Meridiane Solari - Matematicamente · 1.3.6 Declinazione parete e piano inclinato . . . . . . . . ....

Meridiane Solari:

un’interpretazione geometrica

Diego Alberto, Marzo 2005

Ringraziamenti

a Gabriella,

desidero ringraziare Roberto Garello, Bruno Leone e Marco Massazza per il tempodedicatomi.

Un pensiero va a Natale Maffioli e all’amore che ha saputo trasmettermi per ilpassato in generale.

Agli uomini non importa quanto nobilmente vivano,ma solo quanto a lungo,

benche sia nelle possibilita di tutti vivere nobilmentee invece nelle possibilita di nessuno allungare la vita

[Seneca, 40 a.C. - 50 d.C]

II

Indice

Ringraziamenti II

1 Meridiane Solari: un’interpretazione geometrica 11.1 Che cos’e una meridiana solare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Arco diurno solare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Tipi di meridiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 L’ombra proiettata dallo stilo e le diverse numerazioni orarie 41.3.2 Meridiane Orizzontali con gnomone parallelo all’asse terrestre 101.3.3 Meridiane Orizzontali con gnomone perpendicolare a terra . . 121.3.4 Meridiane Verticali con gnomone parallelo all’asse terrestre . 131.3.5 Meridiane Verticali con gnomone perpendicolare al muro . . . 161.3.6 Declinazione parete e piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . 19

A Simulazione di meridiana con Matlab 25

B Un esempio di meridiana reale 34

C Qualche motto... 37

Bibliografia 38

III

Capitolo 1

Meridiane Solari:un’interpretazione geometrica

1.1 Che cos’e una meridiana solare

Per meridiana solare intendiamo un orologio in grado di indicare l’ora, giornoper giorno, anno per anno sfruttando l’ombra di uno stilo proiettata su di un piano(verticale, orizzontale o inclinato) dal Sole durante il suo moto apparente diurno (eannuale) nella Sfera Celeste.

Fin dall’antichita l’uomo ha cercato di misurare il tempo per i motivi piu svariaticome individuare specifici periodi dell’anno: per effettuare la semina, il raccolto,per fare previsioni di eclissi, di inondazioni, oroscopi,... sfruttando le tecniche piudisparare, si pensi ai monoliti di Stonehenge del II millenio a.C. che permettevanodi segnalare i cambi di stagione, agli obelischi egizi, ai giganteschi gnomoni indianie cinesi che venivano usati anche per prevedere le eclissi.

Gli annali cinesi raccontano infatti che nel 2169 a.C. gli astronomi imperiali Hoe Hi sotto il regno di Ciu-Kang vennero giustiziati mediante decapitazione per nonessere stati in grado di prevedere l’eclissi di Sole verificatasi quell’anno (la prima chesia stata registrata nella storia dell’astronomia).

Non bisogna dimenticare il ruolo divino ricoperto dal Sole presso molte popola-zioni per la sua luce, il suo calore e le caratteristiche fisiche che hanno impressionatotutti i popoli dell’antichita facendo sbocciare veri e propri culti religiosi.

Le meridiane possono essere solari, lunari o astronomiche; tutte servono perscandire il corso del tempo, nella trattazione che segue ci occuperemo delle meridianesolari.

Il termine tempo deriva dal greco temno e dal latino temperare, entrambi signi-ficano l’atto con cui qualcosa e diviso secondo ordine e misura.

1

1 – Meridiane Solari: un’interpretazione geometrica

1.2 Arco diurno solare

Ogni giorno il Sole descrive, nel suo moto apparente, un arco di circonferenza diampiezza che e funzione del periodo dell’anno considerato. Tale arco giace su unpiano la cui inclinazione dipende dalla latitudine del luogo considerato.

Nei capitoli §1.5 e §1.61 abbiamo ricavato le coordinate locali di altezza e azimutdel Sole, istante per istante per il luogo ed il periodo dell’anno considerati.

Combinando tali valori possiamo rappresentare l’arco diurno solare della spe-cifica giornata.

