ALGEBRA LINEARE.

Dato un insieme V e potendo definire:

1) Addizione: sommando ad un elemento di V un altro di V si ottiene un altro elemento di V

2) Moltiplicazione: moltiplicando un elemento di V con uno scalare (un numero reale) si ottiene un altro elemento di V.

(V, +, -): tale terna è detta SPAZIO VETTORIALE se sono soddisfatte alcune proprietà. Gli elementi di V prenderanno allora il nome di VETTORI.

Le proprietà da soddisfare riguardo all’addizione sono:

1) Associativa: x, y, z V (x+y)+z = x+(y+z)2) Commutativa: x, y V (x+y) = (y+x)3) Esistenza dell’elemento neutro: 0v V : x V x+0v = x4) Esistenza dell’opposto: x V y : x+y = 0v

Le proprietà da soddisfare riguardo alla moltiplicazione sono:

1) Associativa: a, b IR x V a*(b*x) = (a*b)*x2) Esistenza dell’elemento neutro: x V 1 : x*1 = x3) Distributiva: a, b IR x V (a+b)*x = a*x + b*x

È importante notare che: 0*x = 0a*0=0

La proprietà comune all’addizione e alla moltiplicazione è:

1) Distributiva: a IR x, y V a*(x+y) = a*x + a*y

L’insieme IR può essere considerato come uno spazio vettoriale: dato a IR posso moltiplicare/sommare a con uno scalare, ottenendo un altro numero reale, e valgono tutte le proprietà sopra elencate.Ogni numero reale può essere visto come un vettore che appartiene allo spazio vettoriale dei numeri reali.

P

La coppia ordinata (x1, y1) individua il punto P, ma ogni punto è caratterizzato da due coordinate. Ogni punto del piano può essere visto come un vettore, caratterizzato da due coordinate.

P1=(x1, y1)P2=(x2, y2)

ADDIZIONE: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+x2, y1+y2)MOLTIPLICAZIONE: a*(x, y) = (ax, ay)

Perché sia uno spazio vettoriale dimostro che valgono le proprietà:

ESISTE L’ELEMENTO NEUTRO: (x, y) + (0, 0) = (x, y)ESISTE L’OPPOSTO: (x, y) + (-x, -y) = (0, 0)

VALE LA COMMUTATIVA: (x1, y1) + (x2, y2) = (x2, y2) + (x1, y1)……..

IRIR è uno spazio vettoriale, i cui vettori sono le coppie di scalari.

Anche lo spazio tridimensionale è uno spazio vettoriale, i cui vettori sono triplette ordinate.

Un generico punto P è dato da una tripletta di coordinate (x, y, z)

SOMMA: (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)MOLTIPLICAZIONE: a*(x, y, z) = (ax, ay, az)

Le proprietà sono dimostrabili come per lo spazio bidimensionale.IRIRIR = IR3 è, quindi, uno spazio vettoriale.

Saranno spazi vettoriali anche IR4. IR5, IR6, … con punti P composti da (x1, x2, x3, x4, x5, …xn), cioè insiemi composti da ennuple.

Un elemento sarà caratterizzato da aij

i = indice di rigaj = indice di colonna

Esempio

a23 = 0a34 = 1

Una tabella di questo tipo è una MATRICE mn. Le matrici si indicano con lettere maiuscole.L’insieme delle matrici mn è uno spazio vettoriale, poiché ogni matrice può essere pensata come un vettore.

ADDIZIONE: somma di matrici con uno stesso numero di righe e colonne.

Date due matrici A e B, A+B darà luogo a una matrice C, il cui generico elemento sarà cij = aij + bij .

MOLTIPLICAZIONE: moltiplicare uno scalare per una matrice qualsiasi

Per dimostrare che una matrice è spazio vettoriale

bisogna a questo punto dimostrare le proprietà.

1) ESISTENZA DELL’ELEMENTO NEUTRO.

a11 a12 a13 a1n

a21 a22 a23 a2n

a31 a32 a33 a3n

am1 am2 am3 amn

5 3 2 17 -1 0 24 3 2 1

A=

1 -1 0 12 1 0 13 -1 2 1

5 3 2 17 -1 0 24 3 2 1

6 2 2 29 0 0 37 2 4 2

+ =

5 3 2 17 -1 0 24 3 2 1

15 9 6 321 -3 0 612 9 6 3

3* =

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

a31 a32 a3n

am1 am2 amn

0 0 00 0 00 0 00 0 0

= amn

2) ESISTENZA DELL’OPPOSTO.

amn - amn

……..

E’ uno spazio vettoriale perché valgono tutte le proprietà.

Si considerino ora tutti i polinomi di grado minore o uguale a 2, cioè del tipo:

ax2+bx+c

ADDIZIONE: (a1x2+b1x+c1) + (a2x2+b2x+c2) = (a1+a2)x2+(b1+b2)x+c1+c2

(è un altro polinomio di 2° grado)

MOLTIPLICAZIONE: d*(ax2+bx+c) = (da)x2+(db)x+dc(è un altro polinomio di 2° grado)

Le proprietà valgono tutte, quindi i polinomi di grado minore o uguale a 2 sono dei vettori dello spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2.Invece i polinomi di grado uguale a 2 non sono uno spazio vettoriale, perché potrebbe non esistere l’elemento neutro e perché si potrebbe ottenere in seguito ad addizione un polinomio di grado minore.

Generalizzando il discorso, tutti i polinomi di grado minore o uguale a m costituiscono uno spazio vettoriale.

Sottospazio vettoriale.

Dato SV (S sottoinsieme proprio di V), SV è un sottospazio vettoriale se e solo se S è spazio vettoriale.Dato SVS è spazio vettoriale se e solo se sono verificate queste tre condizioni indispensabili:

1) S

2) x, y x+y S

+

3) x S e a IR a*x S

Se l’insieme S non è vuoto e se è chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione, allora è un sottospazio vettoriale. Basta dimostrare queste tre condizioni per dimostrare che S sia un sottospazio vettoriale.

