Introduzione - UniPDalvise/IA_2016/SLIDES/INTRODUZIONE_1617/... · Annalisa Cesaroni, ......

Introduzione

Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Universita degli Studi di PadovaDipartimento di Matematica

18 ottobre 2016

Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 1/ 200

Insiemi

Un insieme e una collezione di oggetti detti elementi.

Usualmente gli insiemi si denotano con lettere maiuscole comead esempio A, B o X mentre gli elementi con lettereminuscole come ad esempio a, b o x .

La scrittura a ∈ A significa che l’elemento a appartieneall’insieme A.


Insiemi

Un insieme puo essere rappresentato in maniera descrittivacome ad esempio

A = a, b, ccioe l’insieme A contiene esclusivamente gli elementi a, b, c ,oppure

N = 0, 1, 2, . . .cioe l’insieme dei numeri 0, 1, 2, eccetera (ovvero l’insieme deinumeri naturali,

oppure come predicato, come ad esempio

D = n ∈ N, n dispari

cioe l’insieme dei numeri naturali dispari, e quindi equivalentea

D = 1, 3, 5, 7, . . .Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 3/ 200

Insiemi

L’insieme dei numeri naturali dispari puo essere rappresentatoovviamente in vari modi. Ad esempio:

D = n ∈ N : ∃k ∈ N : n = 2k + 1.

Si legge che D e l’insieme dei numeri naturali n per cui esiste unnumero naturale k tale che n = 2 · k + 1.

Infatti

per k = 0, n = 2 · 0 + 1 = 1;

per k = 1, n = 2 · 1 + 1 = 3;

per k = 2, n = 2 · 2 + 1 = 5;

e cosı via.


Alcuni simboli e notazioni

a ∈ A: l’elemento a appartiene all’insieme A;∀: per ogni;∃: esiste;@: non esiste;∃!: esiste ed e unico;⇒: implica;⇔: se e solo se;∈: appartiene;/∈: non appartiene;=:: definizione;:: tale che;∅: insieme vuoto.

Quale esempio, due insiemi A e B si dicono uguali, cioe A = B secontengono gli stessi elementi. Con notazione matematica,

∀x ∈ A⇒ x ∈ B e ∀x ∈ B ⇒ x ∈ A.


Alcuni simboli e notazioni.

A ⊆ B: A e sottinsieme di B, cioe

∀x ∈ A⇒ x ∈ B;

A ⊂ B: A e sottinsieme stretto di B, cioe

∀x ∈ A⇒ x ∈ B e ∃x ∈ B : x /∈ A.

Esempio

L’insieme 1, 2, 3 e sottinsieme stretto di 1, 2, 3, 4.


Operazioni insiemistiche.

A ∩ B := x : x ∈ A e x ∈ B;

Figura : Intersezione di due insiemi A, B.

.



A ∪ B := x : x ∈ A o x ∈ B;

Figura : Unione di due insiemi A, B.

.Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 8/ 200


X (A) = X\A := x : x ∈ X e non x ∈ A;∅: insieme vuoto, privo di elementi; ovviamente, qualsiasi sial’insieme A, ∅ ⊆ A;

P(X ) := sottinsiemi di X: insieme delle parti di X .Esempio: X = a, b, c, allora

P(X ) = ∅,X , a, b, c, a, b, a, c, b, c.

Nel nostro caso X ha 3 elementi e P(X ) ha 23 elementi.In generale se X ha n elementi allora P(X ) ha 2n elementi.


Insiemi numerici.

N := 0, 1, 2, . . .: numeri naturali;

Z := 0, 1,−1,−2, 2, . . .: numeri interi (relativi);

Q := mn ,m, n ∈ Z, n 6= 0: numeri razionali (frazioni);si possono scrivere in forma decimale e avere uno

p, α1α2 . . . αn sviluppo decimale finito

oppure, posto α∗n un numero finito di cifre,

p, α1α2 . . . α∗n sviluppo decimale periodico.

R: numeri reali, con sviluppo decimale generico, ancheinfinito.

Ovviamente:N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.


Insiemi numerici.

Esempio

Il numero3.98534

e un numero razionale.

Il numero3.3453476767676767676...

e un numero razionale.

Il numero π = 3.141592653589793 . . . e un numero reale, manon razionale.


Prodotto cartesiano.

Siano A, B due insiemi. L’insieme

A× B := (a, b) : a ∈ A, b ∈ B)

si chiama prodotto cartesiano.

Ha per elementi le coppie ordinate (a, b).

Ovviamente se a ∈ A, b ∈ B, allora (a, b) ∈ A× B mentre(b, a) /∈ A× B a meno che b ∈ A e a ∈ B.

Si ha che (a, b) non coincide con (b, a) a meno che a = b.


Esempio di prodotto cartesiano.

Siano A = 0, 1, B = 2, 3. Allora

A× B = (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3)

B × A = (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1)

e quindiA× B 6= B × A.

Se A = B allora si scrive A2 := A× A. Cosı , ad esempio:

R2 := R× R = (x , y) : x , y ∈ R).


Esempio di prodotto cartesiano.

Piu in generale si possono definire insiemi del tipo

A1 × . . .× An = (a1, . . . , an) : a1 ∈ A1, . . . , an ∈ An

come ad esempio

R3 := R× R× R = (x , y , z) : x , y , z ∈ R)

o piu in generale

Rn := (x1, . . . , xn) : x1, . . . , xn ∈ R).


Operazioni su insiemi numerici.

Dato un insieme X , un’operazione ⊕ in X associa a ogni coppiaordinata (x , y) ∈ X × X uno e un solo elemento di X . Un esempiosu N, Z, Q, R sono le operazioni di somma + e prodotto ∗.

Scriveremo con ⊕ : X × X → X l’operazione in questione.Vediamo alcune possibili proprieta.

Per ogni (x , y) ∈ X × X si ha x ⊕ y = y ⊕ x (proprietacommutativa);

Per ogni x , y ∈ X × X si ha (x ⊕ y)⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z)(proprieta associativa);

Esiste un unico elemento detto zero tale che x ∈ X si hax ⊕ 0 = x (proprieta elemento neutro);

Per ogni x ∈ X × X esiste un unico elemento detto opposto,indicato con −x , tale che x ⊕ (−x) = 0 (proprieta inverso).


Operazioni su insiemi numerici.

Se in X sono definite due operazioni, diciamo ⊕ e ⊗ si dice cheesse sono sono legate dalla proprieta distributiva se

∀x , y , z ∈ X : (x ⊕ y)⊗ z = x ⊗ z ⊕ y ⊗ z .


Operazioni su insiemi numerici: esempio.

Esempio

Relativamente all’operazione di somma + in Q:

Per ogni (x , y) ∈ Q×Q si ha x + y = y + x (proprietacommutativa);

Per ogni x , y ∈ Q×Q si ha (x + y) + z = x + (y + z)(proprieta associativa);

Esiste un unico elemento detto zero tale che x ∈ Q si hax + 0 = x (proprieta elemento neutro);

Per ogni x ∈ Q×Q esiste un unico elemento detto opposto,indicato con −x, tale che x + (−x) = 0 (proprieta inverso).


Operazioni su insiemi numerici: esempio.

Esempio

Similmente, relativamente al prodotto · in Q:

Per ogni x , y ∈ Q si ha x · y = y · x (proprieta commutativa);

Per ogni x , y ∈ Q si ha (x · y) · z = x · (y · z) (proprietaassociativa);

Esiste un unico elemento detto unita e indicato con 1 taleche x ∈ Q si ha x · 1 = x (proprieta elemento neutro);

Per ogni x ∈ Q, x 6= 0 esiste un unico elemento dettoreciproco, indicato con x−1, tale che x · x−1 = 1 (proprietainverso).

Le operazioni di somma e prodotto in Q sono legate dalla proprietadistributiva

∀x , y , z ∈ Q : (x + y) · z = x · z + y · z .Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 18/ 200

Proprieta delle operazioni su insiemi.

Esempio (importante)

Se Y e un insieme, dotiamo l’insieme dei suoi sottinsiemi X = P(Y ) di

unione ∪,

intersezione ∩,

complementare XA.

Valgono le seguenti proprieta.

A ∩ B = B ∩ A (simmetrica intersezione);

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (associativa intersezione);

A ∪ B = B ∪ A (simmetrica unione);

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (associativa unione);

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (distributiva, intersezione e unione);

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (distributiva, intersezione e unione);

X (A ∪ B) = XA ∩ XB

X (XA) = A


Campi.

Definizione (Campo)

Un insieme si dice campo se:

esistono due operazioni (che chiameremo in generale somma eprodotto);

sono verificate le proprieta commutativa, associativa per ognioperazione;

vale la proprieta distributiva;

esiste l’elemento neutro;

esiste l’inverso di ogni elemento (ad eccezione dell’elementoneutro del prodotto).

Gli insiemi N e Z non sono campi, mentre lo sono Q e R (perche?).


Campi ordinati.

Definizione (Relazione d’ordine)

Sia X un insieme. Si dice che su X e definita una relazioned’ordine ≤ tra elementi di X se vale la proprieta

riflessiva (cioe a ≤ a);

antisimmetrica (cioe se a 6= b, a ≤ b implica che non e veroche b ≤ a);

transitiva (cioe se a ≤ b e b ≤ c allora a ≤ c).

Definizione (Insieme totalmente ordinato)

Un insieme X dotato di relazione d’ordine ≤ e totalmente ordinatose

∀a, b ∈ X , a ≤ b o b ≤ a.

I campi con relazione d’ordine si dicono ordinati.


Campi ordinati.

Esempio (1)

Si verifica facilmente che, relativamente alla classica relazioned’ordine, Q, R sono campi ordinati e che anzi sono perfinototalmente ordinati cioe

∀a, b ∈ Q, a ≤ b o b ≤ a

∀a, b ∈ R, a ≤ b o b ≤ a


Proprieta delle operazioni su insiemi.

Esempio (2)

Sia l’insieme R2 = R× R e definiamo la relazione d’ordine ≤∗ colsignificato

(x1, y1)≤∗(x2, y2) se e solo se x1 ≤ x2, y1 ≤ y2

dove ≤ e la classica relazione d’ordine di R.

Si verifica subito che ≤∗ e una relazione d’ordine in R2, ma cherelativamente a ≤∗, l’insieme R2 non e totalmente ordinato, inquanto non sono paragonabili

(10, 35), (5, 137).


Logica elementare.

Nella maggior parte del corso discuteremo di proposizioni,dimostrazioni e negazioni di proposizioni. Torna comodo discuteredi notazioni.

Un esempio:∀x ∈ A, p(x)⇒ q(x)

dice che

per ogni x appartenente a A se e verificata la proposizione p(x)allora e pure verificata la proposizione q(x).


Logica elementare.

Esempio

Verificare che∀n ∈ N, n dispari⇒ n2 dispari

Con riferimento a quanto detto nell’esempio

∀x ∈ A, p(x)⇒ q(x)

si ha

x ≡ n;

A ≡ N;

p(n) ≡ n dispari;

q(n) ≡ n2 dispari.

Usualmente si definisce la parte a sinistra di ⇒ come ipotesi,quella a destra come tesi.


