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Variabili aleatorie

Matematica

con elementi di Informatica

Tiziano VargioluDipartimento di Matematica

[email protected]

Corso di Laurea Magistrale in Chimica e Tecnologie Farmaceutiche

Anno Accademico 2018/19

Variabili aleatorie Anno Accademico 2018/19 1 / 36

Variabili aleatorie

Una variabile aleatoria e semplicemente una funzione X : Ω→ E , che aseconda del verificarsi dei possibili risultati ω ∈ Ω assume valori diversinell’insieme E .Esempio: lancio di un dado. Supponiamo di vincere 10 Euro se esce 6, 2Euro se esce 5 e 0 altrimenti. Come modellizzare questo?Iniziamo dicendo che un modello sensato per l’esperimento aleatorio eporre Ω = 1, 2, . . . , 6 con la probabilita uniforme P (tale chePω = 1/6 per ogni ω ∈ Ω).Allora possiamo definire due variabili aleatorie ”significative”:

la variabile aleatoria ”risultato del lancio” puo essere definita come

X (ω) := ω ∀ω ∈ Ω (E = Ω)

la variabile aleatoria ”vincita” puo essere definita come

Y (ω) =

10 se ω = 6 (o X = 6),2 se ω = 5 (o X = 5),0 se ω = 1, 2, 3 o 4 (o X ∈ 1, 2, 3, 4)

(E = 0, 2, 10)


Esempio: variabili aleatorie gaussiane

Esempio: misura di una altezza.Supponiamo di voler misurare l’altezza X di un individuo, e che quindi Xsia la nostra variabile aleatoria. Come costruiamo tutto?Spazio campionario: Ω = R (se vogliamo essere sofisticati, Ω = R+)Probabilita: P tale che, per ogni intervallo I ⊆ R di estremi−∞ ≤ a < b ≤ +∞, si abbia

P(I ) =∫ b

a

1√2πσ2

e−12(x−µ)2

σ2 dx

Anche qui, possiamo porre X (ω) = ω, e quindi

PX ∈ I =∫ b

a

1√2πσ2

e−12(x−µ)2

σ2 dx

Diciamo allora che X ha legge gaussiana o normale N(µ, σ2).


Operazioni tra variabili aleatorie

Una variabile aleatoria X puo essere chiamata, a seconda dello spazio diarrivo E :

reale se E ⊆ R;

complessa se E ⊆ C;

discreta se E e discreto (cioe finito o numerabile).

Queste definizioni non si autoescludono: le variabili aleatorie X e Y delprimo esempio sono reali discrete.Invece le gaussiane sono reali ma NON discrete (E = R).Le operazioni tra variabili aleatorie sono quelle che si possono fare traelementi degli insiemi di arrivo (e il risultato e ancora una variabilealeatoria).Ad esempio, nel caso di variabili aleatorie reali, sono possibili tutte leoperazioni possibili tra numeri reali (quattro operazioni, elevamento apotenza, esponenziali e logaritmi, funzioni trigonometriche, ecc.)


Operazioni tra eventi e variabili aleatorie

Tramite le variabili aleatorie e possibile descrivere eventi.Esempio: se X e una variabile aleatoria reale, per ogni I ⊆ R rimanedefinito l’evento

ω ∈ Ω | X (ω) ∈ I = X ∈ I

E possibile anche definire variabili aleatorie a partire da eventi.L’esempio tipico e quello della funzione indicatrice di un evento A:

1A =

1 se si verifica A,0 se non si verifica A,

Quindi, la funzione indicatrice e una variabile aleatoria discreta a valori inE = 0, 1.


Distribuzione di una variabile aleatoria

Per ogni valore x che la variabile aleatoria X puo assumere, si puoconsiderare la probabilita dell’evento X = x.Possiamo quindi considerare la distribuzione di X .Esempio: lancio di un dado.

