3 Matrici

Definizione 3.1 (Definizione di matrice). Si definisce matrice di numeri reali di tipo n ×m unatabella a doppia entrata con m righe ed n colonne:

A =

a11 a12 . . . . . . a1na21 a22 . . . . . . a2n. . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . . . . amn

dove a11, a12, ..., amn ∈ R.Le matrici vengono indicate con lettere maiuscole in grassetto. Si indica con aij il generico elementodella matrice A individuato dalla riga i e dalla colonna j.

Le n-ple (a11, a12, . . . , a1n), (a21, a22, . . . a2n), ecc. sono dette righe o vettori riga della matrice Ae si denotano con Ai, i = 1, . . . ,m se la matrice ha m righe.

Le m-ple di numeri reali (a11, a21, . . . , am1), (a12, a22, . . . , am2), ecc. si dicono colonne o vettoricolonna della matrice A e si indicano con Aj, j = 1, . . . , n se la matrice ha n colonne.

Una matrice si dice quadrata se il numero di righe e uguale al numero delle colonne, ovvero sem = n. Ia questo caso A si dice matrice quadrata di ordine n.

Esempio 3.2. La matrice

A =

(−1 3 50 −2 9

)e una matrice di tipo 2× 3. L’elemento a23 e 5.

La matrice

B =

−1 3 50 −2 93 4 6

e una matrice quadrata di ordine 3.

Definizione 3.3 (Diagonale principale di una matrice). Se A e una matrice quadrata di ordine n, sidefinisce diagonale principale la n-upla (a11, a22, . . . , ann).

Esempio 3.4. La diagonale principale della matrice B dell’esempio 4.2 e (−1,−2, 6).

Definizione 3.5 (Sottomatrice di una matrice A). Data una matrice A di tipo m × n, si definiscesottomatrice di A di tipo p × q ogni matrice che si ottiene da A cancellando m − p righe ed n − qcolonne.

Definizione 3.6 (Uguaglianza tra matrici). Due matrici A e B si dicono uguali se hanno lo stessonumero di righe m e di colonne n e se aij = bij, per i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n.

Definizione 3.7 (Trasposta di una matrice). Data la matrice A di tipo m × n, si definisce traspostadi A e si indica con AT la matrice di tipo n×m che ha per righe le colonne di A e per colonne le righedi A.Evidentemente si ha (AT )T = A.

Esempio 3.8. Data la matrice

A =

(−1 3 50 −2 9

)la sua trasposta e

AT =

−1 03 −25 9

Definizione 3.9 (Matrice simmetrica). Una matrice quadrata A si dice simmetrica se A = AT . Inuna matrice simmetrica si ha aij = aji per ogni scelta degli indici i, j.

1

Esempio 3.10. La matrice

A =

−1 2 52 −2 95 9 4

e una matrice simmetrica.

Definizione 3.11 (Matrice antisimmetrica). Una matrice quadrata e detta antisimmetrica se −bsAT =bsA, ovvero se aij = −aji,per ogni scelta degli indici i, j. Si noti che quest’ultima implica che aii = 0,∀i.

Esempio 3.12. La matrice

A =

0 1 −3 −6−1 0 7 −93 −7 0 46 9 −4 0

e una matrice antisimmetrica.

Definizione 3.13 (Matrici triangolari). Una matrice quadrata A si dice triangolare inferiore se glielementi al di sopra della diagonale principale sono nulli. La matrice quadrata A si dice triangolaresuperiore se gli elementi al di sotto della diagonale principale sono nulli; i.e.

A e triangolare inferiore se aij = 0, per i < j

A e triangolare superiore se aij = 0, per i > j.

Esempio 3.14. La matrice

A =

−1 0 02 −2 05 9 4

e una matrice triangolare inferiore.

La matrice

B =

−1 5 60 −2 30 0 4

e una matrice triangolare superiore.

Definizione 3.15 (Matrice diagonale). Una matrice quadrata A si dice diagonale se aij = 0 per ognii 6= j cioe ogni elemento al di fuori della diagonale principale e nullo.

Esempio 3.16. La matrice

A =

−1 0 00 −2 00 0 9

e una matrice diagonale.

Definizione 3.17 (Matrice identita). Si definisce matrice identita di ordine n e si indica con I o conIn, la matrice diagonale che ha aii = 1, con i = 1, . . . , n e aij = 0 con i = 1, . . . , n j = i, . . . , n e i 6= j.

Esempio 3.18.

I3 =

1 0 00 1 00 0 1

Definizione 3.19 (Matrice nulla). Si definisce matrice nulla di tipo n×m e si indica con 0, la matriceche ha tutti gli elementi nulli (aij = 0, per i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . n).

