MMEETTOODDII MMAATTEEMMAATTIICCII PPEERR LLEE AASSSSIICCUURRAAZZIIOONNII

IINNDDIIVVIIDDUUAALLII SSUULLLLAA DDUURRAATTAA DDII VVIITTAA

MMATEMATICAATEMATICA A ATTUARIALETTUARIALE

Il termine MMATEMATICAATEMATICA ATTUARIALEATTUARIALE o “matematica delle assicurazioni” designa un insieme di modelli

matematici relativi a quella particolare attività economica consistente nella gestione di RRISCHIISCHI

trasferiti ad un assicuratore da operatori economici. Diversi aspetti di questa attività possono

essere analizzati in termini quantitativi: in particolare è interessante studiare la “domanda” di

assicurazione da parte degli operatori e l'analisi della gestione di un'impresa assicuratrice.

L'obiettivo della matematica attuariale è dunque sintetizzabile nella valutazione del costo delle

coperture assicurative, elemento fondamentale nella fissazione del prezzo, o “premio”, delle

coperture stesse, nella “gestione” di questo premio nel tempo e nella definizione di metodi per il

calcolo di vari tipi di riserve tecniche. Le varie metodologie proprie della matematica attuariale

sono conseguenza delle caratteristiche dell'attività assicurativa, ove coesistono aspetti finanziari

collegati a possibili differimenti nel tempo delle prestazioni assicurative ed aspetti probabilistici,

scaturenti dall'ovvia aleatorietà della gestione dei rischi. Le metodologie probabilistiche impiegabili

nella matematica attuariale sono molto diversificate, andando da semplici modelli discreti a più

complessi modelli continui, nonché alla considerazione dei processi stocastici. E' necessario

sottolineare che un'ulteriore causa di diversificazione nell'ambito della modellistica attuariale è

imputabile alla grande varietà di tipologie assicurative.

art. 1882 cc Nozione

L'assicurazione è il contratto col quale l'assicuratore, verso pagamento di un

premio, si obbliga a rivalere l'assicurato, entro i limiti convenuti, del danno

ad esso prodotto da un sinistro, ovvero a pagare un capitale o una rendita al

verificarsi di un evento attinente alla vita umana

E' dunque possibile, partendo dalla nozione di contratto assicurativo data dal Codice Civile,

giungere ad una classificazione delle assicurazioni libere, cioè essenzialmente quelle stipulate per

libera scelta da individui, aziende o collettività:

• Assicurazioni contro danni

• Assicurazioni sulla vita

• Assicurazioni sulla salute

• Assicurazioni sociali*

ASSICURAZIONI CONTRO I DANNI

Il settore delle assicurazioni contro i danni presenta un'ampia varietà di coperture assicurative,

concernenti numerosi tipi di rischi ed interessanti sia le aziende sia i singoli individui o le famiglie.

• Assicurazioni incendi

• Assicurazioni furti

• Assicurazioni di Responsabilità Civile (R.C.)

◦ R.C. Auto

◦ R.C. Diversi

▪ R.C. dell'imprenditore

• R.C. Prodotti

* Le assicurazioni sociali sono assicurazioni “obbligatorie”

▪ R.C. Professionale

▪ R.C. Famiglia

• Assicurazione Auto Rischi Diversi (con esclusione della R.C. Auto)

◦ garanzia furto e incendio

◦ garanzia per guasti accidentali o “kasko”

◦ garanzia “ritiro della patente”

• Assicurazioni credito

• Cauzioni

• Assicurazioni grandine

• Assicurazioni trasporti

• Assicurazioni aviazione

◦ assicurazione di corpi (aeromobili)

◦ assicurazione di merci (oggetti di trasporto)

◦ R.C. per danni a persone o cose

◦ R.C. del datore di lavoro nei confronti degli equipaggi

◦ assicurazione contro infortuni dei viaggiatori

◦ assicurazioni spaziali

• Assicurazioni tecniche

◦ polizze all risks

◦ polizze monorischio

▪ polizze montaggio

▪ polizze contractor's all risks (C.A.R.)

▪ polizze guasti macchine

▪ polizza elettronica

• Assistenza (prestazione di servizio)

Dunque, in questo tipo di contratti, la prestazione dell'assicuratore è un risarcimento a fronte di

danni materiali subiti dall'assicurato (alla sua o ad altre persone) o dal suo patrimonio o di

situazioni di responsabilità civile. L'aleatorietà dell'esborso, che si tramuterà in un costo per

l'assicuratore e nel premio per l'assicurato, sarà funzione di due processi stocastici: uno

riguardante il numero aleatorio dei sinistri e l'altro concernente l'entità aleatoria del danno

causato da ciascun sinistro. La durata di una copertura assicurativa contro i danni è piuttosto

breve: dura (di solito) 1 anno. Questo implica una limitata esposizione sui mercati, dunque un

basso rischio finanziario per la compagnia assicuratrice ma al contempo un elevato rischio tecnico,

dovuto all'alea riguardante il sinistro da coprire.

ASSICURAZIONI SULLA VITA

Nonostante l'insieme delle assicurazioni sulla vita non sia paragonabile per varietà di coperture a

quella che caratterizza le assicurazioni contro i danni, la diversificazione presente in tale insieme

suggerisce di operare un'opportuna classificazione.

• Assicurazione sulla durata di vita

• Assicurazione di nuzialità e natalità

• Assicurazioni legate a fondi di investimento

• Operazioni di capitalizzazione

• Rendite di invalidità

• Assicurazioni complementari

Dunque, in questo tipo di contratti la prestazione dell'assicuratore è un pagamento di somme al

verificarsi di prestabiliti eventi inerenti alla vita di una o più persone. L'aleatorietà dell'esborso

riguarderà l'eventualità che la prestazione sia erogata (il se dovrà esser pagata la prestazione) e la

tempistica di pagamento (il quando la prestazione dovrà essere erogata). Per quel che concerne il

quantum, le somme, in un'assicurazione sulla vita se non son già stabilite, sono comunque

determinabili (il quanto è certo). Contrariamente alla copertura assicurativa contro i danni, la

durata di un'assicurazione sulla vita è medio-lunga: (di solito) minimo 10 – 20 anni. Questo

comporterà un'elevato rischio finanziario per la compagnia assicuratrice, la quale dovrà gestire

patrimoni in un'ottica prudenziale medio-lunga ed un rischio tecnico sostanzialmente limitato.

ASSICURAZIONI SOCIALI

Tutte le forme assicurative di questo settore sono caratterizzate dal fatto che esse riguardano una

collettività, opportunamente definita: può trattarsi dell'insieme dei dipendenti di un'azienda, degli

aderenti ad un'associazione professionale, dei cittadini di uno Stato. Queste polizze sono infatti

fornite o dai sistemi pubblici, dunque dallo Stato stesso o da enti previdenziali o sanitari, oppure

sono gestite direttamente dalle aziende private, da assicuratori, banche ed altri intermediari

finanziari, nella forma di fondi pensione, con il principale scopo di provvedere alla costituzione di

rendite vitalizie pagabili dall'ingresso in quiescenza. Queste coperture assicurative obbligatorie

comprendono:

• pensioni pagabili dall'ingresso in quiescenza (di anzianità)

• pensioni ai superstiti

• pensioni di invalidità

ASSICURAZIONI SULLA SALUTE

La quasi totalità di queste coperture, fornite da assicurazioni private, non ha, a differenza delle

assicurazioni contro i danni, carattere risarcitorio, in quanto la prestazione dell'assicuratore è quasi

sempre commisurata ad un importo forfettariamente stabilito in polizza e non al reale danno

subito dall'assicurato (fanno comunque eccezione le polizze che garantiscono un rimborso di spese

mediche). La causa dell'alterazione dello stato di salute dell'assicurato, il cui insorgere determina

la prestazione dell'assicuratore , è data da infortunio o malattia. Con riguardo alla durata

contrattuale, si hanno polizze monoannuali e polizze pluriennali.

EELLEEMMEENNTTII DDII TTEEOORRIIAA DDEELLLL’’UUTTIILLIITTÀÀ

Studia lo scambio di importi monetari aleatori, dunque di operazioni che comportano un RISCHIO FINANZIARIO.

es. Generica operazione finanziaria rischiosa

Un individuo I scambia una posizione finanziaria incerta x1 con un’altra posizione finanziaria

incerta x2, sia x1 che x2 sono variabili aleatorie, alle quali l’individuo I, nell’istante contrattuale,

assegnerà una distribuzione di probabilità X. Queste due variabili rappresentano il patrimonio

soggetto a rischio di I, prima e dopo lo scambio. Il guadagno di I è individuato dalla variabile

aleatoria: G = x2 – x1

Dati:

I x1 x2 con

Problema:

G = x2 – x1

In termini formali:

Definendo l’insieme delle opportunità, cioè l’insieme di tutte le X possibili

posizioni finanziarie nell’istante decisionale, il problema delle decisioni finanziarie in condizioni di

incertezza consiste nell’introdurre nell’insieme X un ordinamento di preferenza ( ≻ ), tale che:

attraverso l’introduzione di un numero reale: , tale che:

E’ dunque necessario, per rappresentare un ordinamento di preferenza all’interno dell’insieme opportunità

X , definire una funzione di valutazione:

((**))

IIMMPPOOSSTTAAZZIIOONNEE AASSSSIIOOMMAATTIICCAA

Lo scopo della teoria delle decisioni è quello di descrivere il comportamento di un individuo razionale in

condizione di incertezza. Si tratterà non già di determinare un ordinamento di preferenza valido per tutti gli

agenti economici, quanto di individuare una classe di criteri decisionali che raccolga al suo interno i singoli

criteri individuali e che sia caratterizzata da pochi principi generali economicamente significativi. Questi

criteri dovranno essere quindi coerenti con quelli individuali da cui sono indotti e dovranno descrivere degli

ordinamenti di preferenza riflessivi, transitivi e completi.

Transitività

Considerando la proprietà riflessiva come auto evidente ( X è indifferente a X: ), la proprietà

transitiva richiede che: se e allora . Questo naturale criterio di coerenza

implica che se l’individuo I gradisce la posizione x1 almeno quanto la posizione x2 e se considera la posizione

x2 gradita almeno quanto la posizione x3, allora non potrà considerare x3 strettamente preferita a x1.

Completezza

Un ordinamento si dice completo se risulta definita ogni relazione di preferenza o di indifferenza tra le

possibili posizioni che compongono l’insieme X. In sostanza, le decisioni dell’individuo saranno

univocamente determinate se I dispone di un criterio di scelta in base al quale, per ogni possibile

operazione di scambio, è sempre possibile dire che x2 (la posizione finale) è preferita a x1 (la posizione

iniziale), oppure che x1 è preferita a x2, oppure che x1 e x2 sono indifferenti.

Definizione Data una generica variabile aleatoria Xk e la sua funzione di ripartizione:

con (che racchiude tutte le distribuzioni di

probabilità per ) affinché l’individuo possa scegliere in modo

razionale, dovrà costruire una relazione di preferenza nell’insieme di tutte

le funzioni di ripartizione delle variabili aleatorie

, tale che:

All’interno dell’insieme F si possono inoltre introdurre ordinamenti parziali basati su ipotesi generali, come

ad esempio il criterio della dominanza stocastica.

Dominanza stocastica

Si supponga ad esempio che la distribuzione di x2 domini quella di x1 , nel senso che:

e che la disuguaglianza valga in senso stretto per almeno un valore di x. Questa proprietà è detta di

dominanza stocastica del primo ordine.

Definizione Date due distribuzioni di probabilità F1 e F2 sugli esiti x, dove:

si dice che F2(x) domina stocasticamente F1(x) al primo

ordine, se accade che: cioè deve accadere che per

tutto l’insieme delle opportunità, la probabilità di ottenere un premio

maggiore o uguale di un determinato minimo x sia maggiore nella prima

lotteria rispetto alla seconda, cioè:

. Dunque, comunque

fissato il numero reale x, la probabilità che la

situazione patrimoniale x1 risulti maggiore di x

non è mai maggiore (ed in almeno un caso è

minore) della probabilità che x2 risulti maggiore

di x.

es. Dominanza stocastica del primo ordine

Si considerino due variabili aleatorie X1 eX2 e il

relativo andamento delle funzioni di densità

f1(x) e f2(x) . Come evidenziato dall’andamento

delle rispettive funzioni di ripartizione F1 e F2,

X1 domina stocasticamente X2 , nel senso che

G. Castellani, M. De Felice, F. Moriconi – Manuale di Finanza, vol. II, pgg. 61 – 62

Sotto opportune ipotesi di continuità si dimostra che se x2 domina x1, cioè vale ,

allora ogni individuo massimizzatore di profitto, cioè che preferisce importi monetari certi maggiori ad

importi monetari certi minori, preferirà x2 ad x1 . In ogni caso, l’ordinamento introdotto dal criterio della

dominanza stocastica è di tipo incompleto, poiché potranno di certo esistere coppie di funzioni di

ripartizione appartenenti ad F per le quali non risulti verificata la disequazione . La

dominanza stocastica va quindi considerata come un requisito necessario ma non sufficiente per la

costruzione di un criterio generale di scelta. Infatti per descrivere adeguatamente il comportamento in

condizioni di incertezza è necessario prendere in considerazione la tendenza degli individui ad evitare

situazioni considerate pericolose, introducendo quindi ipotesi sull’aavvvveerrssiioonnee aall rriisscchhiioo. Per questo motivo è

più utile sviluppare la teoria delle decisioni basandosi sul criterio dell’utilità attesa.

Posizioni finanziarie composte (misture)

E’ comunque possibile considerare postulati di razionalità diversi da quello della dominanza stocastica,

partendo per esempio dal concetto di posizione finanziaria composta o mistura. Si tratta di una posizione

finanziaria incerta in cui un individuo I deve scegliere tra due posizioni finanziarie X1 e X2, anch’esse incerte,

in base all’esito che avrà un certo evento A, al cui verificarsi I attribuisce una probabilità P(A) = , di valore

strettamente compreso tra 0 e 1. Se l’evento A si verifica l’individuo assumerà la posizione X1, viceversa

dovrà assumere la posizione X2 . In linguaggio delle probabilità, la posizione composta rappresenta una

variabile aleatoria mistura, indicata come X1X2 , la quale presenterà come possibili determinazioni sia

quelle di X1 che quelle di X2 e assumerà le prime con probabilità e le seconde con probabilità (1 – ). E’

immediato notare come la funzione di ripartizione della mistura X1X2 è data

dalla combinazione lineare, con coefficienti e (1 – ), delle funzioni di ripartizione F1(x) e F2(x) di X1 e X2 ;

si ha cioè: . Sulle misture sono definite molte proprietà delle relazioni

di preferenza in X ( o in F ) .

Proprietà archimedea Se

Proprietà di sostituzione Se allora, comunque scelta e per qualunque

, deve risultare:

Queste due proprietà piuttosto forti implicano altre proprietà più deboli ma comunque espressive e certo

molto significative perché una relazione di preferenza sia transitiva e completa.

Proprietà di continuità Se

Proprietà di monotonia Se e se

Proprietà di consistenza e , deve

risultare:

UUTTIILLIITTÀÀ AATTTTEESSAA

Adottando come assiomi alcune di queste proprietà delle relazioni di preferenza si può strutturare in

maniera rigorosa la teoria dell’utilità attesa. Ad esempio utilizzando il concetto di dominanza stocastica

unito alle proprietà delle relazioni di preferenza, si giunge ad esporre un famoso teorema di

rappresentazione, dimostrato da John von Neumann e Oskar Morgenstern. L’enunciazione di quest’ultimo

avviene qui in forma semplificata, valida in effetti solo se gli elementi di X sono variabili aleatorie con un

numero finito di determinazioni.

