Lezioni Lincee

Meccanica Quantistica :

l’invisibile per poter capire il visibile

Sergio Doplicher

ORIGINI, NECESSITA’ E

PROSPETTIVE

Accademia dei Lincei, 8 Ottobre 2013

Origini e necessita

I moti dei corpi che possiamo vedere e toccare, deipianeti nel cielo (in tutte le situazioni in cui le forzegravitazionali non siano eccezionalmente intense) sonodescritti, praticamente alla perfezione, dalla Mecca-nica Classica (Galileo, Newton, Lagrange, Hamilton, .. .).

Allo stesso modo i fenomeni luminosi sono descrittidalla teoria classica dell’ Elettromagnetismo (Maxwell,Faraday, . . .).

La Meccanica Quantistica e essenziale per capire i fenomeniatomici e subatomici (dove le teorie classiche FALLIS-CONO, come ora ricorderemo).

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Ma anche, per capire quel che vediamo alla scala ordi-

naria, e che dipende da come vanno le cose alla scala

atomica e subatomica:

- perche vediamo dei colori;

- perche splende il sole; . . .

A temperature bassissime, anche oggetti macroscopici

possono essere sistemi QUANTISTICI:

- Magneti superconduttori (LHC);

- Calore specifico dei solidi;

ma anche a temperatura ambiente:

- calore specifico dei metalli conduttori; Laser; . . .

Quindi non solo in situazioni estreme, e non solo ascale microscopiche; anzi, il SISTEMA PIU’ ESTESOCHE POSSIAMO IMMAGINARE, LA RADIAZIONEDI FONDO COSMICO, E’ UN ”SISTEMA QUANTIS-TICO”.

Residuo della radiazione in equilibrio con la materia 13miliardi di anni fa.

Perche e ”un sistema quantistico”? Occorre fare unpasso indietro, alla fine del XIX secolo: ”problema del

corpo nero”.

Com’e fatta la radiazione elettromagnetica (onde radio,

microonde, infrarossi, luce visibile, ultravioletti, raggi X,

raggi γ, in ordine di frequenza crescente) in equilibrio

termico con la materia?

Leggi (che seguono dai principi della Termodinamica e

dell’elettromagnetismo):

- Kirchhoff (1860): la densita di energia della radi-

azione, per unita di volume e di intervallo di frequenza

ν, in equilibrio alla temperatura assoluta T , e una FUN-

ZIONE UNIVERSALE u(ν, T );

- Wien (1893): u(ν, T ) = ν3f(ν/T );

Segue che il valore massimo di u(ν, T ) si trova a una

frequenza νm =Costante x T , dove la ”Costante” e

universale .

Se p.es. la frequenza massima cade nel visibile, il

colore della radiazione ci dira la temperatura. Esempio:

stelle rosse = ”fredde”;

stelle azzurre = ”calde”.

L’esperienza conferma queste leggi. Ecco la forma

sperimentale di u(ν, T ):

(Figura in S.M.McMurry: Quantum Mechanics, Addi-

son - Wesley, 1994).

Problema del corpo nero = Calcolo teorico di u(ν, T ).

”Paradosso del corpo nero” = nelle teorie classiche,

l’equilibrio e IMPOSSIBILE!

Soluzione del paradosso: prima irruzione di aspetti quan-

tistici nelle Teorie Fisiche.

Ma prima di parlare di cio, due parole sull’esempio piu

notevole di radiazione del corpo nero: un Sistema Quan-

tistico esteso quanto l’Universo conosciuto.

E il CMB, ”fondo cosmico di microonde”, radiazione

onnipresente, con distribuzione pari alla radiazione del

corpo nero a T = 2,725 gradi Kelvin (circa 270 gradi

sotto zero).

Radiazione in equilibrio termico con la materia circa

300.000 anni dopo la nascita dell’universo, e raffred-

datasi per l’espansione dell’Universo nei circa 13 miliardi

di anni successivi.

