Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e...
Transcript of Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e...
![Page 1: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/1.jpg)
Funzioni Continue
Matematica
con elementi di Informatica
Tiziano VargioluDipartimento di Matematica
Corso di Laurea Magistrale in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche
Anno Accademico 2020/21
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 1 / 34
![Page 2: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/2.jpg)
Distanza fra punti sulla retta
Dati due punti x , y ∈ R, chiamiamo distanza di x da y il numero
d(x , y) = |x − y |
osserviamo che
d(x , y) ≥ 0 e d(x , y) = 0 se e solo se x = y positivita
d(x , y) = d(y , x) simmetria
d(x , y) ≤ d(x , z) + d(z , y) disuguaglianza triangolare
Esempi:
d(3, 2) = d(2, 3) = 1 d(0, 12) = 12
d(π, 10) = 10− π d(1,−1) = 2
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 2 / 34
![Page 3: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/3.jpg)
Intorno di un punto sulla retta
Per il punto (numero) x ∈ R, si dice intorno di raggio r > 0
B(x , r) = {x : |x − x | < r}
l’insieme dei punti x che distano da x meno di r
B(x , r) = {x : d(x , x) < r}
(x − r
)x + rx
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 3 / 34
![Page 4: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/4.jpg)
Insiemi numerici
maggiorante (minorante) di un insieme A ⊂ R
s ∈ R tale che s ≥ a, (s ≤ a) per ogni a ∈ A
massimo (minimo) di un insieme: s = maxA se
s ∈ A tale che s ≥ a, (s ≤ a) per ogni a ∈ A
estremo superiore (inferiore): s = supA (i = inf A) se e solo se e ilpiu piccolo (grande) dei maggioranti (minoranti), ovvero (solo persup, analogo per inf):
s ≥ a per ogni a ∈ Aper ogni ε > 0 esiste aε ∈ A tale che s − ε < aε ≤ s (la 2a e superflua)
Esempio: sup(−1, 3) = 3 6= max(−1, 3)
( )sA
(s − ε
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 4 / 34
![Page 5: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/5.jpg)
Insiemi numerici
A ⊂ R, e superiormente (inferiormente) limitato se ammettealmeno un maggiorante (minorante)
A ⊂ R, se A 6= ∅ e superiormente limitato allora ammette estremosuperiore
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 5 / 34
![Page 6: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/6.jpg)
Estremi superiori e inferiori con gli intorni
Usando la nozione di intorno, possiamo riformulare la definizione diestremo superiore (inferiore).estremo superiore: s = supA (i = inf A) se e solo se:
1. s ≥ a per ogni a ∈ A
2. (invece di: per ogni ε > 0 esiste aε ∈ A tale che s − ε < aε ≤ s)
2’. per ogni intorno B(= B(s, ε)) di s esiste a ∈ A∩ B.
( )sA
(s − ε
)s + ε
Per definire l’estremo inferiore i = inf A, basta allora sostituire laproprieta 1. con
1’. s ≤ a per ogni a ∈ A
e tenere la proprieta 2’.
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 6 / 34
![Page 7: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/7.jpg)
Continuita di una funzione - definizione con gli intorni
Data una funzione f : A→ B, con A,B ⊂ R e dato un punto p ∈ A,diciamo che f e continua in p se e solo se per ogni intorno V di f (p)esiste un intorno U di p tale che
per ogni x ∈ U ∩ A si ha che f (x) ∈ V .
f (x)
( )U
p
f (p)
(
(
V
Una funzione f : A→ B, con A,B ⊆ R, e continua su A se e continua inogni p ∈ A.
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 7 / 34
![Page 8: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/8.jpg)
Continuita di una funzione - definizione con la distanza
Con il concetto di distanza:
Data una funzione f : A→ B, A,B ⊂ R e dato un punto p ∈ A, diciamoche f e continua in p se e solo se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 tale che
x ∈ A e |x − p| < δ⇒ |f (x)− f (p)| < ε.
f (x)
(p − δ
)p + δp
f (p)
(f (p) + ε(
f (p)− ε
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 8 / 34
![Page 9: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/9.jpg)
Esempi
Siano
f : R→ R, x 7→ f (x) = 5,
e p = 10, f (10) = 5.
Sia ε > 0 qualunque, un intorno di f (10) = 5 e V = (5− ε, 5 + ε)se consideriamo come intorno di p qualunque intervalloU = (10− δ, 10 + δ), osserviamo che x ∈ U ⇒ f (x) = 5 ∈ (5− ε, 5 + ε).
(10− δ
)10 + δ10
5
(5 + ε
(
5− ε
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 9 / 34
![Page 10: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/10.jpg)
Esempi
Conseguenza: f e continua in p = 10.
Cio vale per ogni altro p ∈ R, percio f e continua in ogni punto di R
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 10 / 34
![Page 11: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/11.jpg)
Esempi
Siano
f : R→ R, x 7→ f (x) = 2x ,
e p = 10, f (10) = 20.