Logica elementare.

Vogliamo mostrare che

∀n ∈ N, n dispari⇒ n2 dispari

Dimostrazione

Essendo n un numero naturale dispari, sappiamo che n = 2 · k + 1per un certo k ∈ N. Ma allora da (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 si ha

n2 = (2k + 1)2

= 4k2 + 4k + 1

= 2(2k2 + 2k) + 1 (1)

Osserviamo che 2(2k2 + 2k) e pari e quindi necessariamenten2 = 2(2k2 + 2k) + 1 e dispari.


Procedimento per assurdo.

Osserviamo che:∀x ∈ A, p(x)⇒ q(x)

e equivalente a

∀x ∈ A, non q(x)⇒ non p(x)

Quindi invece che provare l’asserto

∀x ∈ A, p(x)⇒ q(x)

si prova equivalentemente che

∀x ∈ A, non q(x)⇒ non p(x)

spesso detto informalmente per assurdo.Nell’esempio precedente, quindi per provare che

∀n ∈ N, n dispari⇒ n2 dispari

bastava provare, essendo non dispari equivalente a dire pari

∀n ∈ N, n2 pari⇒ n pari.Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 27/ 200

Nota (facoltativa)

Nota.

Dimostrare che∀n ∈ N, n2 pari⇒ n pari

e piu complicato che provare

∀n ∈ N, n dispari⇒ n2 dispari.

Essenzialmente se si fattorizza n in fattori primi

p1 < p2 < . . . < pm

alloran = p1

k1 · . . . · pmkm ⇒ n2 = p1

2k1 · . . . · pm2km .

Ma se n2 e pari, si vede facilmente che da n = 2 · k per qualche k,necessariamente p1 = 2 (vista l’unicita della fattorizzazione) e quindi

n = 2k1 · . . . · pmkm

per cui n e pari.


Procedimento per assurdo: esempio.

Teorema (Euclide)

Non esiste r ∈ Q tale che r 2 = 2.

Dimostrazione.

Se per assurdo fosse vero esistesse r ∈ Q tale che r 2 = 2, visto chesi puo scrivere tale r come

r =n

m, n,m ∈ Z,m 6= 0, con n,m primi tra loro

allora da

r 2 =( n

m

)2=

n2

m2= 2,

avremo che n2 sarebbe pari in quanto

n2 = 2m2.


Procedimento per assurdo: esempio.

Per quanto visto prima, se n2 e pari abbiamo che pure n e pari, equindi esiste un k ∈ Z per cui n = 2k. Ma ricordiamo che

n2 = 2m2

per cui semplificando

4k2 = (2k)2 = n2 = 2m2 ⇒ m2 = 2k2

cioe pure m e pari, cosa assurda perche’ avevamo richiesto che m,n fossero primi tra loro.


Controesempi.

I controesempi si usano per dimostrare la falsita di unaimplicazione del tipo

∀x ∈ A, p(x)⇒ q(x).

Se trovo x ∈ A per cui vale p(x) ma non vale q(x), ho dimostratola falsita dell’implicazione.

L’asserto∀n ∈ N, n primo ⇒ n e dispari

e falso in quanto per x = 2 si ha che x = 2 e primo ma non dispari.

L’elemento x = 2 rappresenta un controesempio.


Negazione delle proposizioni.

La negazione della proposizione

∀x vale p(x)

si scrive∃x : non vale p(x).

La negazione della proposizione

∀x vale p(x) e q(x)

si scrive∃x : non vale p(x) o q(x).


Insiemi limitati.

Sia X un insieme totalmente ordinato (come ad esempio Q).

Il sottoinsieme E ⊆ X e limitato superiormente se esisteM ∈ X tale che x ≤ M per ogni x ∈ E . Tale M si dicemaggiorante.

Il sottoinsieme E ⊆ X e limitato inferiormente se esiste m ∈ Xtale che m ≤ x per ogni x ∈ E . Tale m si dice minorante.

L’insieme E e limitato se e limitato superiormente einferiormente cioe

∃m,M : m ≤ x ≤ M, ∀x ∈ E .


Massimi e minimi.

Vediamo alcuni esempi

Esempio

E = x ∈ Q : x < 5 e superiormente limitato da 5.

Esempio

E = x ∈ Q : −27 < x < 1 e inferiormente e superiormentelimitato risp. da −27 e 1 e quindi limitato.

Esempio

E = x ∈ Q : x = 1n , n 6= 0, n ∈ N e inferiormente e

superiormente limitato risp. da 0 e 1 e quindi limitato.


Massimi e minimi.

Definizione (Massimo)

Sia E ⊆ X , con X totalmente ordinato.

L’elemento x e massimo per E se

x ∈ E ;

x ≤ x per ogni x ∈ E .

Definizione (Minimo)

Sia E ⊆ X , con X totalmente ordinato.L’elemento x e minimo per E se

x ∈ E ;

x ≤ x per ogni x ∈ E .


Massimi e minimi: esempi.

Esempio

E = [0, 1] = x ∈ R, 0≤x≤1 ⊆ R ha massimo in x = 1 e minimo in x = 0.

Esempio

E = (0, 1] = x ∈ R, 0<x≤1 ⊆ R ha massimo in x = 1 ed e limitatoinferiormente ma non ha minimo.

Esempio

E = x ∈ Q, x < −5 ⊆ R e limitato superiormente ma non ha massimo e none limitato inferiormente.

Nota.

Osserviamo che

Se esiste il massimo di E allora E e limitato superiormente;

Se E e limitato superiormente, non e detto che esista il massimo di E .


Massimi e minimi.

Teorema (Unicita del massimo)

Sia E totalmente ordinato. Se esiste il massimo di E , questo eunico.

Dimostrazione.

Supponiamo che per assurdo esistano due massimi di E, siano M1

e M2 con M1 6= M2. Dalle loro definizioni,

M1 ≤ M2 e M2 ≤ M1

il che, per la proprieta antisimmetrica della relazione d’ordine ≤,implica M1 = M2.

Teorema (Unicita del minimo)

Sia E totalmente ordinato. Se esiste il minimo di E , questo eunico.

La dimostrazione e analoga a quella del massimo.Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 37/ 200

Estremo superiore e inferiore.

Definizione (Maggiorante ed estremo superiore)

Sia E ⊆ X con X totalmente ordinato. Un elemento k ∈ X si dice maggiorantedi E, se x ≤ k per ogni x ∈ E. Si definisce estremo superiore di E (in X ), e losi indica con sup(E), il minimo dei maggioranti di E in X (se esiste).

Definizione (Minorante ed estremo inferiore)

Sia E ⊆ X con X totalmente ordinato. Un elemento k ∈ X si dice minorante diE, se k ≤ x per ogni x ∈ E. Si definisce estremo inferiore di E (in X ), e lo siindica con inf(E), il massimo dei minoranti di E in X (se esiste).

Nota.

Osserviamo che

se E ha un massimo, questo coincide con sup(E);

se E ha un minimo, questo coincide con inf(E).


Estremo superiore e inferiore: esempio 1.

Esempio

Si consideri E = [0, 1]. Evidentemente

max(E ) = 1 = sup(E );

min(E ) = 0 = inf(E );


Estremo superiore e inferiore: esempio 2.

Esempio

Si consideri E = (0, 1]. Evidentemente

max(E ) = 1 = sup(E );

min(E ) non esiste;

inf(E ) = 0: i minoranti sono tutti i numeri x ≤ 0 eovviamente il loro massimo, che e inf(E ), e x = 0.

Esempio

Si consideri E = x ∈ Q : x < 5. Evidentemente

max(E ) non esiste;

min(E ) non esiste;

sup(E ) = 5: i maggioranti sono tutti i numeri 5 ≤ x eovviamente il loro minimo, che e sup(E ), e x = 5.

inf(E ): non esiste.


Estremo superiore e inferiore: esempio.

Esempio

Si consideri E = (0, 1]. Evidentemente

max(E ) = 1 = sup(E );

min(E ) non esiste;

inf(E ) = 0: i minoranti sono tutti i numeri x ≤ 0 eovviamente il loro massimo, che e inf(E ), e x = 0.

Esempio

Si consideri E = x ∈ Q : x ≥ 0, x2 < 2. Evidentemente

max(E ) non esiste;

min(E ) = inf(E ) = 0;

sup(E ): non appartiene a Q ma esiste in R.


Facoltativo. Estremo superiore e inferiore.

L’insieme X ha la proprieta dell’estremo superiore se per ogniE ⊆ X , non vuoto e limitato superiormente, questo possiede sup inX .

Nota.

Si noti che non e X ad avere estremo superiore, ma ogni E ⊆ Xlimitato superiormente.


Facoltativo. Campo ordinato.

Teorema

L’insieme R e un campo ordinato che ha la proprieta dell’estremosuperiore.

Facoltativo.

Si dimostra che in questo caso, la proprieta dell’estremo superioree equivalente a dire che per ogni sezione A,B di R, cioe A, Btali che

A,B 6= ∅;A ∩ B = ∅;A ∪ B = R;

se a ∈ A, b ∈ B allora a < b,

esiste unico l’elemento separatore s (cioe tale che a ≤ s ≤ b perogni a ∈ A, b ∈ B).


Facoltativo. Campo ordinato: R.

Esempio

SianoA = x ∈ R : x2 < 2

eB = x ∈ R : x2 ≥ 2.

Si verifica facilmente che i due insiemi A e B sono due sezioni eche esiste unico l’elemento separatore, che in questo caso e

√2.



Proposizione.

Sia E ⊆ R limitato superiormente. Sia L = sup (E ) il minimo deimaggioranti.

Si ha che

L = sup (E )⇔

i) x ≤ L,∀x ∈ Eii) ∀ε > 0∃x ∈ E tale che x > L− ε

La condizione ii) dice che L + ε non e maggiorante di E.



Proposizione.

Sia E ⊆ R limitato inferiormente. Sia l = inf (E ) il massimo deiminoranti.

Si ha che

l = inf (E )⇔

i) x ≥ l , ∀x ∈ Eii) ∀ε > 0 ∃x ∈ E t.c . x < l + ε

La condizione ii) dice che l + ε non e minorante di E.


Facoltativo. Alcuni esercizi.

Esempio (Facoltativo)

Si consideri

E = x ∈ R : x =1

n, n ∈ N, n 6= 0.

Si mostri che E e limitato.

Dimostrazione.

Non e difficile mostrare che max (E ) = 1. Infatti1n ≤ 1 per ogni n ∈ N, n 6= 0;

1 ∈ E in quanto per n = 1 si ha 1n = 1.


Facoltativo. Alcuni esercizi.

Mostriamo ora che inf (E ) = 0. Infatti1n > 0 per ogni n ∈ N, n 6= 0;

Per ogni ε > 0 esiste ε > 0 tale che x < ε. Infatti se n > 1ε

allora 1n < ε.

Di conseguenza l’insieme

E = x ∈ R : x =1

n, n ∈ N, n 6= 0

avendo massimo e superiormente limitato;

avendo estremo inferiore e inferiormente limitato;

e quindi e limitato.


Facoltativo. Esercizio per casa.

