UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE FISICA

BACHARELADO EM FISICA

Camila Pereira Ramos

Expansao do Universo e geracao de massa para aspartıculas elementares

Natal-RN10 de Junho

Camila Pereira Ramos

Expansao do Universo e geracao de massa para aspartıculas elementares

Monografia de Graduacao apresentada ao Departamento

de Fısica do Centro de Ciencias Exatas e da Terra da

Universidade Federal do Rio Grande do Norte como re-

quisito parcial para a obtencao do grau de bacharel em

Fısica.

Orientador:

Prof. Dr. Farinaldo da Silva Queiroz

Universidade Federal do Rio Grande do Norte — UFRN

Departamento de Fısica — DF

Natal-RN

10 de Junho

Ramos, Camila Pereira. Expansão do Universo e geração de massa para as partículaselementares / Camila Pereira Ramos. - 2019. 37f.: il.

Monografia (Bacharelado em Física) - Universidade Federal doRio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra,Departamento de Física. Natal, 2019. Orientador: Farinaldo da Silva Queiroz.

1. Física - Monografia. 2. Mecanismo de Higgs - Monografia.3. Modelo padrão - Monografia. 4. Quebra espontânea de simetria- Monografia. 5. Partículas elementares - Monografia. I.Queiroz, Farinaldo da Silva. II. Título.

RN/UF/CCET CDU 53

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRNSistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET

Elaborado por Joseneide Ferreira Dantas - CRB-15/324

Monografia de Graduacao sob o tıtulo Expansao do Universo e geracao de massa para

as partıculas elementares apresentada por Camila Pereira Ramos e aceita pelo Departa-

mento de Fısica do Centro de Ciencias Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte, sendo aprovada por todos os membros da banca examinadora abaixo

especificada:

Prof. Dr. Farinaldo da Silva Queiroz

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

IIP/DF

Prof. Dr. Leo Gouvea Medeiros

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

ECT/DF

Dr. Jamerson Gillis Batista Rodrigues

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Departamento de Fısica

Natal-RN, 10 de Junho

i

Agradecimentos

Ao meu orientador Farinaldo pela motivacao, discussoes e ensinamentos.

ii

Resumo

O mecanismo de Higgs e essencial na construcao do Modelo Padrao por explicar a

origem das massas das partıculas elementares que compoem o modelo. Para que possamos

aborda-lo de maneira pedagogica iremos primeiramente fornecer um contexto historico

para a quebra espontanea de simetria dentro de um universo em expansao. Em seguida,

demonstraremos uma relacao entre simetria e conservacao de corrente eletrica atraves

do estudo das teorias de gauge abeliana e nao-abeliana. Por fim, introduziremos um

modelo de quebra espontanea de simetria que guiara ate o cenario do Modelo Padrao das

interacoes eletrofracas, que se baseia na simetria SU(2)L ⊗ U(1)Y , gerando massa para

bosons de gauge e para os fermions.

Palavras-chave: Mecanismo de Higgs, Modelo Padrao, Quebra Espontanea de Sime-

tria, Partıculas Elementares.

iii

Abstract

The Higgs mechanism is essential in the construction of the Standard Model to explain

the origin of the elementary particles masses of the model. We will provide a historical

context to the spontaneous symmetry breaking in an expanding Universe to approach the

Higgs mechanism in a pedagogical way. In sequence, we will show a relation between

symmetry and electrical current conservation through the study of the abelian and non-

abelian gauge theories. Finally, we will introduce a spontaneous symmetry breaking that

will guide to the Standard Model of Electroweak Interactions scenario, which is based on

the SU(2)L ⊗ U(1)Y symmetry, generating mass to the gauge bosons and the fermions.

Keywords :Higgs Mechanism, Standard Model, Spontaneous Symmetry Breaking, Ele-

mentary Particles.

iv

Lista de Figuras

1.1 Evolucao do Universo contendo radiacao e materia. . . . . . . . . . . . . . 2

3.1 Esboco do potencial V (φ) = 12µ2(φ∗φ) + 1

4λ(φ∗φ)2 em funcao de φ1 e φ2

para dois diferentes valores de µ2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

v

Conteudo

Agradecimentos i

Resumo ii

Abstract iii

1 Introducao 1

2 Teoria de gauge 4

2.1 Ideia de invariancia de gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Invariancia Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Invariancia Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.1 Grupos nao-Abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Quebra espontanea de simetria 11

4 Mecanismo de Higgs no Modelo Padrao 16

4.1 QES no Modelo Padrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Massa para os fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3 Termos cineticos para os bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.4 O boson de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 Conclusao 27

1

Capıtulo 1

Introducao

Neste trabalho iremos estudar como as partıculas elementares adquiriram massa, o

que se deu por uma transicao de fase em um perıodo onde a temperatura do Universo e

da ordem de kBT ∼ 100 GeV, num tempo de t ∼ 10−10 segundos [5], quando a simetria

eletrofraca foi quebrada. Para tal, precisamos entender como era o Universo naquela

epoca.

A cosmologia moderna se baseia no preceito de que, em escalas suficientemente gran-

des, digamos centenas de Megaparsecs1, o Universo se parece o mesmo nao importa onde o

observador esteja nem para onde ele observa. Este e o princıpio cosmologico, e em outras

palavras ele afirma que o Universo e homogeneo e isotropico.

Outra caracterıstica do Universo descrita pela cosmologia e a expansao. Durante a

decada de 20, Edwin Hubble, ao relacionar a distancia entre as galaxias e nosso planeta

com a velocidade de recessao destas galaxias, observou um comportamento linear [1], i.e.,

um objeto se afasta com velocidade proporcional a distancia que o separa de nos.

A Lei de Hubble2 nos da uma boa descricao de como em media as galaxias se com-

portam.

Se as galaxias se afastam, podemos assumir que ha uma expansao no espaco-tempo, au-

mentando cada vez mais a distancia entre as galaxias. Partindo do princıpio cosmologico,

e razoavel dizer que essa expansao e universal e a atribuımos um fator de escala a(t),

l(t) = a(t)r, (1.1)

a distancia fixa r e chamada de coordenada comovel, e l(t) e o valor fısico da distancia

entre as galaxias. Este valor aumenta com o tempo gracas ao fator de escala a(t).

11Mpc ≈ 3, 26× 106 anos-luz.2A velocidade de recessao se relaciona com a distancia entre as galaxias na forma vvv = H0rrr, sendo H0

a constante de Hubble, o sobrescrito 0 nos informa seu valor medido atualmente

2

Observamos que as galaxias se afastam uma das outras conforme o tempo passa, entao

se voltarmos no tempo, elas estarao mais proximas umas das outras. Portanto, em um

tempo distante o suficiente no passado, tudo aquilo que compoe o Universo encontrava-se

unido, e este momento inicial e conhecido como Big Bang.