Sia ε > 0 qualunque, un intorno di f (10) = 20 e V = (20− ε, 20 + ε)
f (x) ∈ (20− ε, 20 + ε)⇔ 20− ε < f (x) < 20 + ε
se e solo se20− ε < 2x < 20 + ε
se e solo se10− ε/2 < x < 10 + ε/2
ovverox ∈ (10− ε/2, 10 + ε/2)
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 11 / 34
![Page 12: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/12.jpg)
Esempi
Per la funzionef : R→ R, x 7→ f (x) = 2x ,
e p = 10, f (10) = 20 all’intorno
V = (20− ε, 20 + ε)
di f (10), possiamo associare l’intorno
U := (10− ε/2, 10 + ε/2)
di p = 10 tale chef (x) ∈ V ∀x ∈ U
f e continua in p = 10.Cio vale per ogni altro p ∈ R, percio f e continua in ogni punto di R
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 12 / 34
![Page 13: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/13.jpg)
Esempi
(10− δ
)10 + δ10
f (x) = 20
(20 + ε
(
20− ε
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 13 / 34
![Page 14: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/14.jpg)
Esempi
Sianog : R→ R, x 7→ g(x) = x2
e p = 10, f (10) = 100.Sia ε > 0 (e anche ε < 100), allora
|f (x)− 100| < ε⇔ 100− ε < x2 < 100 + ε
se e solo se √100− ε < x <
√100 + ε
oppure−√
100 + ε < x < −√
100− ε
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 14 / 34
![Page 15: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/15.jpg)
Esempi
L’intervallo (√
100− ε,√
100 + ε) contiene il punto 10.
Cerchiamo δ > 0 tale che
(10− δ, 10 + δ) ⊂ (√
100− ε,√
100 + ε)
i.e. δ := min{√
100 + ε− 10, 10−√
100− ε} [RISOLVERE!]
in altri termini, se |x − 10| < δ, dovrebbe valere√100− ε < x <
√100 + ε equivalente a
|f (x)− 100| < ε
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 15 / 34
![Page 16: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/16.jpg)
Esempi
(10− δ
)10 + δ10
f (x) = 100
(100 + ε
(
100− ε
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 16 / 34
![Page 17: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/17.jpg)
Esempi
quindi: per ogni ε ∈ (0, 100)possiamo scegliere δ =
√100 + ε− 10
per ottenere che
|x − 10| < δ⇒ |x2 − 100| < ε
allora: f (x) = x2 e continua in p = 10.
Analogamente per ogni p ∈ R : f e continua in ogni punto di R
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 17 / 34
![Page 18: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/18.jpg)
Esempi
Sia
h : R→ R, x 7→ h(x) =
{−1, x ≤ 0
1/x , x > 0
e p = 0, h(0) = −1.
(−δ
)δ0
f (x) = −1
(−1 + ε
(
−1− ε
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 18 / 34
![Page 19: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/19.jpg)
Esempi
h : R→ R, x 7→ h(x) =
{−1, x ≤ 0
1/x , x > 0
e p = 0, h(0) = −1.Consideriamo ε > 0, allora
|h(x)− h(0)| = |h(x) + 1| < ε
equivalente a
| − 1 + 1| = 0 < ε e x ≤ 0 o |1/x + 1| < ε e x > 0
la prima OK per ogni x ≤ 0 la seconda mai soddisfatta se ε ≤ 1
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 19 / 34
![Page 20: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/20.jpg)
Esempi
quindi, per nessun δ > 0vale
|x − 0| < δ⇒ |h(x)− h(0)| < ε
allora h NON e continua in p = 0.
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 20 / 34
![Page 21: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/21.jpg)
Esempi
Consideriamo la funzione segno:
h : R→ R, x 7→ h(x) =
−1, x < 0
0, x = 0
1, x > 0
continua in ogni punto p > 0perche su (0,+∞) coincide con la costante 1
e continua in ogni punto p < 0perche su (−∞, 0) coincide con la costante −1
e continua in p = 0?
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 21 / 34
![Page 22: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/22.jpg)
Esempi
(−δ
)δ0
(+ε
(−ε
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 22 / 34
![Page 23: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/23.jpg)
Esempi
sgn(x) non e continua in p = 0, dove sgn(0) = 0.Infatti, se ε > 0 allora
|sgn(x)− sgn(0)| = |sgn(x)− 0| = |sgn(x)| < ε
equivalente a | − 1| = 1 < ε, x < 0
|0| = 0 < ε, x = 0
|1| = 1 < ε, x > 0
se ε ≤ 1 allora la condizione non soddisfatta da alcun x 6= 0in altri terminise ε ≤ 1, per nessun δ > 0 vale
|x − 0| < δ⇒ |sgn(x)− sgn(0)| < ε,
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 23 / 34
![Page 24: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/24.jpg)
Esempio: punti isolati
Sianog : N→ R, x 7→ g(x) =
√x
e p = 100, g(100) = 10.
( )100
f (x) = 10
10199
(
(
Sia ε > 0 e poniamo δ = 0.1, allora
x ∈N e |x − 100| < 0.1⇒ x = 100⇒ |g(x)− 10| = 0 < ε
allora: g e continua in p = 100.
