Meccanica dei Sistemi e Termodinamica modulo di Gravitazionesavrie/lectures_0809/... · 2009. 5....

A.A. 2008-09 prof. Savrié Mauro [email protected]

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Meccanica dei Sistemi e Termodinamica

modulo di Gravitazione Corsi di Laurea in: Fisica e Astrofisica,

Tecnolgie Fisiche Innovative Anno Accademico 2008-09

Lezioni ( docente: Savrié Mauro ) Lunedì : 11.00-13.00 aula G1 Martedì: 11.00-13.00 aula G

Esercitazioni ( docente: G. Zavattini) Giovedì: 11.00-13.00 aula G1

Le copie delle presenti trasparenze saranno disponibili in rete all’ indirizzo: www.fe.infn.it/~savrie cercare...ma occhio agli errori! Inizio lezioni: 07 Gennaio 2009 Fine lezioni: 21 marzo 2009 Esami: - prova scritta: esito positivo: p >18/30 non ammesso: p18/30



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1. Forze centrali

• Sono forze molto importanti in fisica • Sono sempre dirette verso un centro di forza • Origine delle coordinate coincidente con il centro della forza • Sono conservative • Il momento angolare si conserva

o x

y

P

P’

Repulsiva!!

prima del ‘600 nella gravitazione (Universo) non c’era niente da spiegare.

• corpi “terreni” • corpi celesti



3

Newton

non se lo è inventato. Si basa sulle osservazioni di Tycho Brahe (fine del 1500) ed i calcoli del MATEMATICO Keplero che aveva enunciato 3 leggi fenomenologiche (1600-1620).

Dimostrazione della II legge:

S

p se consideriamo un intervallo di tempo infinitesimo dt:



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pianeta Massa (Kg)

dal Sole (m)

Dist. al perielio (Km)

Distanza all’afelio (Km)

Periodo (s) anni

T2/r3 (s2/m3)

Mercurio 3.181023 5.79 1010 45.9 106 69.8 106 7.60 106 0.241

2.97 10-19

Venere 4.88 1024 1.08 1011 107 106 109 106 1.94 107 0.615

2.99 10-19

Terra 5.98 1024 1.50 1011 147 106 152 106 3.16 107 1.0

2.97 10-19

Marte 6.42 1023 2.28 1011 207 106 249 106 5.94 107 1.88

2.98 10-19

Giove 1.90 1027 7.78 1011 740 106 816 106 3.74 108 11.9

2.97 10-19

Saturno 5.68 1026 1.43 1012 1350 106 1510 106 9.35 108 29.5

2.979 10-19

Urano 8.68 1025 2.87 1012 2730 106 3010 106 2.64 109 84.0

2.95 10-19

Nettuno 1.03 1026 4.50 1012 4460 106 4540 106 5.22 109 165

2.99 10-19

Plutone 1.4 1022 5.91 1012 4410 106 7360 106 7.82 109 248

2.96 10-19

Luna: 1. dist. dalla Terrra 0.384 106 Km

2. diametro: 3476 Km 3. volume 22 109 Km3 1/49 VTerra

4. massa: 1/80 MTerra 5. densità: 0.61 ρTerra3.34ρacqua 6. gravità: 1/6 g

Sole 1. diametro: 1.4 106 Km 2. densità 0.25ρTerra

3. gravità: 28g 4. massa 1030 Kg

5. distanza Sole-Terra:150 106 Km



5

luna Massa (Kg)

da Giove (Km)

Dist. al periastro di Giove

Distanza all’ apoastro di Giove

Periodo (giorni)

Io 8.9 1022 422 103 422 103 422 103 1.77

Europa 4.8 1022 671 103 671 103 671 103 3.55

Ganimede 1.5 1023 1070 103 1068 103 1071 103 7.16

Callisto 1.1 1023 1883 103 1870 103 1896 103 16.69

satelliti M (Kg)

T(Km)

Dist. al periastro. (*103 Km)