PX = 10 = P6 = 1

6,

PX = 2 = P5 = 1

6,

PX = 0 = P1, 2, 3, 4 = 4

6=

2

3

Piu in generale, se una variabile aleatoria X assume valori in E , possiamoconsiderare PX ∈ A per ogni A ⊆ E .Esempio:

PX 6= 0 = PX ∈ 2, 10 = 2

6=

1

3


Distribuzione di una variabile aleatoria

Se una variabile aleatoria X assume valori in E , un risultato fondamentalee che la distribuzione di X definisce una probabilita su E

PX (A) = PX ∈ A ∀A ⊆ E

Per indicare che la variabile aleatoria X ha distribuzione PX , si usa lascrittura X ∼ PX .Esempio: possiamo considerare X ∼ N(µ, σ2), che significa (come giavisto) che per ogni intervallo I ⊆ R di estremi a < b abbiamo

PX ∈ I =∫ b

a

1√2πσ2

e−12(x−µ)2

σ2 dx

Notiamo che, a differenza della costruzione presentata inizialmente, quinon abbiamo bisogno di specificare lo spazio campionario.


Variabile aleatoria di Bernoulli

Un esempio significativo di variabile aleatoria e la seguente. Sia dato unevento A, con P(A) = p ∈ (0, 1), e consideriamo la funzione indicatrice diA:

X = 1A =

1 se si verifica A,0 se non si verifica A,

Ovviamente X assume valori su E = 0, 1.Se vogliamo interessarci solo alla sua distribuzione, abbiamo

PX (∅) = PX ∈ ∅ = 0,

PX (0) = PX = 0 = P(Ac) = 1− p,

PX (1) = PX = 1 = P(A) = p,

PX (E ) = PX ∈ E = 1,

Una variabile aleatoria di questo tipo (cioe a valori in E = 0, 1) vienechiamata variabile aleatoria di Bernoulli di parametro p, in simboliX ∼ Be(p) (ricordiamo: p = PX = 1).


Variabili aleatorie discrete e continue

Se X e una variabile aleatoria discreta, allora e possibile calcolarePX ∈ A, con A finito o complementare di insieme finito, a partire daivalori PX = x:

PX ∈ A = ∑x∈A

PX = x

C’e un’altra importante classe di variabili aleatorie, che sono le variabilialeatorie continue.Una variabile aleatoria reale X si dice continua di densita fX se, per ogniintervallo I ⊆ R di estremi a < b, si ha

PX ∈ I =∫ b

af (x) dx

Esempio: variabili aleatorie gaussiane.In generale, se due variabili aleatorie X e Y hanno la stessa distribuzione,si dicono identicamente distribuite (i.d.)


Funzione di ripartizione di una variabile aleatoria

Abbiamo visto che variabili aleatorie discrete e continue hannodistribuzioni (o leggi) individuate da somme piuttosto che da integrali.C’e pero un concetto che unifica questi due tipi di calcolo, che e quello difunzione di ripartizione.Data una variabile aleatoria reale X , la sua funzione di ripartizioneFX : R→ [0, 1] e definita da

FX (t) = PX ≤ t ∀t ∈ R

Quindi: per variabili aleatorie discrete si ha

FX (t) = ∑x≤t

PX = x

e per variabili aleatorie continue si ha

FX (t) =∫ t

−∞fX (x) dx


Uso della funzione di ripartizione

Tramite la funzione di ripartizione si possono eseguire la maggior parte deicalcoli di probabilita su variabili aleatorie. Ad esempio:

Pa < X ≤ b = P(X ≤ b \ X ≤ a) == PX ≤ b −PX ≤ a = FX (b)− FX (a)


Esempi di funzione di ripartizione

Esempio: variabile aleatoria di Bernoulli. Se X ∼ Be(p), allora

FX (t) =

0 se t < 0,1− p se 0 ≤ t < 1,1 se t ≥ 1,

Esempio: variabile aleatoria continua. Se X e continua di densita f , alloraper ogni intervallo I di estremi a < b (cioe I = (a, b), (a, b], [a, b), [a, b])si ha

PX ∈ I =∫ b

af (x) dx = FX (b)− FX (a)

Questo e molto utile sulle variabili aleatorie gaussiane: siccome la densitagaussiana non ammette primitiva, i calcoli si possono fare tramite laconoscenza di FX (tavole della gaussiana).


Variabili aleatorie gaussiane

Tramite le funzioni di ripartizione, e molto facile vedere che tutte levariabili aleatorie gaussiane (e di conseguenza i relativi calcoli) si possonoricondurre ad una normale N(0, 1) (standard).

