Matematica per l’economia e le scienze sociali

Gian Italo Bischi Dipartimento di Economia, Società e PoliticaUniversità di Urbino “Carlo Bo”

gian.bischi@uniurb.itwww.econ.uniurb.it/bischi

Urbino, 10 ottobre 2012

Premio Nobel per l'economia nel 2011

Galileo Galilei 1564-1642

La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l’Universo), ma non si può intendere se prima non si impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto.

Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne manamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.

Galileo, da “ Il Saggiatore”

Matematica (pura) e Matematica Applicata

Applicazione dei teoremi, dimostrati per le entità matematiche, agli oggetti reali

Applicazione dei fenomeni osservati nel mondo reale per ottenererelazioni formali fra i corrispondenti “oggetti matematici”

Modelli

gli oggetti astratti (platonici)della matematica

gli oggetti del mondo reale

Problema del monopolista: Più produco e più guadagno?

q = quantità prodottap = prezzo unitario di venditac = costo unitario di produzione Profitto = Ricavo – Costo = p q – c q = (p – c) q

Teorema.

Se p > c allora il profitto cresce ogniqualvolta cresce la produzione

Ma ci sono sempre dei consumatori disposti a comprare ciò che si produce al prezzo imposto dal monopolista ?

q (quantità venduta) e p (prezzo di vendita) non sono indipendenti

Il prezzo decresce al crescere della quantità ovvero

la quantità acquistata è funzione decrescente del prezzo

qdom

pfine soldi

q saturazione

Esempio: Funzione di domanda lineare

p

q

p = a/b – (1/b) q = A – B qq = a – b p

funzione inversa di domanda

A=pmax per merce rara

p→0 pur di vendere

Tutta la produzione

= f (q) = – B q2 + (A – c) q

Profitto

quantità prodottaA c

B

2

A c

B

è una parabola!

profitto del monopolista = p q – c q = (A – B q) q – cq

Problema del duopolio

A. Cournot, Récherches sur les principes matématiques de la théorie de la richesse, 1838.

Due produttori, 1 e 2, vendono lo stesso prodotto

Il produttore 1 produce e immette nel mercato q1 con costi c1q1

Il produttore 2 produce e immette nel mercato q2 con costi c2q2

prezzo: p = A – B QTOT = A – B ( q1 + q2)

Profitto produttore 1: 1 = pq1 – c1q1 = [ A – B ( q1 + q2 )]q1 – c1q1

Profitto produttore 2: 2 = pq2 – c2q2 = [ A – B ( q1 + q2 )]q2 – c2q2

1 = [ A – B ( q1 + q2)]q1 – c1q1 = – Bq12 + (A – c1 –Bq2 )q1

Max per

2 = [ A – B ( q1 + q2)]q2 – c2q2 = – Bq22 + (A – c2 Bq1 )q2

Max per

B

BqcAqrq

2)( 21

211

2 12 2 1( )

2

A c Bqq r q

B

q2

q1

q2 = r

2 (q1 )

q1 = r

1 (q2 )

Equilibrio:

)(

)(

122

211

qrq

qrq

* 2 12

2

3

A c cq

B

* 1 2

1

2

3

A c cq

B

Equilibrio di Cournot-Nash

*1 3

Aq

B *

2 3

Aq

B

prezzo all’equilibrio di Nash * * *1 2

2

3 3

A Ap A B q q A B

B

profitto individuale2

* * *

3 3 9i i

A A Aq p

B B

Duopolio di Cournot (trascuriamo i costi c1 = c2 = 0

Monopolio

produzione che massimizza il profitto2

m AQ

B

prezzo di monopolio 2 2

m m A Ap A B Q A B

B

profitto di monopolio2

2 2 4m m mi

A A AQ p

B B

Possibili accordi: 1) uno solo produce e poi si divide il profitto a metà , 2) concordiamo di produrre ciascuno Qm/2 = A/4B, cioè meno del Nash

libera concorrenza: equilibrio di Nash:

2 2

!!!8 9

A A

B B

Un precursore: A.A. Cournot (1838) a Parigi, “Récherches sur les principes matématiques de la théorie de la richesse”

La rivoluzione marginalista:1871 - “The Theory of Political Economy” diW.S. Jevons a Londra;

1871- “Grundsätze der Volkswirtschaftslehre”(Principles of Economics) di C.Menger a Vienna;

1874 - “Eléments d’économie politique pure”di L.Walras a Losanna.