Ecco le equazioni che ci permettono di passare al grafico tridimensionale, sitratta di un passaggio da coordinate sferiche (R,Az,Al = raggio, azimut, altezza) acoordinate cartesiane con origine in (0,-1,0), con riferimento alla fig. 1.172:

x = R · sin(Az) · cos(Al)

y = −R · (1− cos(Az) · cos(Al))

z = R · sin(Al)

Ecco il grafico, in rosso l’andamento al Solstizio d’Estate, in verde quello d’Inverno,in blu la data considerata (25/7, localita Foglizzo Canavese(To)), le ore sono localie solari. L’osservatore e posto all’intersezione dei punti cardinali.

-0.5

0

0.5

-1.5

-1

-0.5

00

0.2

0.4

0.6

0.8

19

18

17

16

15

W

asse X

N

1413

Arco descritto dal Sole nel giorno considerato (in blu)

S

12

E

11

5

10

6

242322212043210

9

7

8

asse Y

asse

Z

1vedi Il Sole: un amico caloroso2vedi Il Sole: un amico caloroso

2


1.3 Tipi di meridiane

I principali tipi di meridiane solari che tratteremo nel seguito sono:

• orizzontali

• verticali

Approfondiremo inoltre la differenza tra stilo perpendicolare (al piano su cui vieneproiettata l’ombra) e stilo parallelo all’asse terrestre.

Nella figura 1.1 mostriamo come siano duali le situazioni di meridiana orizzontalee meridiana verticale entrambe con stilo parallelo all’asse terrestre: si osservinomassimi e minimi delle ombre ai solstizi; per le meridiane con stilo perpendicolarevale lo stesso ragionamento, cambia solo la direzione dell’ombra.

PN

piano

cerchio orario

stilo

ombra

estate

equin

inverno

cerchio orario

estate

equin

inverno

piano orizzontale

piano verticale

ombra stilo

Figura 1.1.

3


1.3.1 L’ombra proiettata dallo stilo e le diverse numerazioniorarie

In questa sezione cercheremo di dimostrare che, fissata una specifica ora del giorno(ad esempio le 10 del mattino), il luogo dei punti che sulla maridiana indica quell’orae un segmento, ovvero una porzione di retta.

Consideriamo per primo il caso di una meridiana orizzontale con stilo (in verdenella figura) parallelo all’asse terrestre: una determinata ora durante l’anno, costi-tuisce un segmento poiche la direzione dell’ombra (giorno per giorno) e la stessa,varia solo la lunghezza dell’ombra, in quanto la posizione del Sole sull’orizzonte (fis-sata l’ora) varia quotidianamente, vedi cap. §1.53. Supponiamo che siano le 10 del

S N

W

E

Z

PN

latα

Mestate

Mequin

Minver oα

oα

oα. Cinverno

Cestate .

. Cequinozio

Figura 1.2.

mattino, quindi la distanza in gradi dal riferimento (il mezzogiorno) corrisponde a2 · 15o = 30o, abbiamo cosı fissato il valore di αo. Non dimentichiamo che l’asse

3vedi Il Sole: un amico caloroso

4


che contiene tutti i centri delle circonferenze, che individuano la traiettoria dei variarchi solari diurni, e parallelo all’asse terrestre ed individua un diametro nella SferaCeleste.

Come possiamo notare, fissare l’angolo αo (vedi fig. 1.2), di giorno in giorno,corrisponde a sezionare la Sfera Celeste individuandone uno spicchio.

La posizione del Sole alla stessa ora, nel corso dell’anno, traccia un arco sullaSfera Celeste che prende il nome di cerchio orario.

Se lo stilo (in verde nella figura) e parallelo all’asse terrestre ed e elemento (= econtenuto all’interno) della retta che e orientata verso il Polo Nord (ovvero parallelaall’asse terrestre), allora il cerchio orario di una qualsiasi ora della giornata e lasuddetta retta sono elementi di un piano (elemento a sua volta di un fascio propriodi piani avente come generatrice proprio tale retta) vedi fig. 1.3.

PN piano

cerchio orario

stilo

ombra

estate

equin

inverno

Figura 1.3.

