MATEMÁTICA I

DIFERENCIAIS

Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

INTRODUÇÃO

Sabemos que

𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

Δ𝑥→0

𝑓 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑥

Δ𝑥

• Em alguns problemas, é útil interpretar 𝑑𝑦

e 𝑑𝑥 separadamente.

• 𝑑𝑦 é considerado diferencial da variável

dependente 𝑦

• 𝑑𝑥 é considerado diferencial da variável

independente 𝑥

INTRODUÇÃO

• Se um incremento da variável

independente 𝑥 para um ponto

𝑃 𝑥, 𝑦 sobre a curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 é

denotado por 𝑑𝑥, então:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓′ 𝑥 = tg 𝜃

• 𝑑𝑦 denota o incremento da ordenada da tangente em 𝑃.

• Observe que a diferencial 𝑑𝑦 e o incremento Δ𝑦 da

função, correspondentes ao mesmo valor de 𝑑𝑥 = Δ𝑥, não

são, em geral, iguais.

Δ𝑦

𝑦 = 𝑓 𝑥

𝑑𝑥 = Δ𝑥

𝑥 𝑥 + Δ𝑥

INTRODUÇÃO

Seja

• 𝑓′ 𝑥 a derivada de 𝑦 = 𝑓 𝑥 para um valor

particular de 𝑥, ou seja, 𝑑𝑓 𝑥

𝑑𝑥= 𝑓′ 𝑥 ;

• Δ𝑥 um incremento de 𝑥 escolhido arbitrariamente;

então a diferencial de 𝑦, denotada por 𝑑𝑓 𝑥 ou 𝑑𝑦, é:

𝑑𝑦 = 𝑑𝑓 𝑥Δ𝑥

Δ𝑥= 𝑑𝑓 𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥=

𝑑𝑓 𝑥

𝑑𝑥𝑑𝑥 = 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥

e a diferencial de 𝑥, denotada por 𝑑𝑥, é:

𝑑𝑥 = Δ𝑥

EXEMPLO 1

Seja 𝑦 = 3𝑥2 − 5 e seja ∆𝑥 um incremento de 𝑥.

(a) Estabeleça as fórmulas gerais para ∆𝑦 e 𝑑𝑦

(b) Se 𝑥 varia de 2 para 2,1, determine os valores de ∆𝑦 e 𝑑𝑦.

Solução. Se 𝑦 = 3𝑥2 − 5, então

(a) ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥

∆𝑦 = 3 𝑥 + ∆𝑥 2 − 5 − (3𝑥2 − 5)

∆𝑦 = 3 𝑥2 + 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥 2 − 5 − 3𝑥2 + 5

∆𝑦 = 3𝑥2 + 6𝑥∆𝑥 + 3 ∆𝑥 2 − 5 − 3𝑥2 + 5

∆𝑦 = 3 ∆𝑥 2 + 6𝑥∆𝑥

𝑑𝑦 = 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥

𝑓′ 𝑥 =𝑑

𝑑𝑥3𝑥2 − 5 = 6𝑥

𝑑𝑦 = 6𝑥𝑑𝑥

EXEMPLO 1

Seja 𝑦 = 3𝑥2 − 5 e seja ∆𝑥 um incremento de 𝑥.

(a) Estabeleça as fórmulas gerais para ∆𝑦 e 𝑑𝑦

(b) Se 𝑥 varia de 2 para 2,1, determine os valores de ∆𝑦 e 𝑑𝑦.

Solução. Se 𝑦 = 3𝑥2 − 5, então

(b) Note que se 𝑥 varia de 2 para 2,1, então 𝑥 = 2 e ∆𝑥 = 0,1.

Assim:

∆𝑦 = 3 ∆𝑥 2 + 6𝑥∆𝑥

∆𝑦 = 3 0,1 2 + 6(2) 0,1

∆𝑦 = 3 0,01 + 12 0,1

∆𝑦 = 0,03 + 1,2

∆𝑦 = 1,23

𝑑𝑦 = 6𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 6 2 ∆𝑥

𝑑𝑦 = 12 0,1

𝑑𝑦 = 1,2

EXEMPLO 2

As estimativas da tensão vertical do vento têm grande importância para

os pilotos de aeronaves durante as decolagens e aterrissagens.

• Admitindo que a velocidade do vento 𝑣 a uma altura 𝑕 acima do solo

é dada por 𝑣 = 𝑓 𝑕 , onde 𝑓 é uma função diferenciável, então a

tensão vertical (escalar) do vento é definida como 𝑑𝑣

𝑑ℎ (taxa

instantânea de variação 𝑣 em relação à 𝑕).

