M. Biey, M. Bonin, F. Corinto -Esercitazioni Di Elettrotecnica

M. BIEY M. BONNN F. CORNTO

ESERCITAZON1 DI ELETTROTECNICA

I 'diritti di elaborazione, di traduzione o l'adattamento anche parziale in qualsiasi forma, di memorizzazione anche digitale, su supporti di qualsiasi tipo, di ripmduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche) sono riservati per tutti i Paesi. Fotocopie per uso personale (cioe provato ed individuale) nei limiti del 15% di ciascun volume possono essere effettuate negli esercizi che aderiscono all'accordo S.I.A.E. - S.N.S. e C.N.A. Confartigianato, C.A.SA, Confcommercio del 18 Dicembre 2000, dietro pagamento del compenso previsto per tale accordo, conformemente alla legge n. 633 del 23.04.l 941. Per riproduziom ad uso non personale l'Editore potrà concedere a pagamento l'autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine del presente volume. Le richieste per tale tipo di riproduzione vanno inoltrate esciusivamente all'indirizzo dell'Editore.

La messa a punto di un libro è un' operazione complessa ed articolata, che necessita di studi, progettualitã grafica, nonché di numerosi controlli di testo, immagine, stili grafici e di stampa. E' praticamente impossibile pubblicare un libro scevro da errori. La C.L.U.T. ringrazia sin d'ora i lettori che vorranno segnalare all'indirizzo dell'Editore eventuali errori riscontrati nella lettura del libro.

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Ideazione e disegno copertina a cura di Andrea Ruffino

© 2013 C.L.U.T. Editrice Proprietà letteraria riservata Stampato in Italia da STAMPATRE - Torino Copyright C.L.U.T - Torino - Ottobre 2013

ISBN 978-88-7992-335-4

Edizioni C.L.U.T. - Torino Corso Duca degli Abruzzi 24— 10129 Torino tel. 011090 79 80 - tel. e fax 011542192 e-mail: [email protected] - www.clut.it

P resentazione

La preparazione di un nuovo testo di esercizi di Elettrotecnica, disciplina trattata in nunierosi manuali e testi, è motivata principalmente dail'esigenza didattica di fornire a1i studenti uno strumento aggiornato e strutturato, attinente allo sviluppo degli in-snamenti di Elettrotecnica (di 10 crediti formativi), nell'ambito dei corsi di Laurea di I livello del settore deii'Ingegneria dell'Informazione.

Gli esercizi proposti sono frutto di una lunga esperienza d'insegnamento degli auto-ri e di una buona interazione con gil studenti, che con le loro domande hanno suggerito s-arianti e modifiche significative ai testi iniziali.

II libro è suddiviso in due parti: la prima presenta, insieme ai testi degli esercizi, un breve richiamo dei fondamenti teorici necessari per la loro soluzione; la seconda mostra le soluzioni (consigliate) dei problemi.

L'lnserimento di soluzioni dettagliate e motivata daii'esigenza di conciliare la gene-rale alta numerositä di studenti nei corsi di base con ii limitato tempo a disposizione per le esercitazioni in aula. Tuttavia, lo studente e caidamente invitato a non seguire passivamente le soluzioni proposte, ma a tentare di risoivere gil esercizi in modo auto-imo, ricorrendo alle soluzioni riportate nei testo solo in un secondo tempo.

Gli argomenti trattati riguardano: i'analisi e le proprietà fondamentali del circuiti lineari resistivi, compresi i generatori dipendenti e l'amplificatore operazionale ideale; lanalisi e le proprietà fondamentali di circuiti dinamici, nel dominio del tempo e della frequenza. Inoltre è stato inserito un capitolo relativo ali'anaiisi di circuiti con diodi icleali.

Un grazie molto sentito aJi'editore per aver atteso con pazienza ii completamento del testo e per averne particolarmente curato la veste grafica.