Dist. apoa. (*103 Km)

Periodo (minuti)

Sputnik I 83 6.97 103

6.60 7.33 96.2

Sputnik II 3000 7.33 103

6.61 8.05 104

Explorer I 14 7.83 103

6.74 8.91 115

Vanguard I 1.5 8.68 103

7.02 10.3 134

ExplorerIII 14 7.91 103

6.65 9.17 116

Sputnik III 1320 7.42 103

6.59 8.25 106



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La forza è centripeta, e per il sistema Terra-Sole vale:

....è una forza proporzionale alla massa della Terra e inversamente proporzonale al quadrato della distanza.

Con la stessa approssimazione ( ma si potrebbe dimostrare che vale sempre!) delle orbite circolari:

dalla III legge della dinamica

dalla III legge di Keplero



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Cosa fece realmente Newton?

• confrontò le accelerazioni della luna e di un grave ( vedremo come ) • considerò le masse puntiformi ( non era evidente nel caso generale!)

Ed ipotizzò…………….

Definendo la nuova costante:

Per simmetria quindi:

modulo della forza



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Infatti se nella legge ricavata prima indichiamo con G una costante di proporzionalità:

Dimensioni:

Valore:

E prima abbiamo visto che:

In realtà G è una costante che non dipende nè da M né da r



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Dimostrazione della III legge

Usiamo il sistema Terra-Luna nell’ aprossimazione dell’ orbita circolare e masse puntiformi ( ma è sempre vera!!!):

M

m

c

ω

ω

centro di massa



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nell’ ipotesi di lavorare in un sistema di riferimento inerziale:

lo aveva misurato Eratostene

si conoscevano (rL era inizialmente errato):

in accordo con i dati!!!



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€

gaL

=rL2

rT2 = 3.62 ⋅10

3

se g=9.81 ms-1: misurato!!!

inoltre:

l’ accelerazione della Luna la possiamo calcolare in base al suo T ed alla sua distanza

Inoltre se è vero che l’ accelerazione del grave e della Luna seguono la stessa legge:

Cavendish



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L’ errore sulla misura di g fu solo di circa 1% del valore attuale:



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MASSA da esperimenti di dinamica da esperimenti gravitazionali

ma sono uguali le quantità che si misurano?

siano dati tre corpi:

# Min Mgr distanza

A MA,in MA,gr dAC=r

C MC,in MC,gr

B MB,in M,gr dCB=r

ma in un esperimento inerziale:



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Da Newton:

solo se: min.=mgr.

1. Eötvos (1909): min.=mgr. con 5 10-9 2. Dicke (1964) : min.=mgr. con 3 10-11 3. Baessler(1999): min=mgr con 5 10-13 4. Ministep exp.( 2010) min=mgr con 10-17 ??

Bessel: misure accurate con pendoli:



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m3

mi

m1

m2

m0

campo: funzione vettoriale della posizione ( e del tempo?) campo: è un “intermediario”

1. regione di spazio sede di forze gravitazionali 2. è una grandezza vettoriale

3. il campo di una massa non è perturbato dalle altre masse 4. caratterizzato da un vettore tipico:

Per una distribuzione “continua” di massa:



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• il segno meno indica che per x>0 il campo è verso sx • come va il campo per x>>a?

Energia potenziale :EP=U potenziale: V

Per le forze:

€

L1,2 = −ΔEP = − E P2( ) − E P1( )[ ]

Finqui 10 marzo 2009

€

L1,2 = ΔVP = V P2( ) −V P1( )[ ]

€

E P2( ) = E P1( ) + −L1,2( )

€

E1 = E0 + −L0,1( )



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verifichiamo che è conservativo:

Essendo centrale (radiale), in coordinate polari si ha che:

O x y

z A

B



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dalla definizione di potenziale:

• 0 se m viene da ∞ • U(r) vale per qualunque cammino

dalla definizione di energia potenziale:

€

Ep r( ) =U(r) = −V r( ) = −GMmr

+ C

Energia potenziale negativa? 1. È nulla all’ infinito( ragionevole!! ) 2. Avvicinandosi alla sorgente del campo:

1. Le forze del campo compiono lavoro positivo

2. L’ energia cinetica aumenta ma…. 3. L’ energia mecc. totale si conserva e

quindi 4. Diminuisce l’ energia potenziale ma 5. Era nulla all’inizio…..

