)casonostronel(10 =η ;

11c1X η η =

2° alternativa operativa: nel sistema principale quei vincoli non

sono stati soppressi.

Allora 0i =η e gli spostamenti (noti) di quei vincoli rimangono

nel sistema principale e la loro influenza deve essere messa in conto, accanto a quella dei carchi.

Ciò si può fare con considerazioni cinematiche (il sistema principale è isostatico). Si può fare anche

come applicazione della formula – già vista in precedenza – che il teorema dei lavori virtuali

fornisce per determinare spostamenti in presenza di cedimenti vincolari.

Nell’esempio, essa si riduce a: 1c1 C⋅−= η η , dove 1C è la reazione – nel sistema principale caricato

con 1X1 = - del vincolo avente lo spostamento cη .

Nel caso generale di sistema principale con più vincoli cedevoli, la formula si generalizza in

∑ ⋅− j

ijicj Cη , essendo icjη il cedimento dello j-esimo vincolo e Cij la reazione dello stesso

vincolo nel sistema principale caricato con 1X i = .

Le equazioni di Müller-Breslau diventano: ∑∑ ⋅++⋅−=k

k ik j

0iijicji XC η η η η .

EJX1

L

L

EJ

c




58

X1

K

K X1

X1

SPOSTAMENTI ELASTICI DEI VINCOLI

Appoggio cedevole elasticamente Incastro cedevole elasticamente

Supponiamo che lo spostamento / rotazione di alcuni vincoli non sia assegnato come nel caso

precedente, ma dipenda dall’azione (forza o coppie) esercitata dalla struttura sul vincolo.

Supponiamo inoltre che la dipendenza sia elastica e lineare.

Scriviamo allora, per un vincolo cedevole elasticamente e linearmente:

iic AK ⋅=η , dove:

vincolosulstrutturadellaazione A

vincolodelitàdeformabildicostante K

vincolodelcedimento

i

ic

=

=

=η

( N.B. sovente si scrive invece ici 'K A η ⋅= , doveK

1'K = è la costante di rigidezza del vincolo )

Poiché ii CA −= , essendo iC la reazione del vincolo sulla struttura si ha:

iic CK ⋅−=η

1° alternativa operativa: nel sistema principale quei vincoli

sono stati soppressi.

ici η η = ;

nell’esempio: 111101 XXK ⋅+=⋅− η η

2° alternativa operativa: nel sistema principale quei vincoli

non sono stati soppressi.

Allora gli spostamenti di quei vincoli rimangono nel sistema principale e la loro influenza deve

essere messa in conto (v. Esempi).

K

K




59

INFLUENZA DEGLI SPOSTAMENTI DEI VINCOLI – ESEMPI

Esempio 1

1° Procedimento

Equazione di Müller-Breslau:

11110c X⋅+= η η η

010 =η

( )EJ3

LL

3

LL

EJ

1dz

EJ

zLdz

EJ

M 33

33

L

0

L

0

22

111 =

−+⋅=

−== ∫ ∫η

3

c

11

c1

L

EJ3X

η

η

η ⋅==

2

c1

L

EJ3LX)0(M η ⋅−

=⋅−=

2° Procedimento

Equazione di Müller-Breslau

11110C1 X0 ⋅++= η η η

010 =η

EJ3

LL

3

LL

EJ

1dz

EJ

L

z1

dzEJ

ML

0

L

0

2

2

111 =

−+⋅=

+−

== ∫ ∫η

=C1η (composizione cinematica)L

Cη −=

=C1η (lavori virtuali).L

1;

L

1C CC11 ⋅−== η η

1c X

EJ3

L

L0 ⋅+−=

η

2

C1

L

EJ3X

η ⋅=

2

C1

L

EJ3X)0(M

η ⋅−=−= (come col 1° Procedimento)

0

0

L

X1

L

EJ=cost

c

L

( 11)

-L M1 = - (L-z) _

X1

C

1 z

_

( lC)

L

( 11)

1

-l

C

1CL

lC =L

C

1

M1 = -1+L




60

EJ = cost

q

L0 L K

X1

q

+

_

1

qL

1 L

2

qL -

2

M =L-1 z1

1

qL

2M0 = -

2+qLz-

2qz

2

1X

K

q

(= X del 1° procedimento)

qL

(X = 1)

L

_

(carico q)

-1

1

1

1

L

1

1

K

L

rotazione

1

L

rotazione

M = -1+1

L

z

1K

L

2

qL

2

qL

2

+qL

2

Esempio 2

N.B.Mentre un cedimento vincolare, indipendentemente dai carichi, sollecita sempre una struttura

iperstatica, un cedimento elastico la sollecita solo se essa è caricata.