Massimizzare una funzione di utilità (di soddisfazione, “felicità” ecc.)Walras sostenne l’esistenza di una stretta analogia tra l’Economia le “scienze fisico-matematiche”. Il principio di minimizzazione permeava tutta la Fisica dell’epoca.

Leon Walras (1834-1910)

Dalla corrisponenza fra Walras e Poincaré

Jules Henri Poincaré (1854–1912)

Autorevolezza delle scienze basate sulla matematica. La matematica è un ottimo strumento per ragionare bene, fornisce teoremi trasformando ipotesi in tesi che gettano nuova luce su ciò che le ipotesi implicitamente contenevano ma non eravamo capaci di vedere. Pero' non dice nulla sulla "verità" delle ipotesi, e quindi delle tesi a cui si perviene.

“Ho pensato che all’inizio di ogni speculazione matematica ci sono delle ipotesi e che, perché questa speculazione sia fruttuosa, occorre, come del resto nelle applicazioni della Fisica, che ci si renda conto di queste ipotesi. Per esempio, in Meccanica si trascura spesso l’attrito e si guarda ai corpi come infinitamente lisci. Lei guarda agli uomini come infinitamente egoisti ed infinitamente perspicaci. La prima ipotesi può essere accettata come prima approssimazione, ma la seconda necessiterebbe forse di qualche cautela.”

Vito Volterra (1860-1940)

Il matematico si trova in possesso di uno strumentomirabile e prezioso, creato dagli sforzi accumulatiper lungo andare di secoli dagli ingegni più acutie dalle menti più sublimi che siano mai vissute.Egli ha, per così dire, la chiave che può aprire ilvarco a molti oscuri misteri dell’universo, ed unmezzo per riassumere in pochi simboli una sintesiche abbraccia e collega vasti e disparati risultati di scienze diverse[…]Ma è intorno a quelle scienze nelle quali le matematiche solo da poco tempo hanno tentato d’introdursi, le scienze biologiche e sociali, che è più intensa la curiosità, giacché è forte il desiderio di assicurarsi se i metodi classici, i quali hanno dato così grandi risultati nelle scienze meccanico-fisiche, sono suscettibili di essere trasportati con pari successo nei nuovi ed inesplorati campi che si dischiudono loro dinanzi. dal discorso inaugurale per l’anno accademico 1901-1902 dell’Università di Roma

Vito Volterra (1860-1940)

"Plasmare dunque concetti in modo da poter introdurre la misura; misurare quindi; dedurre poi delle leggi; risalire da esse ad ipotesi; dedurre da queste, mercé l'analisi, una scienza di enti ideali si, ma rigorosamente logica; confrontare poscia con la realtà; rigettare o trasformare, man mano che nascono contraddizioni tra i risultati del calcolo ed il mondo reale, le ipotesi fondamentali che han già servito; e giungere così a divinare fatti e analogie nuove, o dallo stato presente arrivare ad argomentare quale fu il passato e che cosa sarà l'avvenire; ecco, nei più brevi termini possibili, riassunto il nascere e l'evolversi di una scienza avente carattere matematico.“

Vito Volterra, Saggi Scientifici, Zanichelli Bologna 1920

Preda-predatore (Vito Volterra, 1926)

Densità prede x1

Densità predatori x2

1x r x1

m x2

2x + c x1x2

b x1x2

x1

x2

01

x

02

x02

x 02

x

01

x

01

x

Vilfredo Pareto (1848-1923)

Studia matematica e si laurea in ingegneria a Torino.Nel 1892 succede a Walras sulla cattedra di Losanna.

•Vuole “disinquinare” le scienze sociali da politica e filosofia, prendendo come modello la Meccanica Razionale.

•L’economia non abbia timore di diventare un sistema assiomatico-deduttivo, ipotizzando agenti e processi economici idealizzati, così come la fisica utilizza con grande profitto entità come i corpi rigidi, i fili inestensibili e privi di massa, i gas perfetti, le superfici prive di attrito…

Le polemiche. •E’ possibile trasformare in quantitativa una scienza umana, ovvero una disciplina i cui procedimenti e le cui conclusioni coinvolgono pesantemente pregiudizi storici, culturali e politici?