Cio vale per ogni altro p ∈N, percio g e continua in ogni punto di NFunzioni Continue Anno Accademico 2020/21 24 / 34
![Page 25: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/25.jpg)
Consideriamo la funzione valore assoluto:
| · | : R→ R x 7→ |x | ={
x , x ≥ 0
−x , x < 0
continua in ogni punto p > 0perche su (0,+∞) coincide con |x | = x = i(x)
continua in ogni punto p < 0perche su (−∞, 0) coincide con |x | = −x = −i(x)
e continua in p = 0?
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 25 / 34
![Page 26: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/26.jpg)
( )0
((
|x | e continua in p = 0, dove |0| = 0infatti, se ε > 0 allora
||x | − |0|| = ||x | − 0| = |x | < ε
e equivalente a−ε < x < ε
vero per ogni x ∈ (−ε, ε) = B(0, ε)
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 26 / 34
![Page 27: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/27.jpg)
Esempi di funzioni continue
Le funzioni elementari sono continue
costanti
polinomi: x2 − 2, 3x5 + x4 − 7x + 1, ...
funzioni razionali: x2−23x4+1
, x−1x2−5
radici (potenze ad esponente razionale):√x ,
3√x2 ...
esponenziali: e3x , 10x , ...
logaritmi: ln x , log10x , ...
funzioni trigonometriche: sin x , cos x , tan x , ...
Come si fa?
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 27 / 34
![Page 28: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/28.jpg)
Costruire funzioni continue
Dimostrare che una funzione continua di solito e faticoso. . .. . . ma per fortuna si possono costruire funzioni continue a partire da altrefunzioni continue gia note!
Proposizione. Se f : A→ R e g : A→ R sono continue, allora anchef + g : A→ R, definita da
(f + g)(x) := f (x) + g(x) ∀x ∈ A
e continua.
Proposizione. Se f : A→ R e continua e λ ∈ R, allora ancheλf : A→ R, definita da
(λf )(x) := λf (x) ∀x ∈ A
e continua.
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 28 / 34
![Page 29: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/29.jpg)
Costruire funzioni continue - II
Proposizione. Se f : A→ R e g : A→ R sono continue, allora anchefg : A→ R, definita da
(fg)(x) := f (x)g(x) ∀x ∈ A
e continua.Applicazione: i polinomi sono continui.
Proposizione. Se f : A→ R e g : A→ R sono continue e g e tale cheg(x) 6= 0 per ogni x ∈ A, allora anche f /g : A→ R, definita da(
f
g
)(x) :=
f (x)
g(x)∀x ∈ A
e continua.Applicazione: le frazioni razionali sono continue (su domini che NONcontengono zeri del denominatore!).
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 29 / 34
![Page 30: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/30.jpg)
Composizione di funzioni continue
Proposizione. Se f : A→ R e g : B → R sono continue e tali cheIm(f ) ⊆ B, allora anche g ◦ f : A→ R e continua.
Questi risultati rendono automaticamente continue molte funzionicomposte!
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 30 / 34
![Page 31: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/31.jpg)
Teorema fondamentale
Teorema. Se f : [a, b]→ R e continua, allora Im(f ) e un intervallochiuso e limitato.
[a
]b
Im(f )
[
[
Questo teorema ha tre conseguenze molto importanti:
teorema di Weierstrass (minimi e massimi);
teorema dei valori intermedi;
teorema di esistenza degli zeri.
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 31 / 34
![Page 32: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/32.jpg)
Teorema di Weierstrass
Teorema. Se f : A→ R e continua e A = [a, b], allora esistono
minA
f := min{f (x) | x ∈ A} = min Im(A)
emaxA
f := max{f (x) | x ∈ A} = max Im(A)
Questo non succede se A non e limitato (esempio: f (x) = 1/x suA = (0,+∞)).
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 32 / 34
![Page 33: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/33.jpg)
Teorema dei valori intermedi
Teorema dei valori intermedi. Se f : A→ R e continua e A = [a, b],allora
f (A) = [minA
f , maxA
f ]
ossia f assume tutti i valori compresi tra minA f e maxA f .
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 33 / 34
![Page 34: Matematica con elementi di Informatica - MathUniPDvargiolu/MatCTF/CTF02... · R sono continue e g e tale che g(x) 6= 0 per ogni x 2A, allora anche f /g : A !R, de nita da f g (x)](https://reader034.fdocumenti.com/reader034/viewer/2022052005/601973646a643437c526f567/html5/thumbnails/34.jpg)
Teorema di esistenza degli zeri
Teorema di esistenza degli zeri. Se f : A→ R e continua conA = [a, b], e f (a)f (b) < 0 (i.e., o
f (a) > 0 e f (b) < 0
oppuref (a) < 0 e f (b) > 0 )
allora esiste sicuramente x ∈ (a, b) tale che f (x) = 0.
Applicazione: algoritmo di bisezione.
Funzioni Continue Anno Accademico 2020/21 34 / 34