Matematica e Fisica Strumenti matematici di base · Matematica e Fisica Strumenti matematici di...

Matematica e Fisica Strumenti matematici di base

Triennio sez. G pag. 1

SSStttrrruuummmeeennntttiii mmmaaattteeemmmaaatttiiiccciii dddiii bbbaaassseee

pppeeerrr mmmaaattteeemmmaaattt iiicccaaa eee fff iiisssiiicccaaa iiinnn ttteeerrrzzzaaa111

IIInnndddiiiccceee

1 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE .........................................................................................3

1.1 Funzioni fondamentali .................................................................................................................................3

1.2 Funzioni inverse............................................................................................................................................3

1.3 Teoremi dei triangoli rettangoli ..................................................................................................................4

2 I VETTORI ..........................................................................................................................5

2.1 Somma di due vettori ...................................................................................................................................5

2.2 Differenza di due vettori ..............................................................................................................................6

2.3 Prodotto di un vettore per uno scalare.......................................................................................................6

2.4 Combinazione lineare di vettori..................................................................................................................6

2.5 Prodotto scalare di due vettori....................................................................................................................6

2.6 Prodotto vettoriale di due vettori................................................................................................................7

3 LE MATRICI........................................................................................................................8

3.1 Operazioni con le matrici ............................................................................................................................8

3.1.1 Somma e differenza di matrici dello stesso tipo........................................................................................83.1.2 Prodotto di una matrice per uno scalare ....................................................................................................93.1.2.1 Applicazione ai vettori .....................................................................................................................9

3.1.3 Prodotto di matrici ...................................................................................................................................103.1.3.1 Prodotto scalare di vettori ..............................................................................................................10

3.2 Determinanti ...............................................................................................................................................11

3.2.1.1 Prodotto vettoriale di vettori ..........................................................................................................113.2.1.2 Area di un parallelogramma nel piano ...........................................................................................11Area di un triangolo nel piano ..........................................................................................................................123.2.1.4 Condizione di allineamento di 3 punti ...........................................................................................123.2.1.5 Volume del tetraedro......................................................................................................................12

3.2.2 Matrice inversa ........................................................................................................................................12

3.3 Matrici e trasformazioni geometriche......................................................................................................13

3.3.1 Isometrie ..................................................................................................................................................13

1 La trattazione è sintetica. Prevede l’introduzione in classe. I paragrafi con * sono più complessi e si possono saltare. Su “Matrici e trasformazioni geometriche” sono stati seguiti i suggerimenti della prof. Deborah Bianchi.



3.3.2 Traslazioni ...............................................................................................................................................133.3.3 Isometrie con l’origine unita....................................................................................................................143.3.3.1 * La condizione di isometria ..........................................................................................................143.3.3.2 Simmetrie assiali ............................................................................................................................153.3.3.3 Simmetria centrale .........................................................................................................................153.3.3.4 Simmetria rispetto a y=x ................................................................................................................163.3.3.5 Rotazione: la generica isometria diretta.........................................................................................163.3.3.6 * Simmetria rispetto a y=mx: la generica isometria inversa ..........................................................16

3.3.4 Composizione di trasformazioni..............................................................................................................173.3.4.1 Rototraslazioni ...............................................................................................................................17

3.3.5 * Similitudini ...........................................................................................................................................183.3.5.1 Omotetie .........................................................................................................................................183.3.5.2 Similitudini con l’origine unita ......................................................................................................18

3.3.6 * Affinità con l’origine unita...................................................................................................................193.3.6.1 Trasformazioni di Galileo ..............................................................................................................203.3.6.2 Trasformazioni di Lorentz..............................................................................................................20

3.4 Matrici e sistemi lineari .............................................................................................................................21

3.4.1 Regola di Cramer.....................................................................................................................................22

4 LE DERIVATE E GLI INTEGRALI .......................................................................................23

4.1 Limiti e derivate .........................................................................................................................................23

4.1.1 Limite di f(x) ...........................................................................................................................................234.1.2 Rapporto incrementale di f(x) .................................................................................................................234.1.3 Derivata di f(x) ........................................................................................................................................24

4.2 Integrali .......................................................................................................................................................24

4.2.1 Integrale definito di f(x) ..........................................................................................................................25



111 LLLEEE FFFUUUNNNZZZIIIOOONNNIII GGGOOONNNIIIOOOMMMEEETTTRRRIIICCCHHHEEE

111...111 FFFUUUNNNZZZIIIOOONNNIII FFFOOONNNDDDAAAMMMEEENNNTTTAAALLLIII

Circonferenza "goniometrica" Γ: x²+y²=1.Angolo θ: a partire dall’origine degli archi (angoli) A, in senso antiorario.Individua su Γ il punto P.Seno di θθθθ: ordinata del punto P

Coseno di θθθθ: ascissa del punto P

Tangente di θθθθ: θθ

θcos

sen:=tg

Le definizioni non dipendono dal raggiounitario della crf goniometrica, ma solodall’angolo θ.Sono tutte misure di un angolo. Ad

esempio, la tangente è la classica "pendenza" x

y

∆∆ (coefficiente angolare m

della retta).Si verifica facilmente la relazione fondamentale della goniometria:

sen²x + cos²x = 1

La calcolatrice scientifica da’ i valori di seno (sin), coseno (cos) e tangente (tan) di un angolo.

Esercizio: Con la calcolatrice trova seno, coseno e tangente dell’angolo di 48°.Dell’angolo α del II quadrante si sa che senα=1/3. Trova coseno e tangente.Qual è il coefficiente angolare di una retta che forma un angolo di 70° con il semiasse negativo delle y?

111...222 FFFUUUNNNZZZIIIOOONNNIII IIINNNVVVEEERRRSSSEEE

Per ogni funzione esiste l’inversa (con opportune restrizioni che incontreremo).L’angolo il cui seno è x è dato dalla funzione arcoseno, arsen(x).L’angolo il cui coseno è x è dato dalla funzione arcocoseno, arcos(x).L’angolo la cui tangente è x è dato dalla funzione arcotangente, artg(x).

La calcolatrice scientifica dà i valori delle funzioni inverse.

Arsen(x) si ottiene di solito con i tasti inv sin, o 2nd sin, o sin-1.Arcos(x) si ottiene di solito con i tasti inv cos, o 2nd cos, o cos-1.Artg(x) si ottiene di solito con i tasti inv tan, o 2nd tan, o tan-1.

• La notazione usata qui è quella del tuo libro di testo. Gli altri libri più frequentemente usano arcsen, arccos, arctg.

• Nei riquadri di questi appunti troverai a volte la tangente nominata tan, invece di tg, a causa della convenzione di Equation Editor di Word, che troverai

anche in Excel e nei principali linguaggi di programmazione, oltre che, probabilmente sulla tua calcolatrice.

