MATEMATICA FINANZIARIA

Docente: prof. Filippo Petronifpetroni@gmail.com

Principali regimi finanziari

• Interesse semplice (sconto razionale)

• Sconto commerciale (capitalizzazione iperbolica)

• Interesse (e sconto) composto

Interesse semplice• Nel regime dell’interesse semplice l’interesse prodotto è

proporzionale al capitale investito ed alla durata dell’investimento =>

I(t)=αCtdove α è una costante >0

Posti C=1 e t=1 => I(1)= α, quindi α è l’interesse prodotto nell’unità di tempo da un capitale unitario => è un tasso d’interesse e quindi lo indicheremo con i =>

I(t)=iCtDove i è il tasso d’interesse periodale riferito all’unità di

misura usata per t

Interesse semplice

• In funzione del tasso d’interesse periodale il tasso d’interesse corrispondente ad una operazione di durata t sarà

i(t) = i t• La legge di formazione del montante sarà

M(t)=C+I(t)=C+Cit=C(1+it)• E quindi il fattore di capitalizzazione

r(t)=1+it

Interesse semplice

• Nel regime dell’interesse semplice interesse I e montante M hanno un andamento lineare rispetto al tempo =>

M=M(t)=C(1+it)

I=I(t)=CitC

t0

Interesse semplice

• L’interesse I(t) risulta non soltanto proporzionale al capitale impiegato C ma e’ anche funzione lineare di t e del tasso periodale

I(i,C,t1+t2) = iC(t1+t2) = iCt1 + iCt2 = I(i,C,t1)+I(i,C,t2) In generale I(i,C,kt)= k I(i,C,t) I(i1+i2,C,t) = (i1+i2)Ct = i1Ct + i2Ct= I(i1,C,t)+I(i2,C,t) In generale I(ki,C,t)= k I(i,C,t)

Interesse semplice

• Tassi d’interesse equivalenti nel regime dell’interesse semplice:– Se si cambia l’unità di misura del tempo cambia anche

la determinazione del tasso periodale d’interesse i=it– Tassi periodali relativi alla stessa legge ma con

riferimento a periodi diversi vengono detti equivalenti– Se tassi equivalenti vengono applicati allo stesso C per

lo stesso tempo t danno luogo allo stesso interesse I– Es. is=ia/2

Interesse semplice

• Tasso di sconto e fattore di attualizzazione– Il tasso di sconto d per una operazione di durata t

sarà:

– Possiamo scriverlo in termini del tasso periodale:

it

it

ti

titd

1)(1

)()(

d

di

i

i

i

id

11)1(1

)1()1(

dt

dttd

)1(1)(

Interesse semplice

• Posto K il capitale disponibile al tempo t possiamo scrivere le relazioni per lo sconto D(t) ed il valore attuale P(t)

it

itK

dt

dtKtKdtD

1)1(1)()(

it

K

dt

dKtdKtDKtP

1)1(1

1))(1()()(

Interesse semplice

• Nel regime dell’interesse semplice lo sconto non ha un andamento lineare ma va come il rapporto tra due funzioni lineari => è detto sconto razionale

D=D(t)

P=P(t)

K

t

Interesse semplice

• Anche per il tasso di sconto d come per il tasso di interesse i, il valore dipende dall’unità di misura utilizzata per il tempo => d relativi ad unità di tempo diverse si ottengono da:

dt

dttd

)1(1)(

Interesse semplice

• Capitalizzazione degli interessi– Nella pratica l’interesse semplice si applica solo

per brevi periodi– L’investitore ha interesse a ridurre al minimo la

durata dell’investimento e reinvesti gli interessi maturati

– Un’operazione di questo tipo prende il nome di “capitalizzazione degli interessi” => gli interessi vengono trasformati in capitale

Interesse semplice

• Abbiamo visto che per una operazione di durata t il montante prodotto è dato da C(1+it)

• Supponiamo di interrompere l’operazione in un istante s<t, incassare il montante C(1+is) e reinvestirlo per il tempo residuo t-s =>

)1())(1())(1)(1( 2 itCistsitCstiisC

Interesse semplice

C

M

s t

Capitalizzazione degli interessi nel punto s<t

Interesse semplice

• E quindi conviene fermare l’operazione e reinvestire il “nuovo” capitale a disposizione

• Possiamo verificare che conviene dividere il tempo in intervalli uguali s=t/2 trovando il massimo della funzione

2)( sststs

22)(

tsststs

ds

d

Interesse semplice

• Se è possibile dividere l’intervallo di tempo n-1 volte il vantaggio maggiore si ha per n intervalli uguali =>

n

n

Ti

n

Ti

n

Tin

Ti

Ti

Tin

iTn

111

21

21

212

112

Interesse semplice

• Se considero n molto grande fino a prendere il limite per n che tende ad infinito ottengo:

• Quando n tende ad infinito il montante M(t)=eit => cresce esponenzialmente.

• Prende il nome di capitalizzazione continua

Tin

ne

n

Ti

1lim

Sconto commerciale• Consideriamo il regime finanziario in cui

d(t) = d tCon d(1) tasso di sconto periodale costanteD(t)=K d tv(t) = 1 – dtP(t)= K v(t) = K (1-dt)In analogia con il caso precedente questo regime

finanziario è anche detto dello “sconto semplice” o “interesse anticipato semplice” o “sconto commerciale”

Sconto commerciale

• Notiamo che in questo caso è lo sconto ad avere un andamento lineare con il tempo

D=D(t)=Kdt

P=P(t)=K(1-dt)

K

t0

Avendo posto P(t)>0 esite un limite di applicabilità di questo regime => t≤1/d

Sconto commerciale

• Dalle definizioni appena date possiamo trovare il fattore di capitalizzazione r, il tasso d’interesse i =>

it

it

dt

dttrti

it

i

dtttr

)1(111)()(

)1(1

1

1

1

)(

1)(

Sconto commerciale

• Allo stesso modo troviamo montante M(t) e interesse I(t) =>

it

itC

dt

dtCtCitI

it

iC

dt

CtCrtM

)1(11)()(

)1(1

1

1)()(

Situazione simmetrica rispetto a quella dell’interesse semplice =>legge di capitalizzazione iperbolica

Sconto commerciale

M=M(t)

I=I(t)

C

t0

1/d

Sconto commerciale

• Capitalizzazione degli interessi– In questo caso la capitalizzazione degli interessi

maturati è svantaggiosa per l’investitore, vediamo perché:

– Questa volta la seconda equazione è minore della prima, infatti invertendo

11

1

))(1()1()()(

)1()(

stddsstrsr

dttr

)1())(1())(1)(1( 2 dtstsddtstdds

Sconto commerciale

• I tassi equivalenti si ottengono dad(t)= d t

esattamente come nel caso dell’interesse semplice