Mattia  Natali  

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Statistica  µ Definizioni:  

Ø X1,…,Xn  variabili  aleatorie  indipendenti  e  tali  che  FX1 =…= FXn  si  dicono  campione.  

Ø Siano   X1,…,Xn ~ N µ,σ 2( )  con   µ  e  σ 2  incogniti.  Per  determinare  i  parametri  incogniti  si  fa  

“inferenza  statistica”.  Ø Siano   X1,…,Xn  campioni  e  ϑ  parametro  incognito:  

§ Una  statistica  è  una  funzione  del  campione  S = S X1,…,Xn( ) .  § Uno  stimatore  di  ϑ  è  una  statistica  utile  per  stimare  ϑ .  

µ Media  Campionaria:  

Ø È  uno  stimatore  non  distorto  di  µà   Xn =1n

Xkk=1

n

∑ .  

Ø Sia   X1,…,Xn  campione  con  media   µ ,  varianza  σ 2 .  

§ E Xn( ) = µ .  

§ Se   X1,…,Xn ~ N µ,σ 2( )  à   Xn ~ µ,σ2

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.  

§ Se   n 1  à   Xn ≈ N µ,σ2

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.  

Ø Xn ~ N µ,σ2

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.  

µ Varianza  campionaria:  

Ø È  uno  stimatore  non  distorto  di  σ 2à   Sn2 =

1n −1

Xk − Xn( )2k=1

n

∑ .  

Ø La  varianza  campionaria  si  può  calcolare  anche  così:   Sn2 =

1n −1

X 2i − nX

2

i=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟.  

Ø E S2n⎡⎣ ⎤⎦ = σ 2 .  

Ø Teorema:  

§ Sia   X1,…,Xn ~ N µ,σ 2( )  campione:  

• Xn ,S2n  sono  indipendenti.  

• Xn − µσ

n ~ N 0,1( ) .  

• n −1( )σ 2 ~ χ 2 n −1( ) .  

µ Teoria  della  stima:  Ø Sia   X1,…,Xn  campione  con  ϑ  parametro  incognito.  

§ Ηn = Η X1,X2 ,…,Xn( )  stimatore  di  ϑ .  Ηn  è  uno  stimatore  corretto  (non  distorto)  se  

E Ηn[ ] = ϑ .  

Mattia  Natali  

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§ Nota  d’aiuto  per  esami:  Se  abbiamo   X  v.a.  con  E X[ ] = µ ,  Var X( ) = σ 2 .  Possiamo  

determinare  E X 2⎡⎣ ⎤⎦  con  la  formula  inversa  della  varianza,  ossia  

E X 2⎡⎣ ⎤⎦ = Var X( ) + E X[ ]2 = σ 2 + µ2 .  

§ Definiamo  distorsione  = Bias Ηn( ) := E Ηn[ ]−ϑ .  

• Se   Bias Ηn( )→ 0  con  n→∞  diciamo  che  Ηn  è  asintoticamente  corretto.  

• Se   Bias Ηn( ) = 0  à  corretto.  

Ø Ηn  è  consistente  se  ∀ε > 0  à  P Ηn −ϑ > ε( )→ 0 .  

Ø Errore  quadratico  medio  (Mean  Square  Error):  MSE Ηn( ) = E Ηn −ϑ( )2⎡⎣

⎤⎦ .  

§ MSE Η( ) = Var H( ) + Bias H( )2 .  Ø Ηn  è  consistente  in  media  quadratica  se  MSE Ηn( )→ 0  con   n→∞ .  

Ø Ηn  è  corretto  se  e  soltanto  se  E Ηn[ ] = ϑ .  Ø Confronto  tra  stimatori:  

§ MSE H1( ) < MSE H2( )⇔ MSE H1( )MSE H2( ) < 1  in  questo  caso  è  preferibile  adottare  H1  come  

stimatore,  nel  caso  contrario  H2 .    

µ Metodo  della  massima  verosimiglianza:  Ø Strategia:  lo  stimatore  di  massima  verosomiglianza   ϑ  è  definito  come  il  valore  di  ϑ  che  rende  

massima   f x1, x2 ,…, xn |ϑ( ) ,  che  è  la  funzione  di  massa  o  densità  congiunta,  quando  i  valori  osservati  sono   x1, x2 ,…, xn .  Nel  calcolare  il  valore  di  ϑ  che  massimizza   f  è  meglio  utilizzare  il  

log f x1, x2 ,…, xn |ϑ( )⎡⎣ ⎤⎦ ,  sapendo  che  entrambe  le  funzioni  assumono  il  massimo  in  

corrispondenza  dello  stesso  valore  di  ϑ .  Quindi:  si  scrive   log f x1, x2 ,…, xn |ϑ( )⎡⎣ ⎤⎦ ,  si  fa  la  derivata  di  tale  funzione  ed  infine  si  prende  il  valore  di  ϑ  in  cui  abbiamo  il  massimo.  