•L’impiego della Matematica fornisce all’Economia una particolare autorevolezza, che rischia di trasformarsi in presunta oggettività e che comunque rende difficile l’individuazione dei suoi condizionamenti ideologici.

The Theory of Value (1959)

Nella prefazione Debreu scrive:“la teoria del valore è trattata qui secondo gli standard di rigore dell’attuale scuola formalista di Matematica

Lo standard di rigore logico della matematica in economia è ormai la regola, non più l’eccezione”.

Gerard Debreu (1921–2004)Premio Nobel per l’economia nel 1983Ma lo stesso Debreu scriveva anche:

“la seduzione della forma matematica può diventare quasi irresistibile. Nel perseguimento di tale forma, può darsi che il ricercatore sia tentato di dimenticare il contenuto economico e di evitare quei problemi economici che non siano direttamente assoggettabili a matematizzazione”

John Maynard Keynes (1883–1946)

Non basta semplicemente adattare i metodi e i ragionamenti della fisica alla modellizzazione dell’economia perché

“[…] l’economia è una scienza morale […] essa ha a che vedere con motivazioni, aspettative, incertezze psicologiche.

È come se la caduta della mela al suolo dipendesse dalle aspirazioni della mela, se per lei sia conveniente o meno cadere a terra, se il suolo vuole che essa cada, e se vi sono stati errori di calcolo da parte della mela sulla sua reale distanza dal centro del pianeta”

Aggiungiamo: come e quanto la mela si fa condizionare dal comportamento delle altre mele dello stesso albero o di alberi vicini, le aspettative che la mela ha sugli esiti della sua caduta e sulle cadute dalle altre mele, le informazioni che la mela ha sulle decisioni delle altre mele e sulle condizioni del suolo su cui andrà a cadere, ecc.

Spesso il tempo in economia è discreto (discontinuo) perché scandito da decisioni che non possono essere continuamente rivedute

Event-driven time, Decision-driven time

Legge del moto xt+1 = f ( xt )

x = (x1 , x2 ,…,xn) M R n, f: MM

t = 1, 2, 3, … i.e tN

Modello dinamico a tempo discreto:x0 è dato, la legge del moto definisce induttivamente una unica

traiettoria: (x0) = {xt M | f t (x0)}

Con modelli a t discreto è più facile avere oscillazioni, overshooting (over-reaction).Caos anche in modelli semplici e a bassa dimensionalità

0 0... ( ) ( )ttx f f f x f x

1 0( )x T x2

2 1 0 0 0( ) ( ( )) ( ) ( )x f x f f x f f x T x ...

Determinismo Laplaciano

Laplace (1776) da Théorie analytique des probabilitiés

«Lo stato attuale del sistema della natura consegue evidentemente da quello che era all’istante precedente e se noi immaginassimo un’intelligenza che a un istante dato comprendesse tutte le relazioni fra le entità di questo universo, essa potrebbe conoscere le rispettive posizioni, i moti e le disposizioni generali di tutte quelle entità in qualunque istante del futuro».

Leibniz:"Vediamo allora che ogni cosa procede in modo matematico - cioè infallibilmente - nel mondo intero, in modo che se qualcuno avesse una sufficiente capacità di conoscere a fondo le cose, e avesse abbastanza intelligenza e memoria per considerare tutte le circostanze e tenerne conto, questi potrebbe essere un profeta e potrebbe vedere il futuro nel presente come in uno specchio".

Modelli con aspettative

In economia e nelle scienze sociali lo stato attuale consegue sì da quelli del passato, ma dipende anche dalle decisioni degli individui che lo compongono, decisioni che sono influenzate dalle aspettative che essi hanno sul futuro.

xt+1 = f ( ) oppure xt = f ( )

Le aspettative degli agenti sul futuro si riflettono sul modo in cui i sistemi evolvono: mappings from beliefs to realizations.

)(1

etx

)(1

etx

Una delle 5 frasi riprodotte sul nuovo tappeto nello studio ovale di Obama: «L'unica cosa di cui dobbiamo aver paura è la paura stessa» (Roosvelt, a proposito della grande depressione del 29)

Come dire: “La paura (del futuro) condiziona le nostre decisioni (nel presente)”Viceversa, vale il detto:“Essere ottimisti sul futuro ci fa meglio vivere il presente”

Ipotesi delle aspettative razionali (Muth, 1961, Lucas, 1972)Gli agenti economici sono in grado di prevedere correttamente il futuro dei sistemi che studiano, così come un fisico conosce le leggi della natura.