SiaA = x ∈ R : x =

n

n + 1, n ∈ N.

Vediamo alcuni valori:

n = 0: x = nn+1 = 0

0+1 = 0;

n = 1: x = nn+1 = 1

1+1 = 12 = 0.5;

n = 2: x = nn+1 = 2

3 = 0.6666 . . .;

n = 3: x = nn+1 = 3

3+1 = 0.75;

n = 4: x = nn+1 = 4

4+1 = 0.8;

n = 100000: x = nn+1 = 100000

100000+1 = 0.9999900000999991 . . .;

Si capisce intuitivamente che il valore di x = nn+1 e positivo, cresce

al crescere di n e tende a 1 pur essendo inferiore poiche

n < n + 1⇒ n

n + 1< 1.


Facoltativo. Esercizio per casa.

Esercizio (Facoltativo)

Dimostrare che

1 min(A) = inf(A) = 0

2 sup(A) = 1.

3 Esiste max (A)?


Facoltativo. Esercizio su max, min, sup, inf.

Esercizio (Facoltativo)

Sia

A = x ∈ R : x =(−1)n

n, n ∈ N, n 6= 0.

Determinare max e min.

Esercizio

Sia

A = x ∈ R : x =1

n+ (−1)n, n ∈ N, n 6= 0.

Determinare max e min (se esistono), inf e sup (se esistono).


Valore assoluto (o modulo).

Definizione (Valore assoluto)

Sia a ∈ R. Si definisce valore assoluto (o modulo), la quantita

|a| :=

a, se a ≥ 0−a, se a < 0

Si mostra facilmente che

|a| ≥ 0;

|a| = 0⇔ a = 0;

−|a| ≤ a ≤ |a|.



Teorema (Studio |x | ≤ b)

Sia b ∈ R.

1 Se b < 0 allora non esiste x ∈ R tale che |x | ≤ b;

2 Se b ≥ 0 allora |x | ≤ b se e solo se

−b ≤ x ≤ b.

Nota. (Studio |x | < b)

Dal precedente si vede in modo analogo che se b ∈ R allora

1 se b ≤ 0 allora non esiste x ∈ R tale che |x | < b;

2 se b > 0 allora |x | < b se e solo se

−b < x < b.



Svolgimento.

Se b < 0 allora non esiste x ∈ R tale che |x | ≤ b in quanto0 ≤ |x | per ogni x ∈ R e quindi se fosse |x | ≤ b sarebbe

0 ≤ |x | ≤ b < 0

il che non e possibile;

Se b ≥ 0 allora

Se x ≥ 0, allora |x | = x e quindi |x | ≤ b se e solo sex = |x | ≤ b;Se x < 0, allora |x | = −x e quindi |x | ≤ b se e solo se−x = |x | ≤ b (cioe x ≥ −b).

Raccogliendo i risultati si ha che per b ≥ 0 si ha

|x | ≤ b ⇔ −b ≤ x ≤ b ⇔ x ∈ R : x ∈ [−b, b]. (2)



Teorema (Studio |x | ≥ b)

Sia b ∈ R.

1 Se b < 0 allora per ogni x ∈ R si ha che |x | ≥ b;

2 Se b ≥ 0 allora |x | ≥ b se e solo sex ≤ −b oppurex ≥ b.

Nota. (Studio |x | > b)

Dal precedente si vede in modo analogo che se b ∈ R allora

1 se b < 0 allora per ogni x ∈ R si ha che |x | > b.

2 se b = 0 allora per ogni x ∈ R si ha che |x | > b = 0 per ogni x ∈ Reccetto x = 0.

3 se b > 0 allora |x | > b se e solo se

x < −b oppurex > b.



Svolgimento.

Se b < 0 allora |x | ≥ b e sempre verificato in quanto|x | ≥ 0 > b per ogni x ∈ R;

Se b ≥ 0 allora

Se x ≥ 0, allora |x | = x e quindi |x | ≥ b se e solo se x ≥ b;Se x < 0, allora |x | = −x e quindi |x | ≥ b se e solo se −x ≥ b(cioe x ≤ −b).

Dai risultati, per b ≥ 0 si ha che |x | ≥ b se e solo se

1 x ≥ b oppure

2 x ≤ −b

cioe se e solo sex ∈ R : x ∈ (−∞,−b] ∪ [b,+∞). (3)


Valore assoluto (o modulo): disuguaglianza triangolare.

Teorema (Disuguaglianza triangolare)

Per ogni x , y ∈ R si ha che

|x + y | ≤ |x |+ |y |.

Dimostrazione.

Per quanto visto, per ogni x , y ∈ R

−|x | ≤ x ≤ |x |, −|y | ≤ y ≤ |y |e quindi

−|x | − |y | ≤ x + y ≤ |x |+ |y |.Ora

poniamo b = |x |+ |y | ≥ 0 e z = x + y;

osserviamo che −|x | − |y | = −(|x |+ |y |) = −b.

Di conseguenza cio equivale a dire −b ≤ z ≤ b cioe |z | ≤ b ovvero

|x + y | = |z | ≤ b = |x |+ |y |.


Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Esempio

Fissato il parametro α ∈ R determinare quando |x + 3| < α.

Svolgimento.

Se α ≤ 0, essendo 0 ≤ |x + 3|, cio non si realizza mai altrimenti

0 ≤ |x + 3| < α ≤ 0

che e assurdo.

Se α > 0, da |y | < α se e solo se −α < y < α abbiamo per y = x + 3

−α < x + 3 < α

o equivalentemente −α− 3 < x < α− 3.



Esempio

Fissato il parametro α ∈ R determiniamo quando |x + 3| > α.

Svolgimento.

Se α < 0, essendo 0 ≤ |x + 3|, cio si realizza sempre in quanto

α < 0 ≤ |x + 3|;

Se α > 0, da |y | > α se e solo y > α o y < −α abbiamo per y = x + 3che cio si realizza se e solo

x + 3 > α oppure α < −(x + 3)

da cui evidenziando il termine x

x > α− 3 oppure x < −3− α.



Esempio (|f (x)| ≤ g(x))

Se f , g sono due funzioni, vediamo quando |f (x)| ≤ g(x)

se g(x) < 0, |f (x)| ≤ g(x) non e verificata;

se g(x) ≥ 0, |f (x)| ≤ g(x) e verificata se e solo se −g(x) ≤ f (x) ≤ g(x);

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−0.5

0

0.5

1

1.5

Figura : Grafico di f (x) = sin (x)− 0.5 (pois nero),g(x) = x3 − 2x + 0.75 (rosso), |f (x)| (verde), in [0, 1.6].



Esercizio

Determinare per quali x vale la disuguaglianza

|6x2 − 13x − 15| ≤ 3− x .

−3 −2 −1 0 1 2 3 4−10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Figura : Grafico di f (x) = |6x2 − 13x − 15| (nero), g(x) = 3− x (rosso).

.



Svolgimento.

Posto f (x) := 6x2 − 13x − 15, g(x) := 3− x, per quanto visto

se g(x) < 0, allora |f (x)| ≤ g(x) non e verificata. Nel nostrocaso g(x) < 0 se e solo se 3− x < 0, cioe

x > 3.

Di conseguenza per x > 3 la disuguaglianza non e verificata.



se g(x) ≥ 0, |f (x)| ≤ g(x) e verificata se e solo se

−g(x) ≤ f (x) ≤ g(x)

.Nel nostro caso g(x) ≥ 0 se e solo se x ≤ 3 ed in tal caso ladisuguaglianza e verificata se e solo se

−(3− x) = −g(x) ≤ f (x) = 6x2 − 13x − 15 ≤ g(x) = 3− x

ossia −(3− x) ≤ 6x2 − 13x − 156x2 − 13x − 15 ≤ 3− x



Visto che

−(3− x) ≤ 6x2 − 13x − 15⇔ 6x2 − 14x − 12 ≥ 0⇔ 3x2 − 7x − 6 ≥ 0

e6x2 − 13x − 15 ≤ 3− x ⇔ 6x2 − 12x − 18 ≤ 0⇔ x2 − 2x − 3 ≤ 0.

basta sia verificato il sistema di disequazioni quadratiche3x2 − 7x − 6 ≥ 0x2 − 2x − 3 ≤ 0.



Osserviamo che per risolvere

3x2 − 7x − 6 ≥ 0

basta calcolare gli zeri dell’equazione di secondo grado

3x2 − 7x − 6 = 0

che sono x1 = −2/3 e x2 = 3, e osservare che la parabola3x2 − 7x − 6 assume valori non negativi per x ≤ −2/3 e x ≥ 3.



−10 −5 0 5 10−50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

Figura : Grafico di 3x2 − 7x − 6.



Similmente, osserviamo che per risolvere

x2 − 2x − 3 ≤ 0

basta calcolare gli zeri dell’equazione di secondo grado

x2 − 2x − 3 = 0

che tramite la ben nota formula sono

x1,2 = 1±√

1 + 3 = 1± 2

cioe x1 = −1, x2 = 3 e osservare che esclusivamente tra x1 e x2 laparabola x2 − 2x − 3 assume valori negativi, per dedurre chex2 − 2x − 3 ≤ 0 se e solo se −1 ≤ x ≤ 3.



−10 −5 0 5 10−20

0

20

40

60

80

100

120

Figura : Grafico di x2 − 2x − 3.



Raccogliendo i risultati, per x ≤ 3, la disuguaglianza

|6x2 − 13x − 15| ≤ 3− x

e verificata per i valori di x per cui contemporaneamente

−1 ≤ x ≤ 3

e

x ≤ −2/3 oppure

x ≥ 3.

Visto che si supponeva x ≤ 3, e −2/3 = 0.6666 . . ., ladisuguaglianza risulta verificata per

−1 ≤ x ≤ −2/3 oppure x = 3.



Esempio (|f (x)| ≥ g(x))

Se f , g sono due funzioni, studiamo quando |f (x)| ≥ g(x):

se g(x) < 0, |f (x)| ≥ g(x) e sempre verificata;

se g(x) ≥ 0, |f (x)| ≥ g(x) e verificata se e solo se−g(x) ≤ f (x) oppure f (x) ≤ g(x).



Esercizio

Determinare per quali x ∈ R si ha |x2 − 3x + 1| ≥ 2x − 2.

Svolgimento.

Definiti f (x) := x2 − 3x + 1, g(x) := 2x − 2, si tratta di vederequando |f (x)| ≥ g(x).

Osserviamo che g(x) < 0 se e solo se 2x − 2 < 0, cioe x < 1.In questo caso la disugualianza e sempre verificata.

Dal punto precedente se x ≥ 1 allora g(x) ≥ 0 e l’asserto everificato qualora f (x) ≤ −g(x) oppure g(x) ≤ f (x) cioe valealmeno una delle seguenti

x2 − 3x + 1 ≤ −(2x − 2) cioe x2 − 5x + 3 ≥ 0,

x2 − 3x + 1 ≥ 2x − 2 cioe x2 − x − 1 ≤ 0.



Con facili conti si vede che x2 − 5x + 3 = 0 ha radicix1,2 = 5

2 ±√

132 , cioe x1 ≈ 0.6972 e x2 ≈ 4.3028. Di conseguenza

x2 − 5x + 3 ≥ 0 se e solo se x < 52 −

√132 oppure x > 5

2 +√

132 .