Esercizio: Con la calcolatrice trova l’angolo formato con il semiasse positivo delle x dalla retta y=1.5x+2Quali angoli hanno il coseno uguale a –0.3?

θ

senθ

O(0,0) cosθ A(1,0)

P(cosθ,senθ)

I quadranteII quadrante

III quadrante IV quadrante

ρ

θ

ρsenθ

O(0,0) ρcosθ A(ρ,0)

P(ρcosθ,ρsenθ)



111...333 TTTEEEOOORRREEEMMMIII DDDEEEIII TTTRRRIIIAAANNNGGGOOOLLLIII RRREEETTTTTTAAANNNGGGOOOLLLIII

In un triangolo ABC, rettangolo in A, β e γ sono gli angoli acuti di vertici B e C, a è l’ipotenusa, b e c sono i catetiopposti ai vertici B e C.

Per le definizioni delle funzioni goniometriche e per la similitudine dei triangoli, vale:

( )

( )

( )rettangolitriangoliteoremaIItantan

tantan

rettangolitriangoliteoremaIcoscos

coscos

rettangolitriangoliteoremaIsensen

sensen

γβγβ

γβγβ

γβγβ

cbaacab

bcaabac

cbaacab

====

====

====

Memorizza così (da qui ricavi le inverse):

cateto = ipotenusa ×××× sen (angolo opposto)cateto = ipotenusa ×××× cos (angolo adiacente)cateto1 = cateto2 ×××× tangente (angolo opposto a cateto1)

Esercizio. Completa la tabella con riferimento alla figura sopra e usando la calcolatrice.

Angolo β Ipotenusa a Cateto b Cateto c Angolo γ

25° 10

25° 10

25° 10

10 6

Completa la tabella senza usare la calcolatrice.

Angoloβ

Angolo γ senβ cosβ tgβ Ipotenusa a Cateto b Cateto c

30° l

60° l

30° h

30° h

45° d

45° l

45° l

B

a

γ

A

C

β

b

c



222 III VVVEEETTTTTTOOORRRIII

Un vettore è una coppia (modulo ρ, argomento θ) e rappresenta un segmento

orientato nello spazio (o nel piano, al quale ci limiteremo qui per semplicità): a =(ρ, θ) (forma polare)

Nello spazio deve essere definita una unità di misura lineare e una direzione diorigine degli angoli (semiasse positivo x).

Il vettore può essere assegnato per componenticartesiane:a = (ax, ay) (forma cartesiana)

Una componente negativa indica che, in quella direzione, il verso della componente èopposto a quello dell’asse.

È facile dimostrare che le trasformazioni da forma cartesiana a polare e viceversasono date dai sistemi diretto e inverso:

=

+=

=

=

x

y

yx

y

x

a

a

aa

a

a

arctgsen

cos22

ϑ

ρ

ϑρϑρ

Esercizio. Dato il vettore in forma polare a=(10,20°), scrivi la sua forma cartesiana. Dato il vettore a=(3,5), scrivi la sua formapolare.

222...111 SSSOOOMMMMMMAAA DDDIII DDDUUUEEE VVVEEETTTTTTOOORRRIII

Siano a = (ax, ay), b = (bx, by). Il vettore somma c è dato da:

c = a + b = (ax+bx, ay+by)

Si dimostra facilmente che la definizione conduce ai seguenti due procedimenti grafici.

Esercizio. Somma i vettori dati in forma cartesiana a=(3,-2) e b=(-1,4). Che angolo forma il risultato con il semiasse positivodelle x?Somma i vettori dati in forma polare a=(10,20°) e b=(5,40°).

y

x

θρ

a

ay

y

x

axa

b

ax

y

x

aya

by

bx

a+b

b

ax

y

x

aya

Metodo del parallelogramma

by

bx

a+b

b

ax

y

x

aya

Metodo punta-coda

θ

ρ

ax

y

x

aya



by

bx

a-b

b

ax

y

x

aya

222...222 DDDIIIFFFFFFEEERRREEENNNZZZAAA DDDIII DDDUUUEEE VVVEEETTTTTTOOORRRIII

Il vettore opposto di a = (ρ, θ) = (ax, ay) è il vettore:-a = (ρ, -θ) = (-ax, -ay).

La differenza di due vettori è il vettore che sommato al secondo dà il primo:c = a - b = (ax-bx, ay-by)

La figura ne ricorda la costruzione (dalla punta di b verso quella di a).

Esercizio. Sottrai il vettore a=(3.-2) dal vettore b=(-1,4).

222...333 PPPRRROOODDDOOOTTTTTTOOO DDDIII UUUNNN VVVEEETTTTTTOOORRREEE PPPEEERRR UUUNNNOOO SSSCCCAAALLLAAARRREEE

Si ottiene, senza modificare l’argomento, moltiplicando il modulo del vettore perlo scalare.

Se a = (ax, ay), dunque:

ka = (kax, kay)

Se k<0, il vettore ka ha il verso opposto di a.

222...444 CCCOOOMMMBBBIIINNNAAAZZZIIIOOONNNEEE LLLIIINNNEEEAAARRREEE DDDIII VVVEEETTTTTTOOORRRIII

Si può definire la combinazione lineare di due vettori a e b secondo le costanti λ e µ:

λa + µbSe i e j rappresentano i versori degli assi del piano (vettori di modulo unitario, con direzione e verso dell’asse),ogni vettore a del piano può essere scritto come combinazione lineare dei versori secondo le sue componenticartesiane:a = ax i + ay j

Esercizio. Dati i vettori a=(3,5) e b=(-2,-6), trova il vettore combinazione lineare di coefficienti rispettivamente 3 e 2.Scrivi il vettore, dato in forma polare, a=(10,15°) utilizzando i versori.

222...555 PPPRRROOODDDOOOTTTTTTOOO SSSCCCAAALLLAAARRREEE DDDIII DDDUUUEEE VVVEEETTTTTTOOORRRIII

È lo scalare (grandezza non vettoriale) ottenuto moltiplicando il modulo del primo vettore per il modulo della

componente del secondo sulla retta del primo.c = a × b = |ab| ⋅ |b|

Si dimostra facilmente che il prodotto scalare è commutativo:c = a × b = |ab| ⋅ |b| =|a| ⋅ |ba| = b × a

Si dimostra inoltre che, se α è l’angolo formato da a e b:c = a × b = |a|⋅|b| cosαInfatti, per il I teorema dei triangoli rettangoli:|ab| = |a| cosα o anche: |ba| = |b| cosα

Se a // b, allora a × b = |a|⋅|b|

Esercizio. Trova il prodotto scalare dei vettori a=(3,2) e b=(2,6).