Difatti, se X ∼ N(µ, σ2), e definiamo Y = X−µσ , allora Y ∼ N(0, 1). Per

vedere questo, basta calcolare la sua funzione di ripartizione:

FY (t) = PY ≤ t = PX ≤ µ + σt =∫ µ+σt

−∞

1√2πσ2

e−12(x−µ)2

σ2 dx =

=∫ t

−∞

1√2π

e−12 y

2dy

dove abbiamo fatto il cambio di variable dentro l’integrale y = x−µσ .

Questo significa anche che possiamo rappresentare ogni X ∼ N(µ, σ)come X = σY + µ con Y ∼ N(0, 1).Di conseguenza. . . basta conoscere (i.e. tabulare) la legge N(0, 1) perottenere tutte le probabilita gaussiane!


Tavole della funzione di ripartizione FZ per Z ∼ N(0, 1)

.00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .090.0 .50000 .50399 .50798 .51197 .51595 .51994 .52392 .52790 .53188 .535860.1 .53983 .54380 .54776 .55172 .55567 .55962 .56356 .56750 .57142 .575350.2 .57926 .58317 .58706 .59095 .59483 .59871 .60257 .60642 .61026 .614090.3 .61791 .62172 .62552 .62930 .63307 .63683 .64058 .64431 .64803 .651730.4 .65542 .65910 .66276 .66640 .67003 .67364 .67724 .68082 .68439 .687930.5 .69146 .69497 .69847 .70194 .70540 .70884 .71226 .71566 .71904 .722400.6 .72575 .72907 .73237 .73565 .73891 .74215 .74537 .74857 .75175 .754900.7 .75804 .76115 .76424 .76731 .77035 .77337 .77637 .77935 .78230 .785240.8 .78814 .79103 .79389 .79673 .79955 .80234 .80511 .80785 .81057 .813270.9 .81594 .81859 .82121 .82381 .82639 .82894 .83147 .83398 .83646 .83891

1.0 .84134 .84375 .84614 .84850 .85083 .85314 .85543 .85769 .85993 .862141.1 .86433 .86650 .86864 .87076 .87286 .87493 .87698 .87900 .88100 .882981.2 .88493 .88686 .88877 .89065 .89251 .89435 .89617 .89796 .89973 .901471.3 .90320 .90490 .90658 .90824 .90988 .91149 .91309 .91466 .91621 .917741.4 .91924 .92073 .92220 .92364 .92507 .92647 .92786 .92922 .93056 .931891.5 .93319 .93448 .93574 .93699 .93822 .93943 .94062 .94179 .94295 .944081.6 .94520 .94630 .94738 .94845 .94950 .95053 .95154 .95254 .95352 .954491.7 .95543 .95637 .95728 .95819 .95907 .95994 .96080 .96160 .96246 .903271.8 .96407 .96485 .96562 .96638 .96712 .96784 .96856 .96926 .96995 .970621.9 .97128 .97193 .97257 .97320 .97381 .97441 .97500 .97558 .97615 .97670

2.0 .97725 .97778 .97831 .97882 .97933 .97982 .98030 .98077 .98124 .981692.1 .98214 .98257 .98300 .98341 .98382 .98422 .98461 .98500 .98537 .985742.2 .98610 .98645 .98679 .98713 .98745 .98778 .98809 .98840 .98870 .988992.3 .98928 .98956 .98983 .99010 .99036 .99061 .99086 .99111 .99134 .991582.4 .99180 .99202 .99224 .99245 .99266 .99286 .99305 .99324 .99343 .993612.5 .99379 .99396 .99413 .99430 .99446 .99461 .99477 .99492 .99506 .995202.6 .99534 .99547 .99560 .99573 .99585 .99598 .99609 .99621 .99632 .996432.7 .99653 .99664 .99674 .99683 .99693 .99702 .99711 .99720 .99728 .997362.8 .99745 .99752 .99760 .99767 .99774 .99781 .99788 .99795 .99801 .998072.9 .99813 .99819 .99825 .99831 .99836 .99841 .99846 .99851 .99856 .99861

