Matematica Vedica

Piccolo dizionario

Sutras: aforismi o formule utilizzate nella M.V.Dharma: la somma di tutte le conoscenze

necessarie per vivere bene sia individualmente che come collettività

Veda la fonte e il contenitore di ogni conoscenza comprende Ayurveda:anatomia,fisiologia,igiene,medicina per ottenere qui e ora il benessere fisico

Dhanurveda : scienze militari Gandharva veda: scienza e arte della musica Stapathya veda: architettura,ingegneria e

ogni branca della matematica Vedangas: grammatica, astronomia,

lessicografia

Biografia di GURUDEVA L’autore del libro da cui in gran parte è ricavata questa

conversazione è Jagadguru Swami Sri Bharati Ksna Tirthaji Maharaja detto Gurudeva (1884-1960). Persona di eccezionale intelligenza visti gli eccellenti risultati in tutte le discipline avuti come studente e i contributi di altissimo livello con varie istituzioni internazionali dati successivamente. Grandissima però e bruciante era il suo desiderio di conoscenza spirituale e così si ritirò a studiare (1911) per 8 anni filosofia vedica avanzata e a praticare la più alta e più vigorosa Yoga-sadhana nella vicina foresta. Avendo raggiunto la più profonda meditazione e il più alto elevamento spirituale fu ammesso all’ ordine sacro di Samnyasa e così cominciò a girare per ogni angolo dell’India e nel mondo per 35 anni per portare i santi spirituali insegnamenti, non risparmiandosi neppure quando la salute cominciò a venir meno.Aveva raccolto i suoi insegnamenti in 16 volumi ,uno per ogni Sutra, ma depositati nella casa di un suo discepolo sono andati perduti. E’ arrivato a riscrivere solo il primo che è quello a cui si fa riferimento

I Veda I Veda sono i più antichi documenti dello spirito

umano di cui siamo in possesso. Scritti in un'epoca coeva alle più antiche testimonianze finora conosciute dell'organizzazione sociale, di gran lunga anteriore al sorgere della civiltà greca, antecedente alle più antiche vestigia finora scoperte dell'impero assiro, contemporanea probabilmente solo ai più antichi scritti ebraici e posteriore soltanto alle dinastie egiziane, di cui tuttavia si conosce ancora ben poco oltre ai semplici nomi. Difficile comunque è dare una precisa datazione

I Veda, secondo la filosofia induista, rappresentano una fonte inesauribile di conoscenza sia in materia spirituale che materiale. La loro ricchezza proviene piuttosto che dai laboriosi metodi induttivo e deduttivo della matematica tradizionale, da un dono diretto di rivelazione,avuto dai yogi, dopo un lungo cammino di meditazione, direttamente dalla fonte perfetta e immacolata.

In ogni caso ogni illuminazione dopo deve essere dimostrata con metodo logico rigoroso.

Non dobbiamo metterci davanti ai misteri dei Veda con gli occhi sognanti del poeta o del veggente, bensì con quelli attenti e critici del fisico .

E volutamente si sceglie come emblematico rappresentante degli scienziati il fisico perché proprio recentemente, le conoscenze antiche e la moderna fisica hanno trovato significativi e suggestive corrispondenze e parallelismi.

premessa

• La premessa fondamentale è che l’universo in cui viviamo ha una struttura di base matematica e che pertanto per conoscere un fatto e ottenere un risultato in qualsiasi campo si richiede precisione e applicazione di regole.

• Questo può essere fatto in maniera consapevole o inconsapevole, come accade per gli animali.

• L’uomo ha dato il suo contributo determinante a questo dono.

• I saggi i sapienti della antica India avendo studiato e meditato sulla natura fisica e ricavato la grande filosofia vedica si sono resi conto che la visualizzazione della realtà avviene mediante un misterioso lavoro di numeri e figure e hanno dedotto la filosofia matematica

Lo zero

Importante è ricordare che tutto il mondo occidentale è debitore all’India dell’introduzione del simbolo zero. La cultura greca aveva sempre avuto infatti il terrore del vuoto e del nulla e non aveva mai introdotto un simbolo per rappresentalo. Pensiamo al sistema di numerazione greco e romano e alla necessità, per fare i calcoli pratici, dell’uso dell’abaco.

La notazione Indù fu introdotta in Arabia nel 770 d.C.e poi in Europa da parte degli arabi

In Italia Leonardo Pisano con il suo Liber Abaci (1202) introduce i 10 simboli

Con l’introduzione della decima cifra veniva completato il moderno sistema di numerazione degli interi, che permette di scrivere qualsiasi numero comunque grande e comunque piccolo senza introdurre nuovi simboli Esso si basa su 3 principi fondamentali•Base decimale•Notazione posizionale•Simbolo diverso per ognuna della 10 cifre