Questo piano conterra la retta che individua la direzione dei raggi del Sole,inoltre, contenendo anche tutto lo stilo (non solo la punta), conterra anche l’ombra(in nero nella figura) dello stilo, indipendentemente dalla lunghezza dell’ombra che efunzione della posizione del Sole nel cerchio orario (= periodo dell’anno). Le ombreconvergono nel punto in cui viene piantato lo gnomone nel suolo, quindi, da un puntodi vista pratico, se vogliamo individuare la direzione (= retta, abbiamo bisogno di

5


due punti) dell’ombra per ogni ora della giornata abbiamo bisogno di conoscere ivalori di altezza e azimut (ora per ora) di una singola giornata. Ovviamente lalunghezza dell’ombra dipende dalla posizione del Sole nel cerchio orario, cioe dalperiodo dell’anno.

Per essere sicuri di non dimenticare le prime ore del mattino (visibili solo inestate), conviene sfruttare le coordinate solari del dı piu lungo: il Solstizio Estivo.Volendo conoscere per ogni ora gli estremi dell’ombra, bisogna ricavare la direzionecon la tecnica della retta per due punti, dove il secondo punto (ovviamente unoper ogni ora) si riferisce alle ombre proiettate al Solstizio Invernale (ovviamentetroveremo gli estremi delle sole ore invernali).

Analogamente iterando questa tecnica possiamo evidenziare le curve che delimi-tano la lunghezza dell’ombra mese per mese (ecco come individuare le costellazioni incui transita il Sole nell’anno). Possiamo concludere che con questo tipo di meridianesia piu semplice ottenere precisione poiche anche sbagliando la lunghezza dello stilo(ma non l’inclinazione) l’ora segnata rimane corretta, non risulta possibile inveceleggere il mese (che dipende dalla lunghezza dell’ombra).

S N

W

E

Z

PN

latα

Mestate

Mequin

Minver oα

oα

oα. Cinverno

Cestate .

. Cequinozio

Figura 1.4.

6


Queste ultime considerazioni sono valide solo per meridiane con gnomone paral-lelo all’asse terrestre, siccome in quelle con stilo perpendicolare lo gnomone non econtenuto nel piano individuato da un cerchio orario e dal diametro dalla Sfera Ce-leste che punta al Polo Nord, solo la punta dello gnomone e elemento di tale piano.Quindi la direzione dell’ombra alla stessa ora cambia di giorno in giorno (fig. 1.4) ele ombre di un cerchio orario (= della stessa ora durante l’anno) non convergono nelpunto dove si pianta lo gnomone, e quindi necessario usare la tecnica della retta perdue punti e considerare le coordinate solari di due giorni dell’anno; rimangono invecevalide le considerazioni che l’ombra di un cerchio orario sia un segmento (quindi unelemento di una retta) si vedano le figure 1.5, 1.6.

Un modo per riconoscere una meridiana (orizzontale o verticale) con gnomoneparallelo da una con gnomone perpendicolare e quello di osservare se le linee delleore convergono nel punto in cui viene fissato lo gnomone (parallelo) oppure no (per-pendicolare).

Passiamo alla descrizione delle diverse numerazioni delle ore ( = segmenti) chepossiamo trovare sulle meriadiane solari.

Le meridiane sono orologi che indicano l’ora usando come lancette l’ombra diuna sbarretta di ferro (stilo, o gnomone). Informano sulla data e sui segni zodiacalicon la lunghezza dell’ombra, sulle ore che mancano al tramonto del Sole, sulle oretrascorse dal sorgere del Sole o dalla mezzanotte con l’ombra (direzione ed estre-mita) dello gnomone:

le meridiane ad ore babilonesi , iniziano il computo delle ore dal sorgere delSole. Se l’ombra segna il numero 5, significa che il Sole e sorto da 5 ore, vedi fig.1.5.

Figura 1.5.

7


le meridiane ad ore italiche , hanno come riferimento il tramonto del Sole, cheavviene all’ora ventiquattresima. Ad esempio se l’ombra segna le 18, significa chemancano 6 ore al tramonto ( 24− 18 = 6 ) il quale rappresenta la fine di un giornoe l’inizio del seguente, vedi figura 1.6.

Figura 1.6.

le meridiane ad ore francesi o astronomiche , hanno come riferimento lamezzanotte. Ad esempio se l’ombra segna le 10, significa che la mezzanotte e passatada 10 ore, si tratta del sistema orario attuale dei nostri orologi da polso, vedi figura1.6.

Figura 1.7.

8


Ecco una meridiana4 reale che segna le ore in tutte e tre le convenzioni appenadescritte, fig. 1.8

Figura 1.8.