αab

b

y

x

a

ka

ay

y

x

ax a

k=3



222...666 PPPRRROOODDDOOOTTTTTTOOO VVVEEETTTTTTOOORRRIIIAAALLLEEE DDDIII DDDUUUEEE VVVEEETTTTTTOOORRRIII

Il prodotto vettoriale c dei vettori a e b è il vettore che ha:• direzione perpendicolare al piano formato da a e b;• verso definito dalla regola della mano destra;• modulo uguale al prodotto dei moduli per il seno dell’angolo formato da a e b.

c = a ∧ b |c| = |a ∧ b| = |a|⋅|b| senα (area del parallelogramma formato da a e b)

La regola del verso impedisce la commutatività del prodotto vettoriale: a ∧ b = – b ∧ a

Se a // b, allora a ∧ b = 0



333 LLLEEE MMMAAATTTRRRIIICCCIII

Matrice numerica di tipo m × n è una tabella ordinata di m righe e n colonne.

Am,n = [aik] =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

Matrici dello stesso tipo hanno lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne.

Matrici uguali hanno tutti gli elementi ordinatamente uguali.

Matrice trasposta AT della matrice A, quella per cui:

a’ik = aki ∀∀∀∀i,k

Matrice quadrata di ordine n quando n=m

Diagonale principale di matrice quadrata, gli elementi a11, a22, … ann

Diagonale secondaria di matrice quadrata, gli elementi a1n, a2,n-1,… an-1,2, an1

Matrice simmetrica di matrice quadrata, la matrice quadrata con aik = aki ∀i,k

Matrice identica In di ordine n, la matrice quadrata con aik = 0, se i≠k, e aik = 1, se i=k

Excel

Una matrice in Excel è un set rettangolare di valori che viene evidenziato e denominato utilizzando la cella NOME

Negli esempi di Excel che seguono con le lettere A, B, C, si intenderanno matrici già denominate.

333...111 OOOPPPEEERRRAAAZZZIIIOOONNNIII CCCOOONNN LLLEEE MMMAAATTTRRRIIICCCIII

333...111...111 SSSooommmmmmaaa eee dddiiiffffffeeerrreeennnzzzaaa dddiii mmmaaatttrrriiiccciii dddeeellllllooo sssttteeessssssooo tttiiipppooo

Am,n = [aik], Bm,n = [bik] Cm,n = Am,n + Bm,n = [cik] = [aik + bik]

Commutativa, associativa, dotata di elemento neutro (la matrice nulla, composta solo da zeri) e di elementoinverso (la matrice opposta, formata dagli stessi elementi cambiati di segno).

Esercizio. Somma le matrici A =

−

−

211

002

043

e B =

−

−

033

210

541

.

Osserva che la loro differenza è la somma di A con la matrice opposta di B.

Excel

La somma e differenza tra matrici si esegue con i simboli + e -. Le matrici devono essere dello stesso tipo.La formula deve essere inserita in uno spazio della dimensione esatta del risultato atteso.Selezionare il rettangolo di celle dove si vuole la soluzione e digitare:=A+B <Ctrl+Shift+Enter>



333...111...222 PPPrrrooodddooottttttooo dddiii uuunnnaaa mmmaaatttrrriiiccceee pppeeerrr uuunnnooo ssscccaaalllaaarrreee

Am,n = [aik], k ∈ R, Cm,n = k Am,n = [cik] = [kaik]

Esercizio. Trova la matrice combinazione lineare di A =

−

−

211

002

043

e B =

−

−

033

210

541

secondo i coefficienti 2 e -2.

Excel

Il prodotto di uno scalare per una matrice si esegue con il simbolo *.La formula deve essere inserita in uno spazio della dimensione esatta del risultato atteso.Selezionare il rettangolo di celle dove si vuole la soluzione e digitare:=k*B <Ctrl+Shift+Enter>Si ottiene lo stesso risultato con:=B*k <Ctrl+Shift+Enter>In Excel si può eseguire in modo analogo la divisione tra un numero e una matrice o viceversa:=B/k <Ctrl+Shift+Enter> =k/B <Ctrl+Shift+Enter>

Una funzione implementata in Excel è MATR.SOMMA.PRODOTTO che esegue la somma dei prodotti dei termini dellamedesima posizione di due matrici rettangolari dello stesso tipo.È utile, ad esempio, per eseguire medie pesate. Se A è la matrice (vettore) dei valori e P quella dei pesi, la media pesata èdata da:=MATR.SOMMA.PRODOTTO(A;P)/SOMMA(P)

3.1.2.1 Applicazione ai vettori

I vettori del piano sono matrici 2x1.

Somma e differenza:

±

±=±=

=

=

yy

xx

y

x

y

x

ba

babac

b

bb

a

aa

Prodotto per uno scalare:

==∈

=

y

x

y

x

ka

kaakcRk

a

aa

Combinazione lineare:

+

+=

+

=+

=

=

yy

xx

y

x

y

x

y

x

y

x

ba

ba

b

b

a

aba

b

bb

a

aa

µλµλ

µλµλ

Caso particolare

=

+

=

+

=+=

=

=

=

y

x

y

x

yxyx

y

x

a

a

a

aaajaiaaji

a

aa

0

01

0

0

1

1

0

0

1

Si dice che i e j sono una base del piano (che è un tipo di “spazio vettoriale”) poiché con una loro combinazione lineare sipossono scrivere tutti i vettori del piano.

Nello spazio tridimensionale una base è data dai vettori:

=

=

=

1

0

0

0

1

0

0

0

1

kji



333...111...333 PPPrrrooodddooottttttooo dddiii mmmaaatttrrriiiccciii

Matrici conformabili Am,n e Bp,q, quando n=p (numero di righe della seconda= numero colonne della prima)Il prodotto tra matrici si può eseguire solo se sono conformabili e vienechiamato anche prodotto righe per colonne.La matrice prodotto Am,n ⋅ Bn,q ha m righe e q colonne:Cm,q = Am,n ⋅ Bn,q

Ogni posizione i,k è ottenuta sommando i prodotti degli elementi della i-simariga di A per i corrispondenti elementi della k-sima colonna di B.

kibacn

j

kjjiki ,1

,,, ∀⋅=∑=

Il prodotto tra matrici è associativo, non commutativo, non dotato di elemento neutro.

