MatematicaMatematica

FinanziariaFinanziaria

ed ed

EXCELEXCEL

CapitalizzazioneCapitalizzazione

C

0 t

M

C = Capitale iniziale

M = Montante (valore finale) di C

i = tasso di interesse

I = interesse

M = C + I

M = C · (1+i)t

C

0 t

M

regime di capitalizzazione composta

15000 €

ESEMPIO

0 8

M=?

i = 4%

M = 15000 · (1+0.04)8 = 20528.54

I = M – C = 5528.54

0 1 2

S0 S1 S2 S3

3

…………….. Sn

n

M=?

nnnn SiSiSiSM .....)1()1()1( 2

21

10

0 1 2

2400 3100 1800

3 6

Esercizio di calcolo del montante

4 5

750 900 4000300

i = 4%

M = 14698.08

M = 300(1+0.04)6 + 2400(1+0.04)5 + 3100(1+0.04)4 +

1800(1+0.04)3 + 750(1+0.04)2 + 900(1+0.04) + 4000

0 1 2

100 250 125

3 64 5

2050 185

Un progetto prevede oggi le seguenti entrate annue

calcolare, usando Excel, il valore dei flussi di cassa a scadenza (montante), ed all’istante iniziale (valore attuale) nell’ipotesi

che il tasso di valutazione sia del 10%

(vedere esercizio Excel)

7

AttualizzazioneAttualizzazione

C

0 t

M

C = valore attuale in t = 0

M = valore finale

i = tasso di interesse

regime di capitalizzazione composta

Valore attuale

V

M = C · (1+i)t MC = (1+i)t

= M · (1+i)-t

ESEMPIO

0 2

V=?

i = 15%

32000 €

V = 32000 · (1+0.15)-2 = 24196.60

0 1

350

0 2

40

40350

10 2

V = 350 · (1+i)-1

V = 40 · (1+i)-2

V = 350 · (1+i)-1+40 · (1+i)-2

0 1 2

S1 S2 S3

3

…………….. Sn

n

V=?

nn iSiSiSV )1(...)1()1( 2

21

1

0 1 2

S0 S1 S2 S3

3

…………….. Sn

n

VF

Progetti FinanziariProgetti Finanziari

VA

VF = S0 (1+i)n + S1 (1+i)n-1 + S2 (1+i)n-2 + … + Sn

VA = S0 + S1 (1+i)-1 + S2 (1+i)-2 + … + Sn (1+i)-n

Tassi Equivalenti

Due tassi di interesse che producono il medesimo montante applicati ad uno stesso capitale in regime di capitalizzazione composta a scadenze diverse si dicono equivalenti.Il tasso periodale im è equivalente al tasso annuo i se lo stesso capitale C produce nello stesso periodo di tempo t il medesimo interesse. In un anno vengono effettuate m capitalizzazioni bimestrali. In regime di interesse composta risulta:

C * (1+i)t = C * (1+im)t*m

Da cui risulta:

i= (1+im)m – 1 im= (1+i)1/m – 1

Dove i è il tassuo annuo, im quello periodale, m le frazioni di anno

0 1 2

350 40 920

3 64 5

58 25 63

i = 7%

7

70

V =1260.68

Esercizio di calcolo del valore attuale

V = 350(1+0.07)-1 + 40(1+0.07)-2 + 920(1+0.07)-3 +

58(1+0.07)-4 + 25(1+0.07)-5 + 63(1+0.047)-6+ 70(1+0.047)-7

VAN (tasso_int; valore1; valore2;…,valoren)

tasso_int tasso di interesse relativo all’unità temporale considerata,

valore1,…,valoren importi periodici S1, …., Sn riscossi o

pagati nelle diverse epoche.

• Le epoche sono equidistanziate• I pagamenti sono posticipati• L’importo S0 all’epoca 0 non viene incluso come argomento della

funzione VAN

FUNZIONE VANFUNZIONE VANCalcola il valore attuale netto di un investimento utilizzando un tasso di sconto e una serie di pagamenti (valori negativi) e di entrate (valori positivi).

VA (tasso; periodi; S; valore futuro; tipo)

Valuta all’istante iniziale una successione monetaria con importi uguali. I pagamenti possono anche essere effettuati anticipatamente.

tasso tasso di interesse relativo all’unità temporale periodi numero dei pagamenti

S pagamento in ogni epocaValore futuro pagamento addizionale finaletipo 0 per importi posticipati, 1 anticipati

• Le epoche sono equidistanti• Può mancare uno degli argomenti tra S e Valore futuro• Attenzione che il risultato è di segno opposto a quello dei flussi

FUNZIONE VAFUNZIONE VA

VAL.FUT (tasso; periodi; S; valore attuale; tipo)

Valuta all’istante finale una successione monetaria con importi uguali. I pagamenti possono anche essere effettuati anticipatamente.

tasso tasso di interesse relativo all’unità temporale periodi numero dei pagamenti

S pagamento in ogni epocaValore attuale pagamento addizionale inizialetipo 0 per importi posticipati, 1 anticipati

• Le epoche sono equidistanti• Può mancare uno degli argomenti tra S e Valore futuro• Attenzione che il risultato è di segno opposto a quello dei flussi

FUNZIONE VAL.FUTFUNZIONE VAL.FUT

TIR.COST (val; ipotesi)Val è un riferimento a celle che contengono i flussi di cui

si desidera calcolare il tasso di rendimento interno.