• Uma estimativa da tensão do vento à altura 𝑕1

pode ser dada pela fórmula 𝑑𝑣

𝑑ℎ ℎ=ℎ1

≈𝑣1−𝑣0

ℎ1−ℎ0 , onde

𝑣1 = 𝑣0ℎ1

ℎ0

𝑃 e, para ventos fortes, considera-se

𝑃 = 1/7.

Suponha que a altura de 6m acima do solo a velocidade do vento seja de

45 km/h. Estime a tensão vertical do vento a 60m acima do solo.

EXEMPLO 2

Suponha que a altura de 6m acima do solo a velocidade do vento seja de 45

km/h. Estime a tensão vertical do vento a 60m acima do solo.

Solução. Note que:

• 𝑕0 = 6m acima do solo e 𝑕1 = 60 m acima do solo

• 𝑣0 = 45 km/h

Uma vez que 𝑣1 = 𝑣0ℎ1

ℎ0

𝑃, com 𝑃 = 1/7 (ventos fortes), então:

𝑣1 = 4560

6

1/7= 45 1,3895 = 62,5 km/h

Então, para 𝑕1 = 60 m,

𝑑𝑣

𝑑ℎ ℎ=60

≈62,5−45

60−6=

17,5

54= 0,32

Assim, a uma altura de 60m, a tensão vertical do vento é de

aproximadamente 0,32 (km/h)/m

EXEMPLO 3

Suponha que 𝐶 = 5 + 0,6𝑥 + 0,2 𝑥, onde 𝐶 é o consumo total

(em bilhões de dólares) e 𝑥 a renda disponível total (em bilhões de

dólares). Se 𝑥 = 25 com um erro máximo de 0,3, determine o erro

máximo aproximado do consumo.

𝑑𝐶 = 0 + 0,6 +2

10∙1

2∙

1

𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝐶 = 0,6 +0,1

25 0,3 = 0,6 +

0,1

5 0,3

𝑑𝐶 = 0,62 0,3 = 0,186

Observação. Se 𝒅𝒖 é o erro em 𝒖, então 𝒅𝒖

𝒖 é o erro relativo em 𝒖, então o

erro relativo máximo aproximado do consumo é:

𝑑𝐶

𝐶=

0,186

21= 0,008

DIFERENCIABILIDADE E CONTINUIDADE

Se 𝑦 = 𝑓 𝑥 tem uma derivada finita

𝑓′ 𝑐 = limΔ𝑥→0

𝑓 𝑐 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑐

Δ𝑥

em 𝑥 = 𝑐, então 𝑓(𝑥) é contínua em 𝑥 = 𝑐.

Continuidade em um ponto não implica na

existência de uma derivada neste ponto.

DIFERENCIABILIDADE E CONTINUIDADE

Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 . Verifique:

(a) Se a função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 0.

(b) Se a função 𝑓 possui derivada em 𝑥 = 0.

Solução: Note que 𝑓 𝑥 = 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

(a) Vamos verificar a continuidade da função

lim𝑥→0−

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0−

−𝑥 = 0, lim𝑥→0+

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0+

𝑥 = 0 e 𝑓 0 = 0

Como lim𝑥→0

𝑓 𝑥 = 𝑓 0 temos que a função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 0.

(b) Note que 𝑓′ 𝑥 = 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0−1, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

, logo a função 𝑓 não

possui derivada em 𝑥 = 0.

DIFERENCIABILIDADE E CONTINUIDADE

Considere a função 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥2. Verifique:

(a) Se a função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 0.

(b) Se a função 𝑓 possui derivada em 𝑥 = 0.

Solução:

(a) Vamos verificar a continuidade da função

lim𝑥→0−

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0−

1 − 𝑥2 = 1, lim𝑥→0+

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0+

1 − 𝑥2 = 1 e 𝑓 0 = 1

Como lim𝑥→0

𝑓 𝑥 = 𝑓 1 temos que a função 𝑓 é contínua em

𝑥 = 0.

(b) Note que 𝑓′ 𝑥 = −2𝑥, logo a função 𝑓 possui derivada em

𝑥 = 0.

DIFERENCIABILIDADE E CONTINUIDADE

Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥1

3. Verifique:

(a) Se a função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 0.

(b) Se a função 𝑓 possui derivada em 𝑥 = 0.

Solução:

(a) Vamos verificar a continuidade da função

lim𝑥→0−

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0−

𝑥1

3 = 0, lim𝑥→0+

𝑓 𝑥 = lim𝑥→0+

𝑥1

3 = 0 e 𝑓 0 = 0

Como lim𝑥→0

𝑓 𝑥 = 𝑓 0 temos que a função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 0.

