Marco Bortoluzzi

Sappiamo che una grandezza è una proprietà che può essere misurata, si può cioè assegnarle un valore seguito da una unità di misura e la misurazione si può eseguire con uno strumento di misura appropriato.

Esempi di grandezze: lunghezza, tempo, temperatura, massa, peso, velocità …

Non sono grandezze: la bellezza, la bontà,la simpatia …

Una grandezza è costante se il suo valore rimane invariato, cioè non cambia (ad es. l’altezza di una casa, la distanza tra due luoghi, il peso di un oggetto …)

Una grandezza è variabile se il suo valore varia, si modifica, quindi cambia (ad es. la temperatura esterna, indice della borsa, soldi incassati in un supermercato …)

Quando una grandezza varia, il suo variare può dipendere da un’altra grandezza anch’essa variabile.

Tra le due grandezze si stabilisce un legame, in quanto una di esse DIPENDE dall’altra e questo legame si chiama FUNZIONE

Ad esempio: la temperatura esterna dipende dall’ora del giorno la temperatura esterna è funzione dell’ora del giorno, il peso di un oggetto è funzione del suo volume …

Se una grandezza varia e il suo “variare” non è casuale, ma dipende da quello di un’altra grandezza (e quindi una è funzione dell’altra) allora quella che “dipende” si chiama variabile dipendente y mentre la grandezza che varia ma in modo autonomo si chiama variabile indipendente x.

Una funzione in cui y dipende da x si indica:

y = f(x) [y è funzione di x, y varia al variare di x,

…]

Una funzione si dice EMPIRICA se non segue leggi matematiche: la variabile dipendente y si ricava mediante rilevazione di dati (facendo un esperimento, misurando i valori …) .

Esempi di funzioni empiriche sono - la temperatura in funzione del mese dell’anno, - i soldi incassati dal negozio in funzione del giorno, - la quantità di pioggia caduta in funzione del mese dell’anno considerato …

Una funzione si dice MATEMATICA se segue leggi matematiche: la variabile dipendente y si ricava mediante operazioni matematiche che si fanno sulla variabile indipendente x.

Ad esempio il perimetro di un quadrato (y) è funzione del lato (è sempre il quadruplo), la spesa per dei quaderni del costo di 2 euro l’uno in funzione del numero di quaderni comprati (sempre il doppio del numero dei quaderni …)

y = 2x significa che “il valore di y dipende dalla x nel senso che y è il doppio del valore corrispondente di x”

y = 3x +2 “il valore di y si ottiene facendo il triplo di x e poi aggiungendo 2”

y = 4 / x “il valore di y si ottiene dividendo il numero 4 per il valore di x corrispondente”

Ho la funzione y = f(x) Ad esempio y = 2x +1

Disegno il I quadrante del piano cartesiano

Costruisco la tabella dei valori

Scelgo alcuni valori di x (di solito in modo opportuno) e ricavo i valori di y corrispondenti

A questo punto rappresento i punti nel piano e li unisco … ottenendo il grafico della funzione.

y

x

Rappresentazione grafica della funzione matematica y = 2x +1

Si vede che unendo i punti ottenuti dalla tabella dei valori si ottiene una semiretta che parte dal punto (0,1)

Due grandezze sono direttamente proporzionali quando:◦ se una raddoppia anche l’altra raddoppia, se una

triplica anche l’altra triplica, se una si dimezza anche l’altra si dimezza …

◦ in questo caso il rapporto tra le due grandezze è sempre uguale, è costante cioè k = y / x

◦ In questo caso k si chiama “costante di proporzionalità diretta”

◦ la funzione è y = k·x e il grafico è quello di una semiretta che parte dall’origine degli assi O (0,0)

Il perimetro di un triangolo equilatero è direttamente proporzionale al lato del triangoloy = 3∙x dove y (perimetro) e x (lato)

Se raddoppio il lato il perimetro raddoppia es. se il lato è 3cm il perimetro è12 cm; se il lato è 6 cm il perimetro è 24 cm.

La spesa per l’acquisto di giornalini in funzione del numero di giornalini acquistati (se un giornalino costa ad es. 6 €)y = 6∙x dove y (spesa) e x (numero giornalini)

Se i giornali sono 4 la spesa è 24€; se sono 8 la spesa è 48€

Esempi di grandezze direttamente proporzionali

Si vede che se aumenta x, aumenta anche y nel senso che se x raddoppia y raddoppia, se x quadruplica y quadruplica (es. se x va da 2 a 4 , y va da 6 a 12 …)

Si osserva che per ogni coppia di

valori il rapporto tra y e x è sempre lo stesso, è costante:

k = y/x quindi k = 3Allora la funzione è

y = 3xe il grafico è quello di una semiretta che parte da O(0;0)

y

x

Due grandezze sono inversamente proporzionali quando:◦ se una raddoppia l’altra si dimezza, se una triplica

l’altra diventa un terzo, se una diventa un quinto l’altra diventa cinque volte di più e così via…

◦ in questo caso il prodotto tra le due grandezze è sempre uguale, è costante cioè h = y ∙ x

◦ In questo caso h si chiama “costante di proporzionalità inversa”

◦ la funzione è y = h/x e il grafico è quello di un ramo di iperbole che scende (se x aumenta y diminuisce) e tende a toccare entrambi gli assi senza raggiungerli

La base e l’altezza di un rettangolo sono inversamente proporzionali se si vuole mantenere l’area uguale.Ad esempio un rettangolo di area 60 m2 può avere base 1 cm e altezza 60 cm, ma se raddoppio la base a 2 cm l’altezza deve dimezzarsi 30 cm, se triplico la base 3 cm l’altezza diventa un terzo 20 cm (1∙60, 2∙30, 3∙20 ..)

Il numero di giorni per costruire un muretto è funzione del numero di operai secondo una proporzinalità inversa: se 1 operaio ci impiega 12 giorni, 2 operai 6 giorni…

Il tempo impiegato per andare da un posto ad un altro è funzione della velocità: se raddoppio la velocità il tempo diventa la metà, se dimezzo la velocità il tempo diventa il doppio …

Esempi di grandezze inversamente proporzionali

Si vede che se aumenta x, diminuisce y nel senso che se x raddoppia y si dimezza, se x triplica y diventa un terzo (es. se x va da 1 a 2, y va da 12 a 6 …)Si osserva che per ogni coppia di

valori il prodotto tra y e x è sempre lo stesso, è costante:

h = y·x quindi h= 12Allora la funzione è

y = 12/xe il grafico è quello di un ramo di iperbole )

y

x

Le funzioni quadratiche sono funzioni in cui il valore di y dipende dal quadrato di x , quindi da x2

La funzione quindi avrà questa forma:

y = a ∙ x2

dove a è un numero intero o frazionario …Esempio: area di un quadrato in funzione del lato y = x2 (l=3cm, A= 9cm2; l=4 cm, A = 16 cm2…) Si ottiene una curva detta arco di parabola.

Si vede che se aumenta x, y aumenta con il quadrato di x

In questo caso

y = x2

e il grafico è quello di un

ARCO DI PARABOLA

y

x