Così nasce l’agente economico rappresentativo razionale, in grado di effettuare scelte ottimali in quanto è capace di calcolare tutte le grandezze necessarie. Questo, associato all’ipotesi dei mercati efficienti è diventato il modello teorico dominante (modello neoclassico) che prevede che l’economia raggiungerà un equilibrio in cui tutte le relazioni economiche necessarie (come ad esempio i vincoli di bilancio) saranno rispettate. Questo approccio, è fortemente radicato nei metodi di ottimizzazione che portano alla “teoria dell’equilibrio generale”.

Il tema dell’efficienza dei mercati è sempre stato una specie di atto di fede dell’economia neoclassica, con la convinzione che i mercati sono in grado di auto-correggersi e che il ruolo dei governi è tutt’al più quello di “regolatori dalla mano leggera”.

Gli agenti economici dei modelli devono essere dotati della capacità fare congetture sulla distribuzione di probabilità dei possibili stati futuri dell’Economia.

1)(1 t

et xx

Modelli dinamici non lineari, oscillazioni endogene, caos

A partire dagli anni ’30, un tema ricorrente nella letteratura è stato il confronto fra modelli deterministici e stocastici come possibili strumenti per descrivere le oscillazioni irregolari e persistenti osservate nei sistemi economici, in netto contrasto sia con la convergenza a un equilibrio stazionario prevista dai modelli lineari dell’equilibrio economico, che con la periodicità delle oscillazioni endogene previste dai primi modelli deterministici non lineari del ciclo economico.Questo ha portato a una crescente popolarità dei modelli macroeconomici lineari stabili arricchiti da termini stocastici, per rappresentare continui shock esogeni la cui presenza è in grado di provocare le oscillazioni persistenti che si osservano nei dati reali.

Nei modelli non lineari la perdita di stabilità locale non conduce necessariamente a evoluzioni divergenti e quindi non accettabili. Ma i cicli limite attrattivi forniscono andamenti troppo regolari rispetto a quelli osservati nella realtà.

La scoperta del caos deterministico ha riaperto la questione. La possibilità di generare fluttuazioni irregolari senza bisogno di termini stocastici suggerisce che nei sistemi economici ci possono essere meccanismi endogeni capaci di creare il disordine osservato nell’economia reale, senza bisogno di continui shocks che scuotano i sistemi dall’esterno.

Henry Poincaré (1903)

Se conoscessimo esattamente le leggi della natura

e la situazione dell’universo all’istante iniziale,

potremmo prevedere esattamente la situazione

dello stesso universo in un instante successivo.

Ma se pure accadesse che le leggi naturali non

avessero più alcun segreto per noi, anche in tal

caso potremmo conoscere la situazione iniziale

solo approssimativamente.

Se questo ci permettesse di prevedere la situazione

successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e

dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto.

Ma non è sempre così; può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali..

Henry Poincaré, 1854-1912

Aspettative razionali e caos deterministico. Una evidente antinomia

Se si parte da un modello con aspettative razionali e si scopre che esso genera caos deterministico, allora le previsioni non possono essere razionali (cioè perfette) per definizione di dinamiche caotiche.

Un corollario che contraddice un’ipotesi del teorema!

Benhabib, Day (1982) “A characterization of erratic dynamics in the overlapping generations model” Journal of Economic Dynamics and Control, 4, 37-55.

Boldrin, Montrucchio. (1986) “On the Indeterminacy of Capital Accumulation Paths.” Journal of Economic Theory 40: 26—39.

Grandmont, J.M. (1985) “Endogenous Competitive Business Cycles” Econometrica 53: 995—1045.

Si arriva anche a dimostrare che fluttuazioni caotiche dell’economiapossono essere dotate di efficienza paretiana e quindi non è così scontato il paradigma classico secondo il quale le politiche economiche debbano sempre cercare di eliminarle o smorzarle.

A. Matsumoto. “Let it be: chaotic price instability can be beneficial” Chaos, Solitons and Fractals vol. 18 (2003) pp. 745–758

Ovviamente ci possono essere altre considerazioni da fare, legate alle conseguenze sociali delle fluttuazioni economiche, quando si devono decidere politiche da applicare (es. il dramma della disoccupazione o del disagio sociale legato all’instabilità economica).

