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M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_3c

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA_3B

(ultima modifica 01/10/2012)

Energia e Forze elettrostatiche

Una carica positiva Q2 posta in un punto P a distanza R12 da una carica positiva Q1 fissa che genera un campo elettrostatico sarà sottoposta a una forza di repulsione in direzione radiale.

Tale forza dipende dalla distanza tra le due forze cariche e dalla entità delle due cariche, secondo la Legge di Coulomb è ha direzione opposta alle forze del campo :

21212o

12122

12o

12 RR4π

QQ F- R

R4π

QQ F

R12 Q2 +Q1 + PF

F -

F -

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Il lavoro richiesto nel vuoto per portare una carica Q2 lentamente, (perché possano ritenersi trascurabili sia l’energia cinetica che gli effetti di radiazione), dall’infinito in senso contrario alla direzione del campo dovuto a una carica Q1, alla distanza R12 dalla carica Q1, è:

V QR4π

Q QR

R4π

QQ 0cosRF RF W 22

12o

12122

12o

1212122

R12 Q2 +Q1 +

P

F

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Infatti il campo elettrostatico generato dalla carica Q1 fa si che alla posizione della carica Q2 posta nel punto P sia associata una energia potenziale legata alla distanza R12 tra le posizioni delle due cariche.

Poiché il campo elettrostatico è conservativo il lavoro W2 è indipendente dal percorso fatto dalla carica Q2, per portarla nel punto P, alla distanza R12 dalla carica Q1.

V QR4π

Q QR

R4πQQ

0cosRF RF W22

12o

1

2122

12o

12

12122

R12 Q2 +Q1 + F

P


Mettendo in evidenza Q1 si può ottenere un’altra forma della espressione di W2 :

Questo lavoro viene immagazzinato nell’assemblare le due cariche in una configurazione alla quale è associata una energia potenziale. Combinando le due relazioni precedenti si dimostra che l’energia elettrostatica mutua del sistema delle due cariche, è:

1112o

21222

12o

122 V Q

R4π

Q Q W VQ

R4π

Q QW

22112

212o

12

12o

212211

VQVQ2

1W

:cui da

2WR4π

Q Q

R4π

Q QVQVQ


L’energia elettrostatica mutua del sistema delle 2 cariche

L’energia elettrostatica mutua (o di posizione) del sistema di due cariche discrete, corrisponde al lavoro che è necessario fornire per passare da:

una situazione in cui l’interazione delle cariche è nulla,

↓

ad una nuova situazione in cui le cariche sono state collocate per poter interagire mutuamente tra di loro.

22112 VQVQ2

1W


Se si suppone che un’altra carica Q3 sia portata dall’infinito in un punto che dista R13 da Q1 e R23 da Q2, sarà richiesta una quantità di lavoro:

La somma di W e W2 rappresenta l’energia potenziale immagazzinata nell’assemblare le tre cariche Q1, Q2, e Q3:

23

2

13

1333 44 R

Q

R

QQVQW

oo

23

32

13

31

12

2123 4

1

R

QQ

R

QQ

R

QQWWW

o


La relazione può essere riscritta nella seguente forma:

Il potenziale V1 nella posizione della carica Q1 é diverso da quello che si stabilisce nello stesso punto quando sono presenti contemporaneamente le sole cariche Q1 e la carica Q2.

332211

230

2

130

13

230

3

120

12

130

3

120

213

2

1

]44

44

44[

2

1

VQVQVQ

R

Q

R

QQ

R

Q

R

QQ

R

Q

R

QQW


Energia elettrostatica mutua per n cariche discrete.

Estendendo la procedura per n cariche discrete localizzate in N punti:

dove Vk è il potenziale elettrico nel punto in cui è posizionata la carica Qk, dovuto alla presenza di tutte le altre cariche.

N

kjj jk

j

ok

N

kkke R

QVVQW

114

1 e J

2

1


Energia elettrostatica mutua per n cariche discrete.

• We può essere negativa (quando le due cariche sono di segno contrario). In questo caso il lavoro per portare Q2 dall’infinito, è compiuto dal campo (non contro il campo) generato da Q1,

• We rappresenta l’energia di interazione (mutua energia) e non comprende il lavoro richiesto per assemblare le singole cariche puntuali (auto energia).

N

kjj jk

j

ok

N

kkke R

QVVQW

114

1 e J

2

1


Elettronvolt [eV]

L’unità di misura prevista dal sistema internazionale joule [J], è troppo grande per la fisica delle particelle elementari, per cui si utilizza l’elettronvolt [eV].

Un elettronvolt è l’energia cinetica ΔE acquistata da un elettrone libero, la cui carica è:

quando è accellerato da un differenza di potenziale elettrico di ΔV =1 V nel vuoto.