Similmente si vede che x2 − x − 1 ≤ 0 ha radici x∗1,2 = 12 ±

√5

2 ,

cioe x∗1 ≈ 0.6180 e x∗2 ≈ 1.6180. Di conseguenza x2 − x − 1 ≤ 0 se

e solo se 12 −

√5

2 ≤ x ≤ 12 +

√5

2 .

Assemblando questi risultati, si vede facilmente che f (x) ≤ −g(x)oppure g(x) ≤ f (x) se e solo se x non appartiene a

( 12 +

√5

2 ,52 +

√132 ). Ricordando che deve pure essere x ≥ 1,

concludiamo dicendo che l’asserto e verificato nella regione

[1,1

2+

√5

2] ∪ [

5

2+

√13

2,+∞).



In conclusione:

se x < 1 l’asserto |x2 − 3x + 1| ≥ 2x − 2 e sempre verificato;

se x ≥ 1, l’asserto |x2 − 3x + 1| ≥ 2x − 2 e verificato se e solo se

x ∈ [1, 12

+√

52

] ∪ [ 52

+√

132,+∞).

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6−10

−5

0

5

10

15

20

Figura : Grafico di |x2 − 3x + 1| (in verde) e 2x − 2 (in rosso). Risolvereil problema |x2 − 3x + 1| ≥ 2x − 2 e equivalente a vedere quando ilgrafico della funzione in verde e sopra quello della funzione in rosso.


Principio per induzione: esempi.

Il principio per induzione viene utilizzato quale tecnica perdimostrare asserti del tipo

∀n ∈ N, n ≥ n0 vale la proprieta p(n).

Esempio

Per ogni n ∈ N, si dimostri che se n e pari allora n2 e pari.

In questo caso p(n) sta per se n e pari allora n2 e pari.

Esempio

Per ogni n ∈ N, si dimostri che 2n > n.

In questo caso p(n) sta per se n e numero naturale allora 2n > n.


Principio per induzione.

Sia n0 ∈ N e supponiamo di dover dimostrare che p(n) e verificataper ogni n ≥ n0. Se si dimostra che

1 p(n) e vera per n = n0 (primo passo),

2 supponendo che p(n) allora p(n + 1) e vera (passo induttivo),

allora p(n) e vera per ogni n ≥ n0.


Principio per induzione: esempio risolto.

Teorema

Per ogni n ∈ N, si dimostri che

1 + 2 + . . .+ n =n∑

k=1

k =n(n + 1)

2

Dimostrazione.

In questo caso p(n) sta per 1 + 2 + . . .+ n =∑n

k=1 k = n(n+1)2 .

n = 0: per definizione∑0

k=1 k = 0 ed facilmente 0(0+1)2 = 0,

come richiesto dall’asserto.


Principio per induzione: esercizi.

supponiamo che sia per un certo n valga p(n)

1 + 2 + . . .+ n =n∑

k=1

k =n(n + 1)

2

e dobbiamo dimostrare che vale pure p(n + 1) cioe

1 + 2 + . . .+ n + (n + 1) =n+1∑k=1

k

=(n + 1)((n + 1) + 1)

2

=(n + 1)(n + 2)

2. (4)



D’altra parte

1 + 2 + . . .+ n + (n + 1) = (1 + 2 + . . .+ n) + (n + 1)

=n(n + 1)

2+ (n + 1)

=n(n + 1) + 2(n + 1)

2

=(n + 2)(n + 1)

2.



Esercizio

Per ogni n ∈ N si ha che n2 + n e pari.

Esercizio

Per ogni n ∈ N, n ≥ 3 si ha che 2n + 1 < n2.


Principio per induzione: disuguaglianza di Bernoulli.

Teorema (Bernoulli)

Per ogni x > −1, x ∈ R, n ∈ N si ha

(1 + x)n ≥ 1 + xn.

Dimostrazione.

Nel nostro caso la proposizione p(M) consiste in

per ogni x > 1 si ha (1 + x)M ≥ 1 + xM.

Proviamo l’asserto per induzione, osservando che l’induzione e inn (e non in x).

n = 0: essendo (1 + x)0 = 1, (1 + x · 0) = 1, il primo passo everificato;


Principio per induzione: disuguaglianza di Bernoulli.

supponiamo valga l’ipotesi induttiva p(n)

(1 + x)n ≥ 1 + xn

e mostriamo che vale pure p(n + 1) cioe

(1 + x)n+1 ≥ 1 + x(n + 1).

In effetti, essendo 1 + x > 0, dall’ipotesi induttiva

(1 + x)n ≥ (1 + xn)⇔ (1 + x)(1 + x)n ≥ (1 + x)(1 + xn)

e da x2n ≥ 0

(1 + x)n+1 = (1 + x)(1 + x)n ≥ (1 + x)(1 + xn)

= 1 + xn + x + x2n ≥ 1 + xn + x = 1 + x(n + 1).


Sommatorie.

Per fare la somma di molti numeri, spesso si usa il simbolo∑

. Cosı

n∑i=n0

ai := an0 + an0+1 + an0+2 + . . .+ an

In questo caso, i si dice indice di sommatoria. Se n < n0 sisuppone che la sommatoria sia nulla.

Esempio

5∑i=1

1

i= 1 +

1

2+

1

3+

1

4+

1

5

Esempio

8∑k=3

1

k=

1

3+

1

4+

1

5+

1

6+

1

7+

1

8


Progressione geometrica.

Definizione (Progressione geometrica)

La sommatorian∑

k=0

qk = 1 + q + . . .+ qn

e nota come progressione geometrica di ragione q.

Esempio

n∑k=0

3k = 1 + 3 + 32 + . . .+ 3n.

Teorema

Per q 6= 1 (attenzione al denominatore a secondo membro!)n∑

k=0

qk = 1 + q + . . .+ qn =qn+1 − 1

q − 1,

altrimentin∑

k=0

1k = 1 + 1 + . . .+ 1n = n + 1.


Sommatorie e coefficienti binomiali.

Per esempio, nel caso q = 3 si ha che da

n∑k=0

qk = 1 + q + . . .+ qn =qn+1 − 1

q − 1,

necessariamente

8∑k=0

3k = 1 + 3 + . . .+ 2n =38+1 − 1

3− 1=

39 − 1

2= 9841.


Sommatorie e coefficienti binomiali.

Teorema

Per q 6= 1 si ha chen∑

k=0

qk = 1 + q + . . .+ qn =qn+1 − 1

q − 1=

1− qn+1

1− q

Dimostrazione.

Osserviamo che

(1− q)(1 + q + . . .+ qn) = 1 + q + q2 + . . .+ qn

−q − q2 − . . .− qn+1

= 1− qn+1 (5)abbiamo

(1− q)(1 + q + . . .+ qn) = 1− qn+1

da cui l’asserto, osservando che∑n

k=0 qk = 1 + q + . . .+ qn edividendo ambo i membri per 1− q 6= 0.


Coefficienti binomiali e binomio di Newton.

L’intenzione e quella di calcolare, fissati a, b, n, la quantita

(a + b)n.

Esempi:

n = 0: (a + b)0 = 1;

n = 1: (a + b)1 = a + b;

n = 2: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2;


Fattoriale.

Definizione (Fattoriale)

Si definisce il fattoriale di n ∈ N, la quantita

n! := 1 · 2 · . . . · n

Esempio

0! = 0 (per definizione);

1! = 1;

2! = 1 · 2;

3! = 1 · 2 · 3 = 6;

8! = 1 · 2 · . . . · 8 = 40320;

10! = 1 · 2 · . . . · 10 = 3628800.


Fattoriale.

Teorema

Il fattoriale corrisponde al numero di permutazioni di n oggettidistinti.

Siano a, b, c e consideriamo le loro permutazioni:

1 (a, b, c);

2 (a, c , b);

3 (b, a, c);

4 (b, c , a);

5 (c , a, b);

6 (c , b, a).

Come anticipato sono 6, esattamente come il fattoriale del numeron degli oggetti (nell’esempio n = 3, visto che gli oggetti sono a, b,c). Ricordiamo che 3! = 1 · 2 · 3 = 6.


Coefficienti binomiali.

Siano n, k ∈ N, con k ≤ n.Si definisce coefficiente binomiale Cn,k di n e k , la quantita

Cn,k =

(nk

)=

n!

k!(n − k)!

Alcuni esempi, ricordando che 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2:

C2,1 =

(21

)= 2!

1!(2−1)!= 2!

1!1!= 2;

C0,0 =

(00

)= 0!

0!(0−0)!= 0!

0!0!= 1;

Cn,0 =

(n0

)= n!

0!(n−0)!= n!

0!n!= 1;

Cn,n =

(nn

)= n!

n!(n−n)!= n!

n!0!= 1;

Cn,n−1 =

(nn

)= n!

(n−1)!(n−(n−1))!= n!

(n−1)!1!= (n−1)!n

(n−1)!= n.


Formula del binomio di Newton.

Teorema (Binomio di Newton)

Definito con

Cn,k =

(nk

)=

n!

k!(n − k)!

si ha per n ∈ N

(a + b)n = (a + b) · . . . · (a + b)︸︷︷︸n volte

=n∑

k=0

Cn,kakbn−k

Per esempio, nel caso n = 2, essendo C2,0 = 1, C2,1 = 2, C2,2 = 1,si ottiene il noto risultato

(a + b)2 =2∑

k=0

C2,kakb2−k = C2,0a0b2−0 + C2,1a1b2−1 + C2,2a2b2−2

= b2 + 2ab + a2. (6)


Triangolo di Tartaglia.

I coefficienti Cn,k = n!k!(n−k)! si calcolano col Triangolo di Tartaglia.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Il valore Cn,k e il (k + 1)-simo elemento della (n + 1)-sima riga.Cosı, dalla formula del binomio di Newton

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5.


Potenze e radici n-sime.

Teorema

Siano y ∈ R, y ≥ 0, n ∈ N, n ≥ 1. Allora esiste un unico x ≥ 0,x ∈ R tale che xn = y

Usualmente tale x si denota con y 1/n oppure n√

y e si chiamaradice n-sima di y ;

Si osservi che se y = 0, x = 0 soddisfa xn = y .


Potenze e radici n-sime.

Esempio√

4 = 2

Esempio

Per ogni x ∈ R si ha√

x2 = |x |.

in generale n√

y = x e definita solo se y ≥ 0;

se n e dispari e y < 0, n√

y = − n√−y . Esempio:

−2 = 3√−8 = − 3

√−(−8) = − 3

√8


Potenze a esponente razionale.

Definizione

Supposto r = mn ∈ Q, y ∈ R, y > 0, si definisce

y r = ymn = (ym)

1n

Nota.

Per y < 0, n dispari, questa definizione si puo facilmente estendere(vedere quanto detto in precedenza sulle radici n-sime).


Alcune proprieta delle potenze.