Torino, ottobre 2013

Gil autori

V

Indice

I Testi

1

Uso delle leggi di Kirchhoff 3 1.1 Richiami teorici .........................................3

1.1.1 La legge di Kirchhoff delle tensioni .....................3 1.1.2 La legge di Kirchhoff delle correnti .....................4 1.1.3 Le leggi di Kirchhoff in forma matriciale .................4 1.1.4 Ii teorema di Tellegen ...............................7

Esercizi....................................................9

2 Analisi di circuiti resistivi elementari - I 13 2.1 Genera1it .............................................13 2.2 Richiami teorici .........................................13 Esercizi....................................................16

3 Analisi di circuiti resistivi elementari - H 19 3.1 Generalit .............................................19 3.2 Richiami teorici .........................................19 Esercizi....................................................21

4 Metodi generali di analisi - circuiti resistivi 23 4.1 Generalità .............................................23 4.2 Ii metodo dei nodi: richiami teorici ed esempi ...................23

4.2.1 Introduzione ......................................23 4.2.2 Generatori di corrente indipendenti ....................25 4.2.3 Generatori di corrente dipendenti ......................27 4.2.4 Generatori di tensione ...............................28 4.2.5 Amplificatori operazionali ideali .......................33

Esercizi.....................................................35

VII

VIII

Indice

5 Uso dei teoremi di Millman, sovrapposizione, Thévenin/Norton 41 5.1 Richiami teorici ...........................................41 Esercizi....................................................43

6 Doppi bipoli resistivi 47 6.1 Gencralità .............................................47 6.2 Richiami teorici .........................................47 Esercizi....................................................51

7 Reti RC e RL di ordine uno 53 7.1 Generalità ............................................. .53 7.2 Richiami teorici ......................................... 53 Esercizi....................................................55

8 Introduzione all'uso della trasformata di Laplace 59 8.1 Generalità ............................................. 59 8.2 La trasformata di Laplace ................................. 59

8.2.1 Definizione ....................................... 59 8.2.2 Proprietà fondamentali ..............................60

Esercizi.................................................... 61

9 Metodi generali di analisi - circuiti dinamici 63 9.1 Generalità ............................................. 63 9.2 Ii metodo dei nodi: richiami teorici ed esempi ...................63

9.2.1 Circuiti dinamici ................................... 63 9.2.2 Le regole del calcolo simbolico ........................ 64 9.2.3 Esempi .......................................... 67

Esercizi.....................................................78

10 Introduzione al regime sinusoidale 83 10.1 Generalità .............................................83 10.2 Richiami teorici .........................................83 Esercizi....................................................86

11 Analisi di circuiti in regime sinusoidale 89 11.1 Richiami teorici .........................................89 Esercizi....................................................90

12 Potenze in regime sinusoidale, rifasamento, adattamento energetico 93 12.1 Generalità ............................................. 93 12.2 Richiami teorici ......................................... 93 Esercizi.................................................... 96

13 Funzioni di rete e curve di risposta 99 13.1 Richiami teorici .........................................99

13.1.1 Funzioni di rete ................................... 99 13.1.2 Curve di risposta ..................................101

Esercizi....................................................104

Indice ix

14 Doppi bipoli dinamici 107 14.1 Generalitã .............................................107 14.2 Richiami teorici .........................................107 Esercizi....................................................110

15 Analisi di circuiti con diodi ideali 113 1-5.1 Richiami teorici ed esempi .................................113

15.1.1 Ii diodo .........................................113 15.1.2 Caratteristica v-i di un diodo a semiconduttore ...........113 15.1.3 Equazione descrittiva di un diodo a semiconduttore ........115

15.1.4 Ii diodo ideale ....................................115 15.1.5 Analisi di circuiti con diodi ideali ......................116

Esercizi....................................................121

II Soluzioni 125

16 Uso delle leggi di Kirchhoff 127

17 Analisi di circuiti resistivi elernentari - I 131

18 Analisi di circuiti resistivi elementari - II 135

19 \letodi generali di analisi - circuiti resistivi 141

20 Uso dei teoremi di Millman, sovrapposizione, Thévenin/Norton 157

21 Doppi bipoli resistivi 167

22 Reti RC e RL di ordine uno 177

23 Introduzione all'uso della trasformata di Laplace 191

24 Metodi generali di analisi - circuiti dinamici 199

25 Introduzione al regime sinusoidale 221

26 Analisi di circuiti in regime sinusoidale 227

27 Potenze in regime sinusoidale, rifasamento, adattamento energetico 231

28 Funzioni di rete e curve di risposta 237

29 Doppi bipoli dinamici 243

30 Analisi di circuiti con diodi ideali 251

Bibliografia 263

Parte I

Testi

:apitolo 1

Uso delle Iegg di Kirchhoff

Richiami teorici

capitolo si prefigge di familiarizzare l'allievo con l'uso delle leggi di Kirchhoff cm le convenzioni di segno per tensioni e correnti. Prima di proporre gil esercizi, si : z 10 alcuni richiami teorici. Si veda ii testo [1] per maggiori dettagli.