As equacoes de Friedmann [2], nos explicam como o Universo evolui:

H2 ≡(a

a

)2

=8πG

3ρ− κc2

a2, (1.2)

a

a= −4πG

3

(ρ+

3p

c2

)(1.3)

κ e a curvatura espacial3, ρ e a densidade, que depende do que o Universo e composto e

p e a pressao. A partir destas equacoes podemos obter a equacao do fluido [2] e com isto

basta a equacao de estado para determinar como o fator de escala evolui com o tempo.

Durante este trabalho, teremos em conta um Universo dominado por:

• Materia

Nesta classe se encaixa qualquer material que exerce pressao nula e portanto nao-relativıstica.

E uma boa aproximacao para descrever atomos quando o Universo esfriou.

• Radiacao

Entendemos por radiacao as partıculas relativıstica, que por sua alta velocidade exerce

pressao no Universo.

Radiação

Matéria

log(tempo)

log(densidade)

Figura 1.1: Evolucao do Universo contendo radiacao e materia.

Considerando o o perıodo no qual o Universo possui mais radiacao que materia4, esta

por sua vez obedece ao espectro de um corpo negro, podemos entao relacionar a densidade

com a temperatura

ρrc2 = σT 4 (1.4)

3Se κ = 0, temos um Universo plano; caso κ < 0, ele e hiperbolico e se κ > 0, o Universo e esferico.4Consideramos aqui uma situacao onde ha uma mistura entre as duas densidades (de radiacao e de

materia), assim como em [2].

3

sendo σ a constante de Stefan-Boltzmann. Neste cenario a temperatura do Universo sera

inversamente proporcional ao fator de escala, o que entra de acordo com a teoria do Big

Bang quente. O fator de escala e a taxa de expansao do Universo, assim, se o fator de

escala e muito pequeno, ou seja, o perıodo inicial do Universo, este tera uma temperatura

muito grande. Isto tudo caso o Universo esteja num perıodo no qual a quantidade de

radiacao e maior. Uma analise mais a fundo destas equacoes nos mostra que de fato o

Universo era dominado por radiacao inicialmente [2], como mostra o esquema na Figura

1.1.

Iniciaremos o corpo deste trabalho com o estudo das teorias de gauge abeliana e nao-

abeliana, que nao gera massa para as partıculas, mas nos levam a conservacao de corrente

eletrica e tambem as interacoes entre partıculas.

Em seguida, usaremos a simetria abeliana U(1) para introduzir a quebra espontanea

de simetria, o mecanismo que gera massa para bosons de gauge.

Finalizaremos entao com a quebra da simetria SU(2)L ⊗ U(1)Y , ou o mecanismo de

Higgs, mostrando como as partıculas elementares adquirem massa, concluindo assim o

objetivo deste trabalho.

4

Capıtulo 2

Teoria de gauge

Iniciaremos o corpo deste trabalho com um estudo acerca da teoria de gauge1. Uma in-

troducao ao assunto sera realizada inicialmente, mostrando a utilizacao desta ferramenta

no eletromagnetismo, onde a invariancia de gauge nos auxilia no calculo de campos ele-

tromagneticos.

A grande importancia deste topico se mantem em apresentar quais sao as consequencias

ao impor invariancia da densidade de lagrangiana sob as transformacoes global e local.

Transformacoes globais e locais, quando ditas invariantes, levam a conservacao de carga

e, adicionalmente, a invariancia por transformacoes locais gera as interacoes entre as

partıculas elementares [3].

Concluiremos o capıtulo expressando que, embora fundamental, a invariancia de gauge

nao e suficiente para gerar partıculas massivas.

2.1 Ideia de invariancia de gauge

Uma mudanca na configuracao e entao imposta e verificamos a forma com a qual a

teoria e afetada. Quando um sistema admite varias configuracoes que resultam em mesmos

resultados observaveis, temos uma invariancia de gauge. Isto demonstra a incapacidade

de descrever o sistema de maneira unica. Um exemplo famoso e encontrado durante o

estudo do Eletromagnetismo. A teoria de gauge e usada na Eletrodinamica Classica com

o objetivo de tornar o calculo dos campos eletrico e magnetico mais simples. Para nao

fugir muito do escopo do trabalho, iremos apenas revisar ligeiramente o uso da invariancia

de gauge. Consideremos as equacoes de Maxwell:

1A palavra gauge significa, em traducao literal, ”calibre”.

5

∇ · E =ρ

ε0(2.1) ∇ ·B = 0 (2.2)

∇× E = −∂B

∂t(2.3) ∇×B = µ0J + µ0ε0

∂E

∂t(2.4)

O divergente do campo magnetico e nulo, assim, podemos escrever o campo em termos

de um potencial vetor, de forma que a equacao (2.2) se mantenha inalterada:

B = ∇×A, (2.5)

pois ∇ · (∇×A) = 0. Inserindo na Lei de Faraday (eq. (2.3)), encontramos:

∇×(

E +∂A

∂t

)= 0. (2.6)

A expressao entre parentesis, por sua vez, pode ser escrita como o gradiente de um

escalar:

E +∂A

∂t= −∇V. (2.7)

Substituindo este resultado na Lei de Gauss (eq. (2.1))2,

∇2V +∂

∂t(∇ ·A) = − ρ

ε0. (2.8)

Inserindo agora as equacoes (2.5) e (2.7) em (2.4):

∇× (∇×A) = J−∇(∂V

∂t

)− ∂2A

∂t2(2.9)

com a identidade

∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A,

obtemos (∇2A− ∂2A

∂t2

)−∇

(∇ ·A +

∂V

∂t

)= −J. (2.10)

Porem, a maneira na qual introduzimos os potenciais vetor e escalar nao os define

de forma unica, ja que podemos redefini-los e manter os campos eletrico e magnetico

identicos3. Para este exemplo, escolheremos o gauge de Lorenz:

∇ ·A = −∂V∂t.

2A partir daqui, usaremos unidades naturais: µ0 = ε0 = 1.3Por exemplo, o gauge A→ A−∇Λ nao altera a eq. (2.2)

6

Podemos verificar as consequencias desta escolha,

∇2V − ∂2V

∂t2= −ρ, (2.11)

∇2A− ∂2A

∂t2= −J. (2.12)

com o gauge de Lorenz, V e A satisfazem a equacao inomogenea da onda, com o termo

fonte a direita de cada equacao.

Na notacao covariante, Aµ = (V ; A) e Jµ = (ρ; J), portanto:

�Aµ = Jµ (2.13)

onde � e o operador d’Alambertiano, � ≡ (∂2/∂t2)−∇2.

E importante tambem mencionar que a conservacao da corrente eletrica ainda se

mantem, uma vez que [3]:

∂µJµ = 0. (2.14)

2.2 Invariancia Global

A partir deste ponto, o formalismo lagrangiano sera adotado para dar inıcio a analise

das interacoes entre partıculas. Utilizaremos este formalismo por ser invariante de Lorentz,

por ser apropriado para uma discussao acerca de leis de conservacao e tambem porque,

atraves do princıpio variacional, temos acesso as equacoes de movimento.

Comecamos construindo a densidade de lagrangiana, L (φ(x), ∂µφ(x)), um funcional

de φ(x) e de ∂µφ(x) = ∂φ(x)/∂xµ [3].