Per le matrici quadrate l’elemento neutro esiste: è la matrice identica In

∃In : ∀ An,n An,n ⋅ In = In ⋅ An,n = An,n

=

100

010

001

3I

Vale la proprietà:

La matrice trasposta di una matrice prodotto è il prodotto delle matrici trasposte effettuato in ordine inverso:

(A ⋅⋅⋅⋅ B)T = BT ⋅⋅⋅⋅ AT

Esercizio. Moltiplica le matrici A =

−

−

211

002

043 e B =

−

−

033

210

541. Moltiplica le loro trasposte e verifica la proprietà.

Excel

Il prodotto tra le matrici Amxn e Bnxp si esegue con la funzione:=MATR.PRODOTTO(A;B) <Ctrl+Shift+Enter>

3.1.3.1 Prodotto scalare di vettori

[ ] yyxx

y

x

yx

t babab

baaBAbac +=

⋅=⋅=×=

come si può provare eseguendo il prodotto con l’utilizzo delle matrici dei versori i, j



333...222 DDDEEETTTEEERRRMMMIIINNNAAANNNTTTIII

Si definisce solo per matrici quadrate.Il determinante detA di una matrice quadrata A è definito come l’unico elemento se la matrice è di ordine 1, ocome la differenza dei prodotti degli elementi della diagonale principale e degli elementi della diagonalesecondaria se la matrice è di ordine 2:

122122112221

1211det aaaaaa

aaA −==

In generale il determinante è definito per ricorrenza.Data una matrice quadrata An, definiamo:

• Minore complementare Mik dell’elemento aik il determinante della matrice che si ottiene eliminando la riga i ela colonna k

• Complemento algebrico Aik dell’elemento aik il suo minore complementare con il segno positivo se i+k è pari,con il segno negativo, se i+k è dispari:Aik = (–1)

i+k Mik

Il determinante di una matrice quadrata di ordine n è la somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi riga (ocolonna) moltiplicati per i corrispondenti complementi algebrici:

∑∑==

⋅=⋅=n

k

kiki

n

k

ikikn AaAaA11

det eseguito con un qualsiasi valore prefissato di i.

Proprietà:

• Se la matrice quadrata A ha una colonna multipla di un’altra, o una riga multipla di un’altra, allora detA=0

• det(A ⋅⋅⋅⋅ B) = detA⋅⋅⋅⋅ detB

• detAT = detA

Matrice singolare è una matrice quadrata con detA = 0.

Sottomatrice quadrata è una matrice quadrata ottenuta scartando un qualsiasi numero di righe e colonne anchenon consecutive di una matrice (anche rettangolare).

Rango è il massimo ordine di una sottomatrice quadrata non singolare (si applica anche a matrici rettangolari)

Esercizio. Trova il determinante delle matrici A =

13

42 e B =

42

63.

Excel

Il determinante di una matrice quadrata A si calcola con la funzione:=MATR.DETERM(A)

3.2.1.1 Prodotto vettoriale di vettori

kji

kji

bac )()()( xyyxxzzxyzzyzyx

zyx

bababababababbb

aaa

−+−−−==∧=

3.2.1.2 Area di un parallelogramma nel piano

111321

321

yyy

xxx

S =

Se sono dati due punti e il terzo è l’origine:

D

C

B

A

y2

x2

y3

x3x1

y

x

y1



21

2121

21

111

0

0

yy

xxyy

xx

S ==

3.2.1.3 Area di un triangolo nel piano

1112

1321

321

yyy

xxx

S =

Se sono dati due punti e il terzo è l’origine:

21

2121

21

2

1

111

0

0

2

1

yy

xxyy

xx

S ==

Esercizio. Trova l’area del triangolo di vertici A(1,2), B(0,4) e C(6,0).

3.2.1.4 Condizione di allineamento di 3 punti

0

111321

321

=yyy

xxx

Esercizio. Verifica che i punti (-6,-2), (-3,-1) e (12,4) sono allineati (calcola ildeterminante usando la III colonna).

3.2.1.5 Volume del tetraedro

1111

6

1

4321

4321

4321

zzzz

yyyy

xxxx

S =

Il tetraedro ABCD è 1/6 del prisma ABCHGDEF.

333...222...222 MMMaaatttrrriiiccceee iiinnnvvveeerrrsssaaa

Se per le matrici quadrate esiste l’elemento neutro rispetto al prodotto (∃In : A ⋅ In = In ⋅ A = A ), esiste l’elementoinverso di una matrice quadrata rispetto al prodotto?

∀A ∃A-1 : A-1 ⋅ A = I ?Deve rispettare la condizione:

det (A-1 ⋅ A) = detA-1⋅ detA = detI = 1 e quindi:

AA

det

1det 1 =− , per cui deve essere detA ≠ 0, che dunque è

condizione necessaria per l’esistenza della matrice inversa:∃ A-1 ⇒ detA ≠ 0

Matrice A*, dei complementi algebrici di A, è la matrice quadrata i cui elementi sono i complementi algebricidegli elementi di A:

A* = [Aik]Matrice A

-1, inversa di A, è il rapporto tra la matrice trasposta della matrice A* dei complementi algebrici e detA:

A

AA

det

*)(1T

=−

Esercizio. Trova la matrice inversa di A =

13

42.

Excel

La matrice inversa di una matrice quadrata A si calcola con la funzione:=MATR.INVERSA(A) <Ctrl+Shift+Enter>

H

G

F E

C

BA

D

C

B

A

y2

x2

y3

x3x1

y

x

y1



333...333 MMMAAATTTRRRIIICCCIII EEE TTTRRRAAASSSFFFOOORRRMMMAAAZZZIIIOOONNNIII GGGEEEOOOMMMEEETTTRRRIIICCCHHHEEE

Matrici e vettori sono di notevole ausilio nello studio delle trasformazionigeometriche. Qui ci limiteremo alle isometrie nel piano con qualche cennoalle similitudini.

333...333...111 IIIsssooommmeeetttrrriiieee

Risulta più agevole considerare dapprima il sottoinsieme delle traslazioninel piano che spostano l’origine mantenendo direzione e verso degli assicartesiani, e poi il sottoinsieme delle isometrie nel piano che lascianoinvariante (unita) l’origine O degli assi.Applicando una isometria con O unito e una traslazione si ottiene una isometria generica.

333...333...222 TTTrrraaassslllaaazzziiiooonnniii

Vogliamo traslare un punto generico P di un vettore v di componenti (a,b) e trovare il punto trasformatoP’=(x’,y’).Dal grafico si osserva che le coordinate (x’,y’) del punto trasformato P’ si ottengono sommando le componenti di valle coordinate di P:

+=

+=

byy

axx

'

'

Consideriamo i punti del piano P = (x,y) come vettori colonna

=

y

xu .

Il punto trasformato P’ corrisponderà al vettore

=

'

''

y

xu , il vettore della

traslazione v al vettore colonna

=

b

av e il sistema può essere scritto

come somma di vettori colonna: u’ = u + v

In forma di sistema lineare In forma matriciale

+=

+=

byy

axx

'

'

+

=

b

a

y

x

y

x

'

'

Esercizio. Trasla il punto P=(12;-3) con vettore della traslazione [-2,+5].

