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(ultima modifica 16/10/2012)

Potenza volumica. Legge di Joule in forma locale

Si consideri un tubo di flusso elementare all’interno di un corpo conduttore nel quale ha sede un campo di corrente.

La potenza elettrica che fluisce nel bipolo infinitesimo è:

mo.infinitesi ocilindrett del volumedV dA dlcon

dV JEdA dl JEdP

dAJdI

dl-EdV essendo ed dIdVdP

ol

ol

dl

V V-dV

dAP J

E

n

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La potenza volumica, ossia la potenza assorbita per unità di volume:

(essendo:

che esprime la legge di Joule in forma locale

I materiali passivi in regime stazionario si classificano in conduttori, dielettrici (o isolanti) e semiconduttori.

I materiali conduttori sono quelli con

e ρ(θ) é legata alla temperatura da una legge empirica:

2 2p EJ ρ J γE

μΩm 2 ρ

(o)

1 01- 0

olol dV dV JEdA dl JEdP p

m Ω 1,75 mmmΩ

0,0175 ρ2

rame

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Se è la resistività alla temperatura di riferimento.

alla temperatura è ricavabile da una relazione approssimata lineare:

Essendo il coefficiente di variazione della resistività in funzione della temperatura (C-1)

0θρ 0θρ

0 0 0ρ θ ρ θ 1 α θ θ θ

)( 0

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1. Scelta del sistema di coordinate

2. Definizione della geometria delle superfici orientate A, attraversate dalla corrente elettrica I, in funzione del sistema di riferimento scelto.

a) Calcolo della densità di corrente J in funzione della corrente elettrica I

b) Calcolo del campo elettrico E in funzione della densità di corrente J:

c) Calcolo della differenza di potenziale in funzione del campo

d) Calcolo della resistenza elettrica:

l2

1211

dl EUU

1 2U -UR=

I

/E JJ

ndA

dI

Ad

dIJ

Metodo generale per la determinazione della resistenza di un conduttore di forma qualsiasi:

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Esempi di campi di corrente

a) Campo di corrente uniforme all’interno di un tubo cilindrico conduttore.

Si suppone l >> d;

•che il materiale del tubo sia omogeneo isotropo e passivo e;

•che il tubo sia circondato da materiale di resistività infinita.

P

J E

dA d

l

UI +

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Con queste ipotesi:

• le linee di forza risultano parallele all’asse del cilindro e

• le superfici equipotenziali sono perpendicolari ad esse.

Il campo e la densità di corrente risultano indipendenti dal punto, per cui si può scrivere:

relazione valida per i conduttori filiformi.Si noti come l’espressione della conduttanza presenta una analogia con l’espressione della capacità per un condensatore ad armature piane..

Al

ρJAEl

IU

R AJI

lEU

lA

γGAl

ρRdεA

UQ

C12

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b) Campo di corrente cilindrico

Si considerino due conduttori perfetti cilindrici coassiali di raggi

ed separati da un mezzo isolante.

In queste condizioni se si applica una differenza di potenziale tra le due armature si genera un campo radiale.

1r 2r

l

PJ

E

r1

U+

r2

r

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In ciascun punto del materiale isolante si può scrivere:

Questa è l’espressione della resistenza di isolamento dei cavi coassiali. Si noti come l’espressione della conduttanza presenta una analogia con l’espressione della capacità per un condensatore ad cilindriche

1 rl2

IJcon E J e lpereEJ

γ2πr

IE

r 2

IJ

1

2r

r

r

r21 r

rln

2

Idr

γ2πr

Idr EUU 2

1

2

1

1 2 2

1

U -U rlR= = ln

I 2πγ r

1

2

1

2 ln

2

ln

2

rr

lC

rr

lG

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c) Campo di corrente sferico

Se il mezzo interposto tra due sfere è isotropo-omogeneo e le superfici metalliche equipotenziali, il campo tra le due sfere è radiale e se U1 > U2 , il fasore densità di corrente è rivolto verso l’esterno. Per una generica sfera di raggio r con r1 < r < r2 la densità di corrente relativa è:

2r 4I

J

PJ

E

r1

U+

r2

r

J

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Per la legge di Ohm generalizzata:

La differenza di potenziale tra i due elettrodi sarà:

versoe direzione stessa la Je E avendo ρJEJρE

γl

ρ essendo γ4πr

IρJE 2

2

1

r

r 2

1

12121 r

r1

r4πI

r1

r1

4πI

EdrUU

r1

r1

4πl

IU

R21

l2

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Si noti come l’espressione della conduttanza presenta una analogia con l’espressione della capacità per un condensatore ad cilindriche

Per il calcolo della resistenza di terra si suppone r2 >> r1:

r1

r1

4πl

R21

2121 r1

r14π

C

r1

r14π

G

1t12

21

l2

4π1

R rrper e r1

r1

4πl

IU

Rr

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Il potenziale di una sfera concentrica di raggio r > r1 sarà:

r

1

r

1

4π

IUU

11r

0r 4π

IUU r per

Ur 4π

IU rr per

11r

11

r1

o

11 r4π

IU

1rr

1

1 1rr

1

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Per un dispersore semisferico:

La resistenza di terra risulta doppia.

1t

1lr

r 2πI

R

r1

r1

2πI

U

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Con riferimento ai campi di corrente creati da dispersioni di corrente sul terreno le norme CEI definiscono:

Tensione di passo: la tensione che, durante il funzionamento di un impianto di terra, può risultare applicata tra i piedi di una persona a distanza di passo fissata convenzionalmente uguale ad 1 m.

Tensione di contatto: la tensione alla quale può essere soggetto a corpo umano in seguito a contatto con carcasse e strutture metalliche delle macchine o apparecchiature, normalmente non in tensione.