A acao do sistema e entao definida por:

S ≡∫ t2

t1

dt

∫d3xL (φ(x), ∂µφ(x)) (2.15)

Em comparacao ao caso da mecanica classica, a integral espacial da densidade de

lagrangiana toma o papel da lagrangiana:

L ≡∫d3xL (φ(x), ∂µφ(x)) (2.16)

portanto, a partir daqui, denominaremos a densidade de lagrangiana apenas como lagran-

giana. A acao deve ser estacionaria, ou seja, δS = 0 e considerando que as variacoes dos

campos em t1 e t2 se anulem, somos levados as equacoes de Euler-Lagrange:

∂L

∂φ= ∂µ

∂L

∂(∂µφ)(2.17)

7

que nos levam as equacoes de movimento.

Podemos entao partir da lagrangiana de um campo escalar complexo livre4:

L = (∂µφ)∗(∂µφ)−m2φ∗φ, m2 > 0. (2.18)

e aplicando as equacoes de Euler-Lagrange,

(� +m2)φ = 0 (� +m2)φ∗ = 0, (2.19)

sendo � = ∂µ∂µ o operador d’Alambertiano.

As equacoes acima sao identificadas como as equacoes de Klein-Gordon para os campos

φ e φ∗, que descrevem uma partıcula livre de massa m e spin 0.

Vamos verificar se a seguinte transformacao global, isto e, um gauge, mantem a la-

grangiana invariante:

φ(x)→ eiqαφ(x) φ∗(x)→ e−iqαφ∗(x) (2.20)

note que qα e uma fase que nao depende de x, logo estamos mudando campo φ(x) pela

mesma quantidade em todos os pontos do espaco.

Para ser invariante, a lagrangiana deve satisfazer δL = 0, portanto:

δL =∂L

∂φδφ+

∂L

∂(∂µφ)δ(∂µφ) +

∂L

∂φ∗δφ∗ +

∂L

∂(∂µφ∗)δ(∂µφ

∗) = 0 (2.21)

= iq(δα)∂µ

[∂L

∂(∂µφ)φ+

∂L

∂(∂µφ∗)φ∗]

= 0 (2.22)

o termo entre colchetes pode ser visto como a corrente conservada de Noether5:

jµ = iq(φ∗∂µφ− φ∂µφ∗) (2.23)

que satisfaz

∂µjµ = 0.

Conservando a corrente de Noether.

2.3 Invariancia Local

Agora suponha que temos uma mudanca no campo φ, porem desta vez o termo de

fase α varia com a coordenada x,

φ→ eiqα(x)φ φ∗ → e−iqα(x)φ∗ (2.24)

4Consideramos aqui a metrica gµν = diag(1,−1,−1,−1).5Uma discussao sobre o Teorema de Noether e a corrente de Noether pode ser encontrada em [4], e

um calculo explıcito da eq. (2.21) e feito em [3].

8

esta e chamada de tranformacao de gauge local. Percebemos que a derivada do campo

nao e mais alterada por uma simples fase, portanto nao sendo invariante:

∂µφ→ eiqα[∂µ + iq(∂µα)φ]. (2.25)

Contudo podemos recuperar a invariancia local ao substituir o gradiente ∂µ por uma

derivada covariante, Dµ

Dµ ≡ ∂µ + iqAµ, (2.26)

enquanto que o potencial Aµ se transforma em

Aµ → Aµ − ∂µα. (2.27)

A partir deste ponto, a constante q recebe um significado: ela e conhecida como

constante de acoplamento, e nos informa o quao forte o campo Aµ interage com o escalar

φ.

A derivada covariante, ao impor o gauge, torna-se

Dµ → eiqαDµ (2.28)

A lagrangiana portanto e invariante sobre transformacoes locais, um procedimento

analogo ao da secao anterior pode ser realizado com o fim de verificar a conservacao de

carga.

Outra caracterıstica notavel da invariancia de gauge local e o surgimento da interacao

entre o vetor Aµ e o campo φ.

Usando a lagrangiana da equacao de Dirac6, conseguimos a forma com a qual Aµ

interage com a materia. A lagrangiana de uma partıcula livre em termos do spinor ψ

Llivre = ψ(iγµ∂µ −m)ψ (2.29)

e invariante quando realizamos os procedimentos:

ψ → eiqαψ ψ → e−iqαψ ∂µ → Dµ Aµ → Aµ −1

q∂µα

lembrando que ψ = ψ†γ0. Trocando todas estas expressoes

L = ψ(iγµDµ −m)ψ (2.30)

= ψ(iγµ∂µ −m)ψ − qψγµAµψ (2.31)

L = Llivre − JµAµ (2.32)

6A lagrangiana de Dirac leva a equacao de Dirac, que descreve fermions livres, e sao os fermions que

compoem a materia.

9

onde a corrente conservada e Jµ = −eψγµψ (q = −e). Adicionando o termo cinetico do

potencial vetor, completamos a lagrangiana da eletrodinamica quantica (EDQ):

LEDQ = Llivre − JµAµ − 14F µνFµν (2.33)

sabendo que F µν = ∂µAν − ∂νAµ tambem e invariante. Usando as equacoes de Euler-

Lagrange, a corrrente de Noether e identificada por:

∂µFµν = −Jν (2.34)

que e a forma covariante das equacoes de Maxwell. O eletromagnetismo pode ser entao

alcancado ao impor uma simetria local de gauge U(1).

Indo ainda mais adiante, um termo de massa para o foton, digamos

Lmassaγ = 12m2γAµA

µ

nao seria invariante, levando a conclusao de que na descricao lagrangiana da EDQ, o foton

e uma partıcula sem massa. Nao obstante, uma lagrangiana nao invariante faria com que

a carga eletrica nao fosse conservada.

2.3.1 Grupos nao-Abelianos

Entendendo o estudo acerca de teoria de gauge, iremos nesta secao abordar grupos

mais complexos do que o U(1), tomaremos o grupo de simetria especial unitario SU(2).

O calculo e, em essencia, o mesmo. A diferenca se dara por obstaculos algebricos, devido

ao fato de o grupo em questao ser nao-Abeliano, i.e, os seus geradores nao comutam entre

si, implicando em auto-interacoes dos bosons de gauge. Apenas os passos adicionais serao

encontrados nesta secao, pois serao retomados ao longo do Capıtulo 4.

No caso do grupo de simetria SU(2), seus geradores, T = {T1, T2, T3} sao escritos em

termos das matrizes de Pauli, T = σ/2. E suas relacoes de comutacao sao

[Ti, Tj] = iεijkTk

Tais propriedades nos obrigam a adicionar termos ao tensor de forca do campo (o

analogo de F µν para esta simetria) se desejamos manter a lagrangiana invariante.

