CORSO DI MATEMATICA – CURVE E SUPERFICI

Prof. Corrado Falcolini

Stud. Cantalupo Valeria – Ceraudo Daniele

A.A. 2009-2010

STUDIO E RIPRODUZIONE DEL “JEFFERSON MEMORIAL” E CONFRONTO COL PANTHEON

TEMA : “Jefferson Memorial” di PopeIl Thomas Jefferson Memorial è un monumento costruito in onore di Thomas Jefferson, terzo presidente degli Stati Uniti, e sorge a Washington. L’edificio, in stile neoclassico, fu progettato dall’architetto americano John Russel Pope, e inaugurato nel 1943. E’ composto da un podio di marmo a gradoni circolari, con un colonnato ancora circolare di ordine ionico, ed è sormontato da una cupola. Pope in questo modo intendeva rifarsi sia al Pantheon di Roma, sia all’edificio della “Rotunda”, progettato dallo stesso Pope per l’Università della Virginia, anch’esso sul modello del Pantheon romano. L’edificio è situato nel West Potomac Park, sulle sponde del Tidal Bain, un invaso artificiale creato con le acque del fiume Potomac. L’interno racchide un’enorme statua di bronzo di Thomas Jefferson, alta 5,8 metri.

OBIETTIVO :

riprodurre il volume che costituisce il Thomas Jefferson Memorial

e confrontarlo con il volume che costituisce il Pantheon di Roma, per evidenziare le effettive somiglianze e le differenze rispetto all’edificio di Pope.

PROCEDIMENTO :COSTRUZIONE DEL VOLUME PER “PEZZI”

La riproduzione dell’edificio è avvenuta mediante la scomposizione del volume in ELEMENTI BASE, che ci ha permesso di ricostruire passo dopo passo il monumento.

Dopo la definizione di tutti i singoli elementi, tramite il comando “Show” abbiamo assemblato i vari pezzi, ottenendo in questo modo l’intero edificio.

cupola

Copertura colonnato

timpano

Cilindro sala interna

colonnato

le 2 basi

pianta circolare del colonnato

le scale d’ingresso

Immaginando un percorso che parte dalle scale d’ingresso fino ad arrivare al colonnato circolare con la sua cupola, gli elementi-base che compongono l’edificio sono i seguenti :

1) LE SCALE D’ INGRESSO

2) I DUE BLOCCHI LATERALI (che fiancheggiano le scale d’ingresso)

3) LE DUE BASI (quella circolare del colonnato – quella rettangolare d’ingresso)

4) LE VARIE PEDANE (pedana1 – pedana2 – pedana3)

5) LA PIANTA CIRCOLARE DEL COLONNATO

9) IL TIMPANO D’ INGRESSO

10) LA COPERTURA DEL COLONNATO (costituita da 6 cilindri, quindi 6 coperture sovrapposte, di diametro sempre più piccolo fino ad arrivare alla cupola)

11) LA CUPOLA

8) L’ENTRATA E LA SUA COPERTURA

7) IL CILINDRO DELLA SALA INTERNA

6) IL COLONNATO CIRCOLARE E LE COLONNE D’ ENTRATA

LE SCALE D’ INGRESSO

Le scale d’ingresso sono state create utilizzando i comandi :

-“TABLE” ( che prevede l’aggiunta di una variabile k)

- “CUBOID”( che si disegna scrivendo le coordinate dei “vertici opposti”, in questa forma : Cuboid [{xmin, ymin,zmin} , {xmax, ymax, zmax}] ).

scale = Show [ Table [ Graphics3D [{ White, Cuboid [{14.5 ,-7.8 ,1- k*0.1153846- 0.1153846} ,{14.5 +K*0.17, 7.8, 1-k*0.1153846}] },