(b) Note que 𝑓′ 𝑥 =1

3𝑥−

2

3, logo a função 𝑓

não possui derivada em 𝑥 = 0.

𝑓′ 𝑥 =1

3𝑥−

23

𝑓 𝑥 = 𝑥13

DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA

𝑦 = 2𝑥2 − 3 (𝑦 é uma função explícita de 𝑥)

2𝑥2 − 𝑦 = 3 (𝑦 é uma função implícita de 𝑥)

• Uma equação pode definir mais de uma função implícita.

Exemplo: Note que a equação 𝑥2 + 𝑦2 = 1 é o círculo unitário com

centro na origem. Esta equação define duas funções:

𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥2 e 𝑔 𝑥 = − 1 − 𝑥2

Os gráficos de 𝑓 e 𝑔 são os semicírculos superior e inferior,

respectivamente, do círculo unitário.

DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA

Se a equação

𝑦4 + 3𝑦 − 4𝑥3 = 5𝑥 + 1

define uma função implícita 𝑓, então para 𝑦 = 𝑓 𝑥 :

𝑓 𝑥4

+ 3 𝑓 𝑥 − 4𝑥3 = 5𝑥 + 1

para todo 𝑥 no domínio de 𝑓.

• Se a equação dada em 𝑥 e 𝑦 define uma função diferenciável 𝑓 tal que se 𝑦 é

substituído por 𝑓 𝑥 a equação se torna uma identidade para todo 𝑥 no

domínio de 𝑓 , pode-se determinar a derivada de 𝑓 pelo método da

diferenciação implícita dado por:

𝑑 𝑓 𝑥

𝑑𝑥=

𝑑 𝑓 𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑥

DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA

Exemplo. Considere a equação 𝒚𝟒 + 𝟑𝒚 − 𝟒𝒙𝟑 = 𝟓𝒙 + 𝟏 que define implicitamente

uma função diferenciável 𝑓 tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥). Determine a derivada dessa equação.

Solução. Aplicando a derivada em ambos os membros da equação obtém-se: 𝑑

𝑑𝑥𝑦4 + 3𝑦 − 4𝑥3 =

𝑑

𝑑𝑥5𝑥 + 1

𝑑

𝑑𝑥𝑦4 +

𝑑

𝑑𝑥3𝑦 −

𝑑

𝑑𝑥4𝑥3 =

𝑑

𝑑𝑥5𝑥 +

𝑑

𝑑𝑥1

𝑑 𝑦4

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

𝑑 3𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥−

𝑑

𝑑𝑥4𝑥3 =

𝑑

𝑑𝑥5𝑥 +

𝑑

𝑑𝑥1

4𝑦4−1 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 3𝑦1−1 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 4 ∙ 3 𝑥3−1 𝑑𝑥

𝑑𝑥= 5𝑥1−1 𝑑𝑥

𝑑𝑥+ 0

4𝑦3 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 3

𝑑𝑦

𝑑𝑥− 12𝑥2 = 5

4𝑦3𝑦′ + 3𝑦′ − 12𝑥2 = 5

Isolando 𝑦′ tem-se que:

4𝑦3𝑦′ + 3𝑦′ = 5 + 12𝑥2

4𝑦3 + 3 𝑦′ = 5 + 12𝑥2

𝑦′ =5+12𝑥2

4𝑦3+3, desde que 4𝑦3 + 3 ≠ 0

Uma vez que 𝑦 = 𝑓 𝑥 , então: 𝑓′ 𝑥 =5+12𝑥2

4 𝑓 𝑥3+3

, desde que 4𝑦3 + 3 ≠ 0

DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA

Exemplo. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de

𝒚𝟒 + 𝟑𝒚 − 𝟒𝒙𝟑 = 𝟓𝒙 + 𝟏

no ponto 𝑃 = (1, −2).

Solução.

• Vamos verificar se o ponto 𝑃 = (1, −2) pertence ao gráfico.