Coincidenza impressionante con la curva teorica, pre-

vista dalla Meccanica Quantistica.

(Figura in E. Persico: Fundamentals of Quantum Me-

chanics, Prentice - Hall, 1957).

Il fatto stesso che la temperatura di equilibrio della

CMB sia con ottima approssimazione la stessa in tutte

le direzioni, pone un serio problema: come poteva sta-

bilirsi l’equilibrio in un universo in rapida espansione,

senza che le interazioni si propagassero con velocita

maggiore di quella della luce?

”INFLAZIONE”.

Ma anche altre spiegazioni, p.es. SPAZIOTEMPO QUAN-

TISTICO (commenti alla fine).

Sono state misurate (Boomerang, COBE, WMAP, PLANCK)

le fluttuazioni attorno alla temperatura di equilibrio (dell’ordine

di una parte su centomila) fino a minime frazioni di

grado.

Le fluttuazioni si estendono in macchie con estensione

angolare apparente pari circa a quella della luna. Per-

fettamente in accordo con calcoli teorici.

Questo accordo prova che nel viaggiare sino a noi la

radiazione si e propagata in linea retta.

Se l’Universo fosse curvo come una sfera, l’angolo ap-

parente sarebbe maggiore; se fosse curvo come una

sella, sarebbe minore.

Questi dati ci dicono che: l’universo e in una fase

di espansione accelerata; forniscono l’eta dell’universo,

13,81 miliardi di anni, MA ANCHE una indicazione

sconvolgente:

energia/materia/radiazione che possiamo osservare =

= solo 4 per cento circa dell’energia totale;

” materia oscura” = circa 23 per cento dell’energia

totale;

” energia oscura” = circa 73 per cento dell’energia

totale.

La materia oscura indirettamente ”si vede”; un es-

empio, gli effetti di un suo accumulo (Abell 1689) a 2,3

miliardi di anni luce da noi:

Quindi la curva dell’energia del corpo nero, che ci ha

introdotto ai primi enigmi della Meccanica Quantistica

con la Teoria di Planck dell’anno 1900 di cui ora par-

leremo, ci porta ancora adesso sulla soglia dei piu ardui

enigmi della Fisica d’oggi.

Come si spiega questa curva? Poiche e universale, per

calcolarla basta fare riferimento al modello piu semplice

di ”materia”:

” oscillatore armonico unidimensionale” (come un pen-

dolo per piccole oscillazioni, o un punto materiale lungo

una guida rettilinea, legato da una molla perfettamente

elastica)

in numero enorme di copie (in equilibrio termodinamico

a temperatura assoluta T ), ciascuna dotata della carica

elettrica elementare e, quindi in interazione con i campi

elettrici e magnetici della radiazione.

Interazione implica cessione di energia agli oscillatori (i

campi della radiazione forzano le oscillazioni) e vicev-

ersa emissione da parte loro di energia come radiazione

elettromagnetica, come accade alle cariche accelerate.

Devono bilanciarsi all’equilibrio; ne segue la formula:

u(ν, T ) = (8πν2/c3)E

dove E indica l’energia media di un oscillatore ar-

monico unidimensionale in una assemblea in equilibrio

termodinamico a temperatura assoluta T .

E qui arrivano i guai. Secondo la Meccanica Classica

E = kT .

Segue la formula di Raleigh - Jeans:

u(ν, T ) = (8πν2/c3)kT

dove k e una costante universale (costante di Boltz-

mann = costante dei gas / Numero di Avogadro).

PARADOSSO . Via d’uscita (Planck, 1900):

energia di oscillatore di frequenza ν puo assumere solo

i valori:

0, hν, 2hν, 3hν, . . .

Il calcolo dell’energia media E cambia, e fornisce una

nuova forma per la funzione di Kirchhoff:

u(ν, T ) =8πν2

c3hν

ehν/kT − 1

la DISTRIBUZIONE DI PLANCK , in accordo perfetto

con l’esperienza, e con la legge di Wien.