Si dimostra ora che una matrice triangolare alta (cioè quella matrice che sotto una diagonale presenta solo 0) è un sottospazio vettoriale dell’insieme delle matrici.

Esempio

Dimostriamo che valgono le tre condizione di sottoinsieme.

1) B0

2) Sommando due matrici triangolari alte ottengo un’altra matrice triangolare alta.

3)

Moltiplicando una matrice triangolare alta per uno scalare si ottiene un’altra matrice triangolare alta.

Si dicono sottospazi banali di V: V stesso e il sottoinsieme vettore nullo (0).Riguardo a IR2, sono sottospazi banali il vettore nullo (0,0) e IR2 stesso. Ma oltre a questi due sottospazi, IR2 ne ammette un altro.

a11 a12 a13

0 a22 a23

0 0 a33

= B

a11 a12 a13

0 a22 a23

0 0 a33

b11 b12 b13

0 b22 b23

0 0 b33

a11+b11 a12+b12 a13+b13

0 a22+b22 a23+b23

0 0 a33+b33

+ =

a11 a12 a13

0 a22 a23

0 0 a33

* cca11 ca12 ca13

0 ca22 ca23

0 0 ca33

=

y=mx

P

Dati i due vettori P1(x1, y1) e P2(x2, y2).

ADDIZIONE: (x1+x2, m(x1, x2))

MOLTIPLICAZIONE: a*(x, mx) = (ax, amx)

La retta passante per l’origine degli assi è un sottospazio di IR2. Invece, una retta non passante per l’origine degli assi non è un sottospazio di IR2, perché non incontra il vettore nullo.

Combinazione lineare finita.

Considerando n vettorix1, x2, x3, x4,…xn V

e considerando n numeri reali, detti combinatoric1, c2, c3, c4, … cn IR

si può affermare che:

x = c1x1 + c2x2 + c3x3 + … + cnxn

è una combinazione lineare finita.

È finita, perché di n elementi. È una combinazione perché gli elementi sono combinati tra loro attraverso le operazioni di somma e moltiplicazione. È lineare, perché ogni vettore che compare, compare linearmente (non ci sono quadrati).

La stessa scrittura può essere vista come:

ⁿi =1 Ci xi

Si ottiene attraverso una combinazione lineare finita un sottospazio vettoriale S di V, perché valgono le tre condizioni:

1) S (contiene almeno il vettore nullo).2) ⁿ

i =1 ci xi + ⁿi =1 di xi = ⁿ

i =1 (ci+di) xi

3) (c1x1 + c2x2 + cnxn)*a = ac1x1 + ac2x2 + acnxn

Questo particolare sottospazio prende il nome di sottospazio generato dai vettori x1, x2, x3, xn e si indica con la scrittura:

<x1, x2, x3, xn>

che è l’insieme di tutte le possibili combinazioni lineari finite di n vettori.

x1, x2, xn sono i generatori del sottospazio generato S: infatti, le loro possibili combinazioni danno S.Ogni elemento di S è, quindi, esprimibile come una particolare combinazione finita.

Esempio.S = <x1, x2, xn>x1 = (1, 0) IR2

x2 = (0, 1) IR2

Il punto V(x, y) può essere espresso come combinazione di x1 e x2.

V = x*(1, 0) + y*(0, 1) (x e y saranno i combinatori)V = (x, 0) + (0, y) = (x, y)

EsempioV(3, 7)V = 3*(1, 0) + 7*(0, 1)V = (3, 0) + (0, 7) = (3, 7)

IR2 = <(1, 0), (0, 1)>, perché ogni punto del piano può essere espresso come combinazione di questi vettori.

IR3 = <(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)>, perché ogni punto nelle tre dimensioni può essere espresso come combinazione di questi vettori.

Si definisce a questo punto lo SPAZIO FINITAMENTE GENERATO come spazio creato da un numero finito di vettori generatori.

Dipendenza e indipendenza lineare di vettori.

Dati dei vettori:x1, x2, x3, xn

Dati dei numeri reali:c1, c2, c3, cn

I vettori x1, x2, x3, xn sono linearmente dipendenti se esiste una loro combinazione lineare finita con combinatori non tutti nulli tale che

c1x1, c2x2, c3x3, cnxn = 0

Quindi, se riesco a ottenere il 0 come combinazione lineare usando combinatori non tutti nulli, i vettori sono linearmente dipendenti.

Viceversa: se l’unico modo per ottenere il vettore nullo è quello di porre tutti i combinatori uguali a 0, allora i vettori sono linearmente indipendenti.

Esempio:

Sono linearmente indipendenti

L’unico modo perché l’operazione sia uguale a 0 è che tutti i combinatori siano uguali a 0. Di conseguenza i vettori sono linearmente indipendenti.Esempio

Se c1 = 1 => c2 = -1/2

I vettori sono linearmente dipendenti perché la loro combinazione è uguale a 0 per c0.

Base di uno spazio vettoriale finitamente generato.

Una base di uno spazio vettoriale V è un insieme di vettori x1, x2, xn tali che:

1) V è lo spazio generato da x1, x2, xn (cioè i vettori sono generatori di V).

2) x 1, x2, xn sono linearmente indipendenti.

È importante l’”Una” perché di basi ce ne sono infinite.

100

010

001

100

010

001

c1* +c2* +c3*

c1

00

0c2

0

00c3

c1

c2

c3

+ + =

123

246 1

23

246

c1* +c2* = c1 + 2c2 = 02c1 + 4c2 = 03c1 + 6c2 = 0

c1 = -2c2

-4c2 + 4c2 = 0-6c2 + 6c2 = 0

1-1 = 02-2 = 03-3 = 0

Questi vettori sono linearmente indipendenti e sono generatori, quindi sono una base di IR3.