Si supponga a, b ∈ R, a, b > 0, r , s ∈ Qar+s = ar · as ;

(ab)r = ar · br ;

(a)r ·s = (ar )s ;

a−r = 1ar ;

ar > 0;ar > 1 se a > 1, r > 0;ar > 1 se a < 1, r < 0;ar < 1 se a < 1, r > 0;ar < 1 se a > 1, r < 0;

r < s ⇒

ar < as se a > 1;ar > as se a < 1;

0 < a < b ⇒

ar < br se r > 0;ar > br se r < 0;

∀a 6= 1, ar = as ⇒ r = s.


Alcune proprieta delle potenze (facoltativa).

Nota.

Per ogni a > 1 r ∈ R, si supponga che sia (in decimali)

r = p, α1 . . . αn . . .

con p ∈ Z e αk ∈ 0, 1, . . . , 9 per ogni n ∈ N Si definisce

ar := asup p,α1...αn,n∈N.

Con tale definizione, le precedenti proprieta delle potenze sonoverificate e inoltre coincidono le definizioni nel caso r ∈ Q.


Logaritmo.

Definizione (Logaritmo)

Sia a > 0, a 6= 1, y > 0. Esiste un solo x ∈ R tale che ax = y.Tale x si chiama logaritmo in base a di y e si scrive x := loga y

Dalla definizione, se x = loga y necessariamente

aloga y = ax = y .


Logaritmo: proprieta.

Si supponga a, b, x , y ∈ R, a, b, x , y > 0, a 6= 1, b 6= 1

aloga x = x ;

loga xy = loga x + loga y ;

loga1x = − loga x ;

logaxy = loga x − loga y ;

loga xγ = γ loga x per ogni γ ∈ R;

loga x = 1logx a

= − log 1a

x ;

loga x = logb xlogb a

;

x > y > 0⇒

loga x > loga y se a > 1;loga x < loga y se 0 < a < 1;

loga 1 = 0; loga a = 1; loga1a = −1;

Per ogni γ ∈ R, γ 6= 1, si ha1 ∀x 6= 0 : loga x2 = 2 loga |x |;2 ∀x , y , xy > 0 : loga xy = loga |x |+ loga |y |.



Esempio

Mostrare che loga x = 1logx a

= − log 1a

x.

Dimostrazione.

Se β = loga x e γ = 1logx a

, dalla definizione

aβ = x e xγ = a

implica che

x = aβ = (xγ)β = xβγ

e quindi βγ = 1 da cui β = 1γ . Essendo per definizione,

β = loga x,

γ = 1logx a

concludiamo che loga x = 1logx a

.



Similmente, dalle definizioni

se τ = log 1a

x allora ( 1a )τ = x,

se φ = logx a allora xφ = a,

da cui, essendo

x =

(1

a

)τ= a−τ

si ricavax = a−τ = (xφ)−τ = x−φτ

e quindi −φτ = 1 ovvero −τ = 1φ per cui, dalle definizioni

1

logx a=

1

φ= −τ = −log 1

ax .


Funzioni.

Definizione (Funzione)

Siano A, B insiemi. La funzione f e una legge che ad ognielemento di A associa uno e uno solo elemento di B, e si scrivef : A→ B.

Usualmente si dice f e definita da A a B;

Se x ∈ A, con f (x) si indica il valore di B associato a xmediante f .

A volte si scrive f : x → f (x) ∈ B. La variabile x si chiamavariabile indipendente.

L’insieme A si chiama dominio di f , mentre l’insieme B sichiama codominio di f .


Funzioni: esempi.

Esempio

Sia X = 1, 2, 3 e Y = a, b, c, d , e. Sia f : X → Y la funzioneper cui f (1) = a, f (2) = c, f (3) = d. Osserviamo che non tutti glielementi del codominio sono funzione di qualche elemento deldominio.

Figura : Esempio di funzione.


Funzioni: esempi.

Esempio

Sia f : R→ R, definita da f (x) = x4. In questo caso, il dominio eR e il codominio R.

Esempio

Sia A = 1, 2, 3, 4, 5, B = 2, 3, 4, 5, 6, 7 e sia f : A→ B definitada f (x) = x + 1.

Esempio

Sia R+ = x ∈ R, x > 0. Sia f : R+ → R definita daf (x) = log10 (x).


Funzioni: immagine.

Definizione (Immagine)

Sia f : A→ B. Si dice immagine di A attraverso f , il sottinsiemedi B definito da

f (A) = Im(f ) = y ∈ B : ∃x ∈ A : y = f (x).

Esempio

Sia f : R→ R, definita da f (x) = x4. In questo caso, il dominio eR e il codominio R. L’immagine di f e R+.

Esempio

Sia f : R→ R, definita da f (x) = x + 1. In questo caso, il dominioe R e il codominio R. L’immagine di f e R.


Funzioni: immagine e grafico.

Esempio

Sia f : R2 → R, definita da f (x , y) = x + y. In questo caso, ildominio e R2 e il codominio R. L’immagine di f e R.

Esempio

Sia f : R→ R2, definita da f (x) = (x , 2 · x). In questo caso, ildominio e R e il codominio R2. L’immagine di f e una retta di R2

(cioe y = 2 · x).

D’ora in poi, qualora non detto esplicitamente, saraf : A ⊆ R→ R.

Definizione (Grafico)

Sia f : A ⊆ R→ R. Si dice grafico di f , il sottinsieme di R2

graf(f ) = (x , y) ∈ R2 : y = f (x), x ∈ A.


Funzioni: grafico.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura : Grafico di funzione (e f (x) = sin(x), con f : [−5, 5]→ R).

.


Funzioni: grafico.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura : Un esempio che non e grafico di funzione da [0, 1] ⊂ R in R. Adesempio in 0 assume due valori, −1 e +1

.


Funzioni: sul dominio.

Di seguito consideremo, a meno di specificazioni, f : D ⊆ R→ Rcon D dominio naturale di f , cie tutti gli x per i quali ha sensoscrivere f (x).

Esempio

Sia f (x) =√

x. Allora D = x ∈ R : x ≥ 0.

Esempio

Sia f (x) = 1x . Allora D = x ∈ R : x 6= 0.



Le funzioni si possono rappresentare con piu formule.

Esempio

Sia

f (x) =

x se x > 0−x se x ≤ 0

Che funzione nota e f ?

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Figura : Grafico di f nell’intervallo −5 e +5.



Le funzioni si possono rappresentare con piu formule.

Esempio

Sia

f (x) =

1 se x ∈ Q0 se x ∈ R\Q

E’ il grafico della funzione f facilmente rappresentabile? In questocaso ovviamente abbiamo che l’immagine di f e 0, 1.


Funzioni: successioni.

Definizione (Successione)

Si dice successione ogni funzione f in cui il dominio e N. Inparticolare ogni funzione f : N→ R si chiama successione reale.

Esempio

La funzione f : N→ R definita da

f (n) := fn :=n − 1

n + 1

e una successione. In particolare f0 = −1, f1 = 0, f2 = 1/3, etc. Siverifica facilmente che fn < fn+1 essendo n−1

n+1 <n

n+2 (risolvere unadisequazione di secondo grado!).


Funzioni: limitate superiormente.

Definizione (Funzione limitata superiormente)

Sia f : D ⊆ R→ R. Tale funzione e limitata superiormente seesiste M ∈ R tale che

f (x) ≤ M, ∀x ∈ D.

o equivalentemente

Definizione (Funzione limitata superiormente)

Sia f : D ⊆ R→ R. Tale funzione e limitata superiormente sel’insieme immagine Im(f ) di f e limitato superiormente.

Esempio

La funzione f (x) = −x2 ha il grafico che consiste in una parabolaed assume esclusivamente valori non positivi. In questo caso si puoscegliere nella precedente definizione M = 0.


Funzioni: limitate superiormente.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Figura : Grafico di f (x) = −x2 nell’intervallo −10 e +10

.


Funzioni: limitate inferiormente.

Definizione (Funzione limitata inferiormente)

Sia f : D ⊆ R→ R. Tale funzione e limitata inferiormente seesiste m ∈ R tale che

f (x) ≥ m, ∀x ∈ D.

o equivalentemente

Definizione (Funzione limitata inferiormente)

Sia f : D ⊆ R→ R. Tale funzione e limitata inferiormente sel’insieme immagine Im(f ) di f e limitato inferiormente.

Esempio

La funzione f (x) = x2 ha il grafico che consiste in una parabola edassume esclusivamente valori positivi. In questo caso si puoscegliere nella precedente definizione M = 0.


Funzioni: limitate inferiormente.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Figura : Grafico di f (x) = x2 nell’intervallo −10 e +10

.


Funzioni: limitate.

Definizione (Funzione limitata)

Sia f : D ⊆ R→ R. Tale funzione e limitata se e limitatasuperiormente e inferiormente, cioe esistono m,M ∈ R tali che

m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ D

che e equivalente a dire che esiste k ∈ R tale che

|f (x)| ≤ k

(basta scegliere k = max|m|, |M|).


Funzioni: limitate, esempi.

Esempio

Sia f (x) = x3, f : R→ R. Si vede subito che Im(f ) = R e quindila funzione non e limitata ne inferiormente, ne superiormente.

−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

6

Figura : Grafico di f (x) = x3 nell’intervallo −100 e +100. Attenzioneche e in scala 1 milione sull’asse y !


Funzioni: limitate, esempi.

Esempio

Sia f (x) = 11+x2 , f : R→ R. Si vede subito che Im(f ) = (0, 1] e

quindi la funzione e limitata (scegliere m = 0 e M = 1 nelladefinizione).

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura : Grafico della funzione di Runge f (x) = 11+x2 nell’intervallo −10

e +10.


Funzioni: simmetriche.

Definizione (Funzione pari)

Sia f : D ⊆ R→ R con D dominio simmetrico rispetto a 0. Lafunzione f si dice pari se

f (x) = f (−x)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

120

Figura : Grafico della funzione pari f (x) = x4+x2+1001+x2 in [−10,+10].


Funzioni: simmetriche.

Definizione (Funzione dispari)

Sia f : D ⊆ R→ R con D dominio simmetrico rispetto a 0. Lafunzione f si dice dispari se

f (x) = −f (−x)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Figura : Grafico della funzione dispari f (x) = 3x5−1000x3

1000+10x4 in [−10,+10].


Funzioni: simmetriche, esempio.

Proposizione. (Rapporto di funzioni dispari con funzioni pari)

Sia f : D ⊆ R→ R con D dominio simmetrico rispetto a 0. Se F (x) = f (x)g(x)

con f , g : D ⊆ R→ R, f pari e g dispari (mai nulla!) allora F e dispari.

Dimostrazione.

Ricordando le definizioni, sappiamo che

f (x) = −f (−x), ovvero f (−x) = −f (x),

g(x) = g(−x),

e di conseguenza

F (−x) =f (−x)

g(−x)=−f (x)

g(x)= − f (x)

g(x)= −F (x),

cioe F e dispari in quanto F (x) = −F (−x).

Di conseguenza, la funzione f (x) = 3x5−1000x3

1000+10x4 e un esempio di funzione dispari,

in quanto il numeratore e una funzione dispari e il denominatore e una funzione

pari.Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 121/ 200

Funzioni: simmetriche, esempi.

