Matematica, Scienza e…Musica Maestro!

Luca Granieri

https://digilander.libero.it/granieri

Salterello di Vincenzo Galilei

Cultura Matematica e musicale

• L'educazione musicale di Galileo sarà stata importante per lui se pensiamo al solo fatto che la musica era compresa tra le quattro scienze del celebre quadrivio: Aritmetica, Geometria, Astronomia e Musica.

• Oggi può apparire strana l'inclusione della musica in questo elenco. Ma le connessioni della musica con la scienza sono più profonde di quanto si pensi.

• Comunque sia, l'uomo colto doveva allora conoscere la musica, compresa la teoria musicale e la matematica.

• Oggi le cose sono molto diverse e la musica è quasi sparita dall'insegnamento scolastico e sopravvive soltanto una generica educazione musicale nelle scuole di primo grado.

• Ma su un percorso simile è avviata la matematica, che sta diventando sempre più una materia secondaria anche nei licei, nelle ingegnerie ecc. Salvarla dall'estinzione è proprio la motivazione principale di questo convegno.

Matematica Linguaggio della natura?!

• Lo spartito, come quello del Salterello, è scritto in una lingua diversa da quella naturale (italiano, inglese ecc.), una lingua appositamente ideata con uno scopo preciso. Padroneggiare questa lingua richiede un faticoso apprendistato (solfeggio). Poiché tutto è codificato e va eseguito esattamente, anche il silenzio (pause).

• Novantesimo: composizione di L. Granieri

• Ma perché è necessario lo spartito? Certo si può suonare anche a sentimento, ma come ripetere uno stesso brano musicale?

• Un altro grosso problema è quello dell‘ Armonia musicale. Come far interagire strumenti che suonano simultaneamente? Senza una codifica precisa un orchestra sarebbe un caos pazzesco.

• La musica, come anche l'astronomia, possedeva come innato il carattere della ripetibilità che, in seguito, la Rivoluzione Scientifica avrebbe imposto a ogni disciplina che volesse definirsi scienza. Per consentire che una determinata composizione fosse ripetibile anche in tempi e luoghi differenti, era stata compresa l'utilità di elaborare un linguaggio preciso, univoco e universalmente accettato.

• La scienza riguarda il ripetibile, con le dovute eccezioni (Universo, vita).

• Einstein sosteneva che la scienza moderna nasce da due grandi eventi: l‘invenzione del sistema logico formale nella Grecia antica e

il controllo sperimentale emerso nel Rinascimento. Il fatto stupefacente è che questi passi siano stati fatti.

Pensiero (stupendo) Formale

• Se dico

• Antonio è un trasalentizio, e tutti i trasalentizi sono pincoledosi

• potremo senz'altro dedurre che allora Antonio è un pincoledoso, indipendentemente dal significato delle parole trasalentizio e pincoledoso che sono inventate di sana pianta.

• Il pensiero, da solo, poteva allora addirittura scoprire la verità.

• Ma il linguaggio da solo non può bastare

• Anzi, in certe occasioni può anche essere controproducente. Come si sa, un bravo avvocato può a volte fare la differenza, indipendentemente dalla colpevolezza o meno dell'imputato.

Don Raffaè (F. De André)

• Qui ci stà l'inflazione, la svalutazione

e la borsa ce l'ha chi ce l'ha

io non tengo compendio che chillo stipendio

e un ambo se sogna 'a papà

aggiungete mia figlia Innocenza

vuo' marito non tiene pazienza

non chiedo la grazia pe' me

vi faccio la barba o la fate da sé.

Perché questa canzone?• caffè.. (Erdos, Renyi): I matematici sono macchine

che trasformano il caffè in Teoremi! Già, Teoremi. La musica della matematica è la dimostrazione che serve a determinare il carattere di ripetibilità e validità dei suoi risultati. Altro che diamanti: Un Teorema è per sempre!

• Perché la matematica è la materia più odiata dagli studenti? Forse perché quella che propiniamo loro paradossalmente (ma non tanto) non è matematica!

• Ma c'è un motivo più profondo. Il fatto è che c'è un Diavolo cattivo che come un Leone feroce va in giro cercando di distruggere e divorare in un sol boccone il lavoro dei matematici. Questo diavolo malvagio è la contraddizione!

