MATEMATICA PER LECONOMIA CORSO SERALE I° MODULO Prof.ssa Angela Ghiraldini.

MATEMATICA PER L’ECONOMIA

CORSO SERALEI° MODULO

Prof.ssa Angela Ghiraldini

ARGOMENTI del MODULO

EQUAZIONI di I° e II° GRADO DISEQUAZIONI di I° e II° GRADO MATRICI e DETERMINANTI SISTEMI di EQUAZIONI LINEARI FUNZIONI REALI ad UNA VARIABILE REALE RICERCA OPERATIVA concetti genrali programmazione lineare metodo grafico metodo del simplesso

A. Ghiraldini

MATRICI e DETERMINANTI GENERALITA’ sulle MATRICI

Si definisce matrice di ordine mxn e si indica con una lettera maiuscola, l’insieme di m∙n numeri reali disposti in m righe e n colonne ordinate

Con il termine ordine si indica la dimensione della matrice

Con la scrittura aij si indica quel numero reale, elemento della matrice, che è posizionato nella i-esima riga e nella j-esima colonna della matrice stessa

Una matrice di ordine mxn si dice rettangolare se m≠n

Una matrice di ordine mxn si dice quadrata se m=n

Gli elementi aij , per cui vale i = j , formano la diagonale principale A.

Ghiraldini

MATRICI e DETERMINANTI

esempi

matrice rettangolare matrice quadrata

5x8 5x5

3 56 11 12 97 -9 32 3

85 22 -3 45 48 22 76 0

8 5 0 2 3 42 31 75

3 89 8 74 -5 67 55 -1

53 70 2 33 34 -8 6 7

2 56 66 38 -32

3 9/2 -1 89 54

75 48 45 -9 2

4 -57 4/5 68 3

-34 31 2 43 0


Una matrice quadrata si dice diagonale se: aij = 0 per ogni i ≠ j

aij ≠ 0 per ogni i = j

Una matrice quadrata si dice triangolare superiore se sono nulli tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale

Una matrice quadrata si dice triangolare inferiore se sono nulli tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale

Una matrice diagonale è triangolare superiore e inferiore

A. Ghiraldini


esempi

rettangolare superiore

diagonale

rettangolare inferiore

1/2 -3 49

0 9 52

0 0 -87

46 0 0

78 5 0

-6 2/9 -5

4 0 0 0

0 -6 0 0

0 0 9/4 0

0 0 0 4/2


Data una matrice A di ordine mxn, si dice trasposta di A, e si indica con AT la matrice di ordine nxm ottenuta da A scambiando le righe con le colonne

Una matrice si dice simmetrica se A = AT

Una matrice quadrata si dice identica o unitaria se: aij = 1 per i = j

aij = 0 per i ≠ j

A. Ghiraldini


45 -3 11

2/7 9 6

45 2/7

-3 9

11 6

esempi trasposta simmetrica

= A

= AT

43 -5 0 11

-5 7 -2 4

0 -2 -5 64

11 4 64 0

MATRICI e DETERMINANTI GENERALITA’ sui DETERMINANTI

Si chiama determinante di una matrice quadrata A, e si indica con la scrittura detA , oppure |A|,

un numero ad essa associato

Se n = 1 , cioè A = (a11), allora detA =|a11 |= a11

Se n = 2 , cioè A = allora detA = = a11a22 – a12a21

A. Ghiraldini

a1

1

a1

2

a2

1

a2

2

a1

1

a1

2

a2

1

a2

2


2/3 20

-3 11

2/3 20

-3 11

esempi: determinanti 2x2

= A = detA =(2/3)11-(-3)20= 202/3

= B = detB = 6(-5)-11(-3/2) = -93/2

6 3/2

11 -5

6 3/2

11 -5


Se n = 3 , cioè A = allora

detA = = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a31a22a13 - a11a32a23 - a21a12a33

oppure

REGOLA DI SARRUSSe n = 3, detA si può ottenere sommando i prodotti delle diagonali

principali e sottraendo i prodotti delle altre diagonali della tabella ottenuta aggiungendo, alla destra di A, le sue prime due colonne

A. Ghiraldini

a1

1

a1

2

a13

a2

1

a2

2

a23

a3

1

a3

2

a33a1

1

a1

2

a1

3

a2

1

a2

2

a2

3

a3

1

a3

2

a3

3


esempio determinante 3x3

= A

= detA = 6∙1∙10 + (-2)(-2)2 + 5(-3)1/2 + - [2∙1∙5 + (-3)(-2)10 + 6(1/2)(-2)]= -7/2

6 -2 5

-3 1 -2

2 ½ 10

6 -2 5

-3 1 -2

2 ½ 10


esempio regola di Sarrus

= A

detA = 6∙1∙10 + (-2)(-2)2 + 5(-3)(1/2) +

-[2∙1∙5 + (1/2)(-2)6 + 10(-3)(-2)] = = 60 + 8 – 15/2 – 10 + 6 – 60 = -7/2

6 -2 5

-3 1 -2

2 ½ 10

6 -2 5

-3 1 -2

2 1/2 10

6 -2

-3 1

2 1/2


Vediamo ora un criterio generale che consente di calcolare il determinante di una matrice quadrata, qualsiasi sia il suo

ordine :