Nonostante queste premesse l’ipotesi dell’agente rappresentativo razionale è diventata dominante dagli anni 60 in poi: questo solleva molti dubbi anche logici, dato che l'agente economico è parte del sistema che studia, un problema che i fisici hanno per la prima incontrato nello studio della meccanica quantistica e che si è portato dietro molte conseguenze, paradossi e interpretazioni che fanno tuttora discutere.

Modelli con razionalità limitata

Già negli anni 50 Herbert Simon aveva parlato di agenti economici limitatamente razionali:“Non è empiricamente evidente che gli imprenditori e i consumatori nel prendere decisioni seguano i principi di massimizzazione dell’utilità richiesti dai modelli dei marginalisti. In parte perché non hanno informazioni sufficienti, o le necessarie capacità di calcolo. Quindi nei modelli occorre prevedere che gli agenti siano incerti sul futuro e occorre includere i costi per reperire informazioni. Questi fattori limitano le capacità degli agenti nel fare previsioni,

Herbert Simon (1916–2001)Nobel per l’Economia 1978

They possess only “bounded rationality”. They do not choose what is optimal but what will make them happy enough.Rules of thumb, trial & errors in making decisions

Le bolle: I tulipani in olanda nel ‘600

La bolla speculativa dei mercati del 1995-2000…

Ruolo dei mezzi di comunicazione

Casi di crescita spinta dalle aspettative di crescita

Bulls and Bears, ottimismo e pessimismo degli operatori

Microcomportamenti individuali vs macrocomportamenti emergenti, collettivi, sociali

Self-fulfilling expectations

Interazione strategica

John (János) von Neumann (Budapest 1903 – Washington 1957)

Princeton, 1947

Verso una “Matematica per le decisioni”. Occorre un concetto di “scelta razionale”

x1

x2

xn

.

.

.

Azioni utilità (funzione di preferenza)

u(x1)

u(x2)

u(xn)

.

.

.

x* : max u( xk ) k=1,…,n

Se x è una variabile continua (cioè x [a,b] ) allora u:[a,b]→

abbiamo un tipico problema di ricerca di un massimo assoluto

in un compatto, detto spazio delle azioni

u(x1)

x1xx2 x3 x4 x5

u(x4)

u(x3)

Dall'oroscopo di Linda Wolf del 3 dicembre 2009

Ariete.

Anche se siete sicuri del fatto vostro

fate molta attenzione alle decisioni degli altri

Interazione strategica, uA = uA (xA ,yB) : matrici dei payoffs aij= u(xi,yj)

Bimatrice dei payoffs

BA

a1

a2

an

.

.

.

b1 b2 bm. . .

a11

a21

an1

a12

a22

an2

a1m

a2m

anm

...

. . .

. . .

A

a1

a2

an

.

.

.

b11

b21

bn1

b12

b22

bn2

b1m

b2m

bnm

...

. . .

. . .

b1 b2 bm. . .B

A

a1

a2

an

.

.

.

(a11,b11)

...

. . .

. . .

b1 b2 bm. . .B

(a21,b21)

(an1,bn1)

(a12,b12)

(a21,b21)

(an1,bn1)

(a1m,b1m)

(a2m,b2m)

(anm,bnm)

Payoff giocatore A in presenza di B Payoff giocatore B in presenza di A

Principio di razionalità.Un giocatore non sceglie l’azione x se ha a disposizione una scelta y che gli permetta di ottenere di più qualunque siano le scelte dell’altro (o degli altri) giocatori

Esempio: B

A

a1

a2

b1 b2 b3

(0,1) (1,0) (-1,2)

(2,2) (3,2) (0,1)

(5,5) (15,0)

(10,10)(0,15)

Preferisci che dia 5 euro a te oppure 10 al tuo amico?

BA

a1

a2

b1 b2

Giocatore A: a1: 5 a me a2: 10 a B

Giocatore B: b1: 5 a me b2: 10 ad A

(-1,-1) (-10,0)

(-5,-5)(0,-10)

BA

Dilemma del prigioniero

Tace Accusa

Tace

Accusa

Gioco proposto da Merrill Flood e Melvin Dresher, Rand Corporation 1950,per le possibili applicazioni ad una strategia nucleare globale.La versione "il dilemma di prigioniero" si deve ad Albert Tucker che volle rendere più accessibili le idee di Flood e Dresher a un pubblico di psicologi di Stanford.