(Figura in E. Persico: Fundamentals of Quantum Me-

chanics, Prentice - Hall, 1957).

Planck calcolo, dai dati sperimentali sul corpo nero, il

valore della nuova costante universale , la COSTANTE

DI PLANCK :

h ha ”dimensioni”: massa x velocita x lunghezza =

azione;

h e pari a circa 6 miliardesimi di miliardesimo di mil-

iardesimo di grammo x (centimetro / secondo) x cen-

timetro.

Perche l’energia di oscillatore armonico dovrebbe avere

solo valori discreti ? Sono occorsi circa 25 anni per

sciogliere l’enigma , dopo averne incontrati molti altri:

- EFFETTO FOTOELETTRICO (Einstein, 1905);

- ESPERIENZA DI RUTHERFORD (Bohr 1913);

- CALORI SPECIFICI DEI SOLIDI; etc.

Effetto fotoelettrico: estrazione da un metallo di elet-

troni di conduzione causata da luce incidente.

Si osserva: se la frequenza della radiazione e inferiore a

una certa soglia (che dipende dal metallo) nessun elet-

trone viene estratto, indipendentemente dalla intensita

della radiazione. Questo sarebbe incomprensibile

senza una idea rivoluzionaria (Einstein, 1905):

- l’energia della radiazione di frequenza ν e portata

da unita indivisibili (fotoni), ciascuno con energia

hν .

EFFETTO COMPTON (diffusione di raggi X, γ da

elettroni) conferma.

Radiazione del corpo nero: equilibrio tra emissione e

assorbimento di fotoni; gas di fotoni (indistinguibili!)

in equilibrio termico: distribuzione di Planck (Albert

Einstein 1917; Satyendra Nath Bose 1924).

Dunque il fotone si comporta come una particella, ma

la luce e un fenomeno ondulatorio (diffrazione, in-

terferenza, . . . ottica e equazioni di Maxwell).

Sembrava un’incongruenza da superare; invece, come

ora vedremo, era la prima spia d’un fatto generale, e

una finestra su un mondo nuovo.

Per accorgersene e stato necessario imbattersi in altre

difficolta; forse la maggiore emergeva dall’esperienza

di Rutherford (1911): prova del modello planetario

degli atomi.

PARADOSSI:

Gli elettroni orbitanti avrebbero dovuto emettere ra-

diazione cedendo tutta la loro energia e precipitando

sul nucleo. Si avrebbe INSTABILITA’ della materia,

SPETTRO CONTINUO di emissione. In realta la

materia e stabile e con uno spettro discreto, lo spet-

tro di righe (e per questo vediamo dei colori; righe

nello spettro solare, scomposta nelle frequenze da un

prisma).

H visibile.png

(Figura in Alain Connes: Noncommutative Geometry,Academic Press)

Come uscirne?

PRIME RISPOSTE:

(I) Come per l’ oscillatore armonico, i valori possibiliper l’energia dei sistemi atomici , e di ogni sistemalegato, . . ., sono una serie discreta.

(II) negli scambi con la radiazione, il ”salto” da unlivello all’altro, di energia E,E′, puo avvenire solo perEMISSIONE O ASSORBIMENTO DI UN SINGOLOFOTONE, in modo che l’energia si conservi:

E − E′ = hν.

Spettro di righe. Il livello per cui il valore dell’energia eil piu piccolo di tutti, e stabile .

ESPERIENZA DI FRANCK E HERTZ: livelli discreti simanifestano anche nelle collisioni.

MA: perche i valori dell’energia formano una serie disc-reta? Come si calcola?

Alba della soluzione: come la luce e un fenomenoondulatorio governato da un’ Equazione delle onde

(equazioni di Maxwell), eppure composta da parti-

celle (fotoni), cosı il moto di ogni particella e UN

FENOMENO ONDULATORIO , governato da un’EQUAZIONE DELLE ONDE (Louis De Broglie, 1924;Erwin Schroedinger, 1926).