4castello Chiaves-Marchesi a Monale (Asti)

9


1.3.2 Meridiane Orizzontali con gnomone parallelo all’asseterrestre

Ecco un esempio di questa tipologia di meridiane5:

Figura 1.9.

Con riferimento alla figura 1.10 supponiamo di essere in una generica ora del mattinodi un giorno d’estate e cerchiamo di ricavare la direzione (DAH) e la lunghezza (AD)dell’ombra:noti valori di altezza (AL) e azimut (Az) del Sole in quello specifico giorno dell’annoora per ora (nei capitoli §1.5 e §1.66 li abbiamo trovati minuto per minuto)

• K2AN = SAK1 = Az in quanto opposti al vertice A

• DBH = K2AN = Az essendo corrispondenti poiche DB parallelo per costru-zione a K1K2 e tagliati dalla trasversale SN

5la fotografia e proprieta di MERIDIANE: le tecniche ed. la casa verde6vedi Il Sole: un amico caloroso

10


• CDB = AL non variando in pratica la latitudine tra A e D

• AB = l · cos(αlat) e CB = l · sin(αlat) APN e inclinato di αlat

• BD =CB

tg(AL)

• AD =√

AB2 + BD2 − 2 · cos(180o − Az) per il teorema di Carnot

• AD

sin(180o − Az)=

BD

sin(DAB)per il teorema di Eulero

• DAH = DAB = asin(sin(Az) · BD

AD

)• da un punto di vista pratico e piu comodo ricavare AD come ipotenusa di

DAH essendo AH = AD · cos(DAH) e DH = AD · sin(DAH)

S N

W

E

Z

PN

latα

Me

oα.

R

r

r

Ce

.

.l

B

D

K1

. A H Az

AL

Az Az

K2

C AL

Figura 1.10.

11


1.3.3 Meridiane Orizzontali con gnomone perpendicolare aterra

Osservando la figura 1.11, notiamo subito un legame tra questa tipologia di meri-diane e quelle orizzontali con gnomone parallelo di figura 1.10.

S N

W

E

Z

PN

latα

Me

oα.

R

r

r

Ce

.

.l

B

D

K1

. A H Az

AL

Az Az

K2

C AL

Figura 1.11.

Qui pero l’ombra e lunga BD e l’angolo e DBH ( = Az ), lo gnomone e lungoCB.

• BD =CB

tg(AL)

• da un punto di vista pratico e piu comodo ricavare BD come ipotenusa diDBH essendo BH = BD · cos(Az) e DH = BD · sin(Az)

12


1.3.4 Meridiane Verticali con gnomone parallelo all’asse ter-restre

Ecco un esempio di questo tipo di meridiane7:

Figura 1.12.

Questo caso puo essere schematizzato come in figura 1.13, notiamo lo gnomone (inverde) parallello alla retta per PN che e parallela all’asse terrestre.

7Cavalese (Trento), Palazzo Magnifica Comunita

13


E

N

S

Z

AL

Orizzonte locale

muro verticale

latα

Az

ombra stilo

W

PN

Figura 1.13.

Con riferimento alla figura 1.14, per ricavare la direzione e la lunghezza dell’om-bra (BD) individuiamo il triangolo rettangolo DBH, di cui BD rappresenta l’ipo-tenusa. Siamo interessati ai cateti DH e BH:

nel triangolo BCE, giacente su un piano perpendicolare sia al muro che a terra

• BC e lo gnomone parallelo all’asse terrestre

• BEC = 90o BCE = αlat EBC = 90o − αlat = αlat

• BE = BC · sin(αlat)

• CE = BC · cos(αlat)

14


E

S

AL

muro verticale

W

direzione raggi

N

PN

O

A

B

C D

E

Az

latα

H .

. .