Teorema di von Neumann e Morgenstern

Se l’ordinamento di preferenza ( ) definito su X è completo, consistente e coerente con la relazione di

dominanza stocastica, allora:

1. Esiste una funzione u(x) tale che X2 ≻ X1 , se e solo se:

2. La funzione u(x) è unica a meno di una trasformazione lineare crescente

La prima conclusione di questo teorema di rappresentazione equivale ad affermare che esiste una funzione

u(x), tale che:

Dunque un ordinamento di preferenze così descritto può essere rappresentato attraverso un operatore

ordinamento espresso come speranza matematica di una funzione u(X) degli importi aleatori. Supponendo

gli agenti massimizzatori di profitto, la funzione non potrà che essere strettamente crescente. Essa è nota

come funzione di utilità di von Neumann e Morgenstern e l’operatore di ordinamento E[u(X)] è l’utilità

attesa di X. Il secondo enunciato afferma che qualsiasi funzione z(x) che sia ottenuta effettuando una

trasformazione lineare positiva di u(x) , tale che sia con a costante positiva e b

costante arbitraria, induce in X lo stesso ordinamento di preferenza di u(x) , è cioè equivalente ai fini della

rappresentazione delle preferenze dell’individuo I . Ancora: funzioni z(x) che non rappresentano

trasformazioni lineari di u(x) corrispondono necessariamente ad un diverso ordinamento di preferenza.

Questo teorema, dimostrato su base assiomatica da von Neumann e Morgenstern nel 1947, è importante

poiché qualifica l’operatore E[u(X)] come l’unica funzione di valutazione accettabile per descrivere le

preferenze di un individuo dotato di caratteristiche di razionalità e coerenza. Inoltre lo studio

dell’andamento e del segno di questa funzione caratterizza l’atteggiamento verso il rischio dell’individuo: se

si specifica una u(x) funzione lineare e crescente di x si definisce il criterio della speranza matematica, che

caratterizza le scelte di un individuo indifferente al rischio. Se si sceglie una generale funzione crescente, si

ottiene il principio dell’utilità attesa, che unito alla concavità per u(x), fornisce il criterio di scelta

caratteristico di qualsiasi individuo avverso al rischio.

Criterio della speranza matematica

Per trattare il problema del comportamento di un individuo di fronte ad una scommessa con guadagno

aleatorio G, è necessario introdurre come metro di valutazione la speranza matematica del guadagno E(G).

Ciò deriva dall’aver assegnato alla funzione u(x) la forma di una qualsiasi funzione lineare crescente,

accettando quindi, implicitamente, di considerare solamente il comportamento di un individuo I,

massimizzatore di profitto. Se risulta, ad esempio, , con la scelta:

la relazione dedotta da von Neumann e Morgenstern, , diventa:

cioè:

quindi, ricordando che G = x2 – x1 , la relazione , equivale a . Se vale, al

contrario, , dovrà essere , mentre l’annullarsi del guadagno atteso si avrà solo nel caso

di . L’operazione di scambio , deve esser valutata in base al segno di E(G):

favorevole, se

equa, se

sfavorevole, se

Il criterio seguito in questo contesto sarà dunque la massimizzazione del guadagno sperato. L’utilizzo di

questo criterio ha origini ben più lontane del lavoro di von Neumann e Morgenstern. Fino agli inizi del XVIII

secolo, le nozioni di speranza matematica e di probabilità non erano ancora state distinte e si assumeva

naturale che il valore di una scommessa e quindi il prezzo equo di un biglietto che dia diritto a parteciparvi,

dovesse coincidere con il valore atteso della vincita. Tuttavia, nel 1738, Daniel Bernoulli descrisse il famoso

paradosso di San Pietroburgo.

Caso storico: il paradosso di San Pietroburgo

Si consideri un individuo I che partecipa a un gioco T o C con il lancio di una moneta perfetta e

indeformabile. Se il risultato del lancio è TESTA, I vince 2 euro e il gioco termina; altrimenti la moneta viene

lanciata una seconda volta e, se il risultato è TESTA, I vince 4 euro ed il gioco ha termine. Se il risultato è

CROCE viene effettuato un terzo lancio, che frutterà ad I un guadagno di 8 euro nel caso si ottenga TESTA, in

caso contrario, si continuerà a lanciare la moneta, ogni volta con guadagno raddoppiato. Il gioco consiste

nella ripetizione del lancio della moneta finché non si ottiene TESTA per la prima volta. Se questo accade

all’n-esimo lancio, allora I incasserà 2n euro. Dunque il problema è calcolare il valore atteso della vincita G

di I.

Dati:

Cn

Problema:

La variabile aleatoria X ha supporto numerabile, coincidente con l’insieme delle potenze di 2, cioè

. Se si indica con An l’evento “La prima TESTA è estratta all’n-esimo lancio”, la speranza

matematica di X è data da:

dato che gli eventi An sono tutti a due a due incompatibili. Se si indica con Cn l’evento “Il risultato del lancio

n-esimo è CROCE”, l’evento An, per ogni , è rappresentato da:

avendo indicato con la negazione di Cn e dunque l’evento “Il risultato dell’n-esimo lancio è TESTA”.

Ipotizzare l’indeformabilità della moneta vuol dire accettare l’ipotesi che i lanci siano stocasticamente

indipendenti e se si aggiunge a questa l’ipotesi che a ciascun evento Cn corrisponda una probabilità di ½,

allora la probabilità di An è data da:

Il valore atteso del gioco risulta quindi:

dato che tutti i termini della serie sono uguali a 1. Questo equivale a dire che il costo del biglietto è infinito

o meglio, è maggiore di qualunque cifra l’individuo I proponga di pagare, per elevata che essa sia. Proprio

per superare il problema del valore monetario atteso della vincita pari a , la soluzione classica del

paradosso richiede l'introduzione esplicita del concetto di utilità attesa e di diminuzione dell'utilità

marginale del denaro. Quest'ultima idea fu un'intuizione di Bernoulli, sebbene già dieci anni prima che il

matematico svizzero pubblicasse la sua opera, un altro suo illustre concittadino nonché matematico di

fama, Gabriel Cramer, avesse introdotto parzialmente la stessa idea, scrivendo al fratello maggiore Nicholas

Bernoulli: "I matematici stimano il denaro in proporzione alla sua quantità, mentre un uomo di buon senso

lo stima in proporzione all'uso che può farne". Dunque la vincita non deve esser presa in considerazione

solo per il suo importo monetario, quanto piuttosto secondo una funzione di questo importo che sia adatta

a esprimere il valore morale che l'individuo I attribuisce alla vincita. Bernoulli introdusse così una funzione

di utilità logaritmica, abbandonando quella che veniva considerata una pietra miliare delle funzioni di

utilità: funzioni lineari positive crescenti e superando d'altro canto, anche grazie alle proprietà delle

funzioni logaritmiche, l'impasse del valore atteso infinito. Scegliendo infatti di misurare gli importi secondo

una scala logaritmica si ottiene il nuovo valore del gioco, che Bernoulli chiamò speranza morale di G:

Utilizzando le proprietà delle serie geometriche, si ricava che il valore morale del gioco risulta finito:

“Questo risultato introduce un superamento del criterio della speranza matematica e può essere considerato l’origine

storica della teoria dell’utilità attesa. Il “valore morale” della vincita introdotto da Bernoulli produce una distorsione

non-lineare della scala degli importi corrispondente all’uso di una funzione di utilità logaritmica.” G. Castellani, M. De Felice, F. Moriconi – Manuale di Finanza, vol. II, pg.58

Criterio dell’utilità attesa

Il paradosso di San Pietroburgo dimostra dunque come l’approccio del guadagno sperato non tenga conto

di ulteriori importanti circostanze che dipendono dall’individuo e che concorrono a determinarne l’effettivo

comportamento di fronte al rischio. Dal punto di vista bernoulliano invece il criterio dell’utilità attesa

utilizza un cambiamento della scala con cui si misurano gli importi, sostituendo la scala oggettiva del valore

monetario con una scala soggettiva basata sull’utilità. Viene cioè introdotta una funzione u(x) del capitale x,

che rappresenta l’importanza che ha per l’individuo I il possesso del capitale x. Questa funzione, detta

funzione di utilità, per semplicità, sarà definita su un intervallo , eventualmente

coincidente con R + stesso e avrà media finita, ovvero . Per il teorema di rappresentazione,

l’opportunità X2 sarà preferita ad X1 se e solo se . Il criterio decisionale di I consisterà

quindi nella mmaassssiimmiizzzzaazziioonnee ddeellll’’uuttiilliittàà aatttteessaa.. In base a questo criterio, l’individuo I, dotato di funzione di

utilità u(x) come descritta, che si trovi nella situazione finanziaria X1, reputerà l’operazione finanziaria di

scambio :

vantaggiosa, se

indifferente, se

svantaggiosa, se

Ad esempio, un individuo che possiede un capitale certo c reputerà l’operazione di guadagno aleatorio G :

vantaggiosa, se

indifferente, se

svantaggiosa, se

Oss.

E’ utile osservare che se la funzione di utilità è lineare e crescente, cioè se:

allora ci si ricondurrà al criterio della speranza matematica e si avrà sempre:

Perciò si può affermare che un individuo che presenti funzione di utilità lineare e crescente

ritiene indifferente un’operazione equa.

Scala dell’utilità

Le caratteristiche della scala dell’utilità significative per la descrizione delle decisioni economiche in condizioni di

incertezza possono essere riassunte e precisate nella forma di proprietà della funzione reale di variabile reale u(x). G. Castellani, M. De Felice, F. Moriconi – Manuale di Finanza, vol. II, pg.71

Insieme di definizione Come già notato il dominio D della funzione di utilità u(x) sarà un opportuno

intervallo o eventualmente coinciderà con l’insieme dei numeri reali non-

negativi. Tuttavia in casi particolari potrà avere senso utilizzare funzioni di utilità

definite anche per numeri negativi ad esempio per considerare situazioni

patrimoniali che includano anche posizioni debitorie. Converrà inoltre supporre

che la funzione sia continua su tutto il suo insieme di definizione.

Crescenza Avendo ipotizzato agenti economici massimizzatori di profitto, la u(x) sarà una

funzione strettamente crescente di x, per cui varrà la relazione:

Concavità Secondo Bernoulli: “Non c'è dubbio che un guadagno di mille ducati ha più

valore per un povero che per un ricco, nonostante entrambi guadagnino la stessa

quantità”. Si può affermare infatti che l’ipotesi fondamentale sulla funzione di

utilità è che ad incrementi uguali di capitale corrispondono incrementi di utilità

tanto più piccoli quanto più grande è il capitale posseduto dall’individuo. Questa

affermazione, avendo supposto la funzione continua su tutto il suo insieme di

definizione, implica che u(x) sia concava su tutto il dominio D. Infatti se si

scelgono due incrementi x0 consecutivi a partire da (x – x0), si può notare come:

cioè:

Quest’ultima relazione è valida e .

Questa disuguaglianza si presta poi ad un’ulteriore interpretazione: se un

individuo con capitale x scommette x0 euro a T o C, il valore sperato dell’utilità,

media dell’utilità in caso di vincita e dell’utilità in caso di

perdita, è minore dell’utilità che esso avrebbe astenendosi dal gioco, I reputa

dunque svantaggioso scommettere ed è quindi avverso al rischio.

Proprietà differenziali della funzione di utilità

Assunto che u(x) sia continua, derivabile almeno due volte e, in alcuni casi, sviluppabile in serie di Taylor, la

derivata prima u’(x), detta utilità marginale del capitale x, sarà strettamente positiva su tutto D (per la

crescenza) e la derivata seconda u’’(x) sarà strettamente negativa su tutto D (per la concavità, data

l’avversione al rischio). Dunque si dirà che, se u’(x) > 0 e u’’(x) < 0 , l’utilità marginale diminuisce

all’aumentare del capitale. Sarà proprio l’andamento della derivata seconda di u(x) la discriminante della

propensione/avversione al rischio dell’individuo I:

avversione al rischio, se

indifferenza al rischio, se

propensione al rischio, se

Misure di avversione al rischio

Se il segno di u’’(x) individua il comportamento dell’individuo I rispetto al rischio, esistono operatori in

grado di misurare il livello di propensione al rischio. Ad esempio, un’utile misura di avversione al rischio,

detta appunto misura assoluta di avversione al rischio in forma locale, introdotta in teoria dell’utilità da J.

Pratt e K. Arrow, è data dalla cosiddetta funzione concavità relativa di u(x):

Le dimensioni di questo coefficiente saranno pari al reciproco di un importo, dunque euro-1. Questa

funzione misura localmente la concavità di u(x) e, pur misurandola solo in un intorno di x, la misura più

correttamente rispetto a u’’(x). Né u’’(x) né la curvatura di u(x) possono infatti misurare il grado di

avversione al rischio di un individuo poiché non sono invarianti per trasformazioni lineari della funzione

utilità. Il che significa che qualificherebbero come caratterizzati da diverso grado di avversione al rischio

individui dotati di funzioni utilità u(x) e z(x) equipollenti nel senso di von Neumann – Morgenstern. Infatti se

si calcola la misura di avversione al rischio di Arrow-Pratt per trasformazioni lineari crescenti di u(x), si

ottiene, correttamente:

A sua volta, il reciproco di r(x):

fornisce una misura di tolleranza del rischio in forma locale dell’individuo I. Questa relazione, che ha

dimensioni euro, rappresenterà un importo tanto più grande quanto meno l’individuo è avverso al rischio.

In conclusione, è importante supporre che r(x) sia una funzione non crescente di x. Ciò è suggerito da un

comportamento degli agenti economici, spesso osservato nella pratica, per cui si paga tanto meno per

assicurarsi contro un dato rischio quanto maggiore è il capitale posseduto. Infatti una compagnia di

assicurazione può trovare vantaggioso assumere posizioni rischiose, pur essendo avversa al rischio, fatta

forte dell’entità del capitale gestito.

Molti contratti assicurativi possono essere giustificati anche in base al principio della compensazione dei rischi,

secondo il quale, per la legge dei grandi numeri, l’incertezza di un portafoglio di polizze relative a variabili aleatorie

stocasticamente indipendenti diminuisce con l’aumentare della numerosità del portafoglio G. Castellani, M. De Felice, F. Moriconi – Manuale di Finanza, vol. II, pg.80

Alcuni tipi di funzioni di utilità

Utilità logaritmica

Questo modello di funzione fu proposto

inizialmente da Daniel Bernoulli, il quale

assunse l’incremento di utilità come

direttamente proporzionale all’incremento di

capitale e inversamente proporzionale al

capitale posseduto, cioè:

da cui:

dove sono costanti

arbitrarie. In questo caso l’avversione al rischio è data da: quindi la tolleranza al rischio è pari

a: . Soddisfa perciò l’ipotesi di decrescenza.

Utilità esponenziale

In alcune applicazioni è utile riferirsi

a funzioni di utilità superiormente

limitate. Tra queste, l’utilità

esponenziale, nella sua forma più

semplice, è senz’altro un caso

interessante:

Essa presenta come estremo

superiore il parametro a, la

cosiddetta potenzialità massima. La

proprietà caratteristica di questa

funzione consiste nell’avere avversione al rischio costante. Infatti si ricava immediatamente che la misura

assoluta di avversione al rischio in forma locale di Arrow – Pratt è pari a: . Dunque se si

escludono i casi di funzioni lineari, per cui , le funzioni utilità esponenziale sono le uniche dotate

u

x0 1

u

x0

a

di questa proprietà. Un’altra proprietà interessante recita che, sotto ipotesi di utilità esponenziale,

un’operazione somma di più operazioni indipendenti e indifferenti è indifferente.

Utilità quadratica

In molte applicazioni viene ipotizzata

una funzione di utilità di tipo

quadratico, nella forma:

La concavità è assicurata dalla non-

negatività del parametro a. Per

garantire la monotonia è necessario

limitarsi al ramo ascendente della

parabola , riducendo quindi il

dominio D della funzione all’intervallo

di valori x compresi tra 0 e 1/a . L’utilità

marginale è e la

misura di avversione al rischio è pari a:

L’avversione al rischio ha quindi un andamento iperbolico e, nel dominio di definizione , è una

funzione crescente di x.