Questi vettori sono linearmente indipendenti, sono generatori, quindi sono una base di IRn. Questa base prende anche il nome di BASE CANONICA.

Proprietà delle basi.

1) x1, x2, xn = base di V ogni vettore x di V può essere espresso come unica combinazione lineare di x1, x2, xn.

Dimostrazione per assurdo:

Ip: x1, x2, xn = base di V Th: ogni vettore x di V può essere espresso come unica combinazione lineare di x1, x2, xn

Si suppone allora che ogni vettore possa essere espresso in due modi, anziché uno.

1) x = c1x1 + c2x2 + cnxn = ni=1 cixi

2) x = d1x1 + d2x2 + dnxn = ni=1 dixi

0 = ni=1 cixi - n

i=1 dixi (dc)0 = n

i=1 (ci-di)xi

i vari xi sono linearmente indipendenti perché per avere 0 bisogna che i combinatori siano 0, cioè

ci=di

e in questo modo si contraddice l’ipotesi per cui ci di.La combinazione può essere solo una e non più di una.

100

010

001

1000...0

0100...0

001...0

È possibile dimostrare che vale anche l’opposto della prima proprietà, cioè

1a) Se ogni vettore x può essere espresso in modo unico come combinazione lineare x1, x2, xn = base vettoriale di V

I vettori sono generatori, ma bisogna dimostrare, perché siano base, che siano linearmente indipendenti.

Il vettore 0 può essere espresso in modo unico:

0 = ni=1 ci xi

Il ci deve essere per forza uguale a 0 perché è l’unico modo per poter avere 0. I vettori sono quindi linearmente indipendenti.

Esempio

In IR

3

3, 5, 7 sono i combinatori o componenti del vettore rispetto alla base

EsempioIn Matrici 2x2

Creare una base significa cercare un insieme di matrici tali che siano

1) Indipendenti tra loro.2) Generatrici di tutte le matrici 2x2

- Sono linearmente indipendenti perché

x = (3, 5, 7) = 3*

100

+ 5* 010

+ 7* 001

= 357

a bc d

= a11 a12

a21 a22

1 00 0

0 10 0

0 01 0

0 00 1

1 00 00 10 00 01 00 00 1

c1 +c2 +c3 +c4 = 0 00 0

Per ottenere 0 è necessario porre ci=0- Sono generatrici perché

Ogni matrice 2x2 è ottenuta come combinazione lineare delle 4 matrici iniziali.

2) Ogni spazio vettoriale finitamente generato ammette (almeno) una base. C’è sempre un numero finito di vettori che genera uno spazio vettoriale.

3) Ogni base di uno spazio vettoriale finitamente generato ha lo stesso numero di vettori.

Esempio.

In IR3

Le basi sono infinite, ma hanno tutte lo

stesso numero di vettori.

4) Se n sono i vettori (linearmente indipendenti) della base, n+1 vettori sono linearmente dipendenti.

Esempio

1 00 0

0 10 0

0 01 0

0 00 1a11 +a12 +a21 +a22 =

a11 a12

a21 a22

100

010

001

è base.

anche

200

020

002

è base perché

200

020

002

x/2* +y/2* +z/3* =xyz

In IR3 una base contiene 3 vettori. Se in IR3 considero un insieme di 4 vettori, essi sono linearmente dipendenti. Il numero massimo di vettori indipendenti è, quindi, 3 (in IR2 è 2, in IRn è n).

Il numero massimo dei vettori linearmente indipendenti prende anche il nome di DIMENSIONE DELLO SPAZIO (IR2=2, IR3=3, IRn=n, M(2x2)=4).

Anche un sottospazio vettoriale, in quanto spazio vettoriale, ha almeno una base.

Esempio.

In IR2, ogni retta passante per l’origine è un sottospazio vettoriale.Y=2x è sottospazio vettoriale.P(x, 2x) = questo insieme di punti è un sottospazio.Per capire la dimensione di ogni base basta trovarne una.

P1(1, 2) è una base del sottospazio perché:

1) è generatore. Infatti,

x*(1, 2) = tutti i punti della retta y=2x

2) è linearmente indipendente. Infatti,

La dimensione è 1 perché basta un vettore per generare il sottospazio.

Esempio.

In M(2x2), ogni matrice triangolare alta 2x2 è spazio vettoriale.Si cerca una base per capire la dimensione del sottospazio.

12

c* = 00

c=0

1 00 0

0 10 0

0 00 1

1 00 0

0 10 00 00 1

a11* +a12* +a22*=a11 a12

0 a22

È una base vettoriale canonica e la dimensione dello spazio è 3

Se si conosce la dimensione dello spazio (n), per trovare una base basta trovare n vettori linearmente indipendenti.

S è sottospazio di V dim S dim VS = V dim S = dim V

Esempio.

Dimostrare che è una base di IR3

1) Sono linearmente indipendenti.

Questa uguaglianza si può ottenere solo con ci=0, perché

2) Sono generatori, perché

Funzioni lineari.

Si dice funzione lineare quella funzione che ha come dominio e codominio due insiemi uguali a spazi vettoriali.

Come funzione, valgono tutte le proprietà delle funzioni non lineari.