Uma transformacao infinitesimal de SU(2)

ψ → ψ′= (III + igααα ·T)ψ ψ → ψ

′= ψ(III − igααα ·T) (2.35)

onde ααα e agora um vetor que depende das coordenadas espaciais e temporal. Tal trans-

formacao faz com que o termo de massa da partıcula na lagrangiana de Dirac permaneca

10

invariante. O gradiente, como vimos anteriormente, deve ser promovido a derivada cova-

riante, que se transforma como:

D′µ = ∂µ + igWWW

′µ · TTT (2.36)

Verificando a invariancia do termo D′µψ

′,

D′µψ

′= (∂µ + igWWW

′µ · TTT )(III + igααα ·T)ψ (2.37)

a lagrangiana e invariante se

D′µψ

′= (III + igααα ·T)Dµψ (2.38)

(∂µ + igWWW′µ · TTT )(III + igααα ·T)ψ = (III + igααα ·T)(∂µ + igWWW µ · TTT )ψ

ig(∂µααα) · TTT + igWWW′µ · TTT − g2(WWW

′µ · TTT )(ααα · TTT ) = igWWW µ · TTT − g2(ααα · TTT )(WWW′µ · TTT ) (2.39)

caso o campo WWW µ se transforme como na EDQ,

W kµ → W k′µ = W kµ − ∂µαk

nao obtemos uma expressao invariante, ja que (ααα ·TTT )(WWW ·TTT ) 6= (WWW ·TTT )(ααα ·TTT ). Adicionando

um fator de dependencia entre os bosons de gauge as suas transformacoes,

W kµ → W k′µ = W kµ − ∂µαk − igεijkαiW jµ

ou na forma vetorial:

WWW µ →WWW′µ = WWW µ − ∂µααα− igααα×WWW µ (2.40)

somos capazes de recuperar a invariancia sobre transformacoes infinitesimais, outro passo

importante e definir um tensor para os bosons de SU(2) que tambem seja invariante.

O tensor F µν pode ser escrito em termos da derivada covariante, onde

F µν =1

iq[Dµ,Dν ]

entao para o grupo de simetria SU(2), podemos obter um tensor equivalente, WWW µν :

WWW µν = ∂µWWW ν − ∂νWWW µ − gWWW µ ×WWW ν (2.41)

Reunindo todas as manipulacoes adicionais, podemos construir a lagrangiana de Yang-

Mills:

LYM = ψ(iγµDµ −m)ψ − 14WWW µν ·WWW µν (2.42)

Todos estes passos sao realizados de maneira mais detalhada na referencia [13].

Novamente, um termo de massa para WWW µ quebraria a invariancia, e sabendo que

existem bosons de gauge na natureza que sao massivos (mW ≈ 80 GeV e mZ ≈ 90

GeV), a teoria de gauge nao e suficiente para tentar explicar aquilo que observamos. Este

papel passa entao para a quebra espontanea de simetria, na qual iremos nos dedicar nos

proximos capıtulos. Os grupos de simetria aqui utilizados servirao para a construcao do

Modelo Padrao, justificando sua selecao.

11

Capıtulo 3

Quebra espontanea de simetria

Concluımos no capıtulo anterior que, embora capaz de gerar as interacoes entre os

boson de gauge e a materia, a invariancia por transformacoes locais nao e suficiente

para explicar o porque dessas partıculas serem massivas. Devemos entao buscar outras

ferramentas que corroborem com a existencia de bosons de gauge massivos.

Como mostraremos posteriormente no Capıtulo 4, nem mesmo o termo de massa dos

fermions da lagrangiana de Dirac e invariante por transformacoes de gauge locais no

Modelo Padrao.

A quebra espontanea de simetria (QES) e um mecanismo de geracao de massa para

esses bosons. Este conceito e um dos mais importantes na teoria quantica de campos.

Diferentemente de uma quebra explıcita de simetria, na QES a lagrangiana e invariante,

mas estado vacuo1 nao e.

A principal diferenca entre uma quebra explıcita de simetria e uma QES e que no

primeiro caso ha uma quebra de simetria quando a lagrangiana contem termos invariantes

sob a simetria requerida. Em nosso caso, uma lagrangiana invariante por simetria global

leva a importantes consequencias fısicas (e.g. no eletromagnetismo, a invariancia por

transformacao global resulta em conservacao de carga). Tambem necessitamos que a

mesma seja invariante por transformacoes locais, resultando assim em interacoes do campo

com o boson de gauge.

Um contexto familiar da QES sao os materiais ferromagneticos [6]. Um ferromagneto

pode ser modelado como uma grade de spins. Estes spins podem se orientar em qualquer

direcao no espaco, entao a magnetizacao do material2, se relacionara com a direcao na qual

os spins apontam. Em temperaturas suficientemente altas, todas as direcoes espaciais sao

equiprovaveis para cada spin, resultando em magnetizacao total igual a zero e portanto

numa simetria global. Ao resfriar o material abaixo de uma temperatura crıtica, Tc, a

1O estado de vacuo e o estado de menor energia2Media espacial do momento magnetico.

12

magnetizacao se torna nao-nula assim que os spins comecam a se alinhar em apenas uma

direcao, podendo ser esta qualquer direcao espacial. Dizemos entao que o sistema passa

por uma transicao de fase, e apos o novo alinhamento, a simetria SU(2) e espontaneamente

quebrada3. Um ponto-chave e que o sistema e invariante, e tem sua simetria quebrada

apos a transicao de fase.

Prosseguiremos de maneira semelhante ao buscar um mecanismo que explique a massa

de bosons de gauge. Utilizando uma lagrangiana de um campo escalar e invariante por

transformacao local U(1)4, analisaremos o comportamento do campo em torno estado

de vacuo. Perceberemos que em um caso a simetria e quebrada de maneira espontanea,

deixando massivos o campo escalar e o boson de gauge interagente.

Comecamos com

L = −14FµνF

µν + 12(Dµφ)∗(Dµφ)− µ2

2φ∗φ− λ

4(φ∗φ)2, (3.1)

o primeiro termo e denominado cinetico, e os dois seguintes compoem o potencial (L =

T − V ). A lagrangiana descreve o campo complexo:

φ(x) = φ1(x) + iφ2(x), (3.2)

com φ1 e φ2 reais. µ2 e λ sao independentes da coordenada.

Devemos restringir λ a ser positivo para manter o potencial com um limite inferior:

sem este limite, o potencial nao possui um ponto de equilıbrio estavel, entao nao temos

um vacuo. Entretanto, podemos analisar o sinal de µ2 tanto como sendo positivo ou

negativo.

No cenario de µ2 > 0, o potencial possui um unico mınimo, sendo ele φ0 = 0. A

lagrangiana

L = −14|Fµν |2 + 1

2|Dµφ|2 − µ2

2|φ|2 − λ

4|φ|4 (3.3)

descreve dois campos reais, φ1 e φ2 com massas m1 = m2 = µ. O outro termo que

multiplica λ envolve autointeracoes, isto e, interacoes do campo consigo mesmo, resultado

de termos que envolvem φ41, φ4

2 e φ21φ

22. Esta e a maneira mais simples de fazer os campos

interagirem e o modelo e conhecido por teoria φ4. O termo quartico infelizmente nao pode

ser tratado analiticamente, e portanto uma analise pode ser feita somente com teoria de

perturbacao.

