Matematica generale
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Matematia GeneraleMarellino Gaudenzi4 ottobre 2010
2
Indie1 Insiemi, numeri reali e funzioni1.1
1.2
1.3
1.4
Elementi di insiemistia
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1
Insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2
Operazioni sui sottoinsiemi
. . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Impliazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.1
Impliazioni ed equivalenze
. . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.2
Quantiatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Insiemi numerii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1
Numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.3.2
Numeri reali ampliati ed intervalli
18
1.3.3
Numeri naturali, interi, razionali ed irrazionali
. . . . . .
19
1.3.4
Minimo e massimo, estremo superiore ed inferiore . . . . .
20
1.3.5
Valore assoluto e parte intera di un numero reale
. . . . .
23
1.3.6
Rappresentazione dei numeri reali sulla retta
. . . . . . .
25
1.3.7
Rappresentazione delle oppie di numeri reali nel piano . .
25
Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
. . . . . . . . . . . . .
1.4.1
Denizioni di base
1.4.2
Funzione omposta e funzione inversa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5
Insiemi numerabili e non-numerabili
1.6
Max, Min, Sup ed Inf di funzioni
28
. . . . . . . . . . .
40
. . . . . . . . . . . . . . . .
46
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
1.6.1
Massimo e minimo di una funzione a valori reali . . . . . .
51
1.6.2
Funzioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1.6.3
Su
essioni
56
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Funzioni esponenziali e trigonometrihe2.1
17
Potenze, esponenziali e logaritmi
63
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.1.1
Potenze ad esponente intero e radii n-esime . . . . . . . .
63
2.1.2
Funzioni potenza ad esponente reale
. . . . . . . . . . . .
69
2.1.3
Funzioni esponenziali e logaritmihe
. . . . . . . . . . . .
72
3
4
INDICE
2.2
2.3
2.4
Funzioni trigonometrihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
2.2.1
Misura di un angolo in radianti . . . . . . . . . . . . . . .
83
2.2.2
Le funzioni seno e oseno e loro propriet
. . . . . . . . .
84
2.2.3
Le funzione tangente e sue propriet
. . . . . . . . . . . .
93
Costruzione di grai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.3.1
Funzioni pari, dispari ed inverse . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.3.2
Traslazioni, riessioni e valore assoluto . . . . . . . . . . . 101
2.3.3
Compressioni, dilatazioni e funzione reiproa . . . . . . . 104
2.3.4
Funzioni omposte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Ulteriori eserizi sulle funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3 Lo spazio Rn
113
3.1
nL'insieme R
3.2
Intorni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4 Limiti e ontinuit4.1
4.2
4.3
4.4
123
La denizione di limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.1.1
Verihe della denizione di limite
4.1.2
Funzioni di pi variabili
4.1.3
Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Teoremi fondamentali sui limiti
. . . . . . . . . . . . . 126
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.2.1
Teoremi algebrii sui limiti e forme indeterminate . . . . . 137
4.2.2
Continuit e limiti delle funzioni elementari
. . . . . . . . 143
4.2.3
Teorema sul limite della funzione omposta
. . . . . . . . 145
4.2.4
Teoremi del onfronto e permanenza del segno . . . . . . . 147
4.2.5
Limiti di su
essioni
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.2.6
Il numero di Nepero
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Limiti notevoli, inniti ed innitesimi . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.3.1
Limiti notevoli
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.3.2
Inniti ed innitesimi
4.3.3
Esempi di alolo dei limiti
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157. . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Teoremi fondamentali sulla ontinuit
. . . . . . . . . . . . . . . 162
5 Calolo dierenziale5.1
173
Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1735.1.1
Signiato geometrio della derivata
5.1.2
Derivata della funzione omposta e dell'inversa
. . . . . . . . . . . . 179
5.1.3
Le funzioni
5.1.4
Derivate delle funzione elementari . . . . . . . . . . . . . . 189
5.1.5
Derivate su
essive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
arcsin x, arccos x, arctan x
. . . . . . 180
. . . . . . . . . . . 184
5
INDICE
5.2
Calolo dierenziale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.2.1
Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange . . . . . . . . . . . . . 193
5.2.2
Cresenza e deresenza
5.2.3
Problemi risolubili mediante il alolo dierenziale
5.2.4
Regola di L'Hpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.2.5
La formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.2.6
Funzioni onvesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.2.7
Asintoti
5.2.8
Esempi di studi di funzione
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227. . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6 Teoria dell'integrazione6.1
6.2
. . . . 206
239
L'integrale seondo Riemann
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.1.1
Introduzione
6.1.2
La denizione d'integrale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.1.3
Propriet delle funzioni integrabili
6.1.4
Integrabilit delle funzioni ontinue . . . . . . . . . . . . . 251
6.1.5
Il Teorema della Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6.1.6
Primitive di una funzione
6.1.7
Il teorema fondamentale del alolo integrale
Calolo degli integrali indeniti
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 241. . . . . . . . . . . . . 248
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 256. . . . . . . 256
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.2.1
Integrali indeniti immediati
6.2.2
Integrazione mediante deomposizioni in somme . . . . . . 266
. . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.2.3
Integrazione per parti
6.2.4
Integrazione per sostituzione
6.2.5
Integrazione delle funzioni razionali . . . . . . . . . . . . . 272
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267. . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.3
Volumi di solidi di rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
6.4
Integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
7 Funzioni di due variabili7.1
7.1.17.2
7.3
295
Curve di livello e ontinuit
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Calolo dierenziale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
7.2.1
Derivate parziali
7.2.2
Derivate parziali di ordine superiore
7.2.3
Forme quadratihe in
Ottimizzazione
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
R2
. . . . . . . . . . . . 307
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
7.3.1
Ottimizzazione libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
7.3.2
Ottimizzazione vinolata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
6
INDICE
A Rihiami di Geometria AnalitiaA.1
341
Rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341A.1.1
Cambiamenti di riferimento nel piano
A.1.2
Cironferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
. . . . . . . . . . . 347
A.2
Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
A.3
Ellisse e iperbole
A.4
Conihe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
Capitolo 1
Insiemi, numeri reali e funzioni1.1 Elementi di insiemistia1.1.1 InsiemiIl onetto d'insieme verr onsiderato ome primitivo, quindi non ne verr datauna denizione.In pratia per insieme intendiamo una famiglia o ollezione o lasse di oggetti
he verranno detti elementi dell'insieme onsiderato.Nel seguito on lettere maiusole indiheremo insiemi e on lettere minusolegli elementi. Il simbolo
verr usato per indiare l'appartenenza di un oggetto ad un dato insieme. Sriveremo x
E E .
appartiene ad
e leggeremo x un elemento dell'insieme
E
oppure x
Il simbolo
6india la negazione dell'appartenenza, sriveremo un elemento dell'insieme
E
x 6 E
e leggeremo x non
oppure x non appartiene ad
E
.
Un insieme individuato dai suoi elementi. Per elenare gli elementi di uninsieme useremo notazioni del tipo:
E = {1, 2, 3, 4}F = {a, e, i, o, u}G = {2, 4, 6, 8, ...}H = {Roma, P arigi, T okio}1
2
CAPITOLO 1.
INSIEMI, NUMERI REALI E FUNZIONI
Aluni insiemi he si presentano molto frequentemente verranno indiati onsimboli partiolari, ome
N l'insieme dei numeri naturali, io {1, 2, 3, ...}Z l'insieme dei numeri interi, io {..., 2, 1, 0, 1, 2, ...}Q l'insieme dei numeri razionaliR l'insieme dei numeri reali.Un'altro modo per indiare gli insiemi (in genere pi preiso) si ha preisando
una propriet he veriano tutti e soli gli elementi dell'insieme. Ad esempio nel
aso degli insiemi
E, F, G
onsiderati in preedenza possiamo usare le notazioni
E = {x : x N
e
x 4}
F = {x : xG = {x : x N
ed
x
oppure
E = {x N : x 4}}
una voale
pari} oppure
E = {x N :
pari.}
Supporremo l'esistenza di un unio insieme privo di elementi.
Esso verr
detto l'insieme vuoto e useremo il simbolo
.A
Due insiemi
e
B
si diono uguali se hanno gli stessi elementi, se io
ogni elemento he appartiene adappartiene a
B
A
appartiene anhe a
appartiene anhe ad
A.
Se
A
e
B
B
e ogni elemento he
sono uguali sriveremo
A=B(altrimenti sriveremo
Esempio 1.1{x N :
Si onsideri
x2
Si ha:
A = {3, 2, 1, 4} B = {1, 2, 3, 4}, C = {2, 1, 4}, D =
= 3}.A = B , A 6= C , B 6= C , D = .
Denizione 1.1insieme
A 6= B ).
B
oppure he
Se ogni elemento dell'insieme
diremo he
B
inlude
A un sottoinsiemeA) e sriveremoAB
oppure
Nota 1.1
Dalla denizione data si ha he
Nota 1.2
Si assume he
di ogni insieme).
A
di
B
A
anhe un elemento dello
(oppure he
A
inluso in B,
B A.AA
qualsiasi sia l'insieme
per ogni insieme A (io he
A.
sottoinsieme
1.1.
Denizione 1.2B
di
3
ELEMENTI DI INSIEMISTICA
Se
e sriveremo
AB
A 6= B
e
diremo he
A
un sottoinsieme proprio
A $ B.
Esempio 1.2
Si onsiderino gli insiemi:
A = {x N : x
pari},
B = {2, 4, 8, 12},
Si hadi:
BA
C = {1, 2, 4, 8, 12}.
e anhe
B $ A, B C
D = {x : x
e anhe
B $ C,
mentre
C 6 B .
Nel aso
la apitale di uno stato europeo },
E = {P arigi, Roma, V ienna},
si ha:
ED
Nota 1.3A
F = {P arigi, Roma, F irenze, V ienna},e anhe
E $ F,
Dati due insiemi
anhe un elemento di
B
A
mentre
F 6 D .
B,
BA
e
se
e
e vieversa, quindi
A B alloraA = B.
ogni elemento di
Possiamo onsiderare anhe insiemi i ui elementi sia a loro volta insiemi
ome ad esempio:
A = {N, Z, R},B = {},
C = {{1, 2}, {2, 6, 7}, {1}}.
Osserviamo he
B 6= , infatti B
possiede un elemento (l'insieme vuoto) dunque
2 6 C
e he
D = {1, 2} 6 C ,
un insieme. Con
P (A)
indihiamo l'insieme di tutti i
non vuoto. Si osservi anora hema
1 6 C .
Denizione 1.3sottoinsiemi di
Sia
A
infatti
1D
A.
Esempio 1.3I1 = {1},
I2 = {1, 2},
P (I1 ) = {, {1}}
P (I2 ) = {, {1}, {2}, {1, 2}},
I3 = {1, 2, 3}
P (I3 ) = {, {1}, {2}, {1, 2}, {3}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.Si pu veriare he se
A
possiede
n
elementi,
P (A)
possiede
2n
elementi.
4
CAPITOLO 1.
INSIEMI, NUMERI REALI E FUNZIONI
1.1.2 Operazioni sui sottoinsiemiNel seguito indiheremo on
A, B, C, ...
sottoinsiemi di uno stesso insieme
U
(detto insieme universo).
Denizione 1.4
L' unione di due insiemi
gli elementi he appartengono addi
A
e
B
A
verr indiata ol simbolo
Quindi
A B = {x : x A
A
oppure a
B l'insieme ostituito da tuttiB oppure ad entrambi. L'unione
e
A B.
oppure
x B}.
