Matematica - Curve e superfici

a.a. 2009-2010

Prof. C. Falcolini

Studio di una porzione di pavimentazione di Santa Maria Maggiore.

Università degli studi di Roma Tre studenti: Elio Carradori - Armando Di Gregorio

Santa Maria MaggioreLa Basilica di Santa Maria Maggiore, conosciuta anche come Santa Maria della neve o come Basilica liberiana, è una delle quattro basiliche patriarcali di Roma. Collocata sulla sommità del colle Esquilino, è la sola ad aver conservato la primitiva struttura paleocristiana, sia pure arricchita da successive aggiunte. La costruzione avvenne su una chiesa precedente, che una diffusa tradizione vuole sia stata la Madonna stessa ad ispirare apparendo in sogno a Papa Liberio. Così quando la mattina del 5 agosto un'insolita nevicata imbiancò l'Esquilino il papa Liberio avrebbe tracciato nella neve il perimetro della nuova basilica.La Basilica colpisce per la sua vastità per la ricchezza dei suoi marmi e delle decorazioni, monumentale e grandiosa grazie alla forma della struttura e all'armonia che regna nei principali elementi della sua architettura, è divisa in tre navate da due file di preziose colonne sulle quali corre un'artistica trabeazione ora interrotta verso l'abside da due arcate realizzate per la costruzione della Cappella Sistina e Paolina. Tra i colonnati ed il soffitto, le pareti erano in origine traforate da ampie finestre delle quali se ne conservano solo metà essendo state murate le altre. il soffitto cassettonato venne disegnato da Giuliano da Sangallo e completato da suo fratello Antonio. Caratteristici della Basilica sono i pavimenti cosmateschi risalenti al XII secolo.

Pavimentazione Cosmatesca

Lo stile cosmatesco è un'ornamentazione caratteristica dei marmorari romani in età romanica, consistente nell'abbellirepavimenti, cibori e chiostri mediante tarsìe marmoree cromatiche di forme svariate e fantasiose, non funzionali all'architettura masolo ornamentali. Nel secolo scorso questa decorazione fu chiamata cosmatesca perché usata dalla famiglia dei Cosmati. Il repertorio decorativo dei pavimenti cosmateschi ha varie fonti di ispirazione, ma molto importante è l’uso di marmi di diversi colori che permettono una composizione policroma della pavimentazione.Le forme geometriche delle pavimentazioni cosmatesche danno diversi spunti per approfondimenti matematici.

Studio della formaLa forma geometrica della porzione di pavimentazione cosmatesca presa in esame, lascia pensare a primo impatto ad una certa simmetria delle forme.Proviamo allora a ribaltarle:Eliminiamo la metà destra.

Studio della forma Una volta eliminata l’esatta metà della figura, procediamo col ribaltamento. E’ evidente che il ribaltamento non dà il risultato sperato, perciò possiamo

dire che la figura non è simmetrica.

Abbiamo dimostrato che la figura è il risultato di una semplice rotazione

Studio della formaAbbiamo dimostrato che la figura non è simmetrica, proviamo a questo punto a dimostrare se la composizione è frutto di una semplice rotazione delle figure:

Studio della formaPassiamo ora a dimostrare matematicamente che con il ribaltamento o riflessione non otteniamo il disegno geometrico giusto:

rifl[gamma_,m_][t_]:=1/(1+m^2){{m^2-1,2m},{2m,1-m^2}}.gamma[t] circle[a_,b_][r_][t_]:={a+r*Cos[t],b+r*Sin[t]}

Ribaltate=ParametricPlot[{circle[24,15.35][7.35][t], rifl[circle[24,15.35][7.35],-101][t], rifl[circle[24,15.35][7.35],-0.65][t], rifl[circle[24,15.35][7.35],0.001][t]},{t,-2.55,3.05},PlotStyle ->Thickness[0.007],PlotRange -> {{-36,36},{-35,35}}]

Scriviamo l’equazione generica della circonferenza:

Procediamo con il ribaltamento dei quattro archi di circonferenza:

Ribaltate2=ParametricPlot[{circle[24,15.35][9.35][t], rifl[circle[24,15.35][9.35],-101][t], rifl[circle[24,15.35][9.35],-0.65][t], rifl[circle[24,15.35][9.35],0.001][t]},{t,-2.5,2.9},PlotStyle ->Thickness[0.007],PlotRange -> {{-36,36},{-35,35}}]Con la funzione Show uniamo i due grafici e poi li sovrapponiamo all’immagine della porzione di pavimentazione: Show[Ribaltate,Ribaltate2]

Facciamo la stessa cosa per gli archi di circonferenza esterni:

Studio della formaProcediamo alla dimostrazione della rotazione mediante formule matematiche:

rt[a_]:={{Cos[a],-Sin[a]},{Sin[a],Cos[a]}} circle[a_,b_][r_][t_]:={a+r*Cos[t],b+r*Sin[t]}Determiniamo le coordinate delle circonferenze da ruotare e descriviamo degli archi di circonferenza. PeriodDA=ParametricPlot[Table[rt[k*Pi].circle[24,15.35][7.35][t],{k,0,1}],{t,-2.55,3.05} ,PlotStyle -> Thickness[0.007],PlotRange -> {{-36,36},{-35,35}}]

PeriodDA1=ParametricPlot[Table[rt[k* Pi].circle[24,15.35][9.35][t],{k,0,3}],{t,-2.5,2.9} ,PlotStyle ->Thickness[0.007],PlotRange -> {{-36,36},{-35,35}}]

Show[PeriodDA1,PeriodDA]

Scriviamo innanzitutto l’equazione generica della circonferenza.