Sia A una matrice quadrata di ordine n ≥ 2, definiamo minore complementare di un elemento aij , e lo indichiamo con Aij , il determinante della matrice (n-1)x(n-1), ottenuta da A , eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna

Sia A una matrice quadrata di ordine n ≥ 2 e sia aij un elemento qualsiasi, si chiama complemento algebrico di aij il minore complementare di aij , preso con il segno positivo se i+j è pari, negativo se i+j è dispari

Data una matrice quadrata A di ordine n ≥ 2, il suo determinante si ottiene sommando i prodotti di tutti gli elementi di una qualsiasi riga

(o colonna) per i rispettivi complementi algebrici

A. Ghiraldini


esempio minore complementare

=A

5 -4 9 2

6 7 -7

8 2 -3 = A22 = 6∙2∙2 + 7(-3)5 + 8∙9(-7) - 5∙2(-7) - 8∙7∙2 - 6∙9(-3) =

5 9 2 = 24 - 105 - 504 + 70 - 112 - 162 = -789

6

3

7 -7

7 -3 8 2

8 -4 2 -3


esempio = detA =

2 1 -3 -1 1 -3 -1 2 -3 -1 2 1 = 3 -1 2 4 - 2 5 2 4 + 1 5 -1 4 + 5 5 -1 2 dove 1 -1 5 3 -1 5 3 1 5 3 1 -1

2 1 -3 2 4 -1 4 -1 2-1 2 4 = 2 -1 5 - 1 1 5 - 3 1 -1 = 28 + 9 + 3 = 40 1 -1 5

-1 1 -3 2 4 5 4 5 2 5 2 4 = - 1 -1 5 - 1 3 5 - 3 3 -1 = -14 -13 + 33 = 6 3 -1 5 detA = 3∙40 - 2∙6 + 1∙(-41) + 5∙31

=

-1 2 -3 -1 4 5 4 5 -1 detA = 222 5 -1 4 = -1 1 5 - 2 3 5 - 3 3 1 = 9 – 26 – 24 = -41 3 1 5

-1 2 1 -1 2 5 2 5 -1 5 -1 2 = - 1 1 -1 - 2 3 -1 + 1 3 1 = 1 + 22 + 8 = 31 3 1 -1

3 2 1 -5

-1 2 1 -3

5 -1 2 4

3 1 -1 5


PROPRIETA’ dei DETERMINANTI

Se tutti gli elementi di una riga o di una colonna di A sono nulli => detA = 0

Se due righe (o colonne) vengono scambiate => detA cambia segno

Se gli elementi di due righe (o col.) sono uguali o proporzionali => detA = 0

A. Ghiraldini


esempi

6 -2 0-3 1 0 = 6∙1∙0+(-2)∙0∙2+(-3)∙(1/2)∙0-2∙1∙0-(1/2)∙0∙6-(-3)(-2)∙0=0 2 ½ 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6 -2 5-3 1 2 = 6∙1∙10+(-2)∙2∙2+(-3)∙ ½ ∙5-2∙1∙5- ½ ∙2∙6-(-3)(-2)∙10= 2 ½ 10 = 60 - 8 - 15/2 - 10 - 6 - 60 = -63/2

6 5 -2-3 2 1 = 6∙2∙ ½ +5∙1∙2+(-2)∙(-3)∙10-2∙2(-2)-10∙1∙6-(-3)5∙ ½ = 2 10 ½ = 6 + 10 + 60 + 8 - 60 + 15/2 =

+63/2

6 -2 5 6 -2 5 = 6(-2)∙10+(-2)5∙2+5∙6∙½ -2(-2)5-6(-2)∙10-½∙5∙6 = 2 ½ 10 = -120 - 20 + 15 + 20 + 120 - 15 = 0


PROPRIETA’ dei DETERMINANTI

Se si moltiplicano tutti gli elementi di una riga (o col.) per k reale => kdetA

detA = detAT

Se una riga (o col.) di A di ordine n , è somma di due n-ple (bi) e (ci) => detA = detB + detC ,

dove B e C sono le matrici ottenute da A sostituendo la riga ( o col.) in questione rispettivamente con (bi) e con (ci)

A. Ghiraldini


esempi

6 -2 5 = detA =-3 1 2 = 6∙1∙10 +(-2)∙2∙2 + (-3)∙½∙5 -2∙1∙5 - ½ ∙2∙6 - (-3)(-2)∙10 = 2 ½ 10 = 60 - 8 - 15/2 - 10 - 6 - 60 = -63/2

12 -4 10-3 1 2 = 12∙1∙10+(-4)∙2∙2+(-3)∙½∙10 -2∙1∙10 - ½∙2∙12 - (-3)(-4)∙10= 2 ½ 10 = 120 - 16 - 15 - 20 - 12 - 120 = -

63 = 2detA

6 -3 2 = detAT = -2 1 ½ = 6∙1∙10 + 5(-3)½+ 2∙2(-2) - 5∙1∙2 – (-2)(-3)∙10 - 6∙2∙ ½ = 5 2 10 = 60 - 15/2 - 8 - 10 - 60 - 6 = -