In generale si può dire che una funzione f:VW è lineare se:

1) x, y V f(x)+f(y)=f(x+y)2) x V a IR f(a*x) = a*f(x)

v1=011

v2=120

v3=001

011

120

001

c1* +c2* +c3 =

000

c2=0c1+2c2=0 c1=0c1+c3=0 0+c3=0

011

120

001

x1* +x2* +x3 =abc x2=a

x1+2x2=bx1+x3=c

x2=ax1=b-2ax3=c-b+2a

1) V W 2) V W

Esempio.

f:IRIRf(x)=ax (retta passante per l’origine)

è una funzione lineare perché:

1) f(x1) + f(x2) = f(x1+x2)ax1 + ax2 = a(x1+x2) = f(x1+x2)

2) f(b*x) = b*f(x)a*(bx) = b*(ax)

Esempio.

f: IRIRf(x) = ax+q (retta con intercetta q)

non è una funzione lineare perché

1) f(x1) + f(x2) = f(x1+x2)f(x1) + f(x2) = a(x1+q) + a(x2+q) = a(x1+x2) + 2qf(x1+x2) = a(x1+x2) + qf(x1+x2) f(x1) + f(x2)

La funzione è lineare solo nel caso in cui q=0

Esempio.

f: IR3IR2

f(x, y, z) = (x-y, z)

La funzione è lineare perché

xy

x+y

f(x)f(y)

f(x+y)

x

a*x

f(x)

f(a*x)

1) f(x1, y1, z1) + f(x2, y2, z2) = f(x1+x2, y1+y2, z1+z2)f(x1, y1, z1) + f(x2, y2, z2) = (x1-y1, z1) + (x2-y2, z2) = x1-y1+x2-y2, z1+z2 =

= x1+x2-y1-y2, z1+z2 = ((x1+x2) – (y1+y2), z1+z2)f(x1+x2, y1+y2, z1+z2) = ((x1+x2) – (y1+y2), z1+z2)

2) f(a*x) = a*f(x)f(ax) = (ax-ay, az) = (a(x-y), az) = a(x-y, z) = a*(f(x))

Esempio.

f: M(2x2)IR

1) a11+a22 + b11+b22 = a11+b11+a22+b22 = a11+a22+b11+b22

2) Dispensa.

Proprietà delle funzioni lineari.

1) f(c1x1 + c2x2 + cnxn) = c1*f(x1) + c2*f(x2) + cn*f(xn)

2) f: VW

f(0v) = 0w

f(0v) = f(0*0) = 0*f(0v) = 0w

3) f(-x) = f(-1*x) = -1*f(x) = -f(x)

4) f lineare f: VW V W

a11 a12

a21 a22f = a11+a22

0v

0w

V Wf

F(V)

Se f(V)W f(V) è uno spazio vettoriale

Dimostrazione che f(V) è sempre sottospazio vettoriale di W nelle funzioni lineari.

1) f(V), perché contiene almeno 0 (0v0w)

2) con z e w f(V)Wz+wf(V) (per la 2° proprietà)xV; xf(x)=z ( xV:f(x)=z)yV; yf(y)=w ( yV:f(y)=w)f(x)=z

f(y)=wf(x)+f(y)=z+wf(x)+f(y) = f(x+y) = z+w (appartiene a W ed è immagine di x+y)

3) z f(V)a*z f(V) x V : f(x)=zf(a*x) = a*f(x) = a*za*z = f(a*x)

f è sottospazio vettoriale di W e in questo caso f(V)=Im f.

Nucleo (o Kerf) di una funzione lineare.

Dicesi nucleo o Kerf l’insieme di tutti i vettori di V che hanno come immagine il vettore nullo di W.

Kerf = xV : f(x)=0w

Se f non è iniettiva oltre al vettore 0v possono esserci altri vettori la cui immagine è 0w

e il Kerf è l’insieme i questi più 0v.

Il Kerf è sottospazio vettoriale di V:

1) Kerf (perché c’è almento 0v con immagine 0w).

xax

f(x)=zf(ax)

2) x Kerf f(x) = 0w

yKerf f(y) = 0w

x+yKerf f(x)+f(y) = f(x+y) = 0w

3) x Kerf f(x) = 0w

a*xKerff(a*x) = a*(f(x)) = a*0w = 0w

Kerf è un sottospazio vettoriale. Di conseguenza se contiene x0v, contiene infiniti vettori, perché, come spazio vettoriale, conterrà anche ax, bx, cx,… L’alternativa è che contenga un unico vettore, cioè 0v (o solamente 0v oppure infiniti vettori).

Proprietà del Kerf.

1) f: VW linearef iniettiva Kerf = =0v

Dimostrazione che se f iniettiva Kerf = 0vSi suppone per assurdo che x0v : f(x) = 0w

La funzione non può essere iniettiva perché f(0v)=0w e f(x)=0w

Dimostrazione che se Kerf=0 f iniettiva.Si suppone per assurdo che f non sia iniettiva e quindi f(x1)=f(x2) con x1 x2.f(x1)-f(x2)=0w

f(x1-x2)=0w , ma x1-x2 0v, quindi è impossibile.

2)Teorema delle dimensioni.

V W

KerfImf

dim Kerf + dim Imf = n = dim V

Se il Kerf contiene solo il vettore nullo (cioè ha un solo elemento), come qualsiasi altro sottospazio, allora si dice che ha dimensione 0. In base alla regola sopra esposta è possibile sapere quando una funzione lineare è suriettiva in base alla dimensione.

Esempio.Sapendo che dim V = 3, dim W = 3, dim Kerf = 0

0 + dim Imf = 3

La funzione è suriettiva perché dim V = dim Imf.

Esempio.Sapendo che dim Kerf = 1, dim V = 3

1 + dimf = 3

dimf = 2

La funzione non è suriettiva.

Esempio.

f: IR3IR2

f(x1, x2, x3) = (ax1 + 2ax2, x3) con aIR(a(x1+2x2), x3)Calcolo il Kerf per conoscere la sua dimensione.

Con a=0f(x1, x2, x3) = (0, x3).In questo caso il Kerf sarà dato da tutti quei vettori che avranno come 3° componente lo 0, cioè x3=0.

Esempio.f(3, 5, 0) = (0, 0) = 0

Il Kerf sarà cioè dato da tutti quei vettori del tipo:x1, x2, 0 = Kerf

Trovando la base canonica, il vettore diventa:x1(1, 0, 0) + x2(0, 1, 0) = (x1, x2, 0)

La dim Kerf = 2, perché servono due vettori per una base.dim Kerf + dim Imf = 32 + 1 = 3

Con a0

Kerf = -2x2, x2, 0che può essere anche espresso come: x2(-2, 1, 0). La dim Kerf =

1.

dim Kerf + dim Imf = 31 + 2 = 3

Moltiplicazione tra una matrice e un vettore.

