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Meccanica della Frattura

Meccanica della FratturaLecture 11 – Meccanica della Frattura elasto-plastica

CDM - N.Bonora 2016


Introduzione

• Il requisito fondamentale per la validità della meccanica della frattura lineare elastica (MFLE) è che la zona plastica all’apice del difetto sia contenuta in un volume piccolo tale da non alterare il campo di sforzo (condizione di SSY)

• Questo requisito (o K-dominanza) si traduce nella condizione che il K alla frattura sia tale da verificare:

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𝐵, 𝑎 ≥ 2.5𝐾𝐼𝑐𝜎𝑌

2


Introduzione

• Tuttavia esistono classi di materiali per cui la condizione di SSYY non è mai verificata:

• Alta tenacità

• Basso snervamento

• Spessori sottili

• Temperatura elevata

• La Meccanica della Frattura Elasto-Plastica (MFEP) supera i limiti dell’MFLE.

• Due criteri:

• Crack Tip Opening Displacement (CTOD)

• Integrale J

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Introduzione

• Tuttavia esistono classi di materiali per cui la condizione di SSYY non è mai verificata:

• Alta tenacità

• Basso snervamento

• Spessori sottili

• Temperatura elevata

• Wells (1961) osservò che alcuni acciai sono troppo tenaci per essere caratterizzati secondo i criteri di MFLE.

• Egli osservò:

• Le facce della cricca si allontanano prima della frattura e l’apice si arrotonda (blunting)

• Il grado di blunting è proporzionale alla tenacità

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Maggiore tenacità, migliore tolleranza al danno

La teoria e i criteri di MFLE non possono essere usati


Crack Tip Opening Displacement - CTOD

• Il blunting, o arrotondamento all’apice, è conseguente allo sviluppo della zona plastica

• Maggiore l’estensione della zona plastica, maggiore il blunting.

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• Il blunting, o arrotondamento all’apice, è conseguente allo sviluppo della zona plastica

• Maggiore l’estensione della zona plastica, maggiore il blunting.

• Il valore del CTOD dipende dalla distanza dall’apice: necessità di stabilire una definizione operativa

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• La definizione proposta da Irwin: il CTOD viene definito come l’intersezione a 45° a partire dall’apice.

• Materiale elastico perfettamente plastico

• Lavoro compiuto dalle forze all’apice per uno spostamento pari a dc

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𝑅 = 0

𝛿𝑐

𝜎𝑦𝑥𝑑𝑥 =𝜎𝑌𝛿𝑐



• La definizione proposta da Irwin: il CTOD viene definito come l’intersezione a 45° a partire dall’apice.

• Il CTOD come criterio di frattura:

• Introdotto dal Wells al TWI nel 1961

• Basato sulla misura dello spostamento delle facce della cricca

• Non utilizzabile per materiali fragili CDM - N.Bonora 2016



• CTOD e la Meccanica della Frattura Lineare Elastica:

• Assumendo che lo sforzo sia limitato allo snervamento,

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𝐾𝐼𝑐 = 𝑌 𝑎/𝑊 𝜎 𝜋𝑎𝑐

𝑎𝑐~𝐾𝐼𝑐𝜎𝑌

2

𝑅 = 𝑚𝜎𝑌𝛿𝑐 = 𝐺 = 𝐾𝐼𝑐2 /𝐸

𝑎𝑐~𝐾𝐼𝑐𝜎𝑌

2

~𝑚𝛿𝑐𝐸

𝜎𝑌~𝑚

𝛿𝑐휀𝑌= 𝐶

𝛿𝑐휀𝑌


Crack Tip Opening Displacement - CTOD• La costante C dipende dal rapporto tra la tensione applicata

al remoto e la tensione di snervamento

• I dati vengono riportati in termini di CTOD normalizzato in funzione della deformazione normalizzata,

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𝜎𝑎𝜎𝑌= 휀𝑎/휀𝑌

𝛿𝑐2𝜋휀𝑌𝑎

= 𝑓 휀𝑎/휀𝑌


=𝐾2

𝐸𝜎𝑌

1

2𝜋휀𝑌𝑎=𝜎𝑎2𝜋𝑎𝑌(

𝑎𝑊)

𝐸𝜎𝑌

1

2𝜋휀𝑌𝑎=

𝜎𝑎2𝑌

2𝐸𝜎𝑌휀𝑌


=1

2

휀𝑎휀𝑌

2



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2

for 0.52 a

crit a a

y y y

d

-0.25 for 0.52 a

crit a a

y y y

d

y - Elastic yield strain

2 a

crit

y

d

0.5 1.0 1.5 2.0a

y

0.5

1.0

1.5Design Curve

UNSAFE

SAFE

- Applied straina

Queste relazioni sono conformi alla formulazione classica della MFLE: correlano la dimensione del difetto, la sollecitazione applicate e la tenacità del materiale

A) Assegnata la dimensione del difetto e la tenacità, possiamo stabilire la deformazione(sforzo) critica.

B) Assegnato la deformazione (sforzo) di progetto e la tenacità, si determina la dimensione critica del difetto


J-integral

• Formulato inizialmente da J. Rice nel 1968

• Ipotesi:

• Materiale elastico non-lineare

• Piccole deformazioni, assenza di blunting

• Energia meccanica totale: somma dell’energia potenziale di deformazione e energia potenziale del carico applicato

• w densità energia di deformazione (per unità di volume)

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J-integral

• J rappresenta la variazione netta di energia potenziale rispetto all'avanzamento del difetto per un solido elastico non-lineare.

• J può altresì essere interpretato come il flusso di energia all’apice

• La soluzione è analoga a quella di Griffith: l’equilibrio energetico è scritto per una regione piccola che comprende l’apice.

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J-integral

• Nel caso di materiale lineare elastico si ha la coincidenza tra J e G di Griffith:

• E quindi una correlazione diretta tra J e K:

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J-integral: il campo di HRR

• Hutchinson, Rice e Rosengren hanno dimostrato come J descriva la singolarità del campo elasto-plastico all’apice.

• Assumendo per il materiale una legge alla Ramberg-Osgood,

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J-integral: il campo di HRR

• La soluzione di HHR prevede che il campo vada all’infinito per r → 0.

• La singolarità è 1/r(1/n+1) dipende dall’incrudimento del materiale

• La singolarità del campo è rilassata dal blunting

• La soluzione non vale per una distanza pari a 2CTOD dall’apice (grandi deformazioni)

• J come parametro di frattura: la frattura avviene quando J raggiunge un valore critico caratteristico del materiale

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J-integral: equivalenza J-K-CTOD

• Tutti e tre i parametri sono equivalenti dal punto di vista formale

• L’equivalenza vale solo in condizioni di K dominanza

• NOTA: quando vale K il CTOD non è misurabile ma può essere ottenuto dalle relazioni

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𝐽 =𝐾2

𝐸= 𝑚𝜎𝑌𝛿𝑐

0.111 0.817 1.36u

y

am

W


J-dominance

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K-dominated zone

J-dominated zone

Large strain

-1/2

-1/(n+1)ln(yy)

ln(r/L)

K-dominance

2

2.5 Ic

y

KB


J-dominance

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K-dominated zone

J-dominated zone

Large strain

-1/2

-1/(n+1)ln(yy)

ln(r/L)

J-dominance

, 25y

Jb B


J-dominance

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