Figura 1.1: Unione di due insiemi
Esempio 1.4
Siano: A = {2, 3, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 8}.A B = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9}
Denizione 1.5
Quindi
A
e
B
verr indiata ol simbolo
A B = {x : x A
Esempio 1.5
Siano
Denizione 1.6
e
e
B
l'insieme ostituito
A
Quindi
e
B
A = {2, 3, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 8}.
La dierenza di due insiemi
Esempio 1.6
A
verr indiata ol simbolo
A \ B = {x : x A
e
A
oppure a
B.
A B.
x B}.
tutti gli elementi he appartengono adrenza di
A
da tutti gli elementi he appartengono ontemporaneamente adL'intersezione di
L' intersezione di due insiemi
Allora
A
e
B
Allora
A B = {2, 3}.
l'insieme ostituito da
ma non appartengono a
A \ B.
x 6 B}.
A = {2, 3, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 8},A \ B = {7, 9}, B \ A = {1, 4, 8}.
B.
La die-
1.1.
5
ELEMENTI DI INSIEMISTICA
Figura 1.2: Intersezione di due insiemi
Figura 1.3: Dierenza tra due insiemi
Denizione 1.7
Dato un sottoinsieme
spetto ad U ) l'insiemec A (oppure C(A)).Quindi
cA
U \ A.
= {x : x U
e
A
di
U
si die omplementare di
A
(ri-
Il omplementare verr denotato on il simbolo
x 6 A}.
Si osservi he mentre l'unione, l'intersezione e la dierenza non dipendonodall'insieme di partenza
Esempio 1.7
Esempio 1.8
Esempio 1.9
U,
il omplementare dipende strettamente da
Sia U = N, A = {1, 3, 5, ...} (io l'insieme dei numeri= {2, 4, 6, ...} (io l'insieme dei numeri pari).cNel aso invee U = Z si ha A = {..., 3, 2, 1, 0, 2, 4, 6, ...}.
U.dispari).
cA
cA
Sia U = R ed A = {x R : 2 < x < 3}.= {x R : x 2 oppure x 3}.Veriare he
A \ B = A cB .
Si ha:
Per veriare questa uguaglianza insiemistia possiamo provare la doppiaA \ B anhe un elemento di A c B e
inlusione, io he ogni elemento di
6
CAPITOLO 1.
vieversa. Avremo os provato he
INSIEMI, NUMERI REALI E FUNZIONI
A \ B A c B
e he
A
cB
A \ B,
dunque per la Nota 1.3 si avr he i due insiemi oinidono.cVerihiamo he A\B A B . A tal ne si onsideri un qualsiasi elementox A \ B . Per denizione si ha he x A e x 6 B . Dunque x A e x c B ,ce os x A B .cVerihiamo ora he A B A \ B . A tal ne prendiamo un qualsiasiccelemento x A B . Per denizione si ha he x A e x B . Dunque x Ae
x 6 B ,
pertanto
x A \ B.
Proposizione 1.1
(Leggi di De Morgan) Dati due insiemi
dell'insieme universo
U
A
e
B
sottoinsiemi
si ha:
cc
(A B) =(A B) =
cc
A cBA cB
Dimostrazione. Proveremo solo la prima relazione
c (A B)
=c A c B , lasiamo
al lettore la veria della seonda.Come nell'esempio preedente proviamo la doppia inlusione.
x c (A B), dunque x 6 A B . Ci signia he x non appartiene n adA n a B , dunque x 6 A e x 6 B . Si ha ontemporaneamente x c A e x c Bccdunque x A B .cccVieversa sia x A B . Si ha per la denizione d'intersezione: x A ecx B , dunque x 6 A e ontemporaneamente x 6 B . Possiamo onludere hex 6 A B dunque x c (A B).
Sia
Denizione 1.8
l'insieme ostituito da tutte le oppie ordinate
(x, y), essendo x AA B.
prodotto artesiano verr indiato on il simbolo
Esempio 1.10
A e By B . Il
Chiamiamo prodotto artesiano di due dati insiemie
Siano A = {1, 2, 4, 7}, B = {a, b, c}. Si ha:AB ={(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (4, a), (4, b), (4, c), (7, a), (7, b), (7, c)}.
1.1.
7
ELEMENTI DI INSIEMISTICA
Esempio 1.11
Sia
A = N, B = R, A B
sar ostituito da tutte le oppie di
numeri reali in ui il primo elemento un numero naturale.
Denizione 1.9la ardinalit di
Dato un insieme nito
A
Si noti he se
A il numero(A).
degli elementi di
A
si die
e si india ol simbolo
A
B
e
sono insiemi niti allora:
(A B) = (A) (B),
(A B) (A) + (B).A B potrebbe essereA e B , infatti se A e B hanno elementi
E' faile rendersi onto he il numero degli elementi dipi pi
olo della somma degli elementi diin omune onsiderando
(A) + (B)
questi elementi vengono ontati 2 volte,
per ottenere il numero esatto di elementi dielementi di
A
e
B
AB
o
orre quindi sommare gli
e togliere il numero di elementi in omune, si ha quindi:
(A B) = (A) + (B) (A B).
Esempio 1.12
(1.1)
In una lasse tutti gli studenti studiano almeno una lingua tra
inglese ed franese.
18 studiano inglese, 9 franese.
6 studenti studiano sia
inglese he franese. Quanti sono gli studenti della lasse?
Indihiamo on
C
l'insieme degli studenti della lasse, on
gli studenti he studiano inglese e on
F
I
l'insieme de-
l'insieme degli studenti he studiano
franese. Si ha:
(C) = (I F ) = (I) + (F ) (I F ) = 18 + 9 6 = 21.La relazione (1.1) si pu estendere al aso di pi insiemi. Nel aso di 3 insiemisi ha:
(AB C) = (A)+(B)+(C)(AB)(AC)(B C)+(AB C).(1.2)
8
CAPITOLO 1.
INSIEMI, NUMERI REALI E FUNZIONI
Eserizi1. Siano
U = {a, b, c, d, e}, A = {a, b, d}, B = {b, d, e}.A B , B A, c B , B \ A, c A B , A c B , c B \c A, c (B A).
Calolare:
2. Disegnare in ogni diagramma di Venn l'insieme sottoindiato:
U = R. Posto A = {x R : 2 < x 0}, B = {x R : 0 x 6},C = {x R : 1 < x < 6}, determinare:A B , A B , C B , A C , A \ B , A \ C , c A, c B .Calolare poi (A B) C e veriare la validit della propriet distributiva,
io (A C) (B C).4. Siano A e B due insiemi.cc4a. Provare he: A \ B = B \ A4b. Provare he B A implia A (B \ A) = B .3. Sia
5. In un gruppo di ragazzi tutti pratiano almeno uno sport tra alio e basket.10 di essi gioano a alio, 14 gioano a basket, inoltre 7 gioano sia a basket
he a alio. Quanti sono i ragazzi?6. In un gruppo di 29 ragazzi tutti pratiano almeno uno sport tra alio, baskete pallavolo. 19 di essi gioano a alio, 16 a basket, 11 a pallavolo. Inoltre 10gioano sia a basket he a alio, 5 gioano sia a alio he a pallavolo e solo 3pratiano tutti e tre gli sports. Quanti sono i ragazzi he gioano sia a basket
he a pallavolo?
1.1.
ELEMENTI DI INSIEMISTICA
9
RisposteA B = {a, b, d, e}. B A = {b, d}. c B = {a, c}. B \ A = {e}. c A B = {e}.A c B = {a, b, c, d}. c B \c A = {a}. c (B A) = {a, c, e}.
1.
2.
AB = (2, 6]. AB = {0}. CB = (1, 6]. AC = (1, 0], A\B = (2, 0).A \ C = (2, 1]. c A = (, 2] (0, +). c B = (, 0) (6, +).(A B) C = C. A C = (1, 0]. B C = [0, 6). (A C) (B C) = (1, 6).3.
x c A \c B allora x c A e x 6c B , dunque x c A e x B , osx B \ A, io c A \c B B \ A. Vieversa se x B \ A allora x B e x 6 A,ccccccquindi x 6 B e x A e os x A \ B . Si ha os B \ A A \ B . Le dueccccccrelazioni: A \ B B \ A, B \ A A \ B impliano A \ B = B \ A.4a.
Se
x A (B \A) allora o x A oppure x B . Poih A B in entrambi i
asi x B , quindi A (B \ A) B . Vieversa supponiamo he x B . Se x Aallora x A (B \ A), se invee x 6 A allora x B \ A, dunque x A (B \ A).Quindi B A (B \ A) .4b. Se
5. I ragazzi sono 17.6.
Appliando la formula (1.2) si ha he vi sono 5 ragazzi he gioano sia a
basket he a pallavolo.
10
CAPITOLO 1.
INSIEMI, NUMERI REALI E FUNZIONI
1.2 Impliazioni1.2.1 Impliazioni ed equivalenze=
Nel seguito verranno usati spesso i simboli
e
detti rispettivamente di
impliazione e di equivalenza (o doppia impliazione). Sia X un insieme e siano
r
e
s
due date propriet.
r = sogni
xX
r
he veria la propriet
signia
veria anhe la propriet
s.
Posto
R = {x X : x
veria la propriet
r},
S = {x X : x
veria la propriet
s}
allora
r = sQuindi se l'impliazione
x R\S
(io ogni elemento di
la propriet
r = s
s)
R S.
signia
falsa allora
X
R 6 S
he veria la
R \ S 6= . Ognipropriet r ma non veria
io
viene detto un ontroesempio dell'impliazione onsiderata.
Esempio 1.13
X =Personer : x italiano,s: x europeo.L'impliazione r = s valida.L'impliazione s = r falsa, Tony Blair
Esempio 1.14r: x
X
isosele,
L'impliazione
un ontroesempio.
insieme dei triangoli
s: x equilatero.r = s non valida,
ogni triangolo rettangolo on i due
ateti uguali un ontroesempio.L'impliazione
s = r
Nel aso in ui
valida.
r = sse
equivalente alla propriet
ed inoltre
s = r
r
se e solo se
x
diremo he la propriet
sriveremo
r s.In tal aso diremo anhe he r equivale averia
Per quanto riguarda gli insiemi
r s
s
o anhe x veria
r
s.signia
R = S.
R
ed
S
introdotti in preedenza, si ha he
1.2.
11
IMPLICAZIONI
Esempio 1.15
Stabilire in iasuno dei asi he seguono se valgono:
s = r , r s.
r = s,
Nel aso in ui l'impliazione non sia valida se ne determini
un ontroesempio.
X = N; r : x un numero pari, s: 5x numero pari.(b) X = N; r : x un numero pari,s: 6x numero pari.() X = R; r : x > 5 ,s: x + 2 > 5.(d) X = N; r : x un numero primo,s: x dispari.22(e) X = R R; r : x > y ,s: x > y .++(f ) X = R R ; r : x > y ,s : x2 > y 2 .+(Nota: R = {x R : x > 0)(a)
Risposte:
(a) L'impliazione
r = s
valida.