Legge di Duns Scoto

Dimostriamo che Babbo Natale esiste davvero:

consideriamo la seguente tabella di proposizioni:

1) Babbo Natale esiste

2) entrambe le frasi della tabella sono false

Principi della logica

• (Terzo Escluso) Una qualunque proposizione può essere soltanto vera oppure falsa, e nessuna terza possibilità è consentita. (Versione Forte)

• (Non contraddizione) Una qualunque proposizione non può essere contemporaneamente sia vera che falsa.

Matematichese• Pertanto, il linguaggio naturale, da solo, non è adatto a

dare un fondamento sicuro alla conoscenza. Dunque, se la matematica è il linguaggio della natura, allora essa deve necessariamente essere un linguaggio non naturale.

• Il matematichese costituisce l'estremizzazione di questa necessità limitando accuratamente gli oggetti di cui si può parlare (attraverso la definizione) e di come se ne possa parlare (attraverso i teoremi).

• Magari in questo modo non potremo parlare di tutto, per esempio di quel povero barbiere di prima, ma almeno su quel poco che potremo dire saremo in grado di costruire conoscenze ragionevolmente affidabili e certe.

Universo musicale

• Maria nella bottega di un falegname

• (F. De Andrè)

• Cosa c’entra con la scienza?

Tutto è numero

Monocordo

Divisione dell’ottava• Utilizzando il monocordo, se una corda è lunga

il doppio dell'altra, si avvertono due suoni che si percepiscono uno la copia dell'altro, anche se ad altezza diversa. Gli attribuiamo cioè la stessa nota musicale do-do, re-re ecc. Quali altri intervalli tra questi due estremi vanno utilizzati per la composizione musicale?

Scala Diatonica

• La cosiddetta scala diatonica ne prevede 6 intermedie (re-mi-fa-sol-la-si) per ottenere un'ottava appunto (tasti bianchi del pianoforte).

• Attenzione: Si tratta di un temperamento non-equabile.

• Nella musica moderna utilizziamo il temperamento equabile 12 note in tutto equispaziate (rapporto tra le frequenze uguale) (tasti bianchi e neri). Questo però necessita dei numeri reali

Temperamento Equabile

• DO ………………………………………………………..DO

• 1 122

1222

1223 ……

12211

12212=2

Consonanza (Armonia)• Mentre il problema della scala è relativo alla linea

melodica (orizzontale), quello della consonanza è relativo all'armonia (verticale). Geometricamente, sullo spartito la linea melodica è quella orizzontale, la linea armonica è quella verticale in cui i suoni si sovrappongono.

• Quali sono i rapporti consonanti? Pitagora, accettava i rapporti:

• 4/3 3/2 2 • corrispondenti a quelli che oggi chiamiamo

• quarta, quinta, ottava • ovvero gli accordi

• do-fa, do-sol, do-do.

Scala Pitagorica• La scala pitagorica è fondata sul rapporto di quinta (3/2) e di ottava

(2)• Si moltiplica ripetutamente per 3/2 dividendo eventualmente per

2 per ritornare nell'ottava. • Do RE MI FA SOL LA SI • 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 • Ma non si riottiene il DO. Proseguendo si ottiene 729/512≈ 1,42 e

bisogna proseguire per 12 iterazioni per ottenere un valore prossimo a 2

• Infatti la tredicesima (scala monocromatica) nota (si#) doveva essere approssimata (do).

• La differenza tra le due note si dice comma pitagorico

• . Il metodo divisivo è impossibile perché

•3

2

12 1

2

𝑘= 2 → 312 = 213+𝑘

• Per il temperamento equabile sono indispensabili i numeri irrazionali

Teoria del senario• Man mano si sono introdotti altri rapporti armonici. • 5/4 (terza maggiore); 6/5 (terza minore); 5/3 (sesta

maggiore); 5/8 (sesta minore)• Ai tempi di Keplero andava in voga la teoria del senario

basata sulla superiorità del numero 6. • Mentre la teoria pitagorica era basata sul 4 (tutti i

rapporti) i nuovi rapporti armonici avevano i numeri fino 6 (sesta minore?)

• In effetti: 6 è un numero perfetto. Sei sono i giorni della creazione. Sei sono i pianeti: Terra, Mercurio, Venere, Marte, Giove e Saturno.

• Armonia del cosmo: ogni pianeta produce una nota, o una melodia (Pitagora) . Perché non l'ascoltiamo? Sin dalla nascita...

Musica cosmica

Teoria Geometrica di Keplero• Keplero propone una teoria geometrica: poligoni

inscritti in una circonferenza (corda richiusa su sé stessa) costruibili con riga e compasso N=3,4,5 e tutti i doppi compreso quindi 6 ed 8. Da 10 in poi si riottengono intervalli già menzionati prima.