L1.1 La legge di Kirchhoff delle tensioni

Eono diverse forme delia legge di Kirchhoff delle tensioni (Kirchhoff 's Voltage Law, semplicemente KVL). Tali forme sono tra loro perfettamente equivalenti e l'uso

-.na forma e dell'altra ê generalmente solo dettato da motivi di convenienza. Nel sEt1ItO si enunceranno le due forme pin comuni.

> Prima forma (in termini di tensioni ai nodi): Per tutti i circuiti a parametri concentrati e connessi, qualunque sia la scelta del nodo di riferimento, per ogni istante di tempo t e per tutte le coppie di nodi i e j, la tensione vi j del nodo i rispetto al nodo j è uguale a[la differenza tra le tensioni ej e e3 dei nodi i e j rispetto al nodo di riferimento:

vij = e - e

> Seconda forma (in termini di sequenza chiusa di nodi): Per tutti i circuiti a parametri concentrati e connessi, per un'arbitraria sequenza chiusa di nodi i, j,... , k, i, per ogni istante di tempo t, la somma algebrica di tutte le tensioni tra i nodi della sequenza, percorsa in un verso fissato, è nulla.

E opportuno notare che molto spesso una sequenza chiusa di nodi indica un cam-inino die avviene lungo 1 rami del circuito. In tal ca.so si parla preferibilmente di inaglia (in inglese mesh) se ii percorso chiuso considerato non contiene altri rami del circuito al suo interno, oppure di anello (in inglese loop) nel caso che ii percorso diiuso considerato contenga altri rami del circuito al suo interno.

3

1 - Uso delle leggi di Kirchhoff

1.1.2 La legge di Kirchhoff delle correnti

Esistono diverse forme della legge di Kirchhoff delle correnti (Kirchhoff 's Current o pii semplicemente KCL). Tali forme sono tra loro perfettamente equivalenti e 1' di una forma e dell'altra e generalmente solo dettato da motivi di convenienza. seguito si enunceranno le due forme pii colnuni.

Prima forma (in termini di superfici chiuse): Per tutti i circuiti a parametri concentrati, per una qualsiasi superfice chiusa tenente una parte del circuito e per ogni istante di tempo t, la somma algebri tutte le correnti uscenti dalla superfice chiusa è nulla. Seconda forma (in termini di nodi): Per tutti i circuiti a parametri concentrati e per ogni istante di tempo t, la so algebrica di tutte le correnti uscenti da un nodo qualsiasi è nulla.

1.1.3 Le leggi di Kirchhoff in forma matriciale

Nel seguito si ricaverà la forma matriciale delle leggi di Kirchhoff. Poiché tali 1 dipendono esciusivamente dalla topologia del circuito, si introdurrà brevemente l't di grafo orientato associato ad una rete elettrica.

Grafo orientato

Un circuito elettrico e completamente descritto dalla sua topologia e dalla conosce degli elementi che lo costituiscono. Tuttavia, alcune proprietà del circuito, come esempio le leggi di Kirchhoff delle tensioni e delle correnti, dipendono esciusivamente dalla sua topologia e sono indipendenti dai componenti. Puô quindi essere utile so-stituire allo schema del circuito una rappresentazione che metta in risalto soltanto ii modo in cui i componenti sono collegati, senza fare riferimento ai componenti stesSL CiO puO essere fatto nel modo seguente:

1. si sostituisce ogni elemento a due morsetti con un arco di linea, detto ramo; 2. si assegnano numeri diversi ai nodi della rete e gli stessi numeri ai corrispond

punti di connessione dei rami; 3. su ogni ramo viene fissato un verso, coincidente con ii verso. poSitivo assunto

la corrente. Sul ramo non ê segnato ii verso della tensione, che viene imp1i mente fissato in accordo con la convenzione indicata nefla figura 1.1 (detta a convenzione degli utilizzatori).

