Matrici - Mario Bon · per il calcolo dei determinanti di matrici quadrate di qualsiasi ordine . Ci...

Matrici

(Tabelle di elementi disposti su m righe e n colonne)

Di particolare interesse le matrici quadrate (m=n):

Es. (m=n=3):

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

V

Matrici

Un vettore a n componenti (coordinate), cioèappartenente allo spazio Rn, si può rappresentare come una matrice a n righe e una colonna (detta anche vettore colonna)

Es.: il vettore u = (3; -2; 1) come:

−=

1

2

3

u

Matrici come operatori

Come si applica una matrice a un vettore?

Ad es.: una matrice quadrata 3x3 (di terz’ordine) applicata a un vettore u di R3, lo trasforma in un vettore v ancora di R3.

u OperatoreOperatore

matricialematriciale

A

v

A u = v



A u = v

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

..

1

1

1

z

y

x

==

2

2

2

z

y

x



333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

..

1

1

1

z

y

x

==

2

2

2

z

y

x

Mediante il Mediante il prodotto matriciale righe x colonneprodotto matriciale righe x colonne::

Il Il primo elemento, xprimo elemento, x22, del vettore trasformato si ottiene , del vettore trasformato si ottiene moltiplicando la prima riga della matrice per il vettore moltiplicando la prima riga della matrice per il vettore colonna (xcolonna (x11, y, y11, z, z11), come somma dei prodotti degli elementi ), come somma dei prodotti degli elementi omologhi:omologhi:

xx22 = a= a1111 xx1 1 + a+ a1212 yy11 + + aa1313 zz11



333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

..

1

1

1

z

y

x

==

2

2

2

z

y

x

Il Il secondo elemento, ysecondo elemento, y22, del vettore trasformato si ottiene , del vettore trasformato si ottiene moltiplicando la seconda riga della matrice per il vettore moltiplicando la seconda riga della matrice per il vettore colonna (xcolonna (x11, y, y11, z, z11):):

yy22 = a= a2121 xx1 1 + a+ a2222 yy11 + + aa2323 zz11



333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

..

1

1

1

z

y

x

==

2

2

2

z

y

x

Il Il terzo elemento, zterzo elemento, z22,, del vettore trasformato si del vettore trasformato si ottiene moltiplicando la terza riga della matrice ottiene moltiplicando la terza riga della matrice per il vettore colonna (xper il vettore colonna (x11, y, y11, z, z11):):

zz22 = a= a3131 xx1 1 + a+ a3232 yy11 + + aa3333 zz11



Es.1:

−=

−

21

1

2

3.

35

21

11••3 + (3 + (--2) 2) •• 2 = 2 = --1; 5 1; 5 •• 3 + 3 3 + 3 •• 2 = 212 = 21



Es.2:

=

−

−

−

17

1

10

4

1

2

.

331

150

201

1 1 •• 2 + 0 2 + 0 •• 1 + (1 + (--2) 2) ••((--4) = 10;4) = 10;

0 0 •• 2 + 5 2 + 5 •• 1 + 1 1 + 1 ••((--4) = 14) = 1

1 1 •• 2 + 3 2 + 3 •• 1 + (1 + (--3) 3) ••((--4) = 174) = 17

Equazioni vettoriali e sistemi lineariA x = c

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

..

3

2

1

x

x

x

==

3

2

1

c

c

c

QuestQuest’’equazione vettorialeequazione vettoriale ((ll’’incognita incognita èè il vettore il vettore xx, cioè le sue

componenti x1, x2, x3) equivale a porre in forma matematica il

problema: “ Data la matrice A e il vettore c, qual è il vettore x

tale che applicando A ad x si ottenga c? ”

Equazioni vettoriali e sistemi lineari

A x = c

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

..