Per trovare il vettore originario u dal vettore trasformato u’, si applica l’operazione inversa u = u’ – v


−=

−=

byy

axx

'

'

−

=

b

a

y

x

y

x

'

'

Si noti che l’operazione inversa coincide con l’applicazione della traslazione inversa di vettore -v = (-a,-b) alvettore u’:

u = u’ + (-v )

−

−+

=

b

a

y

x

y

x

'

'

Quando si trasla un luogo geometrico di cui è data l’equazione cartesiana occorre utilizzare la traslazione inversa.

Esercizi. Verifica che una parabola generica con asse verticale y=ax2+bx+c si può ottenere traslando la parabola y=ax2 e scriviil vettore della traslazione.Verifica che la circonferenza generica x2+y2+ax+by+c=0 si può ottenere traslando la circonferenza x2+y2=r2.Scrivi il vettore della traslazione e trova r.

u’u

+b

+aO

y’

x’

P’

y

x

P

u’u

-b

-aO

y’

x’

P’

y

x

P



333...333...333 IIIsssooommmeeetttrrriiieee cccooonnn lll’’’ooorrriiigggiiinnneee uuunnniiitttaaa222

La generica isometria trasforma i punti del piano secondo un sistema del tipo:

+=

+=

dycxy

byaxx

'

'

con opportune condizioni sui coefficienti.Il sistema può essere scritto come un prodotto di matrici e vettori.

La matrice

=

dc

baA è la matrice della trasformazione e si ha u’ = A ⋅⋅⋅⋅ u


+=

+=

dycxy

byaxx

'

'

⋅

=

y

x

dc

ba

y

x

'

'

Utilizzando la matrice inversa A-1 è possibile ottenere, dal vettore trasformato, il vettore originario:u = A

-1 ⋅⋅⋅⋅ u’

La matrice inversa A-1, per questo motivo, è anche la matrice della “trasformazione inversa” (es.: rotazioneopposta, cioè di angolo opposto; ecc.):

u’ = A-1 ⋅⋅⋅⋅ u

La condizione di isometria è data da (giustificazione nel prossimo paragrafo):

A ⋅⋅⋅⋅ AT = I

=

++

++=

⋅

10

0122

22

dcbdac

bdacba

db

ca

dc

ba

Da questa condizione discende che (per a, b, c, d reali):

1. a=d b=-c oppure a=-d b=c

2. (detA)2 = 1 e quindi detA = ±1

• Se detA = +1, l’isometria è diretta (è una rototraslazione);• Se detA = -1 l’isometria è inversa (es.: simmetria assiale).

La matrice di una isometria con O unito si può quindi scrivere in una di queste due forme:

−

=

−=

ϑϑϑϑ

ϑϑϑϑ

cossen

sencos

cossen

sencos21 AA

con θ qualsiasi.A1 è la generica isometria diretta (detA = +1), ed è una rotazione di centro O e angolo θ.A2 è la generica isometria inversa (detA = –1), ed è una simmetria assiale rispetto alla retta y=mx, con m=tg(θ/2).

3.3.3.1 * La condizione di isometria

Le due colonne della matrice dell’isometria sono i trasformati i’ e j’dei versori i e j degli assi cartesiani:

'1

0'

0

1ji =

=

⋅

=

=

⋅

d

b

dc

ba

c

a

dc

ba

1. Ora, un’isometria deve conservare le lunghezze, quindi |i’|=1 edunque i’, che ha origine in O, è ottenibile con una rotazione diangolo α del versore i.

2 In tutto questo paragrafo consideriamo solo le isometrie con O unito: quindi “la generica isometria” sta per “la generica isometria con O

unito”.



Questo consente subito di scrivere a e c, e b e d, come seni e coseni di due angoli:a2 + c2 = 1 � a = cosα, c = senα

b2 + d2 = 1 � b = cosβ, d = senβ

2. Inoltre un’isometria deve conservare gli angoli e dunque,poiché j è perpendicolare a i , anche j’ deve essereperpendicolare a i’.Vi sono solo due possibilità:

• β = α+90°, graficamente j’ forma un angolo α+90° con i:l’isometria è una rotazione di angolo α;

• β = α–90°, graficamente j’ forma un angolo 90°–α con i:l’isometria è una simmetria rispetto alla retta y=mx conpendenza m=tg(α/2)

3.3.3.2 Simmetrie assiali

Simmetria rispetto a x=0:


=

−=

yy

xx

'

'

⋅

−=

y

x

y

x

10

01

'

'

u’ = A ⋅⋅⋅⋅ u

−=

10

01A

È un’isometria inversa: detA = -1.

Esercizio. Scrivi la matrice e il sistema della simmetria rispetto all’asse x.Scrivi l’equazione della retta simmetrica di y=3x-2 rispetto a x=0.E rispetto a y=0.

3.3.3.3 Simmetria centrale


−=

−=

yy

xx

'

'

⋅

−

−=

y

x

y

x

10

01

'

'

u’ = A ⋅⋅⋅⋅ u

−

−=

10

01A

È un’isometria diretta: detA = 1.

Esercizio. Scrivi l’equazione della parabola simmetrica rispetto a O diy=2x2+3x+1.

P’

Ox’

Py

x

P’

O

x’

Py

x

y’



3.3.3.4 Simmetria rispetto a y=x


=

=

xy

yx

'

'

⋅

=

y

x

y

x

01

10

'

'

u’ = A ⋅⋅⋅⋅ u

=

01

10A

È un’isometria inversa: detA = -1.

Esercizio. Scrivi l’equazione della parabola simmetrica rispetto a y=x diy=2x2+3x+1.Scrivi la matrice e il sistema della simmetria rispetto alla bisettrice del II e IV quadrante.

3.3.3.5 Rotazione: la generica isometria diretta

Dalla figura si ricava che:

+=+=+=

−=−=+=

ααβαρβαρβαρααβαρβαρβαρ

cossensencoscossen)sen('

sencossensencoscos)cos('

yxy

yxx


+=

−=

αααα

cossen'

sencos'

yxy

yxx

⋅

−=

y

x

y

x

αααα

cossen

sencos

'

'

u’ = A ⋅⋅⋅⋅ u

−=

αααα

cossen

sencosA

È la generica isometria diretta (detA = +1) con O unito.La simmetria centrale vista sopra è il caso particolare α = π.

Esercizio. Verifica che detA=+1Osserva che la rotazione opposta ha la matrice inversa A-1 di quella della rotazione.Osserva che la circonferenza x2+y2=r2 è unita nella rotazione di un angolo qualunque.Ruota la parabola y=ax2 di +45°.