Funzioni di utilità di tipo HARA

La denominazione di tale classe di funzioni di utilità deriva dall'inglese Hyperbolic Absolute Risk Aversion, a

causa della forma funzionale del coefficiente assoluto di avversione al rischio r(x), ad esse associato:

con a1 e a2 costanti tali da garantire valori sempre positivi di r(x). La forma funzionale delle funzioni della

classe HARA è utilizzata soprattutto perché include classi di funzioni di utilità ampiamente utilizzate, come

l'utilità quadratica (per a1 = 1 / a e a2 = -1), l'utilità esponenziale (per a1 = a e a2 = 0) e l'utilità logaritmica

(per a1 = 0 e a = 1). Per le loro proprietà di trattabilità e adattabilità a rappresentare diversi tipi di

preferenze, le funzioni della classe HARA sono largamente utilizzate in macroeconomia e in finanza.

Equivalente certo

La strategia decisionale di un individuo risulta dunque determinata una volta introdotta una funzione di

valutazione definita nell’insieme X delle opportunità. Detto questo, assunte per la funzione utilità

u(x) tutte le proprietà fondamentali e ipotizzando, in aggiunta, che la distribuzione di probabilità della

variabile aleatoria sia discreta e finita, si può introdurre il concetto di equivalente certo di una

posizione finanziaria aleatoria come una specificazione molto espressiva della funzione . Come

u

x0 1/a

1 2a

detto la variabile aleatoria X assumerà i valori: con probabilità

(valendo naturalmente ). Il valore atteso di X, sarà quindi:

e l’utilità attesa sarà:

Considerando il piano (x, y), si rappresenti sull’asse delle x gli importi e sull’asse delle y le utilità. Si può

immaginare le masse pk, che rappresentano la distribuzione di probabilità di X, disposte sulla curva

nei punti P1, P2, P3, … , Pn.

Il baricentro B della distribuzione di masse ha coordinate e , uguali cioè al guadagno

sperato e all’utilità sperata (i baricentri degli assi). Per la concavità su u(x), B cade all’interno del poligono

convesso di vertici P1, P2, P3, … , Pn e perciò sarà:

Questa relazione è un’interpretazione in termini probabilistici della proprietà caratteristica delle funzioni

concave, nota come disuguaglianza di Jensen. In teoria dell’utilità, questa disuguaglianza afferma che

l’utilità sperata di un importo aleatorio non è mai superiore all’utilità dell’importo sperato. Per l’ipotesi di

monotonia, il segno di uguaglianza varrà soltanto se la variabile aleatoria ha una sola determinazione, cioè

solo se X è una variabile aleatoria degenere.

Definizione Si definisce equivalente certo dell’importo aleatorio X, l’importo certo mu

che produce un’utilità uguale all’utilità sperata dell’importo aleatorio X; mu

si può anche intendere come il prezzo che si è disposti a pagare per

acquisire il diritto di partecipare ad una scommessa che ponga nella

situazione incerta X. L’equivalente certo è anche detto speranza utilitaria di

X.

In simboli:

ovvero:

dato che u(x), per l’ipotesi di monotonia e continuità, è dotata di funzione inversa u-1. Dato che u(x) è

funzione crescente di x, lo stesso varrà per la sua funzione inversa. Quindi calcolando u-1 per ambo i membri

della disuguaglianza di Jensen, il verso della disuguaglianza si conserva. Si ha cioè:

ovvero:

Si ricava quindi che l’equivalente certo di un importo aleatorio X non è mai superiore alla speranza

matematica di X. Il segno di uguaglianza vale ancora solo nel caso di X degenere. L’equivalente certo è

inoltre invariante per trasformazioni lineari della funzione di utilità: per una fissata distribuzione di

probabilità di X, se è allora risulta . Ricordando inoltre la

definizione di avversione al rischio di Arrow – Pratt, si può scrivere:

Ovvero: l’equivalente certo di X per un individuo è tanto minore quanto maggiore è la sua avversione al

rischio.

es. Equivalente certo del gioco di San Pietroburgo

In base alla funzione utilità logaritmica usata da Bernoulli, si ottiene calcolando l’esponenziale

(funzione inversa del logaritmo) del valore morale del gioco, dunque si avrà:

CCOONNTTRRAATTTTII AASSSSIICCUURRAATTIIVVII EE TTEEOORRIIAA DDEELLLL’’UUTTIILLIITTÀÀ

La teoria dell’utilità attesa trova naturale applicazione in campo assicurativo. Una polizza d’assicurazione

infatti è essenzialmente un’operazione finanziaria in cui il policyholder riduce o, se possibile, annulla

l’aleatorietà del valore monetario di un certo bene esposto a rischio. Per semplicità, si procederà ad

analizzare polizze assicurative ramo danni, rappresentandole come contratti uniperiodali e come fossero ad

esecuzione immediata. Il caso sarà quello delle polizze a copertura totale.

Polizze a copertura totale

Si consideri un individuo I, avverso al rischio, il cui patrimonio è composto da un capitale certo c e da un

bene esposto a rischio, con valore aleatorio X. Poiché I si trova in una posizione finanziaria esposta a loss, si

supponga che stipuli una polizza assicurativa che gli garantisca il rimborso integrale del danno da parte di

una compagnia di assicurazione, dietro pagamento di un premio assicurativo.

I u(x) c X xm

L’individuo si assicura totalmente:

La posizione X2 è dunque una posizione certa.

Dunque se si suppone finito xm, il livello massimo di X, cioè il valore del bene se questo fosse esente da

rischio e pari a zero il suo livello minimo, si può affermare che I, il cui patrimonio è composto da c e da X, si

trova in una posizione finanziaria ed è esposto a un danno di ammontare aleatorio , il cui valore

possibile è compreso tra un minimo di zero e un massimo di xm. Si consideri il premio puro, cioè il costo

dell’operazione di assicurazione: è possibile ora affermare che, per l’individuo I, assicurarsi totalmente

contro il rischio di danno, cioè assumere la posizione finanziaria X2 , vuol dire assumere una posizione certa

pari a .

A questo punto l’operazione di scambio , può dirsi equa? Sì, poiché considerando il valore atteso

della posizione finanziaria e il valore atteso della posizione finanziaria X2 , essi risultano identici.

;

è un’operazione equa

Se l’operazione di scambio può dirsi equa, il premio puro viene detto premio equo.

L’operazione risulta tuttavia vantaggiosa, svantaggiosa o indifferente? L’operazione, per un individuo

avverso al rischio, risulta vantaggiosa:

Ricordando la DDiissuugguuaagglliiaannzzaa ddii JJeennsseenn:

Se X2 è una variabile aleatoria degenere

Quindi se l’operazione risulta vantaggiosa per un individuo avverso al rischio.

Questa operazione vantaggiosa per I, resterà tale anche se l’individuo pagherà un caricamento o

sovrappremio , purché questo sia inferiore alla soglia di indifferenza, cioè al valore per cui la

disuguaglianza diventa un’uguaglianza. Il sovrappremio o caricamento massimo

accettabile è denominato caricamento per il rischio, in inglese risk loading.

Premio caricato

Posto come il sovrappremio e come il caricamento per il rischio, si definisce , dove:

definendo η il tasso di caricamento percentuale. Considerando dunque il premio puro, il sovrappremio

e η il tasso di caricamento percentuale, si definisce il premio totale π come premio caricato:

Dunque se I versa il premio caricato, consegue la posizione finale:

cioè dato che vale , l’individuo si assicura l’importo certo:

Evidentemente, per I l’operazione di scambio non è più equa, ma sfavorevole, poiché:

quindi I accetta di scambiare una posizione finanziaria con valore atteso con una posizione

finanziaria con valore atteso minore ed è disposto a pagare un sovrappremio , tale che:

purché la disuguaglianza sia soddisfatta. In questo caso quindi il caricamento

massimo accettabile sarà tale che:

Ovvero:

Applicando ad ambo i membri la funzione inversa e ricordando la definizione di equivalente certo:

Si definisce caricamento massimo accettabile, la grandezza:

Esprimendo inoltre come percentuale η del premio equo, cioè in termini di tasso di caricamento:

Si definisce tasso massimo di caricamento, la grandezza:

Dunque si può giungere ad affermare che, per , l’operazione sfavorevole è vantaggiosa.

Conclusione

In conclusione, se un individuo I avverso al rischio e dotato di funzione di utilità u(x), si trova in una

posizione finanziaria incerta e vuole scambiarla con una posizione finanziaria certa X2, può stipulare una

polizza assicurativa di copertura integrale dietro pagamento di un premio in danaro. Per definizione il

premio equo è quello che rende equa l’operazione di assicurazione. Quindi, se I pagasse solo il premio

equo, la sua posizione patrimoniale finale sarebbe X2 . Naturalmente questa operazione sarebbe

vantaggiosa per I, dunque l’individuo potrà accettare di pagare un caricamento del premio equo,

assumendo la posizione finale certa , purché rispetti la condizione di vantaggiosità:

dove rappresenta il premio di indifferenza associato da I alla propria posizione rischiosa.

Il caricamento massimo accettabile per assicurare integralmente una posizione finanziaria rischiosa è uguale alla

differenza tra il valore atteso di e il suo equivalente certo; per la concavità della funzione di utilità, questa

differenza è positiva. G. Castellani, M. De Felice, F. Moriconi – Manuale di Finanza, vol. II, pgg. 113

ESEMPIO N. 4, tratto dal PITACCO

Il possibile verificarsi di un evento ℰ arreca ad un soggetto un danno di importo (certo se l’evento si

verifica). Il danno, , rappresentato da una variabile aleatoria discreta, è dunque aleatorio:

ℰ

ℰ

L’individuo vuole assicurarsi stipulando una polizza che gli garantisca almeno se l’evento ℰ si dovesse

verificare. Un’impresa assicurativa accetta il contratto richiedendo un premio . Sia il patrimonio

iniziale dell’individuo. La situazione aleatoria iniziale dell’individuo sarà:

ℰ

ℰ

assicurandosi, la sua situazione, , risulterà certa:

Dunque, ipotizzando che il differimento tra il pagamento del premio e l’eventuale risarcimento sia

trascurabile non vi sarà attualizzazione e, per l’assicurato, il valore del guadagno aleatorio è dato

semplicemente da:

ℰ

ℰ

Viceversa, per la Compagnia assicuratrice varrà evidentemente:

ℰ

ℰ

Considerando le probabilità e assegnate all’accadimento degli eventi ℰ ed ℰ , i valori attesi

delle variabili aleatorie sono, rispettivamente per l’assicurato e per la compagnia:

Se si fissasse un premio tale che risulti: , allora il premio sarebbe pari al valore atteso

della prestazione dell’assicuratore, calcolato con la probabilità .

Rendendo dunque nullo il guadagno atteso, rendendo cioè “equa” l’operazione, il premio è detto premio

equo e tale principio di calcolo del premio è detto principio di equità. E’ chiaro che qualora

rappresentasse una valutazione realistica della probabilità di sinistro, il premio così calcolato sarebbe

privo di concreto interesse economico, in quanto non consentirebbe all’assicuratore di conseguire

dall’operazione un profitto atteso positivo. Sia ora la probabilità realisticamente valutata, assegnata

dall’assicuratore all’evento ℰ e sia:

Supponendo che il premio sia calcolato secondo il principio di equità, impiegando la probabilità :

Il premio così calcolato risulterà “formalmente equo” ma dalla valutazione dell’operazione su base realistica

emerge un guadagno atteso positivo. E’ opportuno sottolineare che, considerando una collettività di rischi

tra loro analoghi, l’applicazione del premio equo porta ad un guadagno, sulla collettività, “mediamente”

nullo, mentre la presenza del cosiddetto caricamento di sicurezza, conduce ad un guadagno mediamente

positivo. La probabilità impiegata nel calcolo del premio equo è detta così base tecnica di primo ordine,

mentre è chiamata base tecnica di secondo ordine la probabilità che esprime una valutazione realistica. Il

premio , equo secondo la base tecnica di primo ordine, risulta favorevole all’assicuratore se il guadagno

atteso è valutato con la base tecnica di secondo ordine. Il guadagno atteso così valutato è detto quindi

caricamento di sicurezza, poiché limita la probabilità di perdita dell’assicuratore nella gestione di un

portafoglio di contratti. Il calcolo di questo premio “formalmente equo” comporta dunque che il premio

stesso contenga un caricamento di sicurezza implicito, a causa dell’adozione di una base tecnica prudenziale

ossia favorevole all’assicuratore. Non è esclusa la possibilità di operare, in alternativa o in aggiunta a quello

implicito, un caricamento di sicurezza esplicito che dovrà essere sommato al premio equo, in questi casi

usualmente calcolato su basi meno favorevoli all’assicuratore. E’ interessante notare che, con riferimento

alla base tecnica di secondo ordine, sarà:

L’operazione assicurativa, valutata con la probabilità realistica , riesce sfavorevole all’assicurato, la cui

avversione al rischio tuttavia lo sprona ad acquistare la copertura, pur di trasferire il rischio all’assicuratore

ed assumere una posizione certa.

PUNTO DI VISTA DELL’ASSICURATO

Considerando u(X) la funzione di utilità del soggetto, l’utilità attesa che l’individuo attribuirà all’iniziale

situazione aleatoria: , sarà:

Per una fissata probabilità , sia il premio equo, con , sia poi , con , il premio con

caricamento di sicurezza esplicito , dove . L’assicurazione è, per l’assicurato, un’operazione a

risultato aleatorio:

per cui assicurandosi si pone nella situazione certa:

cui attribuisce utilità attesa:

Ovviamente, per la crescenza della funzione di utilità e purché il caricamento non sia eccessivo (dunque

l’operazione assicurativa risulterà comunque vantaggiosa per l’assicurato), sarà:

Ponendo per semplicità , appare evidente dal grafico che è il massimo premio accettabile dal

soggetto contraente: il contratto è vantaggioso se , indifferente se , svantaggioso se .

In conclusione, può dunque

verificarsi che un’operazione

sfavorevole (secondo il criterio

del valore atteso degli importi)

riesca vantaggiosa (secondo

quello dell’utilità attesa).

AASSSSIICCUURRAAZZIIOONNII SSUULLLLAA DDUURRAATTAA DDII VVIITTAA

In un contratto sulla durata di vita, l’assicuratore si impegna a pagare somme prefissate o determinabili in

modo prefissato* al verificarsi di prestabiliti eventi relativi alla sopravvivenza di una o più persone o TESTE

assicurate. A fronte di tale impegno, l’assicuratore richiede un compenso, detto PREMIO di assicurazione, la

cui entità dipende anche dalla modalità scelta per la corresponsione: esso può essere versato in soluzione

unica alla stipula del contratto, in questo caso è detto premio unico o convenientemente rateizzato, è il caso

del premio periodico. In questa seconda ipotesi è introdotto nel contratto assicurativo un nuovo elemento

di aleatorietà, la corresponsione avendo luogo, d’ordinario, al più finché è in vita colui che ha stipulato

l’assicurazione. Intervengono, in un contratto di assicurazione sulla durata di vita, oltre all’assicuratore:

- l’assicurato, alla cui durata aleatoria di vita si riferiscono gli eventi oggetto di assicurazione

- il contraente, che stipula il contratto e paga il premio

- il beneficiario, cui sono eventualmente pagate la somme assicurate

Potrà accadere che due o tutte le tre citate parti coincidano e ciò in funzione della forma assicurativa e degli

scopi per cui l’assicurazione è stipulata.

DURATA ALEATORIA DI VITA

Come detto, in questa categoria assicurativa, le prestazioni dell’assicuratore dipendono esclusivamente

dalla durata aleatoria di vita dell’assicurato o degli assicurati.