Infatti un numero pari se esso un
multiplo di 2, e se un numero un multiplo di 2 allora moltipliato per unqualsiasi altro numero rimane anora un multiplo di 2.L'impliazione
s = r
valida, infatti se
5x
pari 2 un suo divisore, ma
2 non un divisore di 5, quindi deve essere un divisore di
x,
di onseguenza
x
pari.
r s.r = s valida (vedi il aso preedente). L'impliaziones = r non valida, x = 5 un ontroesempio, infatti 6x = 30 pari ma xnon pari. L'impliazione r s non valida.() L'impliazione r = s valida. L'impliazione s = r non valida, x = 4Poih valgono entrambe le impliazioni si ha:
(b) L'impliazione
un ontroesempio.(d) Un numero primo un numero he ha ome unii divisori 1 e se stesso.Quindi 2 primo ma esso non dispari, pertanto l'impliazione
r = s
non
valida (in questo aso abbiamo un unio ontroesempio ma i basta per invalidare l'impliazione).
L'impliazione
s = r
non valida,
x = 15
un
r s non valida.r = s non valida, la oppia x = 2, y = 3 un ontroesempio. L'impliazione s = r non valida, la oppia x = 3, y = 2 un
ontroesempio. L' impliazione r s non valida.(f ) Una delle propriet dei numeri reali stabilise he se a > b e c > 0 alloraac > bc (se in una disequazione moltiplihiamo entrambi i membri per uno stessonumero positivo la disequazione si onserva). Pertanto se x, y sono numeripositivi si ha: x > y = xx > xy e xy > yy (moltiplihiamo prima per x e poi22per y ), pertanto x > y = x > xy > y dunque l'impliazione r = s valida.22Sia ora x > y . Si avr x = y oppure x < y oppure x > y , mostriamo22
he solo l'ultima relazione possibile. Infatti se x = y allora x = y dunque22non possiamo avere x > y . Se invee x < y , poih x ed y sono positivi dalla22validit della impliazione r = s (gi veria in preedenza) si ha x < y he
ontroesempio. L' impliazione(e) L'impliazione
12
CAPITOLO 1.
non pu essere vero.
INSIEMI, NUMERI REALI E FUNZIONI
Dunque si deve avere
x > y
e l'impliazione
valida. Poih valgono entrambe le impliazioni si ha:
s = r
r s.
Molti dei risultati he vedremo durante il orso onsisteranno proprio nellostabilire he una erta impliazione logia:
r = s
valida.
si legge anhe r ondizione suiente per la validit di
s ondizione neessaria per la validit di
s
r = s
r s
si legge: r ondizione
s,
oppure
r .
neessaria e suiente per la validit di
r quindi una ondizione il ui veriarsi omporta automatiamente il veriarsi della propriet s. Ad esempio: x tosano una ondizione suiente anh valga la ondizione x italiano.Una ondizione neessaria s invee una ondizione he onseguenza delveriarsi di r . Ad esempio: x europeo una ondizione neessaria anhsi verihi la ondizione x italiano.Una ondizione suiente
Esempio 1.16
Avere ompiuto 18 anni una ondizione neessaria per ottenere
la patente (ma non suiente).
Esempio 1.17
Avere ottenuto un voto superiore a 24 una ondizione su-
iente per superare un esame universitario (ma non neessaria).
Esempio 1.18
Vinere tutte le partite per una squadra di alio una ondi-
zione suiente per vinere un ampionato (non per neessaria).
Esempio 1.19>2
Condizione neessaria (ma non suiente) anh un numero
sia primo he esso sia dispari.
Condizione suiente (ma non neessaria) anh un numero he
x {11, 13, 17, 19, 23}.
Condizione neessaria (ma non suiente) anh un numero
x
sia primo
x sia positivo
he il suo quadrato sia positivo.Condizione neessaria e suiente anh un numero sia positivo he ilsuo ubo sia positivo.
1.2.
13
IMPLICAZIONI
1.2.2 Quantiatori
Il simbolo
si legge per ogni oppure qualunque sia.
Spesso verr usato
per abbreviare denizioni ed enuniati. Esempio: ogni numero reale positivoelevato al quadrato maggiore o uguale a zero verr sritto pi sintetiamente: x
R, x2 0.
Analogamente il simbolo
si legge esiste
oppure esiste almeno un. Esem-
pio: C' almeno un numero reale he elevato al quadrato da 3 verr sritto
R : x2 = 3.
x
Il simbolo
rappresenta la negazione di esiste almeno
un e si legge non esiste alun. Esempio: Non ' alun numero reale il uiquadrato uguale a -1 verra' sritto xSia
A X.
R : x2 = 1.
x A, r(x)
signia:qualsiasi siaSe indihiamo on
A, r(x)
a(x)
x A, x
veria la propriet
la propriet he
x
appartenga ad
r(x).
A,
la ondizione
analoga ad
x
a = r.Se l'enuniato
x A, r(x)
propriet
a = r , quindi devex A he non veria la
non valido allora non vale
esistere almeno un ontroesempio io un elemento
r(x).
Analogamente
x A, r(x)signia:esiste almeno un elementoSe indihiamo on
he
x
R
xA
l'insieme degli
x
he veria la propriet
r(x).
r , x A, r(x) signiaA R = , io ogni elemento
he veriano
A R 6= . Se l'enuniato non valido alloraA non veria la propriet r(x).Il simbolo r(x) signia he x non veria la propriet r(x).
di
Possiamo ora
onludere:la negazione dila negazione di
Nota 1.4
x A, r(x)x A, r(x)
x A, r(x).x A, r(x).
Consideriamo l'enuniato Ogni italiano sa nuotare. La sua nega-
zione C' un italiano he non sa nuotare.
Per stabilire he l'enuniato
vero dobbiamo veriare he ognuno dei 58 milioni di italiani sa nuotare, per
14
CAPITOLO 1.
INSIEMI, NUMERI REALI E FUNZIONI
stabilire he falso (quindi per negare l'enuniato) basta trovare un solo italiano he non sappia nuotare. Attenzioni quindi he la negazione dell'enuniato:Ogni italiano sa nuotare non : Ogni italiano non sa nuotare.
Esempio 1.20
Sia
Esempio 1.21
Sia
A = {1, 7, 8, 9, 12, 13}.L'enuniato x A, x dispari falso, x = 8 un ontroesempio.L'enuniato x A, x minore di 100 vero.L'enuniato x A, x multiplo di 3 vero, infatti 9 multiplo di 3.L'enuniato x A, x multiplo di 5 falso, infatti ogni elemento di Anon multiplo di 5.A = R. A, x2 02 x A, x > 0
L'enuniato xL'enuniato
Esempio 1.22
vero. falso
x=0
un ontroesempio.
Ogni gioatore della Juventus italiano. L'enuniato falso,
Treseget un ontroesempio.
Esempio 1.23
C'e almeno una persona isritto al primo anno di Eonomia he
olandese. Falso, tutte le persone isritte non sono olandesi.
1.2.
15
IMPLICAZIONI
EseriziStabilire quali delle seguenti impliazioni ed equivalenze (onsiderate sull'insieme
X ) sono valide:21. X = R, x > 0 = x > 0;+22. X = R , x > 0 x > 0;23. X = R, x > 0 x 6= 0;324. X = R, x > x x > 1;435. X = R, x > x x > 1;2446. X = R , x > y = x > y ;2337. X = R , x > y x > y ;28. X = R , xy > 0 = x + y > 0;9. X = N, x dispari 5x dispari;
10. Nelle stato delle Isole Belle vale la seguente norma per l'esonero dai tributiSe il reddito del ontribuente minore di 6000 dollari oppure il primo anno heil ontribuente ha un reddito maggiore o uguale a 6000 dollari, il ontribuentenon deve pagare tributi. Si dia se:a) l'avere un reddito inferiore a 6000 dollari una ondizione neessariaoppure suiente per non pagare tributi;b) avere reddito pari a 7000 dollari una ondizione neessaria oppuresuiente per dover pagare tributi;
) la ondizione he il ontribuente ha sempre avuto redditi inferiori a 6000dollari negli anni preedenti una ondizione neessaria oppure suiente pernon pagare tributi.d) la ondizione he il ontribuente abbia un reddito maggiore o uguale a6000 dollari ed inoltre i sia stato almeno un anno in preedenza in ui abbiaavuto un reddito maggiore o uguale a 6000 dollari, una ondizione neessariaoppure suiente per dover pagare tributi.11. Nella Suola Superiore delle Isole Belle stata posta la seguente regola peril passaggio dalla prima alla seonda lasse: sono ammessi alla seonda lasse
oloro he hanno onseguito nelle 8 materie tutti voti maggiori o uguali a 6 onalmeno un voto superiore al 7. Si dia se:a) L'avere la media del 7 una ondizione neessaria oppure suiente peressere ammessi alla seonda lasse.b) L'avere la media superiore al 6 una ondizione neessaria oppure suiente per essere ammessi alla seonda lasse.
) L'avere tutti voti maggiori o uguali a 6 e la media superiore al 7 una
ondizione neessaria oppure suiente per essere ammessi alla seonda lasse.
16
CAPITOLO 1.
INSIEMI, NUMERI REALI E FUNZIONI
Risposte1. L'impliazione non valida,2. L'equivalenza valida.
x = 2
un possibile ontroesempio.
3. L'equivalenza valida.4. L'equivalenza valida.5. L'equivalenza non valida in quanto non valida l'impliazione
x4 > x3 = x > 1,
infatti
x = 1
un possibile ontroesempio. Si osservi he
x4 > x3da x < 0 unito a x > 1,
per ottenere un'equivalenza orretta si deve risolvere la disequazione
R. La soluzione di tale disequazione datax4 > x3 x (, 0) (1, +).L'impliazione non valida, x = 2, y = 3 un possibile
sull'insiemepertanto6.
ontroesempio.
7. L'equivalenza valida.
8. L'impliazione non valida,9. L'equivalenza valida.
x = 2, y = 1
un possibile ontroesempio.
10. a) La ondizione suiente, ma non neessaria. b) La ondizione non neessaria, n suiente. ) La ondizione suiente, ma non neessaria.d) La ondizione neessaria e suiente.11.
a) La ondizione non neessaria, n suiente.
neessaria, ma non suiente.neessaria.
b) La ondizione
) La ondizione suiente, ma non
1.3.
17
INSIEMI NUMERICI
1.3 Insiemi numeriiPer poter svolgere eserizi gi sui primi argomenti del orso, no a questo punto stato dato per noto il onetto di numero reale. Ora ne riprendiamo i fondamentianhe per mettere in evidenza alune propriet per niente banali di tale insieme.Proponiamo innanzitutto la denizione assiomatia he introdue le propriet algebrihe, di ordine e di ompletezza dell'insieme dei numeri reali.
1.3.1 Numeri realiI numeri reali sono gli elementi dell'insieme
R on i seguenti
assiomi (I, II, III):
Assiomi relativi alle operazioni)
I.
(
In
R
sono denite due operazioni
: R R R;: R R R;
+
dette rispettivamente somma e moltipliazione , he soddisfano le seguenti propriet
I1 )
x + y = y + x,x y = y x,
x, y R;x, y R;
(propriet ommutativa)
I2 )
x, y, z R;x, y, z R;
(x + y) + z = x + (y + z),(x y) z = x (y z),
(propriet assoiativa)
I3 )
0 R :1 R, 1 6= 0 :
x + 0 = x,x 1 = x,
x Rx R, x 6= 0,
y R :y R :
x R;x R;
(esistenza degli elementi neutri)
I4 )
(esistenza degli elementi inversi)
x (y + z) = x y + x z,
I5 )
(propriet distributiva)
II.In
x + y = 0;x y = 1;
x, y, z R
(Assiomi relativi all'ordinamento)
R
denita una relazione d'ordine, denotata on
propriet:
II1 )II2 )
per ogni oppia di numeri reali
x
ed
y,
,
si ha
he veria le seguenti
x y oppure y x;x y ed y x,
se valgono ontemporaneamente le due relazioni:si ha
x = y;
18
CAPITOLO 1.