Figura 1.14.

nel triangolo ECA, giacente su un piano perpendicolare al muro e parallelo aterra

• EAC = Az CEA = 90o ECA = 90o − Az = Az

• EA = CE · tg(ECA) = BC · cos(αlat) · tg(Az)

• CA =CE

cos(ECA)=

BC · cos(αlat)

cos(Az)

nel triangolo DAC, giacente su un piano perpendicolare a terra e inclinato rispettoalla direzione EW di una angolo pari ad Az

• CAD = 90o ADC = 90o − AL = AL DCA = AL

• AD = CA · tg(DCA) =BC · cos(αlat)

cos(Az)· tg(AL)

• EH = AD

Quindi i cateti DH e BH del triangolo DBH sono:

DH = EA = BC · cos(αlat) · tg(Az)

BH = BE + EH = BC

(sin(αlat) +

cos(αlat)

cos(Az)· tg(AL)

)

15


1.3.5 Meridiane Verticali con gnomone perpendicolare almuro

Un esempio di realizzazione di questo tipo di meridiane8

Figura 1.15.

Uno schema rappresentativo si puo osservare in figura 1.16. Da notare lo gnomone(in verde) perpendicolare al muro, parallelo alla direzione NS.

8Cavalese (Trento) Chiostro del Convento dei Francescani

16


E

N

S

Z

AL

Orizzonte locale

muro verticale

latα

Az

ombra stilo

W

PN

Figura 1.16.

E

S

AL

muro verticale

W

direzione raggi

N

PN

O

A

B

C D

E

Az

latα

H .

. .

Figura 1.17.

17


Dal grafico di figura 1.17 notiamo una certa similitudine con il caso precedente(fig 1.14):

• EC = lunghezza gnomone

• DH = EA = EC · tg(ECA) = EC · tg(Az)

• ECA = Az

• CA =EC

cos(Az)

• EH = AD = CA · tg(AL) =EC

cos(Az)· tg(AL)

DH ed EH rappresentano i cateti del triangolo EDH di cui ci interessa l’ipote-nusa DE, ovvero dell’ombra proiettata dallo gnomone. Anche in questo caso siamoriusciti a trovare un metodo che, al variare dei valori di altezza e azimut ora per ora,ci permette di ottenere direzione e lunghezza dell’ombra in funzione della lunghezzadello gnomone.

Un’ultima considerazione sulle meridiane verticali : il muro verticale su cui ven-gono disegnate potrebbe non essere perfettamente orientato con la direzione EW , sidice quindi che la parete declina verso Est o verso Ovest di un determinato numerodi gradi E o W ; si faccia riferimento alla sezione che segue §1.3.6.

Supponendo di avere declinazione nulla (cioe un muro perfettamente allineatoalla direzione EW ) queste meridiane permettono di leggere una qualsiasi ora delgiorno (sereno, ovviamente) solo da Equinozio d’Autunno a Equinozio di Primaverapoiche nel periodo primaverile ed estivo il Sole sorge tra Est e Nord e tramontatra Ovest e Nord; questo comportamento si nota anche osservando il grafico difigura 1.69 che tratta le ore di illuminazione in un anno per il luogo considerato:quando superiamo le 12 ore di illuminazione l’arco solare diurno supera la mezzacirconferenza e l’ombra dello gnomone non puo essere proiettata sul muro per le orecorrispondenti a valori di azimut superiori in modulo a 90o .

9vedi Il Sole: un amico caloroso

18


1.3.6 Declinazione parete e piano inclinato

Le condizioni dei paragrafi precedenti possono essere considerate ideali in quanto ilpiano, su cui vengono proiettate le ombre nelle diverse ore, puo non essere paral-lelo alla direzione Est-Ovest (per le meridiane verticali: declinazione) o non essereparallelo al piano dell’orizzonte locale (per le meridiane orizzontali: inclinazione).

In questa sezione considereremo condizioni non ideali per le sole meridiane congnomone perpendicolare al piano (declinato o inclinato) e ricaveremo la variazionedelle coordinate degli estremi delle ombre in funzione degli angoli di alterazione. Ilcaso di meridiane con gnomone parallelo e simile e si puo ricavare con ragionamentianaloghi.

Incominciamo ad individuare la declinazione della parete , un metodo puo essereil seguente, nell’esempio abbiamo declinazione W di µ gradi:

E

S

AL

muro verticale

W

N

PN

A

B C D

latα

O

µ

.

.