Perche sarebbe un passo verso la soluzione? Analogia:

una corda vibrante emette frequenze che sono multipli

di una frequenza fondamentale.

Ma:

particelle che vediamo: attraversano feritoia indistur-

bate;

onde del mare: attraversano pertugio in una diga subendo

DIFFRAZIONE; SOVRAPPOSIZIONE, INTERFERENZA.

Diffrazione: Esperienza di Davisson e Germer. Micro-

scopio elettronico.

Sovrapposizione e interferenza: Esperienza di Young,

doppia fenditura.

Funzione d’onda: il suo modulo quadro fornisce la DEN-

SITA’ DI PROBABILITA’ .

(Figura in S.M.McMurry: Quantum Mechanics, Addi-

son - Wesley, 1994).

Heisenberg (1925): dobbiamo formulare la dinamica dei

sistemi atomici SOLO IN TERMINI DI GRANDEZZE

ACCESSIBILI ALL’ ESPERIENZA (LEZIONE DI

EINSTEIN (1905)).

Questo porta a CONDIZIONI DI QUANTIZZAZIONE

in termini di ”ampiezze”.

Heisenberg (1927): se cerchiamo di misurare simul-

taneamente posizione e velocita di un elettrone (p.es.

orbitante attorno al nucleo in un atomo), e impossibile

farlo con accuratezza arbitraria:

piu precisamente, se consideriamo l’impulso p = mv,

massa x velocita; le INDETERMINAZIONI nella

misura della stessa componente (p.es. verticale) della

posizione q e dell’impulso p sono legate da REGOLE

DI INDETERMINAZIONE :

∆q∆p & h

dove h e la costante di Planck.

ESATTAMENTE quanto descritto dalla DIFFRAZIONE

delle onde attraverso pertugio di ampiezza ∆q.

”Probabilita, indeterminazioni”, . . . ; tutto diventa

vago e impreciso? NO!

La piu profonda connessione tra tutto cio (chiave della

Meccanica Quantistica) scoperta da Max Born, (Born

e Jordan, 1925):

Se associamo a posizione e impulso le ”matrici di

ampiezze”, munite del prodotto righe per colonne, le

condizioni di quantizzazione di Heisenberg diventano:

pq − qp = h/2πi.

Implica relazioni di indeterminazione (Pauli).

La NON COMMUTATIVITA caratterizza la MQ.

AB = BA solo se A e B si possono misurare simul-

taneamente (osservabili compatibili).

Osservabili: ”operatori lineari autoaggiunti su uno spaziodi Hilbert”; spettro:

numeri λ per cui Ax = λx ha soluzioni in quello spazio;

tipicamente ha due componenti: spettro discreto (in-sieme dei numeri λ per i quali esistono soluzioni esattenel medesimo spazio ) + spettro continuo (vi esistonosolo soluzioni approssimate, accuratezza arbitraria).

Operatore energia. Spettro discreto: Stati legati; Spet-tro continuo: stati di diffusione.

Esempio raro di fatti fondamentali (altrimenti incom-prensibili) che diventano d’una chiarezza luminosa conuna limpida spiegazione matematica.

Esistenza di osservabili non compatibili = Non Commu-tativita = ragione perche, sui valori di molti osservabili,sono possibili solo previsioni probabilistiche (anche instati ”puri”).

Non Commutativita: estranea alla intuizione alla qualel’evoluzione ci ha portato, quanto l’idea stessa dellaevoluzione, in contrasto con l’idea che la Natura pro-ceda verso una finalita.

Lezione ”filosofica”: la NATURA ci ha imposto unmodo di pensare ed uno schema matematico che cisiamo ostinati a lungo a non vedere, anche se i trefamosi lavori di Einstein (venticinquenne) del 1905 necontenevano tutte le radici. Bisognava scontrarsi conparadossi e fatti sperimentali inspiegabili.