3.3.3.6 * Simmetria rispetto a y=mx: la generica isometria inversa

Posto, come in figura, α l’angolo formato dall’asse della simmetria con il semiasse positivo delle x (m = tgα), ilpunto P=(x,y) si trasforma nel punto P’=(x’,y’) tale che:

−=−=−=

+=+=−=

ααβαρβαρβαρααβαρβαρβαρ2cos2sensen2coscos2sen)2sen('

2sen2cossen2sencos2cos)2cos('

yxy

yxx

Ponendo θ = 2α:In forma di sistema lineare In forma matriciale

−=

+=

ϑϑϑϑ

cossen'

sencos'

yxy

yxx

⋅

−

=

y

x

y

x

ϑϑϑϑ

cossen

sencos

'

'αααα

ββββ

P’

y=mx

y’

O x’

Py

x

2αααα -ββββ

P’

y=mx

y’

O x’

Py

x

ρρρρsen(αααα+ββββ)

ρρρρsenββββ

ρρρρcosββββ

βρρρρ

P’ρρρρcos(αααα+ββββ)

α

O

y’

x’

Py

x



u’ = A ⋅⋅⋅⋅ u

−

=ϑϑϑϑ

cossen

sencosA

È la generica isometria inversa (detA = -1) con O unito.

Le simmetrie assiali viste sopra sono casi particolari:• Simmetria rispetto a x=0: θ = π• Simmetria rispetto a y=0: θ = 0• Simmetria rispetto a y=x: θ = π/2• Simmetria rispetto a y=-x: θ = 3π/2

Esercizio. Scrivi l’equazione della parabola simmetrica di y=2x2+3x rispetto a y=2x.

333...333...444 CCCooommmpppooosssiiizzziiiooonnneee dddiii tttrrraaasssfffooorrrmmmaaazzziiiooonnniii

La composizione di due trasformazioni T1 e T2 si indica3 con 12 TT o .

La composizione di trasformazioni non è in generale commutativa, così come il prodotto di matrici.

Nel caso di due trasformazioni con O unito si può verificare che:La seconda matrice del prodotto è quella della trasformazione eseguita per prima.

Così, se A1 è la matrice della prima trasformazione che si esegue (T1) e A2 quella della seconda (T2), allora A2 ⋅A1è la matrice della trasformazione 12 TT o .

( ) ( )uu ⋅⋅=⋅⋅ 1212 AAAA

Esercizio: Dimostra che la simmetria centrale è il prodotto delle simmetrie assiali rispetto ai due assi cartesiani.* Verifica che una traslazione è la composizione di due simmetrie assiali ad assi paralleli e distinti.

3.3.4.1 Rototraslazioni

Anche la composizione tra una isometria con O unito e una traslazione non è commutativa. È il caso dellacomposizione di una rotazione con una traslazione, che rappresenta la più generale isometria diretta.Nel caso che segue, abbiamo RT o : la rotazione viene eseguita per prima.


++−=

++=

byxy

ayxx

ϑϑϑϑ

cossen'

sencos'

+

⋅

−=

b

a

y

x

y

x

ϑϑϑϑ

cossen

sencos

'

'

u’ = A ⋅⋅⋅⋅ u + v

−=

ϑϑϑϑ

cossen

sencosA

La sua inversa è:


−+−−=

−+−=

ϑϑϑϑ

cos)'(sen)'(

sen)'(cos)'(

byaxy

byaxx

−

⋅

−

=

b

a

y

x

y

x

'

'

cossen

sencos

ϑϑϑϑ

u = A-1 ⋅⋅⋅⋅ (u’- v)

−

=−

ϑϑϑϑ

cossen

sencos1A

3 Nelle leggi di composizione la seconda trasformazione è quella che si esegue per prima: ciò traduce il linguaggio parlato. Ad esempio sidice: “radice quadrata del coseno di un numero” per: xcos , mentre: “coseno della radice di un numero” sta per: xcos .



Esercizi. Verifica che il prodotto di due trasformazioni non è commutativo. Perché? Fai un grafico.Ruota la parabola y=ax2 di +30° con centro della rotazione in C=(1,2).

In conclusione, nell’insieme delle isometrie:

La più generale isometria diretta è la rototraslazione.

La più generale isometria inversa è una rototraslazione composta con una simmetria assiale.

Con le sole simmetrie assiali si possono ottenere tutte le isometrie. È il vantaggio del fatto che l’insieme delleisometrie inverse non forma gruppo (non è chiuso rispetto alla composizione).

333...333...555 *** SSSiiimmmiiillliiitttuuudddiiinnniii

3.3.5.1 Omotetie

Una omotetia di centro O e rapporto k è descritta da:

=

=

kyy

kxx

'

' IO ⋅=

= k

k

k

0

0

u’ = O ⋅⋅⋅⋅ u = k ⋅⋅⋅⋅ I ⋅⋅⋅⋅ u

e corrisponde a una “variazione di scala”.

3.3.5.2 Similitudini con l’origine unita

La più generale similitudine con O unito è sempre la composizione di una isometria con O unito con una omotetia

di centro O ed è descritta da:


+=

+=

dycxy

byaxx

'

'

⋅

=

y

x

dc

ba

y

x

'

'

u’ = A ⋅⋅⋅⋅ u

=

dc

baS

La condizione sui coefficienti di S è data da:

S ⋅⋅⋅⋅ ST = k²I (con k ∈ R0)

=

++

++=

⋅

2

2

22

22

0

0

k

k

dcbdac

bdacba

db

ca

dc

ba

Da questa condizione discende che:

1. a=d b=-c oppure a=-d b=c

Questa condizione da sola caratterizza le matrici delle similitudini con O unito.4

2. k, reale positivo, è il rapporto di similitudine.

3. (detS)2 = k4 e quindi detS = ± k2

• Se detS = +k2 la similitudine è diretta;

4 Nelle isometrie con O unito, è necessario includere la condizione detA = ±1.

y’P’

O x’

Py

x



• Se detS = – k2 la similitudine è inversa.

Ne discende che la matrice di una isometria con O unito ha una di queste due forme (con θ qualsiasi):

−

=

−=

ϑϑϑϑ

ϑϑϑϑ

cossen

sencos

cossen

sencos

kk

kk

kk

kkinversadiretta SS

La generica isometria diretta (detS = +k2), ed è una omotetia composta con una rotazione di centro O e angolo θ.

La generica isometria inversa (detS = – k2), ed è una omotetia composta con una simmetria assiale rispetto allaretta y=mx, con m=tg(θ/2).

Esercizio. Verifica che il prodotto di due similitudini ha come risultato una similitudine.Verifica che il rapporto di similitudine di una composizione di due similitudini è il prodotto dei rispettivi rapporti.

333...333...666 *** AAAffffffiiinnniiitttààà cccooonnn lll’’’ooorrriiigggiiinnneee uuunnniiitttaaa

L’applicazione di una trasformazione lineare qualsiasi del piano, che chiamiamo affinità, con la sola condizioneche lasci fissa l’origine e trasformi rette parallele in rette parallele5, è descritta da una matrice di ordine 2.