E

Figura 1.18.

con riferimento alla figura 1.18, in un qualsiasi giorno dell’anno a mezzogiorno locale(quindi Az = 0) abbiamo

• BD = lunghezza gnomone perpendicolare al muro declinato

19


• ED direzione parallela a NS e perpendicolare a EW

• BDE = µ angolo di declinazione

• con un filo a piombo, dall’estremita dell’ombra A conduciamo la verticaleindividuando C

• misuriamo CD, BD e noto

• BCD e retto per costruzione

• CDB = acos(

CD

BD

)

• µ = BDE = 90o − acos(

CD

BD

)Individuato µ, vediamo come varia l’ombra proiettata sul muro declinato:

E

S

AL

muro verticale

W

direzione raggi

N

PN

O

A B

C D

Az

latα

. .

µ

F

.

Figura 1.19.

• BD = lunghezza gnomone

• CBD = Az + µ

20


• CD = BD · tg(CBD) = BD · tg(Az + µ)

• CB =BD

cos(CBD)=

BD

cos(Az + µ)

• CAB = 90o − AL BCA = 90o ABC = AL

• CA = CB · tg(ABC) = BD · tg(AL)

cos(Az + µ)

come possiamo notare le due coordinate CA e CD che individuano il punto A (es-tremo dell’ombra AD) assomigliano molto a quelle trovate nel capitolo §1.3.5 e nerappresentano un caso generale.Ponendo µ = 0 abbiamo una meridiana verticale con gnomone perpendicolare su diuna parete a declinazione nulla e le equazioni delle coordinate dell’estremita dell’om-bra (punto A) coincidono formalmente con quelle trovate in §1.3.5 (a parte il nomedel segmento che individua lo gnomone nel grafico).

Consideriamo ora il caso di inclinazione sul piano dell’orizzonte per unameridiana orizzontale con gnomone perpendicolare.

Prima di tutto individuiamo tale anomalia, supponendo di essere anche qui amezzogiorno locale di una qualsiasi giornata dell’anno, da una proiezione lateraleotteniamo:

S

E=W

AL

Visione laterale perpendicolare

a NS

N

direzione raggi

A

B

F γ

P K

Figura 1.20.

l’incognita e l’inclinazione γ

21


• lo gnomone e lungo AB

• misuriamo l’ombra AF

• calcoliamo AFB = atg(

AB

AF

)• FPA = AL PAF = γ AFP = 180o − γ − AL

• AFB = 180o − AFP = γ + AL

• γ = AFB − AL

Un secondo metodo per calcolare l’angolo di inclinazione γ potrebbe essere quellodi condurre la verticale con il filo a piombo dalla punta dello gnomone, individuareil segmento AK sul piano inclinato e ricavare

γ = atg(

AK

AB

)essendo ABK = γ, come si puo facilmente verificare.

Noto γ, con riferimento alla figura 1.21 cerchiamo di calcolare le coordinate AF1

e AF2 dell’ombra AF

il triangolo DBC e parallelo al piano orizzontale

• DCB = 90o CBD = Az BDC = 90o − Az

• BC = AB · sin(γ) essendo CAB = γ

• DC = BC · tg(DBC) = AB · sin(γ) · tg(Az)

• DB = AB · sin(γ) ·√

1 + tg2(Az)

il triangolo EAG si trova sul piano inclinato di γ gradi

• EA = DC

• AG = AB ·tg(ABG) = AB ·tg(γ) essendo BAG = 90o e ABG = γ

• EG =√

EA2 + AG2 = AB ·√

sin2(γ)tg2(Az) + tg2(γ)

• EGA = asin(

EA

EG

)= asin

sin(γ) · tg(Az)√sin2(γ)tg2(Az) + tg2(γ)

= asin

√√√√ cos2(γ) · tg2(Az)

cos2(γ)tg2(Az) + 1

22


S

E

AL

N

direzione raggi

AB

γ W

C D

E

F

G

F1

F2

Az

Z

Figura 1.21.

nel trapezio CBGA, parallelo al piano per ZNS, abbiamo

• ACB = CBG = 90o CAG = 90o + γ AGB = 90o − γ

• CAB = γ BAG = 90o ABG = γ

• BG =AB

cosγ

nel trapezio DBGE, separato dal piano per ZNS di Az gradi, abbiamo

• EDB = DBG = 90o

• EGB = asin(

DB

EG

)= asin

sin(γ) ·√

1 + tg2(Az)√sin2(γ)tg2(Az) + tg2(γ)