PlotRange -> {{-19,21} , {-20, 20} , {-1,20}} ] , {k, 0, 9 }],

Axes ->True

scale2 = Show [ Table [ Graphics3D [{ White, Cuboid [{16.3 ,-9.8- k*0.17,0.038-K*0.1153846-0.1153846},{17.3,K* 0.17, 9.8 + k*0.17,-0.038-K*0.1153846 } ] }, PlotRange -> {{-19,21} , {-20, 20} , {-1,20}} ] , {k, 0, 4 }], Axes ->True

1

I DUE BLOCCHI LATERALI

Per i due blocchi laterali è stato usato solamente il comando “CUBOID”, variando per il blocco2 solamente la ymin e la ymax.

blocco1 = Show [ Graphics3D [{White, Cuboid [ {16.03,

10.48, -0.5} , {14.5 , 7.8 , 1.6}] }, PlotRange -> {-20, 20},

{-20,20}, {-1,20}}] , Axes -> True]

blocco2 = Show [ Graphics3D [{White, Cuboid [ {16.03,

-10.48, -0.5} , {14.5 ,- 7.8 , 1.6}] }, PlotRange -> {-20, 20},

{-20,20}, {-1,20}}] , Axes -> True]

2

LE DUE BASI (circolare e rettangolare)

-La base circolare del colonnato è stata realizzata mediante il comando “CILINDER”,che si scrive nella forma : Cylinder [ { x1,y1,z1} , {x2,y2,z2}, r ], dove r rappresenta il raggio del cilindro.

base = Graphics3D [ { RGBcolor [1,1,1] , Cylinder [{ [0,0,-0.5} , {0,0,1}}, 14] }, PlotRange -> {{-20,20},

{-20,20}, {-1,20} }, Axes-> True ]

-La base rettangolare d’ingresso invece è stata realizzata mediante il comando “CUBOID”.

base2 = Show [Graphics3D [White, Cuboid [{7, -10.48,-0.5}] , {14.5, 10.48,1}] ], PlotRange -> {{-20,20}, {20,20}, {-1,20}}], Axes -> True ]

3

LE VARIE PEDANE

-La prima pedana è stata realizzata mediante il comando “CUBOID”, facendo variare di poco zmin e zmax per ottenere un’altezza minima.

pedana = Show [ Graphics3D [{White, Cuboid [{3, -3, 2.384616} , {10 , 3 , 2.5}] }, PlotRange->{{-20 , 20}, {-20,20}, {0,20}}] ]

-La pedana2 è stata realizzata mediante una “Table” ed il comando “CUBOID”, facendo variare il parametro k sulla y sulla z e sulla x per ottenere tanti gradini diversi sia in lunghezza sia in altezza ,sia in larghezza(man mano che si sale più stretti).

pedana2 = Show[ Table[ Graphics3D [{White, Cuboid[{7, -4-k*0.17 , 2.5-k*0.1153846 – 0.1153846} , {10+k*0.17 , 4+ k*0.17, 2.5- k*0.1153846}]}, PlotRange-> {{-19,19},{-20,20},{0,20} }], {k,0,6}], Axes ->True]

4

LE VARIE PEDANE

La pedana3 è stata realizzata sempre mediante una “Table” ed il comando “CUBOID”, facendo però variare k questa volta da 7 a 13.

pedana3 = Show [ Table [ Graphics3D [ { White, Cuboid [ { 7,-4.3 – k*0.17, 2.5 – k*1153846-0.1153846}, {10.3 + k*0.17 , 4.3 + k*0.17 , 2.5 – k*0.1153846}] }, PlotRange-> {{-19,19},{-20,20}, {0,20} }] , {k,7,13} ],Axes->True]

LA PIANTA CIRCOLARE DEL COLONNATO

La pianta del colonnato è circolare ed è costituita da tanti cilindri via via più piccoli sovrapposti l’uno all’altro. Per questo, per disegnarla sono stati usati :

-una “Table” (con la variabile k presente solo sulla z, per ottenere le diverse altezze)

-il comando “Cylinder” col raggio variabile a seconda di k.