−2 4 + 3 −2 − 4 1 3 = 5 1 + 1

16 − 6 − 4 = 5 + 1

6 = 6 (identidade)

• O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em 𝑃 = (1, −2) é o valor da

derivada 𝑦′ =5+12𝑥2

4𝑦3+3 quando 𝑥 = 1 e 𝑦 = −2. Assim:

𝑦′ 𝑥,𝑦 = 1,−2

=5 + 12𝑥2

4𝑦3 + 3

𝑥,𝑦 = 1,−2

=5 + 12 1 2

4 −2 3 + 3= −

17

29

TAXAS RELACIONADAS

Suponha que duas variáveis 𝑥 e 𝑦 sejam funções de uma variável 𝑡,

𝑥 = 𝑓 𝑡 e 𝑦 = 𝑔 𝑡

Podemos interpretar:

•𝑑𝑥

𝑑𝑡 como a taxa de variação de 𝑥 em relação à 𝑡

•𝑑𝑦

𝑑𝑡 como a taxa de variação de 𝑦 em relação à 𝑡

As derivadas 𝑑𝑥

𝑑𝑡 e

𝑑𝑦

𝑑𝑡 são denominadas taxas relacionadas sempre que

estiverem relacionadas por uma equação

TAXAS RELACIONADAS

(a) Determine a taxa 𝑑𝜃

𝑑𝑡 à qual o ângulo de inclinação dos raios aumenta.

Solução. Considere 𝜙 o ângulo BAC da figura. Da geometria plana tem-se que:

𝜙 = 90𝑜 − 𝜃 =𝜋

2− 𝜃 ⇒ 𝜙 =

𝜋

2− 𝜃

Aplicando a derivada em ambos os lados da igualdade obtém-se:

𝑑

𝑑𝑡𝜙 =

𝑑

𝑑𝑡

𝜋

2− 𝜃 ⇒

𝑑𝜙

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡

𝜋

2−

𝑑

𝑑𝑡𝜃 ⇒

𝑑𝜃

𝑑𝑡= −

𝑑𝜙

𝑑𝑡

Note que 𝜃 decresce na mesma razão que 𝜙 cresce.

Taxa à qual ângulo de

inclinação dos raios

aumenta

Exemplo. Considere um painel solar de 3m de

largura equipado com um ajustador hidráulico. À

medida que o sol se eleva, o painel é ajustado

automaticamente de modo que os raios do sol

incidam perpendicularmente nele.

TAXAS RELACIONADAS

(b) Determine a relação entre a taxa 𝑑𝑦

𝑑𝑡 à qual o painel deve ser abaixado.

Solução. Do triangulo BAC, tem-se que:

sen 𝜙 =𝑦

3 ⇒ 𝑦 = 3 sen 𝜙 ⇒ 𝑦 = 3 sen

𝜋

2− 𝜃

• Diferenciando implicitamente em relação à t, considerando 𝑢 =𝜋

2− 𝜃

𝑑𝑦

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡3 sen

𝜋

2− 𝜃 = 3

𝑑 sen 𝑢

𝑑𝑢

𝑑 𝑢

𝑑𝑡= 3 cos 𝑢

𝑑 𝑢

𝑑𝑡= 3 cos

𝜋

2− 𝜃

𝑑𝜋

2−𝜃

𝑑𝑡

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 3 cos

𝜋

2− 𝜃

𝑑

𝑑𝑡

𝜋

2−

𝑑

𝑑𝑡𝜃 = 3 cos

𝜋

2− 𝜃 0 −

𝑑𝜃

𝑑𝑡= −3 cos

𝜋

2− 𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡

• Usando a identidade trigonométrica cos𝜋

2− 𝜃 = sen 𝜃

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −3 cos

𝜋

2− 𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡= −3 sen 𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡 ⇒

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −3 sen 𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡

Taxa à qual o painel

deve ser abaixado

Exemplo. Considere um painel solar de 3m de largura equipado

com um ajustador hidráulico. À medida que o sol se eleva, o

painel é ajustado automaticamente de modo que os raios do sol

incidam perpendicularmente nele.

TAXAS RELACIONADAS

(c) Se quando 𝜃 = 30𝑜, 𝑑𝜃

𝑑𝑡= 15𝑜/𝑕, determine

𝑑𝑦

𝑑𝑡.

Solução. Transformando graus em radianos, obtemos:

• 15𝑜 = 15𝜋

180=

𝜋

12 rd e 30𝑜 = 30

𝜋

180=

𝜋

6 rd

Uma vez que 𝑑𝜃

𝑑𝑡= 15𝑜/𝑕 então

𝑑𝜃

𝑑𝑡=

𝜋

12 rd/𝑕, logo

𝑑𝑦

𝑑𝑡= −3 sen

𝜋

6

𝑑𝜃

𝑑𝑡= −3

1

2

𝜋

12= −

𝜋

8= −0,39 𝑚/𝑕

Exemplo. Considere um painel solar de 3m de largura equipado

com um ajustador hidráulico. À medida que o sol se eleva, o

painel é ajustado automaticamente de modo que os raios do sol

incidam perpendicularmente nele.

Lista de Exercícios