Com µ2 < 0, este termo nao pode ser o de massa, ja que isto implicaria em uma

3Por exemplo, ao rotacionarmos o sistema em 180o obtemos uma magnetizacao total com sinal oposto

(M → −M) [7].4Escolhemos a lagrangiana mais simples que satisfaz estes requisitos.

13

V (φ)

φ1

φ2

(a) Para µ2 > 0, existe um vacuo unico e

bem definido em φ = 0, mantendo a sime-

tria U(1) da lagrangiana.

V (φ)

φ1

φ2

(b) Para µ2 < 0, o vacuo e degenerado.

Qualquer escolha do vacuo ira quebrar a si-

metria U(1) da lagrangiana.

Figura 3.1: Esboco do potencial V (φ) = 12µ

2(φ∗φ) + 14λ(φ∗φ)2 em funcao de φ1 e φ2 para dois diferentes

valores de µ2.

quantidade imaginaria. O potencial possui um mınimo degenerado em[dV

d|φ|

]φ0

= −µ2|φ|0 − λ|φ|30 = 0 (3.4)

|φ|0 = ±√−µ2

λ= ±v (3.5)

Lembrando que o mınimo local |φ|0 = 0 e um ponto de equilıbrio instavel, e necessario

escolher um dos dois estados para ser o novo vacuo. As consequencias devem ser inde-

pendentes da escolha, pelo fato da lagrangiana ser invariante por transformacoes globais.

Escolhemos entao φ = +v e a lagrangiana no estado de menor energia tem sua simetria

quebrada de maneira espontanea.

Expandindo φ(x) em torno do mınimo para obter as pequenas oscilacoes em torno do

ponto de equilıbrio estavel, podemos escrever φ1(x) = η(x) + v e φ2(x) = ξ(x) a parte

cinetica da lagrangiana5

LT = −14FµνF

µν + 12(∂µη)(∂µη) + 1

2(∂µξ)(∂

µξ) + 12q2v2AµA

µ + qv(∂µξ)Aµ (3.6)

ja nao e mais invariante, pois vemos um termo de massa para o boson Aµ6, portanto a

5A derivada covariante Dµ e definida na eq. (2.26), no capıtulo anterior.6Foi mostrado no Capıtulo 2 que este termo nao e invariante por transformacoes locais.

14

quebra espontanea de simetria e visıvel. O termo do potencial,

V = 12µ2(φ∗φ) + 1

4λ(φ∗φ)2

V = 12µ2η2 + 1

2µ2v2 + µ2vη + µ2

4v2[(η + v)4 + ξ4 + 2η2ξ2] + 4µ2

vηξ2. (3.7)

contem o termo de massa para η, m2η = −2µ2. Utilizamos no ultimo passo a relacao (3.5).

A lagrangiana total

L = Lcin − Vint, (3.8)

Lcin = 12(∂µη)(∂µη) + 1

2µ2η2︸ ︷︷ ︸

campo η massivo

+ 12(∂µξ)(∂

µξ)︸ ︷︷ ︸campo ξ sem massa

+ 12q2v2AµA

µ − 14FµνF

µν︸ ︷︷ ︸boson massivo

+qv(∂µξ)Aµ

(3.9)

Vint envolve todos os outros termos, aqueles de interacoes entre η, ξ, Aµ e autointeracoes.

E possıvel reescrever alguns termos de Lcin como um novo campo de gauge

12q2v2

(Aµ + 1

qv∂µξ)(

Aµ + 1qv∂µξ)

= 12(∂µξ)(∂

µξ) + 12q2v2AµA

µ + qv(∂µξ)Aµ

entao

Aµ → A′

µ =(Aµ + 1

qv∂µξ). (3.10)

comparando com a eq. (2.27), o boson de gauge se transforma como ∂µα→ −∂µξ/qv.

Apos a QES, expandimos o campo φ em torno do vacuo escrevendo φ(x) = η(x) + v+

iξ(x), que pode ser expresso, para primeira ordem de η e ξ por

φ ≈ eiξv (η + v) (3.11)

e ao aplicar a transformacao de gauge local

φ→ φ′ ≈ ei

ξv (η + v)e−i

ξv

φ = (η + v). (3.12)

esta escolha de gauge e conhecida por gauge unitario, pois resulta em um campo comple-

tamente real.

Novamente reescrevendo a lagrangiana ainda mais simplificada

L = 12(∂µη)(∂µη) + 1

2µ2η2 + 1

2q2v2A

′

µA′µ − 1

4FµνF

µν − Vint. (3.13)

Vamos entender agora os resultados de todo este processo. Antes haviam dois campos

sem massa que interagiam com um boson de gauge tambem sem massa. No vacuo ha uma

15

quebra espontanea de simetria que deixa um dos campos massivos e outro sem massa,

em adicional o boson de gauge tambem de torna massivo, com mAµ = qv. O campo sem

massa, ξ e chamado de boson de Goldstone e apos a transformacao do campo, ele some

da lagrangiana, se tornando o novo grau de liberdade de Aµ. Os graus de liberdade sao

conservados, uma vez que inicialmente haviam quatro, um para cada campo φ1 e φ2 e

dois para Aµ. Apos a QES, o campo η tem um grau de liberdade, e o Goldstone se torna

um grau de liberdade adicional para o boson de gauge, que ganha massa. Dizemos entao

que Aµ “comeu”o boson de Goldstone e ganhou um grau de liberdade extra.

Uma QES de uma simetria global geraria massa para um dos campos escalares e

deixaria o outro sem massa. Nao apareceria nenhum boson de gauge massivo pois seria

necessaria uma simetria local.

Durante este capıtulo fizemos o estudo do Mecanismo de Higgs para uma simetria local

U(1) com o objetivo de introduzir o funcionamento desta ferramenta usada posteriormente

na geracao de massa, atraves da quebra espontanea da simetria SU(2)L⊗U(1)Y , para os

bosons W± e Z0.

16

Capıtulo 4

Mecanismo de Higgs no Modelo

Padrao

A teoria de gauge e bem sucedida ao explicar a eletrodinamica, entretanto, ela e insu-

ficiente quando utilizada para descrever interacoes eletrofracas, uma vez que a invariancia

de gauge local requer boson(s) de gauge sem massa, contradizendo experimentos que

observam os seguintes valores para as massas dos bosons W± e Z0 [8]

mW = 80, 39 GeV, e mZ = 91, 18 GeV. (4.1)

Os bosons W± e Z0 sao as partıculas pertencentes ao Modelo Padrao e observadas na

natureza, portanto e necessario que sejamos capazes de explicar sua existencia.

Como vimos no capıtulo anterior, e possıvel gerar massa para partıculas atraves da

QES. Iremos entao repetir aqui o mesmo procedimento, porem desta vez para os grupos

SU(2)L ⊗ U(1)Y1.

Chamamos este procedimento de mecanismo de Higgs do Modelo Padrao, que e justa-

mente a geracao de massa nao so dos bosons W± e Z0, mas tambem dos fermions, atraves

da quebra espontanea de simetria (QES). Apos a QES, no entanto, teremos ainda uma

simetria U(1) de carga eletrica residual, mantendo a conservacao de carga eletrica.