pianta = Show [ Table[ Graphics3D [ {RGBColor [1,1,1], Cylinder [{ {0,0, 1+k*0.3} , {0,0,1.3+k*0.3}}, 10- k/2] }, PlotRange-> {{-20,20}, {-20,20} , {0,20}}] , {k,0,4} ] ]

5

IL COLONNATO CIRCOLARE E LE COLONNE D’ ENTRATA

Sia per il colonnato circolare che per le colonne d’entrata, i passaggi sono stati questi :

-definizione della funzione “cilindro”, di parametri r (il raggio del cilindro), u (la coordinata della circonferenza) e v (l’altezza del cilindro) e della forma :

cilindro[ r_] [u_, v_] := {r* Cos[u] , r*Sin[u], v}

- visualizzazione del GRAFICO del cilindro, di raggio 0.2, con u che varia da 0 a 2Pi e v che varia da 1.5 a 4.5

ParametricPlot3D [cilindro[0.2] [u, v] , { u, 0,2Pi}, {v,1.5 , 4.5}, PlotRange -> {{-10,10} , {-10,10} , {0,10}} ]

coordinate del punto generico del cilindro

6

IL COLONNATO CIRCOLARE E LE COLONNE D’ ENTRATA

- definizione di “colonne”, ottenute con la funzione “Table” e con una traslazione di vettore {6.95, k, 0 } , con k che varia tra -2.5 e 2.5 :

colonne = ParametricPlot3D [Table [cilindro[0.16] [u,v] + {6.95,k,0}, {k,-2.5,2.5}], {u,0,2Pi}, {v,1.5,4.5}, PlotRange ->{{-10,10}, {-10,10},{0,10}}, PlotStyle->{White}]

IL COLONNATO CIRCOLARE E LE COLONNE D’ ENTRATA

A questo punto è stato realizzato il colonnato, utilizzando :

-la funzione “cilindro” definita in precedenza

-una traslazione : + 7.2 {Cos[a] , Sin[a] , 0.347222222}

-la funzione “Table”, di parametro a (l’angolo di rotazione), che varia tra 7/36 Pi e 65/36 Pi, con passo pari a 1/18Pi

colonnato = ParametricPlot3D [Table[cilindro[0.2] [u,v] +7.2{Cos[a] , Sin[a] , 0.347222222},{a, 7/36Pi , 65/36 Pi , 1/18 Pi}] , {u,0,2Pi} , {v,0 , 4.5} , PlotRange-> {{-10,10}, {-10,10},{0, 20} }, PlotStyle ->{White} ]

IL COLONNATO CIRCOLARE E LE COLONNE D’ ENTRATA

Infine sono state realizzate le colonne d’entrata (colonne1 e colonne2), utilizzando:

-la funzione “cilindro”(di parametri u e v)

-la traslazione di vettore {9.5, k, 0} per colonne1 e di vettore {8.7,k,0} per colonne2

-la funzione “Table”, con il parametro k che varia tra -3.4 e 3.6, con passo pari a 0.95

colonne1 = ParametricPlot3D [Table [cilindro[0.2][u,v] + {9.5, k, 0} , {k, -3.4, 3.6, 0.95}] ,{u, 0,2Pi}, {v,2.5,7} , PlotRange -> {{-10,10}, {10, 10} , {{0,10} }, PlotStyle ->{White}]

colonne2 = ParametricPlot3D [Table [cilindro[0.2][u,v] + {8.7, k, 0} , {k, -3.4, 3.6, 0.95}] ,{u, 0,2Pi}, {v,2.5,7} , PlotRange -> {{-10,10}, {10, 10} , {{0,10} }, PlotStyle ->{White}]

IL CILINDRO DELLA SALA INTERNA

La sala interna ha la forma di un cilindro, per questo è stato usato semplicemente il comando“Cylinder”, con un raggio del cilindro pari a 5.5

sala interna = Graphics3D [RGBColor [1,1,1] ,Cylinder [{ {0,0,2.5} , {0,0,7}} ,5.5] }, PlotRange ->{ {-20 , 20} , {-20,20} , {0,20} } , Axes ->True]