Le ”Leggi di Natura” esistono nella Natura, noi le vedi-

amo in forma sfuocata, e in versioni via via piu precise

con l’avvento di nuove teorie. Ma ogni nuova versione

non cancella la precedente, piuttosto precisa i limiti

della sua validita approssimata. In questo senso, le leggi

della Natura, anche quelle della FISICA CLASSICA,

sono verita definitive, come in pochi altri domini del

sapere.

Oggi, la MQ e uno schema irrinunciabile che spiega

quello che vediamo, dalla forma della distribuzione del

CMB a perche vedete il colore degli occhi della ragazza

o del ragazzo di cui siete innamorati o innamorate.

Prospettive

L’idea rivoluzionaria e fondamentale di James Clerk

Maxwell era stata che i campi Elettrico e Magnetico

sono osservabili associati ai punti dello spazio ed ad un

istante del tempo, e che le forze elettriche e magnetiche

non sono ”azioni a distanza”, ma l’effetto dei campi in

un punto sulle cariche in quel punto (ed a quell’istante).

Per la Meccanica Quantistica quegli osservabili devono

essere operatori.

TEORIA DEI CAMPI (Dirac, Fermi, Wigner, Jor-

dan) (anni 30). Risultati numerici paradossali. Rinor-

malizzazione (Hans Bethe,1948; Feynman, Tomonaga,

2

Schwinger, Dyson, Bogoliubov, Zimmermann, Hepp, .

. . sino ad oggi).

Modello Standard: teoria dei campi ”rinormalizzabile”

che descrive le forze conosciute (deboli ed elettromag-

netiche; nucleari) ad esclusione delle (debolissime!) forze

gravitazionali tra particelle elementari.

Successo enorme:

Calcoli approssimati (terribilmente complessi) con il Mod-

ello Standard sono in accordo con le esperienze; previ-

sione dell’esistenza del Bosone di Higgs confermata al

LHC (CERN, Ginevra, 2012). Progresso verso la com-

prensione perche l’Universo e quel che ci appare.

Trionfo della Teoria dei Campi: fonde la Meccanica

Quantistica e la Relativita speciale. Si incontrano

nel Principio di Localita:

Se A e B sono osservabili che si misurano in regioni

dello spazio e intervalli di tempo tali che nessun segnale

che viaggi con velocita non superiore a quella della luce

possa viaggiare dall’una all’altre regione nei tempi in cui

le misure avvengono, allora A e B sono compatibili:

AB = BA.

Tuttavia non sono conosciute soluzioni esatte, ne si

puo essere certi che ne esistano.

Premio Clay: 1 Milione di Dollari US.

E LE FORZE GRAVITAZIONALI ? In grande (scala

astrofisica o cosmologica) descritte, praticamente alla

perfezione, dalla Relativita Generale di Einstein (1917).

(Nata da esigenza estetica e concettuale, ha poi rice-

vuto conferme sperimentali sorprendenti: dalle ”Pulsars

binarie” ai navigatori satellitari.)

Per campi deboli, si riduce alla Legge di Newton: forza

attrattiva F = GmM/R2.

Verificata in laboratorio per R non inferiore a circa un

centimetro.

E’ naturale supporre che valga anche a distanze pic-

colissime. Ma:

NON ESISTE UNA TEORIA QUANTISTICA DEI

CAMPI CHE INCLUDA ANCHE LE FORZE GRAV-

ITAZIONALI tra particelle elementari.

La MQ e la RG sono compatibili? (Teoria delle Stringhe?)

Spia delle difficolta fondamentali: il concetto di spazio-

tempo va ripensato.

Per dire che un evento accade in un punto dello spazio

a un dato istante dobbiamo misurare la posizione.

Misura con incertezza ∆q richiede momento incontrol-

labile pari almeno a h/∆q. Quindi energia almeno pari

a hc/∆q.

Relativita Generale: energia e massa sono la stessa cosa

e generano un campo gravitazionale. Anche i fotoni

”pesano” e ”attraggono”.