• Ma nel 1796 il giovane Gauss scopre che sono costruibili con riga e compasso tutti e soli i poligoni con N numero primo di Fermat

22𝑛

+1• e sono costruibili 17, 257, 65537 e forse tanti altri...

• Perché i pianeti sono proprio sei e disposti nel modo che osserviamo? Perché il mondo è così piuttosto che altrimenti?

Dio è un musicista!

Mysterium Cosmographicum

• Anche qui Keplero ha un'intuizione geometrica: Orbite sferiche sui cinque solidi platonici.

Leggi di Keplero

• L. Baglioni e i supplenti italiani

Terza legge di Keplero

• T=K 𝑑3

2

• Un'esponente piuttosto strano: ma sì, l'universo in armonia segue l'intervallo pitagorico di quinta!

• Keplero stesso scrive l'Harmonice Mundi per mostrare come le leggi dell'armonia si possano scorgere ovunque nel cosmo. Un Dio che era armonia doveva aver creato con un ben preciso ordine non soltanto il sistema musicale, bensì un gran numero di altre entità, tutte governate dalla stessa regolarità.

• Keplero si propone di rintracciare, in qualche opportuno parametro del moto dei pianeti le stesse proporzionalità da lui rivelate negli intervalli musicali consonanti.

Keplero-Galileo-Newton• L'esponente 3/2 è legato al fatto che la forza

dipende dall'inverso del quadrato della distanza, mentre l'accelerazione dipende dalla distanza.

• Nel caso semplificato di moto circolare (uniforme)

• F=ma ; F=GmM1

𝑟2; a=

𝑣2

𝑟=𝑤2r ; v=wr

• T=2𝜋

𝑤→

𝐾

𝑟2= 𝑤2𝑟 =

4𝜋2

𝑇2𝑟 → 𝑇2 = 𝐾𝑟3

Modernità di Keplero• Per quell'epoca rappresenta un fatto straordinario

che Keplero sia stato disposto a mettere in gioco il proprio modello, per quanto metafisico esso fosse, attraverso il confronto con il dato sperimentale: egli aveva assegnato alle discrepanze tra teorie e misure l'autorità di esigere la modifica della teoria stessa. In questo atteggiamento è possibile scorgere in Keplero un aspetto di autentica modernità.

• Passando dalla musica pitagorica essenzialmente matematico-speculativo ad un approccio che coniugasse le esigenze sperimentali (matematico-empirico), approccio caratteristico del metodo scientifico moderno.

Dati sperimentaliy = 7,758x - 806,65

R² = 0,9864

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

Per

iod

i

distanze

Keplero

Serie1

Lineare (Serie1)

Terza legge di Kepleroy = 0,0395x + 117817

R² = 1

0

20000000

40000000

60000000

80000000

100000000

120000000

140000000

0 500000000 1E+09 1,5E+09 2E+09 2,5E+09 3E+09 3,5E+09

qu

ad

rato

pe

rio

di

Cubo distanze

3 Keplero

Serie1

Lineare (Serie1)

La Cura (Battiato)• Ti proteggerò dalle paure delle ipocondrie,

• Dai turbamenti che da oggi incontrerai per la tua via

• Dalle ingiustizie e dagli inganni del tuo tempo,

• Dai fallimenti che per tua natura normalmente attirerai

• Ti solleverò dai dolori e dai tuoi sbalzi d'umore,

• Dalle ossessioni delle tue manie

• Supererò le correnti gravitazionali,

• Lo spazio e la luce

• Per non farti invecchiare

• E guarirai da tutte le malattie,

• Perché sei un essere speciale,

• Ed io, avrò cura di te

Le leggi del mondo• Ti porterò soprattutto il silenzio e la pazienza

• Percorreremo assieme le vie che portano all'essenza

• I profumi d'amore inebrieranno I nostri corpi,

• La bonaccia d'agosto non calmerà I nostri sensi

• Tesserò I tuoi capelli come trame di un canto

• Conosco le leggi del mondo, e te ne farò dono

• Supererò le correnti gravitazionali,

• Lo spazio e la luce per non farti invecchiare

• TI salverò da ogni malinconia,

• Perché sei un essere speciale ed io avrò cura di te

• Io sì, che avrò cura di te

Gravitazione• Lo spazio e la luce per non farti invecchiare.

Paradosso dei gemelli, chi viaggia resta giovane!