Se denunci il tuo complice ti lasceremo libero (legge sui collaboratori) e il tuo complice starà in prigione per 10 anni. Ma se il tuo complice fa altrettanto allora sarete dichiarati entrambi colpevoli e, pur usufruendo dello sconto per aver collaboratori, rimarrete in carcere 5 anni ciascuno. Se entrambi tacete, 1 anno di prigione ciascuno per guida pericolosa e detenzione di armi.

FishermanCFisherman

R

Moderateexploitaton

(cooperative)

Intensiveexploitation

(competitive)

(3, 3)

(2, 2)

(1, 4)

(4, 1)

Moderateexploitaton

(cooperative)

Intensiveexploitation

(competitive)

Dilemma del Pescatore

Un tipico dilemma sociale

Hardin, G. “The tragedy of the commons”, Science (1968).

E la mano invisibile di Adam Smith?

(a,a) (b,c)

(d,d)(c,b)

BA

a1

b2

a2

b1

In generale …

con c > a > d > b

Altre situazioni : Scambio a scatola chiusa Corsa agli armamenti e politiche di disarmo Parlare a voce alta in pizzeriaInquinare o no?Porto il casco per correre in bici?

E’ meglio il più o il meno?

Singolo decisore

x

u(x)

Interazione strategica

(10,10) (3,15)

(5,5)(15,3)

BA

a1

a2

b1 b2

(8,8) (2,7)

(0,0)(7,2)

BA

a1

a2

b1 b2

E’ meglio avere più possibilità di scelta?

Singolo decisore

x

u(x)

Interazione strategica

(10,10)(3,5)

(1,1) (5,3)

BA

a1

a2

b1 b2

x1 x2x3

(10,10)(3,5)

(1,1) (5,3)

(1,1)

(0,11)

(4,0) (11,0)

(0,4)

BA

a1

a2

b1 b2b3

a3

9 3 0

6 5 7

-1 4 9

0

5

-1

9 5 9

Equilibrio: maxmin = minmax = sella della matricemaxmin = minmax = sella della matrice

Giochi a somma zero

,-9 ,-3

,-6 ,-5 ,-7

,0

,1 ,-4 ,-9

minimo guadagno su ogni riga

massima perdita su ogni colonna

min fra le max perdite(minmax)

max fra i min guadagni(maxmin)

BA

a1

a2

b1 b2

a3

b3

0 4 7 3 2

5 8 9 5 6

1 5 3 2 1

5 10 8 5 9

0 9 6 1 7

BA

a1

a2

b1 b2

a3

b3 b4 b5

a4

a5

0

5

1

5 5 9

minimi guadagni

massime perdite

minmax

maxmin

Gioco a somma zero, si ragiona sempre nella peggiore delle ipotesi (cioé prevedendo le contromosse dell’avversario), e poi nell’insieme delle peggiori ipotesi si sceglie la migliore realizzazione

10 9

5

0

maxmin

minmax

In generale maxnin minmax. Se vale = allora esiste almeno un equilibrio in strategie pureAltrimenti: Strategie miste (idea di von Neumann)

-21

-1 0

BA

a1

a2

b1 b2

-1

-2

1 0

maxmin= 1 < 0= minmaxnon c’è alcuna sella con strategie pure

p

(1- p)

q (1- q)

payoff atteso da a1: (-1)q + 0(1- q) = - q

payoff atteso da a2: (1)q + (-2)*(1- q) = 3q - 2

payoff atteso da b1: -p + (1-p) = 1-2p

payoff atteso da b2: -2(1-p) = 2p - 2

q2

1

1

2

p

-2

3

41

2

Soluzione

p=3/4, q=1/2

payoff di equilibrio

v=-1/2

Harsanyi Nash Selten

Premio Nobel, 1994 "for their pioneering analysis of equilibria in the theory of non-cooperative games"

Aumann Schelling

Premio Nobel, 2005 "for having enhanced our understanding of conflict and cooperation through game-theory analysis"

Premio Nobel, 2007

"for having laid the foundations of mechanism design theory"

Hurwicz Maskin Myerson

Esperimenti di laboratorio, in ambienti semplificati e controllati (experimental economics)

Ma c’è differenza fra la vera utilità (es. i profitti) e quella finta, simulata.