7

L’ENTRATA E LA SUA COPERTURA (copertura1 e copertura2)

-L’entrata è un semplice parallelepipedo, quindi per disegnarla è stato usato il comando “Cuboid”

entrata = Show [ Graphics3D [ { White , Cuboid [ {3.8, -3.5 , 2.5} , {8, 3.5, 7 }] } , PlotRange -> { -20,20} ,{-20,20} , {0,20} } ]]

-Anche la sua copertura è un parallelepipedo, quindi si ricorre ancora al comando “Cuboid”, con un’ altezza però molto più piccola. Lo stesso procedimento è stato applicato anche per la copertura2, cambiando solo i parametri del comando “Cuboid”

copertura1 = Show [ Graphics3D [ { White , Cuboid [ {6.2, -3.5 , 7} , {9.7, 3.5, 8 }] } , PlotRange -> { -20,20} ,{-20,20} , {0,20} } ]]

8

IL TIMPANO D’ INGRESSO

Il timpano d’ingresso è stato realizzato mediante il comando “Polygon”, che prevede di specificare le coordinate dei punti che definiscono le varie facce del poligono (nel nostro caso 3, essendo 2 facce inclinate ed una dritta).

timpano = Show [ Graphics3D [White , { Polygon [ { {10.1, -3.9, 8.4} , {10.1, 0, 9.6}, {10.1 , 3.9, 8.4}} ]} , {Polygon [ {{10.1 , -3.9 , 8.4} , {5 , -3.9 ,8.4} , {5, 0, 9.6 }}] }, Polygon [{ {10.1 , 3.9 , 8.4} , {5, 3.9, 8.4} , {5, 0, 9.6} , {10.1, 0, 9.6}} ] }, PlotRange ->{{-19,21},{-20,20} , {-1, 20} }} ], Axes -> True ]

9

LA COPERTURA DEL COLONNATO

La copertura del colonnato è formata da 6 cilindri sovrapposti, sempre più piccoli man mano che si sale in altezza, fino ad arrivare all’ultimo cilindro. Perciò per tutte e 6 le coperture sovrapposte è stato utilizzato il comando “Cylinder”, facendo variare di volta in volta i parametri, compreso il raggio.

copertura2 = Graphics3D [{RGBColor [1,1,1] , Cylinder [{ {0, 0, 7} , {0 ,0, 8}} , 7.4] } , PlotRange -> {{-20,20} , {-20,20} , {0, 20} } , Axes -> True ]

copertura3 = Graphics3D [{RGBColor [1,1,1] , Cylinder [{ {0, 0, 8} , {0 ,0, 8.4}} , 7.8] } , PlotRange -> {{-20,20} , {-20,20} , {0, 20} } , Axes -> True ]

10

LA COPERTURA DEL COLONNATO

copertura5 = Graphics3D [{RGBColor [1,1,1] , Cylinder [{ {0, 0, 8.4} , {0 ,0, 8.8}} , 7.4] } , PlotRange -> {{-20,20} , {-20,20} , {0, 20} } , Axes -> True ]

copertura6 = Graphics3D [{RGBColor [1,1,1] , Cylinder [{ {0, 0, 8.8} , {0 ,0, 9.6}} , 5.6] } , PlotRange -> {{-20,20} , {-20,20} , {0, 20} } , Axes -> True ]

LA COPERTURA DEL COLONNATO

copertura7 = Graphics3D [{RGBColor [1,1,1] , Cylinder [{ {0, 0, 9.6} , {0 ,0, 10}} , 5] } , PlotRange -> {{-20,20} , {-20,20} , {0, 20} } , Axes -> True ]

copertura8 = Show[Table [Graphics3D [{RGBColor [1,1,1] , Cylinder [{ {0, 0, 10 + k*0.2} , {0 ,0, 10.2 + k*0.2}} , 5- k/3] } , PlotRange -> {{-20,20} , {-20,20} , {0, 20} } ] ,{k , 0, 3} ] ]

Infine, dovendo visualizzare tutti i cilindri sovrapposti l’uno sull’altro, è stato utilizzato il comando “Table” nella copertura8, facendo variare la z ed il raggio del cilindro rispetto al parametro k.

