11 apr 2023 11

Matematica GeneraleMatematica Generale

Derivate

A cura diBeatrice Venturi

11 apr 202311 apr 202322

1. INTRODUZIONE AL CONCETTO DI 1. INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DERIVATADERIVATA

Problema: determinare la tangente in un generico punto ad una curva data.Tale problema venne risolto dai greci in modo elementare nel caso della circonferenza.

11 apr 202311 apr 202333

Circonferenza e retta Circonferenza e retta tangentetangente

11 apr 202311 apr 202344

1. INTRODUZIONE AL CONCETTO DI 1. INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DERIVATADERIVATA

Per determinare la tangente in un punto abbiamo bisogno di conoscere la sua inclinazione, cioè il suo coefficiente angolare.Dati due punti:

)0,0(0 yxP ),( yxP

11 apr 202311 apr 202355

INTRODUZIONE AL CONCETTO DI INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DERIVATADERIVATA

Consideriamo

0xxx 0yyy

variazione delle ascisse

variazione delle ordinate

xy

11 apr 202311 apr 202366

INTRODUZIONE AL CONCETTO DI INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DERIVATADERIVATA

Inclinazione o coefficiente angolare di una retta ( è la tangente trigonometrica all’angolo )Tasso o saggio di accrescimento della variabile y rispetto alla variabile x

11 apr 202311 apr 202377

Definizione di derivataDefinizione di derivata

11 apr 202311 apr 202388

Definizione di funzione Definizione di funzione derivabilederivabile

Data una funzione f(x) definita in un intervallo I=(a,b) si dice che è derivabile in I se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale xI.

lxx

xfxf

x

yxxxx

0

0 )()(limlim

00

11 apr 202311 apr 202399

Retta tangenteRetta tangente

Data una funzione f(x) definita in un intervallo I=(a,b), l’equazione della retta tangente alla curva f(x) nel

punto di ascissa x0 è:

y=f(x0)+f’(x0)(x- x0)

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Retta TangenteRetta Tangente

Tangent examplef(x)=50ln(x)/x^2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

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Definizione della derivata Definizione della derivata primaprima

In tutti i punti in cui fa f(x) è derivabile risulta definita una nuove funzione che si indica con f’(x) oppure con D1f(x).La funzione f’(x) assume i valori della derivata della funzione f(x) calcolata per lo stesso valore della x.f’(x) si chiama derivata prima della funzione f(x).

11 apr 202311 apr 20231212

Definizione della derivata Definizione della derivata secondaseconda

Si chiama derivata seconda della funzione f(x) la derivata prima della funzione f’(x).In tutti i punti in cui fa f(x) è derivabile due volte risulta definita la derivata seconda che si indica con f’’(x) oppure con D2f(x).

11 apr 202311 apr 20231313

Relazione tra derivabilità e Relazione tra derivabilità e continuitàcontinuità

Una funzione f(x) derivabile in un punto x è anche continua nello stesso punto.

derivabilità continuitàSe una funzione

f(x) è continua in un punto x NON è detto che sia anche

derivabile.

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Relazione tra derivabilità e Relazione tra derivabilità e continuitàcontinuità

Contro esempio: y=|x| valutato nell’origine.

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Punto angolosoPunto angoloso

11 apr 202311 apr 20231616

Punto angolosoPunto angolosoData una funzione f(x) definita in un intervallo

I = (a,b), sia x I

11 apr 202311 apr 20231717

Punto con tangente verticalePunto con tangente verticaleo flesso verticaleo flesso verticale

11 apr 202311 apr 20231818

Punto con tangente verticalePunto con tangente verticaleo flesso verticaleo flesso verticale

Data una funzione f(x) definita in un intervallo I = (a,b), sia x I

11 apr 202311 apr 20231919

CuspideCuspide

11 apr 202311 apr 20232020

CuspideCuspide

Data una funzione f(x) definita in un intervallo I = (a,b), sia xI

11 apr 202311 apr 20232121

Regole di derivazioneRegole di derivazione

Se f(x) e g(x) sono derivabili in (a,b) allora valgono le seguenti regole:

11 apr 202311 apr 20232222

Regole di derivazioneRegole di derivazione

Addizione e sottrazione:

11 apr 202311 apr 20232323

Regole di derivazioneRegole di derivazione

Prodotto:

11 apr 202311 apr 20232424

Regole di derivazioneRegole di derivazione

Rapporto : nei punti in cui g(x)0

11 apr 202311 apr 20232525

Regole di derivazioneRegole di derivazione

Logaritmo :

11 apr 202311 apr 20232626

Regole di derivazioneRegole di derivazione

Esponenziale:

11 apr 202311 apr 20232727

Regole di derivazioneRegole di derivazione

Potenza (1) :

11 apr 202311 apr 20232828

Regole di derivazioneRegole di derivazione

Potenza (2):

11 apr 202311 apr 20232929

Regole di derivazioneRegole di derivazione

Prodotto per una costante:

11 apr 202311 apr 20233030

Regole di derivazioneRegole di derivazione

Funzione inversa:Se y=f(x) è una funzione crescente (decrescente) e derivabile nell’intervallo (a,b) allora è dotata di inversa e, in tutti i punti in cui è f’(x)0, anche la sua funzione inversa f -1(y) è derivabile e si ha:

11 apr 202311 apr 20233131

Regole di derivazioneRegole di derivazione

Funzione composta:Una funzione y=f[g(x)] composta per mezzo di due funzioni derivabili è anch’essa derivabile e si ha che la sua derivata è data da:

11 apr 202311 apr 20233232

Derivate notevoliDerivate notevoli

Funzione potenza: xR e nN

11 apr 202311 apr 20233333

Derivate notevoliDerivate notevoli

Funzione esponenziale: xR e a>0

11 apr 202311 apr 20233434

Derivate notevoliDerivate notevoli

Funzione logaritmica: x>0 e a>0

11 apr 202311 apr 20233535

Derivate notevoliDerivate notevoli

Funzione radice: x 0 e nN

11 apr 202311 apr 20233636

Derivate notevoliDerivate notevoli

Funzione iperbole: xR \{0}