Durata di vita alla nascita Si consideri un individuo di età , dunque nell’istante della sua nascita

e si indichi con la sua durata aleatoria di vita, misurata in anni. Sia

la funzione di ripartizione della distribuzione di probabilità della variabile

aleatoria considerata, :

E’ detta funzione di sopravvivenza la funzione così definita:

Riuscendo per la funzione di ripartizione

si ha per la funzione di sopravvivenza

* La struttura tradizionale di un contratto di assicurazione sulla durata di vita prevede somme assicurate

monetariamente prefissate. Sono state successivamente introdotte dorme assicurative in cui le somme assicurate hanno valori inizialmente prefissati ma soggetti ad una dinamica temporale determinata dall’evoluzione di indicatori economico-finanziari come ad es. tasso di inflazione, rendimento di investimenti, indici di borsa, ecc.

Funzione di sopravvivenza

Qui accanto è rappresentato un andamento plausibile della

funzione di sopravvivenza. Tale andamento può essere

giustificato tramite opportune osservazioni statistiche sulla

mortalità. Si noti la forte decrescenza iniziale,

corrispondente alla mortalità infantile e successivamente

giovanile e la forte mortalità ad età senili che raggiunge il

massimo ad un’età, attualmente prossima agli 80 anni,

rappresentata dal punto di flesso nel grafico.

Durata residua di vita Considerando più in generale una persona di età , ed indicando con la

sua durata aleatoria residua di vita, l’assegnazione della distribuzione di

probabilità alla particolare variabile aleatoria permette di determinare la

distribuzione di probabilità di per una qualsiasi età . Per definizione è

subordinata all’evento . La distribuzione di probabilità di è

individuata dalla relativa funzione di ripartizione:

Evidentemente la rappresenterà la probabilità di decesso entro anni

per un soggetto che abbia raggiunto l’età . Per il teorema delle probabilità

composte si avrà dunque:

Nelle applicazioni assicurative la considerazione della variabile aleatoria

sarà interessante per valori di . Operativamente ogni valutazione di

probabilità sarà ricondotta alla funzione , in quanto mentre la funzione

dipende anche dall’età raggiunta ed è di fatto una funzione di due

variabili, la funzione di sopravvivenza è funzione di una sola variabile.

Notazione attuariale Siccome la probabilità di decesso entro anni e la probabilità di

sopravvivenza per almeno anni sono di frequente utilizzo, si pone:

.. Risulterà dunque:

Varrà quindi:

in questo caso la probabilità si riferirà alla variabile aleatoria

e si intenderà valutata subordinatamente al raggiungimento in vita dell’età

. Si pone poi:

tale probabilità è detta probabilità differita di decesso, in cui riuscirà:

o meglio:

E’ frequente inoltre considerare intervalli di età del tipo , dove ,

detta età estrema, è scelta in modo tale che risulti per ,

mentre sia praticamente nulla. Questa cosiddetta età estrema

rappresenta quell’età massima a cui è praticamente sicuro che nessun

individuo giungerà vivo. Per stimare è necessario considerare la più alta

età raggiunta in vita da un essere umano facente parte della classe di

individui che si sta considerando ed aggiungervi un determinato valore .

E’ altresì frequente nella pratica attuariale considerare età intere nonché

durate intere. Torna comoda in quei casi la definizione dei cosiddetti tassi

annuali e rispettivamente di sopravvivenza e di mortalità, definiti per

dalle:

Per intero qualunque varrà ovviamente:

Dalla sequenza o dalla può essere costruita la funzione di

sopravvivenza per età intere.

Durata aleatoria troncata Nel calcolo attuariale interessa considerare, in luogo della variabile aleatoria

, una variabile aleatoria a questa collegata ma avente come

determinazioni possibili i soli numeri interi non negativi. Questa variabile è

detta durata aleatoria residua troncata di vita. Si indichi così con la parte

intera o valore troncato di . Formalmente è definita da:

La distribuzione di probabilità della variabile aleatoria discreta ,

immediatamente ricavabile da quella relativa alla , è:

CONTRATTO ASSICURATIVO VITA

Si indicherà con:

La probabilità che un individuo di età sia vivo all’età

La probabilità che un individuo di età muoia prima di raggiungere l’età

La probabilità che l’individuo di età muoia entro anni a partire dall’età

Oss. Il contratto assicurativo può non essere riferito ad una sola variabile durata aleatoria di vita,

nel senso che è possibile che siano assicurate più teste.

GRUPPI DI DUE TESTE

Per contratti assicurativi scritti su due teste assicurate, sarà necessario descrivere due variabili aleatorie.1

Dunque in particolare si indicherà con:

La probabilità che due individui, uno di età e uno di età , siano ancora in vita dopo anni

La probabilità che dei due individui, uno di età e uno di età , almeno uno sia in vita dopo anni

La probabilità che dei due individui, uno di età e uno di età , almeno uno muoia entro anni

La probabilità che due individui, uno di età e uno di età , muoiano entrambi entro anni

La probabilità che il primo decesso delle due teste di età e di età si verifichi tra ed anni

TAVOLE

Nella pratica attuariale, la costruzione di un modello probabilistico spesso parte da una tavola ricavata

sulla scorta di osservazioni statistiche. Esistono tavole di sopravvivenza e tavole di mortalità che forniscono

per tutta la popolazione le probabilità di vita e di morte e sono redatte, per l’Italia, dall’ISTAT.

Tavola di sopravvivenza Data la funzione di sopravvivenza , che rappresenta la funzione inversa

della funzione di ripartizione della variabile durata aleatoria di vita , e

definita come:

Si chiama tavola di sopravvivenza la sua tabulazione sugli interi, a partire

da un’età minima intera ed arrestata ad un’opportuna età estrema ,

tale che .

con che è detta radice della tavola.

1 Si suppone che le variabili aleatorie considerate siano stocasticamente indipendenti

Tavola di mortalità* Descrive per singole generazioni, in base alle probabilità di morte

definite come:

l'andamento del numero di sopravvissuti dal momento della nascita fino alla

morte dell'ultimo. Trattandosi di uno strumento di analisi non rappresenta il

numero effettivo di persone viventi in dato territorio, ma astrae tenendo

conto di eventi non fisiologici quali ad esempio le migrazioni, eventi bellici o

catastrofi naturali.

Esistono diversi metodi di rilevamento per costruire tavole di sopravvivenza e tavole di mortalità. Metodi di

rilevamento diversi produrranno evidentemente diverse tavole. Ad esempio, nell’ambito di una definita

collettività, si consideri una generazione di soggetti di età 0 , nati al tempo , inizio del primo anno

del periodo di osservazione. Si proceda nel rilevamento, registrando anno dopo anno i numeri di superstiti,

fino all’estinzione della collettività. Un procedimento di questo tipo è detto rilevamento longitudinale della

mortalità ed il risultato prodotto è una tavola di generazione, in quanto relativa ad una collettività di

persone nate al tempo 0 . E’ evidente che una costruzione di una tavola di questo tipo richieda un periodo

di osservazione di circa 100 – 110 anni. Tuttavia, nonostante il rilevamento longitudinale offra evidenti

vantaggi in termini di descrizione della dinamica di una collettività di coetanei, per ragioni di tempo e di

costo, il procedimento usualmente adottato per la costruzione di tavole mortalità è basato sul cosiddetto

rilevamento trasversale. Per una data collettività, in un periodo di osservazione di fissata durata, è rilevata

la mortalità delle persone, appartenenti alla collettività ed aventi tutte le varie età , . Da

qui si perverrà ad una stima numerica delle probabilità . Scelta infine arbitrariamente una radice , la

tavola viene costruita in via ricorrente mediante la relazione:

Quindi una tavola così costruita è detta tavola di contemporanei o tavola di periodo o tavola del

momento. Tavole di questo tipo sono regolarmente costruite per diverse collettività. Può trattarsi di

collettività nazionali e allora o di collettività specifiche, come ad esempio collettività di assicurati

presso una compagnia assicuratrice o presso un gruppo di imprese assicurative, in tal caso dipenderà

dalla minima età di ingresso in assicurazione. Come detto, le tavole usualmente utilizzate sono tavole di

contemporanei, tra queste esistono tavole relative a collettività nazionali, dette tavole di popolazione. Tra

queste è utile ricordare quelle italiane, costruite e pubblicate ogni dieci anni dall’Istituto Centrale di

Statistica, distinte per sesso e denominate “Statistica di mortalità della popolazione italiana maschile” e

rispettivamente “ femminile”. Nel linguaggio attuariale sono indicate solitamente con le sigle SIM e SIF,

seguite dall’anno centrale nel periodo di osservazione. Concludendo, le tavole sono distinte per classi e

sottoclassi, dette classi di rischio, caratterizzate da una forte omogeneità all’interno di ciascuna di esse e

suddivise secondo criteri di classificazione dovuti ai fattori di rischio considerati.

* Va ricordato che le probabilità di sopravvivenza e le probabilità di morte sono tra loro complementari:

CLASSI DI RISCHIO

E’ evidente come, per le coperture assicurative del ramo vita, l’età all’ingresso in assicurazione sia il primo

criterio di classificazione. Un secondo, fondamentale, criterio di classificazione è dato dal sesso

dell’assicurato, vista la significativa differenza di mortalità fra i due sessi. Questi due fattori sono indicati

come fattori di rischio normali. Tuttavia sull’andamento della mortalità per un dato individuo influiscono

anche altri fattori e, in particolare:

Fattori biologici, di natura fisiologica o patologica legati ad abitudini alimentari, uso dell’alcol, del

fumo, ecc.

Fattori occupazionali, determinati dalla professione, dal praticare attività sportive, ecc.

Fattori ambientali, legati alle condizioni socio-economiche, alle caratteristiche ambientali e

climatiche della zona di residenza, ecc.

E’ comunque consuetudine definire rischio normale ogni rischio in cui, oltre ai fattori normali, non è

ravvisabile un significativo livello di aggravamento della mortalità o tara dovuto a fattori biologici,

occupazionali o ambientali, in caso contrario si parla di rischio aggravato o tarato.

MODELLI DI AGGRAVAMENTO DELLA MORTALITÀ

Per quanto specificamente concerne lo stato di salute, nei casi di rischi aggravati è usuale l’adozione di

convenienti modelli atti ad alterare la mortalità rispetto a quella espressa da una tavola di sopravvivenza

ritenuta standard. Si procede quindi esprimendo le probabilità di decesso aggravate come funzioni della

probabilità normali . Le ipotesi adottate sull’aggravamento di mortalità ed i relativi modelli analitici, in

relazione ad una testa di età , sono i tre seguenti:

I. Aggravamento moltiplicativo

Si stima costante la percentuale di aggravamento, per cui l’aggravamento di mortalità è crescente al

crescere della mortalità e quindi dell’età.

II. Aggravamento additivo

In questo caso la mortalità risulta aggravata in maniera costante, indipendentemente dall’età.

III. Aggravamento decrescente

Corrisponde in sostanza a malattie il cui esito si manifesta quasi certamente entro un certo numero

di anni o con il decesso o con la guarigione e conseguente annullamento della tara:

SELEZIONE

Nella pratica assicurativa, l’incidenza dei vari fattori è rilevata all’atto della stipula di un contratto di

assicurazione vita, anche tramite accertamenti medico-sanitari. Gli accertamenti medici, in particolare,

mirano a contenere gli effetti dell’antiselezione degli assicurati, fenomeno consistente in una possibile forte

domanda di assicurazione, con prestazioni in caso morte, da parte di soggetti maggiormente esposti al

rischio di decesso. Con riguardo alla selezione nell’assicurarsi, è possibile affermare che:

CASO VITA, la selezione è operata dagli assicurati

Il contraente stipulerà la polizza se riterrà che la mortalità dell’assicurato non sia mai maggiore

a quella della tavola servita per il calcolo del premio

CASO MORTE, la selezione è operata dalla compagnia assicuratrice

L’assicurazione stipulerà il contratto se riterrà che l’assicurato sia in buone condizioni di salute e che

dunque le sue probabilità di sopravvivenza non siano mai minori di quelle della tavola servita per il

calcolo del premio

Questo tipo di considerazioni influiranno quindi sul premio, in particolare sul caricamento per il rischio.

ANTIDURATA

E’ interesse della compagnia di assicurazioni tener conto, nella valutazione delle probabilità di decesso

anche dei fattori che influenzino queste ultime. La probabilità di morte dell’assicurato infatti dipende non

solo dalla sua età , ma anche dal tempo decorso dalla stipula del contratto, intervallo di tempo chiamato

proprio antidurata.

dove rappresenta l’età della testa assicurata al momento della stipula e è l’antidurata. Considerando

così probabilità diversa, sarà possibile e utile per l’assicuratore costruire tavole ancora diverse:

Tavole selezionate

Tavole ridotte

Tavole aggregate

VALUTAZIONE DI UN CONTRATTO RAMO VITA

Lo scopo è quello di valutare, in senso demografico e finanziario, cioè attuariale, le prestazioni

dell’assicuratore. Il criterio adottato non sarà quello dell’utilità attesa bensì quello della speranza

matematica: per definizione infatti la compagnia assicuratrice non sarà di certo avversa al rischio! Si

definirà così il premio del contratto come il valore attuale della speranza matematica della prestazione

aleatoria futura dell’assicuratore. In generale, in ogni modello di valutazione, la definizione della variabile

da valutare sarà la somma di una componente certa, data dal valore atteso della variabile aleatoria, più una

componente incerta che rappresenterà l’errore aleatorio dovuto al criterio di valutazione adottato:

In questo caso, l’errore aleatorio non sarà considerato. Infatti si assume che, per rischi analoghi, per la legge

dei grandi numeri, la compagnia avrà in portafoglio attività tali che l’errore risulterà trascurabile:

In questo contesto inoltra si adotterà una struttura finanziaria deterministica, in particolare un’evoluzione

piatta dei tassi d’interesse. Si definirà così il premio unico puro del contratto assicurativo come:

Questo premio (prezzo) sarà unico perché pagato in un’unica soluzione e puro perché non tiene conto del

caricamento per il rischioi.

BASI TECNICHE Dunque, come visto, il presupposto di ogni valutazione attuariale è la fissazione del

tasso annuo d’interesse, , al quale sono attualizzate le prestazioni, ovvero del

fattore annuo di attualizzazione , e, parimenti, della distribuzione di

probabilità della durata aleatoria residua di vita, , della persona assicurata. Il

tasso d’interesse adottato, che in questo caso sarà dato dalla legge esponenziale,

secondo la legge assiomatica di equivalenza intertemporale e la distribuzione di

probabilità della durata residua di vita costituiranno la cosiddetta base tecnica.

i Di seguito si indicherà genericamente con , il valore attuale aleatorio di una prestazione comunque

assegnata e con , il valore attuariale della prestazione stessa. Va ricordato come nelle prestazioni

assicurative sulla durata di vita le prestazioni aleatorie dell’assicuratore siano funzioni esclusivamente

della variabile aleatoria e non di altre variabili inerenti la vita umana. Sono pertanto funzioni di tutte

quelle variabili aleatorie che valutino finanziariamente dette prestazioni all’epoca 0. L’assenza di

dipendenza da altre variabili aleatorie giustifica tecnicamente la denominazione di assicurazioni sulla

durata di vita. In ogni caso riuscirà pertanto:

CONTRATTI CASO VITA

Hanno lo scopo di costituire una disponibilità finanziaria in caso di vita ad una certa epoca: tali contratti

assicurativi prevedono pertanto il pagamento, da parte dell’assicuratore, di un capitale se la testa

assicurata raggiunge in vita una prefissata

età o il pagamento di una rendita che sarà

corrisposta, a partire da una prefissata

data; solitamente la rendita è non

temporanea e dunque è pagabile per tutta

la durata residua di vita. E’ usuale in

questo tipo di contratti che contraente,

assicurato e beneficiario coincidano.