= asin

√√√√cos2(γ) · (1 + tg2(Az))

cos2(γ)tg2(Az) + 1

• FBD = AL FBG = 90o − AL FGB = EGB

23


• BFG = 90o + AL− FGB =

= 90o + AL− asin

√√√√cos2(γ) · (1 + tg2(Az))

cos2(γ)tg2(Az) + 1

• FG = BG · sin(FBG)

sin(BFG)=

=AB

cosγ· sin(90o − AL)

sin[90o + AL− asin

(√cos2(γ)·(1+tg2(Az))cos2(γ)tg2(Az)+1

)]infine tornando al triangolo EAG

F1G = FG · cos(EGA)

AF1 = AG− F1G

AF1 = AB·

tgγ − cosAL

cosγ· 1

sin

[90o + AL− asin

(√cos2γ·(1+tg2Az)cos2γ·tg2Az+1

)]·cos

asin

√ cos2γ · tg2Az

cos2γ · tg2Az + 1

AF2 = FG · sin(EGA)

AF2 = AB·

cosAL

cosγ· 1

sin

[90o + AL− asin

(√cos2γ·(1+tg2Az)cos2γ·tg2Az+1

)]·√ cos2γ · tg2Az

cos2γ · tg2Az + 1

Se proviamo a sostituire γ = 0, stiamo considerando il caso di una meridianaorizzontale con gnomone perpendicolare a terra e le coordinate AF1 e AF2 corris-pondono a quelle trovate in §1.3.3 per le meridiane orizzontali.

Non possiamo usare questo modello per meridiane verticali poiche per γ = 90o

la proiezione della punta dello gnomone G non cade sul piano inclinato ma a terra(nelle equazioni difatti si trova il termine tg(γ) che fa perdere significato).

Anche questo lavoro e concluso, ci scusiamo se la terminologia non e stata semprecorretta, il nostro obiettivo era e rimane un’interpretazione geometrica di un’appli-cazione dell’osservazione del Sole. Ogni correzione, appunto o suggerimento saramolto gradita. Il mio indirizzo di posta elettronica e : [email protected] ,grazie per la cortesia dimostrata nel leggere pazientemente queste note.

24

Appendice A

Simulazione di meridiana conMatlab

Ecco un esempio di simulazione di una meridiana orizzontale, con gnomone paralleloall’asse terrestre, calcolata e simulata con Matlab 6.5 per la localita di FoglizzoCanavese.

Il giorno in cui vengono considerate le ore e il Solstizio Estivo (arco solare rosso),in verde possiamo osservare l’arco solare del Solstizio Invernale, gnomone in blu.