L’economia è una scienza?Confronto tra previsioni dei modelli e realtà economica

Difficile fare osservazioni “sul campo”

Inoltre, se le leggi dipendono dalle aspettative, le quali dipendono dalle informazioni possedute dagli agenti, allora fare misure aggiunge informazioni e quindi cambia le aspettative e quindi cambia le leggi del moto …

Critica ai metodi

Il paradosso della felicità in economia (paradosso di Easterlin):La ricchezza come proxy della felicità

Se cerchi la ricchezza, non trovi la felicitàSe cerchi la felicità, trovi la ricchezzadetto popolare salentino

Critica agli obiettivi

•Scopo originario dell’economia è di rendere massima l’utilità (la felicità) degli individui e delle popolazioni (cfr. Adam Smith, “Theory of moral sentiments”).

•Ma l’economia cerca leggi in forma matematical’economia cerca leggi in forma matematica, quindi ha bisogno di grandezze misurabili: reddito, inflazione, disoccupazione …

•Da qui l’equivoco di misurare la felicità di individui in termini di reddito e delle nazioni in termini di prodotto interno lordo

•Reddito utile per beni primari, ma una volta ottenuti questi…La felicità dipende da variabili che non sono acquistabiliAnzi…maggiore ricchezza maggiori aspettative minor tempo libero (es. per relazioni sociali) sradicamento geografico e sociale confronto con gli altri disuguaglianze

Una questione di misura…

E’ possibile una teoria matematica della felicità?

Misurare sentimenti morali,• Altruismo (Cooperazione, volontariato)• Reciprocità (Gratitudine) • Senso di colpa• Vergogna• La simpatia• L’empatia• Le attitudini, le abilità

Concetti estranei all’Homo Oeconomicus

Perché abbiamo questi “sentimenti morali”?Forse perché l’uomo ha vissuto in ambienti naturali e sociali in cui si espandevano i gruppi che erano predisposti alla cooperazione e a rispettare le norme

Alessandro Baricco “Tre volte all’alba”, 2012

-Mi parli del suo lavoro-Vendo bilance-Continui-Si pesano un sacco di cose, ed è importante pesarle con esattezza, così io ho una fabbrica che produce bilance.[…]Poi chiese ma come diavolo si finiva a costruire bilance. All’uomo dovette parere una domanda importante perché si mise a ricordare quando gli avevano insegnato la prima volta a misurare. A misurare bene. Probabilmente era lì che si era legato all’idea che mancavano strumenti, per misurare, e questo era l’inizio di qualsiasi problema.

Il confine fra ciò che è misurabile e ciò che non lo è

Dall’Ecclesiastico

I granelli di sabbia del mare, le gocce della pioggiae i giorni del mondo chi potrà contarli?L'altezza del cielo, l'estensione della terra,la profondità dell'abisso chi potrà misurarle?

Archimede: Arenario

Eratostene: misura del raggio della Terra

Numero di Avogadro…

Una volta misurato trovare correlazioni …Relazioni causa effetto.Esempi:• L’applicazione di una forza causa un’accelerazione• Se fornisco calore a un corpo aumenta la sua temperatura oppure cambia stato

Chi lavora è più felice di chi non lavoraChi è più felice trova più facilmente un lavoro

Chi ha più amici è più feliceChi è più felice ha più amici

Chi è in salute è più feliceChi è più felice è più in salute

Poincaré e l’Affaire Dreyfus: misurare il non misurabile….

Nel 1894 i servizi segreti francesi scoprono una lettera, indirizzata da un ufficiale francese ai tedeschi, che annuncia l'invio di documenti segreti sull'armamento dell'esercito francese. Viene sospettato il capitano Alfred Dreyfus. L'accusa si basa soltanto su una vaga somiglianza della grafia, comunque viene condannato ai lavori forzati nel carcere dell'Isola del Diavolo, nella Guyana francese.