Rendite temporanee sono comunque

diffuse e possono rispondere a scopi

specifici, quali ad esempio il supporto

finanziario a favore di un figlio per i periodi

di studio o di avviamento professionale: in

tal caso, assicurato e beneficiario

coincideranno, mentre contraente

risulterà un altro soggetto. I contratti in

caso di vita saranno quindi

sostanzialmente di due tipi: a capitale differito o rendita vitalizia, cioè con capitale rateizzato e pagato per

tutta la durata residua di vita. In questo contesto si ragionerà per contratti elementari ed il contratto base

in caso di vita sarà proprio rappresentato da un contratto a capitale differito.

CAPITALE DIFFERITO

Nell’assicurazione di capitale differito in caso di vita di una testa , la prestazione dell’assicuratore

consisterà nel pagamento di un capitale alla fine dell’anno , con prefissato, se la testa supera in vita

detta epoca , 0 altrimenti. Il valore attuale aleatorio, all’epoca 0 , di tale prestazione è dato da:

Dato lo schema contrattuale:

la sua speranza matematica, cioè il valore attuariale, sarà dato da:

Si definirà così: come il valore attuale in senso demografico e finanziario all’età di un capitale

unitario esigibile all’età in caso di vita.

FINECoprire il rischio di scarse disponibilità finanziarie in

caso di sopravvivenza ad una certa data

RENDITA

VITALIZIA

CAPITALE

DIFFERITO

FATTORE DI SCONTO DEMOGRAFICO Si definisce fattore di sconto attuariale quella funzione

che consente di calcolare il valore attuale attuariale di un capitale

unitario disponibile ad un'epoca futura con una probabilità nota. E’

ovvio che il suo reciproco:

sarà definito come montante in senso demografico e finanziario

all’età di un capitale unitario versato all’età . E’ utile

ricordare che varrà sempre la disuguaglianza:

Perché sia il fattore di sconto sia il montante attuariale dipendono

da .

SCINDIBILITÀ ATTUARIALE Si consideri il valore attuariale della prestazione in un’assicurazione

di capitale unitario differito anni:

Per il teorema delle probabilità composte:

si ricaverà che:

Si noti che il valore attuariale è riferito all’età .

Queste relazioni esprimono la proprietà di scindibilità attuariale,

proprietà che si basa sulla scindibilità della legge finanziaria

esponenziale e sul teorema delle probabilità composte. Per questa

proprietà, la valutazione all’epoca 0 (età ) di una prestazione

relativa ad una fissata epoca può essere eseguita valutando

anzitutto la prestazione in un’epoca (età ) e portando

quindi il valore così ottenuto all’epoca 0 .

CONTRATTI CASO MORTE

Sono stipulati per coprire il rischio di morte, ad esempio del capofamiglia percettore di reddito e relative

conseguenze finanziarie. A tal fine l’assicuratore pagherà ai beneficiari, ad esempio agli eredi, un capitale

qualora il decesso dell’assicurato

avvenga: entro un fissato intervallo di

tempo, nel caso di assicurazioni

temporanee, o in qualunque epoca esso

avvenga, in caso di assicurazioni a vita

intera. D’ordinario ma non

necessariamente, in questo tipo di

contratti, vi è coincidenza tra contraente

ed assicurato, di certo c’è che il

beneficiario sarà distinto dall’assicurato.

Anche in questo caso converrà ragionare in termini di assicurazione elementare ed il contratto base in caso

di morte sarà rappresentato da un contratto di assicurazione temporanea.

ASSICURAZIONE TEMPORANEA

L’assicurazione temporanea in caso di morte di capitale unitario di durata anni su una testa assicurata ,

prevede che il decesso avvenga tra l’epoca e l’epoca , affinché l’assicuratore paghi l’importo

unitario alla fine dello -esimo anno. Il valore attuale aleatorio, all’epoca 0 , di tale prestazione è dato da:

Dato lo schema contrattuale:

la sua speranza matematica, cioè il valore attuariale, sarà dato da:

Sarà necessario, per la valutazione di un contratto di questo tipo, individuare sulle tavole demografiche* la

probabilità che un individuo di età muoia all’età .

*Le compagnie assicuratrici compilano tavole semplificate con tassi annui di probabilità differite per individui.

ASSICURAZIONE

TEMPORANEA

ASSICURAZIONE A VITA

INTERA

FINE

Coprire il rischio di morte, garantendo adeguate disponibilità

finanziarie ai beneficiari

MISTE

Con la locuzione assicurazione mista si designa, in generale, qualsiasi composizione di una più assicurazioni

caso vita con una o più assicurazioni caso morte, tramite le quali si copre il rischio di morte e

contemporaneamente ci si garantisce un capitale o una rendita in caso di vita. Qui il beneficiario è,

usualmente, il contraente-assicurato in caso di vita e un terzo, ad esempio erede, in caso di morte. E’ utile

ricordare che sono talvolta dette assicurazioni di tipo misto tutte quelle forme assicurative che prevedono,

qualunque sia la durata di vita dell’assicurato, almeno un pagamento da parte dell’assicuratore, aleatorio

essendo solitamente l’istante in cui esso è effettuato. Risulterebbe tuttavia di tipo misto, secondo questa

logica, anche l’assicurazione in caso morte a vita intera. L’assicurazione mista di base, detta appunto mista

semplice o mista ordinaria, risulterà la prima e più semplice combinazione di un capitale differito con

un’assicurazione temporanea caso morte.

MISTA ORDINARIA

Questa assicurazione è dunque definita come la più semplice combinazione di un capitale differito anni e

di un’assicurazione caso morte temporanea anni, essendo uguali i due capitali considerati. Il valore

attuale aleatorio della prestazione della mista ordinaria è pertanto la somma dei valori attuali aleatori

relativi a tali due forme assicurative. Per un capitale unitario risulterà quindi:

o meglio, . Dato lo schema contrattuale:

la sua speranza matematica, cioè il valore attuariale, sarà dato da:

ALTRE FORME ASSICURATIVE RAMO VITA

Definite le forme dei due contratti assicurativi elementari in caso di vita e in caso di morte, si può affermare

che tutte le varie altre forme assicurative del ramo vita non siano altro che combinazioni lineari dei due tipi

elementari. Dunque, in sede di valutazione del contratto e soprattutto di definizione del premio, si dirà che,

per l’additività della speranza matematica, i premi delle altre forme assicurative del ramo vita, sono

combinazioni lineari dei premi relativi alle assicurazioni elementari.

RENDITA VITALIZIA POSTICIPATA

Rappresenta un’annualità vitalizia immediata unitaria posticipata su una testa di età . Questo contratto

prevede l’impegno dell’assicuratore a corrispondere all’assicurato una rendita immediata, unitaria, annua,

posticipata, dunque con prima rata in età , se e solo se la testa assicurata sopravvivrà all’epoca del

pagamento. Dunque questo contratto rappresenta un portafoglio di contratti elementari del caso vita.

Quanti? , pari all’età estrema. Dato allora lo schema contrattuale:

la sua speranza matematica, cioè il valore attuariale, sarà dato da:

RENDITA VITALIZIA ANTICIPATA

Rappresenta un’annualità vitalizia immediata unitaria anticipata su una testa di età . Questo contratto

prevede l’impegno dell’assicuratore a corrispondere all’assicurato una rendita immediata, unitaria, annua,

anticipata, dunque con prima rata in età , se e solo se la testa assicurata sopravvivrà all’epoca del

pagamento. Anche questo contratto rappresenterà un portafoglio di contratti elementari del caso vita.

Saranno sempre contratti elementari . Dato anche qui lo schema contrattuale:

la sua speranza matematica, cioè il valore attuariale, sarà dato da:

MONTANTE DEMOGRAFICO-FINANZIARIO DI UN’ANNUALITÀ VITALIZIA

Rappresenta la somma che sarà pagata dall’assicuratore all’assicurato, in caso di sopravvivenza all’età

, in cambio di detta annualità. L’annualità vitalizia su una testa considerata è immediata, unitaria,

temporanea, di durata anni, e posticipata. Dato lo schema contrattuale:

Poiché il valore di questa annualità sarà: , allora ovvero il montante attuariale, sarà:

CASO MORTE A VITA INTERA

E' l'impegno a corrispondere un capitale unitario alla fine dell'anno in cui avviene il decesso della testa assicurata di età x . Dato lo schema contrattuale:

Il suo valore attuariale sarà:

Dunque, il principio di composizione di questi contratti è rappresentato dalla costruzione di un portafoglio di ω − x contratti elementari in caso morte.

PPREMIREMI

Come detto, un generico contratto assicurativo sulla durata di vita è definito da un insieme di prestazioni dell'assicuratore, le quali, inizialmente aleatorie in quanto collegate alla durata aleatoria di vita dell'assicurato, si materializzano in una sequenza di pagamenti o flussi di cassa le cui entità e collocazioni temporali sono individuate dall'effettiva determinazione della durata di vita dell'assicurato stesso. L'assicuratore deve ovviamente finanziare tali prestazioni chiedendo, come contropartita, il pagamento di controprestazioni, cioè premi, di entità convenientemente determinata. Fissato così l'insieme delle prestazioni, la determinazione di queste controprestazioni deve avvenire in accordo con un principio di calcolo del premio. Va detto che il calcolo attuariale concernente le assicurazioni sulla durata di vita fin qui sviluppato, basato solo sul criterio della speranza matematica, è stato finalizzato alla valutazione di prestazioni e, in particolare, al calcolo di premi in condizioni pure. Sono state cioè trascurate le spese di vario tipo sostenute dall'assicuratore per acquisire e gestire i contratti assicurativi e la conseguente necessità di coprire tali spese trasferendone l'onere ai contraenti mediante aumenti, o caricamenti di premio. Distinguendo il concetto di premio equo dal concetto di premio puro, la necessaria considerazione delle spese e dei caricamenti di premio a fronte delle stesse porta ad una sua nuova nozione: il premio di tariffa, di interesse commerciale ben maggiore rispetto ai precedenti.

CONFIGURAZIONI DEL PREMIO E CARICAMENTI

Riprendendo in considerazione il problema della determinazione del premio a fronte delle pure prestazioni dell'assicuratore, è bene ricordare come in questo calcolo sia usuale, nelle assicurazioni sulla durata di vita, l'impiego del cosiddetto principio di equità. Tale principio richiede che il valore attuale atteso alla stipula della perdita dell'assicuratore sia nullo. Mentre l'equità formale è garantita dalla semplice adozione di questo criterio, l'equità sostanziale richiede che le valutazioni attuariali siano effettuate con una base tecnica giudicata realistica. E' detto così premio equo quel premio valutato secondo il principio di equità e con una base tecnica realistica. Questo principio determina tuttavia una situazione economicamente inaccettabile: l'assicuratore che lo adotti come principio di calcolo del premio ha, per definizione, una speranza di guadagno da ciascun contratto,

pari a zero. La conseguente assenza di margini di guadagno atteso dall'intero portafoglio di contratti assicurativi non è infatti in linea con gli obiettivi di una gestione d'impresa volta a conseguire profitti positivi. Va tuttavia ricordato che il concetto di equità è relativo ad una particolare base tecnica impiegata nel calcolo dei valori attuariali: la base tecnica realistica cui si fa riferimento nell'esempio n. 4 tratto dal Pitacco. E' chiaro come l'assicuratore possa invece procurarsi un guadagno atteso positivo impiegando, nel calcolo del valore attuariale E(Y) e quindi del premio, una opportuna base tecnica, diversa da quella che esprime le sue realistiche aspettative finanziarie e demografiche. Inoltre, la fissazione del premio in relazione ad una realistica base tecnica esporrebbe l'assicuratore al rischio di subire perdite in misura certo più alta di quella determinata dalla presenza di una maggiorazione di premio, ad esempio: in un portafoglio di polizze temporanee caso morte, a causa di una mortalità effettiva maggiore di quella prevista. Una maggiorazione del premio ha dunque il ruolo sia di formare un guadagno atteso positivo, sia quello di ridurre il rischio di perdite. Tale secondo scopo giustifica la denominazione di caricamento di sicurezza usualmente attribuita alla differenza tra il premio puro adottato, comunque sia calcolato, ed il premio equo secondo la base tecnica realistica. Per questi motivi è stato necessario abbandonare l'impiego del premio equo ed adottare invece un premio puro ottenuto sommando al primo un conveniente caricamento di sicurezza. La compagnia con i premi puri riesce tuttavia a far fronte agli impieghi verso gli assicurati se e solo se la mortalità effettivamente verificatasi e il tasso di mercato sono uguali a quelli stabiliti per il calcolo dei premi.PR E M I O PU RO = P R E M I O E Q U O + C A R I C A M E N T O D I S I C U R E Z Z ALa costruzione del caricamento di sicurezza è effettuata, nel contesto dell'adozione del principio di equità formale, mediante l'adozione di una base tecnica del primo ordine favorevole all'assicuratore. Così operando si determinerà un caricamento di sicurezza implicito, cosiddetto in quanto già contenuto nella base tecnica, pervenendo quindi direttamente al calcolo del premio puro. In questo caso, per conoscere l'entità del premio equo occorrerà procedere ad un calcolo dello stesso mediante adozione di una base tecnica realistica. Le basi tecniche del primo ordine così adottate, quelle cioè contenenti il caricamento di sicurezza implicito, sono chiamate basi tecniche prudenziali.

Basi tecniche prudenziali

CASO VITA CASO MORTE

Tavola a bassa mortalità Tavola a forte mortalità

Basso tasso d'interesse finanziario: i

E' detto invece caricamento di sicurezza esplicito quello determinato dall'applicazione di una specifica maggiorazione apportata al premio equo calcolato secondo una base tecnica realistica, tramite specifiche formule che, per una fissata forma assicurativa, consentono di calcolare l'entità del caricamento stesso in funzione di variabili quali, in particolare, l'entità delle prestazioni, l'età dell'assicurato e la durata contrattuale. Non è comunque esclusa la possibilità, in sede di calcolo del premio, della contemporanea adozione di un caricamento implicito e di uno esplicito. Andando ora a considerare le spese che ciascun assicuratore imputa a ciascuna polizza, assumendo l'ipotesi che l'onere di tali spese sia trasferito al contraente tramite un conveniente incremento di premio, tale incremento sarà chiamato caricamento per spese. Questo caricamento può essere determinato in modo forfettario, ponendolo pari ad una fissata percentuale del premio puro, oppure in base a precisi criteri di ordine tecnico-attuariale, giungendo così a determinare quello

che viene chiamato caricamento per spese razionale. L'importo risultante dalla somma del premio puro e del caricamento per spese, comunque determinato, è detto premio di tariffa o premio commerciale. Questo premio, a meno di eventuali tasse, è l'importo effettivamente pagato dal contraente e, pertanto, rappresenta la configurazione di premio di concreto interesse sul piano commerciale. Questo premio tiene conto della copertura di impegni diversi da quelli nei confronti degli assicurati e dello sfavorevole andamento della mortalità e del tasso interesse.PR E M I O D I TA R I F FA = P R E M I O P U R O + C A R I C A M E N T I P E R S P E S ELa procedura razionale per la determinazione dei caricamenti per spese è basata su:

1. Individuazione delle categorie di spese

2. Definizione di una componente di caricamento per ogni categoria di spesa

3. Quantificazione, per ciascuna categoria, della spesa attribuita alla polizza

4. Quantificazione, per ciascuna componente di caricamento, del caricamento stesso

In relazione alle categorie di spese ci si basa tipicamente su:

• Spese iniziali o di acquisizione del contratto assicurativo

• Spese di incasso premi

• Spese generali di gestione

Temporalmente, le prime sono spese esclusivamente iniziali, le seconde e terze sono in genere ricorrenti, in particolare, le seconde si manifestano per la sola durata dell'incasso dei premi, le ultime invece per tutta la durata del contratto.

PREMI E PERIODICITÀ

I premi possono essere distinti non solo in termini dei caricamenti loro apportati ma anche rispetto alla periodicità di pagamento degli stessi. In questo senso si distingue tra premio unico, in quanto pagato in soluzione unica alla stipula del contratto e pari, in caso di premio unico puro, al valore attuale medio degli impegni dell'assicuratore, contro premio periodico, una sequenza di premi uguali o variabili a intervalli uguali di tempo, pagati anticipatamente a partire dalla data di stipula e subordinatamente a determinate condizioni di sopravvivenza dell'assicurato. In caso di premi periodici, il valore attuale medio dei premi periodici deve essere uguale al valore attuale medio degli impegni dell'assicuratore.

