Matrici ed Operatori Lineari

Viene definita Matrice Complessa m x n un quadrato di numeri complessi formato da m righe ed n

colonne del tipo:

Se m=n la matrice si dice Quadrata. Inoltre due matrici A e B che rappresentino la stessa

Trasformazione Lineare, si dicono Simili. Due matrici simili hanno lo stesso polinomio

caratteristico e quindi, gli stessi Autovalori. Si definisce Matrice Trasposta di una matrice (ad

esempio A) la matrice i cui elementi sono così definiti:

Si definisce Matrice Coniugata Hermitiana (o Aggiunta) della matrice A, la matrice i cui elementi

sono così definiti:

Quindi per una matrice A, la trasposta della coniugata è l’ aggiunta e talvolta si indica

Una matrice quadrata che coincide con la sua coniugata Hermitiana, ovvero:

si dice Hermitiana, ovvero se A = A*.

Una matrice A si dice ortogonale se A AT = I

Si osservi che l’ insieme delle matrici quadrate m x n si può strutturare come un’ algebra, definendo

le operazioni di moltiplicazione per un numero complesso di somma e di prodotto nel modo

seguente:

A =

( AT )rs = Asr

( A+ )rs = A*sr

Asr = A*rs

Asr = A*rs

M-1) (c A)rs = cArs

M-2) (A + B)rs = Ars + Brs

M-3) (AB)rs = ∑ Art Bts

E’ possibile, ora, fare le seguenti considerazioni; l’ operazione M-1) puo’ essere definita anche per

matrici non quadrate, l’ operazione M-2) può essere definita anche per matrici simili, infine l’

operazione M-3) puo’ essere definita tutte le volte che il numero di colonne della matrice A risulta

uguale il numero di righe della matrice B. Pertanto si può concludere che l’ insieme delle matrici m

x n costituisce uno spazio lineare ad “m * n” dimensioni.

Esiste un legame assai stretto tra Matrici ed Operatori Lineari. Infatti data una matrice A quadrata

m x n, si può definire un operatore lineare tramite la seguente relazione:

ovvero:

O più esplicitamente:

Con tale definizione una qualsiasi relazione algebrica tra matrici si traduce nella corrispondente

relazione tra operatori.

L’ operatore definito dalla matrice coniugata Hermitiana A+ è l’ aggiunto dell’ operatore definito

dalla matrice A.

Si ha:

Una matrice Hermitiana Definisce un operatore Autoaggiunto.

La matrice I, così, definita:

n

t1

b = A a

< a │A b > = < A+ a │b >

gode della seguente proprietà

e si chiama Matrice Unità e l’ operatore da essa definito è l’ Operatore Identità.

Si definisce, inoltre, Matrice Inversa di A la matrice i cui elementi sono così definiti:

Dove “cof A” rappresenta la Matrice Cofattore. La matrice inversa di A gode, inoltre delle seguenti

proprietà:

e l’ operatore corrispondente (alla matrice inversa) è l’ inverso di quello corrispondente ad A.

Infine una matrice U Invertibile la cui inversa U-1 coincida con la coniugata Hermitiana U+ definisce

un Operatore Unitario e viene chiamata Matrice Unitaria.

La corrispondenza sopra stabilita tra matrici m x n ed operatori lineari in uno spazio ad n

dimensioni può essere completamente invertita, vediamo di dimostrare quanto qui asserito.

Particolarmente interessante, per gli argomenti che si vedranno in seguito, risulta lo spazio ad n

dimensioni delle matrici n x 1 (Matrici Colonna) del tipo:

I =

A I = I A = A

(A-1)rs = (1/det A) [(cof A)T]rs

A-1 A = A A-1 = I

a =

In tale caso la coniugata Hermitiana della matrice “a” sarà una matrice 1 x n (Matrice Riga) data

da:

Si osservi che lo spazio delle matrici n x 1 (ad n dimensioni) può essere strutturato come spazio di

Hilbert (Sn) ponendo:

ed è identificabile con l’ usuale spazio Cn.

Se ora si introduce in Sn una base ortonormale {│ej > } si può scrivere:

Si osservi, ora, che il vettore │a > è completamente individuato dall’ insieme dei coefficienti a1, a2,

…, an che possono essere disposti in una matrice colonna del tipo:

ed il prodotto interno può sempre essere scritto nella forma:

Si noti, in particolare l’ identificazione seguente:

a+ =

n< a │b > = a+ b = ∑ a*

j bj

j = 1

n│a > = a+ b = ∑ aj │ej >

j = 1

dove: aj = < ej │a >

a =

n< a │b > = a+ b = ∑ a*

j bj

j = 1

Inoltre dato in Sn un generico operatore lineare della forma:

Si ha:

posto,

e disposti tali numeri in una matrice della forma:

Si può riscrivere la M-4) nella forma:

Quindi ad ogni operatore lineare in Sn, fissata una certa base, si può far corrispondere una matrice

che lo individua completamente. E’ evidente che ogni relazione algebrica tra operatori si traduce

nella corrispondente relazione tra matrici.

e1 = … en = e2 =

│b > = A│a >

nM-4) bj = < ej │b > = < ej │A a > = ∑ < ej │A ek > ak

k = 1

Si osservi che talvolta l’ operatore viene indicato con  e gli elementi dello spazio con,

ad esempio, | y> riservando l’ uso della lettera A (senza cappuccio) per individuare la

matrice associata all’ operatore Â; ovviamente gli elementi dello spazio saranno indicati

semplicemente con, ad esempio, “y”.