Con dimostrazione simile alla precedente, di vede facilmente che

Proposizione. (Rapporto di funzioni pari con funzioni pari)

Sia f : D ⊆ R→ R con D dominio simmetrico rispetto a 0. SeF (x) = f (x)

g(x) con f , g : D ⊆ R→ R, f pari e g pari (mai nulla!)allora F e pari.

Nota. (Facoltativo)

Sia f : D ⊆ R→ R con D dominio simmetrico rispetto a 0. Sef : D ⊆ R→ R, e dispari allora f (0) = 0. Infatti, daf (x) = −f (−x) si ha che f (0) = −f (0) ovvero f (0) = 0.



Esempio

La funzione f (x) = x2 e pari. Infatti

f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x).

Esempio

La funzione f (x) = x3 e dispari. Infatti

f (−x) = (−x)3 = −x3 = −f (x).

Esempio

La funzione f (x) = xn, n ∈ N e

dispari se n e disparipari se n e pari



Esempio

La funzione f (x) = x − x3 − x17 e dispari.

Esempio

La funzione f (x) = x − x3 + 1 non e ne pari ne dispari. Adesempio f (2) = −5, f (−2) = 7 6= ±5 = ±f (2).

Nota.

Osserviamo che una funzione

pari ha un grafico simmetrico rispetto l’asse y ;

dispari ha un grafico che si ottiene applicando prima unasimmetria del grafico per (x , f (x)), con x ≥ 0 rispetto all’assey e poi all’asse x .


Funzioni: monotone.

Sia f : D ⊆ R→ R.

Definizione (Monotona crescente)

La funzione f e monotona crescente se

∀x1, x2 ∈ D, se x1 < x2 allora f (x1) ≤ f (x2).

Definizione (Monotona strettamente crescente)

La funzione f e monotona strettamente crescente se

∀x1, x2 ∈ D, se x1 < x2 allora f (x1) < f (x2).


Funzioni: monotone.

Definizione (Monotona decrescente)

La funzione f e monotona decrescente se

∀x1, x2 ∈ D, se x1 < x2 allora f (x1) ≥ f (x2).

Definizione (Monotona strettamente decrescente)

La funzione f e monotona strettamente decrescente se

∀x1, x2 ∈ D, se x1 < x2 allora f (x1) > f (x2).


Funzioni: monotone, esempi.

Esempio

La funzione f (x) = x3, f : R→ R, e strettamente crescente.

Esempio

La funzione f (x) = 1, f : R→ R, e crescente e decrescente.

Esempio

La funzione f (x) = 11+x2 , f : R→ R, non e ne crescente ne

decrescente.

−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

6

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura : Grafico di f (x) = x3, f (x) = 11+x2 .



Esempio

La funzione f (x) = x2, f : R+ → R, e strettamente crescente. Lafunzione f (x) = x2, f : R− → R, e strettamente decrescente.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−5

0

5

10

15

20

25

Figura : Grafico di f (x) = x2.


Funzioni: periodiche.

Definizione (Periodica)

La funzione f : D ⊆ R→ R e periodica di periodo T > 0 se T e il piu piccolonumero reale tale

f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ D, x + T ∈ D.

Nota.

Usualmente D = R o piu raramente D = R\X conX = x : x = x0 + kT , k ∈ Z per un certo x0 ∈ R dove la funzione f non edefinita (si pensi alla tangente!).

Esempio

La funzione f (x) = sin (x), f : R→ R e periodica con periodo 2π in quanto enoto che

sin (x + 2π) = sin (x), ∀x ∈ R.



−15 −10 −5 0 5 10 15−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura : Grafico di f (x) = sin(x).


Funzioni: periodiche.

Esempio

La funzione f (x) = cos (x), f : R→ R e periodica con periodo 2πin quanto e noto che

cos (x + 2π) = cos (x), ∀x ∈ R.

Nota.

Se f e periodica con periodo T , basta conoscere il grafico in unintervallo di ampiezza T per conoscere il grafico su tutto ildominio.



−15 −10 −5 0 5 10 15−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura : Grafico di f (x) = cos(x).


Funzioni: elementari.

Definizione (Potenza)

La funzione f : D ⊆ R→ R definita da f (x) = xα, α ∈ R e notacome funzione potenza.

Si riconosce subito che

f (1) = 1;

Im(f ) = [0,+∞) se α ∈ N e pari;

Im(f ) = R se α ∈ N e dispari;

se α ∈ N e dispari allora f e crescente;

se α = 1/n con n ∈ N, n ≥ 1 allora Im(f ) = [0,+∞) se n epari;

se α = 1/n con n ∈ N, n ≥ 1 allora Im(f ) = R se n e dispari;

se α ∈ R allora R+\0 ⊆ Im(f );

se α ∈ R+ allora R+ ⊆ Im(f );



Esempio

La funzione f (x) = x−1 = 1x , f : R\0 → R, e una iperbole, e

dispari non e monotona.

Esempio

La funzione f (x) = x−2 = 1x2 , f : R\0 → R, e pari ma non e

monotona.



−3 −2 −1 0 1 2 3−150

−100

−50

0

50

100

150

−3 −2 −1 0 1 2 30

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Figura : Grafico di f (x) = x−1 e f (x) = x−2 in [−3,+3].



Esempio

La funzione f (x) =√

x = x1/2, f : R+ → R, e monotona crescente.

Esempio

La funzione f (x) =3√

x2 = x2/3, f : → R, e pari ma non e monotona.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Figura : Grafico di f (x) =√

x = x1/2, f (x) =3√

x2 = x2/3,rispettivamente in [0, 10] e [−10, 10].



Esempio

La funzione f (x) =√

x = x1/2, f : R+ → R, e monotonacrescente.

Esempio

La funzione f (x) =3√

x2 = x2/3, f : → R, e pari ma non emonotona.



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Figura : Grafico di f (x) = x2 in rosso, f (x) = x in nero, f (x) = x1/2 inverde in [0, 2].


Funzioni: esponenziali.

Definizione (Esponenziale)

Sia α ∈ R+\0. La funzione f (x) = αx , f : R→ R si chiamafunzione esponenziale in base α.

Si osservi che il dominio e R;Im(f ) = (0,+∞);f (0) = 1 per ogni α

−3 −2 −1 0 1 2 30

1

2

3

4

5

6

7

8

Figura : Grafico di f (x) = 2x in rosso, f (x) = 1x in nero, f (x) = 1/2x inverde in [−3, 3].


Funzioni: logaritmi.

Sia D := R+\0 e a ∈ R+\0, 1. Sia f (x) = loga x . Allora

Il dominio di f e D = R+\0;

Im(f ) = R;

f (1) = 0 per ogni scelta di a;

Si ha che y = loga(x)⇔ ay = x ;

Se a = 1 allora il logaritmo non e definito.

Sia e := 2.718281828459046 . . . il numero di Nepero. Allora

loge x = ln(x) = log(x)

e noto come logaritmo naturale;

a = e ln (a);

ax = e ln (ax ) = ex ln (a).


Funzioni: logaritmi.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

Figura : Grafico di f (x) = loge(x) in (0, 10].


Funzioni trigonometriche.

Si supponga

Ω sia il disco di raggio 1 centrato nell’origine (disco unitario);

siano A = (1, 0), B = (0, 1);

sia P un punto sulla circonferenza, e si supponga che l’angoloAOP misuri x radianti (orientato antiorario!);

sia Q la proiezione di P sull’asse delle ascisse;

sia T il punto sulla retta r contenente O e P la cui proiezionesull’asse dell’ascisse sia A.

Allora

l’ascissa di Q si denota cos (x) (coseno di x);

l’ordinata di P si denota sen(x) (seno di x);

l’ordinata di T si denota tg(x) (tangente di x);

Si noti che talvolta si usa sin(x) e tan(x) invece di sen(x) e tg(x) .Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 142/ 200


Figura : Funzioni trigonometriche sul cerchio unitario.



Poiche i triangoli OPQ e OAT sono simili, sia ha che

tg(x) =sen(x)

cos(x),

Si definisce poi cotangente la funzione

ctg(x) =cos(x)

sen(x).

Inoltre e facile osservare che

cos (0) = 1, sin (0) = 0;

cos (2π) = 1, sin (2π) = 0;

dal teorema di Pitagora, essendo il disco unitario,

sin2 (x) + cos2 (x) = 1, ∀x ∈ [0, 2π). (7)



−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Figura : La funzione sin (x).

La funzione sin (x)

e periodica con periodo 2π;

e dispari:sin (−x) = − sin (x)

ha dominio R ma immagine Im(sen(x))=[-1,1], (quindi| sin (x)| ≤ 1).



−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Figura : La funzione cos(x).

La funzione cos(x)

e periodica con periodo 2π;

e pari: cos (−x) = cos (x);

ha dominio R ma immagine Im(cos (x)) = [−1, 1] (quindi| cos (x)| ≤ 1);

vale sin(x) = cos(x − π2 )



Figura : La funzione tan(x).

La funzione tan(x)

e periodica con periodo π;

e dispari: tan(−x) = − tan(x) ;

non e definita nei punti xk = kπ con k ∈ Z;

ha dominio R\x : x = π2

+ kπ, k ∈ Z e immagine Im(tan (x)) = R.


Funzioni trigonometriche: proprieta.

radianti 0 π6

π4

π3

π2

π 3π2

2π

sin(x) 0 12

√2

2

√3

21 0 −1 0

cos(x) 1√

32

√2

212

0 −1 0 1

tan(x) 0√

33

1√

3 − 0 − 0

ctg(x) −√

3 1√

33

0 − 0 −

Alcune proprieta importanti:

sin(−a) = sin(a);

sin(π/2− a) = cos(a);

sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b);

cos(−a) = cos(a);

cos(π/2− a) = sin(a);

cos(a + b) = cos(a) cos(b)− sin(a) sin(b).


Funzioni trigonometriche: esercizio.

Esercizio

Qual’e il periodo di f (x) = sin (3x)?

Da f (x + T ) = f (x) abbiamo per y = 3x

f (x + T ) = sin(3(x + T )) = sin(3x + 3T ) = sin(y + 3T ) (8)

f (x) = sin (3x) = sin (y). (9)

Il piu piccolo T per cui sin(y + T ) = sin(y) e T = 2π, per cui il piu piccolo Tper cui

f (x + T ) = sin(y + 3T ) = sin (y) = f (x)

e 3T = T = 2π da cuiT = 2π/3.

Con una dimostrazione simile si mostra che per ω > 0,

f (x) = sin (ωx)

e periodica con periodo T = 2π/ω.


Funzioni iperboliche.

Definizione (Seno iperbolico)

Si definisce seno iperbolico la quantita

Sh(x) = sinh (x) :=ex − e−x

2.

Definizione (Coseno iperbolico)

Si definisce coseno iperbolico la quantita

Ch(x) = cosh (x) :=ex + e−x

2.


Funzioni iperboliche.

Definizione (Tangente iperbolica)

Si definisce tangente iperbolica la quantita

Th(x) = tanh (x) :=sinh(x)

cosh(x)=

ex − e−x

ex + e−x.