II3 )II4 )
III.
INSIEMI, NUMERI REALI E FUNZIONI
x y allora vale anhe x + z y + z, z R;se valgono le relazioni: 0 x, 0 y allora si ha:0 x + y, 0 x y.se vale la relazione
(Assioma di ompletezza)
Dati due sottoinsiemi non vuotiesiste almeno un elemento
zR
A
e
di
R
tali he
tale he
xzy
Nota 1.5
B
x A
e
x y x A
e
y B ,
y B.
x, io l'elemento he sommato ad x da 0 verrx. L'inverso moltipliativo di x (x 6= 0), io l'elemento he1per x da 1 verr denotato on x .
L'inverso additivo di
denotato onmoltipliato
Nota 1.6
La notazione
Nota 1.7
Gli assiomi onsiderano solo la relazione di
xy
signia
x y signia y x,x y e x 6= y .
da questa infatti
x>y
signia
x+(y).
inoltre
La notazione
x a}[a, +) = {x R : x a}
Consideriamo i seguenti sottoinsiemi di
(a, b) = {x R : a < x < b}[a, b) = {x R : a x < b}(a, b] = {x R : a < x b}[a, b] = {x R : a x b}(, +) = R.Ognuno di questi sottoinsiemi di
R
(e solo questi) si die un intervallo .
E' omodo usare un simbolo partiolare per gli intervalli
R+ = (0, +),
(0, +), [0, +):
R+ = [0, +).
1.3.3 Numeri naturali, interi, razionali ed irrazionaliDagli assiomi dei numeri reali segue he esiste l'elemento neutro moltipliativo,denotato on
2 = 1+1
1
0.
e he tale elemento maggiore di
maggiore di
1,
he
3 = 1+1+1
Si ha anora he l'elemento
maggiore di
1+1
e os via.
L'insieme os ottenuto si hiama l'insieme dei numeri naturali e viene indiato
N:
on il simbolo
N = {1, 2, 3, 4, ...}.
I4 esistono gli elementi 1, 2, 3, ... e per gli assiomi II si ha 0 >1 > 2 > 3, .... Possiamo quindi onsiderare l'insieme Z dei numeri interi
ostituito dai numeri naturali, da tutti i loro opposti e dall'elemento 0, io:Per l'assioma
Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Per gli assiomi
I
os onsiderare
Inne l'insieme
p Z e q N allora esistono anhe i numeri 1q e pq , possiamol'insieme Q dei numeri razionali dato da:pQ = {x R : x = essendo p Z, q N}.qse
R\Q
si die l'insieme dei numeri irrazionali .
Dagli assiomi segue anhe il prossimo teorema he permette di introdurrela radie
n esima
di un numero reale positivo (la dimostrazione non tanto
semplie e viene omessa):
TEOREMAreale positivo
n = 2).
1.2y
x R+ ,n
he y = x.
Sia
tale
e sia
n N.
Tale numero
Allora esiste un unio numero
y
viene indiato on
n
x
(
x
se
20
CAPITOLO 1.
1.3
TEOREMA
INSIEMI, NUMERI REALI E FUNZIONI
Esistono numeri reali he non appartengono a
Dimostrazione. Proviamo he
2
Q.
(he un numero reale in virt del Teorema
1.2) non un numero razionale.
2 Q, allora esistono p Z, q N talip
hePoih2>0anhe p deve essere positivo dunque p N.qPossiamo assumere he p e q non sono entrambi pari, infatti altrimenti potremmoSupponiamo per assurdo he
= 2.
sempliare la frazione no a he uno dei due numeri dispari. Per la denizione
p2q2
= 2, io p2 = 2q 2 . Dunque p2 pari e i implia22
he p pari. Allora esiste p N tale he p = 2p , dunque 4p = 2q , pertanto222q = 2p . Possiamo onludere he q pari, dunque anhe q pari. Questo
ontraddie il fatto he almeno uno dei numeri p e q dispari, provando os
he2 6 Q.di radie quadrata si ha:
Nota 1.8 Dal risultato preedente si ottiene he qualsiasi sia il numero raziona-
le
r, r + 2
un numero irrazionale. Infatti posto
x = r+ 2
si ha
2 = x r.
Ma la somma e la dierenza di numeri razionali anora un numero razionale, quindi se
x
fosse razionale anhe
2
lo sarebbe, ontrariamente a quanto
provato nella dimostrazione del teorema preedente.
Possiamo onludere he
esistono inniti numeri irrazionali.
TEOREMA 1.4 Siano x, y due qualsiasi numeri reali tali he x < y . Alloral'intervallo (x, y) ontiene inniti numeri razionali ed inniti numeri irrazionali. Esempio 1.24 Sono dati gli insiemi A = {x Q : x 2}, B = {x R :x 2 N}. Veriare he x y x A e y B e determinare tutti i numeriz verianti l'assioma di ompletezza di R.Gli elementi di B sono tutti i naturali 3. Tutti gli elementi di A sono 2e tale numero minore di 3, dunque x < y x A e y B . Gli elementiz he veriano l'assioma di ompletezza sono tutti i numeri reali appartenentiall'intervallo [ 2, 3].
1.3.4 Minimo e massimo, estremo superiore ed inferioreIn questa sezione introdurremo alune denizioni molto importanti per il seguito.
Denizione 1.10Un elementoUn elementoUn elementoUn elemento
Sia A un sottoinsieme non vuoto di R.m A si die massimo per A se x m x A.y R si die un maggiorante di A se x y x A.m A si die minimo per A se m x x A.y R si die un minorante di A se y x x A.
1.3.
21
INSIEMI NUMERICI
Si osservi he l'unia dierenza nella denizione di massimo e di maggiorante data dal fatto he il massimo deve appartenere all'insieme (quindi il pigrande di tutti gli elementi dell'insieme) mentre un maggiorante pu anhe nonappartenere ad
A
( quindi si tratta sempliemente di un elemento di
grande di ogni elemento di
Proposizione 1.5
R
pi
A).
Il massimo [minimo di un insieme se esiste unio.
m1 ed m2 massimi per A. Dalla denizione di massimox m1 x A. Essendo anhe m2 massimo m2 A,dunque neessariamente m2 m1 . Ma anhe m2 massimo dunque m1 m2 .Poih m2 m1 e m1 m2 dall'assioma II2 dei numeri reali segue m1 = m2 .La prova nel aso del minimo analoga.Dimostrazione.
Siano
m1 A
segue he
Denizione 1.11A
e
Sia
A
un sottoinsieme non vuoto di
R.
si die limitato superiormente [limitato inferiormente se possiede almeno
un maggiorante [minorante.
A
si die limitato se possiede almeno un maggiorante ed almeno un mino-
rante.
Denizione 1.12LR
Sia
A
un sottoinsieme non vuoto di
si die estremo superiore di
A
R.
se:
i) L un maggiorante di A,ii) Se y R un maggiorante di A allora L y.
Denizione 1.13lR
Sia
A
un sottoinsieme non vuoto di
si die estremo inferiore di
A
R.
se:
i) l un minorante di A,ii) Se y X un minorante di A allora y l.
Nota 1.9
L'estremo superiore il minimo dei maggioranti, infatti la prima
propriet i die he si tratta di un maggiorante, la seonda he il pi pi
olodei maggioranti.Poih il minimo di un insieme unio anhe l'estremo superiore (he ilminimo dei maggioranti) unio.Analogamente l'estremo inferiore il massimo dei minoranti ed unio.
TEOREMA
1.6
Ogni sottoinsieme di
R
non vuoto e limitato superiormente
[inferiormente possiede estremo superiore [estremo inferiore.
22
CAPITOLO 1.
INSIEMI, NUMERI REALI E FUNZIONI
A un sottoinsieme di R non vuoto e limitato superiormente.Si denoti on B l'insieme di tutti i maggioranti di A. Per la denizione di insiemelimitato superiormente B non vuoto. Per la denizione di maggiorante si haDimostrazione. Sia
x y,Per l'assioma
III
esiste
zR
x A, y B.
tale he
x z y,
x A, y B.
Da quest'ultima relazione segue he
z
minore o uguale di un qualsiasi maggiorante dil'estremo superiore di
A e he tale elementola denizione data z
un maggiorante di
A,
per
A.
Nel aso di un insieme non limitato inferiormente la dimostrazione analoga.
Il minimo, massimo, estremo inferiore, estremo superiore di un insieme
A
verranno denotati rispettivamente on
min A,
max A,
inf A,
sup A.
La prossima proposizione riassume le propriet di base del minimo, massimo,estremo superiore ed inferiore utili ai ni del loro alolo pratio.
Proposizione 1.7
Sia
A
R.A esiste anhe l'estremo superiore [inferiore
un sottoinsieme si
1) Se esiste il massimo [minimo died essi sono uguali.
2) Se esiste l'estremo superiore [inferiore dise esso appartiene ad
A
se esso non appartiene ad3) Se
A
A
allora:
allora esso anhe il massimo [minimo di
A
A;A.
allora non esiste il massimo [minimo di
non limitato superiormente [inferiormente allora non possiede n
massimo [minimo, n estremo superiore [inferiore.4) Se
A
limitato superiormente [inferiormente allora
A
possiede estremo
superiore [inferiore (ma non neessariamente massimo [minimo).Dimostrazione.
1) Sia
m
il massimo di
A,
allora
m
un maggiorante di
A
e
m A. Poih m A si ha m y per ogni altro maggiorante y di A, dunquem l'estremo superiore di A. La prova analoga nel aso del minimo.2) L'estremo superiore un maggiorante di A, per la denizione di massimose appartiene ad A anhe massimo. Se non appartiene ad A dalla parte 1)segue he non pu esistere il massimo. La prova analoga nel aso dell'estremoinferiore.3) E' onseguenza immediata delle denizioni date.4) Si tratta preisamente del Teorema 1.6.
1.3.
23
INSIEMI NUMERICI
Esempio 1.25
Si onsiderino gli insiemi:
{x R : < x 7}.
E = {x R : 2 x < 7}, F =
In entrambi i asi stabilire se l'insieme limitato e
alolarne gli eventuali sup, inf, min, max.
I maggioranti dell'insieme
7
ranti
I minoranti dell'insieme
2
E
[7, +]. Il pi pi
olo dei maggiosup E = 7, max E non esiste.(, 2]. Il pi grande dei minorantiinf E = min E = 2. E possiede sia
sono dati da
he non appartiene all'insieme, dunque
E
sono dati da
he appartiene all'insieme, dunque
minoranti he maggioranti quindi limitato.I maggioranti dell'insiemegioranti
7
possiede minoranti quindi
F
[7, +]. Il pi pi
olo dei magsup F = max F = 7. F nonesistono ed F non limitato.
sono dati da
he appartiene all'insieme, dunque
Esempio 1.26
inf F
e
min F
non
Si onsideri il sottoinsieme di
R
denito da:
A = {x R \ Q : x2 1}.Calolarne gli eventuali minimo, massimo, estremo inf., estremo superiore.
x2 1
soddisfatta da tutti i numeri reali x tali he 1 x 1, pertanto si ha he A = [1, 1] (R \ Q). L'insieme dei maggiorantidi A l'intervallo [1, +). Infatti ogni elemento di tale insieme siuramenteun maggiorante di A e non vi sono altri maggioranti. Per veriare he non visono altri maggioranti osserviamo he ogni y 0 non pu essere un maggiorantee se prendiamo y (0, 1) si ha he l'intervallo (y, 1) ontiene inniti numeriirrazionali (per il Teorema 1.4), e questi numeri irrazionali appartengono ad Ae sono maggiori di y . Possiamo ora onludere he sup A = 1, 1 per razionaledunque non appartiene ad A, quindi l'insieme non possiede massimo.Analogamente si ha he l'insieme dei minoranti di A dato da: (, 1],quindi inf A = 1, min A non esiste.La disequazione
Esempio 1.27
Si onsideri il sottoinsieme di
R: B = Q(2, +).