63/2


esempi

=detA= 5∙8∙2 + (-3)7∙3 + (-1)10∙4 - 3∙8∙4 – (-1)(-3)2 - 10∙7∙5= = 80 - 63 - 40 - 96 - 6 - 350= = - 475 -475 = -302 -173

5 -1 4

-1 3 7 =detB= 5∙3∙2 + (-1)7∙3 + (-1)7∙4 - 3∙3∙4 – (-1)(-1)2 - 5∙7∙7 =

3 7 2 = 30 - 21 - 28 - 36 - 2 - 245 = - 302

5 -2 4

-1 5 7 =detC= 5∙5∙2 + (-2)7∙3 + (-1)3∙4 - 3∙5∙4 – (-1)(-2)2 - 3∙7∙5 =

3 3 2 = 50 - 42 - 12 - 60 - 4 - 105 = -173

5 -3 4

-1 8 7

3 10 2

MATRICI e DETERMINANTI PROPRIETA’ dei DETERMINANTI

Se A è triangolare di ordine n => detA = a11∙a22∙a33∙…∙aii∙…∙ann

Se a tutti gli elementi di una riga (o col.) di A vengono sommati i corrispondenti elementi di un’altra riga (o col.) di A moltiplicati per una costante k => il valore di detA non cambia

La somma dei prodotti degli elementi di una riga (o col.) di A per i complementi algebrici dei corrispondenti elementi di un’altra riga (o col.) parallela è nulla (LAPLACE)

A. Ghiraldini


esempi

½ -3 49 0 9 52 = ½∙9(-87) + (-3)52∙0 + 0∙0∙0 - 0∙9∙49 - 0∙52∙½ - 0(-87)(-3)= 0 0 -87 = - 783/2 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = -783/2

5 -3 4 -1 8 7 = detA = 5∙8∙2 + (-3)7∙3 + (-1)10∙4 - 3∙8∙4 – (-1)(-3)2 - 10∙7∙5= 3 10 2 = 80 - 63 - 40 - 96 - 6 - 350= = - 475

5+(4∙2) -3 4 13 -3 4 -1+(7∙2) 8 7 = 13 8 7 =13∙8∙2+(-3)7∙7+4∙13∙10-7∙8∙4-10∙7∙13-2∙13(-3)= 3+(2∙2) 10 2 7 10 2 =208 – 147 + 520 - 224 – 910 + 78 = -475


esempio Laplace

=A

2 1 -5 3 1 -5 3 2 -5 3 2 -5 = 3 2 1 -3 - 2 -1 1 -3 + 1 -1 2 -3 + 5 -1 2 1 = 1 -1 5 3 -1 5 3 1 5 3 1 -1

= 3 [(10-3+10)-(-5+10+6)] - 2 [(15-9-5)-(-15-5+9)] +

+ 1 [(30-18+5)-(-30-9-10)] + 5 [(-6+6-15)-(-30+2+3)] =

= 3 (-23-11) – 2 (1+11) +1 (27+49) + 5 (-15+25) = = -102 - 24 + 76 + 50 = 0

3 2 1 -5

-1 2 1 -3

5 -1 2 4

3 1 -1 5


CARATTERISTICA di una MATRICE

Data una matrice A di ordine mxn, è possibile estrarre da essa delle sottomatrici quadrate, di ordine massimo r, pari al min(m , n),

i cui determinanti vengono detti minori

Se esiste almeno una sottomatrice di ordine r tale che il suo minore risulti non nullo allora si dice che A ha caratteristica r (dove r = m oppure r = n)

Se tutti i minori di ordine r sono nulli si procede con sottomatrici di ordine via via più basso fino a quando si individua un minore non nullo , l’ordine della sottomatrice di cui risulta essere il minore è la caratteristica di A

Si definisce caratteristica di una matrice A, e si indica con k(A), l’ordine massimo dei minori, relativi a sottomatrici estratte da

A, non nulli A.

Ghiraldini

MATRICI e DETERMINANTI esempio caratteristica di A

-1 3 2 5 6 -2 4 3 =A -2 6 4 10

3 2 5 -1 2 5 -1 3 5 -1 3 2 -2 4 3 =0 6 4 3 =0 6 -2 3 =0 6 -2 4 =0

6 4 10 -2 4 10 -2 6 10 -2 6 4

Tutti i minori di ordine 3 risultano nulli perché la 1° e 3° riga sono proporzionali -1 3

esiste un minore di ordine 2 non nullo 6 -2 = 2 – 18 = -16

Quindi k(A) = 2


RANGO di una MATRICE

Si chiama rango per riga di una matrice A, e si indica con r(A), il massimo numero di righe di A che risultano linearmente indipendenti

Si chiama rango per colonna di una matrice A, e si indica con r’(A), il massimo numero di colonne di A che risultano linearmente indipendenti

Se A è una matrice di ordine mxn, allora k(A) = r(A) = r’(A), cioè la caratteristica di A uguaglia sia il rango per righe che il rango per colonne

A. Ghiraldini

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