Definizione (Tangente iperbolica)

Si definisce cotangente iperbolica la quantita

Cth(x) = coth (x) :=cosh(x)

sinh(x)=

ex + e−x

ex − e−x.

A volte sinh (x) si denota senh(x);

A volte tanh (x) si denota tgh(x);


Funzioni iperboliche: sinh.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−30

−20

−10

0

10

20

30

Figura : La funzione sinh(x) in [−4, 4].

La funzione sinh(x)

e dispari: sinh(−x) = − sinh(x) (verificarlo) ;

ha dominio R e immagine Im(sinh (x)) = R;

e strettamente crescente.


Funzioni iperboliche: cosh.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40

5

10

15

20

25

30

Figura : La funzione cosh(x) in [−4, 4].

La funzione cosh(x)

e pari: cosh(−x) = cosh(x) (verificarlo) ;

ha dominio R e immagine Im(cosh (x)) = [1,+∞) (cioe cosh(x) ≥ 1);

e strettamente decrescente per x ≤ 0 e strettamente crescente per x ≥ 0;

similmente alla (7) vale cosh2(x)− sinh2(x) = 1.


Funzioni iperboliche: tanh.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura : La funzione tanh(x) in [−10, 10].

La funzione tanh(x)

e dispari: tanh(−x) = − tanh(x) (verificarlo) ;

ha dominio R e immagine Im(tanh (x)) = (−1, 1) (cioe tanh(x) elimitata);

e strettamente crescente.


Funzioni iperboliche: coth.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−150

−100

−50

0

50

100

150

Figura : La funzione coth(x) in [−10, 10].

La funzione coth(x)

e dispari: coth(−x) = − coth(x) (verificarlo) ;

ha dominio R\0 e immagine Im(coth (x)) = R\0 (cioe coth(x) eillimitata);


Operazioni sui grafici.

Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual e il grafico diy = f (x) + a?

Risposta: Si trasla verticalmente di a il grafico di f (x).

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura : Grafico di y = x + 1 (rosso), y = x (nero) e y = x − 1 (verde).



Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual e il grafico diy = f (x + a)?

Risposta: Si trasla orizzontalmente di −a il grafico di f (x).

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura : Grafico di y = sin (x + 1) (rosso), y = sin (x) (nero) ey = sin (x − 1) (verde).



Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual e il grafico di y = −f (x)?

Risposta: Si simmetrizza il grafico di f (x) rispetto l’asse x.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura : Grafico di y = sin (x) (nero), y = − sin (x) (rosso).



Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual e il grafico di y = k · f (x)?

Risposta: Si stira o si contrae di un fattore k il grafico di f (x) (rispetto l’assey).

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura : Grafico di y = sin (x) (nero), y = 2 sin (x) (rosso) ey = 0.5 · sin (x) (verde).



Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual e il grafico di y = f (kx)?

Risposta: Si stira o si contrae di un fattore 1/k il grafico di f (x) (rispettol’asse x).

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura : Grafico di y = sin (x) (nero), y = sin (2x) (rosso) ey = sin (0.5x) (verde).



Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual e il grafico di y = |f (x)|?

Risposta: Se f (x) ≥ 0 non si fa niente, altrimenti lo si riflette sull’asse x.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−1

−0.5

0

0.5

1

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−1

−0.5

0

0.5

1

Figura : Grafico di y = sin (x) (nero), y = | sin (x)| (rosso).



Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual e il grafico di y = f (|x |)?

Risposta: Si riflette il grafico della parte in cui x ≥ 0 rispetto l’asse y.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−1

−0.5

0

0.5

1

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−1

−0.5

0

0.5

1

Figura : Grafico di y = sin (x) (nero), y = sin (|x |) (rosso).



Nota. (Sugli zeri (facoltativa))

Si supponga di conoscere che f (x∗) = 0. Allora

posto g(x) := f (x + a), y∗ = x∗ − a, si ha facilmente che g(y∗) = 0 eviceversa se g(y) = 0 si ha che f (y − a) = 0;

posto g(x) := −f (x), si ha che g(x∗) = 0 e viceversa se g(y) = 0 si hache f (y) = 0;

posto g(x) := k · f (x) (con k ∈ R), si ha che g(x∗) = 0 e viceversa seg(y) = 0 si ha che f (y) = 0;

posto g(x) := f (k · x) (con k ∈ R\0), si ha che g(x∗/k) = 0 eviceversa se g(y) = 0 si ha che f (y k) = 0 con y k = k · y;

posto g(x) := |f (x)| si ha che g(x∗) = 0 e viceversa se g(y) = 0 si hache f (y) = 0;

posto g(x) := f (|x |), se x∗ ≥ 0 e y∗ = x∗ si ha che g(y∗) = 0 eviceversa se g(y) = 0 con y > 0 si ha che f (y) = 0.


Funzioni composte.

Definizione (Funzione composta)

Sia f : E → R, g : F → R tale che Im(f ) ⊆ F . La funzione h = g f tale che

h(x) = (g f )(x) = g(f (x))

si chiama funzione composta.

Figura : Esempio di funzione composta. In giallo, l’insieme Im(f ) ⊆ F .


Funzioni composte.

Nota.

Si noti che:

E’ fondamentale che Im(f ) ⊆ F ;

In generale f g 6= g f ;

Si possono comporre piu funzioni

((f g) τ) (x) = f (g(τ(x))) = f (g τ)

(verificarlo!).


Funzioni composte: generalizzazione.

La definizione, piu generale consiste in

Definizione (Funzione composta (def. generale))

Siano X ,Y ,V ,W insiemi. Siano f : X → Y , g : V →W tali cheIm(f ) := f (X ) ⊆ V . Allora si puo definire la funzione h = g ftale che

h(x) = (g f )(x) = g(f (x)).

Tale h si chiama funzione composta.


Funzioni composte: esempio 1.

Esempio

Sianof (x) = x2 + 1, g(x) =

√x

Si vede che

(g f )(x) = g(f (x)) =√

x2 + 1

Si osservi che da Im(f ) = [1,+∞), Dom(g) = [0,+∞), lacomposta e ben definita e da Dom(f ) = R, (g f ) : R→ R.

Si vede che

(f g)(x) = f (g(x)) = (√

x)2 + 1 = |x |+ 1.

Osserviamo che Dom(g) = R+ = [0,+∞) e in R+ si ha che|x |+ 1 = x + 1. Inoltre essendo Im(g) = [0,+∞) eDom(f ) = R, la composta e ben definita. Quindi(f g) : R+ → R e f g 6= g f .



Esempio

Sianof (x) = −x2, g(x) = 4

√x

Si vede che

(g f )(x) = g(f (x)) =4√−x2

Si osservi che da Im(f ) = (−∞, 0], Dom(g) = [0,+∞), lacomposta non e ben definita. L’unico punto in cui la funzionee ben definita e x = 0 e la composta vale 0.



Si vede che

(f g)(x) = f (g(x)) = −( 4√

x)2.

Osserviamo che Dom(g) = R+ = [0,+∞),Im(g) = [0,∞) = R+, Dom(f ) = R+ e quindi daIm(g) ⊆ Dom(f ) la composta e ben definita.

Da Im(f ) = (−∞, 0] = R− abbiamo f g : R+ → R−.



Esempio

Siano

f (x) =

1, x ≥ 03, x < 0

g(x) =

x2, x > 1−x , x ≤ 1

Calcoliamo (f g)(x) = f (g(x)).

Supponiamo x ≤ 1. Allora g(x) = −x ed e g(x) ≥ 0 perx ≤ 0 altrimenti, per x ∈ (0, 1], si ha che g(x) < 0. Se x ≤ 0abbiamo f (g(x)) = 1 mentre per x ∈ (0, 1] si ha f (g(x)) = 3.Supponiamo x > 1. Allora g(x) = x2 > 1 > 0 e quindif (g(x)) = 1.

Studiare per casa (g f )(x) = g(f (x)).


Funzioni composte: monotonia.

Teorema

Siano f : D ⊂ R→ R, g : E ⊂ R→ R con Im(f ) ⊆ Dom(g) = E.

Se f crescente, g crescente allora g f e crescente.

Se f crescente, g decrescente allora g f e decrescente.

Se f decrescente, g decrescente allora g f e crescente.

Se f decrescente, g crescente allora g f e decrescente.

Dimostrazione.

Dimostriamo il primo asserto. Se x1 > x2, essendo f crescente, f (x1) > f (x2).Siano y1 = f (x1) e y2 = f (x2). Allora essendo g crescente

g f (x1). = g(f (x1)) = g(y1) > g(y2) = g(f (x2)) = g f (x2),

cioe g f e crescente.


Funzioni composte: monotonia, esempio 1.

Esempio

Discutere la monotonia di F (x) = log(sinh(x3)).

Svolgimento.

Posto h(x) = log (x), g(x) = sinh(x), f (x) = x3, si vede subito che f , g , h sonofunzioni crescenti e che F (x) = (h (g f )) = h(g(f (x)). Inoltre

G := g f e crescente perche composizione di funzioni crescenti;

F = h (g f ) = h G, dove e definita, e crescente perche composizionedi funzioni crescenti.

Essendo x3 dispari, sinh dispari, G(x) = sinh (x3) e dispari essendo

G(−x) = sinh ((−x)3) = sinh (−(x3)) = − sinh (x3) = −G(x)

Essendo G(x) ≥ 0 per x ≥ 0 ne consegue, dalla disparita che G(x) ≤ 0per x ≤ 0 e che quindi log(sinh(x3)) e definita esclusivamente per x > 0.

Quindi F e una funzione crescente (per x > 0).



Esempio

Discutere la monotonia di F (x) = 1log (x)

.

Svolgimento.

Posto g(x) = 1x

, f (x) = log (x), si vede subito che g e una funzionedecrescente in (−∞, 0) e (0,+∞) ed f crescente in (0,+∞), e cheF (x) = (g f ) = g(f (x)).

Quindi F e una funzione decrescente in (0, 1) e (1,+∞).

Possiamo dire che F e decrescente in R+\0, 1? Qualche problema traimmagini e domini?

Nota.

Nell’esempio bisogna aver cura dei domini. Infatti Im(f ) = R+ che noncontenuto in Dom(g) = R\0. Ma se restringiamo il dominio di f a R+\1allora Im(f ) = R\0 = Dom(g).



−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−100

0

100

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−50

0

50

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−200

0

200

0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15−2

0

2x 10

4

Figura : Dall’alto in basso: 1/x , log(x), 1/ log(x) e zoom di 1/ log(x).


Funzioni invertibili e inverse.

Definizione (Funzione invertibile)

Una funzione f : D → f (D) e invertibile in D se e solo se per ogniy ∈ f (D) esiste uno e uno solo x ∈ D tale che f (x) = y.

Definizione (Funzione inversa)

Sia la funzione f : D → f (D) invertibile in D.

La funzione f −1 : f (D)→ D che associa ad ogni y ∈ f (D)l’elemento x ∈ D tale che f (x) = y si chiama funzione inversa di f.


Funzioni invertibili e inverse.

Figura : Dall’alto in basso: una funzione non invertibile e una invertibile.


Funzioni invertibili.