3.0 .99865 .99869 .99874 .99878 .99882 .99886 .99889 .99893 .99896 .999003.1 .99903 .99906 .99910 .99913 .99916 .99918 .99921 .99924 .99926 .999293.2 .99931 .99934 .99936 .99938 .99940 .99942 .99944 .99946 .99948 .999503.3 .99952 .99953 .99955 .99957 .99958 .99960 .99961 .99962 .99964 .999653.4 .99966 .99968 .99969 .99970 .99971 .99972 .99973 .99974 .99975 .999763.5 .99977 .99978 .99978 .99979 .99980 .99981 .99981 .99982 .99983 .999833.6 .99984 .99985 .99985 .99986 .99986 .99987 .99987 .99988 .99988 .999893.7 .99989 .99990 .99990 .99990 .99991 .99991 .99992 .99992 .99992 .999923.8 .99993 .99993 .99993 .99994 .99994 .99994 .99994 .99995 .99995 .999953.9 .99995 .99995 .99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99997 .99997


Simmetria delle variabili aleatorie gaussiane

Una variabile aleatoria reale X si dice simmetrica se X e −X sono i.d.Proposizione. Per ogni σ > 0, la variabile aleatoria X ∼ N(0, σ2) esimmetrica.Dimostrazione. Per ogni t ∈ R abbiamo

F−X (t) = P−X ≤ t = PX ≥ −t =∫ +∞

−t

1√2πσ2

e−12x2

σ2 dx

Facendo il cambio di variabile y = −x otteniamo

F−X (t) =∫ t

−∞

1√2πσ2

e−12y2

σ2 dy = FX (t)

Esempio. Se X ∼ N(1, 2), calcolare P0 < X < 2.Per risolvere il problema, poniamo Z = X−1√

2. Allora

P0 < X < 2 = P

−1√

2<

X − 1√2

<2− 1√

2

= FZ

(1√2

)− FZ

(−1√

2

)=

= FZ

(1√2

)− 1 + FZ

(1√2

)= 0.522


Variabili aleatorie indipendenti

Ricordiamo che due eventi A e B si dicono indipendenti se

P(A∩ B) = P(A)P(B)

Due variabili aleatorie X e Y si dicono indipendenti se ogni coppia dieventi esprimibile tramite queste sono indipendenti.In dettaglio, se X assume valori in E ed Y assume valori in F , allora sidicono indipendenti se, per ogni A ⊆ E , B ⊆ F si ha

PX ∈ A,Y ∈ B = PX ∈ APY ∈ B

L’idea e sempre che, anche se si possiedono informazioni su una delle duevariabili aleatorie, questo non modifichi in alcun modo la distribuzionedell’altra.


Variabili aleatorie indipendenti: caso generale

Il concetto di indipendenza si puo estendere a piu di due variabili aleatoriein questo modo: le variabili aleatorie X1, X2, . . . , Xn, a valoririspettivamente in E1, E2, . . . , En, si dicono indipendenti se per ogniscelta di Ai ⊆ Ei , i = 1, . . . , n,

P

(n⋂

i=1

Xi ∈ Ai)

=n

∏i=1

PXi ∈ Ai

Se le variabili aleatorie (Xi )i oltre ad essere indipendenti, sono anche i.d.(e quindi Ei ≡ E ), allora si usa la dicitura indipendenti e identicamentedistribuite (i.i.d.)


Variabili aleatorie binomiali

Consideriamo una famiglia di variabili aleatorie (Xi )i , i = 1, . . . , n i.i.d., dilegge Xi ∼ Be(p), con p ∈ (0, 1).Interpretazione: vogliamo ”contare” n eventi aleatori indipendenti tra loroe ”simili”, o meglio ugualmente probabili.Ha senso chiedersi quanti di questi eventi si verificanocontemporaneamente. Questo numero e dato da

Sn =n

∑i=1

Xi

Che legge ha Sn?Sn assume valori su E = 0, 1, . . . , n. La sua legge e quindi determinataunivocamente dalle quantita PSn = k. Per k = 0 e k = n e facile:

PSn = 0 = PXi = 0 ∀i = 1, . . . , n =n

∏i=1

PXi = 0 = (1− p)n,

PSn = n = PXi = 1 ∀i = 1, . . . , n =n

∏i=1

PXi = 1 = pn


Distribuzione binomiale

Per k 6= 0, n, le cose sono piu complicate.Ad esempio, gia per k = 1, abbiamo un piccolo ragionamento da fare:

