Massonnet

1

Metodo di ripartizione dei carichi: Guyon - Massonnet - Bareš

Corso Ponti 1 – Ass. Ing. Corrado Pecora

graticcio effettivo graticcio a maglie infinitesime equivalente

IMPALCATO A GRATICCIOElementi longitudinali → TRAVI

Elementi trasversali → TRAVERSI

Travi e traversi sono perpendicolari

IPOTESI

1) Il graticcio effettivo può essere sostituito da uno equivalente con maglie

infinitesime, avente le stesse rigidezze medie flessionali e torsionali

Inerzia flessionale

Inerzia torsionale

TRAVI (POUTRE) JP JT,P

TRAVERSI (ENTRETOISE) JE JT,E

2



2) L’impalcato si ritiene appoggiato sui bordi estremi (x=0 e x=L) e libero

sugli altri due (y=-b e y=b)

Analisi armonica nella direzione x

3) La ripartizione dei carichi fra le travi longitudinali (ripartizione trasversale),

per ogni condizione di carico, è la stessa che si avrebbe se i carichi

fossero distribuiti in senso longitudinale con legge (sinusoidale)

Sviluppo in serie troncato al 1° termine → errore ~ 2%

3



COEFFICIENTE DI RIPARTIZIONE TRASVERSALE- carico agente su una parallela all’asse x con eccentricità “e”

- carico ripartito con legge sinusoidale

- ipotesi di vincolo già descritte

la deformata ha forma di semionda di sinusoide

w(x,y) = w(y,e) sen(πx/L)

il rapporto k(y,e) = w(x,y)/w0(x) = w(y,e)/w0 è detto coefficiente di ripartizione

trasversale e consente di valutare la distribuzione delle sollecitazioni prodotte

dall’azione dei carichi sull’impalcato

nel caso di carico sinusoidale ripartito su tutta la larghezza 2b dell’impalcato p0(x) = p(x)/2b = p1 sen(πx/L)/2bla deformata si presenta cilindrica w0(x) = w0 sen(πx/L)

4



k(y,e) è indipendente dall’ascissa x

Tale parametro dipende da:

1) il parametro di irrigidimento

2) il parametro di torsione

3) l’eccentricità relativa e/b posizione del carico

4) l’ordinata relativa y/b posizione della trave longitudinale

4

E

P

Lb

ρρ

=ϑ

EP

EP

2 ρ⋅ργ+γ

=α

k(y,e) = k(e,y) TEOREMA DI MAXWELL

trave carico

ϑ<0.3 traversi infinitamente rigidi

5



Massonnet per evitare di valutare kα per ogni valore di α ha fornito la seguente relazione semiempirica

( )

(GUYON) isotropa piastra 1 per kk nulla torsionale rigidezza 0 per kk

kkkk

1

0

010

=α→

=α→

α⋅−+=α

Metodo caratterizzato dall’uso di tabelleK0

y/e -1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00-1,00 4,6376 3,4626 2,3904 1,4672 0,6944 0,0460 -0,5170 -1,0350 -1,5388-0,75 3,4626 2,7877 2,1034 1,4522 0,8625 0,3358 -0,1425 -0,5933 -1,0350-0,50 2,3904 2,1034 1,7920 1,4214 1,0223 0,6237 0,2359 -0,1425 -0,5170-0,25 1,4672 1,4522 1,4214 1,3348 1,1509 0,9019 0,6237 0,3358 0,04600,00 0,6944 0,8625 1,0223 1,1509 1,2064 1,1509 1,0223 0,8625 0,69440,25 0,0460 0,3358 0,6237 0,9019 1,1509 1,3348 1,4214 1,4522 1,46720,50 -0,5170 -0,1425 0,2359 0,6237 1,0223 1,4214 1,7920 2,1034 2,39040,75 -1,0350 -0,5933 -0,1425 0,3358 0,8625 1,4522 2,1034 2,7877 3,46261,00 -1,5388 -1,0350 -0,5170 0,0460 0,6944 1,4672 2,3904 3,4626 4,6376