Questo zero portò la rivoluzione nell'aritmetica e cosí apparve come qualcosa di miracoloso. Da questo concetto mistico si ebbero una quantità di espressioni rimaste nel linguaggio, e che appunto accennano ad un che di segreto, di misterioso. Gli arabi chiamarono lo zero siphr, che nel latino divenne zephr (da cui zero); per altre lingue “siphr” divenne invece “cifra”. Che poi il nuovo sistema di numerazione, che facilitava le operazioni aritmetiche, fosse qualcosa di misterioso si rileva dalle locuzioni derivate da siphr, cioè: in cifra, decifrare ecc., le quali tutte indicano qualcosa di segreto. E questo tanto piú che, come si è visto, la numerazione araba fu ostacolata dai tradizionalisti e perfino proibita dalla Chiesa. Fu in un Consiglio di Cardinali del 1299 che venne espressamente proibito l'uso delle cifre arabe. Anche l'Arte maggiore dei commercianti di Calimala(via di Firenze) nello stesso anno emise un analogo provvedimento. Ma è certo che molti mercanti usavano il nuovo sistema in segreto. Queste proibizioni contribuirono ad aumentare il misterioso nel numero.

Differenze fra matematica vedica e tradizionale

I suoi contenuti non seguono una sequenza o ordine particolare ma sono affidati alle scelte, ai gusti, alle predilezioni dell’insegnante e perfino degli studenti stessi che seguiranno la sequenza preferita Ciò è giustificato dal fatto che l’essere umano è sempre condizionato dai suoi pregiudizi, idiosincrasie che distorcono le visioni e i giudizi e anche i numeri della matematica non sono da meno, sono strettamente correlati col carattere del discente Pertanto tranne pochi principi fondamentali ed elementari nessun altro capitolo o argomento deve necessariamente precedere o seguire un altro.

• Tutta la conoscenza matematica che nell’insegnamento tradizionale è svolta in 15-20 anni può essere attuata con la M.V. in 8-12 mesi con una applicazione di 2-3 ore al giorno

• I sutra, secondo l’autore, sono facili da capire,da applicare e ricordare e riescono a coprire tutta la matematica sia pura che applicata in tutte le sue branche

• In molti e importanti casi la risoluzione di molti problemi che richiedono nella matematica occidentale un grande numero di passaggi si possono ricondurre a uno o poco più nella M.V., questo spiega anche perché spesso si associa alla M.V. una connotazione magica

I principali sutras

1. Per uno più che uno prima.2. Tutti da 9 e l’ultima da 10.3. verticalmente e incrociato4. Transpose and Apply5. If the Samuccaya is the

Same it is Zero 6. If One is in Ratio the Other

is Zero 7. By Addition and by

Subtraction 8. By the Completion or Non-

Completion  

9. Differential Calculus 10. By the Deficiency 11. Specific and General 12. The Remainders by the

Last Digit 13. l’ultimo e due volte il

penultimo14. By One Less than the One

Before 15. The Product of the Sum16. All the Multipliers

Complementare di un numero a 10 o a una potenza di 10

(tutti da 9 e l’ultimo da 10)

Per trovare il complementare di un numero si sottraggono dal 9 tutte le cifre, mentre l’ultima si sottrae dal 10. Notare che il complementare ha sempre un numero di cifre pari agli zeri della potenza di 10 alla quale si calcola il complementare

Es. il complementare a 100 di 61 è 39

il complementare a 1000 di 783 è 217

Incominciamo a fare magie

Ditemi due numeri di poco inferiori a cento e vi dirò il

loro prodotto

Moltiplicazione usando il complementare

Se dovessimo moltiplicare 96x87

Calcoliamo i complementari dei due numeri 96 - 04

a 100 x 87 - 13

-------------------

83 / 52

Il primo numero 83 è stato trovato facendo la differenza 87-4 o che è lo stesso 96 -13

Il secondo numero moltiplicando semplicemente 4x 13

Il risultato della moltiplicazione è 8352

giustificazione

( x –a )( x- b )= x( x –a –b)+ ab

(100 – 4)(100 -13)= 100( 100-4-13) +4*13

96 * 87 = 100(96-13) +52

96 * 87 = 100( 87- 4) +52

Moltiplicazione fra numeri che superano di poco la potenza di 10

Se dovessimo moltiplicare 106x 121

Dobbiamo prima individuare la quantità 106 + 06

di cui eccedono x 121 + 21

--------------------

127 / 26

--------------------

Il primo numero si ottiene sommando 1

121+6, il secondo facendo l’usuale moltiplicazione ------------------

ma tenendo conto che c’è un riporto 128 / 26

il risultato è 12.826

Moltiplicazione fra numeri che sono uno sopra e uno sotto la potenza di 10

108 x 94 108 + 08 x 94 - 06 ---------------- 102 / 48Poiché uno dei numeri è per -----------------------

eccesso e uno per difetto devo 101 / 52in pratica sottrarre 48 da una unitàpresa dal numero a sinistra.Il risultato è 10.152

Vediamo se mi riesce una seconda magia

Ditemi due qualsiasi numeri di 2 cifre e vi darò il loro

prodotto

Moltiplicazione verticale e incrociata

4 2

X 5 7

--------------

20 4

1

38

-----------------

2394

Se devo moltiplicare 42x57.