3

2

1

x

x

x

==

3

2

1

c

c

c

Applicando il prodotto righe per colonne si ottiene:Applicando il prodotto righe per colonne si ottiene:

aa1111xx11 + a+ a1212xx2 + 2 + aa1313xx3 3 = c= c11

aa2121xx11 + a+ a2222xx2 + 2 + aa2323xx3 3 = c= c22

aa3131xx11 + a+ a3232xx2 + 2 + aa3333xx3 3 = c= c33


aa1111xx11 + a+ a1212xx2 + 2 + aa1313xx3 3 = c= c11

aa2121xx11 + a+ a2222xx2 + 2 + aa2323xx3 3 = c= c22

aa3131xx11 + a+ a3232xx2 + 2 + aa3333xx3 3 = c= c33

LL’’equazione vettoriale equazione vettoriale AxAx = c = c èè quindi equivalente a un quindi equivalente a un

sistema di equazioni linearisistema di equazioni lineari (= di primo grado ), o (= di primo grado ), o

semplicemente semplicemente sistema linearesistema lineare nelle incognite xnelle incognite x11, x, x22, x, x33 (in (in

questo caso il sistema questo caso il sistema èè ““quadratoquadrato”” 3x3)3x3)


Un sistema lineare può avere:Un sistema lineare può avere:

a)a) UnUn’’unica soluzioneunica soluzione (terna ordinata di valori (terna ordinata di valori xx11*, x*, x22*, x*, x33*, vale a dire un vettore *, vale a dire un vettore xx*= (x*= (x11*; *; xx22*; x*; x33*) *)

b) Infinite soluzioni

c) Nessuna soluzione


Matrici e determinanti

Per Per matrice del sistemamatrice del sistema (A) si intende la matrice formata (A) si intende la matrice formata

dai coefficienti delle incognite.dai coefficienti delle incognite.

Nel caso esemplificato, A Nel caso esemplificato, A èè: :

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa


Il Il determinante determinante di una matrice quadrata -- detdet(A) (A) -- èè un un numeronumero(vedi regole per il calcolo di un determinante).(vedi regole per il calcolo di un determinante).

Lavori sui determinanti apparvero giLavori sui determinanti apparvero giàà nella seconda metnella seconda metàà del sec XVIII del sec XVIII ad opera di: E. ad opera di: E. BBéézoutzout (1730(1730--1783), A.T. 1783), A.T. VandermondeVandermonde (1735(1735--1796), 1796), e proseguirono nel secolo successivo soprattutto ad opera di:e proseguirono nel secolo successivo soprattutto ad opera di:

PierrePierre--SimonSimonLaplaceLaplace(1749(1749--1827)1827)

JosephJoseph--LouisLouisLagrangeLagrange(1749(1749--1827)1827)

Determinante di una matrice quadrata

Il Il determinante determinante di una matrice quadrata AA

si scrive si scrive detdet(A) o anche D(A) o anche DAA, oppure con due barre verticali ai lati , oppure con due barre verticali ai lati della tabelladella tabella--matrice matrice

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

DetDet(A)=(A)=

Esso Esso èè un un numero realenumero reale (positivo, negativo o nullo)(positivo, negativo o nullo)

Regole per il calcolo di un determinanteRegole per il calcolo di un determinante

1) Il 1) Il determinante determinante di una matrice quadrata di di 11°°ordine (un solo ordine (un solo elemento aelemento a1111) coincide con l) coincide con l’’elemento stesso.elemento stesso.

2) Il 2) Il determinante determinante di una matrice quadrata di di 22°°ordineordine

2221

1211

aa

aaè uguale a: Det(A) = a11a22 – a12a21

[diagonale principale ( ) meno

diagonale secondaria ( ) ]

Es.:

−

12

53

A =

A = Det(A) = (-3)*2 – 5*2 = -16

Esiste un teorema dal quale discende un metodo generale per il calcolo dei determinanti di matrici quadrate di

qualsiasi ordine.

Ci limitiamo qui a dare regole pratiche per calcolare i determinanti fino al 3°ordine.


3) Il 3) Il determinante determinante di una matrice quadrata di di 33°°ordineordine

=

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

si può calcolare con la regola di Sarrus.


Regola di Regola di SarrusSarrus (solo per matrici di 3° ordine)

Si aggiungano a destra le prime due colonne:

32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

Si possono così considerare

tre diagonali principali ( )

e tre diagonali secondarie ( )




32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

Si calcolano i prodotti degli elementi di ogni diagonale principale e si sommano. Sia DP il risultato:

DP = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)




32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

Si calcolano ora i prodotti degli elementi di ogni diagonale secondaria e si sommano. Sia DS il risultato:

DS = (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33)




32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

Il determinanate della matrice data risulta:

Det(A) = DP - DS


Johann CarlJohann CarlFriedrich GaussFriedrich Gauss(1777(1777--1855)1855)

