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M. Usai ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA 1

ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA_2b

(ultima modifica 10/10/2011)


L’integrale

è un integrale superficiale ed è un integrale doppio in due dimensioni. Esso è il flusso del vettore attraverso la superficie di area S.

Il versore normale alla superficie S

• è uscente dalla superficie se la superficie è chiusa e

• dipende dalla direzione nella quale è percorso il contorno della superficie se la superficie è aperta e si determina con al regola della mano destra.

sd AS

A

sd

na

na

na


Le grandezze elettromagnetiche generalmente sono grandezze scalari e vettoriali che dipendono dal tempo e dal punto o posizione ( coordinate spaziali), ossia complessivamente dipendono da quattro variabili:

•il tempo e

•le tre coordinate spaziali.

Sono quindi importanti i metodi per definire la velocità spaziale di variazione di un campo scalare per un tempo stabilito.

Si devono sviluppare le derivate parziali rispetto alle tre coordinate e poiché la velocità di variazione può essere diversa nelle diverse direzioni, sarà necessario introdurre un vettore che definisca la velocità spaziale di cambiamento del campo scalare in un determinato punto e un determinato tempo.


Gradiente di un campo scalare

V(u1,u2,u3) V è una grandezza scalare funzione di tre coordinate ui ( potenziale elettrico, temperatura ,

pressione, tasso di umidità).

Per la stessa variazione dV, la velocità di variazione è diversa lungo , perché dn è il percorso più piccolo per passare dalla superficie a potenziale V a quella a potenziale V+dV.

dldV

ndnald

P3P2

P1 V

V+dV

nd


Sulla base di queste considerazioni sorge l’esigenza di definire un vettore che rappresenti sia l’ampiezza che la direzione della massima velocità spaziale di incremento di una grandezza scalare come; gradiente della grandezza scalare,

ossia il vettore che rappresenta il rapporto massimo fra la variazione di V e la lunghezza dl

in coordinate cartesiane

dndV

a V V grad n

l n a adndV

cosα dndV

dldn

dndV

dldV

Vz

ay

ax

aV

za

ya

xa

zyx

zyx


Si definisce divergenza di un vettore di campo in un punto, il flusso netto uscente dalla superficie per unità di volume, quando il volume tende a zero:

In coordinate cartesiane:

AA

Δv

sdAlimAA div S

0Δv

z

A

y

A

x

AA divA zyx


La divergenza in coordinate cilindriche:

La divergenza in coordinate sferiche :

z

A

A

r1

rA r

r1

AdivA zr

A

sin R1

sinA

sin R1

RAR

R1

AdivA R2

2


Teorema della divergenza

Il flusso totale di un vettore uscente da una superficie chiusa qualunque A è uguale all’integrale della divergenza del vettore, esteso al volume V racchiuso dalla superficie stessa:

Se la divergenza è uguale a zero in tutti i punti del campo, il campo è solenoidale.

Se il campo è solenoidale, il flusso attraverso una qualunque superficie contenuta nel campo è uguale a zero.

dv AdivsdAVS


Integrale lineare di un vettore

L’integrale lineare di un vettore lungo un tratto di curva delimitato da due punti M e N é:

Il valore dell’integrale dipende :

• dal tratto di curva percorso tra M e N

• dalle posizioni di punti M e N

A

ld cosβ AldAN

M

N

M

A

t

P

M

N


Il campo è irrotazionale quando l’integrale lineare tra due punti qualsiasi appartenenti al campo, non dipende dal tratto di curva che unisce i due punti M e N, ma solo dalla posizione dei due punti:

chiuso percorsoun é l dove 0ldA

inoltre

ldAldA

eparticolarin

N M percorso qualsialsiper k ldA

M

N

N

M

N

M

l


Se è irrotazionale ammette un potenziale scalare V, ossia: A

gradVA

dVVV

ldAdV

N

MNM


Il rotazionale o rotore di un vettore nel punto P é:

ossia, é un vettore la cui

•ampiezza è la massima circuitazione del vettore per unità di area, quando questa tende a zero e

•la cui direzione è normale alla direzione dell’area orientata che rende massima la circuitazione.

In coordinate cartesiane:

A

AArot

A

zyx

zyx

xz

zxy

yzx

AAAzyx

aaa

A

y

A

xAy

ax

A

z

Aa

z

A

y

AaA


Il rotore in coordinate cilindriche:

Il rotore in coordinate sferiche:

zr

zr

ArAAzr

araa

r1

A

ARsinRAA

R

sinRaRaa

sinR1

A

R

R

2


Il gode delle seguenti importanti proprietà:

I° Identità nulla: Il rotore del gradiente di un campo scalare è uguale a zero.

II° Identità nulla: La divergenza del rotore di un campo vettoriale é uguale a zero.

