11Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

FUNZIONEFUNZIONEUna Una funzionefunzione ff definita in X a valori in definita in X a valori in Y è una corrispondenza che :Y è una corrispondenza che :

y=f(x) è l’immagine di x attraverso la legge f

Il sottinsieme di X a cui la legge f associa un’immagine si dice dominio della funzione (domf)

L’insieme degli elementi di Y del tipo f(x) si dice insieme immagine (Imf)

Noi studiamo funzioni da R R

x è la variabile indipendente

y è la variabile dipendente

22Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

DefinizioniDefinizioniSe y è un generico Se y è un generico elemento di Y, chiamiamo elemento di Y, chiamiamo controimmagine dicontroimmagine di y y

attraverso la legge f quella x appartenente ad X, tale che y=f(x)attraverso la legge f quella x appartenente ad X, tale che y=f(x)

La cLa controimmagine ontroimmagine di y si indica f di y si indica f -1-1(y)(y)

Aggettivi di una funzioneAggettivi di una funzione

Funzione iniettivaFunzione iniettiva : è una funzione tale che qualunque y appartenente ad : è una funzione tale che qualunque y appartenente ad

Y abbia Y abbia al piùal più una controimmagine una controimmagine

Funzione suriettivaFunzione suriettiva: è una funzione tale che qualunque y appartenente ad : è una funzione tale che qualunque y appartenente ad

Y abbia Y abbia al menoal meno una controimmagine una controimmagine

Funzione biiettiva: Funzione biiettiva: è una funzione tale che qualunque y appartenente ad Y è una funzione tale che qualunque y appartenente ad Y

abbia abbia una e una solauna e una sola controimmagine controimmagine

33Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Criteri per verificare le proprietà di una funzioneCriteri per verificare le proprietà di una funzione

Una funzione è Una funzione è iniettivainiettiva se una qualsiasi retta se una qualsiasi retta parallela all’asse x taglia il parallela all’asse x taglia il grafico grafico della funzione della funzione al piùal più in un puntoin un punto

Una funzione è Una funzione è suriettivasuriettiva se una qualsiasi retta parallela se una qualsiasi retta parallela all’asse x taglia il all’asse x taglia il grafico grafico della funzione della funzione almeno almeno in un in un punto punto

Una funzione è Una funzione è biiettivabiiettiva se una qualsiasi retta parallela se una qualsiasi retta parallela all’asse x taglia il all’asse x taglia il grafico grafico della funzione in della funzione in uno e un solo uno e un solo puntopunto

Una funzione è Una funzione è biiettiva biiettiva se è contemporaneamente se è contemporaneamente iniettiva e suriettivainiettiva e suriettiva

44Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Monotonia delle funzioniMonotonia delle funzioni

Una funzione è monotona crescente in un intervallo I se:Una funzione è monotona crescente in un intervallo I se:

Una funzione è monotona decrescente in un intervallo I se:Una funzione è monotona decrescente in un intervallo I se:

55Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Funzioni strettamente Funzioni strettamente crescente/decrescentecrescente/decrescente

Una funzione è monotona strettamente crescente in un intervallo I se:Una funzione è monotona strettamente crescente in un intervallo I se:

Una funzione è monotona strettamente decrescente in un Una funzione è monotona strettamente decrescente in un intervallo I se:intervallo I se:

66Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Ritorniamo sull’iniettività e suriettivitàRitorniamo sull’iniettività e suriettività

Condizione sufficiente ma non necessaria affinchè Condizione sufficiente ma non necessaria affinchè una funzione sia iniettiva è che sia strettamente una funzione sia iniettiva è che sia strettamente

monotonamonotona

La prima funzione è iniettiva ma non monotona, la seconda è iniettiva e monotona

77Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

SuriettivitàSuriettività

Se una funzione è suriettiva Se una funzione è suriettiva

Imf coincide con YImf coincide con Y

88Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Funzione pariFunzione pari

Una funzione si dice pari seUna funzione si dice pari se

Se una funzione è pari il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse y

-x x

c.s. ma non necessariaper dire che una funzione

non è iniettiva è dire che è pari!!!

99Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Funzione dispariFunzione dispari

Una funzione si dice dispari seUna funzione si dice dispari se

Se una funzione è pari il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine

Il fatto che sia dispari non mi consente di trarre conclusioni sulla suriettività/inetttività

-x x

1010Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Funzione periodicaFunzione periodica

Una funzione si dice Una funzione si dice periodicaperiodica di periodo di periodo TT se se

c.s. ma non necessariaper dire che una funzione

non è iniettiva è dire che è periodica!!!

f(x)=cos x

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-10 -5 0 5 10

x

y

1111Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Funzione invertibileFunzione invertibile

Chiamiamo funzione inversaChiamiamo funzione inversa della funzione f, e la della funzione f, e la

indichiamo con indichiamo con f f -1-1(y),(y), la funzione che associa ad la funzione che associa ad

ogni y appartenente all’Imf la sua controimmagine ogni y appartenente all’Imf la sua controimmagine

xx

C.n.s. affinché una funzione sia invertibile è che C.n.s. affinché una funzione sia invertibile è che sia iniettivasia iniettiva

C.s ma non necessaria affinché una funzione sia C.s ma non necessaria affinché una funzione sia invertibile è che sia strettamente monotonainvertibile è che sia strettamente monotona