J101.60 eV 1 19

joule101.6 volt1coulomb101.6ΔVqΔE 1919

coulomb101.6 19


Energia elettrostatica mutua dovuta a una distribuzione

di cariche continua

In presenza di una distribuzione di cariche continua di densità , l’espressione della We ,valida per una distribuzione di cariche discrete, deve essere modificata, più precisamente occorre sostituire all’operatore di sommatoria => l’operatore di integrazione):

=>

•V è il potenziale nel punto dove la densità di carica è e

•V’ è il volume della regione dove sono distribuite le cariche ossia la regione dove esiste:

J ρVdv'21

WV'

e J V Q 2

1W

N

1kkke


Energia elettrostatica in funzione delle grandezze di campo

Dalle relazioni: e

si può scrivere:

Applicando le proprietà del calcolo vettoriale, si dimostra che tale relazione può essere espressa in funzione delle grandezze di campo nel seguente modo:

ρD J ρVdv2

1W

V'

e

J Vdv 2

1W

V'

e D

J dv ED2

1W

V'

e


Inoltre se il mezzo è lineare: , l’energia può essere espressa in funzione di una sola grandezza di campo:

Si può anche definire la densità di energia elettrostatica we,

come:

3

22

e

V'

ee

m

J

ε

D

2

1 E ε

2

1 ED

2

1 w

:cui da J dvwW

ED

J dv D

2

1 dvE

2

1W

V'

2

V'

2e


Forze elettrostatiche

Un metodo per il calcolo delle forze elettrostatiche agenti su un corpo sottoposto alle azioni di un in un campo elettrostatico, è quello basato sul principio dello spostamento virtuale (o principio dei lavori virtuali) applicato ai due casi:

1. Sistema isolato che non può avere scambi di energia con l’esterno e quindi le cariche sono costanti (Qtot=cost);

2. Sistema non isolato di corpi conduttori collegati rispettivamente a potenziali fissi (morsetti di batterie) per cui i loro potenziali sono mantenuti costanti( V=cost) a spese di una energia fornita dall’esterno . In questo caso il sistema ha uno scambio di energia con l’esterno.


Sistema di corpi con cariche costanti

Si immagini che le forze elettriche abbiano indotto uno spostamento elementare dl in uno corpo sottoposto alla azione del campo (spostamento virtuale), per cui il lavoro meccanico compiuto dal sistema sarà:

dove è la forza elettrica totale che agisce sul corpo nella ipotesi di cariche costanti.

Poiché il sistema è isolato il lavoro meccanico è fatto a spese della energia elettrostatica immagazzinata, esso è così espresso:

ldFdW Q

QF

ldFdWdW Qe


Poiché la variazione differenziale di uno scalare dovuta alla variazione di posizione dl è uguale al prodotto scalare del gradiente dello scalare per dl:

dal confronto delle due relazioni si ha che la forza elettrostatica nella ipotesi di cariche costanti é:

In coordinate cartesiane:

ldWdW ee

N

Qe

Q e

e e

dW F dl

F W

dW W dl

, ,z

WF

y

WF

x

WF e

zQe

yQe

xQ


Se il corpo è vincolato a ruotare intorno ad un asse, per esempio l’asse z, il lavoro meccanico fatto dal sistema per una rotazione virtuale angolare d sarà:

Dove è la componente z della coppia agente sul corpo nella ipotesi di carica costante e con una procedura analoga si giunge alla seguente espressione:

,dTdWzQ

zQT

mN

e

zQW

T


Sistema di corpi con potenziali costanti

Uno spostamento dl dovuto a un corpo conduttore comporta una variazione della energia elettrostatica totale.

Affinché i potenziali dei corpi conduttori siano mantenuti costanti ci deve essere un trasferimento di cariche dalle sorgenti ai conduttori.

Il lavoro fatto dalle sorgenti esterne per mantenere il potenziale Vk del corpo k costante, fornendo una carica dQk, è: Vk dQk

e se i corpi sono N, la totale energia fornita dalle sorgenti esterne al sistema sarà:

N

kkkS dQVdW

1


Il lavoro meccanico fatto dal sistema per lo spostamento virtuale è:

dove è la forza elettrica sul corpo conduttore nella ipotesi di potenziali costanti.

Il trasferimento di cariche varia anche l’energia elettrostatica del sistema di una quantità dWe:

Per il principio della conservazione della energia si ha che la totale energia fornita dalle sorgenti al sistema :

VdW F dl

VF

1 1

2 2e k k S

k

dW V dQ dW

e SdW dW dW


Sostituendo le espressione determinate, la forza elettrostatica con i potenziali costanti risulta:

Se il corpo conduttore è vincolato a ruotare intorno all’asse z , la componente z della coppia elettrostatica è:

N WF

ldWdWdW-dWldF

ev

eeesv

da cui:

mN

e

zQW

T


Dal confronto delle espressioni delle forze e delle coppie nei due casi si vede come l’unica differenza nelle espressioni, è il segno.

• Infatti nel primo caso (a cariche costanti), il lavoro è stato fatto a spese della energia elettrostatica del sistema, mentre

• nel secondo caso (a potenziali costanti), il lavoro è stato fatto a spese della energia fornita da un sistema esterno.

V e F W N

eV z

WT N m

eQ z

WT N m

Carica costanteSistema isolato

Potenziale costanteSistema non isolato

[N] WFeQ

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