MATEMATICA PER L’ECONOMIA

Docente: Luca Vincenzo BallestraTesti: 1) Aversa, Vincenzo (2010), Metodi quantitativi delle decisioni. LIGUORI

2) Simon, Blume (2002), Matematica Generale. EGEAPer colmare ecentuali lacune sulla matematica di base è

consigliato il libro Giorgi-Morro, Introduzione alla Matematica, Maggioli (questo libro è solo propedeutico al corso e non sostituisce il libro di testo)

Orario di ricevimento:1) Martedì ore 9:30 - 11:302) Lunedì ore 10:00 - 12:00 (SOLO FINO A FINE CORSO)

INSIEMI

INSIEME = “gruppo” di oggetti qualsiasi

detti elementi dell’insieme.

Un insieme è definito se e solo se viene

dato un criterio non ambiguo che

permette di stabilire se l’oggetto

appartiene o meno all’insieme.

Potrebbe non essere definito un ordine

tra gli elementi.

SIMBOLOGIA

Gli insiemi sono indicati con lettere

maiuscole:

A, B, X, Y, …

Gli elementi degli insiemi sono indicati con

lettere minuscole:

a, b, x, y,…

3

Un insieme A si rappresenta:

- elencando tutti o alcuni degli elementi che appartengono all'insieme

Esempi: A = {1, 4, 6, Mario} B = {1, 3,5,7,9,…}

- indicando la proprietà caratteristicadegli elementi dell'insieme

Esempio: A = {x: x è un numero intero divisibile per 12}

DIAGRAMMA DI EULERO-VENNRappresentare grafica (intuitiva) di un

insieme.

Carlo Giacomo Maria Laura

A

APPARTENENZA

Per indicare che un dato elemento a è un elemento dell’insieme A si scrive:

a A (a appartiene ad A).

Per indicare che un dato elemento b non è un elemento dell’insieme A si scrive:

b A (b non appartiene ad A).

ALTRI SIMBOLI⊆: incluso in o uguale a

⊂ incluso in senso stretto

| (oppure “:”) tale che

implica

se e solo se

esiste

∄ non esiste

∀ per ogni :

SOTTOINSIEMI

Si dice che B è sottoinsieme di A e si

scrive:

B A B è incluso in o è uguale ad A

oppure

A B A include o è uguale a B

se ogni elemento di B è un elemento di A

Insieme vuoto :

Insieme con nessun elemento

qualunque sia A

L’insieme vuoto è per definizione un

sottoinsieme di tutti gli insiemi

OPERAZIONI TRA INSIEMI

• UNIONE

• INTERSEZIONE

• DIFFERENZA

• INSIEME COMPLEMENTARE

• PRODOTTO CARTESIANO

UNIONE

L'unione di due insiemi, che si indica col simbolo

è l'insieme formato dagli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi

A B = {x : x A oppure x B}

Se A B A B = B

UNIONE

Esempio:

A = {0,1,2}, B = {1,2,3,4,5}

A B = {0,1,2,3,4,5}

0 1 5

2 3 4

A B

INTERSEZIONE

L'intersezione di due insiemi A e B che si indica col simbolo è l'insieme degli

elementi che appartengono sia ad A che a B

A B = {x : x A e xB }

Se A B A B = A

Se A B = A e B sono disgiunti.

INTERSEZIONEEsempio:

A = {0,1,2}, B = {1,2,3,4,5}

A B = {1,2}

0 1 5

2 3 4

A B

DIFFERENZA

La differenza di due insiemi è l'insieme deglielementi che appartengono al primo insieme

e chenon appartengono al secondo insieme

A B = {x : x A , x B }

Se A B A - B =

DIFFERENZA

0 1 5

2 3 4

A B

Esempio:A = {0,1,2}, B = {1,2,3,4,5}

A - B = {0}

INSIEME COMPLEMENTAREIntroduciamo l’insieme universo U ovvero un

insieme su cui effettuare le operazioni (U potrebbe essere, per esempio, l’insieme dei numeri reali, oppure l’insieme delle funzioni).

Se A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l'insieme differenza di U e A e si scrive:

CUA = U - A = {x : x U e x A}

INSIEME COMPLEMENTAREEsempio:

U = {0, 1, 2, 3, 5, 6}, A = {1, 2, 6}

CUA = U - A = {0, 3, 4, 5}

0 3 4 51 2

6

UA

PRODOTTO CARTESIANOCOPPIA ORDINATA: una coppia di elementi in

cui viene distinto l’ordine in cui si considerano i due elementi (c’è un primo e un secondo elemento): (x,y) (y,x)

Dati due insiemi A e B, il prodotto cartesiano di A e B, che si indica A è l’insieme di tutte le coppie ordinate (x, y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B:

A B = {(x, y) : x A, y B}

PRODOTTO CARTESIANOEsempio: A = {1, 2, 3}, B = {3, 7}

A B = {(1,3), (1,7), (2,3), (2,7), (3,3), (3,7)}

B A = {(3,1), (3,2), (3,3), (7,1), (7,2), (7,3)}

INSIEMI NUMERICI

NUMERI NATURALI

NUMERI RELATIVI

NUMERI RAZIONALI

NUMERI IRRAZIONALI

NUMERI REALI

NUMERI COMPLESSI

NUMERI NATURALI

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

In N sono definite le seguenti operazioni:

- Addizione (0 è l’elemento neutro)