+=

+=

dycxy

byaxx

'

'

⋅

=

y

x

dc

ba

y

x

'

'

I vettori colonna

d

b

c

a, sono i

trasformati dei versori e individuanodue nuovi assi cartesiani, in generalenon ortogonali, e un nuovo reticolato “alosanga”. Ogni punto trasformato ha lesue coordinate leggibili nel nuovoreticolato, come in figura dove i vettoriblu sono i nuovi versori di assicartesiani non ortogonali.

Le affinità, come del resto le similitudini, non conservano le aree delle figure: si dice che l’area non è uninvariante affine.

Ad esempio, l’area unitaria formata dai due versori

originari, i e j,

1

0

0

1e , si trasforma nell’area del

parallelogramma in grigio formato dai nuovi versori, chepertanto diventa il nuovo “elemento modulare” delpiano.Si dimostra che l’area del parallelogramma è uguale alvalore assoluto del determinante della matricedell’affinità, |detA| = |ad – bc|.Nel caso in figura l’area del parallelogramma vale:(a–b)(c+d) – ac – bd = ad – bc

5 Attenzione! Non: “rette in rette parallele”.

Affinità

Similitudini

Isometrie

Proiettività



3.3.6.1 Trasformazioni di Galileo

Sono le trasformazioni (in particolare, sono affinità con l’origine unita, ma non similitudini) che correlano leposizioni e i tempi tra osservatori in moto rettilineo uniforme lungo l’asse x nella fisica classica galileiana6. Ilvettore u è il vettore evento spazio temporale e ha 4 dimensioni.


=

=

=

−=

tt

zz

yy

vtxx

'

'

'

'

⋅

−

=

t

z

y

xv

t

z

y

x

1000

0100

0010

001

'

'

'

'

u’ = A ⋅⋅⋅⋅ u

−

=

1000

0100

0010

001 v

A

La trasformazione inversa è:


=

=

=

+=

'

'

'

''

tt

zz

yy

vtxx

⋅

=

t

z

y

xv

t

z

y

x

1000

0100

0010

001

'

'

'

'

u = A-1 ⋅⋅⋅⋅ u’

=−

1000

0100

0010

001

1

v

A

e permette di passare dalle coordinate di O’ a quelle di O.

3.3.6.2 Trasformazioni di Lorentz

Sono affinità con l’origine unita, ma non similitudini, che correlano le posizioni e i tempi tra osservatori in motorettilineo uniforme lungo l’asse x nella fisica relativistica di Einstein7.Il vettore u è il vettore evento spazio temporale e ha 4 dimensioni.


=

=

−=

−=

zz

yy

vtxx

xc

vtt

'

'

)('

)('2

γ

γ

⋅

−

−

=

z

y

x

ct

z

y

x

ct

1000

0100

00

00

'

'

'

'

γβγβγγ

6 Nel grafico, v=tgθ solo se gli assi hanno le unità di x e t rappresentate con la stessa lunghezza. Comunque v esprime la pendenza.7 Nel grafico, v=tgθ solo se gli assi hanno le unità di x e t rappresentate con la stessa lunghezza. Comunque v esprime la pendenza.

t’=x’t=x

x’

θ

O=O’

t’

Pt

x

v=tgθ c=1

x’

θ

O=O’

Pt=t’

x

v=tgθ



−

−

=⋅=

1000

0100

00

00

γβγβγγ

AuAu'

La trasformazione inversa permette di passare dalle coordinate di O’ a quelle di O:


=

=

+=

+=

'

'

)''(

)''(2

zz

yy

vtxx

xc

vtt

γ

γ

⋅

=

'

'

'

'

1000

0100

00

00

z

y

x

ct

z

y

x

ct

γβγβγγ

=⋅= −−

1000

0100

00

00

' 11 γβγβγγ

AuAu

333...444 MMMAAATTTRRRIIICCCIII EEE SSSIIISSSTTTEEEMMMIII LLLIIINNNEEEAAARRRIII

Un sistema lineare di m equazioni in n incognite:

=+++

=+++

=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

...

2211

22222121

11212111

può essere scritto come un’equazione matriciale:

=

m

n

mnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

......

...

......

...............

......

......

2

12

1

21

22221

11211

Chiamiamo [A] la matrice incompleta del sistema:

[A] =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

......

...............

......

......

21

22221

11211

e [A, b] la matrice completa del sistema:

[A, b] =

mmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

...

...

............

...

...

2

1

21

22221

11211

Teorema di Rouché-Capelli: un sistema lineare ha soluzioni sse [A] e [A, b] hanno lo stesso rango r.



Procedura per la soluzione di un sistema

Trovo r.Se r < m: escludo le m-r equazioni in più (sono combinazioni lineari delle altre) e rimangono r equazioni:

Se r = n, il sistema è determinato;Se r < n, il sistema è indeterminato, cioè ha ∞n-r soluzioni.

Consideriamo solo i casi con n=m. Il sistema si può scrivere con A⋅⋅⋅⋅ x = b

Ma allora:A-1 ⋅⋅⋅⋅ A ⋅⋅⋅⋅ x = A-1 ⋅⋅⋅⋅ b

e dunque:x = A-1 ⋅⋅⋅⋅ b

Occorre dunque trovare A-1 e il sistema si risolve con il prodotto. Ma trovare x = A-1 ⋅⋅⋅⋅ b può essere lungo.

Esercizio. Risolvi il sistema

−=+

=+

234

123

yx

yx

Risolvi con Excel il sistema

=++−

−=++

=−+

11135

2534

1423

zyx

yx

zyx

333...444...111 RRReeegggooolllaaa dddiii CCCrrraaammmeeerrr

Teorema di Cramer: un sistema lineare in n incognite e n equazioni con detA ≠ 0 ha una e una solasoluzione.

Regola di Cramer

Chiamiamo Ai la matrice che si ottiene sostituendo in A la i-sima colonna con il vettore b.

A

Axi

i

i =∀

Esercizio. Risolvi con il metodo di Cramer il sistema

−=+

=+

234

123

yx

yx



444 LLLEEE DDDEEERRRIIIVVVAAATTTEEE EEE GGGLLLIII IIINNNTTTEEEGGGRRRAAALLLIII

444...111 LLLIIIMMMIIITTTIII EEE DDDEEERRRIIIVVVAAATTTEEE

Dalla legge delle posizioni alla velocità: s=s(t) � v

Sulla base del moto rettilineo uniforme definisco

t

s

tt

ssv

∆∆

=−−

=0

0:

Esiste, e cosa è, la “velocità istantanea” in t0?

(cfr. il 3° paradosso di Zenone)

v nel moto uniforme è la pendenza della linea che rappresenta il moto nel grafico (t,s).v è il coefficiente angolare della retta del moto nel grafico (t,s).