LA CUPOLA

cupola= ParametricPlot3D [ {u 4.7 Cos[v] , u 4.7 Sin[v] , 3.9 u^3 } + { 0 , 0 ,12.7}, {u, -0.8, 0} , {v , 0 ,2Pi} , PlotRange -> { {-20,20} , {-20, 20} , {0, 20} }, PlotStyle -> { White} ]

11Per la cupola siamo partiti da una funzione cubica che gira intorno ad un asse, con il parametro u (che sta ad indicare di quanto si deve allargare la curva man mano che scende), ed una traslazione in altezza: +{0, 0,12.7}.

Infine, abbiamo ottenuto l’intero edificio col comando “Show”, visualizzando insieme tutti gli elementi-base che compongono il nostro volume.

Per le colonne, il colonnato e la cupola abbiamo aggiunto l’opzione “Mesh -> None” per visualizzare le superfici lisce ( cioè senza linee di costruzione).

colonne1 = ParametricPlot3D [Table [cilindro[0.2][u,v] + {9.5, k, 0} , {k, -3.4, 3.6, 0.95}] ,{u, 0,2Pi}, {v,2.5,7} , PlotRange -> {{-10,10}, {10, 10} , {{0,10} }, PlotStyle ->{White}, Mesh -> None]

colonnato = ParametricPlot3D [Table[cilindro[0.2] [u,v] +7.2{Cos[a] , Sin[a] , 0.347222222},{a, 7/36Pi , 65/36 Pi , 1/18 Pi}] , {u,0,2Pi} , {v,0 , 4.5} , PlotRange-> {{-10,10}, {-10,10},{0, 20} }, PlotStyle ->{White}, Mesh-> None ]

cupola= ParametricPlot3D [ {u 4.7 Cos[v] , u 4.7 Sin[v] , 3.9 u^3 } + { 0 , 0 ,12.7}, {u, -0.8, 0} , {v , 0 ,2Pi} , PlotRange -> { {-20,20} , {-20, 20} , {0, 20} }, PlotStyle -> { White}, Mesh-> None ]

In questo modo abbiamo ottenuto un aspetto diverso del volume finale.

CONFRONTO COL PANTHEON

Per il Pantheon il procedimento è stato lo stesso per tutti i singoli elementi che costituiscono il volume. Le principali differenze stanno :

-nella mancanza delle colonne tutto intorno al cilindro della sala interna

-nella cupola e nel timpano, molto più schiacciati ( soprattutto la cupola,perché i fattori che moltiplicano le variabili sono molto più grandi ( 27.8 e 16 rispetto a 4.7 e 3.9)

cupola = ParametricPlot3D [ {u 27.8 Cos[v] , u 27.8 Sin[v], 16 u^3 + {-10, 0, 48} , {u, -0.8, 0} , {v, 0, 2Pi}, PlotRange ->{{-70, 70} , {-50,50} , {0,60} }, PlotStyle-> {White} , Mesh-> None ]

-rapporto fattori Jefferson : 1,2 (cupola molto meno schiacciata)

-rapporto fattori Pantheon : 1,73 (cupola molto più schiacciata)

CONFRONTO COL PANTHEON

Il volume finale del Pantheon è questo:

Infine, per visualizzare entrambi i volumi senza asse di riferimento è stato usato il comando : “Boxed -> False”.

BIBLIOGRAFIA

-Bedford, Steven McLeod, John Russell Pope: Architect of Empire, Rizzoli International Publications, New York, 1998.

-Goode, James M. The Outdoor Sculpture of Washington D.C., Smithsonian Institute

Press, Washington D.C., 1974.

-http://it.wikipedia.org/wiki/Jefferson_Memorial

-http://sketchup.google.com