Esempio 3.20.

0 =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

e una matrice nulla di tipo 3× 4

2

Operazioni sulle matrici

Definizione 3.21 (Somma di matrici). Siano A e B due matrici a coefficienti reali aventi la stessadimensione m× n.

Si definisce somma delle matrici A e B, la matrice C = A +B il cui generico elemento cij edato da cij = aij + bij. La somma di matrici gode delle seguenti proprieta:

• associativa (A+B) +C = A+ (B +C)

• commutativa A+B = A+B

• esistenza dell’elemento neutro A+ 0 = 0 +A = A

• esistenza dell’opposto A+ (−A) = 0 (−A := [−aij ]).

Esempio 3.22.

A =

1 3 22 2 05 9 4

B =

1 5 61 2 37 0 4

C = A+B =

1 + 1 3 + 5 2 + 22 + 1 2 + 2 0 + 35 + 7 9 + 0 4 + 4

Definizione 3.23 (Prodotto di una matrice per uno scalare). Data la matrice A e uno scalare λ ∈ R,si definisce prodotto della matrice A per lo scalare λ, la matrice

λA =

λa11 λa12 . . . λa1nλa21 λa22 . . . λa2n. . . . . . . . . . . .λam1 λam2 . . . λamn

Esempio 3.24.

λ = 2

A =

1 3 22 2 05 9 4

λA =

2 · 1 2 · 3 2 · 22 · 2 2 · 2 2 · 02 · 5 2 · 9 2 · 4

=

2 6 44 4 010 18 8

Osservazione 3.25. Siano A e B due matrici ed h e k due numeri reali, valgono le seguenti proprieta:

i) (h+ k)A = hA+ kA,

ii) (h · k)A = h(kA),

iii) h(A+B) = hA+ hB,

iv) 1A = A,

Pertanto l’insieme delle matrici m × n costituisce uno spazio vettoriale reale sul campo realerispetto alle operazioni di somma e prodotto per uno scalare.

3

Definizione 3.26 (Prodotto righe per colonne). Siano date A matrice m × n e B matrice n × t. Ilprodotto righe per colonne di A per B e la matrice C = AB del tipo m × t, i cui elementi sono datidalla seguente formula:

C = [cij ] =

n∑k=1

aikbkj .

Per capire bene quali sono gli elementi della matrice C, proviamo a descrivere ciascun elemento. Adesempio, l’elemento della riga i e della colonna j e il prodotto scalare della i-esima riga di A per laj-esima colonna di B.

Osservazione 3.27. Si noti che il prodotto tra due matrici e definito se e solo se il numero di colonnedi A e pari al numero di colonne di B, cioe se A e B sono conformabili. Inoltre risulta che AB hatante righe quante ne ha A e tante colonne quante ne ha B. Si osservi infine che il prodotto righe percolonne in generale non e commutativo; puo accadere che il prodotto AB sia ben definito, mentre BAnon lo sia. In generale si ha AB 6= BA.

Esempio 3.28 (Prodotto righe per colonne). Il prodotto righe per colonne di

A =

(5 1 8−6 −2 −4

)per

B =

−3 10 1−9 0

e la matrice C = AB di tipo 2× 2 cosı ottenuta:

C =

(−87 654 −8

).

Definizione 3.29 (Proprieta del prodotto righe per colonne). Per il prodotto righe per colonne valgonole seguenti proprieta:

i) proprieta associativa: se A e moltiplicabile a destra per B e il prodotto AB e moltiplicabile adestra per C, allora (AB)C = A(BC),

ii) proprieta di esistenza dell’elemento neutro (a destra e a sinistra): Se A e una matrice di tipom× n, allora A e moltiplicabile a destra per la matrice identica di ordine n: In e a sinistra per lamatrice identica di ordine m : Im, e risulta AIn = ImA = A.

Osservazione 3.30. Vale anche la proprieta distributiva della somma rispetto al prodotto, i.e.se A e B sono due matrici di tipo m×n e C e una matrice di tipo n×t, risulta che (A+B)C = AC+BC.Analogamente se D e una matrice di tipo s×m, si ha D(A+B) = DA+DB.

Esempio 3.31. Eseguire tutti i prodotti possibili tra le seguenti matrici:

A =

1 2 −10 1 1−1 0 2

,B =

121

,C =(

0 1 1),D =

(1 44 2

),E =

0 −54 26 1

Dal momento che A e una matrice 3 × 3, B e una matrice 3 × 1, C e una matrice 1 × 3, D e una

matrice 2× 2, E e una matrice 3× 2, i prodotti possibili sono:

AB =

431

,AE =

2 −210 312 7

,BC =

0 1 10 2 20 1 1

,

CA =(−1 −1 3

),CE =

(10 3

),ED =

−20 −1012 2010 26

,CB = 3.