U = P R EM IO UN IC O P UR O

P = PR EM IO P ER IOD IC O C OS TAN TE P UR O

U = U ( T ) = P R EM IO UNIC O D I TAR IF FA

P = P ( T ) = P R EM IO P ER IODIC O D I TAR IF FA

S’è vero com’è vero che il premio unico puro è pari al valore attuale medio degli impegni dell’assicuratore:

è banale la scrittura dei premi unici per le varie forme assicurative fin qui considerate:

Assicurazione di capitale differito:

Rendita vitalizia differita anticipata:

Rendita vitalizia immediata posticipata:

Assicurazione caso morte temporanea:

Assicurazione caso morte a vita intera:

Assicurazione mista ordinaria:

Se si dovesse convenire, come nella maggior parte dei casi avviene, ad una rateazione del premio unico in

un conveniente flusso di importi, allora si farebbe riferimento al caso dei premi periodici. Per fare un

esempio, un premio costante per anni, a condizione che la testa sia in vita, deve soddisfare la relazione:

Di contro, un premio costante per tutta la vita, finché la testa è in vita, dovrà soddisfare un’altra condizione:

Se la rateazione comporta de facto una situazione di differimento, almeno in parte, del pagamento del

premio, questo differimento non deve risultare eccessivo. Sarebbe inaccettabile infatti un differimento del

pagamento del premio unico alla scadenza della copertura assicurativa: l’assicuratore dovrebbe infatti in

quel caso coprire il rischio nel corso del primo anno, senza aver introitato i mezzi finanziari a ciò necessari,

questa situazione è detta di sottofinanziamento dell’assicuratore. La necessità che l’assicuratore non risulti

sottofinanziato vale per tutti gli anni di contratto, in particolare al fine di evitare i possibili problemi

conseguenti alla posizione creditoria dell’assicuratore stesso nei confronti dell’assicurato. Questa pretesa di

adeguato finanziamento degli impegni dell’assicuratore anno per anno, ben si accorda con il principio di

equità. Infatti se, per ipotesi, si scegliesse di rateizzare il premio unico puro di una polizza in una sequenza

di premi annuali tali per cui, ciascun premio annuo, pagabile in caso di vita ad inizio d’anno, sia pari al costo

atteso annuo dell’assicuratore, valutato ad inizio d’anno, la sequenza di questi premi garantirebbe in modo

naturale che, in ciascun anno, l’impegno dell’assicuratore sia esattamente coperto dall’introito del premio,

evitando situazioni di sottofinanziamento. Per questa ragione, i premi così costruiti sono detti premi

naturali dell’assicurazione. Questi infatti sono quei premi puri che coprono esattamente gli impegni

dell’assicuratore nei confronti del contraente, relativi all’anno stesso a cui competono. Si indicherà quindi

con:

il premio naturale pagato in che copre esattamente l’impegno dell’assicuratore per il -esimo anno.

Ovviamente l’utilizzo dei premi naturali garantirà l’equità dell’operazione anche su tutta la durata

contrattuale:

Si consideri ad esempio un’assicurazione caso morte a vita intera con pagamento dei premi naturali. Questo

contratto ricalca manifestamente lo schema usualmente adottato nelle assicurazioni contro i danni,

secondo il quale il singolo premio è commisurato al rischio coperto dall’assicuratore nell’intervallo di tempo

cui il premio stesso compete. Tuttavia, a differenza dell’assicurazione danni, ovviamente con diverse

eccezioni, in un’assicurazione sulla durata di vita con prestazione in caso di decesso si avrà una successione

di premi crescenti. Basti pensare che ogni premio naturale:

è proporzionale alla probabilità di decesso nell’anno, , crescente al crescere di . Ancorché equa,

questa situazione è piuttosto inconveniente: inconveniente per il contraente, in quanto a parità di capitale

assicurato dovrebbe sostenere oneri crescenti nel tempo; inconveniente per l’assicuratore per tutta una

serie di complicazioni di ordine finanziario e amministrativo. Si ovvia a questo problema, adottando premi

costanti per tutta la durata del contratto. Ponendo così:

affinché sia soddisfatto il principio di equità, deve valere:

I premi costanti saranno quindi livellati ad una conveniente media ai fini dell’equivalenza attuariale dei

premi naturali: si dice infatti che il premio costante è una media funzionale dei premi naturali.I pesi della

media sono, come si vede, i fattori di sconto attuariale , atti ad esprimere il differimento

congiuntamente in termini finanziari e di probabilità di sopravvivenza. Nella pratica il contratto sarà

stipulato in modo che il premio sia inizialmente maggiore del premio naturale: i premi costanti infatti

comportano, per l’assicuratore, un introito che parzialmente precede nel tempo le prestazioni attese, andrà

dunque, come si vedrà, ad alimentare una riserva a copertura degli impegni dell’assicuratore.

PREMIO DI TARIFFA

Come già detto per determinare il premio di tariffa è necessario caricare il premio puro per le spese

sostenute dall’assicuratore.

Spese di acquisizione

Appartengono a questa categoria:

la provvigione d’acquisto, che costituisce il compenso per l’agente che ha stipulato il contratto

le spese sostenute dall’agente in relazione al contratto

le spese di emissione della polizza

La provvigione d’acquisto è usualmente corrisposta dall’assicuratore all’agente in soluzione unica alla

stipula del contratto (preconto provvigionale). Ne segue che le spese di acquisizione sono spese iniziali. E’

usuale esprimere detta provvigione in termini di aliquota del capitale assicurato o del primo premio annuo

o del premio unico. Solitamente, anche il totale delle spese di acquisizione, le quali vanno ripartite per tutta

la durata di pagamento premi , viene espresso in termini di aliquota del premio annuo o del premio

unico o rispettivamente di aliquota del capitale assicurato.

E’ importante aggiungere che il commisurare le spese di acquisizione al capitale assicurato comporterà l’uso

di diverse aliquote per diverse categorie di polizze.

Spese di incasso premi

In tale categoria sono incluse:

la provvigione d’incasso, corrisposta all’agente che cura l’incasso dei premi, come compenso per

tale servizio

varie spese relative all’incasso premi, ad es. emissione della quietanza, contabilizzazione

dell’introito, ecc.

Si tratta evidentemente di spese ricorrenti, che si manifestano per tutta la durata di pagamento dei premi.

Non si presentano quindi problemi di sfasamento temporale tra il sostenimento delle spese e l’introito dei

corrispondenti caricamenti. E’ usuale esprimere tali spese in termini di aliquota del premio di tariffa.

in caso di premio unico si ha ovviamente:

in tal caso è peraltro usuale conglobare le spese di acquisizione e di incasso in un’unica aliquota, ottenuta,

ad esempio, sommando le aliquote e .

Spese generali di gestione

Queste spese sono costituite da elementi non suscettibili di diretta imputazione ai singoli contratti,

comprendendo varie voci di spese generali sostenute dall’impresa assicuratrice. Convenzionalmente a

ciascun contratto è assegnata una quota annua di spese pari ad una fissata aliquota del capitale

assicurato, secondo un criterio di equità distributiva, non essendo ipotizzabile alcun legame concreto tra

entità delle spese e capitale assicurato. Queste spese ricorrenti sono attribuite al contratto per una durata

pari a quella del contratto stesso e vanno ripartite per tutta la durata di pagamento premi .

Premio di tariffa

Si consideri ora una forma assicurativa di durata anni con capitale assicurato unitario. Siano fissati i

parametri di caricamento . In caso di premio periodico di tariffa pagabile per anni, si troverà:

e quindi:

semplificando:

ricordando che:

allora:

Il premio unico di tariffa sarà dunque:

quindi:

semplificando ulteriormente:

ricordando che comunque, anche per il premio unico di tariffa vale la relazione:

In conclusione, qualunque sia la modalità di caricamento adottata, l’entità globale dello stesso, rapportata

al premio di tariffa, può essere espressa dall’aliquota di caricamento per spese complessivo, , definita, in

caso di premio annuo e in caso di premio unico, rispettivamente, dalla prima e dalla seconda relazione:

Controassicurazione

Come si è visto, molte polizze traggono origine dalla combinazione di due o più forme assicurative aventi

più semplici tipi di prestazioni. La combinazione di più prestazioni in un’unica struttura contrattuale

comporta, solitamente, economie su vari fronti di spesa e/o riflette richieste particolari del contraente o

della compagnia relative alla risoluzione di problemi inerenti il contratto, come ad esempio i flussi finanziari.

Infatti in vari contratti può evidentemente accadere che l’assicuratore non effettui alcun pagamento a

favore del beneficiario. Ad esempio, in un’assicurazione temporanea caso morte nulla è pagato se

l’assicurato è in vita alla scadenza. In un’assicurazione di capitale differito o di rendita vitalizia differita non

vi è alcun pagamento da parte dell’assicuratore se l’assicurato decede durante il differimento. Il contraente

a questo punto chiede che l’assicuratore si impegni a “restituire” la somma dei premi di tariffa incassati,

naturalmente contro il corrispettivo di un congruo incremento dei premi stessi. A tal fine può essere

stipulata un’assicurazione aggiuntiva detta, per ovvi motivi, controassicurazione. La combinazione di

quest’ultima con l’assicurazione principale costituisce, di fatto, un’assicurazione mista, in quanto il

complesso di prestazioni è articolato in modo tale che l’assicuratore effettui almeno un pagamento,

qualunque sia la determinazione della durata di vita dell’assicurato.

Es. Temporanea caso morte di durata anni con capitale unitario e premio unico

La controassicurazione presenta, come prestazione, il pagamento, in caso di sopravvivenza a scadenza, di

quanto versato dall’assicurato. Il premio unico puro dell’assicurazione principale è pari a:

oggetto della controassicurazione è il premio unico di tariffa, indicato con . Pertanto il premio unico

puro totale, indicato con , è dato da:

Ricordando che per una generica assicurazione a premio unico , nell’ipotesi di spese di acquisizione

commisurate al capitale assicurato, il premio di tariffa, per un capitale unitario, è dato dalla relazione:

si ricava il premio di tariffa complessivo:

Va osservato che, in questo caso, l’assicurazione complessiva risultante dalla combinazione

dell’assicurazione principale con la controassicurazione è una mista con capitale unitario in caso di decesso

e capitale in caso di sopravvivenza.

RRIISSEERRVVEE MMAATTEEMMAATTIICCHHEE

E’ utile notare come il valore del contratto assicurativo sia variabile nel tempo, dalla stipula alla conclusione del contratto stesso. Come si vedrà, l’attribuzione di un valore ad una polizza ha luogo, in generale, mediante lo strumento attuariale dato dalla riserva matematica: pura, in caso di contratti a premi puri, di tariffa, in caso di premi di tariffa. Per semplificazione, lavorare in termini di riserva matematica significa: calcolare il valore attuale medio delle prestazioni future della compagnia a fronte dei premi ovvero, allo stesso modo, determinare il debito residuo che la compagnia ha nei confronti degli assicurati. I contratti assicurativi, come si è visto, vengono costruiti in modo da essere in equilibrio attuariale alla data di stipula e rispetto alla base tecnica del primo ordine: con riferimento ad una polizza di durata anni – eventualmente con essendo l’età all’ingresso in assicurazione e l’età estrema – fissati due istanti interi (anniversari di contratto) , siano:

risulterà, alla stipula:

L’equilibrio non permane però nel corso della durata del contratto. Per le polizze a premio unico questo fatto è chiaro: ad un istante che precede la scadenza della polizza, l’unico premio previsto è già stato pagato, mentre, se il contratto non si è già concluso (ad esempio per la morte dell’assicurato), sono ancora previste prestazioni. Il disequilibrio ad istanti successivi alla stipula sussiste anche nel caso di polizze a premio annuo.

RRIISSEERRVVAA MMAATTEEMMAATTIICCAA PPRROOSSPPEETTTTIIVVAA Si consideri al tempo , che per semplicità si assumerà intero, una polizza ancora in essere, stipulata al tempo zero da una testa di età anni. La riserva matematica ai premi puri della polizza al tempo , nell’ipotesi che sia ancora in essere a quella data, è:

cioè il valore delle prestazioni residue in meno il valore dei premi puri residui in , calcolati entrambi

secondo la base tecnica del primo ordine. L’importo

è un valore attuariale, in quanto differenza di valori attuariali. Questa quantità è chiamata riserva matematica prospettiva, in quanto è calcolata sulla base dei premi e delle prestazioni future rispetto alla data di valutazione. Per convenzione, nel calcolo della riserva matematica, si considerano già liquidate in le eventuali prestazioni posticipate e non ancora liquidati l’eventuale premio in scadenza (che è anticipato) e le eventuali prestazioni anticipate. E’ importante notare che se la riserva prospettiva è positiva, in termini di valori attuariali, l’impegno dell’assicuratore nei futuri anni sarà maggiore di quello dell’assicurato nello stesso periodo. Pertanto se quest’ammontare risulta positivo, esso rappresenta un debito, in valore attuale atteso, dell’assicuratore. La riserva prospettiva attribuisce dunque al contratto assicurativo un valore riferito alla generica epoca ed è interpretabile come quell’importo (se positiva) che, se il contratto non fosse già in essere, sarebbe equo pagare all’assicuratore per stipulare in un contratto di assicurazione sulla vita. Questa formula è utile anche per quantificare il fabbisogno di un’operazione assicurativa sulla vita:

RRIISSEERRVVAA MMAATTEEMMAATTIICCAA RREETTRROOSSPPEETTTTIIVVAA

Come già ricordato, il principio di equità richiede che il premio unico o i premi annui siano tali che il contratto, alla stipula, risulti in equilibrio attuariale: . Tuttavia il non necessario sussistere dell’equilibrio tra premi e prestazioni rappresentato dalla relazione:

e dunque, valutati impegni e impieghi all’epoca 0, relativi all’intervallo di tempo da 0 a t:

Questa espressione può essere trasformata in uguaglianza aggiungendo un opportuno addendo di bilanciamento:

L’interpretazione dell’importo è immediata: esso rappresenta il valore attuale atteso in 0 del prezzo di uscita dal contratto, prezzo che dovrebbe essere versato all’istante t qualora l’assicurato, in vita all’epoca t, decidesse di abbandonare il contratto, ferme restando le prestazioni ed i premi dell’intervallo e venendo per contro a cadere quelle di . Come si vedrà, di norma risulta e pertanto tale prezzo di riscatto dovrebbe essere versato dell’assicuratore all’assicurato. Questo prezzo di uscita è dunque dato

dall’importo, indicato con

, definito dall’espressione:

cioè:

La quantità

è detta riserva matematica retrospettiva, in quanto è calcolata sulla base dei premi e delle prestazioni già erogati alla data di valutazione. Rispetto alla riserva prospettiva che riassume i flussi futuri del contratto, questo tipo di riserva guarda ai flussi passati della polizza. E’ inoltre importante notare che il fattore montante attuariale

riporta la valutazione dall’istante 0 all’istante t .

ATTENZIÒ !

Se le basi tecniche utilizzate per il calcolo risultano identiche, eguali risulteranno i valori dei due tipi di riserve. Tuttavia in caso di gruppi di teste assicurate i valori divergeranno se verrà a modificarsi, non solo la base tecnica utilizzata, ma anche la composizione del gruppo.

SEGNO DELLA RISERVA E’ possibile eseguire un confronto tra il valore della riserva prospettiva e quello della riserva retrospettiva. Come già detto risulterà:

se il gruppo assicurato non è soggetto a trasformazioni e se si utilizzano le medesime basi tecniche.