Per estensione, v dovrebbe essere la pendenza della curva al tempo t0 nelgrafico.Noi abbiamo già l’idea di tangente a una curva.

È lo stesso problema dell’esistenza della tangente alla curva:Esiste, e cosa è, la pendenza a una curva in x0?

Dobbiamo immaginare un’operazione continua in cui la secante tende alla tangente: cerchiamo ciò a cui tende t

s

∆∆

quando ∆t tende a zero:

t

sv

t ∆∆

=→∆ 0lim: (si legge: “limite, per ∆t che tende a zero, di ∆s diviso ∆t”)

v è la pendenza della tangente in t0.v è il coefficiente angolare della tangente in t0.

444...111...111 LLLiiimmmiiittteee dddiii fff(((xxx)))

In generale, data una funzione y=f(x) e un suo punto (x0, y0), la scritturalxf

xx=

→)(lim

0

si chiama limite di f(x) nell’intorno di x0 e indica l’ordinata che la funzione tende ad assumere avvicinandosiindefinitamente a x0. E non ha niente a che vedere con il comportamento della funzione in x0, dove la f(x) puòanche non esistere.

Es.: 51

67lim

1limtanlim

2

102/−=

−+−

−∞=+∞=→→→ −− x

xx

xx

xxx π

444...111...222 RRRaaappppppooorrrtttooo iiinnncccrrreeemmmeeennntttaaallleee dddiii fff(((xxx)))

Data una funzione y=f(x) e un suo punto (x0, y0), la scrittura

x

y

xx

xfxf

∆∆

=−−

0

0 )()(

si chiama rapporto incrementale di f(x) nell’intorno di x0 e rappresenta la velocità media di crescita della f(x)

intorno a x0.

θ

∆s

∆t

t0

s

y

t

s0

θ∆s

∆t

t0

s

y

t

s0



444...111...333 DDDeeerrriiivvvaaatttaaa dddiii fff(((xxx)))

Data una funzione y=f(x) e un suo punto (x0, y0), la scrittura

00 0

00

)()(lim)('

xxx dx

dy

xx

xfxfxf =

−−

=→

si chiama derivata della f(x) in x0 e rappresenta la velocità di crescita dellaf(x) in x0.Data una funzione y=f(x), la scrittura

h

xfhxf

dx

dyyxf

h

)()(lim')('

0

−+===

→

si chiama funzione derivata della f(x) e rappresenta la funzione dellevelocità di crescita della f(x).

Esercizio. Utilizzando i concetti di limite e derivata, definisci la tangente a una curvain un suo punto (x0, y0).

Tutte le volte che si deve calcolare il rapporto («rapporto incrementale») tra

gli incrementi ∆∆∆∆y e ∆∆∆∆x, di due grandezze y e x - in cui y varia al variare di x,cioè y=f(x) -, quando tale rapporto deve essere calcolato in corrispondenza di

un preciso valore a di x (rapporto incrementale «istantaneo»), tale rapporto

condurrebbe a una divisione di due zeri, ma è identificabile graficamente con

il valore del coefficiente angolare (la «pendenza») della retta tangente alla

curva y=f(x) nel punto di ascissa a e dunque alla derivata di f(x).

444...222 IIINNNTTTEEEGGGRRRAAALLLIII

Dalla legge delle velocità allo spazio percorso: v=v(t) � ∆s

Sulla base del moto rettilineo uniforme si ha:∆s = v ∆t

∆s nel moto uniforme è l’area S sotto la linea della velocità nel grafico (t,v)

Come calcolare lo spazio percorso da un punto P in un moto non uniforme?

Per estensione, ∆s è l’area S sotto la linea della velocità di P nel grafico (t,v)?

Inscriviamo un insieme di rettangoli adiacenti, tutti con la stessa altezza,nell’area curva colorata, che chiameremo scaloide, dividendo il tratto t-t0 in nintervallini uguali a ∆t/n.

L’area dello scaloide è lo spazio percorso da un osservatore P’ che –diversamente da P – si muove con moto uniforme, ma cambia periodicamente(ogni ∆t/n) e in un istante la sua velocità per adeguarla a quella del moto vario diP.

L’area dello scaloide (spazio percorso da P’) risulta essere:

pendenza negativapendenza negativa

pendenza max

pendenza nullapendenza nulla x

y’

y

x

∆tt1

v

y

t2

S = ∆s

S=∆s ?

t1

v

y

t2

t1

v

y

t2



∑=

∆=n

i

iscaloiden

tvS

1

È immediato intuire che se operiamo con il limite per n�∞ riusciamo a coprire l’intera area curvilinea colorata,cioè P’ segue sempre meglio il moto vario di P, fino a riprodurlo esattamente.

L’area S della regione curvilinea, che sarà anche lo spazio percorso da P e da P’ è:

∑=

→∞

∆=n

i

in n

tvS

1

lim

si indica:

∫∑ ⋅=

∆==

∞→

2

11

limt

t

n

i

in

dtvn

tvS

e si legge “integrale definito tra t1 e t2 della velocità v nel tempo t (oppure: di v in dt)”

444...222...111 IIInnnttteeegggrrraaallleee dddeeefffiiinnniiitttooo dddiii fff(((xxx)))

Data una funzione y=f(x) e un suo intervallo di definizione (x1, y2), la scrittura

∑∫=

→∞∆=⋅

n

i

iin

x

x

xxfdxxf1

)(lim)(2

1

si chiama integrale definito della f(x) tra x1 e x2 e rappresenta l’areasotto la curva della f(x) tra x1 e x2.

L’integrale definito corrisponde alla somma di “infiniti incrementiinfinitesimi” di una variabile.

Tutte le volte che si deve calcolare il prodotto tra una grandezza y

e l’incremento, ∆∆∆∆x, di una grandezza x - quando y varia al variaredi x, cioè y=f(x) -, quel prodotto è identificabile graficamente con

il valore dell’area della parte di piano compresa tra la curva della

variazione di y, y=f(x), e l’asse delle x e dunque corrispondeall’integrale definito.

Esempi dalla fisica di terza

s, tdt

dsv = ∫=∆

2

1

)(t

t

dttvsLa velocità è la derivata dellaposizione rispetto al tempo

v, tdt

dva = ∫=∆

2

1

)(t

t

dttavL’accelerazione è la derivatadella velocità rispetto al tempo

L, tdt

dLP = ∫=∆

2

1

)(t

t

dttPLLa potenza è la derivata dellavoro rispetto al tempo

p, tdt

dpF = ∫=∆

2

1

)(t

t

dttFpLa forza è la derivata dellaquantità di moto rispetto altempo

F, SdS

dFp = ∫=∆

2

1

)(S

S

dSSpFLa pressione è la derivata dellaforza rispetto alla superficie

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