4

Esempio 3.32. Data la matrice

A =

1 1 −10 2 1/20 −2 −1

,

verificare che e

A2 −AT + I3 =

1 5 1/2−1 2 5/21 −5/2 2

Matrici a blocchi

Definizione 3.33. Sia A una matrice di tipo m × n e sia ai,j il generico elemento della riga i e dellacolonna j. Comunque si scelgano dei numeri interi positivi p, q, r e s tali che n = p+ q e m = r + s, sipossono considerare le matrici B di tipo p× r, C di tipo p× s, D di tipo q× r e E di tipo q× s, definitecome segue:

bi,j = ai,j per i = 1, ..., p j = 1, ..., sci,j = ai,j per i = 1, ..., p j = s+ 1, ...,mdi,j = ai,j per i = p+ 1, ..., n j = 1, ..., sei,j = ai,j per i = p+ 1, ..., n j = s+ 1, ...,m.

Pertanto la matrice A risultera partizionata nel modo seguente

A =

(B CD E

)e viene definita matrice a blocchi, mentre le sottomatrici B, C, D ed E si dicono blocchi dellamatrice A.

Si osservi che il numero di blocchi in cui si puo suddividere una matrice non deve essere necessaria-mente 4; quindi sia la definizione precedente che i risultati che seguono valgono per tutte le scelte delnumero di blocchi in cui si suddivide la matrice.

Esempio 3.34. Sia data la matrice

A =

1 5 7 72 2 3 31 −1 4 54 −4 4 31 3 9 10

.

Si possono definire, ad esempio, i blocchi nel modo seguente:

B =

1 5 72 2 31 −1 4

C =

735

D =

(4 −41 3

)E =

(4 39 10

).

L’utilizzo delle matrici a blocchi consente di semplificare le operazioni tra matrici in quanto sussistonole seguenti proprieta.

Osservazione 3.35. Siano A =

(B CD E

)e A′ =

(B′ C′

D′ E′

)due matrici a blocchi del tipo m×n

e supponiamo che i blocchi corrispondenti abbiano le stesse dimensioni. Dalle definizioni di somma dimatrici e di prodotto di una matrice per uno scalare λ segue banalmente che

A+A′ =

(B +B′ C + C′

D +D′ E + E′

)e λA =

(λB λCλD λE

).

5

Proposizione 3.36. Siano A =

(B CD E

)una matrice a blocchi del tipo m×n e A′ =

(B′ C′

D′ E′

)una matrice a blocchi del tipo n × l. Si supponga che i blocchi corrispondenti delle due matrici abbianole dimensioni compatibili con l’operazione di prodotto tra matrici. Allora risulta

AA′ =

(BB′ + CD′ BC′ + CE′

DB′ + ED′ DC′ + EE′

).

Esempio 3.37. Siano A =

2 3 4 0 0 03 2 3 0 0 04 2 3 0 0 04 1 1 2 3 11 3 2 1 2 1

e A′ =

1 2 1 21 3 3 12 1 1 30 0 3 10 0 1 30 0 2 1

matrici; si noti che

il numero di colonne della matrice A e uguale al numero di righe della matrice A′, per cui ha sensoconsiderare il prodotto AA′ delle due matrici. Introduciamo in modo opportuno delle partizione in blocchidelle due matrici. A tal proposito definiamo

B =

2 3 43 2 34 2 3

, C =

0 0 00 0 00 0 0

, D =

(4 1 11 3 2

), E =

(2 3 11 2 1

),

B′ =

1 21 32 1

, C′ =

1 23 11 3

, D′ =

0 00 00 0

, E′ =

3 11 32 1

,

ossia in definitiva risulta A =

(B CD E

)e A′ =

(B′ C′

D′ E′

).

Utilizzando la proposizione precedente, si ha che AA′ =

(BB′ BC′

DB′ DC′ + EE′

).

Calcoliamo i seguenti prodotti con l’usuale prodotto riga per colonna:

BB′ =

13 1711 1512 17

, BC′ =

15 1912 1713 19

, DB′ =

(7 128 13

), DC′ =

(8 1212 11

), EE′ =

(11 127 8

).

Risulta infine AA′ =

13 17 15 1911 15 12 1712 17 13 197 12 19 248 13 19 19

.

6