Tralasciando ora le ovvie situazioni inerenti la stipula, in cui la riserva sarà pari a 0 per l’equità: e alla scadenza del contratto in cui si verificherà allo stesso modo: , così come all’inizio di ogni anno se la polizza è a premi naturali: ; lo studio del segno della riserva matematica ricondurrà a diverse problematiche inerenti il profilo finanziario dell’operazione aleatoria. Condizione di finanziamento La condizione di finanziamento deve infatti risultare comunque valida: l’operazione finanziaria aleatoria di assicurazione sulla vita è, per l’assicuratore, un’operazione di finanziamento, se:

cioè, in termini di riserva prospettiva, se:

Come già osservato, la positività della

significa che in termini di valori attuariali, l’impegno dell’assicuratore nei futuri anni sarà maggiore di quello dell’assicurato nello stesso periodo. Pertanto se quest’ammontare risulta positivo, esso rappresenta un debito, in valore attuale atteso, dell’assicuratore verso l’assicurato. E’ interessante analizzare le possibili conseguenze di una situazione assicurativa in cui la riserva matematica fosse negativa, in cui dunque l’assicuratore vantasse un credito nei confronti dell’assicurato. E’ anzitutto chiaro che qualora l’assicurato abbandonasse il contratto, dopo aver ottenuto per alcuni anni la copertura del rischio a prezzi inferiori a quelli annualmente equi dati dai premi naturali, l’assicuratore non avrebbe possibilità concrete di recuperare il suo credito. Inoltre l’assicurato avrebbe convenienza ad abbandonare il contratto e a stipularne uno nuovo, per la stessa copertura per i restanti anni; il premio di tale nuovo contratto risulterebbe infatti inferiore a quello del contratto abbandonato in quanto non gravato dall’onere di estinguere il debito cumulato dall’assicurato nel passato. Ovviamente tale convenienza è il risultato dell’uso dei premi puri, nel caso dei premi di tariffa tale possibilità sarebbe in ogni caso esclusa. E’ comunque utile identificare le situazioni che rendano possibili valori negativi per la riserva matematica, così da identificare i requisiti necessari affinché risulti comunque valida la condizione di finanziamento. Si consideri quindi un’assicurazione a premio annuo costante pagabile per l’intera durata contrattuale. Si supponga che per il premio costante risulti inferiore ai premi naturali:

. Potendo esprimere la riserva matematica retrospettiva come montante attuariale delle

eccedenze dei premi costanti rispetto ai premi naturali relativi all’intervallo di tempo precedente l’epoca cui è riferita la riserva stessa:

e poiché risulta

allora la riserva retrospettiva risulterà negativa:

. Una situazione di

questo tipo si verifica a fronte di una sequenza di premi naturali decrescenti, ad esempio nel caso di assicurazione temporanea caso morte a capitale decrescente. In tali situazioni affinché l’operazione assicurativa sia un’operazione di finanziamento, si dovrà imporre il pagamento del premio unico, oppure di premi annui opportunamente decrescenti, oppure ancora di premi annui costanti ma pagabili per una durata convenientemente ridotta affinché il premio annuo stesso riesca maggiore di tutti i premi naturali. Ovviamente la situazione ottimale, per ogni contratto assicurativo è rappresentata dalla:

poiché altrimenti l’assicuratore risulterebbe sottofinanziato.

CALCOLO

Valutando in t, dunque all’età dell’assicurato e ricordando le formule, le riserve matematiche sono:

ANDAMENTO

L’andamento della riserva matematica è funzione del premio.

1. Caso morte temporanea a premi periodici costanti

Premio Segno della riserva

Naturale

Unico e decrescente

Periodico costante Se a rischio crescente:

Se a rischio decrescente:

In questo caso particolare l’assicuratore, tramite il premio periodico costante riceve, fino alla data , un

premio maggiore del corrispondente premio naturale , costituendosi così una riserva, la quale sarà

erosa successivamente, tra le date ed , in cui l’assicuratore riceverà un premio (sempre il premio

periodico costante ) inferiore al premio naturale corrispondente al livello di rischio.

Dunque l’andamento della riserva è simile ad una funzione crescente a tassi decrescenti.

2. Polizza a premi naturali decrescenti

Come già detto, questa situazione risulta oltremodo sconveniente all’assicuratore, poiché configura una

situazione in cui la riserva del contratto risulta negativa:

La Compagnia stipulerà così, perché risulti sempre valida la condizione di finanziamento, il contratto a

premio unico oppure rateizzando il premio in un numero di rate convenientemente minore della durata

contrattuale, tale per cui la riserva risulti comunque positiva:

2a. Premio unico a rischio decrescente

2b. Premio periodico a rischio decrescente

Ovviamente come la valutazione della riserva dipende dalle basi tecniche, anche l’andamento della stessa

ne risentirà.

EQUAZIONI RICORRENTI

Limitando la trattazione alle sole forme assicurative su una testa, per le quali è assicurata la coincidenza tra

riserva prospettiva e retrospettiva, per non dovere ripetere i risultati per le varie tipologie contrattuali, si

farà riferimento ad un contratto generico, che prevede:

una testa assicurata di età

una sequenza di premi anticipati pagabili in caso vita: alla scadenza intera il premio

pagabile in caso vita sarà indicato con

prestazioni caso morte posticipate: corresponsione del capitale all’epoca in caso di

decesso tra le epoche e con

prestazioni caso vita: corresponsione del capitale in caso di vita della testa assicurata all’età

A tale struttura possono essere ricondotte praticamente tutte le forme assicurative di maggiore interesse,

tra queste ad esempio:

ASSICURAZIONE TEMPORANEA CASO MORTE A CAPITALE COSTANTE UNITARIO

CAPITALE DIFFERITO

MISTA ORDINARIA

ANNUALITÀ VITALIZIA

Dato lo schema contrattuale della generica polizza:

il premio unico sarà pari a:

e, se le prestazioni future sono pari a:

e i premi da incassare sono:

allora la riserva prospettiva del contratto risulterà:

Si trova quindi la relazione:

Tenendo presente le espressioni dei valori attuariali e , questa espressioni può essere

riscritta come:

nota anche come equazione ricorrente di Fauckler – Fouret. E’ agevole constatare come essa esprima la

sussistenza dell’equilibrio attuariale nell’anno . All’istante l’assicuratore dispone della riserva

accumulata nei precedenti anni e del premio appena introitato. Con tale importo complessivo, il quale

costituisce la riserva iniziale, l’assicuratore fa fronte all’impegno di pagare il capitale alla fine dell’anno

se l’assicurato decede in quell’anno o, altrimenti, di costituire la riserva , detta riserva finale,

necessaria per la prosecuzione del contratto o, se , per pagare il capitale in caso vita a scadenza

.

ATTENZIÒ!

La situazione di equilibrio nell’anno espressa dall’equazione di Fouret è conseguenza dell’impiego,

nella valutazione locale degli impegni dell’assicuratore, della stessa base tecnica di primo ordine impiegata

nel calcolo del premio e delle riserve e

Calcolo per ricorrenza

Da un punto di vista algoritmico, l’equazione di Fouret fornisce un metodo di calcolo per ricorrenza della

riserva matematica. L’equazione stabilisce una relazione ricorrente tra la riserva matematica in e quella in

e può essere usata per il calcolo ricorrente della riserva, a partire da:

o per determinare, a ritroso, i valori:

o per determinare i successivi valori:

Bisogna notare che, per la stessa natura ricorrente dell’algoritmo, il risultato finale, o rispettivamente ,

sarà in genere affetto da un errore di approssimazione dovuto alla propagazione degli errori di

approssimazione presenti nei singoli passi del procedimento di calcolo. Quello ricorrente è un vero e

proprio metodo di calcolo, riprendendo infatti la relazione di Fouret:

e risolvendo rispetto a :

Partendo ora da , per via ricorrente, ovvero per valori successivi di , si avrà:

Il risultato ottenuto con questa formula deve coincidere con quello ottenuto con il metodo prospettivo o

con il metodo retrospettivo, purché le basi tecniche utilizzate di volta in volta siano le stesse usate per il

calcolo dei premi. Un ulteriore relazione ricorrente è estrapolabile dall’equazione di Fouret:

risolvendo:

e raccogliendo a fattor comune:

Quest’ultima relazione è detta formula di Kanner (1869). Da tale equazione appare che con l’importo

, capitalizzato per un anno, l’assicuratore copre l’impegno certo di costituzione della riserva a

fine anno e, inoltre, quello aleatorio di integrare la riserva stessa per corrispondere il capitale in caso di

decesso della testa assicurata. L’importo , assieme alla riserva certamente costituita,

pagabile a fine anno in caso di decesso è detto infine capitale sotto rischio.

RISCHIO E RISPARMIO

Si consideri una polizza generica. Se si risolve l’equazione di Fouret rispetto al premio e si sostituisce

, riarrangiando i termini:

risulterà:

Si ottiene così una scomposizione del premio in due addendi, scomposizione che si indicherà con:

il primo addendo:

è detto premio di rischio. Esso non apporta alcun contributo alla formazione della riserva essendo

interamente consumato nell’anno per assicurare il capitale sotto rischio . In altri termini i

premi di rischio

sono interpretabili come i premi naturali relativi ad un’assicurazione temporanea in

caso morte con capitale variabile pari, nei vari anni, a:

Il secondo addendo:

è detto premio di risparmio dell’anno considerato. Riscrivendo l’equazione precedente come:

è immediato notare come il premio di risparmio vada ad alimentare la formazione della riserva matematica,

sicché la riserva stessa risulta essere il montante puramente finanziario dei premi di risparmio versati. Si

trova infatti:

Si può giungere così, per quanto visto, alla conclusione che la gestione di un contratto assicurativo può

pensarsi scissa in due parti: la prima si concreta nella capitalizzazione dei premi di risparmio ed è del tutto

analoga ad un’operazione di risparmio puramente finanziaria, ad es. un deposito bancario o comunque

un’operazione di pura capitalizzazione, la seconda consiste invece in una successione di assicurazioni di

puro rischio, tipo ad es. un’assicurazione contro danni.

Premio di Rischio

Rappresenta la quota di premio costante che va a coprire i costi dell’anno: si comporta quindi come un

premio naturale ma con una diversa interpretazione dei costi coperti.

Precisamente, se l’assicurato muore nell’anno , la compagnia paga il capitale unitario, ma imputa

tale costo innanzitutto alla riserva matematica precostituita, che alla fine dell’anno è pari a ,

imputando il costo al reddito d’esercizio solo per la differenza . Il che vuol dire che in caso di

morte dell’assicurato, il costo a carico dell’esercizio è pari al solo pagamento a fine anno del capitale sotto

rischio, il cui valore attuariale è: , cioè appunto il premio di rischio.

ATTENZIÒ!

Il capitale sotto rischio non è sempre positivo. Infatti nelle assicurazioni in caso di sopravvivenza, il capitale

assicurato in caso di morte è pari a per ogni istante , quindi il capitale sotto rischio risulterà negativo,

perché:

di conseguenza anche il premio di rischio risulterà negativo:

Quindi:

Difatti, come già detto e com’è ancor più evidente: il premio di rischio non contribuisce alla formazione

della riserva.

Premio di Risparmio

E’ la parte del premio periodico destinata a confluire nella riserva.

Come già osservato, il valore della riserva alla fine dell’anno risulta essere il montante puramente

finanziario della rendita le cui rate sono i premi di risparmio relativi agli anni precedenti.

ATTENZIÒ!

Il premio di risparmio può risultare negativo. Ad es. in caso di premio unico:

e dovendo valere:

HP. Capitale differito

E’ interessante analizzare il caso di assicurazione di capitale differito con premio annuo costante : il

capitale sotto rischio risulterà qui negativo, dunque il premio di rischio sarà anch’esso negativo e così, come

è intuibile dalla natura pressoché esclusivamente “finanziaria” o di “risparmio” appunto di questo

contratto, il premio risulterà sostanzialmente un premio di risparmio.

Infatti, se:

allora:

E’ evidente come:

Dunque il premio annuo costante non è sufficiente a coprire interamente l’incremento della riserva

matematica. In questi casi entra in gioco il PRINCIPIO DI MUTUALITÀ.

MUTUALITÀ Per la parte di riserva non coperta dal premio, l’assicuratore provvederà mediante la riserva

relativa a polizze della stessa tipologia in cui si sia verificato il decesso della testa assicurata

prima della scadenza del contratto.

Per raggiungere quindi l’equilibrio attuariale in un portafoglio di polizze, si consideri la

quantità:

e successivamente il numero medio di teste colpite da decesso nell’anno , pari a:

in questo caso, l’entità totale del recupero di riserva in è, in media:

mentre la somma necessaria ad integrare il premio di quanto necessario è pari alla quota

attribuibile, in , a ciascuno degli contratti:

RISERVE E CARICAMENTI PER SPESE

L’esigenza di costituire una riserva matematica pura ha origine dallo sfasamento temporale tra prestazioni

dell’assicuratore e introito dei premi. Un analogo sfasamento ha tuttavia luogo anche in relazione al

sostenimento delle spese e all’introito dei corrispondenti caricamenti. Occorrerà quindi procedere alla

definizione di adeguate riserve per spese che, sommate alla riserva matematica pura, individueranno nuove

configurazioni di riserva. Delle tre categorie di spese esaminate fin qui: spese per acquisizione, spese

generali di gestione e spese di incasso premi, queste ultime possono essere subito escluse, il caricamento

relativo è infatti consumato all’atto della riscossione del premio per la copertura della spesa attribuita al

contratto, sicché non si pongono problemi di sfasamento temporale. Per contro, le due altre tipologie di

spese possono risultare sfasate rispetto all’introito dei corrispondenti caricamenti.

Def. In relazione ad un contratto assicurativo di durata anni, con eventualmente ,

con premi pagabili per anni, con , la riserva per spese è definita come:

ovviamente risulterà: . Per il principio di equità varrà:

Questa definizione attribuisce alle riserve per spese il significato di valore attuariale degli

impegni netti dell’assicuratore.

Riserva per spese di acquisizione

Le spese di acquisizione attribuite al contratto sono sostenute alla stipula dello stesso e recuperate nell’arco

di tempo di pagamento dei premi. In caso di premio unico, la riserva sarà ovviamente nulla:

In caso di premi annui pagabili per anni, riesce invece, per :

ognuno degli premi contiene infatti una quota di caricamento. Questa quantità è detta

anche provvigione d’acquisto non ammortizzata e risulta negativa per la durata di pagamento premi, in

quanto essa rappresenta, in valore attuale atteso, il credito dell’assicuratore per i caricamenti da incassare.

Assumerà di conseguenza i seguenti valori:

Infine è interessante notare come, mentre i premi puri, precedendo nel tempo le prestazioni, qualificano la

polizza stessa come operazione di finanziamento per l’assicuratore, le spese di acquisizione, precedendo

l’introito dei caricamenti, conferiscono a tale segmento del contratto assicurativo il carattere di operazione

di investimento. Sommando ora alla riserva in base ai premi puri , la riserva per spese di acquisizione ,

si ottiene la cosiddetta riserva di Zillmer (1863) o riserva zillmerata, dal nome dell’attuario tedesco che la

studiò:

Essa rappresenta il debito dell’assicuratore al netto del credito per il recupero delle spese di acquisizione.