AugustinAugustin LouisLouisCauchyCauchy(1789(1789--1857)1857)

Carl GustavCarl GustavJacobiJacobi

(1804(1804--1851)1851)


Eugène Rouché

(Francia, 1832-1910)

Alfredo CAPELLI(Milano, 1855-1910)

Tra i loro numerosi lavori, il Teorema che prende illoro nome, sulle soluzioni dei sistemi algebrici

lineari

(qui non riportato)


Per i Per i sistemi quadrati sistemi quadrati vale ilvale il

TEOREMA DI TEOREMA DI CRAMERCRAMER::

IpIp.:.: detdet (A) (A) ≠≠ 00

ThTh.:.: Il sistema ammette una ed una sola Il sistema ammette una ed una sola soluzione (un vettore, ciosoluzione (un vettore, cioèè una una successione ordinata di numeri)successione ordinata di numeri)

Gabriel Cramer (1704 – 1752)


Il teorema di Il teorema di CramerCramer recita:recita:

““Condizione necessaria e sufficiente affinchCondizione necessaria e sufficiente affinchééun sistema quadrato ammetta unun sistema quadrato ammetta un’’unica soluzione unica soluzione èè che il determinante del sistema sia diverso da che il determinante del sistema sia diverso da zerozero””

Se invece il Se invece il determinante determinante èè uguale a zerouguale a zero il il sistema ammette infinite soluzioni oppure sistema ammette infinite soluzioni oppure nessuna (sistema incompatibile)nessuna (sistema incompatibile)

In questo caso si ricorre al In questo caso si ricorre al Teorema di Teorema di RouchRouchéé--CappelliCappelli (teorema generale, valido per (teorema generale, valido per qualunque sistema lineare, qui non trattato).qualunque sistema lineare, qui non trattato).


Se il sistema quadrato Se il sistema quadrato èè omogeneo (tutti i termini noti (tutti i termini noti cc11, c, c22, c, c33 nulli):nulli):

[Si ricorda che ogni sistema omogeneo ammette sempre [Si ricorda che ogni sistema omogeneo ammette sempre almeno la almeno la soluzione banalesoluzione banale o o nulla nulla (0; 0; 0)](0; 0; 0)]

1.1.-- Se il sistema omogeneo Se il sistema omogeneo èè di Cramer (det(A) di Cramer (det(A) ≠≠0) 0) alloraallora essoesso ammetteammette solo solo la la soluzionesoluzione banale.banale.

2.2.-- Se il sistema omogeneo non Se il sistema omogeneo non èè di Cramer di Cramer (det(A)=0), allora il sistema ammette infinite (det(A)=0), allora il sistema ammette infinite soluzioni (quella banale e altre infinite non soluzioni (quella banale e altre infinite non banali)banali)

Equazione omotetica o agli autovalori

Jean Jean DD’’AlembertAlembert(1717(1717--1783)1783) AugustinAugustin LouisLouis

CauchyCauchy(1789(1789--1857)1857)

Jacques CharlesJacques CharlesFranFranççois ois SturmSturm(1803(1803--1855)1855) Carl GustavCarl Gustav

JacobiJacobi(1804(1804--1851)1851)


AppilcandoAppilcando una matrice quadrata di ordine n a tutti i una matrice quadrata di ordine n a tutti i vettori dello vettori dello speziospezio RRnn, , ogni vettore verrogni vettore verràà, in generale, , in generale, trasformato in un altro vettore dello stesso spazio.trasformato in un altro vettore dello stesso spazio.

Ad es., una matrice 3x3 trasforma ogni vettore dello Ad es., una matrice 3x3 trasforma ogni vettore dello spazio spazio RR33 (euclideo tridimensionale) in un altro, (euclideo tridimensionale) in un altro, generalemntegeneralemnte di diverso modulo e/o direzione e/o di diverso modulo e/o direzione e/o verso.verso.

QuestioneQuestione: : quali vettori (quali vettori (xx), in seguito all), in seguito all’’applicazione applicazione della matrice A conservano la direzione? (e quindi della matrice A conservano la direzione? (e quindi mutano eventualmente solo di modulo e/o verso?)mutano eventualmente solo di modulo e/o verso?)