Figura 1.1 Bipolo e ramo orientato corrispondente

CiO che si ottiene viene detto grafo orientato associato al circuito considerato. N figura 1.2 sono rappresentati due circuiti fatti con componenti diversi, ma con la st

- Richiarni teorici 5

o1ogia. Nella stessa figura è rappresentato ii gra.fo ad essi associato. Per maggiori dkttagli ed un'estensione al caso di circuiti contenenti componenti con piü morsetti si ±2landa a [1].

R6

1 R4 2R53

j"Ih4 1Kt3

R R3 19i R

T T 0 0

Figura 1.2 Circuit con stessa topologia ma diversi componenti hanno to stesso grafo. In csivo è indicata la numerazione del rami, in grassetto quella del nodi

Legge di Kirchhoff delle correnti

tiuscente

ideri un circuito ii cui grafo e indicato nella figura 1.3 e si scrivano 1e leggi di off delle correnti (KCL) ai quattro nodi indicati, assumendo come verso positivo

dal nodo. 6

1K73 4

Figura 1.3 II grafo orientato utilizzato neII'esempio

tiene ii seguente sistema di equazioni:

( ?4+4+Z6 = 0 = 0

I = 0 I.7,1 +i2 +i3 = 0

siste—ma PUO essere riscritto nella forma seguente:

ii [-1 0 0 1 0 111i2 1 [01 I 0—i 0-1 1 ol Ii3I0I

0 0 —1 0 —1 —1 I I 7,4 I - 0 I (1.2)

[ 1 1 1 0 0 0- i5 [oj 7,6i

6


Osservando il sistema 1.2 si pUO notare che ogni colonna della matrice dei coefficiei4 contiene esattamente un +1 e un —1 e quindi le equazioni scritte risultano linearmenie dipendenti (sommando tutte le righe si ottiene una riga di tutti zero).

Questo risultato è del tutto generale: se in un circuito si scrivono le KCL a tuti i nodi, allora 1€ equazioni ottenute risultano linearmente dipendenti. Si puô provaze che (dr. [11): se in un circuito con n nodi si scrivono le KCL a t'utti i nodi tran uno, allora le equazioni ottenute risultano linearmente indipendenti. II nodo esdlusD viene solitamente detto nodo di riferimento e ad esso è assegnato il numero O Nell'esempio in esame, se si assume il nodo 4 come nodo di riferimento, si ottiene I seguente sistema di equazioni (linearmente indipendenti): ___

0-1 0-1 1 01 I =I (1 ri 0 0 1 0 1 I [01 1 L 0 0-1 0—i —ij i4 [oj

15 Li6

e, in forma compatta, Ai=O (1.4

Anche in questo caso il risultato ottenuto lavorando su un esempio è del tutto generale ed esprime la legge di Kirchhoff delle correnti in forma matriciale. Nell'equazione 1.4 La matrice A è detta matrice di incidenza (ridotta, in quarno associata a n - 1 nodi). Ii suo numero di righe e uguale al numero di nodi meno 1 mentre il suo numero di colonne è uguale al numero di rami del grafo. I suoi elemenii aij valgono:

> +1 se il ramo j incide nel nodo i con il verso della corrente uscente dal nodo; > —1 se il ramo j incide nel nodo i con il verso della corrente entrante nel nodo;

0 se il ramo j non incide nel nodo i

Legge di Kirchhoff delle tensioni

Si consideri ora 10 stesso grafo della figura 1.3 e si scrivano le leggi di Kirchhoff delle tensioni (KVL) usando per esse La forma indicata nella figura 1.4. Indicando con Vk la tensione di un generico ramo k (misurata con la convenzione indicata nella figura 1.4 e con e2 La tensione di un generico nodo i rispetto al nodo di riferimento (in questo caso il nodo 4), si ottiene il seguente sistema di equazioni (sicuramente linearmente indipendenti, poiché ogni equazione contiene una variabile diversa):

V1 —1 0 0 V2 V3 V4

- -

01 0 0 0-1 1 —1 0 0 1-1

e1 e2

V6 J 1 0-1

p1.1 - Richiami teorici 7

k

Figura 1.4 Legge di Kirchhoff delle tensioni: v = ek - C3

Confrontando l'equazione 1.5 con le equazioni 1.3 e 1.4, le KVL si pOSSOnO scrivere facendo nuovamente ricorso alla matrice di incidenza:

v=ATe (1.6)

Anche in questo caso ii risultato ottenuto lavorando su un esempio ê del tutto generale ed esprime la legge di Kirchhoff delle tensioni in forma matriciale.

