le variabili aleatorie discrete

massimo borelli, lucio torelli

Problema guida

un problema di riproduzione assistita

Le variabili aleatorie ("casuali")

la "nostra" definizioneuna variabile aleatoria (discreta) è

"una tabella" in cui appaiono tutti i possibili eventi di un esperimento, con le loro rispettive probabilità di manifestarsi.

questione: Kolmogorov vs. de Finetti

Le variabili aleatorie discrete

Testa Croce

0.5 0.5

1 2 3 4 5 6

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Le variabili aleatorie discrete

0 1 2 3 4 5 o più

0.129 0.264 0.271 0.185 0.095 0.056

f(X) ed F(X)

da una variabile aleatoria X è possibile definire in maniera molto semplice due funzioni matematiche: f, la densità di probabilità o

probabilità di massa odistribuzione di probabilità

F, la funzione di ripartizione o funzione cumulativa

f(X) ed F(X)

Le variabili aleatorie discrete

f(X = 2) = 0.271F(X ≤ 2) =

= 0.129 + 0.264 + 0.271= 0.664

0 1 2 3 4 5

0.129 0.264 0.271 0.185 0.095 0.056

Le variabili aleatorie discrete

f(X = 2) = 0.271F(X ≤ 2) =

= 0.129 + 0.264 + 0.271= 0.664

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

indici di una variabile aleatoria

anche una variabile aleatoria X si può riassumere con un indice di centralità ed un indice di dispersione:E(X), la speranza matematica o

valore atteso ovalore medio

var(X), la varianza

E(X), valore atteso

0 1 2 3 4 5

0.129 0.264 0.271 0.185 0.095 0.056

E(X) = Σ ak · pk

var(X), varianza

0 1 2 3 4 5

0.129 0.264 0.271 0.185 0.095 0.056

σ2 = Var(X) =

= E( [X-E(X)]2 )

= Σ (ak - E(X) )2· p

k

Una celebre v.a. discreta

la distribuzione binomiale, o Bernoulliana

Jacob (James , Jacques, Giacomo) Bernoulli (Basel, 27 December 1654 – 16 August 1705)

qp

X10

la v.a. binomiale

spesso si desidera effettuare un numero n di prove ripetute (un processo Bernoulliano) in cui appaiono k successi con probabilità elementare p.

densità:

speranza matematica: np varianza: npq

knkqpk

nP

la v.a. binomiale

Esercizio