Per questo risulta:

e, in particolare nei primi anni di contratto, quando la riserva ai premi puri è piuttosto esigua e le spese

risultano elevate, può riuscire: . Inoltre Zillmer pose come condizione che il massimo valore di

fosse quello che rendesse nulla la alla fine del primo anno:

Si dirà così premio di riserva, il valore:

o in caso di premio periodico:

Es. Temporanea caso morte con pagamento di premi annui

Le spese vengono pagate dall’assicuratore all’agente in un’unica soluzione alla stipula del contratto,

mentre vengono ammortizzate in senso attuariale dall’assicurato per tutta la durata di pagamento dei

premi.

dove:

e:

come da definizione:

Riserva per spese di gestione

Le spese generali di gestione sono sostenute per tutta la durata contrattuale mentre i relativi caricamenti

sono riscossi, ovviamente, per la durata di pagamento dei premi. Lo sfasamento temporale pertanto non

avrà luogo qualora i premi siano pagati per tutta la durata contrattuale, nel caso in cui e di

conseguenza non esisterà una riserva per spese di gestione. Invece, in caso di premio unico o di premi

annui pagabili per una durata inferiore a quella contrattuale, l’assicuratore incasserà caricamenti eccedenti

le spese e dunque vi costituirà una riserva:

Sommando ora alla riserva in base ai premi puri , la riserva per spese generali di gestione

, si otterrà la

cosiddetta riserva d’inventario:

Nel caso in cui la durata del pagamento dei premi dovesse coincidere con la durata del contratto per cui

dovesse risultare:

ovviamente, la riserva d’inventario sarebbe:

Negli altri casi, proprio perché la riserva per spese di gestione risulta positiva, la riserva d’inventario sarà

maggiore della riserva matematica ai premi puri:

E’ importante notare che i premi annui gravati del solo caricamento per spese di gestione sono detti premi

d’inventario.

Riserva completa

La cosiddetta riserva completa o nota anche come riserva zillmerata d’inventario, tiene conto di tutti gli

impegni delle due parti: quindi di tutti gli elementi di caricamento:

Come è noto: se la polizza è a premio unico, dunque , allora ; viceversa, se la polizza è a

premi annui pagabili per tutta la durata contrattuale, dunque , allora . Ovviamente, minore

risulterà e più facilitazioni avrà la compagnia, poiché l’onere delle spese di acquisizione sarà compensato

dalla modesta entità delle riserve zillmerate del primo anno, di conseguenza il primo premio annuo

praticamente non andrà a riserva. Per contro, più alto sarà il valore di

e maggiore risulterà

l’aggravamento per l’assicuratore, il quale dovrà accantonare parte del premio per, in termini di valore

attuale atteso, coprire le spese e far fronte agli impegni verso l’assicurato.

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Allo scopo di studiare la formazione dell’utile annuo, è interessante analizzare l’impiego di una base tecnica per la valutazione periodale di impegni e disponibilità del generico anno che sia diversa da quella usata per il calcolo dei premi e delle riserve. Considerando il premio di tariffa, il valore dell’utile annuo dipenderà infatti dalle basi tecniche:

o da una variazione del tasso di mortalità, dipenderà la formazione dell’utile di mortalità:

o da una variazione del tasso tecnico d’interesse, dipenderà la formazione dell’utile di interesse:

o da una variazione delle spese, dipenderà la formazione dell’utile di caricamento:

o da una variazione del gruppo assicurato, dipenderà la formazione dell’utile di eliminazione:

L’utile industriale complessivo così, risulterà:

Nel caso di soli premi puri, ovviamente, l’utile sarà costituito dai soli utile di mortalità e utile di interesse. Considerando ancora il generico contratto assicurativo, che prevede:

una testa assicurata di età

una sequenza di premi anticipati pagabili in caso vita: alla scadenza intera il premio pagabile in caso vita sarà indicato con

prestazioni caso morte posticipate: corresponsione del capitale all’epoca in caso di decesso tra le epoche e con

prestazioni caso vita: corresponsione del capitale in caso di vita della testa assicurata all’età

e facendo riferimento al -esimo anno di contratto, le disponibilità ad inizio anno sono data da e ; gli impegni a fine anno sono dati da e . Prendendo le mosse dall’equazione di Fouret:

e considerando che l’equilibrio attuariale nell’anno è, in particolare, espresso dall’equazione di Kanner:

La formula risulterà pari a 0 se le basi tecniche utilizzate sono le basi tecniche realistiche. In realtà la base tecnica impiegata nel calcolo del premio e della riserva risulta diversa da quella attesa realisticamente. Infatti, come già visto in sede di determinazione del premio, ai fini della formazione dell’utile atteso e del caricamento di sicurezza, il calcolo dei premi e delle riserve avviene solitamente su base prudenziale, cioè favorevole all’assicuratore. Sia il tasso annuo d’interesse effettivamente atteso, mentre esprima in termini realistici la mortalità attesa. Impegni e disponibilità valutati su base realistica in genere non sono in equilibrio:

dove

ed è interpretabile come utile atteso nell’anno .

Le assicurazioni infatti realizzano utili proprio evitando l’equilibrio tecnico: lo calcolano e caricano i premi per “garantirsi” un utile. Formula di Homans Sia il tasso di remunerazione atteso dell’impiego della riserva matematica e rappresenti la probabilità di morte per individui di una collettività selezionata:

Varrà certamente

, più probabilmente . Sottraendo a questo risultato la formula di

Kanner:

Questa formula è detta formula di Homans. Questa formula è detta anche formula di contribuzione, tale denominazione tradisce l’intento che questa, come altre formule, presenta: quantificare il contributo che ciascun contratto arreca alla formazione dell’utile dell’assicuratore, in vista di stabilire un meccanismo di ripartizione dell’utile tra contratti. Il primo addendo:

rappresenta il margine finanziario, positivo se : si realizzerebbe così un utile di sovrainteresse. Il secondo addendo invece:

rappresenta il margine demografico. Se il capitale sotto rischio risulta positivo, come per le coperture caso morte, tale quantità è positiva se

; se il capitale sotto rischio è negativo, come per il capitale differito, tale quantità è positiva se

. Esisterà dunque utile di sottomortalità o utile di sovramortalità a seconda del segno del capitale sotto rischio. Va ricordato che quest’utile sarà conseguito se il tasso d’interesse e la base demografica attesi si riveleranno veri. Ovviamente la forma assicurativa influenzerà molto il peso delle componenti della formula di Homans: un contratto con una più significativa componente di risparmio contribuirà certo più all’utile finanziario che non all’utile di mortalità. Per quanto riguarda la ripartizione e l’incasso di quest’utile va detto che: l’utile di mortalità è incamerato direttamente dalla compagnia, poiché in esso è contenuto il

caricamento implicito di sicurezza

l’utile d’interesse è invece ripartito tra gli assicurati: la compagnia, alla chiusura dell’esercizio, opera una retrocessione agli assicurati attraverso una rivalutazione delle riserve che a sua volta provoca un aumento dei capitali assicurati.

PPOOLLIIZZZZEE IINNDDIICCIIZZZZAATTEE

Le forme assicurative fin qui esaminate sono caratterizzate da prestazioni e premi predeterminati sin dalla

stipulazione del contratto. La predeterminazione viene a cadere nelle forme assicurative a prestazioni

flessibili. Diversi tipi di flessibilità possono essere introdotti in un contratto assicurativo; in forza di tale

flessibilità, alla determinazione della dinamica del contratto stesso contribuiscono fatti di natura

economico-finanziaria e/o scelte del contraente, successivi alla stipula del contratto. La flessibilità può

essere ricondotta alle due seguenti categorie di intervento sulla dinamica contrattuale:

a) variazioni delle prestazioni ed eventualmente dei premi periodici mediante collegamento delle

stesse ad indicatori economico-finanziari, interni o esterni, all’impresa assicuratrice: quali

rendimento degli investimenti a fronte delle riserve, tasso di inflazione, valore di indici di borsa,

valore del cambio di valute estere, ecc.

b) variazione delle prestazioni conseguenti alla possibilità data al contraente di variare, in corso di

contratto, il livello dei premi periodici, di sospendere, per un limitato periodo, il pagamento dei

premi stessi, di procedere a prelevamenti di parte della riserva matematica

Inflazione

La significativa durata dei contratti di assicurazione vita comporta che l’inflazione, quantunque possa

esserne contenuto il tasso annuo, incida in misura anche rilevante sul potere d’acquisto delle somme

assicurate. Sono ben evidenti e comprensibili gli effetti che l’erosione del potere d’acquisto produce sulla

propensione all’assicurazione vita e, in particolare, a quelle forme assicurative in cui ha preponderante

rilievo la componente risparmio. La situazione di scarsa domanda di assicurazione vita, determinatasi in

occasione di congiunture economiche ad alto tasso di inflazione, è stata fronteggiata dagli assicuratori con

l’introduzione sul mercato di vari prodotti a prestazioni flessibili, caratterizzati dalla presenza di clausole

contrattuali atte ad ancorare, in vario modo, premi e prestazioni ad opportuni parametri economico-

finanziari sì da salvaguardare, almeno in parte, il potere d’acquisto delle somme assicurate.

Rendimento degli investimenti

La base tecnica, come già detto, deve essere favorevole all’assicuratore e dunque tale da comportare la

formazione di utili attesi positivi. Per quanto concerne il tasso tecnico d’interesse, garantito per l’intera

durata contrattuale, questo deve essere ragionevolmente inferiore al tasso atteso di rendimento degli

investimenti a fronte delle riserve matematiche sull’intera durata contrattuale. La garanzia del tasso pone

l’assicuratore in posizione di svantaggio rispetto a quegli operatori finanziari che, non obbligati ad offrire

tale garanzia, possono proporre alla clientela tassi di remunerazione più elevati. Tale problema può essere

risolto inserendo nel contratto una clausola in forza della quale parte dell’utile finanziario, come visto, sia, a

consuntivo, assegnata agli assicurati e destinata a incrementare le riserve matematiche e quindi le

prestazioni assicurate. La presenza di clausole di assegnazione di parte dell’utile si rivela di particolare

importanza soprattutto qualora l’andamento dei mercati finanziari porti il tasso di rendimento degli

investimenti a livelli superiori a quelli del tasso tecnico. E’ interessante notare come in periodi di inflazione

elevata e quindi di tassi di rendimento elevati, l’assegnazione di utile finanziario agli assicurati può

contribuire ad incrementare il valore nominale delle prestazioni, dunque conservandone, almeno

parzialmente, il potere d’acquisto.

Adeguamento Si è detto che nelle forme assicurative in cui è applicato l’adeguamento, la misura dell’adeguamento stesso è determinata in forza di apposite clausole contrattuali. Considerando ancora il generico contratto assicurativo, se questo contratto è adeguabile, l’assicuratore deve “rivalutare” : prestazioni, premi e riserve. Esisteranno così tre tassi diversi di adeguamento, uno per le prestazioni, uno per le riserve e uno

per il premio: sia infatti il tasso di incremento del capitale, il tasso di incremento della riserva e il tasso di incremento del premio annuo, tali che sia comunque garantito l’equilibrio attuariale. E’ utile considerare ora alcune modalità di incremento delle prestazioni e controprestazioni:

Modalità

I 0

II 0 III

I. La prima modalità si concreta in un’integrazione di controprestazioni “a premio unico”, nel senso che l’integrazione occorrente è versata immediatamente e dunque posta a riserva

II. La secondo modalità comporta che l’integrazione di controprestazioni sia completamente rateizzata sulla residua durata contrattuale

III. La terza modalità prevede invece un’integrazione di controprestazioni in parte immediata ed in parte rateizzata. In tal caso, effettuata l’integrazione di riserva, tutto procede come se il contratto sin dall’inizio fosse stato stipulato per il capitale appena adeguato: verranno così adeguate anche le riserve e il premio

E’ chiaro che qualora l’obiettivo dell’integrazione delle prestazioni sia la conservazione almeno parziale del valore reale delle somme assicurate, l’applicazione dell’adeguamento deve aver luogo in via ricorrente e tipicamente su base annua. L’equilibrio in termini sostanziali inoltre richiederebbe ovviamente che le integrazioni sia di premio annuo sia di riserva matematica fossero a totale carico del contraente. In realtà, in varie tecniche di adeguamento, non è questa la situazione reale, nel senso che è solitamente l’assicuratore ad assumere a suo carico l’integrazione o salto di riserva, destinando a tale scopo parte degli utili conseguiti dalla gestione del contratto. Tornando all’esame delle tre modalità discusse precedentemente, è possibile pensarle in un’applicazione ricorrente:

I. La prima modalità trova riscontro pratico in modelli di incremento delle prestazioni assicurate mediante sola partecipazione degli assicurati agli utili di natura finanziaria conseguiti dall’impresa assicuratrice. In tal caso l’impresa destinerà ogni anno un certo importo quale quota di utile per il

generico contratto. Se è l’entità di utile assegnato per unità monetaria di riserva matematica in

un certo anno, sarà il conseguente tasso di incremento in quell’anno della somma assicurata

II. La seconda modalità corrisponde ad un modello di adeguamento che fa esclusivo ricorso ad integrazioni di premio annuo a carico del contraente. E’ ovvio che per conseguire un incremento

annuo di prestazioni al tasso l’assicurato deve sopportare, in un generico anno, un incremento

di premio in misura superiore a , occorrendo con tale incremento di premio far fronte anche all’insufficiente accumulo di riserva avvenuto nel passato

III. Alla terza modalità sono riconducibili le tecniche di adeguamento più efficaci ed attualmente maggiormente diffuse. L’incremento di prestazioni è finanziato da un incremento in pari misura percentuale del premio annuo a carico del contraente e da un salto di riserva matematica ancora in pari misura percentuale a carico dell’assicuratore, che a ciò provvede destinando utile in genere proveniente dagli investimenti a copertura delle riserve matematiche

Assicurazioni indicizzate e rivalutabili Quando l’onere di adeguamento è ripartito tra contraente ed assicuratore secondo apposite clausole

contrattuali, si stabilisce, in dette clausole, il criterio per stabilire annualmente i tre tassi e precisamente vengono ivi fissate le variabili economico-finanziarie in funzione delle quali sono determinati i tassi e in particolare, quindi, l’entità della ripartizione dell’onere tra contraente ed assicuratore. I criteri o parametri di adeguamento, come già detto, sono rappresentati da variabili aleatorie finanziarie e possono essere esterni o interni ai mercati. Ovviamente, se la variabile è un parametro di mercato risulterà più facile, per l’assicuratore, l’asset liability management. Si parlerà così di contratti assicurativi indicizzati se il parametro di adeguamento è esterno ai mercati finanziari: sono chiamate polizze index linked. Di contro, si diranno polizze rivalutabili tutti quei contratti il cui parametro di adeguamento è interno ai mercati: sono chiamate polizze equity linked (le polizze unit linked ne sono un caso particolare). Esistono comunque diversi modelli di adeguamento, il quale può risultare più o meno completo.

Modello

A

B

A. Il primo modello realizza una logica di indicizzazione parziale. Si tratta di una soluzione che garantisce la protezione parziale del potere d’acquisto delle somme assicurate. La sua applicazione pratica è tuttavia vincolata dalla possibilità di attuare, in relazione alle riserve matematiche, investimenti di redditività non inferiore ad un tasso funzione del parametro scelto . Tale redditività può essere garantita solo dall’investimento in titoli a rendimento indicizzato, la cui disponibilità sul mercato deve garantire la progressiva costituzione della riserva matematica

B. Nel secondo modello una parte dell’utile da sovra interesse è trasferita agli assicurati, ai quali è richiesto un incremento di premio in pari misura percentuale

Le assicurazioni indicizzate usano di solito un meccanismo simile al primo modello, mentre le rivalutabili seguono più un modello del tipo . E’ interessante confrontare la logica sottostante il modello del tipo A con quella su cui è basato il modello del tipo B: in entrambi i casi l’apporto dell’assicuratore è finanziato da un sovrainteresse rispetto al tasso tecnico prodotto da investimenti a gestione separata, distinta cioè da quella di altri investimenti dell’assicuratore. Nel primo caso il sovra interesse è determinato dal rendimento indicizzato all’inflazione, nel secondo dal rendimento di titoli scelti dall’assicuratore. Si può affermare che nel primo caso l’adeguamento è direttamente rivolto a tutelare il potere d’acquisto delle prestazioni assicurate, nel secondo, invece, tale tutela ha luogo, di fatto, in forza della correlazione positiva presente tra rendimenti degli investimenti e tasso d’inflazione. Comunque, diversi modelli misti possono essere costruiti impiegando sia il tasso sia il tasso nella definizione degli adeguamenti di prestazioni e controprestazioni.