Interessante è ii fatto che la conoscenza della sola matrice di incidenza e sufficente a scrivere un insieme di equazioni tra loro linearmente indipendenti che esprimono le leggi di Kirchhoff delle correnti e delle tensioni per ii circuito in esame.

1.1.4 II teorema di Tellegen

r teorema seguente è dovuto a Tellegen (1952). Caso singolare tra tutti i teoremi della - -oria del circuiti, esso dipende unicamente delle leggi di Kirchhoff e dalla topologia ±l circuito. Di conseguenza pub essere enunciato facendo riferimento ad un grafo, T luttosto che ad un circuito. Si consideri un grafo orientato, che si PUO pensare associato

un circuito con componenti qualsiasi. Sia b ii numero di rami del grafo ed n ii numero :-i nodi. Si consideri un arbitrario insieme di correnti di ramo i = (i1, j2. . . , i) soddisfacenti alla legge di Kirchhoff delle correnti (1.7), ove A e la matrice di incidenza ftidotta) associata al grafo.

Ai=O (1.7)

;i consideri ora, facendo riferimento allo stesso grafo, un insieme di tensioni di ramo IR = (vi, V2,. . . , v) soddisfacenti alla legge di Kirchhoff delle tensioni (1. 8), ove e e 1 vettore delle tensioni di nodo ed i versi di riferimento per tensioni e correnti sono issociati secondo la convenzione indicata nella figura 1.1.

v = ATe (1.8)

ikra si pub provare ii seguente risultato:

vkik = 0 ovvero, in forma equivalente, vTi = 0 (1.9)

8 1 - Uso delle leggi di Kirchhoff

La dimostrazione e immediata. Infatti, usando l'ipotesi (1.8), ricordando che la tra-sposta di un prodotto di matrici e uguale al prodotto, in ordine inverso, delle matrid trasposte e, infine, facendo uso dell'altra ipotesi (1.7), si ottiene:

vi = (ATe)Ti = eT(AT)Ti = eT(Ai) = 0 (1.10)

Osservazion e

Sebbene nel teorema di Tellegen le tensioni e le correnti considerate possano esseil misurate in circuiti diversi, purché descritti dallo stesso grafo, nulla vieta di conside-rare come tensioni e correnti di ramo queue misurate in uno stesso circuito. E ovvio allora che tall insiemi di tensioni e correnti soddisfano, istante per istante, alle due ipotesi (1.7) e (1.8). Di conseguenza, per un qualsiasi circuito, le tensioni e correnti di ramo soddisfano, ad ogni istante t, all'equazione 1.9. Ma ii prodotto Vk(t)ik(t) non è altro che la potenza elettrica fornita all'istante t al ramo k dal resto del circuito. Di conseguenza l'equazione 1.9 asserisce che l'energia e conservata. Detto in altre parole. per i circuiti a parametri concentrati la conservazione dell'energia e una conseguenza delle leggi di Kirchhoff.

Esercii

9

IZI

11 Si consideri ii circuito della figura E-1.1, ove sono indicati I valori che alcune tisioni e correnti assumono ad un istante to. Sfruttando le leggi di Kirchhoff delle tisioni e delle correnti, si determinino i valori delle altre tensioni e correnti al medesimo

&ante t0.

V1 +___ tj

8A

I 6A1

I 2 IF + 9v Z4 V3 +1 -

+

V2 7V ri; 11

7A

Figura E-1.1

1.2 Con riferimento ai circuiti (a), (b) e (c) della figura E-1.2 e facendo uso ce11a legge di Kirchhoff delle correnti, si calcolino le correnti incognite.

lob 8A\/- 6 A SA

IOA

(a)

-6A 12

5A 2A 5 X~

A

(b) (c)

Figura E-1.2

10


V1

Figura E-1.3

1.3 Con riferimento al circuito della figura E-1.3 e facendo uso della legge Kirchhoff delle tensioni, si calcolino v1, V2 e V3.

1.4 Si consideri ii circuito della figura E-1.4. Applicando la legge di Kirchhoff delle correnti alla superficie chiusa indicata nella figura, risulta i1 = i2. Si verifichi tale risultato applicando la legge di Kirchhoff delle correnti ai singoli nodi del circuito. Si verifichi inoltre che le equazioni ottenute applicando la legge di Kirchhoff delle correnti ai singoli nodi del circuito sono tra loro linearmente dipendenti.