Si ottiene un vettore di n componenti; il prodotto fra una matrice e un vettore può essere effettuato se e solo se il vettore ha lo stesso numero di componenti degli elementi che compongono ogni riga della matrice.

La matrice può essere pensata come una funzione che prende un vettore, lo trasforma moltiplicandolo e lo rende ancora un vettore.

A=f : IRnIRm

Valgono, infatti, le stesse proprietà delle funzioni anche per le matrici:A(x+j) = A * x + A * jA(c*x) = c*A*x

a(x1+2x2) = 0x3 = 0 (x1+2x2) = 0

x3 = 0

x1 = -2x2

x3 = 0

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

a31 a32 a3n

am1 am2 amn

x1

x2

x3

xn

a11x1 + a12x2 + a1nxn

a21x1 + a22x2 + a2nxn

a31x1 + a32x2 + a3nxn

am1x1 + am2x2 + amnxn

=*

nj=1 a1jxj

nj=1 a2jxj

nj=1 a3jxj

nj=1 amjxj

=

Teorema delle rappresentazioni.

f: IRnIRm

1) Am*n : f(x) = Ax2) La matrice A ha come colonne i trasformati mediante f della base canonica

f(ej) = aj (dove aj è la jesima colonna di A).f(e1) = a1

f(e2) = a2

f(en) = an

f(e1) = a1 = Ae1

Ax = f(x)Xx = x1e1 + x2 e2 + xnen

Ax = A(x1e1+x2e2+xnen) = x1Ae1+x2Ae2+xnAen = x1a1+x2a2+xnan == x1f(e1)+x2f(e2)+xnf(en) = f(x1e1)+f(x2e2)+f(xnen) = f(x1e1+x2e2+xnen) = f(x)

C’è una corrispondenza biunivoca tra le funzioni e le matrici di rappresentazione. L’utilità di porre f(x)=A(x) è enorme: ci permette di dire tutto su una funzione in maniera molto semplice.

Esempio.

f(x1, x2, x3) = (x1+2x2, x3-2x1)f: IR3IR2

La matrice di rappresentazione avrà n=3 e m=2, cioè sarà A(2x3).

f(e1) = f(1, 0, 0) = (1, -2) (è la prima colonna della matrice)f(e2) = f(0, 1, 0) = (2, 0) (è la seconda colonna della matrice)f(e3) = f(0, 0, 1) = (0, 1) (è la terza colonna della matrice)

Moltiplicando la matrice per il generico vettore si avrà la funzione:

1 2 0-2 0 1

A=

1 2 0-2 0 1

x1

x2

x3

= (x1+2x2, -2x1+x3)*

Trasmissione della linearità nella composizione di funzioni lineari.

1) Addizione fra funzioni lineari.

f: IRnIRm C.E.: dominio e codominio di f e g coincidonog: IRnIRm

f, g lineari

(f+g)(x) è lineare, perché

1) (f+g)(x+y) = (f+g)(x) + (f+g)(y)

(f+g)(x+y) = f(x+y)+g(x+y) = f(x)+f(y)+g(x)+g(y) = (f+g)(x)+(f+g)(y)

2) cIR xIRn (f+g)(cx) = c(f+g)(x)

f: IRnIRm A(mxn)

g: IRnIRm B(mxn)

(f+g): IRnIRm C=A+B

La somma di funzioni lineari è una funzione lineare e la sua matrice di rappresentazione è la somma delle matrici di rappresentazione delle singole funzioni.

2) Moltiplicazione fra funzioni lineari.

f: IRnIRm linearec IR

c * f(x) è lineare

f(x) = A(mxn)

c*f(x) = c*A(mxn)

3) Composizione di funzioni lineari.

La funzione composta di due funzioni lineari è lineare.

f: IRpIRm

g: IRnIRp

C.E.: codominio di g coincide con il dominio di f.

f∘g è lineare perché

f∘g = f(g(x)): IRn→IRm

IRn IRp IRm

1) (f∘g)(x+y) = (f∘g)(x)+(f∘g)(y)(f∘g)(x+y) = f(g(x+y)) = f(g(x)+g(y)) = f(g(x)) + f(g(y))

2) (f∘g)(cx) = c(f∘g)(x)f(g(cx)) = f(c*g(x)) = c*f(g(x))

g: IRnIRp = B(pxn)

f: IRpIRn = A(mxp)

fog: IRnIRm = C=A*B (il numero di righe di B = numero di colonne di A)

La composizione di funzioni è uguale al prodotto di matrici .

Prodotto di matrici.

A2x3 B3x2

C2x2

g f

2 3 10 1 2

1 30 22 1

* = 4 134 4

C=

c11 c12

c21 c22

c11 = 1° riga della prima matrice per la 1° colonna della seconda matrice.c12 = 1° riga della prima matrice per la 2° colonna della seconda matrice.c21 = 2° riga della prima matrice per la 1° colonna della seconda matrice.c22 = 2° riga della prima matrice per la 2° colonna della seconda matrice.

cij = pk=1 aik * bkj => ai1*b1j + ai2 * b2j + ai3 * b3j

C.E.: numero di righe di A = numero di colonne di B.

Analogamente con le funzioni:

A * B B * Af∘g g∘ f

Ma ci sono alcune eccezioni:

f∘f-1 = f-1∘ ff∘Id = Id∘ f

per cui

A*A-1 = A-1*AIn * A = A * In

A*B = matrice nulla.

Non è sempre vero che, per ottenere la matrice nulla, sia necessario che A o B sia la matrice nulla in un prodotto A*B.

Esempio.

2+0+2 6+6+10+0+4 0+2+2

C=

1 00 0

A=

B=1 00 0

In questo esempio si è ottenuta la matrice nulla senza che una delle due matrici fattori fosse nulla.