Ipotesi è un numero che si suppone vicino al risultato di TIR.COST. Se omesso verrà considerato pari al 10%

• Le epoche sono equidistanziate e nell’ordine indicato.• Val deve contenere almeno un valore positivo e uno negativo.• Viene utilizzata una tecnica iterativa per eseguire il calcolo della funzione TIR.COST. che potrbbe non trovare il risultato

FUNZIONE FUNZIONE TIR.COSTTIR.COSTRestituisce il tasso di rendimento interno per una serie di flussi di cassa.

Il tasso di interesse che eguaglia i valori attuali di entrate ed uscite di cassa è detto, se esiste ed è unico, tasso interno di rendimento (i*).

V(i*) = 0

0 1 2

350 40 920

3 64 5

58 25 63

i = 0.07

7

70

B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9

G3

= VAN(B11;B3:B9)

Sol. 1260.68

0 1 2

350 40 920

3 64 5

58 25 63

i = 0.07

7

70

B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9

= B2+VAN(B11;B3:B9)

450

B2

Sol. 1710.68

7654-

321

)07.01(9)07.01(8)07.01(7)07.0(16B

)07.01(5)07.01(4)07.01(32

BBB

BBBB

oppure

S0

G3

Un progetto prevede oggi le seguenti entrate annue

0 1 2

5920 5420 7470

3 64 5

6240 9770 6720

7

calcolare usando Excel il valore attuale dei flussi di cassa, assumendo un tasso di valutazione del 9%

10370

Esercizio

Calcolo del tasso di interesse noto il valore

attuale

Si consideri un progetto i cui importi monetari sono descritti come nell’Esercizio Excel del VAN.

Dire per quale valore del tasso di interesse si ottiene un valore attuale netto di € 1000.

(vedere esercizio Excel)

Nota: si usa “Ricerca Obiettivo”

RICERCA RICERCA OBIETTIVOOBIETTIVO

Permette di trovare il valore di una certa variabile in modo da raggiungere un prefissato obiettivo.

Strumenti - Ricerca obiettivo

Imposta la cella

Al valore

Cambiando la cella

Imposta la cella: riferimento alla “cella obiettivo”; deve contenere una formula .

Al valore:il valore della cella obiettivo;

Cambiando la cella: riferimento alla “cella soluzione”; deve contenere un valore.

Come opera Ricerca ObiettivoCome opera Ricerca Obiettivo

Segue un procedimento iterativo di ricerca della soluzione:

1. Pone un valore nella “cella soluzione”

2. Confronta il valore calcolato nella cella “obiettivo” con il valore indicato nella casella Al valore.

3. Se i due valori coincidono, STOP.

4. Se i due valori non coincidono, sceglie un altro valore per la “cella soluzione” e ripete il procedimento.

Art. 1813 del Codice Civile:

Il mutuo è un contratto mediante il quale una parte, detta mutuante, consegna all'altra, detta mutuataria, una somma di denaro o una quantità di beni fungibili, che l'altra si obbliga a restituire successivamente con altrettante cose della stessa specie e qualità.

AMMORTAMENTO DEL MUTUOAMMORTAMENTO DEL MUTUOPrendiamo a prestito una somma di denaro S e dobbiamo restituirla entro un certo numero di periodi n.

Oltre alla somma presa a prestito si dovranno dare al creditore anche gli interessi calcolati sulla base di un certo tasso di remunerazione del prestito i.

Alla fine di ogni periodo si restituisce una quota del mutuo e alle stesse scadenze vengono anche corrisposti gli interessi.

MUTUOMUTUO

I TASSI DEL MUTUOI TASSI DEL MUTUO• TAN (tasso annuo nominale): è il tasso di interesse puro applicato ad un finanziamento.

• Tasso Applicato: è calcolato come somma di un indice di riferimento (di norma l'EurIRS o l’Euribor ), dello spread (percentuale di guadagno della banca) e di un eventuale maggiorazione-premio di rischio, legato al mutuatario che richiede il prestito.

• EurIRS (o IRS): è il tasso di riferimento che indica il tasso di interesse medio al quale i principali istituti di credito europei stipulano swap a copertura del rischio di interesse.

• Euribor: è un tasso di riferimento che indica il tasso di interesse medio delle transazioni finanziarie in Euro tra le principali banche europee.

• ISC (Indicatore Sintetico di Costo): è l'indicatore di tasso di interesse di un'operazione di finanziamento. Indica il costo effettivo del finanziamento, tenendo conto del TAN e di tutte le spese accessorie (istruttoria, revisione, apertura e chiusura pratica, riscossione rate, assicurazione e garanzie, intermediazione).