Inicialmente, a densidade de lagrangiana e dividida em quatro partes:

L = Lescalar + Lfermions + LY ukawa + Lgauge. (4.2)

Na primeira secao deste capıtulo, mostraremos como os bosons interagem com o novo

campo escalar, h(x), conhecido como campo de Higgs.

Deixaremos entao explıcitos os termos de massa para tais partıculas, mantendo o foton

(aqui denotado por Aµ) sem massa.

1L significa left, para as partıculas de mao esquerda que se transformam nesta simetria. Ja Y e usado

para denominar hipercarga fraca.

17

Logo depois, utilizaremos um processo analogo com o objetivo de gerar massa para os

fermions (exceto os neutrinos).

Por fim, analisaremos como se transformam os termos cineticos dos bosons de gauge.

4.1 QES no Modelo Padrao

Como no procedimento do capıtulo anterior, partiremos da lagrangiana:

Lescalar = 12(∂µφ)†(∂µφ)− µ2

2φ†φ− λ

4(φ†φ)2 (4.3)

O campo φ e um campo escalar complexo, representado pelo dubleto de SU(2) de

quatro campos escalares reais (ou dois campos complexos):

φ =

(φ+

φ0

)=

(φ1 + iφ2

φ3 + iφ4

)(4.4)

O mecanismo de Higgs deve gerar massa para os bosons das interacoes eletrofracas,

portanto um dos campos escalares deve ser neutro, φ0, e o outro carregado, de maneira

que φ+ e seu conjugado, φ−, sejam os graus de liberdade adicionais para W+ e W−.

Para tornar a lagrangiana acima invariante sob transformacoes locais 2, e necessario

promover a derivada a uma derivada covariante, descrita por3:

∂µ −→ Dµ = ∂µ + igσa

2W aµ + ig

′ Y

2Bµ, (4.5)

sendo g e g′

as constantes de acoplamento das interacoes fraca e eletromagnetica,

respectivamente. Realizando tal substituicao, tem-se os termos de interacao do campo

com os bosons W aµ e Bµ sem massa, que por sua vez, se transformam na seguinte maneira:

Wµ −→ W′

µ = Wµ −1

g∂µα−ααα×WWW µ (4.6)

Bµ −→ B′

µ = Bµ − ∂χ. (4.7)

Temos entao uma lagrangiana invariante sob transformacoes do grupo SU(2)L×U(1)Y .

Por enquanto, manteremos o foco no potencial V.

Novamente, pelo fato de µ2 nao ter restricao quanto seu sinal, chegamos nos em dois

cenarios:

2Como descrito no Capıtulo 2.3As matrizes σa

2 = τa sao geradoras do grupo SU(2), enquanto que Y e o gerador do grupo U(1).

18

• Caso µ2 > 0

Nesta situacao, o potencial possui um mınimo bem definido em φ1 = φ2 = φ3 = φ4 = 0,

sendo este o ponto de equilıbrio.

Nesta situacao a lagrangiana descreve quatro campos escalares reais cada um com

massa igual a µ interagindo com os campos vetoriais W aµ e Bµ, que por sua vez possuem

todos massa nula.

• Caso µ2 < 0

Aqui os resultados se tornam mais interessantes, ja que o mınimo do potencial, ou o

estado de menor energia ira ocorrer quando:[∂V

∂|φ|

]|φ|0

= 0, (4.8)

sendo

|φ|2 = φ†φ = φ21 + φ2

2 + φ23 + φ2

4. (4.9)

Portanto

µ2 + λ|φ|20 = 0 (4.10)

|φ|20 =−µ2

λ= v2. (4.11)

Temos entao um mınimo do potencial degenerado. Para quebrar a degenerescencia,

vamos fazer outra escolha que corresponda ao mınimo de φ, quebrando espontaneamente

a simetria da lagrangiana. Apos a QES, restarao tres bosons de Goldstone sem massa,

que serao os graus de liberdade para os bosons W± e Z0, e tambem um campo escalar

massivo. Ao inves de repetir o procedimento anterior, escolhemos o valor mınimo de φ+

como nulo, e φ0 = v, tal escolha e conhecida como gauge unitario. Para obte-la operamos

as seguintes mudancas:

|φi|0 = 0, i = 1, 2, 4

|φ3|0 = v. (4.12)

Temos entao:

φ0 =

(0

v

). (4.13)

Expandindo o campo em torno do mınimo,

φ =

(0

h+ v

), (4.14)

sendo h um campo escalar real: h = h(x).

19

Reescrevendo o potencial:

V = µ2

2|φ|2 + λ

4|φ|4

= µ2

2(h2 + v2 + 2vh) + λ

4(h2 + v2 + 2vh)2

= µ2

2(h2 + v2 + 2vh) + λ

4(4v3h+ 6v2h2 + 4vh3 + h4 + v4)

V = −µ2h2 + vλh3 + 14λh4 + 1

4µ2v2. (4.15)

Utilizamos a relacao (4.11) para alguns termos durante a ultima passagem. Substituindo

na lagrangiana:

Lescalar = 12(Dµφ)†(Dµφ) + µ2h2 − vλh3 − 1

4λh4 − 1

4µ2v2 (4.16)

Portanto, antes da quebra espontanea de simetria, o potencial envolvia apenas in-

teracoes, onde o termo 12µ2φ†φ nao podia ser interpretado como termo de massa. Agora

o potencial exibe campo com massa igual a −√

2µ2. O passo necessario agora e explicitar

no termo cinetico da lagrangiana:

Dµφ =

(∂µ + ig

2W 3µ + ig

′ Y2Bµ

ig2

(W 1µ − iW 2

µ)ig2

(W 1µ + iW 2

µ) ∂µ + ig τa

2W aµ + ig

′ Y2Bµ

)(0

h+ v

)(4.17)

O valor de Y e dado pela definicao do operador carga eletrica Q,

Q = I(3)W +

Y

2(4.18)

Y = 2(Q− I(3)W ) (4.19)

I(3)W e a terceira componente do isospin fraco, que para φ0 equivale a −1

2. Como o campo

e neutro, Q = 0 e portanto Y = 1.