Calolarne
gli eventuali minimo, massimo, estremo inferiore, estremo superiore.
L'insieme dei maggioranti di
B
vuoto quindi l'insieme non possiede n mas-
simo, n estremo superiore. L'insieme dei minoranti diquindi
inf B = 2. 2 6 B
dunque
min B
B
dato da:
non esiste.
(, 2],
1.3.5 Valore assoluto e parte intera di un numero reale
Denizione 1.14numero
Dato
max{x, x}.
xR
hiamiamo valore assoluto di
x
(simbolo
|x|)
il
24
CAPITOLO 1.
Nota 1.10
INSIEMI, NUMERI REALI E FUNZIONI
x > 0 si ha x < 0 dunque |x| = x. Sex > 0 dunque |x| = x. Possiamo os onludere he:
xse x 0|x| =.xse x < 0Se
invee
x < 0
si ha
Considerando la rappresentazione dei numeri reali sulla retta (vedi Sezione1.3.6) possiamo interpretare il valore assoluto di
x
x
ome la distanza del punto
dall'origine.Il valore assoluto ha anhe altre importanti propriet:
Proposizione 1.8
Per ogni oppia
x, y
di numeri reali si ha:
|x + y| |x| + |y|,
|xy| = |x||y|.
La prossima osservazione (di semplie veria) utile nella risoluzione didisequazioni in ui ompare il valore assoluto
Nota 1.11la
a R allora:disequazione |x| < a equivalenteSe
Esempio 1.28
alla disequazione
|x2 1| < 3.2nota preedente la disequazione |x 1| < 3 equivalente23 < x 1 < 3. I numeri reali x he veriano questa
Determinare tutti i numeri reali
In virt dellaalla disequazione
a < x < a.
x
tali he
disequazione sono quelli per veriano ontemporaneamente le due disequazioni:x2 1 > 3 ed x2 1 < 3.22La disequazione x 1 > 3 soddisfatta per x > 2 io per ogni valoredi
x
(il quadrato di ogni numero reale maggiore o uguale a 0).x2 1 < 3 soddisfatta per x2 4 < 0 io 2
La disequazione
< x < 2.
I numeri reali he soddisfano entrambe le disequazioni sono dunque datidall'intervallo
(2, 2).
Denizione 1.15bolo
int(x))
Dato un numero reale
x
hiamiamo parte intera di
il pi grande intero minore o uguale ad
Esempio 1.29
La parte intera di
Esempio 1.30
Calolare
x
(sim-
x.
5, 63 5 dunque int(5, 63) = 5. Si ha poiint(3) = 3, int(0, 5) = 0, int(0) = 0, int(0, 5) = 1, int(3, 2) = 4,int(7) = 7.A
sup, inf, min, max di A = {x R : |int(x)| 2}.x R tali he 2 int(x) 2, quindi A = [2, 3).sup A = 3, max A non esiste, inf A = min A = 2.
dato da tutti gli
Pertanto
1.3.
25
INSIEMI NUMERICI
1.3.6 Rappresentazione dei numeri reali sulla rettaI numeri razionali possono essere rappresentati su una retta nel modo seguente:si onsideri una retta
r
e si ssi su di essa un punto he denoteremo on
O
e
he verr detto l'origine. Fissiamo poi una direzione della retta, ome al solitosegliamo la direzione he va dall'origine verso destra. Fissiamo quindi un punto
U
a destra di
O.
E' noto dalla geometria elementare he possiamo onsiderare ogni multiplo
pOU ed ogni(p, q N).
sottomultiplo
p1q OU quindi ogni multiplo di un sottomultiplo q OU
Possiamo ora assoiare ad ogni numero razionale positivo
retta he orrisponde al seondo estremo del segmentonale
pq
pq il punto della
pq OU . Al numero razio-
assoiamo invee il punto sulla retta posto nella direzione opposta di
pq OU ma avente la stessa distanza dall'origine. Assoiamo poi al numeropunto
O.
0
il
Ad ogni numero razionale viene os assoiato un punto della retta e la
orrispondenza univoa (io iniettiva). Essa non per biunivoa in quantoal punto della retta posto a distanza
2
2 non orrisponde nessun numero,
infatti
non razionale.Considerando invee dei razionali, l'insieme dei numeri reali la orrispon-
denza preedente pu essere estesa a tutti i punti della retta ottenendo ora
orrispondenza biunivoa, io ad ogni numero reale viene assoiato un puntodella retta ed ad ogni punto della retta orrisponde un'unio numero reale.
Figura 1.4: Rappresentazione di un punto sulla retta reale
1.3.7 Rappresentazione delle oppie di numeri reali nel pianoR2 = R R ostituito da tutte le oppie ordinate (x, y)di numeri reali. Il termine ordinate india he la oppia (x, y) in genere diversadalla oppia (y, x), pi preisamente le due oppie (x, y) ed (y, x) sono ugualise e solo se x = y .2Possiamo rappresentare geometriamente l'insieme R = R R in un piano (il piano artesiano on il sistema di riferimento xOy ) nel modo seguente:Consideriamo l'insieme
26
CAPITOLO 1.
INSIEMI, NUMERI REALI E FUNZIONI
Figura 1.5: Rappresentazione di un elemento di
R2
nel piano artesiano
onsideriamo due rette perpendiolari he s'inontrano in un puntol'origine .
O
detto
Le due rette possono essere onsiderate ome due assi reali, quello
orizzontale verr detto l'asse
x o asse delle asisse ,
quello vertiale l'asse
y
delle
ordinate . Considereremo la stessa unit di misura sull'asse delle asisse e sull'asse delle ordinate e su entrambi gli assi prendiamo l'origine del sistema di
O.(x, y) R2 , onsideriamo il punto x sull'asse delle asisse,il punto y su quello delle ordinate. Prendiamo la retta perpendiolare in xall'asse delle asisse e la retta perpendiolare in y all'asse delle ordinate. Esses'inontrano in un unio punto P del piano, esso verr assoiato alla oppia(x, y).Vieversa on il proedimento opposto ad un punto P del piano possiamoassoiare la oppia (x, y). In virt di tale assoiazione sriveremo P = (x, y),
riferimento oinidente onData un elemento
identiando il punto on la oppia di numeri reali a ui orrisponde.
Eserizi1. Stabilire quali delle seguenti aermazioni sono vere:a) Tra due razionali i sono inniti irrazionali.b) Tra due reali i sono almeno 10 razionali.
) Tra due interi ' almeno un irrazionale.d) Tra due irrazionali ' almeno un intero.e) Tra due razionali i sono inniti interi.f ) Tra due irrazionali si sono inniti razionali ed inniti irrazionali.
1.3.
27
INSIEMI NUMERICI
g) Tra due reali i sono inniti irrazionali ma solo un numero nito dirazionali.
1 e' un intero ma non e' razionale.2 + 5 e' un numero razionale.l) e' un numero irrazionale.m) 1 e' un numero razionale.h)i)
1n)
2
2.
e' un numero razionale.
Per iasuno dei seguenti sottoinsiemi di
R
alolare:
minimo, massimo,
estremo superiore ed inferiore. Dire poi se l'insieme limitato.
A = (2, 7), B = [3, +), C = (3, 1) (2, 5], D = (, 0).3. Calolarne gli eventuali minimo, massimo, estremo inferiore, estremo superiore degli insiemi:
A = [5, 3] (R \ Q),
B = [2, +) (R \ Q),
C = (, 7] Q.
4. Calolarne gli eventuali minimo, massimo, estremo inferiore, estremo superiore dell'insieme:5. Calolare
A = ([1, 2] \ Q) {x R : x2 2}.
sup, inf, min, max
di
A = {x R : 1 < int(x) < 4}.
6. Risolvere le seguenti disequazioni:a)e)l)
|x 2| 7; b) |x + 3| 2; ) |x 2| 7;|x + 1| 2; f ) |x| < 52 ; h) |5 + 2x| 1;|3 x1 | < 1; m) |x2 4| < 1.
d)i)
|x + 1| 4;| 2 3x| > 2;
Risposte
1. Sono vere: a) b) ) f ) l) m), false le altre.2. inf A = 2, min A 6 , sup A = 7, max A 6 , A limitato.inf B = min B = 3, sup B 6 , max B 6 , B non limitato.inf C = 3, min C 6 , sup C = max C = 5, C limitato.inf D 6 , min D 6 , sup D = 0, max D 6 , D non limitato.3. min A 6 , inf A = 5, sup A = 3, max A 6 .min B 6 , inf B = 2, sup B 6 , max B 6 .min C 6 , inf C 6 , max C = sup C = 7.4. min A 6 , inf A = 1, sup A = max A =2.5. min A = inf A = 2, sup A = 4, max A 6 .6. a) [5, 9] .b) [5, 1].
) (, 5] [9, +).d) R.5 54f ) ( , ).h) [3, 2];i) (, ) (0, +).e) .2 2 3 1 1l) ( , ).m) ( 5, 3) ( 3,5).4 2
28
CAPITOLO 1.
INSIEMI, NUMERI REALI E FUNZIONI
1.4 Funzioni1.4.1 Denizioni di base
Denizione 1.16
Una funzione
f
da un insieme
A ad un insieme B , in simboli
f : A B, una legge he assoia ad ogni elemento dell'insieme
B . L'insieme A viene detto il dominioDom(f )), l'insieme B il odominio di f .
dell'insiemesimbolo
A uno ed un solo elementof (e verr indiato on il
di
Possiamo trovare funzioni in vari ambiti, non solo in matematia ma anhenella vita di tutti i giorni:
Esempio 1.31Udine.
Si onsideri l'insieme
P
delle persone isritte all'universit di
Consideriamo la legge he assoia ad ogni elemento di
Esempio 1.32
Sia
D
l'insieme di tutte le donne e
P
la sua et
f : P N.
espressa in anni. In tal modo si ottiene una funzione
P
l'insieme di tutte le per-
sone.Se ad ogni elemento di
D
assoiamo i suoi gli non si ottiene una funzione,
in quanto una donna pu avere pi di un glio, quindi vi sono degli elementi di
D
a ui orrispondono pi elementi diSe ad ogni elemento di
D
P.
assoiamo il glio primogenito non abbiamo an-
ora una funzione, in quanto vi sono donne he non hanno gli, dunque a talielementi di
D
non viene assoiato alun elemento di
Esempio 1.33
P.
In Italia siamo abituati a misurare la temperatura in gradi enti-
gradi, negli Stati Uniti invee la temperatura viene misurata in gradi Fahrenheit.
1.4.