PSn = 1 = P∃i : Xi = 1,Xj = 0 ∀j 6= i == P (∪ni=1Xi = 1,Xj = 0 ∀j 6= i) =

=n

∑i=1

PXi = 1,Xj = 0 ∀j 6= i =n

∑i=1

p(1− p)n−1 =

= np(1− p)n−1

dove la somma e giustificata dal fatto che l’unione sopra e disgiunta.Ugualmente, per k = n− 1, con lo stesso ragionamento si arriva a:

PSn = n− 1 = n(1− p)pn−1

Per il caso generale, serve sapere la soluzione al seguente problemamatematico classico: quanti sottoinsiemi diversi di k elementi si possonoestrarre da un insieme di n elementi?


Distribuzione binomiale: caso generale

Risposta: coefficiente binomiale:(n

k

)=

n!k !(n− k)!

Per il caso generale, k variabili su n saranno uguali a 1 e n− k uguali a 0:

PSn = k = P(∪A⊆1,...,n,|A|=kXi = 1 ∀i ∈ A,Xj = 0 ∀j /∈ A

)=

= ∑A⊆1,...,n,|A|=k

PXi = 1 ∀i ∈ A,Xj = 0 ∀j /∈ A =

= ∑A⊆1,...,n,|A|=k

pk(1− p)n−k =

(n

k

)pk(1− p)n−k

Ovviamente, per k = 0, 1, n− 1, n, si riottengono i casi visti prima.Una variabile aleatoria con la legge sopra si chiama binomiale di parametrin e p, in simboli Sn ∼ B(n, p).


Speranza (valor medio) di una variabile aleatoria

Una volta che conosciamo la distribuzione di X , possiamo calcolarne lamedia (valor medio, speranza matematica).Se X e discreta, allora

E[X ] = ∑x∈E

x ·PX = x

Se la somma e infinita: serie!Esempio: lancio di un dado.

E[X ] = 10 · 1

6+ 2 · 1

6+ 0 · 2

3=

12

6= 2

o anche

E[X ] = 10 ·P6+ 2 ·P5+ 0 ·P1, 2, 3, 4 = 2


Speranza matematica: esempi notevoli

Se X ∼ Be(p), allora

E[X ] = 1 ·PX = 1+ 0 ·PX = 0 = 1 · p = p

Se X ∼ B(n, p), allora

E[X ] =n

∑k=0

kPX = k =n

∑k=0

k

(n

k

)pk(1− p)n−k = . . .???

Possono essere utili alcune proprieta della speranza matematica!


Proprieta della speranza

Se X e Y sono variabili aleatorie reali che ammettono speranza finita,allora:

1 se X ≥ Y , allora E[X ] ≥ E[Y ] (monotonia);

2 se X ≡ c ∈ R, allora E[X ] = c ;

3 se a, b ∈ R, allora E[aX + bY ] = aE[X ] + bE[Y ] (linearita);

4 se X e Y sono i.d., allora E[X ] = E[Y ].

Esempio di applicazione: se X ∼ B(n, p), allora X ha la stessa legge diSn = ∑n

i=1 Xi , con (Xi )i i.i.d. di legge Be(p). Allora

E[X ] = E[Sn] = E

[n

∑i=1

Xi

]=

n

∑i=1

E[Xi ] =n

∑i=1

p = np


Speranza di una variabile aleatoria continua

Se X e una variabile aleatoria continua di densita f , allora la speranza edefinita da

E[X ] =∫

xf (x) dx

Dobbiamo pero controllare che l’integrale sia ben definito! Questo succedesicuramente se e verificata la condizione sufficiente∫

|x |f (x) dx < +∞


Speranza di variabili aleatorie gaussiane

Esempio: se X ∼ N(0, 1), allora

∫|x | 1√

2πe−

12 x

2dx = 2

∫ +∞

0x

1√2π

e−12 x

2dx = 2

[− 1√

2πe−

12 x

2

]+∞

0

=

=2√2π

< +∞

e quindi possiamo calcolare

E[X ] =∫

x1√2π

e−12 x

2dx =

[− 1√

2πe−

12 x

2

]+∞

−∞= 0

Esempio: se X ∼ N(µ, σ2), allora usiamo la rappresentazioneX = σY + µ, con Y ∼ N(0, 1), e abbiamo

E[X ] = E[σY + µ] = σE[Y ] + µ = µ


Formula della speranza di una variabile aleatoria composta

Se X e una variabile aleatoria discreta a valori in E , e g : E → R, comepossiamo calcolare E[g(X )]?