K1y/e -1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

-1,00 2,0184 1,6715 1,3586 1,0943 0,8814 0,7158 0,5902 0,4944 0,4157-0,75 1,6715 1,5147 1,3215 1,1208 0,9392 0,7875 0,6670 0,5727 0,4944-0,50 1,3586 1,3215 1,2594 1,1425 1,0031 0,8708 0,7583 0,6670 0,5902-0,25 1,0943 1,1208 1,1425 1,1339 1,0646 0,9671 0,8708 0,7875 0,71580,00 0,8814 0,9392 1,0031 1,0646 1,0957 1,0646 1,0031 0,9392 0,88140,25 0,7158 0,7875 0,8708 0,9671 1,0646 1,1339 1,1425 1,1208 1,09430,50 0,5902 0,6670 0,7583 0,8708 1,0031 1,1425 1,2594 1,3215 1,35860,75 0,4944 0,5727 0,6670 0,7875 0,9392 1,1208 1,3215 1,5147 1,67151,00 0,4157 0,4944 0,5902 0,7158 0,8814 1,0943 1,3586 1,6715 2,0184

θ = 0,46900

-2,0000

-1,0000

0,0000

1,0000

2,0000

3,0000

4,0000

5,0000

-1,0

0

-0,5

0

0,00

0,50

1,00

y/b

k α

e/b=-1.00e/b=-0.75e/b=-0.50e/b=-0.25e/b=+0.00e/b=+0.25e/b=+0.50e/b=+0.75e/b=+1.00

α = 0,03929

6



∑

∑

=

=α⋅

⋅= n

1ii

n

1iii

mediox

p

)e,y(kpMM

∑=

αμ⋅⋅=n

1iiiy )e,y(pbM

∑=

ατ⋅⋅⋅γ+γ

γ⋅−=

n

1iii

EP

Pxy )e,y(pb2M

∑=

ατ⋅⋅⋅γ+γ

γ⋅−=

n

1iii

EP

Eyx )e,y(pb2M

∑∑

∑=

α

=

=α

μ⋅⋅π⋅⋅

ργ

+⋅

⋅=n

1iii

E

En

1ii

n

1iii

medio xx )e,y(pbp

)e,y(kpVV

l

∑∑=

α=

α τ⋅⋅π⋅⋅

γ+γγ⋅

+κ⋅=n

1iii

EP

Pn

1iiiy )e,y(pb2)e,y(pV

l

Riepilogo delle principali relazioniMomento flettente nella trave

Momento flettente nel traverso

Momento torcente nella trave

Momento torcente nel traverso

Taglio nella trave

Taglio nel traverso

7



Esempio numericoDeterminare gli effetti della ripartizione trasversale con il metodo di Massonnet, valutando i momenti flettenti e torcenti e i tagli nelle travi e nei traversi

8



Valutare α e ϑ

L=22.30m2b = 11.50mb1 = 1.00m

Momento d’inerzia

flessionale

EP

EP

2 ρ⋅ργ+γ

=α4

E

P

Lb

ρρ

=ϑ

9



Momento d’inerzia

torsionale

In genere il problema legato alla determinazione dell’inerzia torsionale non èdato dalla determinazione di β (che si può assumere pari a 1/3), quanto dalla trasformazione dei rettangoli in aree equivalenti in modo da ricondursi in sezioni a o T, in cui il flusso delle tensioni tangenziali è noto.

43

1k

3kkkP,T cm 66,520241saJ =β= ∑

=

10



Rigidezza torsionale per sezioni composte da rettangoli allungati

11



SEZIONE COMPOSTA DA 3 RETTANGOLI

GEOMETRIAnr. Base [m] Altezza [m]

1 4,000 0,2002 0,200 1,0003 2,000 0,300

INERZIA FLESSIONALEA = 1,60000 m^2 areaSx = 1,03000 m^3 momento staticoxG = 0,000 m ascissa baricentroyG = 0,644 m ordinata baricentroIx = 1,22333 m^4 inerzia flessionale asse xxIxG = 0,56027 m^4 inerzia flessionale asse GG