Ø Ricorda  che   f x1, x2 ,…, xn( ) = fXi xi( )i=1

n

∏ ,  siccome  sono  tutte  variabili  aleatorie  indipendenti.  

Mentre  usando  i  logaritmi  e  le  sue  proprietà   log f x1, x2 ,…, xn( )⎡⎣ ⎤⎦ = log fXi xi( )⎡⎣ ⎤⎦i=1

n

∑  che  è  più  

semplice  da  derivare.    

µ Metodo  dei  momenti:  Ø Sia   X1,X2 ,…,Xn ~ f x,ϑ1,ϑ2 ,…,ϑk( ) .  Ø Definiamo:  

§ mh := E Xh⎡⎣ ⎤⎦  momento  h -­‐esimo.  

§ mh :=1h

Xih

i=1

n

∑  momento  campionario   h -­‐esimo.  Sono  tutti  termini  noti.  

Mattia  Natali  

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Ø Strategia:  facciamo  un  sistema  eguagliando  i  momenti  h -­‐esimi  ai  momenti  campionari   h -­‐esimi.  La  

soluzione  del  sistema  sarà  ϑ = ϑ1,ϑ2 ,…,ϑk( ) .  E X1[ ] = m1 ϑ1,ϑ2 ,…,ϑk( ) = m1 =

1n

Xii=1

n

∑

E X 21⎡⎣ ⎤⎦ = m2 ϑ1,ϑ2 ,…,ϑk( ) = m2 =

1n

X 2i

i=1

n

∑…

E Xk1⎡⎣ ⎤⎦ = mk ϑ1,ϑ2 ,…,ϑk( ) = mk =

1n

Xki

i=1

n

∑

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

 

 

µ Teorema  stimatori:  Ø Ipotesi:  Sia   X1,X2 ,…,Xn ~ f x |ϑ( )  con  ϑ  incognito.   ϑ

= MLE ϑ( )  ossia   ϑ  è  uno  stimatore  di  massima  verosimiglianza  di  ϑ  (MLE  =  Maximum  Likelyhood  Estimator).  

Ø Tesi:  

1. Bias ϑn

( )→ 0  con   n→ +∞ .  

2. MSE ϑn

( )→ 0  (Errore  quadratico  medio).  

3.

ϑn ≈ N ϑ, 1

nE ∂∂ϑlog f x |ϑ( )⎛

⎝⎜⎞⎠⎟2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

 con   n 1 .  

4. Se  ϑ *  è  uno  stimatore  di  ϑ  che  soddisfa  1.  2.  3.  ⇒   MSE ϑ *( ) ≥ MSE ϑ( ) .  

Ø Corollario:  

§ Sia  τ = h ϑ( )  con   h :→ ,   τ = h ϑ( ) = MSE τ( ) .  

§

τ ≈ N h |ϑ( )=τ

,h ' |ϑ( )

nE ∂∂ϑlog f x |ϑ( )⎛

⎝⎜⎞⎠⎟2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

.  

 

µ Intervalli  di  confidenza:  Ø Molte  volte  è  utile  sapere  quanto  la  nostra  stima  sia  esatta,  per  far  ciò  si  utilizzano  gli  intervalli  di  

confidenza.  Ipotesi   ϑ   Intervallo  bilaterale   Intervallo  sinistro   Intervallo  destro  σ 2  nota   µ  

X ± zα2

σn   −∞,X + zα

σn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟   X − zα

σn,∞⎛

⎝⎜⎞⎠⎟  

σ 2  non  nota   µ  X ± tα

2,n−1

Sn   −∞,X + tα

2,n−1

Sn

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟   X − tα

2,n−1

Sn,∞

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟  

Mattia  Natali  

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µ  non  nota   σ 2  n −1( )S2χ 2

α2,n−1

,n −1( )S2χ 2

1−α2,n−1

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟  

0,n −1( )S2χ 21−α ,n−1

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟  

n −1( )S2χ 2

α ,n−1

,∞⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟  

µ Stime  per  la  differenza  tra  le  medie  di  due  popolazioni  normali:  Ø Siano   X1,X2 ,…,XN  e  Y1,Y2 ,…,Ym  due  campioni  estratti  da  popolazioni  normali  differenti  con  

µ1,σ21  i  parametri  della  prima  e  µ2 ,σ

22  i  parametri  della  seconda.  

Ø X := 1n

X1i=1

n

∑  e  Y := 1m

Yjj=1

m

∑  sono  gli  stimatori  di  massima  verosomiglianza  dei  µ1,µ2  

rispettivamente.  

Ø S21 :=1

n −1Xi − X( )

i=1

n

∑  e  S21 :=1

m −1Yj −Y( )

j=1

m

∑  sono  gli  stimatori  di  σ 21,σ

22  rispettivamente.  