E[g(X )] = ∑x∈E

g(x)PX = x

Difatti g(X ) e ancora una variabile aleatoria discreta, a valori nell’insiemeg(E ). Allora

E[g(X )] = ∑y∈g (E )

yPg(X ) = y

Ma abbiamo g(X ) = y = X ∈ Ay, conAy = g−1(y) = x ∈ E | g(x) = y. Ma allora

E[g(X )] = ∑y∈g (E )

yPX ∈ Ay = ∑y∈g (E )

∑x∈Ay

g(x)PX = x =

= ∑x∈E

g(x)PX = x


Formula della speranza di una variabile aleatoria composta

Nel caso di una variabile aleatoria X continua di densita f , abbiamo

E[g(X )] =∫

g(x)f (x) dx

Le formule sopra sono vere ogniqualvolta il secondo membro nella formulaper E[g(X )] da un risultato ben definito.


Varianza di una variabile aleatoria

Consideriamo, nella formula precedente, il caso g(x) = (x −E[X ])2.Allora possiamo definire

Var[X ] = E[(X −E[X ])2](= E[X 2]−E[X ]2)

Abbiamo quindi sempre Var[X ] ≥ 0, e potrebbe verificarsi Var[X ] = +∞.In questo caso, diciamo che X non ammette varianza finita.Esempio. Se X ∼ Be(p), con p ∈ (0, 1), allora

Var[X ] = (0− p)2PX = 0+ (1− p)2PX = 1 == p2(1− p) + (1− p)2p = p(1− p)

Esempio. Se X ∼ N(0, 1), allora

Var[X ] =∫

x2√2π

e−12 x

2dx =

[− 1√

2πxe−

12 x

2

]+∞

−∞+∫

e−12 x

2

√2π

dx = 1


Proprieta della varianza

Se X e Y sono variabili aleatorie reali che ammettono varianza finita,allora:

1 se a ∈ R, allora

Var[aX ] = E[(aX −E[aX ])2] = E[a2(X −E[X ])2] = a2Var[X ]

2 X ≡ c ∈ R ⇐⇒ Var[X ] = 0: la varianza misura la dispersione diuna variabile aleatoria intorno alla sua media;

3 se X e Y sono i.d., allora Var[X ] = Var[Y ].

4 Var[X + Y ] = . . .Per la varianza della somma, ci serve un altro concetto.


Covarianza di due variabili aleatorie

Se X e Y sono variabili aleatorie, possiamo definire la loro covarianzacome

Cov(X ,Y ) = E[(X −E[X ])(Y −E[Y ])](= E[XY ]−E[X ]E[Y ])

La covarianza misura il grado di ”comonotonia” di due variabili aleatorie:se Cov(X ,Y ) > 0, significa che quando X > E[X ] anche Y > E[Y ].Le variabili aleatorie X e Y si dicono:

positivamente correlate se Cov(X ,Y ) > 0;

negativamente correlate se Cov(X ,Y ) < 0;

non correlate o scorrelate se Cov(X ,Y ) = 0.

Si puo dimostrare che, se X e Y sono indipendenti, allora sono scorrelate.Il viceversa non e vero in generale!