• Postulato di Einstein: La velocità c della luce (nel vuoto) è la stessa per tutti i sistemi di riferimento inerziali.

• Ma se S=v t e se la velocità deve essere la stessa, mentre lo spazio cambia, allora il tempo non può essere lo stesso per tutti. Il tempo non è immutabile e assoluto ma dipende dal moto.

Universo casuale?• Potremo dire che qualcosa è casuale (o caotico)

se avviene in assenza di regole. Ma l'assenza di regole non significa mancanza di regolarità.

• Se su una ruota del lotto esce per cento volte consecutive il numero uno sarebbe una situazione bizzarra: può o non può accadere una cosa tanto strana? Sì, può accadere, anzi deve farlo! Il fatto è che, se il fenomeno è veramente casuale allora non deve valere nessuna regola, ma proprio nessuna nessuna. Se l'uscita dei cento uno consecutivi non fosse possibile, allora la Non escono cento uno consecutivi sarebbe una regola. Ma noi non vogliamo regole! Si tratta di un fatto di pura logica.

Probabilità• A questo punto subentra la probabilità. Il suo

compito è proprio quello di quantificare la possibilità che un evento accada oppure no. La probabilità restituirà un numero reale compreso tra zero ed uno. Il valore zero è riservato agli eventi impossibili, come l’estrazione del numero 91 ad un giro di tombola, mentre uno è riservato agli eventi certi, come l’estrazione di un numero tra uno e novanta nella tombolata di prima. Tutti gli altri eventi avranno una probabilitàintermedia: più il valore è vicino ad uno e piùfacile sarà il verificarsi dell’evento.

Se qualcosa è possibile deve accadere?! • probabilità che escano cento uno consecutivi:

estremamente piccola, ma non zero.• Una probabilità diversa da zero significa che l'evento

può verificarsi e in un certo senso deve (prima o poi) verificarsi.

• Anche se la probabilità è molto piccola. Nell'estate del 1992 si svolsero gli europei di calcio… Il fatto che un evento molto poco probabile accada non è un miracolo, anche se ci si avvicina parecchio.

• Ma buona parte della scienza moderna si basa anche sul fatto che eventi con probabilità molto piccola di fatto non accadono (legge di Borel). Ma questa è un'altra storia.

Numeri ritardatari• Periodicamente, diversi giornali e siti internet pubblicano la

lista di numeri che non escono da molto tempo. A giugno il 29 non usciva sulla ruota di Bari da ben 88 estrazioni. E il massimo storico per questo numero era di 147.

• Molti pensano (altrimenti perché raccogliere questi dati?) che sia un buon investimento quello di scommettere sull'uscita imminente del numero 29. Prima o poi deve uscire, no? Ribadiamo: caso vuol dire assenza di regole. Se potessimo essere sicuri che il29 esce entro anche 500 estrazioni, questa sarebbe una regola! Allora il 29 potrà benissimo beffarsi di noi e non uscire per decenni, poi, proprio quando abbiamo esaurito i nostri soldi o ci siamo stancati di inseguirlo magari esce per dieci volte consecutive. Il caso è fatto così, non guarda in faccia a nessuno!

Il mondo è matematico?• L'irragionevole efficacia della matematica nelle

scienze della natura

• Storico saggio di Wigner, premio nobel per la fisica che parla di dono che non abbiamo meritato.

• Uno statistico mostra una sua raccolta di dati su una popolazione a un suo vecchio amico matematico. Quest'ultimo gli comunica che i suoi dati sono regolati dalla distribuzione di Gauss.

Gaussiana

Schrodinger e Heisenberg

• ∆𝑥∆𝑝 ≥ℎ

4𝜋

Dio è un matematico?!• Man mano che i nostri studi proseguono alcune cose

sembrano meno sorprendenti altre lo diventano sempre più. L’importanza della media e della distribuzione gaussiana è ad esempio legata al Teorema Limite Centrale.

• Incompatibilità tra meccanica quantistica e Relatività generale (Discreto contro Continuo).

• Torniamo allo spartito, musica discreta. Ma ad un livello più fondamentale, le vibrazioni di una corda di violino sono oggetti continui. Gravità quantistica cerca di discretizzare il continuo, anche lo spazio-tempo. Teoria delle stringhe, rendere continuo il discreto. Le particelle (discrete) corrisponderebbero alle vibrazioni di oggetti continui più fondamentali (stringhe, o brane ecc.)

• Siamo tornati alla metafora di Dio musicista!