MA311 - Calculo III

Primeiro semestre de 2020

Turma B – Curso 51

Ricardo M. Martins

rmiranda@unicamp.br

http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda

Aula 15: Transformada de Laplace (Delta de Dirac)

Funcao impulso e Delta de Dirac

A funcao degrau, uc(t), que vimos na aula passada, foi introduzida

por Oliver Heaviside, no estudo de circuitos eletricos.

O objetivo era ter uma funcao voltagem (ou um switch), com

valores 0 (desligado) e 1 (ligado).

Iremos estudar agora funcoes impulso, que sao funcoes que sao

quase sempre 0, mas que assumem valores diferentes de zero (e

grandes) em pequenos intervalos.

O caso extremo disto e a “funcao” Delta de Dirac, que assume

valor ∞ em um unico ponto e e nula nos demais.

A “funcao” Delta de Dirac nao e uma funcao, e uma distribuicao.

Nao estudaremos distribuicoes neste curso.

Funcao impulso e Delta de Dirac

Paul Dirac, que ganhou o Nobel de Fısica junto com Schrodinger

(aquele do gato), introduziu o conceito (teorico) de “funcao” δ

para representar este “rapido impulso em um curto intervalo de

tempo”, satisfazendo:

δ(x) = 0 se x 6= 0, δ(0) =∞,∫ ∞−∞

δ(x) dx = 1.

A relacao entre a delta de Dirac e a funcao degrau e a seguinte:1

u0(t) =

∫ x

−∞δ(t) dt.

Para mais detalhes, veja “A funcao delta de Dirac”, do Prof. Jose

Ruidival dos Santos Filho.

1Muito cuidado, muitas aspas aqui!!!

Funcao impulso e Delta de Dirac

A funcao impulso dτ (t), usada para “aproximar” a funcao δ, e

definida por

dτ (t) =

1

2τ, −τ < t < τ

0, |t| ≥ τ.

Note que:

# enquanto τ fica pequeno (pense em τ → 0+), a funcao dτ (t)

assume o valor de 0 em um conjunto cada vez maior

(−∞,−τ ] ∪ [τ,∞) e

# assume um valor cada vez maior (1/2τ) em um intervalo

pequeno (−τ, τ).

Funcao impulso e Delta de Dirac

Funcao impulso e Delta de Dirac

As integrais destas funcoes de −∞ ate ∞ sempre resultam em 1:∫ ∞−∞

dτ (t) dt = 2τ · (1/2τ) = 1.

Assim ∫ ∞−∞

dτ (t) dt = 1 e limτ→0

dτ (t) = 0.

Alem disto, “d0(t) = δ(t)”.

Funcao impulso e Delta de Dirac

Para problemas que envolvem variacao rapida, e comum que o lado

direito dependa da funcao delta de Dirac, ou de funcoes impulso,

ou seja, equacoes da forma

ay ′′ + by ′ + cy = g(t),

em que g(t) e uma funcao nula exceto num pequeno intervalo

(t0 − τ, t0 + τ), onde ela tem valor muito grande.

Por exemplo, poderıamos ter

g(t) = dτ (t − t0) ou g(t) = δ(t − t0).

A solucao desta EDO sera feita por meio da transformada de

Laplace.

Funcao impulso e Delta de Dirac

Vamos definir a transformada de Laplace da funcao delta de Dirac

utilizando que ela e limite da funcao impulso.

Seja t0 > 0 e defina

L{δ(t − t0)} = limτ→0L{dτ (t − t0)}.

Vamos calcular

L{dτ (t − t0)}

e depois vamos fazer o limite

limτ→0L{dτ (t − t0)}.

Funcao impulso e Delta de Dirac

Temos

L{dτ (t − t0)} =

∫ ∞0

e−stdτ (t − t0) dt

=

∫ t0+τ

t0−τe−stdτ (t − t0) dt

=1

2τ

∫ t0+τ

t0−τe−st dt

=1

2sτe−st0

(esτ − e−sτ

)=

sinh(sτ)

sτe−st0

Funcao impulso e Delta de Dirac

Como

L{dτ (t − t0)} =sinh(sτ)

sτe−st0

temos

L{δ(t − t0)} = limτ→0

sinh(sτ)

sτe−st0

(l’Hopital) = limτ→0

s cosh(sτ)

se−st0

= e−st0

Logo

L{δ(t − t0)} = e−st0 .

Fazendo t0 → 0 obtemos L{δ(t)} = 1.

Funcao impulso e Delta de Dirac

Observacao

Se definirmos∫ ∞−∞

δ(t)f (t) dt = limτ→0

∫ ∞−∞

dτ (t − t0)f (t) dt,

como∫ ∞−∞

dτ (t−t0)f (t) dt =1

2π

∫ t0+τ

t0−τf (t) dt =

1

2τ·2τ ·f (t∗) = f (t∗),

onde t∗ ∈ (t0 − τ, t0 + τ). Na ultima igualdade, usamos o TVM

para integrais. Fazendo τ → 0 teremos t∗ → t0, logo∫ ∞−∞

δ(t − t0)f (t) dt = f (t0).

Funcao impulso e Delta de Dirac

Exemplo (Boyce)

Vamos encontrar as solucoes do PVI

2y ′′ + y ′ + 2y = δ(t − 5), y(0) = 0, y ′(0) = 0.

Tomando a transformada de Laplace e isolando Y (s) = L{y(t)},obtemos

Y (s) =e−5s

2s2 + s + 2.

Calculando transformada inversa temos

y(t) =2√15

u5(t)e−(t−5)/4 sen

(√15(t − 5)

4

).

Funcao impulso e Delta de Dirac

Note que se a equacao do exemplo anterior fosse homogenea

2y ′′ + y ′ + 2y = 0, y(0) = 0, y ′(0) = 0,

a solucao seria a funcao nula. O pulso enorme que acontece em

t = 5 pela presenca da funcao δ faz com que a solucao nao seja

nula: ela inicia um pico logo apos t = 5 e depois decai para zero:

Funcao impulso e Delta de Dirac

ExercıcioResolva o PVI

y ′′ + 2y ′ + 3y = sen(t) + δ(t − 3π)

e compare a solucao com a do PVI

y ′′ + 2y ′ + 3y = sen(t),

ambos com condicoes iniciais y(0) = y ′(0) = 0.

ExercıcioVarios exercıcios do Boyce estao no site! Consulte-os.