PeriodSA=ParametricPlot[Table[rt[k* Pi].circle[-23.28,15.45][7.35][t],{k,0,3}],{t,-0.88,1.45Pi} ,PlotStyle -> Thickness[0.007],PlotRange -> {{-36,36},{-35,35}}] PeriodSA1=ParametricPlot[Table[rt[k Pi].circle[-23.28,15.45][9.35][t],{k,0,3}],{t,-0.88,1.39Pi} ,PlotStyle -> Thickness[0.007],PlotRange -> {{-36,36},{-35,35}}]

Determiniamo i rimanenti archi di circonferenza ed utilizziamo la funzione Show per unire tutte le figure ruotate:

Show[PeriodDA1,PeriodDA,PeriodSA1,PeriodSA]

Costruzione della forma geometrica

Proviamo a determinare la forma della pavimentazione utilizzando il cerchio,

perciò come prima cosa specifichiamo le equazioni generiche della circonferenza:Il passo successivo è quello di determinare le coordinate delle

circonferenze, per dimostrarlo ne scriveremo solo alcune:cerchio1=ParametricPlot[circle[-23.28,15.45][7.35][t],{t,0,2Pi}, PlotRange -> {{-36,36},{-35,35}},PlotStyle -> Thickness[0.003]]

cerchio2=ParametricPlot[circle[-23.25,-15.5][7.35][t],{t,0,2Pi}, PlotRange -> {{-36,36},{-35,35}},PlotStyle -> Thickness[0.003]]

cerchio3=ParametricPlot[circle[0.45,-0.0001][14.6][t],{t,0,2Pi},PlotRange -> {{-36,36},{-35,35}},PlotStyle -> Thickness[0.003]]

Circle [r_][t]:{r*Cos[t],r*Sin[t]} Circle[a_,b_],[t_]:={a+r*Cos[t],b+r*Sin[t]}

Dopo aver determinato le circonferenze procediamo a tagliarle trasformandole in archi di circonferenze, ripeteremo l’operazione per ogni circonferenza presente nella forma geometrica, qui ne riporteremo solo alcune: periodSA=ParametricPlot[circle[-23.28,15.45][7.35][t],{t,-0.88,1.45Pi},PlotRange -> {{-36,36},{-35,35}},PlotStyle -> Thickness[0.003]] periodSB1=ParametricPlot[circle[-23.24,-15.5][9.35][t],{t,0.61,1.92Pi},PlotRange -> {{-36,36},{-35,35}},PlotStyle -> Thickness[0.003]] periodDA2=ParametricPlot[circle[23.78,15.15][11.67][t],{t,-1.56,2.79},PlotRange -> {{-36,36},{-35,35}},PlotStyle -> {Thickness[0.002],Blue}] cerchioCB=ParametricPlot[circle[0.4,-0.5][18.6][t],{t,-2.59,-0.88},PlotRange -> {{-36,36},{-35,35}},PlotStyle -> Thickness[0.003]]

Procediamo poi a fonderle in un unico grafico:

Show[cerchio2,cerchio3,cerchio1,cerchio4,DAcerchioP,DAcerchioP1,DBcerchioP,DBcerchioP1,SBcerchioP,SBcerchioP1,SAcerchioP,SAcerchioP1,c3]

triS=Graphics[Graphics[{Thickness -> 0.002,Blue ,Line[{{-18,4.8},{-24,0.1},{-18,-4.5}}] ,Line[{{-17.3,8.2},{-27.7,0.1},{-23.2,-3.6}}] ,Line[{{-18.7,9.7},{-31.5,0},{-26,-3.8}}] ,Line[{{-24.3,8.2},{-34.8,-0.1},{-28.4,-4.8}}]}]]

triDE=Graphics[Graphics[{Thickness -> 0.002,Blue, Line[{{18.9,4.5},{25,-0.29},{18.8,-4.9}}], Line[{{24,3.5},{28.7,-0.29},{18.8,-7.9}}], Line[{{27.1,3.8},{32.1,-0.3},{20.6,-9.1}}], Line[{{29.25,4.65},{35.7,-0.3},{25.5,-8}}] }]]

Il disegno è quasi completo, mancano solo le rette, perciò scriviamo l’equazione delle rette e le loro coordinate:

Show[cerchio2,cerchio3,cerchio1,cerchio4,DAcerchioP,DAcerchioP1,DBcerchioP,DBcerchioP1,SBcerchioP,SBcerchioP1,SAcerchioP,SAcerchioP1,c3,rette]

Trovate anche le rette concludo la costruzione della forma geometrica della pavimentazione :