Moltiplico gli ultimi due numeri a destra fra loro e tengo conto dell’eventuale riporto come in questo caso 2x7= 14. Poi faccio la moltiplicazione in croce sommando fra loro i prodotti ottenuti

(4x7) +(5x2) = 38.

Moltiplico i due numeri a sinistra.

Infine sommo fra loro i risultati

Analogie con l’algebra

Il metodo citato precedentemente è quello che abitualmente si usa nel prodotto fra polinomi

10 a + b

x 10c + d

--------------------

100 ac+10 (ad+ bc)+ bd

Moltiplicazione per 11

Si deve moltiplicare 13.423x11

Si riscrive il primo fattore aggiungendo la cifra 0 all’inizio e alla fine del numero.

Si sommano le ultime due cifre a destra

E si scrive il risultato sotto lo 0 e si continua così prendendo via via la somma della coppia di cifre immediatamente seguente

Il risultato è 147.653

0134230

------------

147653

Moltiplicazione per 12(ultimo e due volte il penultimo)

Si deve moltiplicare 65214x 12

Si riscrive il numero aggiungendo lo 0 all’inizio e alla fine.

Si somma l’ultima cifra con il doppio della penultima e si scrive il risultato sotto lo 0 e si continua così per le coppie di cifre seguenti

Il risultato è 782.568

0652140

-----------

782568

Terza magia

Ditemi un numero che termina per 5 e vi dirò il suo

quadrato

Quadrato di numeri che terminano per 5 (per uno più di quello che era prima)

452 = (4 _5)2=4*5_25= 2025

752 = (7 _5)2=7*8_25= 5625

1052 = (10 _5)2=10*11_25= 11025

dimostrazione

( 10a +5)2 = 100 a2 + 2*5*10 a+ 25=

= 100 a(a+1) +25

Somma di frazioni con il metodo verticale e in croce

Si devono sommare 2 frazioni con denominatore diverso

3/4 + 5/8

Si calcola il MCD dei denominatori

Lo si scrive e poi si fa il quoziente tra ciascuno dei denominatori e il MCD.

Il risultato è una frazione che ha al denominatore il prodotto 4x1x2 e al numeratore il prodotto in croce

(3x2)+(5x1)

4 1 2

(3x2)+(5x1) 11

------------------ = ---

4x1x2 8

8

5

4

3

Risoluzione di particolari equazioni

Le frazioni hanno lo stesso numeratore

013

1

12

1

xx

Basta sommare i denominatori e risolvere l’equazione

5x-2= 0 x= 2/5

Si abbia una equazione di 1° grado

3x2

1x

7x6

4x3a

la somma dei numeratori e dei denominatori delle frazioni algebriche che la compongono sono uguali o differiscono per un fattore moltiplicativo, basta risolvere l’equazione che si ottiene sommando i numeratori o i denominatorinel nostro caso 4x + 5=0, oppure 8x+10=0, e avremo la soluzione x= -5/4

oppure

9x4

3x2

7x4

5x2b1

la somma di numeratore e denominatore delle frazioni algebriche che la compongono sono uguali o differiscono per un fattore moltiplicativo, basta risolvere l’equazione che si ottiene sommando numeratore e denominatore,nel nostro caso 6x -12=0, oppure nel secondo caso 18x-36=0, quindi x=2

27x12

9x6

7x4

5x2b2

SPIEGAZIONE:SE LA SOMMA È 0 I NUMERI SONO OPPOSTI

2

1

2

1a

345

2

145

745

6

445

3a

9x4

3x2

7x4

5x2b

Si somma il numeratore con il denominatore del primo membro e si eguaglia a 0, o si fa lo stesso con il secondo membro. In questo caso si troverà un valore di x che rende opposti il numeratore e il denominatore, dato che la somma è 0, e quindi si otterrà che -1=-1

Si somma il numeratore del primo membro con il numeratore del secondo membro, oppure si sommano i due denominatori, è lo stesso. In questo modo si trova un valore di x tale che sostituito al primo e al secondo membro dà due numeri tali che LA SOMMA È 0, sia quella dei numeratori che quella dei denominatori, non possono essere quindi che due numeri opposti, e quindi viene verificata l’uguaglianza e risolta l’equazione, che ha una sola soluzione

3x2

1x

7x6

4x3a

Trovare una soluzione di una specie particolare di equazione

• La risoluzione classica è molto complessa ma se osserviamo che la somma del numeratore( a meno della potenza che deve essere dispari) e del denominatore è lo stesso ed è 2x +8, basta che risolviamo 2x+8=0 e troviamo x= -4. Provare per credere….

7

1

53

3

3

x

x

xx

Teorema di Pitagora

c

b a

c

(b+c)2 = a2+4* 1/2*bc

b2 +c2 +2bc= a2+ 2bc

b2 +c2 = a2

bibliografia• Jagadguru Swami Sri- Bharati Krsna Tirthaji Vedic mathematics• J.T. Glover Vedic mathematics for school book 2

• C.B.Boyer Storia della matematica