29
FUNZIONI
Se indihiamo on C la temperatura espressa in gradi Celsius, la orrispondentemisura F espressa in Fahrenheit data da:
9F = C + 32.5 Celsius orrisponde alla temperatura di 95
Ad esempio la temperatura di 35Fahrenheit.Abbiamo quindi una legge
F (C) : R R
he ad ogni misura in Celsius
assoia la orrispondente misura in Fahrenheit.
Esempio 1.34
Consideriamo la funzione
x2 3x.
f : R R
he ad
x R
assoia
La funzione ad ogni numero reale assoia un nuovo numero reale, ad2esempio al numero 5 assoia 5 3 5 = 10, al numero 1 assoia il numero2(1) 3(1) = 4, al numero 2 assoia ( 2)2 3 2 = 2 3 2.
Denizione 1.17assoia un uniodetto l'immagine
f : A B una funzione. Ad un elemento x A felemento di B , tale elemento verr indiato on f (x) e verrdell'elemento x.
Denizione 1.18xA
f : A Bf (x) = y si die una
tale he
Nota 1.12
Sia
Sia
ontroimmagine di
Un elemento
Per denizione di funzione l'immagine di un elemento
sempre ed unia. Le ontroimmagini di un elementopi di una oppure non esistere.
y B.y.
una funzione e sia
Esempio 1.35
yB
xA
esiste
potrebbero essere
f : Z R la funzione he ad ogni numero intero n assoia2il suo quadrato io f (n) = n . Sia ha f (3) = 9, io l'immagine di 3 ilnumero 9. Anhe 3 ha ome immagine 9, quindi 9 ha due ontroimmagini.Sia
Si osservi anora he vi sono elementi he non hanno ontroimmagini, omead esempio
2,
infatti non esistono numeri interi he elevati al quadrato danno
ome risultato
Esempio 1.36Calolare:
a)b)
)
2.
E' data la funzione
f :RR
f (0), f (1), f (4);f (3x), 3f (x), f (x + 1), f (x) + 1;f (x), f (x), f (x + 2) f (x).
a) Abbiamo:
denita da
f (x) = x2 2x + 1.
f (0) = 0 0 + 1 = 1, f (1) = 1 + 2 + 1 = 4, f (4) = 42 8 + 1 = 9.
30
b)
)
CAPITOLO 1.
INSIEMI, NUMERI REALI E FUNZIONI
f (3x) = (3x)2 2(3x) + 1 = 9x2 6x + 1,3f (x) = 3(x2 2x + 1) = 3x2 6x + 3,f (x + 1) = (x + 1)2 2(x + 1) + 1 = x2 ,f (x) + 1 = x2 2x + 2.
f (x) = (x)2 2(x) + 1 = x2 + 2x + 1,f (x) = x2 + 2x 1,f (x + 2) f (x) = (x + 2)2 2(x + 2) + 1 (x2 2x + 1) = 4x.
Nota 1.13
toinsieme di
Nel seguito tratteremo prevalentemente funzioni denite in un sotR (o R2 ) a valori in R. Spesso per assegnare una tale funzione
si india solamente la regola di alolo (io la legge) he dato
f (x) R.
di alolare il valore
Dom(f )sottoinsieme di R (o
In tal aso, se
indiato, si sottintende he esso il
xA
permette
non espressamente2di R per funzioni di
2 variabili) dove tutte le operazioni indiate hanno signiato. Con il terminedominio di esistenza si intende proprio tale insieme.
Esempio 1.37
Calolare il dominio di esistenza delle funzioni
f1 (x) =f1 (x)
1,x+2
f2 (x) =
2x 3,
ha ome dominio di esistenza
f3 (x, y) =
E = R \ {2},
x 2y.x+y
infatti per
x = 2 ilx la
rapporto onsiderato privo di signiato, mentre per ogni altro valore dilegge denita.
2x 3
ha signiato (nei numeri reali) solo quando l'argomento della radie3quadrata 0, io per 2x 3 0, dunque per x 2 . Il dominio di esistenza3di f2 (x) risulta quindi E = [ 2 , +).La funzione
f3 (x, y)
di due variabili reali. Essa ha signiato quando il deno-
minatore non nullo io per
x + y 6= 0.
In questo aso il dominio di esistenza
un sottoinsieme del piano e si tratta di tutti i punti del piano ad e
ezione della2retta y = x, io E = {(x, y) R : y 6= x}.In preedenza abbiamo introdotto la denizione di immagine e ontroimmagini di un singolo elemento, ora onsideriamo il aso dell'immagine di unsottoinsieme del dominio e della ontroimmagine di un sottoinsieme del odominio.
Denizione 1.19
Sia
f :AB
una funzione e sia
f (I) = {f (x) : x I}si die l'immagine di
I
tramite
f.
I A.
L'insieme
1.4.
31
FUNZIONI
L'insieme
f (A) si die l'immagine
f
di
e si india anhe on il simbolo
Imf .
Quindi
Denizione 1.20f 1 (J)
Im f = {f (x) : x A}.
f : A B= {x A : f (x) J} si die
Esempio 1.38
Sia
J B . L'insiemedi J tramite f .
una funzione e siala ontroimmagine
E
Consideriamo l'insieme
di tutti gli studenti isritti ad Eo-
nomia. Ad ogni studente assoiamo la sua altezza in m, otteniamo os unafunzione
f : E N.
Consideriamo tre elementi di
E:
Rossi Alberto he alto 183 m, Bianhi
Luigi alto 169 m, Neri Maro he alto 183 m. Allora
f (Rossi Alberto) = 183,f ({Rossi Alberto, Bianhi Luigi,f 1 ({183}) ostituito da tutti
Neri Maro})
= {169, 183},
gli studenti isritti ad Eonomia alti 183m.
Rossi Alberto e Neri Maro sono elementi di questo insieme.
Nota 1.14
di un sottoinsieme di
A
B
B.
La
un sottoinsieme (he potrebbe essere
A.
Esempio 1.39zione
L'immagine
un sottoinsieme siuramente non vuoto di
ontroimmagine di un sottoinsieme divuoto) di
x di A un elemento di B .
L'immagine di un elemento
Siano
f :AB
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {a, b, c, d}
e si onsideri la fun-
denita da:
f (1) = c, f (2) = a, f (3) = c, f (4) = d, f (5) = c.Calolare
Im f ,
f (1), f ({1, 2, 3}),
f 1 ({a, b, c}), f 1 ({b}).
Figura 1.6: La funzione dell'Esempio 1.39
Risposta: Im ff 1 ({a, b, c})
= {a, c, d}, f (1) = c,= {1, 2, 3, 5}.
f ({1, 2, 3}) = {a, c},
f 1 ({b}) = ,
32
CAPITOLO 1.
Denizione 1.21x1 6= x2
si ha
distinti di
B ).
Una funzione
f (x1 ) 6= f (x2 )
Denizione 1.22
Denizione 1.23
B
si die iniettiva se
f : A B
A
x1 , x2 A
on
assoia elementi
si die suriettiva se
Im f = B
possiede almeno una ontroimmagine).
Una funzione
iniettiva he suriettiva.
Nota 1.15
f :AB
(io se ad elementi distinti di
Una funzione
(io se ogni elemento di
INSIEMI, NUMERI REALI E FUNZIONI
f : A B
si die biettiva se essa sia
Per veriare he una funzione iniettiva si pu veriare anhe
he:
x1 , x2 A,
f (x1 ) = f (x2 ) = x1 = x2 .
Per veriare he una funzione suriettiva si pu veriare anhe he:
y B, x A : f (x) = y.
Esempio 1.40
Sia
f :NN
La funzione iniettiva infatti se
denita da f (n) = 2n.f (n1 ) = f (n2 ) allora 2n1 = 2n2
dunque
n1 = n2
e per la nota preedente si ha la tesi.La funzione non suriettiva infatti
ostituita dai soli numeri pari).
3 6 Im f
(l'immagine della funzione
La funzione non biettiva in quanto non suriettiva.
Esempio 1.41infatti
La funzione
f (2) = f (2) = 4.
f :RR
denita da
non iniettiva
Non nemmeno suriettiva in quanto il quadrato di
un numero reale non pu essere negativo quindinon neanhe biettiva.
f (x) = x2
3 6 Imf .
Quindi la funzione
Esempio 1.42
3La funzione f : R R denita da f (x) = x iniettiva33f (x1 ) = f (x2 ) = x1 = x2 = x1 = x2 . E' anhe suriettiva in fatti dato y R il numero 3 y una sua ontroimmagine, dunque Im f = R. La
funzione data quindi biettiva.
Denizione 1.24
artesianoda
Data una funzione
A B,
f : A B e onsiderato il prodottof il sottoinsieme Gf di A B dato
hiamiamo grao di
Gf = {(x, y) A B : x A, y = f (x)}.
1.4.
33
FUNZIONI
Esempio 1.43
f :RR
f (x) = 2x + 3.2Il suo grao sar un sottoinsieme di R = R R denito dalle oppie(x, y) tali he y = f (x), io y = 2x + 3. Possiamo rappresentare R2 nelpiano artesiano, in tal modo il grao ostituito da tutti i punti (x, y) delpiano artesiano tali he y = 2x + 3. Si tratta quindi della retta di equazioney = 2x + 3.Sia
denita da
Figura 1.7: Grao della funzione
Nota 1.16
f :RR
f (x) = mx + q ,y = mx + q .
La funzione
grao la retta
denita da
f (x) = 2x + 3.
detta anhe funzione lineare, ha ome
Le funzioni lineari sono quindi molto semplii da analizzare ma anhe moltoimportanti nelle appliazioni. Ad esempio onsideriamo il aso in ui il ostoper la produzione della quantit
F
q
sommato ad un osto variabile
di un dato prodotto sia dato da un osto sso
Kq
prodotta. Allora il osto di produzione
direttamente proporzionale alla quantit
C
in dipendenza di
q
sar dato da
C(q) = Kq + F.In questo aso quindi la funzione osto una funzione lineare e ha ome graola retta
y = Kx + F . K
il oeiente angolare della retta, se si aumenta la
quantit prodotta di un'unit il osto aumenta di
Esempio 1.44f (d) = 1.
Sia
K.
f : {a, b, c, d} R denita da f (a) = 3 f (b) = 3, f (c) = 3,f ostituito dalle oppie (a, 3), (b, 3), (c, 3), (d, 1).
Il grao di
34
CAPITOLO 1.
Esempio 1.45
INSIEMI, NUMERI REALI E FUNZIONI
f : R R denita da f (x) = |x|. Se ne disegni il1 ([2, 3]).si determini poi f ([2, 2]) ed f2Il suo grao sar un sottoinsieme di R denito dalle oppie (x, y)y = f (x), io y = |x|. Per x 0 si ha la retta y = x per x < 0 si hay = x. Il grao quindi il seguente:Sia
Figura 1.8: Grao della funzione
f :RR
denita da
grao,
tali hela retta
f (x) = |x|.
1.4.
35
FUNZIONI
x > 0 f (x) = x dunque f ([0, 2]) = [0, 2], per x < 0 f (x) = xf ([2, 0]) = [0, 2], in onlusione f ([2, 2]) = [0, 2].Per
Si ha
f 1 ([2, 3]) = [3, 2] [2, 3].
Esempio 1.46grao, si
y
dunque
f : R R denita da f (x) = x2 3.1 ([0, +)).determini poi f ([1, +)) ed fSia
Se ne disegni il
2Il suo grao sar un sottoinsieme di R denito dalle oppie (x, y) tali he2= f (x), io y = x 3. Si tratta quindi della parabola on onavit verso
l'alto e on vertie nel punto
(0, 3).