Matrice identità.

In = matrice identità.

Esempio.

È una matrice quadrata (n*n) tale che: A(nxn)* In = In * A(nxn)

Matrice invertibile.

Una matrice A quadrata (n*n) è invertibile se esiste una matrice B quadrata tale che A*B = B*A = In

B è detta mattrice inversa di A e si indica con A-1, per cui

A*A-1 = A-1*A = InPerché esista A-1, A deve essere iniettiva e suriettiva.

Una funzione, infatti, è invertibile se e solo se: f: IRnIRn

dim Kerf = 0dim Imf = ndim Kerf + dim Imf = nn = n, quindi f è iniettiva e suriettiva

Se f: IRnIRn è lineare e invertibile, la funzione inversa sarà anch’essa lineare.

La matrice di f-1 è la matrice inversa, cioè quella matrice che, combinata con A, sia uguale a A*A-1 = In.

f: IRnIRn

f(x) = A(x) è invertibile A è invertibile

0 01 1

0 01 1

* = 0 00 0

1 0 00 1 00 0 1

I3 =

Determinante di una matrice.

Data una matrice A(nxn) quadrata, è possibile definire il determinante, cioè un numero che la qualifica.

Il determinante viene definito in maniera induttiva, servendosi cioè del determinante della matrice quadrata (n-1)*(n-1).

- Determinante della matrice 1*1.

A = (a)Det A = |A| = aIl determinante di una matrice 1*1 è il numero che la compone.

- Determinante della matrice n*n.

Data una matrice quadrata:

Per poter definire il determinante è necessario prendere in esame la definizione di:

1) Minore complementare (Mij): determinante della matrice quadrata che si ottiene togliendo la riga iesima e la colonna jesima. Si avrà così un calo unitario nella matrice che diventerà (n-1*n-1).

2) Complemento algebrico (Aij): il determinante della matrice quadrata che si ottiene togliendo la riga iesima e la colonna jesima moltiplicato alla –1 ed elevato alla i+j.Aij=(-1)i+j Mij

Mnxn IRDet.

a11 a12 a1j a1n

a21 a22 a2j a2n

ai1 ai2 aij ain

an1 an2 anj ann

A=

Se i+j è pari Mij = Aij

Se i+j è dispari Aij = -Mij

Esempio.

Considerando ora

nk=1 a1k A1k = det A = |A|

a1k = ogni elemento della prima riga.A1k = complemento algebrico.

Matrice 2*2

È stato calcolato così il determinante in base alla prima riga.

Matrice 3*3

= a11*a22*a33 – a11*a23*a32 .…(ci si riconduce al caso del determinante di matrice 2*2)

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33 a11 a13

a31 a33Mij=

a11 a13

a31 a33

Aij = Mij =

a11 a12

a21 a22A=

det A = |A| = a11 a12

a21 a22= a11*a22 – a12*a21

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

det B = == a11 a22 a23

a32 a33

-a12 a21 a23

a31 a33

+a13 a21 a22

a31 a32

Matrice 4*4

Per calcolare il determinante di una matrice 4*4 ci si riconduce al caso di una matrice 3*3 e, con un secondo passaggio al caso di una matrice 2*2.

È importante rilevare che il determinante può essere sviluppato anche secondo una colonna e non solo secondo una riga, infatti è valida la scrittura:

det A = |A| = nk=1 aik*Aik = n

k=1 akj*Akj

Esempio.

In questo caso conviene calcolare il determinante in base alla 1° colonna, perché ci sono molti zeri e i calcoli sarebbero notevolmente semplificati.

Proprietà del determinante.

1) Il determinante di una matrice con una colonna o una riga composta da 0 è 0.

2) Il determinante non cambia se a una riga aggiungo un’altra riga moltiplicata per un numero.

In questo esempio è stata moltiplicata la

prima riga per –2 ed è stata poi sommata algebricamente alla seconda riga; è stata ottenuta una riga di 0, per cui il determinante è 0. Dall’esempio si può anche dedurre che in due matrici il determinante è 0 anche se ci sono righe/colonne proporzionali.

Esempio.

1 2 30 5 -10 4 1

= ….

1 1 12 2 21 -1 3

=

1 1 12-2 2-2 2-21 -1 3

1 1 10 0 01 -1 3

= = 0

1 2 1 30 1 1 -10 1 3 32 1 3 5

Moltiplico la 1° riga per –2 e la sommo con l’ultima riga.

Sommo la 3° colonna con la 1° colonna

Sommo la 2° riga alla 3° colonna

3) Il determinante della matrice identità è uguale a 1.

|In| = 1

4) Moltiplicando i complementi algebrici di una riga per i complementi algebrici di un’altra riga e sommandoli si ottiene 0.

ik=1 aik*Ajk = 0

5) Moltiplicando i complementi algebrici di una colonna per i complementi algebrici di un’altra colonna e sommandoli si ottiene 0.

nk=1 akj*Aki = 0

6) Teorema di Binet.

Date A, B(nxn) (quadrate)

1 2 1 30 1 1 -10 1 3 30 -3 1 -1

= 1*1 1 -11 3 3-3 1 -1

=

0 1 -14 3 3-4 1 -1

=

0 1 -14 3 30 4 2

= -4* 1 -14 2

= -4

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

= 1

|A*B| = |A|*|B|

7) Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da 0.Di conseguenza una funzione è invertibile se e solo se il determinante della sua matrice di rappresentazione è diverso da 0.

Dimostrazione che A invertibile |A|0A*A-1 = A-1*A = In|A*A-1| = 1 |A|0 et |A-1|0 (e sono l’uno il reciproco dell’altro).

Dimostrazione che |A|0 A invertibileSi inserisce B(nxn) : bijB = Aji/|A||A|0 per ipotesi.

A*B = InB*A = InB è l’inversa di A = A-1

A B

Si moltiplica la prima riga

per la prima colonna.