1° Procedimento Equazione di Müller-Breslau:

111101 XXK ⋅+=⋅− η η

( )EJ8

qLdzzL

2

qzqLz

2

qL

EJ

1dz

EJ

MM 4L

0

22L

0

0110 −=−

−+−⋅=

⋅= ∫∫η

( )EJ3

LdzzL

EJ

1dz

EJ

M 3L

0

L

0

22

111 =−⋅== ∫ ∫η

( )

+⋅

=

+

=+

−=

KEJ3

L8

qL

K EJ3

L

EJ8

qL

K X

3

4

3

4

11

101

η

η

2° Procedimento Equazione di Müller-Breslau

2

qzz

2

qLM

2

0 −= 11110 X0 ⋅+= η η

2

qK

EJ24

ql

2

qK dz

L

z1z

2

qz

2

qL

EJ

1

L

1

2

qLK dz

EJ

MM

3L

0

2

L

0

0110

⋅−−=⋅−

+−⋅

⋅−⋅⋅=

=⋅⋅−⋅

=

∫

∫η

22

L

0

L

0

2

2

2

111

L

K

EJ3

L

L

K dz

L

z1

EJ

1

L

K dz

EJ

M+=+

+−⋅=+= ∫ ∫η

2

3

11

101

L

K

EJ3

L2

qK

EJ24

qL

X

+

⋅+==

η

η

Reazione in ( L ): =− L

X

2

qL1

+⋅

=KEJ

3

L8

qL3

4




61

C

K

SPOSTAMENTI DEI VINCOLI – OSSERVAZIONI

1) Spostamenti elastici.

2) Spostamenti assegnati.

1)Spostamenti elastici.

Lo spostamento elastico può corrispondere a:

a) situazioni reali in cui il vincolo è espressamente costruito per essere cedevole elasticamente.

• Esem pio: dispositivi di isolamento dinamico antisismico di costruzioni.

• Altro esempio: nodi di costruzioni in acciaio progettati per costituire un incastro solo parziale

delle travi e per i quali è possibile definire una legge teorica momento-rotazione.

b)

schematizzazioni teoriche dell’influenza dell’elasticità di un elemento strutturale sul

comportamento di una struttura.

• Esempio: ricordando che per una trave caricata assialmente si ha:

XEAh ⋅=η

hEA

X

X




62

I due sistemi sottostanti sono equivalenti, ponendoEA

hK =

2)Spostamenti assegnati.

Lo spostamento assegnato può corrispondere a:

a)

casi reali, in cui si analizza una struttura esistente nella quale il cedimento cη è stato misurato.

b) calcoli di struttura in cui si vuole analizzare l’influenza di un eventuale cedimento per il quale si

ipotizza un valore cη .

c)casi reali, in cui il cedimento viene imposto (es: mediante martinetti) per bilanciare meglio le

sollecitazioni di una struttura.

L

EA hEJ L EJ K




63

Esempio 1

11110 X0 ⋅+= η η

( )EJ

qL

24

5dz

EJ

MM2simmetriala per

4C

A

0110 ⋅−=

⋅== ∫η

( )EJ

L

6

1dz

EJ

M2simmetriala per

3C

A

2

111 ⋅−=== ∫η

qL4

5X

11

101 =−=

η

η

( )8

qL

2

LqLqL

8

3M

22

C −=−⋅=

N.B.Il momento8

qLM

2

c −= è lo stesso che si

ha in due travi con appoggio-incastro ( per

ragioni di simmetria C non ruota e quindi

equivale ad un incastro perfetto).

Il diagramma M ha una punta in C.

0M1M

AC 2

qz

qLz

2

−

z2

1

⋅−

CB 2

qzqLz

2

−

( )zL1z2

1−⋅+⋅−

A

A

B

X1

L

C

L

C B

1

2

qL

CM

1

_

C +

2

1

qL

M0

qL

A+

L

C C

L

qL2

_

8-

qL8

33

qL

8-

4

2

5qL

8

33

A+

-qL

_

C

8

2

B

M

B




64

(Esempio 1 seguito)

Imponiamo uno spostamento cη :

111C X⋅=− η η

∫ −===C

A

312

11 EJL61dz

EJM2) precedentecasoneleomc(η

C311C1L

EJ6X η η η −=−=

( ) C2c3 L

EJ3L

L

EJ3CM η η =⋅=

Momento totale:

I valori di M sono più bilanciati.

A B

1

A2

A

M

1

1

C

X

_

1

C

L Lc

C

1

B2

B

C

3EJ

L3 L2

3EJC

3EJ3L

C

X =

+

L1 3 C

6EJ

M

C

A

A

+

(complessivo)

+ C

_

_

B

(carico)

-qL

8

2

3EJ

B

+

3EJ

L2

qL

8- +

2

C

A+

C L2 C

B

C

method forze e cedimenti

Documents

Transcript of method forze e cedimenti