Grao della funzione f : R R denita da f (x) = x2 3.Si ha f ([0, +)) = [3, +) e f ([1, 0]) = [3, 2]. Quindif ([1, +)) = [3, +). Inoltre f 1 ([0, +)) = (, 3] [ 3, +).
Denizione 1.25
f : A B una funzione.f (x) = y x A allora f si die ostante.Sia
Se esiste
y B
A assoiay di B . Il grao risulta immediato dato A {y}.f : R R una funzione ostante ha ome grao una
Una funzione ostante quindi una funzione he ad ogni elemento disempre lo stesso elementoNel aso di una funzioneretta orizzontale.
tale he
36
CAPITOLO 1.
INSIEMI, NUMERI REALI E FUNZIONI
Grao della funzione ostante f (x) = 2 x R.
Denizione 1.26
La funzione
la funzione identit diL'identit didi
IR
A
A
f :AA
f (x) = x, x Asimbolo IA .
denita da
e si india anhe ol
assoia quindi ad ogni elemento
ostituito da tutte le oppie
(x, y) R2
x
di
tali he
si die
A lo stesso x. Il graoy = x, si tratta quindi
della bisettrie del primo e terzo quadrante del piano artesiano.
Figura 1.9: Grao della funzione identit
Nota 1.17
Per una funzione
f :RR
f (x) = x, x R.
le ondizioni d'iniettivit, suriettivit,
biettivit possono essere viste in modo geometrio. Si ha infatti1. una funzione
f : R R
iniettiva se e solo se ogni retta orizzontale
f :R R
suriettiva se e solo se ogni retta orizzontale
inontra il grao in non pi di un punto.2. una funzione
inontra il grao in almeno un punto.3. una funzione
f : R R
biettiva se e solo se ogni retta orizzontale
inontra il grao in uno ed un sol punto.
1.4.
37
FUNZIONI
Esempio 1.47
Si onsideri la funzione
f (x) =
f :RR
x+1x
sese
denita da
x0.x 0 e x < 2 (se x > 2 l'altezza del rettangolo negativa).Il problema onsiste quindi nel erare il massimo della funzione f (x) =lx( 2 x) (he rappresenta l'area del rettangolo) sul dominio (0, 2l ). Si ha f (x) =l22 x x , il grao di f una parabola on onavit verso il basso e vertie nell l2l2punto ( 4 , 16 ). Il massimo della funzione risulta 16 e l'unio punto di massimo ll4 . L'area massima viene ottenuta quando la base misura 4 , in questo aso anhell'altezza risulta 4 quindi l'area massima si ottiene nel aso di un quadrato.
Esempio 1.63
Sia
f : ( 12 , 3] R
denita
f (x) = |x2 2x|,
alolarne gli
eventuali minimo, massimo, estremo superiore, estremo inferiore e stabilire se limitata.
1.6.
53
MAX, MIN, SUP ED INF DI FUNZIONI
2Per disegnarne il grao sindiamo la funzione in due parti, infatti se x 2x 0 si ha f (x) = x2 2x, se invee x2 2x < 0 si ha f (x) = (x2 2x). Si2ha x 2x 0 per x 0 e per x 2, pertanto:
f (x) =
x2 2x2x x2
sese
GraoSi ha
f ( 12 ) =
54,
f (1) = 1, f (3) = 3,min f = inf f = 0,
x1 = 0, x2 = 2
sono punti di minimo,
x 0 oppure x 2.0 0 (sey = a(2 x) negativo). Inoltre il valoredella retta y = a(2 x) nel punto 1 deve risultare maggiore od uguale a 2,2
io 3a 2. In onlusione la funzione strettamente deresente per a 3 ,mentre per gli altri valori di a non monotona.monotona essa neessariamente deresente. Quindi si deve essere
a > 0
il oeiente angolare di
Esempio 1.66
Data la funzione
f (x) =
1x , denita su
R \ {0},
disegnarne il
grao. Veriare poi he non monotona, mentre la sua restrizione adstrettamente deresente.
R+
Il grao si ottiene dall'equazione y = x1 , io xy = 1. Si tratta quindi di un'iperboleequilatera (vedi Nota A.4) avente ome asintoti gli assi artesiani.Sia ha: f (2) = 12 > f (3) = 13 quindi la funzione non resente. Sia ha poif (1) = 1 < f (1) = 1 quindi la funzione non deresente. Non essendo resenten deresente, non monotona.Si onsideri ora f/R+ . Siano x1 , x2 R+ tali he x1 < x2 , allora essendo entrambii numeri positivi si ha: xx12 < 1, x12 < x11 io f (x1 ) < f (x2 ), quindi f/R+ deresente.(Si osservi he se x1 < 0 ed x2 > 0 la disuguaglianza nale viene rovesiata).
Figura 1.12: Grao della funzione
f (x) =
1x
56
CAPITOLO 1.
INSIEMI, NUMERI REALI E FUNZIONI
1.6.3 Su
essioni
Denizione 1.39
Una funzione
f :NR
si die una su
essione.
Le su
essioni quindi sono delle partiolari funzioni a valori reali, pertanto adesse si appliano tutti i vari onetti (massimo, minimo, estremo superiore,estremo inferiore, limitatezza) visti in preedenza.L'immagine del numero naturale
n viene indiata on an invee he on f (n).f ome le funzioni, solitamente
E la su
essione invee di essere indiata onviene denotata on il simbolo
{an }.Cos il massimo e il minimo di una su
essione vengono indiati on
max{an },
min{an },
e simboli analoghi verranno usati per l'estremo superiore ed inferiore.
Nota 1.29
Ad una su
essione si appliano anhe le denizioni di funzione
resente, deresente, strett. resente e strett. deresente. In base alle denizioni date una su
essione sar resente se presisi ha
an1 an2 .
Questa ondizione implia he
an an+1 ,n1 , n2 N
tali he
n1 < n2
tali he
n1 < n2
n N.
Si osservi per he vieversa se vale la ondizionepresi
n1 , n2 N
si ha:
(1.3)
an an+1 n N,
allora
an1 an1 +1 an1 +2 ... an2 ,
io vale la denizione di resenza.
Possiamo onludere he, nel aso di
una su
essione, la ondizione (1.3) equivalente alla denizione di resenza.Essendo essa pi semplie da veriare, in genere utilizzeremo proprio questa
ondizione per stabilire la resenza.Analoga osservazione vale per la deresenza, per la stretta resenza e deresenza. Cos ad esempio si ha:la su
essione
Nota 1.30
{an }
strett. deresente
an > an+1 ,
n N.
Si noti he se una su
essione resente allora tutti i valori
sono maggiori od uguali ad
a1
quindi:
min{an } = inf {an } = a1
an
1.6.
57
MAX, MIN, SUP ED INF DI FUNZIONI
(il massimo e l'estremo superiore per potrebbero non esistere). Analogamentese la su
essione
an
deresente
max{an } = sup{an } = a1 .
Esempio 1.67
Si onsideri la su
essione
an =
{an }
denita da:
1.n
Stabilire se possiede minimo, massimo, estremo superiore ed inferiore e se limitata.
1L'immagine della su
essione ostituita dall'insieme { n : n N}. Inoltre1an > an+1 n N, infatti n1 > n+1, quindi la su
essione strettamentederesente. Per la nota preedente si ha
max{an } = sup{an } = a1 = 1.Caloliamo ora l'insieme dei minoranti della su
essione. Ogni numero
0
siuramente un minorante perh tutti i termini della su
essione sono positivi.11Non i sono altri minoranti infatti se y > 0 allora preso n > y si ha n < y ,dunque y non un maggiorante. Possiamo onludere he inf{an } = 0. Ma
0
non un elemento dell'insieme immagine della su
essione dunque
non esiste. La su
essione limitata.
Grao relativo ai primi elementi della su
essione { n1 }
I primi elementi dell'insieme immagine della su
essione { n1 }
min{an }
58
CAPITOLO 1.
Esempio 1.68
INSIEMI, NUMERI REALI E FUNZIONI
Si onsideri la su
essione
an =
{an }
denita da:
2n 5.n
Stabilire se possiede minimo, massimo, estremo superiore ed inferiore.
2n555n = 2 n . La su
essione strettamente resente infatti n5555quindi n < n+1 , 2 n < 2 n+1 , io an < an+1 n N.Possiamo onludere heSi ha
>
5n+1
min{an } = inf {an } = a1 = 3.Caloliamo ora l'insieme dei maggioranti della su
essione. Ogni numero 5 siuramente un maggiorante perh an = 2 n < 2. Non i sono altri55maggioranti infatti se y < 2 allora dall'equazione 2 n > y si ha n < 2 y ,55n > 2y(essendo 2 y > 0 la disequazione si onserva). Dunque se n > 2yan > y pertanto ogni y < 2 non un maggiorante.
2
Possiamo onludere he
sup{an } = 2. Ma 2 non un elemento dell'insiememax{an } non esiste.
immagine della su
essione dunque
Esempio 1.69
Si onsideri la su
essione
an = (1)n
{an }
denita da:
n1.n
Stabilire se possiede minimo, massimo, estremo superiore ed inferiore e se limitata.
(1)n = 1, se n dispari si ha (1)n = 1.n11Quindi per n pari an =n = 1 n . Considerando la restrizione dellasu
essione agli n pari si ottiene he l'estremo superiore 1, il massimo non1esiste, il minimo e l'estremo inferiore valgono 2 (poih n pari il minimo siottiene per n = 2).n11Per n dispari an = n = n 1, e onsiderando la restrizione della su
essione agli n dispari si ottiene he l'estremo inferiore 1, il minimo nonesiste, il massimo e l'estremo superiore valgono 0 (a1 = 0).Se
n
pari
Per rispondere alle domande dobbiamo ora onsiderare ongiuntamente il
aso
n
pari ed
n
inf{an } = 1,
dispari, si ottiene os he la su
essione limitata e si ha:
min{an }
non esiste,
sup{an } = 1,
max{an }
non esiste.
I primi elementi dell'insieme immagine della su
essione an = (1)n n1n .
1.6.
59
MAX, MIN, SUP ED INF DI FUNZIONI
Eserizi1. Per ogni funzione seguente alolarne gli eventuali sup,inf,max e min.
a) f : [2, 4] R,b) f : (3, 4] R,c) f : R R,d) f : [1, 3] \ {2} R,e) f : (7, 7) R,f ) f : (7, 7) R,g) f : R R,h) f : R+ R,i) f : R R,l) f : R+ R,
f (x) = 3 x.f (x) = |x|.f (x) = x2 1.f (x) = (2+x)(2x) .
1f (x) = 1xf (x) =1f (x) = x3 .3f (x) = 1+x.1f (x) = |x|+1.f (x) = x(1 x).
2. Stabilire per ogni valore del parametro
a) f (x) =
ax + 21x
se 0 x 2se 2 x < 0
x0.x 0, dunque xn1 < xn2 , possiamo quindi supporre he x1 > 0.Poih x1 < x2 , moltipliando nella disequazione prima per x1 , poi per x2222si ha: x1 x1 < x1 x2 e x1 x2 < x2 x2 , dunque x1 < x2 . Cos f (x) = x strett.32223
resente su R+ . Analogamente x1 = x1 x1 < x1 x2 < x2 x2 = x2 , dunque anhef (x) = x3 strett. resente su R+ . Proseguendo in questo modo si provanla stretta resenza (e quindi l'iniettivit) di ogni funzione potenza f (x) = x .Dimostrazione. Verihiamo la stretta resenza. Siano
allora
La suriettivit segue invee in modo immediato dal teorema di esistenza delleradii
n esime
Denizione 2.2
(vedi Teorema 1.2).