1.5 Con riferimento al circuito della figura E-1.5, si calcoli i3, sapendo che 2A e i2 = 0,7A.

Figura E-1.4 Figura E-1.5

Esercizi

11

1-6 Nel circuito della figura E-1.6 sono note i, 3, i4 e i5. Si calcolino ib, i6, i1

1-7 Nel circuito della figura E-1.7 Si calcolino ih, ix, i, i e

RJR

Figura E-1.6

Figura E-1.7

1.8 Nel circuito della figura E-1.8 si calcolino v2 e v4.

1.9 Nel circuito della figura E1.9 Si calcolino v, v,,, e VBA.

-1v-

+v +v4

rH IT1

lOV V2 7V

+

2V


Capitolo 2

Analisi di circuiti resistivi elementari - I

2.1 Generalitá

iuesto capitolo sono proposti i primi calcoli elementari di tensioni, correnti e potenze semplici circuiti resistivi lineari, per i quali I metodi generali di analisi sono superfiui.

2 Richiami teorici

richiamano le definizioni dei componenti fondamentali usati nei circuiti elettrici e le pressioni della legge di Ohm e della potenza (elettrica) istantanea.

Generatori indipendenti. Nella figura 2.1 ê rappresentato ii simbolo di un generatore ideale di tensione indipendente. Ii generatore fornisce una tensione v(t) indipendente dalla corrente i(t) che lo attraversa. La figura 2.2 mostra ii simbolo di un generatore ideale di corrente indipendente. Ii generatore fornisce una corrente i(t) indipendente dalla tensione v(t) ai suoi morsetti. Si noti la scelta fatta per i versi di tensione e corrente: essa e generalmente indicata come convenzione degli utilizzatori.

v(t) v(t)

i(t)

Figura 2.1 Generatore ideate di tensione Figura 2.2 Generatore ideale di tensione

> Generatori dipendenti (o controllati). Accanto ai generatori indipendenti Si possono introdurre, per la loro utilità nel costruire modelli di dispositivi fisici reali, altri generatori ideali in cui la tensione o la corrente fornita dipende (ovvero e controllata) o dalla corrente che scorre in un altro ramo del circuito o dalla tensione tra una coppia di nodi. In totale si hanno quattro tipi di generatori dipendenti (o controllati), illustrati nelle figure 2.3 2.6.

13

14 2 - Analisi di circuiti resistivi elementari - I

• Generatore di tensione controllato in corrente (figura 2.3) La tensione V2 dal generatore e indipendente dalla corrente i2 ed e controllata dalla i1 che scorre in un altro ramo del circuito: v2 = Tm1. Ii parametro r dimensioni di Q ed è chiamato transresistenza.

o Generatore di corrente controllato in tensione (figura 2.4) La corrente i dal generatore e indipendente dalla tensione V2 ed e controllata dalla ten tra una coppia di nodi del circuito: i2 = 9mVl. Ii parametro 9m ha le din di ci' ed e chiamato transconduttanza.

o Generatore di corrente controllato in corrente (figura 2.5) La corrente i dal generatore e indipendente dalla tensione V2 ed è controllata dalla i1 che scorre in un altro ramo del circuito: i2 = au. Ii parametro a è dimensioni ed e chiamato amplificazione di corrente.

o Generatore di tensione controllato in tensione (figura 2.6) La tensione v dal generatore e indipendente dalla corrente i2 ed è controllata dalla I v1 tra una coppia di nodi del circuito: v2 = /Avl. Ii parametro it è dimensioni ed è chiamato amplificazione di tensione.

Si noti che i generatori dipendenti ora definiti possono essere considerati, C giore precisione, dei doppi bipoli lineari resistivi (si veda a tale proposito ii "Doppi bipoli resistivi" a pagina 49).