-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.6

-1

19

18

17

16

15

W

N

asse X

141312

S

E

11

5

10

6

242322212043210

9

7

8

asse Y

25

A – Simulazione di meridiana con Matlab

-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.6

-1

19

18

17

16

15

W

N

asse X

141312

S

E

11

5

10

6

242322212043210

9

7

8

asse Y

-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.6

-1

19

18

17

16

15

W

N

asse X

141312

S

E

11

5

10

6

242322212043210

9

7

8

asse Y

26


-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.6

-1

19

18

17

16

15

W

N

asse X

141312

S

E

11

5

10

6

242322212043210

9

7

8

asse Y

-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.6

-1

19

18

17

16

15

W

N

asse X

141312

S

E

11

5

10

6

242322212043210

9

7

8

asse Y

27


-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.6

-1

19

18

17

16

15

W

N

asse X

141312

S

E

11

5

10

6

242322212043210

9

7

8

asse Y

-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.6

-1

19

18

17

16

15

W

N

asse X

141312

S

E

11

5

10

6

242322212043210

9

7

8

asse Y

28


-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.6

-1

19

18

17

16

15

W

N

asse X

141312

S

E

11

5

10

6

242322212043210

9

7

8

asse Y

-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.6

-1

19

18

17

16

15

W

N

asse X

141312

S

E

11

5

10

6

242322212043210

9

7

8

asse Y

29


-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.6

-1

19

18

17

16

15

W

N

asse X

141312

S

E

11

5

10

6

242322212043210

9

7

8

asse Y

-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.6

-1

19

18

17

16

15

W

N

asse X

141312

S

E

11

5

10

6

242322212043210

9

7

8

asse Y

30


-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.6

-1

19

18

17

16

15

W

N

asse X

141312

S

E

11

5

10

6

242322212043210

9

7

8

asse Y

-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.6

-1

19

18

17

16

15

W

N

asse X

141312

S

E

11

5

10

6

242322212043210

9

7

8

asse Y

31


-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.6

-1

19

18

17

16

15

W

N

asse X

141312

S

E

11

5

10

6

242322212043210

9

7

8

asse Y

-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.6

-1

19

18

17

16

15

W

N

asse X

141312

S

E

11

5

10

6

242322212043210

9

7

8

asse Y

32


Ingradiamo il particolare delle ombre sul piano orizzontale, nei grafici precedentiabbiamo preferito dare una maggiore importanza e visibilita alla posizione del Solerispetto all’ombra proiettata dallo gnomone.

W

N

asse X

S

E

33

Appendice B

Un esempio di meridiana reale

Sfruttando Matlab per calcolare le coordinate delle ombre per un particolare tipo dimeridiana (qui orizzontale con gnomone parallelo ad asse terrestre), con le equazioniricavate nei precedenti capitoli otteniamo quanto segue (ombre in rosso del Sol.Estivo, in blu di quello Invernale):

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2Meridiana Orizzontale a Foglizzo: gnomone // asse terrestre da 0,05 unità

XII XII XII

XI

X

VIII

VII

IX

XIII

VI

V

XIV

XV

XVI

XVII

XVIII

XIX

34

B – Un esempio di meridiana reale

e tracciando il tutto su di una piastrella:

il 28/1 otteniamo:

Da quest’ultima figura notiamo due cose:

35

B – Un esempio di meridiana reale

• l’ora segnata e corretta, quindi anche l’inclinazione dello gnomone. Conside-rando la correzione dovuta alla Costante Locale (circa 29 min) e la correzionericavata dell’Equazione del Tempo (per il 28/1 circa 13 min); ecco quindi chele 9 e 30 locali corrispondono alle 10 e 12 circa dell’orologio.

• la lunghezza dell’ombra (utile per individuare il periodo dell’anno) invece none molto precisa in quanto dovrebbe essere inferiore alla massima individuatadalla curva blu del Solstizio Invernale

Quest’errore e legato alla precisione richiesta nella misura dello gnomone (2,05cm), la quale va confrontata con lo spessore delle linee tracciate. Conviene quindiottenere le coordinate degli estremi delle ombre come ipotenuse di triangoli rettangoli(vedi capitoli precedenti) e, se non si possiedono strumenti di misura sufficientementeprecisi, costruire meridiane abbastanza grandi (almeno dell’ordine delle decine dicentimetri).

Ecco cosa si ottiene con una meridiana orizzontale (6 x 11 metri) con gnomoneda 1 metro; sono segnate solo le ore al Solstizio Invernale, la data di osservazione e il19 / 3, localita Foglizzo. Quindi Costante Locale 29 minuti, correzione da Equazionedel Tempo 8 minuti per una differenza totale di 37 minuti circa dalle lancette di unorologio. Si osserva anche l’ombra prossima alla linea degli equinozi.

1213

1415

16

1110

98

36

Appendice C

Qualche motto...

Chiudiamo con qualche motto delle meridiane:

”Al comparir del Sol prendo respiro, al tramontar del Sol finisco e spiro”

”Non voglio competere col Sole, io vi do l’ombra”

”Al Sol misuro i passi, all’uom la vita”

”Il tempo e l’essenza della vita, fa’ tesoro di ogni istante”

”La vita senza amicizia e come il mondo senza Sole”

”Ore non segno se non serene”

”Parlo con l’ombra”

”Sine Sole sileo” (senza Sole sono in silenzio)

37

Bibliografia

[1] M.Parotto B.Accordi, E.Lupia Palmieri. Il globo terrestre e la sua evoluzione.Zanichelli, 1997.

[2] J.Gribbin. Enciclopedia di Astronomia e Cosmologia. Garzanti, 1998.[3] Istituto nautico artiglio (viareggio): http://www.nauticoartiglio.lu.it.[4] Equation of time: http://www.sundials.co.uk.[5] A.Trinchero G.Pavanello. Le Meridiane. De Vecchi, 1999.[6] AA.VV. Meridiane: le tecniche. la casa verde, 2001.

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