L’ALGEBRA

ORIGINE DEL TERMINE

Il termine algebra deriva da un termine arabo al-gabar che significa “unione”, “connessione”.

STORIA

Varie popolazioni antiche formarono le basi dell’algebra.

Babilonesi Greci Indiani

Essi introdussero l’algebra e usarono le incognite “us” e “sag” per risolvere i problemi algebrici.

Nel III secolo a.C. iniziarono ad esprimere i numeri con le lettere dell’alfabeto fenicio. Un matematico greco, Diofanto, nel 250 d.C. introdusse delle abbreviazioni per rappresentare le incognite e le potenze

Tra il 200 e il 1200 d.C. elaborarono un sistema composto da simboli che permise loro di creare nuovi procedimenti e risolvere equazioni.

Muhammad Al-Kawarizmi, conosciuto come il “padre dell’algebra”, diffuse un trattato riguardante l’algebra che diede origine a due correnti di idee.

Prima corrente Seconda corrente

Un problema geometrico si può risolvere con un’equazione algebrica ed un’incognita

La risoluzione di un’equazione di terzo grado si può ricondurre ad una costruzione geometrica

UN GRECO COME “PADRE DELL’ALGEBRA”

L’algebra che oggi conosciamo ha subito nel corso del tempo varie trasformazioni:

Viète e Dèscartes hanno introdotto la simbologia algebrica come la “a” e le parentesi quadre e graffe.

COS’E’ UN MONOMIO?

Un monomio è un’espressione algebrica costituita da un solo coefficiente e da una parte letterale. Tra il coefficiente e la parte letterale è presente soltanto la moltiplicazione.

N.B. Qualsiasi numero naturale è un

monomio N (a°)= n (1) N (1)= n

LE OPERAZIONI CON I MONOMISomma algebrica Moltiplicazione Divisione Potenze

5xz+8xz= 13xz

14ab-20ab= -6ab

3ab (-4a²b)= -12a³b² 121a³b²: 11a²b= 11ab

(5a3b)2 =25a6b2.

N.B. La somma algebrica si può

svolgere soltanto con monomi simili (stessa parte

letterale)

M.C.D m.c.m.

M.C.D. (12b²c³ 15 a³b)=

3b

m.c.m. (12b²c³ 15 a³b)=

60a³b²c³

CARATTERISTICHE DI UN MONOMIO

MONOMIO RIDOTTO A FORMA NORMALE: monomio scritto come un prodotto fra un numero e una o più lettere, diverse fra loro;

GRADO DI UN MONOMIO: somma di tutti gli esponenti delle lettere. L’esponente con cui compare ogni lettera è detto grado rispetto alla lettera;

COS’E’ UN POLINOMIO?

Un polinomio è una somma tra monomi.

È un’espressione dove compaiono anche delle somme algebriche.

TIPI DI POLINOMICOMPLETO OMOGENEO ORDINATO

Un polinomio è completo rispetto a una lettera se per tale lettera presenta tutte le potenze dal grado massimo fino al grado zero.

Un polinomio è omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado.

Un polinomio è completo rispetto a una lettera se i suoi termini sono disposti in modo crescente o decrescente.

OPERAZIONI CON I POLINOMI

Somma:

(2a²-3b+5)+ (-3b+4a²)+ (-5+7b)= 2a²-3b+5-3b+4a²-5+7b= 6a²+b

Prodotto PRODOTTO (MONOMIO E POLINOMIO): -3a3b (6a2-4ab+5b2)=

=-18a5b+12a4b2 -15a3b3

PRODOTTO (POLINOMIO E POLINOMIO): (3a-5b)(4a+3b)=

=12a2+9ab-20ab-15b2=

=12a2-11ab-15b2

Divisione di un monomio per un polinomio

(4ab2 -6a²b) : 2ab= (4ab2 : 2ab) + (-6a²b : 2ab) =2b-3a

Divisione fra polinomi

La regola di Ruffini

La regola di Ruffini serve per dividere un polinomio per un binomio che abbia la x come primo termine incognito meno un numero.

N.B. La regola di Ruffini si

può applicare anche con un coefficiente diverso da 1

I PRODOTTI NOTEVOLI

Somma per differenza

Quadrato di un binomio

Cubo di un binomio Quadrato di un trinomio

(A+B) (A-B)=

=A²-B²

(A+B) ²=

=A²+2AB+B²

(A+B) ³=

=A³+3A²B+3AB²+B³

(A+B+C) ²=

=A²+B²+C²+2AB+2AC+2BC

I prodotti notevoli sono forme più rapide per svolgere la moltiplicazione tra due o più polinomi.

La scomposizione di un polinomio in fattori

Scomporre un polinomio in fattori significa scrivere il polinomio come prodotto di polinomi di grado inferiore. Esistono polinomi riducibili (che si possono scomporre) e irriducibili.

Raccoglimento a fattor comune totale

Raccoglimento parziale

12a ²-21b ³-28ab²+9ab = 3 a (4 a+ 3b) – 7b ² (3b+4 a) = (4 a+3b) (3 a-7b²)

METODI DI SCOMPOSIZIONE

Scomposizione della differenza di due monomi attraverso la somma per differenza

A²-B²= (A+B) (A-B)

Scomposizione di un trinomio di secondo grado attraverso il quadrato del binomio

A²+2AB+B²= (A+B) ²

Scomposizione mediante il quadrato di un trinomio

A²+B²+C²+2AB+2BC+2AC= (A+B+C) ²

Scomposizione con il cubo di un binomio

A³+3A²B+3AB²+B³= (A+B) ³