3. Può solo diventare negativa!!!



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€

U

€

z

€

U = mgz €

U

€

U = Kx2

2

€

U

€

r

€

U = −Hr

€

x

€

U

€

r

€

U = − br2

2

Forza peso Forza elastica

Forza gravitazionale Forza centrifuga

N.B. 1. la forza di Newton è corretta solo se M ha una

distribuzione di massa sferica o se è puntiforme altrimenti vale per gli elementi dm

2. per i sistemi legati gravitazionalmente si ha:



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consideriamo infatti un corpo di massa m (satellite) orbitante attorno ad un corpo di massa M(pianeta). Sia M fisso nell’ origine di un sistema di riferimento inerziale e facciamo l’approssimazione che orbita di m sia circolare.

€

G Mmr2

= mω 2r



21

€

U(J)⇒Κc

€

U 1 r( )

€

rc

si può dimostrare che per un’orbita qualunque :

€

J = cost. : momento ang. orbitale

orbita ellisse cerchio parabola iperbole

Eccent. 0



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Per come avevamo definito il potenziale:

Che per l’ energia potenziale del P.M. in b:

Nei casi generali:



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€

F r( ) = −G MTmr2

U r( ) = −L∞r = − F r( )dr∞

r

∫

U r( ) = − −G MTmr2

∞

r

∫ dr

U r( ) =GMTm1r

∞

r

= −G MTmr



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Velocità di fuga

Il lavoro necessario per portare la massa all’ infinito partendo dalla superficie terrestre, è dato da:

Quale dovrebbe essere la sua velocità iniziale?

L’energia potenziale di un corpo di massa m sulla superficie terrestre vale il lavoro, cambiato di segno, che le forze del campo compiono per trasportare il corpo di massa m dall’ infinito (ove Fg=0; Ug=0) fin sulla superficie terrestre:



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2) Periodo massimo di un pendolo

???



26

o

RT

r

x

y

MT

Dove:



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Se due particelle sono a distanza r la loro energia potenziale è:

L a v o r o c o m p i u t o d a l l a f o r z a gravitazionale per portare le particelle da distanza infinita a distanza r

Energia potenziale di un sistema=lavoro che forze esterne devono compiere per costituire il sistema a partire da una configurazione di riferimento

Nel campo terrestre noi ( forza esterna) dovremmo compiere il lavoro :

• per separare il P.M dalla Terra :

• per portarlo dall’ infinito a r:

Perchè le forze “esterne” devono contrastare le Forze del campo



28

E l’energia potenziale del sistema è la somma:

Mentre per separare i corpi:



29

Energia potenziale (di legame)del sistema Terra-Sole:

Avendo considerato:

Finqui 10 Aprile 2008



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1. Il vettore del campo ha la direzione della tangente alla linea di forza in ogni punto

2. iniziano e finiscono sulle “sorgenti” del campo

3. la loro densità è proporzionale all’ intensità del campo

4. la loro distribuzione nello spazio in genere rispecchia le “simmetrie” delle sorgenti



31

Linee di forza che ind icano i l campo gravitazionale vicino a d u n a m a s s a p u n t i p o r m e . L a direzione delle L.d.F. indica la direzione del campo in ogni punto; la densità delle linee è p r o p o r z i o n a l e a l l ’ intensità del campo



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Campo di una distribuzione a simmetria sferica nel caso di uno strato sferico

cosa succede fuori e dentro la distribuzionedi massa?

e se la distribuzione è piena?

€

gr = −GMr2

r > R



33

Per un punto che dista r dal centro:



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Ad una distanza r dal centro:

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