Ajk = < ej │A ek >

A =

b = A a

Segue che all’ aggiunto di un operatore  corrisponde la coniugata Hermitiana della matrice

corrispondente all’ operatore stesso. In particolare ad un operatore autoaggiunto corrisponde una

matrice Hermitiana.

Si consideri ora in Sn la seguente Equazione agli Autovalori:

Per quanto visto precedentemente, questa si traduce nella equazione matriciale seguente:

ovvero:

La M-5) rappresenta un sistema lineare omogeneo nelle incognite y1, y2, …, yn.

La condizione perché la M-4) ammetta soluzioni Non Banali è espressa dalla relazione:

Particolarmente utile ed interessante è il seguente Teorema:

Un Operatore Simmetrico  è essenzialmente autoaggiunto se e soltanto se Â+ non possiede come

autovalori “i” né “-i”.

OPERATORI

Ritorniamo al concetto di Operatore. Un Operatore può esser visto come una “regola” che trasforma

una data funzione in un’ altra funzione. Per esempio l’ operatore d/dx trasforma una funzione

differenziabile f(x) in un’ altra funzione f’(x). Altri esempi sono l’ integrazione, la radice quadrata

 │y > = α│y >

A y = α y

n ∑ Ars ys = α yr

S = 1

o anche: n

M-5) ∑ (Ars - α δrs)ys = 0 S = 1

det (A - αI) = 0

eccetera. In meccanica quantistica le osservabili fisiche come ad esmpio l’ energia o il momento o

la posizione eccetera vengono rappresentati, da un punto di vista matematico, per mezzo di

operatori. Come esempio l’ operatore corrispondente all’ energia è l’ operatore Hamiltoniano che

formalmente si scrive nel modo seguente:

dove “i” è un indice corrispondente a tutte le particelle costituenti il sistema. Il valore medio di un’

osservabile A rappresentata dall’ operatore per un sistema nella situazione fisica rappresentata

dalla funzione d’ onda è dato da:

PROPRIETA’ DI BASE DEGLI OPERATORI

La somma e la differenza di due operatori e , sono date da:

Il prodotto di due operatori è definito dalla relazione seguente:

Due operatori sono uguali se:

Per tutte le funzioni “f”.

L’ operatore identità è un operatore che effettua la moltiplicazione per “1” ovvero:

( + ) f = f + f

( - ) f = f - f

f [ f]

f f

f = f

Per gli operatori vale la legge Associativa ovvero:

Tuttavia gli operatori non sempre commutano (legge commutativa) ovvero in generale

È, a tale proposito, conveniente definire la seguente quantità nota sotto il nome di commutatore di

e di , ovvero:

Inoltre si ha:

inoltre se e commutano, allora [ , ]= 0.

Particolarmente interessante è l’ espressione di elevato alla nma potenza, ovvero , definita

come “n” successive applicazioni dell’ operatore , ad esempio:

L’ esponenziale di un operatore , ovvero è definito dalla seguente serie di potenze:

OPERATORI LINEARI

Quasi tutti gli operatori in meccanica quantistica sono Operatori Lineari, ovvero operatori che

soddisfano le due seguenti condizioni:

( ) = ( )

[ , ] -

[ , ]= - [ , ]

f = f

(f + g) = f + g

(cf) = c f

dove “c” è una costante ed “f” e “g” sono funzioni.

Un operatore è definito Anti-Lineare se:

AUTOFUNZIONI ED AUTOVALORI

L’ autofunzione di un operatore è una funzione “f” tale che l’ applicazione di su f fornisce f

moltiplicata per una costante; in formule:

“k” è una costante chiamata autovalore dell’ osservabile A. Se è un operatore con una

autofunzione “g”, si può dimostrare che ogni multiplo di “g” è ancora autofunzione di . Inoltre

quando un sistema si trova in un autostato dell’ osservabile , ovvero quando la funzione d’ onda è

un’ autofunzione dell’ operatore , allora il valore di aspettazione di A è l’ autovalore della

funzione d’ onda. Inoltre nel caso in cui la funzione d’ onda sia una combinazione di autofunzioni,

ad esempio = caa + cbb, dove naturalmente a = a a e b = b b l’ aspettazione di A vale:

supponendo che a e b siano funzioni ortonormali.

Si noti che per il fatto che gli operatori in meccanica quantistica siano lineari, ci permette di

rappresentare tali operatori quantisitici come matrici e le funzioni d’ onda come vettori di uno

spazio vettoriale lineare.

OPERATORI HERMITIANI

(f + g) = * f + * g

f = k f

<A> = a ca2 + b cb2

Si è visto precedentemente che il valore dell’ aspettazione di un operatore è dato dalla

relazione e che tutte le osservabili fisiche sono rappresentate da tale

valore. Viene da se che una tale osservabile (per esempio l’ energia) deve essere reale. Gli

operatori in grado di soddisfare la precedente condizione sono detti Hermitiani e si può

scrivere . Si può, inoltre, dimostrare facilmente che per tali

operatori (Hermitiani) gli autovalori risultano reali ed inoltre i corrispondenti autovettori sono

ortogonali (o possono essere scelti tali) anche nel caso di degenerazione (si veda più avanti).