Podemos tambem realizar a seguinte definicao:

W±µ = W 1

µ ∓ iW 2µ (4.20)

Substituindo em 4.12:

Dµφ =1

2

(2∂µ + igW 3

µ + ig′Bµ igW+

µ

igW−µ 2∂µ + igW 3

µ + ig′Bµ

)(0

h+ v

)

Dµφ =1

2

(igW+

µ (h+ v)

2∂µh+ i(g′Bµ − gW 3

µ)(h+ v)

)(4.21)

20

Multiplicando o termo acima pelo seu conjugado e expandindo, temos o termo cinetico

da lagrangiana:

12(Dµφ)†(Dµφ) =

1

8

[g2W−

µ W+µ(h+ v)2 + 4∂µh∂

µh+ 2i∂µh(g′Bµ − gW 3µ)(h+ v)+

2i∂µh(gW 3µ − g

′Bµ(h+ v)− (g

′Bµ − gW 3µ)(gW 3

µ − g′Bµ)(h+ v)2

]12(Dµφ)†(Dµφ) =1

2(∂µh)(∂µh) + 1

8g2W−

µ W+µ(h+ v)2+

18(h+ v)2[g2W 3

µW3µ + g

′2BµBµ − gg′

(W 3µB

µ +BµW3µ)] (4.22)

Analisando o termo entre colchetes, voltamos a forma matricial:

g2W 3µW

3µ + g′2BµB

µ − gg′(W 3

µBµ +BµW

3µ) =(W 3µ Bµ

)( g2 −gg′

−gg′g

′2

)(W 3µ

Bµ

)

=(W 3µ Bµ

)M

(W 3µ

Bµ

),

onde M e a matriz de massa. Seus elementos nao diagonais permitem que os acoplamentos

de B e W 3 se misturem, sendo impossıvel identificar a massa para cada boson. Os bosons

de gauge fısicos entao serao aqueles correspondentes a uma base onde a matriz de massa

seja diagonal.

Por fim, na base diagonal temos:

(Aµ Zµ

)(0 0

0 g2 + g′2

)(Aµ

Zµ

)(4.23)

onde

Aµ =g

′W 3µ + gBµ√g2 + g′2

(4.24)

Zµ =gW 3

µ − g′Bµ√

g2 + g′2(4.25)

sao os elementos correspondentes aos autovetores de M. Voltando a lagrangiana:

Lescalar =12(∂µh)(∂µh) + v2λh2 + 1

8v2g2W−

µ W+µ + 1

8v2(g2 + g

′2)ZµZµ+

14vg2W−

µ W+µh+ 1

4v(g2 + g

′2)ZµZµh+ 1

8(g2 + g

′2)ZµZµh2 + 1

8g2W−

µ W+µh2−

vλh3 − 14λh4 + 1

4λv4, (4.26)

onde o primeiro termo e o termo cinetico do campo de Higgs, que e massivo, dado pelo

segundo termo. O terceiro e quarto dizem a respeito das massas dos bosons W e Z. Os

21

termos seguintes referem-se as interacoes entre h e os bosons. Podemos explicitar as suas

massas, que tem as seguintes formas:

mh =√

2λv, mW = 12gv, mZ = 1

2v√g2 + g′2 e mA = 0. (4.27)

E possıvel notar tambem que as interacoes dos bosons com o Higgs tem como constante

de acoplamento termos proporcionais as suas massas. Portanto, o foton nao interage com

h, ja que nao possui massa.

Atraves do mecanismo de Higgs, o Modelo Padrao estabelece uma relacao entre as

massas dos bosons W± e Z0, basta escrevermos g e g’ como

g′

g= tanθW (4.28)

onde θW recebe o nome de angulo de Weinberg. Substituindo nas relacoes para as massas,

mW = mZcosθW (4.29)

Podemos tambem aproveitar a definicao para reescrever Aµ e Zµ:

Aµ = sinθWW3µ + cosθWBµ (4.30)

Zµ = cosθWW3µ − sinθWBµ, (4.31)

e partir da eq. (4.28),

cosθW =g√

g2 + g′2(4.32)

sinθW =g

′√g2 + g′2

(4.33)

4.2 Massa para os fermions

O mecanismo tambem pode ser usado para gerar massa dos fermions, fazemos isto

pois um termo de massa na lagrangiana de Dirac e da forma:

−mψψ, (4.34)

onde ψ = ψ†γ0.

A expressao cinetica dos fermions, que e invariante, e escrita na forma:

Lfermions = iψγµDµψ (4.35)

22

Decompondo os espinores ψ e ψ a partir dos operadores de projecao quiral, PL e PR

definidos por:

PL ≡ 12(I− γ5) ⇒ PLψ = ψL

PR ≡ 12(I + γ5) ⇒ PRψ = ψR,

(4.36)

sendo γ5 um operador hermitiano definido em termos das matrizes de Dirac na forma

γ5 ≡ iγ0γ1γ2γ3.

Como PL + PR = I, aplicamos a relacao nas equacoes (4.36):

ψ = (PL + PR)ψ = ψL + ψR. (4.37)

Utilizando as propriedades γ5† = γ5 e γ0γ5 = −γ5γ0, ganhamos uma relacao para os

operadores PR,L e antifermions, ψ:

ψL = ψPR ψR = ψPL (4.38)

Voltando ao termo de massa:

−mψψ =−m(ψL + ψR)(ψL + ψR)

=−m(ψPRPLψ + ψPLPLψ + ψPRPRψ + ψPLPRψ)

=−m(ψPRPRψ + ψPLPLψ)

−mψψ =−m(ψLψR + ψRψL), (4.39)

onde usamos que PRPL = PLPR = 0.

A equacao (4.39) nao e invariante uma vez que os fermions de mao direita se transfor-

mam como singletos de SU(2)L×U(1)Y , e os fermions de mao esquerda sao representados

por dubletos na mesma simetria4.

Dito isso, a lagrangiana para os fermions deve conter um outro termo que seja invari-

ante. Notamos que uma transformacao de gauge de SU(2) local agindo sobre o campo φ

(antes da QES) tem efeito:

φ→ (I + igα · Tα · Tα · T )φ (4.40)

Ja no antifermion de mao esquerda:

ψL → ψL(I− igα · Tα · Tα · T )), (4.41)

onde TTT = 12σσσ.

A expressao ψLφ e invariante por transformacoes de SU(2)L. Para incluir os fermions

de mao direita e adquirir invariancia sob U(1)Y , notamos que a soma

− gi√2(ψLφψR + ψRφ

†ψL) (4.42)

4No caso, as transformacoes sao ψR → eig′χ(x)ψR e ψL → eigα·Tα·Tα·TψL.

23

E invariante. A fim de simplificar, denotaremos os espinores ψL e ψR por

Li =

(νe

e

)L

,

(νµ

µ

)L

,

(ντ

τ

)L

(4.43)

Ri = eR, µR, τR (4.44)

e para os quarks:

QiL =

(u

d

)L

,

(c

s

)L

,

(t

b

)L

(4.45)

QiR = uR, cR, tR,

QjR = dR, sR, bR(4.46)

com o ındice i indicando cada famılia.

Portanto, a expressao que gera massa para os leptons e:

Lm = − gi√2(LiφRi + Riφ

†Li) (4.47)

gi e conhecida como constante de acoplamento de Yukawa, um valor diferente para

cada partıcula fermionica. Apos a quebra espontanea de simetria, o campo φ e

φ =

(0

h+ v

)(4.48)

Entao o termo de massa para a famılia do eletron, por exemplo, toma a forma

Lme =− ge

[(νe e

)L

(0

h+ v

)eR + eR

(0 h+ v

)(νee

)L

](4.49)

=− ge√2(h+ v)(eLeR + eReL)

Lme =− 1√2(gevee+ geeeh) (4.50)

o procedimento e analogo para quase todas os outros fermions. E importante perceber

que o gauge unitario deixa os neutrinos sem massa, bem como todos os quarks superiores.