- Moltiplicazione (1 è l’elemento neutro)

NUMERI INTERI RELATIVI

Problema: nell’insieme dei numeri naturali non si può definire la sottrazione, ovvero l’operazione inversa della addizione

Z = {…, -3, -2,-1, 0, 1, 2, 3, …}

N è incluso in Z

NUMERI RAZIONALIProblema: nell’insieme dei numeri naturali non si può

definire la divisione, ovvero l’operazione inversa della moltiplicazione

Q = {(x,y): x Z, y Z-{0}}

Possiamo anche scrivere (x,y) come

Un numero razionale è in realtà una coppia di interi relativi (x,y). Può però essere pensato come il risultato della divisione di x per y e essere rappresentato in “notazione decimale con virgola”

y

x

NUMERI RAZIONALIQ è denso: dati due qualsiasi numeri razionali esiste (almeno) un altro numero

razionale intermedio

Se però si rappresenta Q come un insieme di punti su una retta, allora Q ha dei “buchi”:

● ● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ●

NUMERI REALI

Problema: non è possibile trovare nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia uguale a 2

Numeri reali: R = Q è l’insieme dei numeri irrazionali, che

per noi è l’insieme di quei punti della retta che non sono numeri razionali

Ie,,2

NUMERI COMPLESSI

Problema: non vi è nessun numero reale x tale per cui x moltiplicato per x dia come risultato -1(il quadrato di un numero reale non può essere un numero reale negativo).

Noi (e solo noi) chiamiamo

UNITÀ IMMAGINARIA

il numero i il cui quadrato è uguale a – 1:

i2 = – 1

NUMERI COMPLESSI

Un numero complesso z può essere definito come segue:

a: parte reale;

b: parte immaginaria

L’insieme dei numeri complessi viene indicato con C

biaz

NUMERI COMPLESSI (solo un accenno)

SOMMA:

DIFFERENZA:

PRODOTTO:

biaz dicv

idbcaidcibavz )()()()(

idbcaidcibavz )()()()(

icbdadbca

idbicbidacaidcibavz

)()(

)()( 2

Gli insiemi di numeri sopra descritti sono inclusi uno nell’altro:

N Z Q R C

RELAZIONISi chiama relazione tra l’insieme X e

l’insieme Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano:

R X x Y = (x,y): xX, yY

L’insieme costituito dai primi elementi di ciascuna coppia viene chiamato dominio.

L’insieme costituito dai secondi elementi di ciascuna coppia viene chiamato codominio.

FUNZIONE

Una funzione è una relazione tra due insiemi X e Y tale che comunque si prenda un elemento x di X ad esso viene associato uno e un solo elemento y di Y

RELAZIONE

Ida

YX

Anna

Anna non è in relazione con nessun elemento del codominio

Ida è in relazione con due elementi del codominio

Paola

Ugo

Mario

Fabio

Anna

Paola

Ugo

Mario

Fabio

FUNZIONE

A Mario non corrisponde nessun elemento del dominio

X Y

FUNZIONE

1

2

3

4

5

X Yf

4 è l’immagine di 1 (f(1)=4)

1 è la controimmagine di 4

L’insieme {2,3} è la controimmagine di 5

{4, 5}è l’insieme immagine di f: sottoinsieme del codominio formato da tutti gli elementi immagine (ovvero da tutti gli elementi che hanno un corrispondente elemento nel dominio)

6

Si indica come

))( (es. ...)(

:2xxfxf

YXf

o più brevemente

) es.( ... 2xyy

GRAFICO DI UNA FUNZIONE

YXf : )( , | ),( xfyXxyx Grafico di f :

Il grafico di una funzione è un insieme, che ha anche una rappresentazione grafica:

x

y 2xy

INIETTIVITÀ

1

24

56

1

2

3

4

5

INIETTIVA NON INIETTIVA

Una funzione si dice INIETTIVA se ogni elemento del codominio è immagine, al più, di un SOLO

elemento del dominio

SURIETTIVITÀ

1

24

63

1

2

4

56

SURIETTIVA NON SURIETTIVA

Una funzione si dice SURIETTIVA se ogni elemento del codominio è immagine di ALMENO un elemento

del dominio

FUNZIONE INVERSASia f : X → Y iniettiva e suriettiva. Allora è

invertibile, ovvero esiste la funzione inversa

XYf :1

)()(1 xfyyfx

1

2

4

6

4

6

1

2

f 1f

FUNZIONE INVERSA

xxf

yyfyx

xyxxf

)(

: variabilile rinominare possiamo Ma

)( ovvero Allora

ovvero )(

1

1

22

Esempio: XYxRxX ,0|

FUNZIONE INVERSAIl grafico della funzione inversa è simmetrico rispetto

alla bisettrice del primo e del terzo quadrante

2xy

xy

FUNZIONE COMPOSTA

1

2

3

4

5

6

f g

8

-2

1

2

5

6

g ○ f

X

B

AY

YX

FUNZIONE COMPOSTA

))(()(con ntesemplicemepiù indica Si

di immagine insiemel' che Occorre

))(()(

:

:

:

xfgxh

Bf

Xxxfgxh

YXfgh

YBg

AXf

FUNZIONE COMPOSTA – ESEMPIO

1))(( ,1))((

!!! a uguale ènon

1)( :

)( :

1)( :

44

4

4

xxgfxxfg

gffg

xxhRRfgh

xxgRRg

xxfRRf