INERZIA TORSIONALEGeometria per calcolo inerzia torsionale

nr. sk [m] ak [m] betak1 0,200 4,000 0,32292 0,200 1,000 0,29153 0,300 2,000 0,3020

Jt = 0,02897 m^4 inerzia torsionale

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

4,500

-2,5

00

-2,0

00

-1,5

00

-1,0

00

-0,5

00

0,00

0

0,50

0

1,00

0

1,50

0

2,00

0

2,50

0

Rettangolo 1Rettangolo 2Rettangolo 3Baricentro

∑=

⋅⋅=3

1

3

kkkkt asJ β

12



EC2

DM 2008

Shear lag Airy

13



Momento d’inerzia

flessionale

Momento d’inerzia

torsionale4

2

1k

3kkkE,T cm 33,1433053saJ =β= ∑

=

14



15



∑

∑

=

=α⋅

⋅= n

1ii

n

1iii

mediox

p

)e,y(kpMM

Momento flettente nella trave

1) Sviluppo in serie di Fourier del carico

2) Calcolo delle sollecitazioni (Mx) relative ad ogni condizione di carico

3) Definizione ed uso della funzione kα

4) Calcolo di Mx sull’impalcato

Normativa di riferimentoD. M. LL. PP. 4/5/1990 “Aggiornamento delle norme tecniche per la progettazione, la esecuzione e il collaudo dei ponti stradali”

Differenze con D. M. 2008: carichi mobili, coefficiente dinamico, larghezza corsia 3,50m

16





3) Definizione della funzione kα


17



18



19



-500,0

0,0

500,0

1000,0

1500,0

2000,0

2500,0

3000,0

3500,0

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 xM(x

)

M _Fourier

M _effettivo

M _corretto

20







21



NORMATIVA

L=22,30m

22







23



-2,0000

-1,0000

0,0000

1,0000

2,0000

3,0000

4,0000

5,0000

-1,0

0

-0,5

0

0,00

0,50

1,00

k α

θ = 0,46900 α = 0,03929K0

e/y -1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,001,00 -1,5388 -1,0350 -0,5170 0,0460 0,6944 1,4672 2,3904 3,4626 4,6376

K1e/y -1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

1,00 0,4157 0,4944 0,5902 0,7158 0,8814 1,0943 1,3586 1,6715 2,0184

e/y -1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,001,00 -1,1514 -0,7319 -0,2976 0,1788 0,7315 1,3933 2,1859 3,1076 4,1184

( ) α⋅−+=α 010 KKKK

Fissata l’ordinata y,

ossia la trave

longitudinale

TABELLE

BIBLIOGRAFIA

Le calcul des grillagesde poutres et dalles

orthotropesLarghezza impalcato

(y/b)

24







25



Utilizzo della funzione kαquale linea di influenza

26



11 travi

∑

∑

=

=α⋅

⋅= n

1ii

n

1iii

mediox

p

)e,y(kpMM

(162.2419+324.4838+43.5129)/11 =

48.2035

27



28



29



Momento flettente nel traverso

∑=

αμ⋅⋅=n

1iiiy )e,y(pbM

( ) α⋅μ−μ+μ=μ α 010

30



31



Momento torcente nella trave

∑=

ατ⋅⋅⋅γ+γ

γ⋅−=

n

1iii

EP

Pxy )e,y(pb2M

α=0

rigidezza torsionale nulla

32



33



Momento torcente nel traverso

∑=

ατ⋅⋅⋅γ+γ

γ⋅−=

n

1iii

EP

Eyx )e,y(pb2M

34



Taglio nella trave

∑∑

∑=

α

=

=α

μ⋅⋅π⋅⋅

ργ

+⋅

⋅=n

1iii

E

En

1ii

n

1iii

medio xx )e,y(pbp

)e,y(kpVV

l

35



Taglio nel traverso

∑∑=

α=

α τ⋅⋅π⋅⋅

γ+γγ⋅

+κ⋅=n

1iii

EP

Pn

1iiiy )e,y(pb2)e,y(pV

l

36



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