Ik = quota interesse in k

Interesse corrisposto alla fine di ogni anno.

k = generico anno (k = 1,2,…,n)

Ck = quota di capitale in k

Parte del debito che viene restituita alla fine dell’anno k Condizione: C1+ C2+ …+ Ck+…+ Cn = S

Rk = rata di ammortamento in k

ammontare di denaro che il debitore deve pagare complessivamente alla fine di ogni anno.

Rk = Ck + Ik

il debito residuo in un certo istante k è l’ammontare che il debitore deve ancora restituire, a titolo di capitale, per estinguere il debito.

il debito estinto in un certo istante k è la parte del debito che a quell’istante è già stato rimborsato.

Dk= debito residuo in k

Ek= debito estinto in k

istante 0: D0 = S ; E0 = 0

istante n: Dn = 0 ; E0 = S

Ek = Ek-1 + Ck Aggiornamento del debito estinto

Rk = Ck + Ik Calcolo della rata di ammortamento

Ik = iDk-1 Calcolo della quota interesse

Dk = Dk-1 – Ck Aggiornamento del debito residuo

Piano di ammortamento

Anno(k)

Quota capitale

(Ck)

Quota interesse

(Ik)

Rata ammort.

(Rk)

Debito residuo

(Dk)

Debito Estinto

(Ek)

0 - - - D0= S E0= 0

1 C1 I1 R1 D1 E1

2 C2 I2 R2 D2 E2

…. .... .... .... .... ....

n Cn In Rn Dn = 0 En= S

Nell’ammortamento italiano le quote di capitale sono costanti:

Ck = C per ogni k

S = C+ C+…+ C = nCnS

C

Ammortamento a Quote Ammortamento a Quote CostantiCostanti

Ik = Dk-1 * i Rk = Ik + C Dk = Dk-1 - C

Nell’ammortamento francese le rate di ammortamento sono costanti:

Rk = R per ogni k

ni

iSR

)1(1

Ammortamento a Rate CostantiAmmortamento a Rate Costanti

Ik = Dk-1 * i Ck = Rk - Ik Dk = Dk-1 - C

RATA(tasso_int; periodi;val_attuale;val_futuro;tipo)

FUNZIONE RATAFUNZIONE RATA

tasso_int tasso di interesse

periodi numero delle rate di ammortamento

val_attuale importo del mutuo

val_futuro valore residuo del capitale (se omesso è considerato 0)

tipo convenzione usata per i pagamenti

(0 = posticipato, 1 = anticipato).

Se omesso è considerato uguale a zero

La funzione RATA restituisce l’importo della rata necessario

per ammortizzare un prestito, in un ammortamento di tipo

“francese”.

NotaNota: poiché la funzione RATA restituisce un risultato

negativo (il suo importo rappresenta un costo dal punto di vista

del debitore), quando scriveremo la formula in Excel

prenderemo l’opposto del risultato della funzione RATA.

INTERESSI(tasso_int; periodo; periodi;val_attuale;val_futuro;tipo)

FUNZIONE INTERESSIFUNZIONE INTERESSI

tasso_int, periodi, val_attuale, val_futuro, tipo

argomenti con lo stesso significato di quelli della funzione rata

periodo: epoca di calcolo della quota interesse

Viene impiegata per determinare la quota interessi ad un istante k nell’ammortamento a rate costanti.

P.RATA(tasso_int; periodo; periodi;val_attuale;val_futuro;tipo)

FUNZIONE P.RATAFUNZIONE P.RATA

tasso_int, periodi, val_attuale, val_futuro, tipo

argomenti con lo stesso significato di quelli della funzione rata

periodo: epoca di calcolo della quota capitale

Viene impiegata per determinare la quota capitale ad un istante k nell’ammortamento a rate costanti.

CAP.CUM(tasso_int; periodi;val_attuale;inizio_per;fine_per;tipo)

FUNZIONE CAP.CUMFUNZIONE CAP.CUM

tasso_int, periodi, val_attuale, tipo

argomenti con lo stesso significato di quelli delle funzioni precedenti

inizio_per: istante della prima rata del periodo considerato

Viene impiegata per determinare l’ammontare del capitale rimborsato in un certo perido di tempo nell’ammortamento a rate costanti. (E’ UNA FUNZIONE DI OFFICE2007)

fine_per: istante dell’ultima rata del periodo considerato

INT.CUMUL (tasso_int; periodi;val_attuale;inizio_per;fine_per;tipo)

FUNZIONE INT.CUMULFUNZIONE INT.CUMUL

Gli argomenti sono gli stessi della funzione CAP.CUM

Viene impiegata per determinare l’ammontare cumulato degli interessi versati in un certo perido di tempo nell’ammortamento a rate costanti. (E’ UNA FUNZIONE DI OFFICE2007)