Definizione (Funzione identica)

La funzione Id : D → D tale che Id(x) = x si chiama funzioneidentica.

Nota.

Se la funzione f : D → f (D) e invertibile allora

f −1 f (x) = f −1(f (x)) = x , ∀x ∈ D

e quindi f −1 f = Id.

Se la funzione f : D → f (D) e invertibile allora

f f −1(y) = f (f −1(y)) = y , ∀y ∈ f (D).

Successivamente questa proprieta tornera utile in varie circostanze.Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 177/ 200

Funzioni invertibili.

Nota. (Funzioni pari e periodiche non sono invertibili)

Sia D ⊆ R un dominio simmetrico e f : D → R una funzionepari. Allora f non e invertibile.

Se e pari infatti f (x) = f (−x) ed essendo il dominiosimmetrico x ,−x ∈ D.

Sia f : R→ R una funzione periodica. Allora f non einvertibile.

Se e periodica di periodo T infatti f (x + T ) = f (x).


Funzioni iniettive e suriettive.

Definizione (Funzione iniettiva)

Una funzione f : D → E e iniettiva in D se e solo se per ognix1, x2 ∈ D, x1 6= x2 si ha che f (x1) 6= f (x2)

Nota.

La definizione di funzione iniettiva e equivalente a dire che sex1, x2 ∈ D, f (x1) = f (x2) allora x1 = x2.

La definizione di funzione iniettiva e equivalente a dire che perogni y ∈ f (D) esiste un unico x ∈ D tale che f (x) = y.

Una funzione invertibile deve essere iniettiva.


Funzioni iniettive e suriettive.

Definizione (Suriettiva)

Una funzione f : D → E e suriettiva se e solo se per ogni y ∈ E esiste x ∈ Dtale che f (x) = y.

Definizione (Biettiva)

Una funzione f : D → E si dice biettiva se e solo se iniettiva e suriettiva.

Nota.

Sia E = f (D). Allora f : D → E e sicuramente suriettiva perche, perdefinizione di immagine, per ogni y ∈ f (D) esiste x ∈ D tale chey = f (x). Quindi una funzione f : D → f (D) e biettiva se e solo seiniettiva.

Se E non coincide con f (D) quest’ultima affermazione non e vera.


Funzioni iniettive: esempi.

Esempio

La funzione f (x) = x2 non e iniettiva in R. Infattif (−1) = f (1) = 1.

Esempio

La funzione f (x) = x3 e iniettiva in R. Infatti se f (x1) = f (x2)allora x3

1 = x32 e i cubi di due numeri sono uguali se e solo se i

numeri coincidono.


Funzioni invertibili: le funzioni monotone.

Teorema

Sia f : D ⊂ R→ f (D) ⊆ R strettamente monotona. Allora f : D → f (D) einvertibile in D.

Dimostrazione.

Sia f : D ⊆ R→ R strettamente crescente e quindi

x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2).

Dimostriamo che e iniettiva, cioe x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2). Visto che x1, x2

sono arbitrari e distinti, possiamo supporre x1 < x2. Ma allora essendocrescente f (x1) < f (x2) e di conseguenza f (x1) 6= f (x2).

La dimostrazione del caso in cui f e strettamente decrescente e analoga (percasa).


Funzioni invertibili: le funzioni monotone.

Teorema

Sia f : D ⊆ R→ f (D) ⊆ R e strettamente monotona allora f −1 : f (D)→ D estrettamente monotona.

Nota.

Se f : D ⊂ R→ R e invertibile, allora non e detto che f sia strettamentemonotona. Ad esempio si consideri

f (x) =

− 1

xse x < 0

x se x ≥ 0.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−100

−80

−60

−40

−20

0

20

Figura : Una funzione invertibile e non monotona.


Funzioni invertibili: le funzioni monotone. Esempio 1.

Esempio

Sia a > 1. La funzione f (x) = ax e tale che f : R→ (0,+∞). E’ strettamentemonotona e invertibile perche se ax1 = ax2 allora x1 = x2. L’inversaf −1 : (0,+∞)→ R e per definizione

f −1(y) = loga(y).

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

200

400

600

800

1000

1200

Figura : La funzione f (x) = 2x .



Esempio

La funzione f (x) = x3 e tale che f : R→ R. E’ strettamentecrescente e invertibile perche se x3

1 = x32 allora x1 = x2. L’inversa

f −1 : (0,+∞)→ R e per definizione

f −1(y) = 3√

y .

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−1000

−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

1000

Figura : La funzione f (x) = x3 in [−10, 10].



Esempio

La funzione f (x) = x2 e

non e invertibile se f : R→ R (funzione pari!);

e invertibile se f : R+ → R+ ed e f −1(y) =√

y.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Figura : La funzione f (x) = x2 in [−10, 10].


Funzioni invertibili: grafico e bisettrice.

Nota. (Grafico funzioni inverse)

Osserviamo che

(x0, y0) ∈ graf(f )⇔ f (x0) = y0.

Inoltre, visto che se y0 = f (x0) allora f −1(y0) = x0 (altrimenti f −1

non e definita), il grafico dell’inversa f −1 e caratterizzato da tuttele coppie (y0, x0) con y0 = f (x0). Cosı ,

(x0, y0) ∈ graf(f )⇔ (y0, x0) ∈ graf(f −1).

Questo comporta che i grafici delle funzioni f , f −1, sonosimmetrici rispetto alle bisettrici del primo e terzo quadrante.


Funzioni invertibili: il suo grafico.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

5

6

7

8

Figura : La funzione f (x) = ex in [0.05, 2] (nero), f −1(y) = loge(y)(rosso). In blue la bisettrice del primo e del terzo quadrante.



−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura : La funzione f (x) = x3 in [−1, 1] (nero), f −1(y) = 3√

y (rosso).In blue la bisettrice del primo e del terzo quadrante.



La funzione f : [0, 1]→ [0, 1] con f (x) = x2 e invertibile e la suainversa e f −1(y) =

√y .

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura : La funzione f (x) = x2 in [0, 1] (nero), f −1(y) =√

y (rosso). Inblue la bisettrice del primo e del terzo quadrante.


Funzioni trigonometriche e le loro inverse.

La funzione f (x) = sin (x), se considerata come f : R→ R non einvertibile (in quanto periodica).

Se invece la si restringe all’intervallo (di periodicita )[−π/2, π/2], cioe come f : [−π/2, π/2]→ [−1, 1], essendostrettamente crescente e Im(f ) = [−1, 1], risulta invertibile.

La sua inversa si chiama arcoseno ed e denotata con arcsin(x)(talvolta arcsen(x)).

Per definizione di inversa, si ha chef −1 : [−1, 1]→ [−π/2, π/2].

Per definizione, per x ∈ [−π/2,+π/2], arcsin (sin (x)) = x .

Per definizione, per y ∈ [−1, 1], sin (arcsin (y)) = y .

Si mostra chearcsin(−x) = − arcsin(x)

cioe che arcsin e una funzione dispari.



−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura : La funzione f (x) = sin (x) in [−π/2, π/2] (nero),f −1(y) = arcsin y (rosso). In blue la bisettrice del primo e del terzoquadrante.



Nota.

Cosa succede se invece di prendere quale intervallo di periodicita[−π/2, π/2] considero un altro intervallo in cui sin (x) e monotona?Supponiamo si consideri f (x) = sin (x) come funzionef : [π/2, 3π/2]→ [−1, 1]. Sicuramente f e invertibile, ma il valoredell’inversa sara in [π/2, 3π/2] e non in [−π/2, π/2].

−2 −1 0 1 2 3 4 5−2

−1

0

1

2

3

4

5

Figura : La funzione f (x) = sin (x) in [π/2, 3π/2] (nero), f −1(y) (rosso).In blue la bisettrice del primo e del terzo quadrante.



La funzione f (x) = cos (x), se considerata come f : R→ R non einvertibile (in quanto periodica).

Se invece la si restringe all’intervallo (di periodicita ) [0, π],cioe come f : [0, π]→ [−1, 1], essendo strettamentedecrescente e Im(f ) = [−1, 1], risulta invertibile.

La sua inversa si chiama arco coseno ed e denotata conarccos(x) (talvolta acos(x)).

Per definizione di inversa, si ha che f −1 : [−1, 1]→ [0, π].

Per definizione, per x ∈ [0, π], arccos (cos (x)) = x .

Per definizione, per y ∈ [−1, 1], cos (arccos (y)) = y .



−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Figura : La funzione f (x) = cos (x) in [0, π] (nero), f −1(y) = arccos y(rosso). In blue la bisettrice del primo e del terzo quadrante.



La funzione f (x) = tan (x), se considerata come f : R→ R non einvertibile (in quanto periodica).

Se invece la si restringe all’intervallo (di periodicita )[−π/2,+π/2], cie come f : [−π/2,+π/2]→ R, essendostrettamente crescente e Im(f ) = R, risulta invertibile.

La sua inversa si chiama arco tangente ed e denotata conarctan(x) (talvolta atan(x)).

Per definizione di inversa, si ha che f −1 : R→ [−π/2,+π/2].

Per definizione, per x ∈ [−π/2,+π/2], arctan (tan (x)) = x .

Per definizione, per y ∈ R, tan (arctan (y)) = y .



−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Figura : La funzione arctan (y) in [−10, 10]


Funzioni trigonometriche e le loro inverse: esercizio.

Esercizio

Dire per quali valori di x e definita

f (x) = arccos (x3 − 8).

La funzione e definita per

|x3 − 8| ≤ 1⇔ −1 ≤ x3 − 8 ≤ 1.

Con facili conti si ottiene che devono valere entrambe lex3 ≤ 9x3 ≥ 7

e quindi dalla monotonicita stretta di x3, per 3√

7 ≤ x ≤ 3√

9.


Esercizio 1 sui domini di una funzione

Esercizio

Calcolare il dominio di f (x) = cosh(log |x2 − 1|).

Essendo R il dominio naturale di cosh, basta sia definitalog |x2 − 1| e quindi che sia |x2 − 1| > 0. Essendo |a| = 0 se e solose a = 0, basta x2 − 1 6= 0, cioe x 6= ±1.


Esercizio 2 sui domini di una funzione

Esercizio

Calcolare il dominio di f (x) = arcsin(e|x+2|

x ).

La funzione arcsin e definita per argomenti y tale che |y | ≤ 1. Di conseguenzabisogna richiedere che

|e|x+2|

x | ≤ 1ed essendo l’esponenziale di un numero sempre positivo, basta

e|x+2|

x ≤ 1.Essendo il logaritmo una funzione crescente, cio e vero se e solo se

log(e|x+2|

x ) ≤ log (1) = 0

cioe |x+2|x≤ 0, in quanto log(e

|x+2|x ) = |x+2|

x.

Essendo |x + 2| ≥ 0, cio e possibile se |x + 2| = 0 cioe x = −2, oppure x < 0.


Introduzione - UniPDalvise/IA_2016/SLIDES/INTRODUZIONE_1617/... · Annalisa Cesaroni, ......

Documents

Transcript of Introduzione - UniPDalvise/IA_2016/SLIDES/INTRODUZIONE_1617/... · Annalisa Cesaroni, ......