Se un vettore Se un vettore xx dopo la trasformazione dopo la trasformazione xx →→ AAxx ha la ha la stessa direzione che aveva prima della trasformazione, stessa direzione che aveva prima della trasformazione, ciocioèè AAxxx, x, significa chesignifica che AxAx e x e x hanno coordinate hanno coordinate proporzionali, cioproporzionali, cioèè che possiamo scrivere:che possiamo scrivere:

AAxx == λλx x (1)(1)

Dove Dove λλ èè il coefficiente di proporzionalitil coefficiente di proporzionalitàà..

La questione posta La questione posta èè quindi rappresentata quindi rappresentata dalldall’’equazione vettoriale equazione vettoriale (1). Il vettore (1). Il vettore x x èè ll’’incognitaincognita


Equazione omoteticao agli autovalori

Tale equazione si dice

Tale equazione si dice equazione

equazione om

otetica

omotetica

oo

Equazione agli

Equazione agli autovalori

autovalori

Le sue soluzioni non nulle, cioè

i vettori non nulli che in

seguito all’applicazione della matrice quadrata A

conservano la direzione, si chiamano autovettoridi A

Sotto quali cond

izioni esistono gli

Sotto quali cond

izioni esistono gli autovettori

autovettoridi u

na

di u

na

matrice quadrata e com

e si calcolano?

matrice quadrata e com

e si calcolano?


LL’’equazione (1), con semplici trasformazioni, si può equazione (1), con semplici trasformazioni, si può scrivere nella forma equivalente:scrivere nella forma equivalente:

(A (A –– λI) ) x = 0 x = 0 (2)(2)

Al secondo membro compare il vettore nullo.

Al primo membro compare la matrice (A (A –– λI) ) applicata applicata al vettore incognito al vettore incognito xx (dove I (dove I èè la matrice identitla matrice identitàà: : elementi diagonali uguali a 1 e tutti gli altri uguali a elementi diagonali uguali a 1 e tutti gli altri uguali a zero).zero).

Essa si chiama Essa si chiama matrice secolare


LL’’equazione (2) equazione (2) èè equivalente a un equivalente a un sistema omogeneo di di equazioni lineari.equazioni lineari.

NellNell’’esempio di matrice 3x3 che opera sui vettori dello esempio di matrice 3x3 che opera sui vettori dello spazio euclideo tridimensionale):spazio euclideo tridimensionale):

(a(a1111-- λ)xx11 + a+ a1212xx2 + 2 + aa1313xx3 3 = o = o

aa2121xx11 + (a+ (a22 22 –– λ)xx2 + 2 + aa2323xx3 3 = o = o

aa3131xx11 + a+ a3232xx2 + (2 + (aa33 33 –– λ)xx3 3 = o = o


Ogni Ogni sistema omogeneo ammette sempre la ammette sempre la soluzione soluzione nullanulla (o (o banalebanale), cio), cioèè il vettore (0; 0; 0).il vettore (0; 0; 0).

Se il sistema (quadrato) Se il sistema (quadrato) èè di di CramerCramer,,

ciocioèè DetDet (A (A –– λI)) ≠≠ 0, ammetter0, ammetteràà solosolo la soluzione nulla la soluzione nulla (che , per definizione non (che , per definizione non èè un autovettore).un autovettore).

AffinchAffinchèè il sistema, vale a dire lil sistema, vale a dire l’’equazione (2), ammetta equazione (2), ammetta soluzioni non nulle, ciosoluzioni non nulle, cioèè autovettoriautovettori, , èè necessario e necessario e sufficiente che:sufficiente che:

DetDet (A (A –– λI)) == 00

Ciò dipende dai valori del parametro Ciò dipende dai valori del parametro λ


DetDet (A (A –– λI)) == 00

Questa equazione (detta Questa equazione (detta equazione caratteristicaequazione caratteristica) ) èèunun’’equazione algebrica intera di grado n (uguale equazione algebrica intera di grado n (uguale allall’’ordine della matrice).ordine della matrice).

Vi saranno quindi almeno un valore (in generale Vi saranno quindi almeno un valore (in generale complesso) di complesso) di λ e al massimo nal massimo n, che rendono nullo il determinante secolare.

Per tali valori di Per tali valori di λλ (soluzioni dell(soluzioni dell’’equazione equazione caratteristica), detti caratteristica), detti autovalori della matrice A, e della matrice A, e solo solo per essiper essi, il sistema ammetter, il sistema ammetteràà soluzioni non banali, ciosoluzioni non banali, cioèèautovettoriautovettori..