Si moltiplica la 1° riga per la 2° colonna.

a11 a12 a13 a1n

a21 a22 a23 a2n

an1 an2 an3 ann

A11/|A| A21/|A| An1/|A|A12/|A| A22/|A| An2/|A|A2n/|A| A2n/|A| Ann/|A|

*

= |A|/|A| = 1a11A11 + a12A12 + …a1nA1n

|A|

A11A21 + a12A22 + … a1nA2n

|A|= 0

Per il calcolo della matrice inversa si può seguire una scala di operazioni:

bij = Aji/|A|

1) Calcolare il |A|.

2) Se |A|0 (altrimenti non è invertibile), si calcola la matrice dei complementi algebrici.

3) Si fa la trasposta della matrice dei complementi algebrici (si scambiano le righe con le colonne).

4) Si divide la trasposta per |A|.

Righe e colonne di una matrice.

ri e ci sono tutti vettori. ci e ri appartengono a sottospazi vettoriali diversi (ad esempio IR1 e IR4)

f(x) = Ax

A11 A12 A1n

A21 A22 A2n

An1 An2 Ann

A11 A21 An1

A12 A22 An2

A1n A2n Ann

= At

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn

= r1

= r2

= rm

|| || ||c1 c2 c3

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn

x1

x2

xn

=

=

a11

a21

am1x1 +

a12

a22

am2x2 +

a1n

a2n

amn

A) Considerando lo spazio generato dalle colonne:

C = <c1, c2, cn> = Ax

Lo spazio generato dalle colonne, dato da tutte le possibili combinazioni di cn, coincide con l’insieme immagine della funzione, che ha la matrice A come matrice di rappresentazione.

B) Considerando lo spazio generato dalle righe:

R = <r1, r2, rn>

dim R = dim C

Il numero massimo di colonne linearmente indipendenti è uguale al numero massimo di righe linearmente indipendenti, per cui dim R = dim C.

Dato che l’insieme generato dalle colonne è l’immagine dei vettori, il numero massimo di colonne linearmente indipendenti sarà uguale alla dimensione dell’immagine:

dim C = dim Ax = dim f(x)

Avendo la dim A(x) posso calcolare anche la dim Ker A(x) e stabilire la suriettività, l’iniettività e, quindi, l’invertibilità della funzione.

Caratteristica o rango di una matrice.

Data una matrice A(mxn) si dice rango di A e si indica con k(A) il numero massimo di righe (o di colonne) linearmente indipendenti.

Rango di matrici quadrate.

xn = Ax

Il rango di una matrice quadrata è direttamente legato al determinante di una matrice. Per una matrice quadrata, infatti, le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1) k(A) = n2) Le righe di A sono linearmente indipendenti3) Le colonne di A sono linearmente indipendenti4) Il determinante di A è diverso da 0

Quindi,

k(A) = n n righe linearmente indipendentik(A) = n n colonne linearmente indipendenti

Dimostrazione che k(A) = n |A|0.

K(A) = n n colonne linearmente indipendenti dim Imf = n f suriettiva dim kerf = 0 (dim kerf + n = n) f iniettiva f è invertibile |A|0

Dimostrazione che |A|0 k(A) = n.

|A|0 f invertibile f iniettiva f suriettiva dim Imf = n n colonne linearmente indipendenti k(A) = n

Questa ultima proposizione può essere molto utile se viene richiesto se dei vettori sono linearmente indipendenti.

Esercizio.

Dati (2, 5, 7), (4, 2, 1), (-1, -3, 4) in IR3 dire se i vettori sono linearmente indipendenti.

|A|0 i vettori sono linearmente indipendenti.

Rango di matrici rettangolari (m*n).

Data una matrice rettangolare A(mxn), si definisce

2 4 -15 2 -37 1 4

A =

Minore di ordine k il determinante di una sottomatrice (k*k) di A, formata dagli elementi comuni a k righe e k colonne.

Esempio.

|B| = minore di ordine 3

Si può affermare che, data una matrice A(mxn), k(A) è rIN (un numero naturale)

se esiste un minore di ordine r0 e se tutti i minori di ordine r+1 sono eguali a 0.

Esempio.

Sono tutte le sottomatrici possibili. Se un determinante è

diverso 0, allora il rango è 3. Se tutti i determinanti sono uguali a 0 si prova con i determinanti delle matrici 2*2.

Il determinante di a) è uguale a 0, perché ci sono due colonne uguali.Il determinante di b) è uguale a 0, perché ci sono due colonne uguali.Il determinante di c) è uguale a 0, perché basta sommare la 1° colonna alla 2°.Il determinante di d) è uguale a 0, perché basta sommare la 1° colonna alla 2°.

Tutti i minori di ordine 3 sono uguali a 0, quindi il rango è minore di 3. Si prova con le matrici 2*2

Considerando

3 -1 0 2 54 3 2 -1 13 2 4 1 03 0 5

4 2 13 4 0

B =

(è una sottomatrice 3*3)

1 1 -1 12 2 -2 30 0 0 -1

a) una sottomatrice 3*3: 1 1 -12 2 -20 0 0

b) una sottomatrice 3*3: 1 1 12 2 30 0 -1

c) una sottomatrice 3*3:1 -1 12 -2 30 0 -1

d) una sottomatrice 3*3:1 -1 12 -2 30 0 -1

-2 30 -1

= C

|C| = 2 0.Per ogni n+1 il determinante è uguale a 0.RANGO = 2

Esempio.

f: IR3IR2

f(x1, x2, x3) = (x1+x2, x2-x3)E’ una funzione suriettiva?

dim Imf = k(Ax)

f(1, 0, 0) = (1, 0)f(0, 1, 0) = (1, 1)f(0, 0, 1) = (0, -1)

La matrice A(2x3) può avere al massimo un k(Ax) uguale a 2

|B| = 1 k(A) = 2dim Imf = 2dim kerf +2 = 3 1+2 = 3La funzione è suriettiva.