Teorema di Stokes:

L’integrale superficiale del rotore di un campo vettoriale su una superficie aperta è uguale all’integrale lineare del vettore lungo la linea chiusa che delimita il contorno della superficie.

A rot

0V) ( (V)) (gradrot

div (rot (A)) ( A) 0

ld AsdACS


Nello studio dei campi vettoriali è conveniente rappresentare le variazioni di campo graficamente con linee di campo direzionali o orientate chiamate linee di campo o linee di flusso.

Esse danno una visione della distribuzione del campo, indicando in ciascun punto:

• la direzione del campo vettoriale con il verso delle linee

• l’ampiezza attraverso la densità delle linee ( nei punti dove le linee sono più fitte il campo è più intenso).

La superficie di un volume definito all’interno di un campo, racchiude una sorgente (source), se le linee di flusso sono uscenti.


Campi particolari

Se la divergenza di una grandezza vettoriale che definisce un campo è nulla, il campo è solenoidale:

Se il rotore di una grandezza vettoriale che definisce un campo è nullo, il campo è irrotazionale:

I campi vettoriali possono essere classificati in base al fatto che essi siano solenoidali, irrotazionali e non.

0sdAdv AdivSV

ld AsdACS


Campi generali

Un campo vettoriale generico ha sia la divergenza che il rotore diversi da zero e può essere considerato come la somma di un campo solenoidale e di un campo irrotazionale.

Teorema di Helmhotz

Un campo vettoriale (funzione vettoriale puntuale) è determinato dalla somma della divergenza del potenziale scalare e del rotore del potenziale vettoriale, quando la sua divergenza e il suo rotore sono ovunque definiti:

AVF


I campi possono essere classificati in :

• Campi variabili rapidamente: nei quali i fenomeni di propagazione spaziale non sono trascurabili;

• Campi Statici: nei quali le grandezze che caratterizzano il campo sono costanti al variare del tempo. Essi sono tempo-invarianti e in essi sono nulle le correnti di spostamento e le f.e.m indotte;

• Campi quasi statici: nei quali le grandezze variano lentamente, ossia:

- le derivate temporali delle grandezze di campo sono trascurabili rispetto alla loro velocità di propagazione nello spazio e

- le grandezze che caratterizzano il campo variano nello stesso modo in un qualunque punto dello spazio.


I campi quasi statici si classificano in:

• Campi tempovarianti con legge armonica stazionaria (sinusoidale). Per essi è conveniente rappresentare le variabili in forma vettoriale.

• Campi tempovarianti con legge non armonica stazionaria.

• Nel caso di campi quasi statici le leggi di Maxwell si riducono ad equazioni di diffusione.

Saranno trattati campi statici e quasi statici.


Lo studio dei campi statici o quasi statici trova applicazione nello studio delle:

• macchine elettriche rotanti;

• trasformatori;

• attuatori (relé contattori);

• testine magnetiche;

• schermature;

• bobine per acceleratori e macchine da fusione;

• potenziali elettrostatici: isolatori, passanti, connettori.


Lo studio dei campi rapidamente variabili o dinamici trova applicazione per esempio nello studio di:

• Guide d’onda,

• Antenne,

• Cavità risonanti,

• Filtri


Un generico problema di campo può essere risolto atraverso l’applicazione di metodi analitici oppure a metodi numerici.

I metodi analitici sono particolarmente indicati nel caso dello studio di sistemi bidimensionali ed in presenza di mezzi lineari omogenei ed isotropi. Essi sono stati ampiamente sviluppati durante il secolo scorso e quando risultano applicabili, consentono di ottenere delle soluzioni esatte.

I principali metodi analitici utilizzati per la risoluzione di problemi di campo elettromagnetico sono:

• metodo delle immagini;

• soluzioni in forma chiusa delle equazioni di Maxwell espresse in forma di serie convergenti;

• metodi di trasformazioni conformi.


I metodi numerici sono applicabili anche nel caso tridimensionale e nel caso di mezzi non lineari, non omogenei ed anisotropi.

Essi consentono di ottenere delle soluzioni approssimate e si sono sviluppati con l'avvento dei calcolatori elettronici, quindi da circa trent'anni, ma solo negli ultimi venti anni hanno trovato uno sviluppo nell'ambito progettuale-industriale.

I principali metodi numerici utilizzati per la risoluzione di problemi di campo elettromagnetico sono:

• metodo delle differenze finite

• metodo degli elementi finiti

• metodo BEM ( Boundary Elements Method ).


Il problema della risoluzione di equazioni integro-differenziali di campo è comune alle diverse aree scientifiche dell’ingegneria e della fisica.

Gli studi e i risultati ottenibili per un sistema fisico diventano spendibili per la modellazione e lo studio in termini di campi di fenomeni fisici di natura diversa, quando questi presentino forti analogie ed in particolare nel fenomeno della trasmissione del calore.

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