Come calcolare gli Come calcolare gli AutovettoriAutovettori??

1.1.-- Si risolve lSi risolve l’’equazione caratteristica (3)equazione caratteristica (3)

2.2.-- Si sostituisce a Si sostituisce a λ di volta in volta un autovalore: per ogni autovalore di λ otteremo un sistema quadrato omogeneo non di Cramer.

3.- Si trovano le soluzioni non nulle di tale sistema: la (o le) n-pla di valori trovata (-e) rappresenta le coordinate dell’autovettore corrispondente all’autovalore sostituito.

Se x1 è un autovettore (ad es. corrispondente all’autovaloreλ1) , è tale anche ogni altro vettore ad esso proporzionale,

cx1 , poiché il sistema è omogeneo.


Esempio:Esempio:

Sia data la matrice quadrata 2x2 2 0

A = 1 -1

(2- λ) 0

La matrice secolare è: (A- λI) = 1 (-1- λ)

L’equazione omotetica è: (A- λI) x = 0


Tale equazione omotetica è equivalente al sistema:

(2(2-- λλ)xx11 + 0x+ 0x2 2 = = 0

xx11 + (+ (--11-- λλ ))xx22= = 0

Si ha lSi ha l’’equazione secolare: equazione secolare:

DetDet (A (A –– λI) = (2) = (2--λ)(-1-λ)=0

Le cui soluzioni sono:

λ1 = 2 (primo autovalore); λ2 = -1 (secondo autovalore);


Sostituendo il primo autovalore (2) a λ nel sistema si ha:

0 x0 x11 + 0 x+ 0 x2 2 = = 0

xx11 -- 3x3x2 2 = = 0

Le cui soluzioni sono:Le cui soluzioni sono:

xx11 = 3x= 3x2 2 (3)(3)

Ciò significa che se assegniamo a una incognita (ad es. xCiò significa che se assegniamo a una incognita (ad es. x22) un ) un valore arbitrario, lvalore arbitrario, l’’altra assume il valore dato dalla (3); per altra assume il valore dato dalla (3); per xx22=1, x=1, x11=3.=3.

Quindi, ad es. il vettore Quindi, ad es. il vettore uu = (3;1) = (3;1) èè un un autovettoreautovettorecorrispondente allcorrispondente all’’autovaloreautovalore 2.2.Sono quindi Sono quindi autovettoriautovettori anche tutti i vettorianche tutti i vettoric(3;1), con c numero arbitrario diverso da zero (cioc(3;1), con c numero arbitrario diverso da zero (cioèè tutti itutti ivettori sulla stessa retta del vettorevettori sulla stessa retta del vettore uu = (3;1)= (3;1)

uu11

33


Sostituendo il secondo autovalore (-1) a λ nel sistema si ha:

3 x3 x11 + 0 x+ 0 x2 2 = = 0

xx11 + 0+ 0 xx2 2 = = 0

Le cui soluzioni sono:Le cui soluzioni sono:

xx11 = 0; x= 0; x22 = = xx22 (3)(3)

Ciò significa che xCiò significa che x22 può assumere qualsiasi valore arbitrario, può assumere qualsiasi valore arbitrario,

Quindi, ad es. il vettore Quindi, ad es. il vettore vv = (0;1) = (0;1) èè un un autovettoreautovettorecorrispondente allcorrispondente all’’autovaloreautovalore --1.1.Sono quindi Sono quindi autovettoriautovettori anche tutti i vettorianche tutti i vettoriC(0;1), con c numero arbitrario diverso da zero.C(0;1), con c numero arbitrario diverso da zero.

11

33

vv

efo1

Diapositiva 115

efo1 Admin; 09/01/2012


L’equazione agli autovalori è di grande importanza per impostare e risolvere problematiche in vari campi di diverse discipline, ad es.:

- Analisi matematica (metodi di risoluzione di sistemi lineari di equazioni differenziali)

- Elettrotecnica (circuiti elettrici)

- Quantomeccanica (orbitali atomici e molecolari)

- Statistica (analisi fattoriale, delle componenti principali, ecc.)

In fisica, riguardo alcune funzioni vettoriali, emergono importanti concetti matematici, quali

Gradiente, Divergenza e Rotore

considerati come operatori, che si applicano a funzioni (scalari o vettoriali, in dipendenza dal tipo di operatore).