Ø Definiamo  N := n + m − 2  e  Sp :=n −1( )S21 + m −1( )S22

N  che  viene  definita  varianza  

campionaria  “pooled”.  

Ø Con  σ1,σ 2  note:  l’intervallo  bilaterale  è   X −Y ± zα2

σ 21

n+σ 22

m  mentre  l’intervallo  sinistro  è  

−∞,X −Y + zασ 21

n+σ 22

m

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ .  

Ø Con  σ1,σ 2  NON  note  MA  uguali:  l’intervallo  bilaterale  è   X −Y ± tα2,N⋅Sp

1n+1m

 mentre  

l’intervallo  sinistro  è   −∞,X −Y + tα ,N ⋅Sp1n+1m

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟.  

 

µ Intervalli  di  confidenza  approssimati  per  la  media  di  una  distribuzione  di  Bernoulli:  Ø Poniamo  

p := X

n  stimatore  del  parametro  di  Bernoulli   p  con   X =  numero  di  valori  1  nel  

campione  bernoulliano.  

Ø L’intervallo  di  confidenza  bilaterale  è   p ± zα

2

p 1− p( )n

,  quello  sinistro  

−∞, p + zαp 1− p( )

n

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟,  quello  destro  è  

p − zαp 1− p( )

n,∞

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟.  

 

µ Verifica  delle  ipotesi:  Ø Un’ipotesi  statistica  è  normalmente  un’affermazione  su  uno  o  più  parametri  della  distribuzione  di  

popolazione.  Ø Facendo  un  test  (o  verifica)  di  una  data  ipotesi  H0  (che  solitamente  viene  chiamata  ipotesi  nulla)  

possiamo  incorrere  a  due  tipi  di  errore:  § Errore  di  prima  specie:  quando  rifiutiamo  un’ipotesti  H0  che  in  realtà  è  corretta.  

Mattia  Natali  

  5  

§ Errore  di  seconda  specie:  quando  accettiamo  H0  quando  in  realtà  è  falsa.  

Ø Verifica  di  un  ipotesi  sulla  media  di  una  popolazione  normale:  § Con  varianza  nota:  

• Vogliamo  verificare  l’ipotesi  nulla  H0 :µ = µ0 .  Siccome   X := 1n

Xii=1

n

∑  è  lo  stimatore  

puntuale  naturale  per   µ ,  sembra  ragionevole  accettare  H0  quando   X  non  è  troppo  lontano  da  µ0 .  

• α = P errore di I specie( ) = Pµ0X − µ0 > c( )  è  la  probabilità  di  commettere  un  errore  di  

prima  specie,  ossia  rifiutiamo  l’ipotesi  (µ = µ0 )  mentre  in  realtà  è  vera.  

• Con  opportuni  passaggi  otteniamo  che  si  rifiuta  H0  se  X − µ0σ n

> zα2

,  si  accetta  H0  se  

X − µ0σ n

≤ zα2

.  

• Spesso  non  si  fissa  in  anticipo  il  livello  di  significatività,  ma  si  osservano  i  dati  e  si  ricava  il  p-­‐dei-­‐dati  (p-­‐value)  corrispondente  che  fa  da  spartiacque  tra  l’accettare  e  il  rifiutare.  Per  

prima  cosa  si  calcola   v = X − µ0σ n

,  poi  il  valore  ottenuto  lo  scriviamo  

P Z > v( ) = P z > v( ) + P z < −v( ) = 1− Φ v( ) +1− Φ v( ) = 2 1− Φ v( )( ) .  Se  esso  risulta  molto  maggiore  di  quanto  siamo  disposti  ad  accettare  come  probabilità  di  un  errore  di  prima  specie,  accettiamo  l’ipotesi;  se  invece  la  probabilità  è  molto  piccola  possiamo  rifiutare  il  dato  senza  aver  paura  di  aver  commesso  un  errore  di  prima  specie.  

• Ora  discutiamo  la  possibilità  degli  errori  di  seconda  specie  introducendo  una  nuova  funzione  β  chiamata  curva  OC  (curva  operativa  caratteristica,  operating  characteristic  curve)  che  rappresenta  appunto  la  probabilità  di  accettare  H0  quando  la  media  reale  è   µ :  

β µ( ) = Pµµ0 − µσ n

− zα2

≤ Z ≤µ0 − µσ n

+ zα2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= Φ

µ0 − µσ n

+ zα2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟− Φ

µ0 − µσ n

− zα2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟.  

• Supponiamo  di  cercare  il  valore  di   n  con  il  quale  la  probabilità  di  accettare  H0 :µ = µ0  quando  il  valore  è  µ1 ,  sia  approssimativamente  pari  ad  un  valore  β  fissato,  la  formula  è:  

n ≈zα2

+ zβ⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟σ

µ1 − µ0

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

2

.