Se una massa M e distribuita con simmetria sferica

all’interno di una sfera di raggio R molto piccolo,

l’attrazione gravitazionale esercitata p.es. su un fo-

tone puo essere cosı intensa da impedirgli di sfuggire e

raggiungere un osservatore lontano. Piu esattamente,

se R e minore del

RAGGIO DI SCHWARZSHILD = 2GM/c2,

NESSUN SEGNALE PUO’ SCAPPARE (Buco nero).

Segue che se la localizzazione del nostro evento e a

simmetria sferica, l’incertezza ∆q non puo essere piu

piccola del Raggio di Schwarzchild associato all’energia

trasmessa secondo il principio di Heisenberg, altrimenti

L’EVENTO CHE VOLEVAMO LOCALIZZARE SAREBBE

CELATO IN UN BUCO NERO.

Quindi c’e un minimo per il valore comune delle in-

certezze

∆q & λP ,

λP =(Gh

2πc3

)1/2

Questa lunghezza, la LUNGHEZZA DI PLANCK, e

abissalmente piccola: circa 1.6 milionesimi di miliardes-

imo di miliardesimo di miliardesimo di centimetro!

(Se volete confrontare le dimensioni dell’Universo conosci-

uto con quelle d’un fiore, dovreste dilatare quel fiore di

un fattore 10 per 28 volte ; per portare quel fiore alla

lunghezza di Planck, dovreste invece rimpicciolirlo di un

fattore 10 per 33 volte !).

E se localizziamo un evento con incertezze nelle coor-

dinate (latitudine, longitudine, quota, tempo) diverse

tra loro?

RELAZIONI DI INDETERMINAZIONE tra le coordi-

nate.

Come le relazioni di indeterminazione di Heisenberg traposizione e impulso, anche queste sono la spia di unastruttura rigida e non commutativa.

SPAZIOTEMPO QUANTISTICO.

Propagazione istantanea di effetti fisici per distanzedell’ordine della lunghezza di Planck (acausalita).

Modelli di Spaziotempo quantistico prevedono che ilraggio di propagazione acausale puo essere maggiore, ecrescere con la densita di energia. Questo spiegherebbel’equilibrio quasi esatto del CMB, senza ricorrere all’ipotesidella Inflazione.

La localita e fatalmente perduta alla scala di Planck.

Sostituita da un Principio esatto oggi sconosciuto. Nuova

Fisica. Oggi nessun accesso sperimentale (energie ir-

raggiungibili con acceleratori).

Torniamo all’inizio. CMB: ”termalizzata” quando l’universo

aveva circa 300.000 anni. E prima? Possiamo avere in-

formazioni precise?

Altri tipi di radiazione di fondo (neutrini, Onde Grav-

itazionali? - per le quali c’e solo evidenza indiretta:

mai osservate finora) potrebbero dare informazioni sui

primissimi istanti, che dovrebbero rivelare gli ASPETTI

QUANTISTICI DELLA GRAVITAZIONE.

Tre massimi problemi per questo secolo (o per i prossimi

secoli . . .):

I. TEORIA QUANTISTICA DELLA GRAVITAZIONE

E DI TUTTE LE FORZE FONDAMENTALI.

II: QUALE MECCANISMO HA PORTATO ALLA

FORMAZIONE DEL DNA, RNA a partire dagli

dagli amminoacidi.

III: SPIEGAZIONE DELLA COSCIENZA COME

UN PROCESSO NEURALE.

Alcuni testi divulgativi:

Heinz R. Pagels Il codice cosmico Bollati Boringhieri

Heinz R. Pagels The Cosmic Code: Quantum Physics

As the Language of Nature Dover Books on Physics

Steven Weinberg I primi tre minuti Mondadori

Richard P. Feynman La legge fisica Bollati Boringhieri

Richard P. Feynman QED. La strana teoria della luce

e della materia Adelphi

Harald Fritzsch Galassie e particelle Bollati Boringhieri

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