OPERATORI

OPERATORI

Un operatore può essere considerato come un dispositivo matematico, una “macchina astratta” , con un ingresso e un’uscita.

Entra un oggetto matematico A ed esce un altro oggetto B, trasformato dall’operatore.

A Operatore B

Esempio 1: Operatore di moltiplicazione per 3

Esempio 2: Operatore di derivazione

x∂

∂f(x)

(funzione)

f’(x)(derivata)

n 3nMoltiplicatore x 3

(n può essere un numero, un vettore, una funzione, ecc.)

OPERATORI

x∂∂

y∂∂

z∂∂

∇ = i + j + k

Consideriamo il seguente vettore “simbolico” , detto “nabla”:

∇

Esso è un vettore simbolico perché le sue componenti non sono numeri o funzioni scalari, ma gli operatori di derivata parziale

OPERATORI

Se applichiamo l’operatore nabla ad una funzione scalare (prodotto di un vettore per uno scalare) a tre variabili indipendenti f(x,y;z), otteniamo un vettore le cui componenti sono le derivate parziali della funzione f considerata:

x

f

∂∂

y

f

∂∂

z

f

∂∂

∇ f = i + j + k = grad f

Tale funzione vettore si chiama gradiente della funzione scalare f(x;y;z)

L’operatore nabla è stato quindi applicato a una funzione scalare trasformandola in una funzione vettoriale.

GRADIENTEGRADIENTE

OPERATORI

Esempi:

1) Data la funzione f(x;y;z) = 2xy3z + 3 ln(xy) – z:

grad f = (2y3z+3/x)i + (6xy2z+3/y)j + (2xy3-1)k

___

2) Data la funzione: f(x) = 4x2+2x-1:

grad f = (8x+2)i

____

3) Data la funzione vettoriale

f(x;y;z)= (2xy)i+(5)j-(xz)k

grad f non esiste (non ha significato, perché f non è una funzione scalare)

GRADIENTEGRADIENTE

OPERATORI

DIVERGENZADIVERGENZA

Consideriamo il prodotto scalare tra l’operatore nabla e una funzione vettoriale F (x;y;z),

dove F = F1i + F2j + F3k (F1, F2, F3, le componentidella funzione vettriale F,. sono a loro volta funzioni scalari di x, y e z.

Si verifica facilmente che:

= div Fx

F

∂∂ 1

y

F

∂∂ 2

z

F

∂∂ 3

∇ F= + +

Abbiamo ottenuto la divergenza della funzione vettoriale F.

L’operatore nabla, applicato ad una funzione vettoriale mediante il prodotto scalare, ha restituito una funzione scalare.

OPERATORI

DIVERGENZADIVERGENZA

Esempi:

div F = yz+3x2y2z4+2

• Data la funzione F= (xyz)i + (x2y3z4)j + 2zk:

2) Data la funzione F= (x)i + (y)j + (z)k

div F = 3

3) Data la funzione F= xy2z

div F non esiste (non ha significato perché F non è una funzione vettoriale ma scalare)

OPERATORI

ROTOREROTOREConsideriamo il prodotto vettoriale tra l’operatore nabla e una funzione vettoriale F (x;y;z),

dove F = Fxi + Fyj + Fzk (Fx, Fy, Fz, le componenti della funzione vettriale F,. sono a loro volta funzioni scalari di

x, y e z. Si verifica facilmente che:

Abbiamo ottenuto il rotore della funzione vettoriale F.

L’operatore nabla, applicato ad una funzione vettoriale mediante il prodotto vettoriale, ha restituito una funzione vettoriale.

∧

∇∧F = =

= rot F

OPERATORI

ROTOREROTORE

Esempi:

1) Data la funzione vettore F= (xyz)i + (x2y3z4)j + 2zk:

rot F = (-4x2y3z3)i + (xy)j + (2xy3z4-xz)k

2) Data la funzione vettore F = (x+y+z)i

rot F = j + k

3) Data la funzione scalare F = x+y+z:

rot F non esiste (rotore provo di significato perché F non è vettoriale)

G. Balla: Numeri innamorati

Matrici - Mario Bon · per il calcolo dei determinanti di matrici quadrate di qualsiasi ordine . Ci...

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