Sistemi di equazioni lineari.

b1, b2, … bm = vettore dei termini noti.

Traducendo la scrittura in una matrice: Amxn*x = b

1 1 00 1 -1

A=

1 10 1B=

a11x1+ a12x2 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

am1 am2 amn

IRn IRm

Risolvere il sistema significa trovare tutti i vettori x che hanno come immagine b, detto anche antiimmagine di x.

Il sistema poteva anche essere scritto in un terzo modo, cioè:

Risolvere il sistema significa, quindi, determinare quei combinatori che, moltiplicati per le colonne, danno origine a b. b è, di conseguenza, combinazione lineare finita delle colonne.

Se non esiste nessun x, il sistema non ha soluzione e si dice incompatibile.

Se esiste uno e un solo x, il sistema è detto determinato compatibile.

Se esiste più di un x, esisteranno infiniti x e il sistema sarà detto indeterminato compatibile.

x1

x2

x3

=b1

b2

b3

x bA b ha n componenti

x ha n componenti

a11

a21

am1

* x1 +a12

a22

am2

* x2 +a1n

a2n

amn

* xn =

b1

b2

b3

Teorema di Rouché-Capelli.

Stabilisce in modo rapido la condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema sia compatibile.

Data una matrice Amxn (con mn o m=n)

A x = b compatibile k(A) = k(A/b)

A/b (data da A + la colonna dei termini noti) è detta anche matrice completa.A è detta anche matrice incompleta.

Il teorema di Rouché-Capelli afferma che un sistema di disequazioni lineari è compatibile se e solo se il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa.

- Dimostrazione che Ax = b compatibile k(A) = k(A/b)

a1 a2

an b

Considerando V = <a1, a2, an> (spazio generato dalle colonne = Imf) V1 = <a1, a2, an, b>

Ax = b compatibile b è esprimibile come combinazione lineare finita delle colonne di A bV V=V1 (in V1 b è solo ripetuto perché è già compreso in V) dim V = dim V1 k(A) = k(A/b)

(N.B. dim V = massimo numero di colonne linearmente indipendenti = k(A))

- Dimostrazione che k(A) = k(A/b) Ax = b compatibile.

k(A) = k(A/b) dim V = dim V1 V=V1 bV Ax = b compatibile

Teorema di Kramer.

a11 a12 a1n b1

a21 a22 a2n b2

am1 am2 amn bm

A/b =

a11

a21

am1

* x1 +a12

a22

am2

* x2 +a1n

a2n

amn

* xn =b1

b2

b3

Si riferisce a sistemi quadrati (il numero di incognite è uguale al numero di equazioni). Permette di risolvere suddetti sistemi, esprimibili con una matrice quadrata del tipo Anxn.

Ax = b ha una solo soluzione bIRn |A|0- Dimostrazione che Ax = b ha una sola soluzione |A|0

Dato che vale per ogni b, si può dimostrare con b = 0, per cui Ax=0 (è detto sistema omogeneo)

Ax = 0 Ker A = 0 Kerf = 0 f iniettiva f suriettiva f invertibile |A|0

N.B. f: IRnIRn

Dim Kerf + dim Imf = n dim Imf = n n = n

- Dimostrazione che |A|0 Ax = b con una solo soluzione.

|A|0 A-1

Ax = b A-1*Ax = A-1*b In x = A-1b x = A-1b

N.B.: non vale A-1*Ax = b*A-1, perché l’operazione al secondo membro non è definita.

xj = riga jesima per b = A1j/|A| * b1 + A2j/|A| * b2 + … + Anj/|A| * bn =

A1j b1 + A2j b2 + Anj bn

= |A|

Il numeratore della frazione è il determinante secondo la colonna jesima di una matrice del tipo

A11/|A| A21/|A| An1/|A|A12/|A| A22/|A| An2/|A|A1j/|A| A2j/|A| Anj/|A|A1n/|A| A2n/|A| Ann/|A|

x1

x2

xj

xn

=

b1

b2

bn

*

= C

in cui la colonna jesima è uguale a (b1, b2, bn).Da ciò si deduce che

x = |C|/|A|

Esempio.

La matrice di rappresentazione del sistema è:

Se |A|0 si può utilizzare il metodo di Kramer.

|A| = 2 0

è la colonna dei termini noti

è la colonna

dei termini noti

SOLUZIONE = (0, ½, ½)Per i sistemi non quadrati è possibile utilizzare ugualmente il metodo di Kramer, riconducendosi a sistemi quadrati.

Esempio.

a11 a12 b1 a1n

a21 a22 b2 a2n

an1 an2 bn ann

x + y + z = 1x – y + z = 0x + 2y = 1

Sistema quadrato

1 1 11 -1 11 2 0

A =

1 1 10 -1 11 2 0

x = * ½ = 0

1 1 11 0 11 1 0

y = * ½ = 1/2

1 1 11 -1 01 2 1

z = * ½ = 1/2

Se k(A) = k(A/b) il sistema ammette soluzioni.

k(A) 2

k(A) = 2

k(A/b) 2

k(A/b) = 2

k(A) = k(A/b)

SOLUZIONI:

Z può essere pensato come parametro, quindi, come termine noto e non come variabile.

È la colonna dei termini noti sostituita.

SOLUZIONI : ((5z+22)/17, (9z+9)17, z) => infinite soluzioni

2x – 3y + z = 15x + y – 2z = 7

2 -3 15 1 -2

A=

2 -35 1

0

2 -3 1 15 1 -2 7

A/b =

2 -35 1

0

2x – 3y = 1 – z5x + y = 7 + 2z

2 -35 1

= 17

1-z -37+2z 1

x = * 1/17 = [(1-z) + 3(7+2z)]/17 = (5z+22)/17

2 1-z5 7+2

z

y = * 1/17 = [2(7+2z)-(1-z)5]/17 = (9z+9)/17