Il 4 settembre 1899, alla Corte d’appello di Rennes in Bretagna fu chiesto il permesso di leggere una lettera di Poincaré:"... l'application du calcul des probabilites aux sciences morales est le scandale des mathématiques! ... Rien de tout cela n'a de caractere scientifique. Je ne sais si l'accuse sera condamne, mais s'il l'est, ce sera sur d'autres preuves. Il est impossible qu'une pareille argumentation fasse quelque impression sur des hommes sans parti pris et qui ont recu une education scientifique solide ..."

UN MATEMATICO DELLA DOMENICA

“Un giorno mi capitò di dare un seminario davanti a un gruppo di colleghi, nel quale cercavo di dimostrare che era una buona cosa dar da mangiare ai disoccupati a un prezzo al di sotto del normale. Nel bel mezzo della mia esposizione venni interrotto da qualcuno che, opponendosi alla mia tesi, richiamò un teorema che, ricorrendo ai moltiplicatori di Lagrange, dimostra come un punto di massimo sociale implichi un prezzo unico per ciascun bene. Quest’esperienza in qualche modo traumatica mi ha indotto a cercare, per il resto della mia vita, di essere in grado di comprendere, almeno a livello dilettantistico, l’uso (e gli abusi) della matematica nell’analisi economica. Divenni così un “ matematico della domenica”, cioè uno che coltiva quella magia nera nel tempo libero”

Da: Goodwin R.M., “Economia matematica: una visione personale” in Il mestiere di economista. Profili autobiografici I, Kregel, J.A., a cura di, Einaudi, Torino, 1988

The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences

E.P. Wigner, Nobel per la Fisica nel 1963, in Symmetries and reflections, Scientific essays ofIndiana University Press, 1967

Eugene Paul Wigner (Budapest,1902Princeton, 1995)

Polemica riaccesa dall'attuale crisi economica:

Benedetto XVI, all'Angelus di inizio anno 2010:

«Il futuro è nelle mani di Dio, non di maghi e economisti».

La prevedibilità, il controllo, le politiche …

Una scienza (fondata su metodi matematici) riesce a prevedere e controllare??

Gadda (1957) Quer pasticciaccio brutto de via Merulana«Il dottor Ingravallo sosteneva, fra l'altro, che le inopinate catastrofi non sono mai la conseguenza o l'effetto che dir si voglia d'un unico motivo, d'una causa al singolare: ma sono come un vortice, un punto di depressione ciclonica nella coscienza del mondo, verso cui hanno cospirato tutta una molteplicità di causali convergenti. Diceva anche nodo o groviglio, o garbuglio, o gnommero, che alla romana vuoi dire gomitolo. […]

Gadda (1974) Meditazione milanese "L'ipotiposi della catena delle cause va emendata e guarita,se mai, con quella di una maglia o rete. Ogni anello o grumo o groviglio di relazioni è legato da infiniti filamenti a grumi o grovigli infiniti. Come gli gnocchi. Unti, agglutinati, filamentosi per formaggio e per salse, e uno cento ne traina, e ognuno dei cento poi mille e ognuno dei mille, milioni. Altro che le ciliegie, delle quali sogliono li esperti affermare che una tiri l’altra!"

La complessità …Carlo Emilio Gadda (1953) nel racconto "L’egoista" "Se una libellula vola a Tokio, innesca una catena di reazioni che raggiungono me".

Carl Chiarella “What’s beyond?” in Lettera Matematica Pristem (2010).

Ogni cambio di paradigma economico porta con sé anche un cambio nel tipo di modellistica adottato.

Le idee keynesiane avevano soppiantato il punto di vista classico dominante negli anni ’30, perché questo era stato indicato come responsabile delle politiche economiche che avevano portato alla grande crisi del ’29.

Il paradigma neoclassico (ipotesi di agente economico razionale e mercati efficienti) prevale dopo il supposto fallimento del punto di vista keynesiano, dominante negli anni ’60 e ’60, accusato di essere stato inefficace nell’affrontare il periodo di stagnazione economica.

È ancora troppo presto per dire se l’attuale crisi economica avrà lo stesso profondoimpatto sulle ipotesi che stanno alla base dei modelli economici. Sembra comunque che le principali istituzioni saranno costrette ad adottare politiche con un forte sapore keynesiano. Un programma di ricerca molto ambizioso, che sta sviluppando consiste nel considerare gli agenti economici eterogenei e limitatamente razionali, descrivibili coi metodi della Fisica statistica.

Chiarella conclude con la frase: viviamo tempi interessanti