Contudo, ha evidencias de que os quarks up, charm e top sao massivos. Para contornar

o problema, adicionaremos ainda outro termo, introduzindo o que e chamado de campo

conjugado:

φc = −iσ2φ∗ =

(h+ v

0

)(4.51)

Entao para os quarks superiores a lagrangiana se torna:

Lm↑ = gi√2(QiLφcQiR + QiRφ

†cQiL), (4.52)

24

e para os inferiores:

Lm↓ =gj√

2(QiLφQjR + QjRφ

†QiL), (4.53)

com gi = gu, gc, gt, e tambem gj = gd, gs, gb.

Como exemplo, utilizaremos a primeira famılia de quarks, novamente apos a QES:

Lmu = − 1√2(guuuh+ guvuu) (4.54)

e

Lmd = − 1√2(gdddh+ gdvdd) (4.55)

Todo esse processo da luz a interacao entre os fermions e o campo h e tambem aos

termos de suas respectivas massas, partindo de uma lagrangiana invariante pela simetria

do Modelo Padrao.

A massa de cada partıcula tem a seguinte expressao:

mi,j =gi,jv√

2, (4.56)

com mi = mu,mc,mt,me,mµ,mτ e mj = md,ms,mb.

Para sumarizar, escrevemos o termo que gera massa para todos os fermions como:

LY ukawa = Lm + Lm↑ + Lm↓ (4.57)

E importante notar que, assim como no caso dos bosons, interacoes entre os fermions

e o Higgs se da proporcionalmente a massa de cada fermion, fica facil de visualizar isto

pela eq. (4.50), onde a expressao de interacao entre o eletron e o h e descrita pelo termo:

geeeh =me

veeh. (4.58)

A diferenca e que para os bosons, o Higgs interage proporcionalmente as suas massas

ao quadrado, o que podemos perceber se voltarmos aos termos de interacao na eq. (4.26):

14g2vW−

µ W+µh+ 1

4(g2 + g

′2)vZµZµh = 1

vm2WW

−µ W

+µh+ 1vm2ZZµZ

µh. (4.59)

4.3 Termos cineticos para os bosons

O ultimo passo agora e adicionar a lagrangiana os termos cineticos dos bosons W±µ ,

Aµ e Zµ. Inicialmente, antes da QES, esses termos sao escritos em funcao de W aµ e Bµ:

Lgauge = −14W aµνW

aµν − 14BµνB

µν (4.60)

25

onde

Bµν = ∂µBν − ∂νBµ (4.61)

e

W aµν = ∂µW

aν − ∂νW a

µ + g′εabcW

bµW

cν (4.62)

A partir das relacoes (4.15), (4.20) e (4.21) reescrevemos W aµ e Bµ:

W 1µ =1

2(W+

µ +W−µ ) W 2

µ = i2(W+

µ −W−µ )

W 3µ =

g′Aµ + gZµ√g′2 + g2

Bµ =gAµ − g

′Zµ√

g′2 + g2

Substituindo na lagrangiana acima[9]:

Lgauge = −14FµνF

µν − 14ZµνZ

µν − 12f †µνf

µν + ... termos de interacao (4.63)

sendo:

FµνFµν = ∂µAν − ∂νAµ, ZµνZ

µν = ∂µZν − ∂νZµ (4.64)

fµν = ∂µW+ν − ∂νW+

µ (4.65)

4.4 O boson de Higgs

Apesar de alguns valores estabelecidos, o Modelo Padrao nao e capaz de atribuir valo-

res as massas das partıculas apenas com a teoria, necessitando do auxılio da fenomenologia

para completar suas pecas. O parametro solto λ so tem seu valor definido a partir da me-

dida da massa do boson de Higgs, obtida em 2012 pela juncao de dados dos experimentos

CMS e ATLAS [10, 11] realizados no LHC. A massa do escalar e

mh ' 125, 7± 0, 5 GeV (4.66)

Apos a deteccao dos bosonsW± e Z0, o boson de Higgs havia se tornado uma prioridade

em fısicas de partıculas, e sua identificacao preencheu todo o espectro do Modelo Padrao.

A existencia do boson de Higgs nao foi sustentada somente pela necessidade de um

mecanismo que gerasse massa. De fato, a maior motivacao para detectar o boson de

Higgs foi a violacao de unitariedade. Se temos o processo e+e− → W+W−, por exemplo, e

considerarmos apenas o foton e o boson Z0 como mediadores, a secao de choque5 ira crescer

com a energia, e a probabilidade nao sera conservada. Com o Higgs como mediador, a

5A grosso modo, a probabilidade do evento ocorrer.

26

secao de choque nao aumentara mais com a energia, fazendo com que a teoria se mantenha

unitaria.

Assim, poderıamos ter outros meios de gerar massa para as partıculas, contudo o

boson de Higgs e o mediador que restava para nao violar a unitariedade da teoria.

Ate a Secao 4.1, tınhamos 4 parametros: as constantes de acoplamento g e g′, e os

parametros livres λ e µ do potencial de Higgs, relacionando a massa do Higgs com seu

valor esperado do vacuo, v, atraves eq. (4.11).

A constante de acoplamento g e obtida ao relaciona-la com a constante de Fermi, GF ,

das interacoes fracas. O valor da constante de Fermi e medido experimentalmente em

acordo com a teoria efetiva de Fermi, que descreve as interacoes fracas no limite de baixas

energias. Estabelecemos entaog2

8=

1√2GFm

2W (4.67)

E entao obtemos

v = 246 GeV. (4.68)

Este e o valor esperado do vacuo para o campo de Higgs.

A partir daı, podemos obter o valor de g′atraves da massa do boson Z0, e entao temos

o valor de λ, que tambem pode ser obtido experimentalmente com o valor da massa do

Higgs.

27

Capıtulo 5

Conclusao

O mecanismo de Higgs mostra-se imprescindıvel para a gerar massa as partıculas

elementares do Modelo Padrao e para manter a unitariedade. Contudo, deixa pontos

abertos ao ser incapaz de atribuir valores, o que e feito gracas aos estudos fenomenologicos.

Elaborado por Peter Higgs em 1964 [12], o mecanismo que sugeriu a existencia de uma

partıcula descrita por um campo escalar, o boson de Higgs, de spin 0, passou por uma

longa trajetoria ate ser finalmente detectado pelo LHC, garantindo a Peter Higgs um

premio Nobel em 2012. O estudo sobre a evolucao do Universo, brevemente realizada

na Introducao deste trabalho, sugere que as partıculas tenham adquirido massa quando

o Universo estava a temperatura de ∼ 100 GeV, o que ocorreu em torno de ∼ 10−10

segundos.

Apesar de importante, a validacao do Higgs nao esclarece tudo, e o Modelo Padrao

tambem deixa questoes em aberto, como os neutrinos serem massivos ou a existencia de

Materia Escura. E necessario considerar teorias alem do Modelo Padrao na tentativa de

entender melhor o nosso Universo.

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