Si onsideri una funzione
f : R R.
f
f
pari se
x R.
f (x) = f (x)Diremo he
Diremo he
dispari se
f (x) = f (x)
x R.
Se una funzione pari il suo grao simmetrio all'asse
y,
se dispari il
suo grao simmetrio rispetto all'origine.Se
n
pari
f (x) = xn
pari, se
n
dispari
f (x) = xn
dispari (i ter-
mini funzione pari e funzione dispari derivano proprio dalle funzioni potenza).Torniamo ora al grao delle potenze.
Proposizione 2.3
Sia
f (x) = xn : R R.
n dispari f strettamente resente e biettiva.Se n pari f strettamente deresente nell'intervallo (, 0]sente in [0, +), la sua immagine l'insieme R+ .Se
e strett. re-
2.1.
65
POTENZE, ESPONENZIALI E LOGARITMI
Grao
Grao
di
di
f (x) = xn
f (x) = xn
on
on
n
n
pari
dispari
La denizione di potenza pu essere estesa anhe al aso di esponenti interinegativi:
Denizione 2.3mo
Dato un numero reale
x 6= 0
xn =
ed un numero naturale
n
denia-
1,xn
poniamo poi
x0 = 1.Con questa denizione, e se onsideriamo
x 6= 0,
valgono tutte le propriet
enuniate nella Proposizione 2.1, questa volta onsiderando
n, m Z.
66
CAPITOLO 2.
FUNZIONI ESPONENZIALI E TRIGONOMETRICHE
Grao
di
Grao
f (x) =
di
1xn on
f (x) =
n
1xn on
naturale dispari
n
naturale pari
Per il teorema di esistenza delle radii n-esime possiamo onsiderare altres
xn : R+ R+ (detta appunto funzione radie nesima).Inoltre poih se n dispari la potenza nesima biettiva e strett. resentesu tutto R, la radie n esima per n dispari biettiva e strettamente resentesu tutto R.la funzione inversa di
Proposizione 2.4biettiva. Per
n
nx : R+ R+denita su tutto R,
La funzione
strettamente resente e
x
strettamente resente e la
dispari
sua immagine tutto
n
R.
Su
essivamente verr usata anhe la notazione
n
1
x = xn .
2.1.
Proposizione 2.51.2.
Valgono le seguenti propriet
nx n y = n xy,pm nx = nm x,
Grao di
f (x) =
x, y R+ ,x R+ ,
Grao
67
POTENZE, ESPONENZIALI E LOGARITMI
Esempio 2.141) x52) x3)4)5)
x
di
n Nn, m N.
Grao di
f (x) =
nx
on
n
Risolvere la seguenti equazioni:
= 7,= 3,x6 = 2,x5 = 4,x3 3x7 = 0,
f (x) =
n
naturale dispari
x,
on
n
pari
68
CAPITOLO 2.
6)7)8)
FUNZIONI ESPONENZIALI E TRIGONOMETRICHE
x 3 = 5,4x = 5,4x 3 x = 4.
Risposta: 1) L'equazione x4 = 7 ha due soluzioni x = 4 7.2) La funzione
x = 5 3.
f (x) = x5
biettiva su
R,
quindi esiste una sola soluzione
x6 non assume valori negativi quindi l'equazione non ha soluzioni.554) La funzione x biettiva su R, l'equazione ha una sola soluzione x =4.34345) Si ha x (1 3x ) = 0, quindi si deve avere x = 0 oppure 1 3x = 0.Nel primo aso si ha la soluzione x1 = 0, nel seondo si hanno due soluzioniq3) La funzione
x2,3 = 4
13.
6) La radie quadrata assume solo valori
7) Si ha una sola soluzione8) Si deve avere
t2
= x.
x0
x=
54 .
0 quindi l'equazione non ha soluzioni.
(altrimenti la radie non denita). Posto
3t2
tt1 = 1, t2 = 43 .4x = 43 . La prima
Sostituendo nell'equazione si ottiene
+ 4 = 0.
t=
4x
si ha
Risolvendo tale
equazione si ottengono 2 soluzioniPertanto si hain quanto
4
4
x = 1
oppure
equazione non ha soluzioni
x assume solo valori positivi, la seonda ha ome soluzione x1 =
25681
he quindi l'unia soluzione dell'equazione.
Esempio 2.2
Risolvere la seguenti disequazioni:
41) x52) x3)4)5)6)7)8)
> 11, 3,x6 2,x5 4,37x 3x 0,x 3 5,4x 3 x > 4,2 x5 0.x3
Risposta: 1) La disequazione soddisfatti per valori esterni alle due
soluzioni, io per
x < 4 11
2) In virt della stretta resenza soddisfatta per
x
5
x > 4 11.5di f (x) = x
e per
si ha he la disequazione
3.
3) La disequazione soddisfatta da tutti i numeri reali.4)
x
5
5) Si haprodotto.
4 io x (, 5 4].x3 (1 3x4 ) 0. Risolviamo
qqx 0, (1 3x4 ) 0 per 4 13 x 4 13 .qq4 14 1soddisfatta per x (, ][0,33 ].
x3 0
disequazione
la disequazione analizzando il segno del
per
Quindi la
2.1.
69
POTENZE, ESPONENZIALI E LOGARITMI
6) La disequazione soddisfatta per ogniLa radie denita per
x3
x
per ui la radie quadrata denita.
dunque la disequazione soddisfatta per
7) Il dominio delle radii seonde e quarta
t = 4 x, risolvendo1 4 x 43 . La
rispetto alla variabile
4
x 0. Come in preedenzat si ottiene 1 t 43 .
x 3.
poniamoDunque
ondizione 1 x sempre soddisfatta, dalla seondax 256.In
onsiderazionedel dominio x 0 si ottiene81256
he la disequazione soddisfatta per 0 x 81 .22x858) Si ha 3 x 0, dunquexx3 0. Possiamo risolvere quindi la disequazioneanalizzando il segno del numeratore e quello del denominatore. Il numeratore disequazione otteniamo
positivo per
8 2 x 8 2,
x> 0possiamo8x (, 2] (0, 8 2].
il denominatore per
he la disequazione soddisfatta per
onludere
2.1.2 Funzioni potenza ad esponente realePossiamo ora denire la potenza ad esponente razionale di un numero positivo.
Denizione 2.4
Sia
x R+ ,
e sia
r=p
pq
xr = x q =
Q,q
dove
pZ
e
q N.
Deniamo
xp .
Nota 2.1
Un numero razionale ammette innite rappresentazioni nella formap2 4 20,adesempioq3 , 6 , 30 rappresentano lo stesso numero razionale. E' importantenella denizione preedente he la potenza ad esponente razionale non dipendapmpdalla rappresentazione selta. Questo vero, infatti presi q e mp (m N) siha:qmp
x mq =
qm
xpm =
pq m
xpm =
q
p
m
(xp )m =
q
p
xp = x q .
La potenza ad esponente razionale veria le stesse propriet della potenza
ad esponente naturale, infatti si ha:
70
CAPITOLO 2.
Proposizione 2.61.
xr xs = xr+s ,
2.
(xr )s = xrs ,
3.
xr y r = (xy)r ,
Nota 2.2
FUNZIONI ESPONENZIALI E TRIGONOMETRICHE
Valgono le seguenti propriet
x R+ ,
r, s Q,
x R+ ,
r, s Q,
x, y R+ ,
r Q.
Dalla denizione preedente si ottiene in partiolare:
n
1
x = xn .n esime
Con la nuova simbologia le propriet delle radii
sono pi semplii
da riordare in quanto derivano dalle propriet delle potenze.propriet
pnx=
m
nm
x,
Ad esempio la
assume ora la forma1
1
1
(x n ) m = x mn
he deriva immediatamente dalla 2. della Proposizione 2.6.
Esempio 2.3
Sempliare le seguenti espressioni:
4a) 5 10,
1 1 1345 10 = 5 4 2 2 5 2 = 5 4 2.1 137 = (7 3 ) 4 = 12 7.
Risposta:a)p
)
4
b)
4
56
c)b)
4
q4
37.6
3
56 = 5 4 = 5 2 =
125.
In base alle denizioni preedenti si pu determinare la monotonia divariare di
xr
sia al
x (tenendo sso l'esponente) he al variare di r (tenendo ssa la base).
Si ha:
f (x) = xr : R+ R strettamente resentestrettamente deresente se r < 0, ostante se r = 0;
g(r) = xr : Q R strettamentestrettamente deresente se 0 < x < 1.
la funzione
la funzione
se
resente se
r > 0,
x > 1
e
Questa seonda osservazione il punto di partenza della denizione di potenzaad esponente reale. Infatti
2.1.
71
POTENZE, ESPONENZIALI E LOGARITMI
Denizione 2.5L'insieme
x > 1 ed y R. Sia poi A = {r Q : r y}.B = {x : r A} limitato superiormente quindi ammetteSiar
estremo
superiore. Possiamo os denire:
xy = sup B = sup{xr : r y}.Se
0 < x < 1
e
y R
l'insieme
B = {xr : r A}
limitato inferiormente
quindi ammette estremo inferiore. Deniamo:
xy = inf B = inf{xr : r y}.Inne poniamo
1y = 1 y R.
Siamo os arrivati alla denizione della potenza ad esponente reale.
La
denizione os data veria tutte le propriet delle potenze da ui siamo partiti(le dimostrazioni di queste propriet, qui omesse, non sono semplii).
Proposizione 2.7
Valgono le seguenti propriet
1.
xy xz = xy+z ,
2.
(xy )z = xyz ,
3.
xz y z = (xy)z ,
x, y R+ ,
4.
x0 = 1,
x R+ , y R.
5. SeSe
x R+ ,x R+ ,
1y = 1
y, z R,y, z Rz R.
x > 1 e y1 < y2 allora xy1 < xy2 ;0 < x < 1 e y1 < y2 allora xy1 > xy2 .
Possiamo ora introdurre la funzione potenza ad esponente reale:
Proposizione 2.8
a > 0, strett.a 6= 0 f biettiva.
sente sePer
Nota 2.3in
0
f (x) = xa : R+ R+ a < 0, ostante se a = 0.
La funzione potenzaderesente se
strett. re-
aNel aso a > 0 onsidereremo la funzione potenza x denita anheaponendo 0 = 0 (nel aso a < 0 tale denizione non valida).
72
CAPITOLO 2.
Potenze
FUNZIONI ESPONENZIALI E TRIGONOMETRICHE
ad esponente reale
f (x) = xa
in dipendenza del'esponente
aR
2.1.3 Funzioni esponenziali e logaritmiheAbbiamo visto in preedenza ome sia possibile denire
on la base positiva, io
x > 0.
xy ,
Considerando la potenza
variabile si ottiene la funzione potenza
f (x) = xy
on
y
x, y R
ma
ostante e base
he abbiamo gi onsiderato
in preedenza, se invee si onsidera la base ostante e l'esponente variabile siottiene la funzione esponenziale
onfusione, indiheremo on
x
f (y) = xy
(nella denizione per, per non