Varianza di una somma

Ovviamente, applicando la definizione abbiamo Cov(X ,X ) = Var[X ].Se X e Y ammettono varianza finita, anche X +Y la ammette, e abbiamo

Var[X + Y ] = Var[X ] + Var[Y ] + 2Cov(X ,Y )

In particolare, se X e Y sono indipendenti, abbiamo

Var[X + Y ] = Var[X ] + Var[Y ]


Esempi notevoli

Esempio. Se X ∼ B(n, p), allora X ha la stessa legge di Sn = ∑ni=1 Xi ,

con (Xi )i i.i.d. di legge Be(p). Allora

Var[X ] = Var[Sn] =n

∑i=1

Var[Xi ] = np(1− p)

Esempio: se X ∼ N(µ, σ2), allora usiamo la rappresentazioneX = σY + µ, con Y ∼ N(0, 1), e abbiamo

Var[X ] = E[(σY + µ− µ)2] = σ2E[Y 2] = σ2Var[Y ] = σ2

Proposizione. Se X ∼ N(µX , σ2X ) e Y ∼ N(µY , σ2

Y ) sono indipendenti,allora X + Y ∼ N(µX + µY , σ2

X + σ2Y ).

Dimostrazione. La parte difficile (che non faremo) e dimostrare cheX + Y e gaussiana. Una volta fatto questo, i suoi parametri seguono dalleproprieta additive di media e varianza.


Teoremi limite

Vediamo ora due teoremi molto utili in Statistica, che riguardano ilcomportamento di successioni di variabili aleatorie reali (Xn)n≥1.Diciamo che la successione (Xn)n converge in probabilita alla variabile

aleatoria X (in simboli, XnP→ X ) se, per ogni δ > 0, si ha

limn→∞

P|Xn − X | > δ = 0

Diciamo che la successione (Xn)n converge in legge, o in distribuzione

alla variabile aleatoria X (in simboli, Xnlegge→ X ) se, dette FXn e FX le

funzioni di ripartizione di Xn e X , si ha

limn→∞

FXn(t) = FX (t)

in ogni punto in cui FX e continua.Attenzione: per quest’ultima convergenza, possiamo anche sostituire Xcon la sua distribuzione! Si puo quindi dire, se ad esempio X ∼ N(0, 1),

che Xnlegge→ N(0, 1).


Legge dei grandi numeri

Supponiamo che (Xn)n sia una successione di variabili aleatorie reali i.i.d. Idue teoremi limite seguenti riguardano il comportamento della loro sommaparziale

Sn =n

∑i=1

Xi

quando n→ ∞.Legge dei grandi numeri. Se le (Xn)n sono i.i.d., ciascuna con mediaE[Xn] = µ, allora Sn/n converge in probabilita a µ:

1

nSn =

Snn

=1

n

n

∑i=1

XiP→ µ


Teorema limite centrale

Teorema limite centrale. Se le (Xn)n sono i.i.d., ciascuna con mediaE[Xn] = µ e varianza Var[Xn] = σ2, e definiamo

S∗n =Sn − nµ

σ√n

allora S∗n converge in legge ad una N(0, 1):

S∗n =Sn − nµ

σ√n

legge→ N(0, 1)

Applicazione: approssimazione normale. Se dobbiamo calcolare unaprobabilita del tipo PSn ≤ t, allora per ”n grande” abbiamo

PSn ≤ t = P

Sn − nµ

σ√n≤ t − nµ

σ√n

= FS∗n

(t − nµ

σ√n

)' FZ

(t − nµ

σ√n

)dove Z e una generica variabile aleatoria di legge N(0, 1).


Esempio con variabili aleatorie di Bernoulli

Consideriamo (Xn)n i.i.d. di legge Be(p).Allora µ = E[Xi ] = p e σ =

√Var[Xi ] =

√p(1− p).

La frase “n grande” in questo caso consiste nelle condizioni np > 5 en(1− p) > 5: se queste due condizioni sono verificate, allora valel’approssimazione normale:

PSn ≤ t ' FZ

(t − nµ

σ√n

)= FZ

(t − np√np(1− p)

)Esempio. Supponiamo di avere n = 25 variabili aleatorie Xi ∼ Be(1/2) edi voler calcolare PSn ≤ 15.Innanzitutto abbiamo np = n(1− p) = 25 · 12 = 12.5 > 5.Quindi, per quanto visto prima, il risultato si puo approssimare con

PS25 ≤ 15 ' FZ

15− 25 · 12√25 · 12 ·

12

= FZ (1) = 0.841

Il calcolo esatto darebbe PS25 ≤ 15 ' 0.885.Variabili aleatorie Anno Accademico 2018/19 36 / 36

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