Figura 2.3 Generatore di tensione controllato Figura 2.4 Generatore di corrente controll2:: in corrente in tensione

Figura 2.5 Generatore di corrente controllato Figura 2.6 Generatore di tensione controlla:: in corrente in tensione

Legge di Ohm. Per un resistore di resistenza R e conduttanza C = 1/R, v e corrente i sono legate dalle equazioni seguenti:

v=Ri; oppure i=Gv

Le equazioni suddette prevedono che ii verso positivo per la corrente sia entrante morsetto contrassegnato dal segno + del verso positivo scelto per la tensione, cc

p2.2 Richiarni teorici 15

nella figura 2.7 (scelta spesso indicata come convenzione deyli tttilizzatori);

Figura 2.7 Versi di riferimento secondo la convenzione degli utilizzatori

tenza istantanea. La potenza istantanea entrante in (o assorbita da) un bipolo istivo di resistenza R e conduttanza G = 1/R è data da:

p(t) = vi = Ri2 = Gv2

Queste equazioni prevedono che tensione e corrente siano misurate con la convenzio-ne degli utilizzatori. Se la potenza p(t) risulta in qualche istante negativa, significa che in realtà ii bipolo eroga potenza al circuito cui e collegato. Nel caso ii bipolo sia un generatore, costruito quindi per fornire potenza ad un circuito, la potenza da esso assorbita risulterebbe sempre negativa. Si preferisce in tal caso cambiare ii verso di riferimento della corrente (convenzione dei generatori), in modo che la potenza erogata (o uscente) dal generatore risulti sempre positiva.

16 2 - Analisi di circuiti resistivi elemeritari - I

Esercizi

2.1 Nel circuito della figura E-2.1, ii generatore fornisce una tensione C

di 50 V. Si calcoli la corrente I circolante nel circuito e la potenza dissipata in ( resistore. Che relazione esiste tra la potenza P. fornita dal generatore e la p totale dissipata nei tre resistori?

R1 = 5

50V R2 = 11

R3 = 9c

Figura E-2.1

2.2 Partitore di corrente Nel circuito della figura E-2.2, la corrente i si ripartis tra le due resistenze R1 e R2. Si calcolino i1 e i2 in funzione della corrente i e:

a) delle resistenze R1 e R2; b) delle conduttauze G1 e

Le formule ricavate sono generalmente note come formule del partitore di corrente.

2.3 Partitore di tensione Nel circuito della figura E-2.3, la tensione v si ripartisce tra le due resistenze R1 e R2. Si calcolino v1 e v2 in funzione della tensione v e:

a) delle resistenze R1 e R2; b) delle conduttanze G1 e C2;

Le formule ricavate sono generalmente note come formule del partitore di tensione.

2 +

V2

F gura E-2.2 Partitore d corrente

Fgura E-2.3 Partitore di tensione

2.4 Per i circuiti delle figure E-2.4a e E-2.4b si calcolino le correnti e le tensioni incognite. Nel caso della E-2.4c, Si calcoli V5 in modo che la tensione tra A e B sia di 100 V.. Se la resistenza R viene Staccata dal circuito, si calcoli ii nuovo valore di 12.

Esercizi

AVVJVVH

15 \

1-3 1OV

40V

oci

B

- (b) (c)

Figura E-2.4

25 Nel circuito della figura E-2.5 si calcolino I, V e la potenza P assorbita Lielemento circuitale incognito, sapendo che ii generatore 1/91 fornisce una potenza 100W.

2.6 Si ripeta ii problema precedente nel caso del circuito della figura E-2.6, sapendo che ii generatore I., fornisce una potenza di 1 W. Usando un diverso compo-nente circuitale incognito, la potenza fornita dal generatore 191 risulta essere di 3W. Si ripetano 1 caicoli in questo caso. In quale del due casi esaminati l'elemento circuitale incognito si comporta come un generatore?

i 20

v J

I

V qj O.1A 500cl U.O\

60V


pitolo 3

Analisi di crcuiti resisfivi elementari - II

3.1 Generalità

In questo capitolo saranno proposte le prime analisi di semplici circuiti resistivi, che pssono essere compiute usando ii calcolo di resistenze connesse in serie e/o parallelo, fr regole del partitore di tensione e/o di corrente e l'equivalenza di bipoli.

3.2 Richiami teorici M, seguito sono richiamati i principah risultati teorici utili per risolvere i problemi poposti:

due o pit bipoli si dicono connessi in serie quando sono attraversati dalla stessa corrente, mentre si dicono in parallelo se sono soggetti alla stessa tensione; due bipoli sono equivalenti se ii legame tra tensione e corrente ai morsetti e identico per entrambi i bipoli. Per bipoli resistivi ciO significa che essi devono avere la stessa caratteristica tensione-corrente; Ia resistenza equivalente Req di n bipoli di resistenza R1, R2,.. . , R, in serie ê:

Req = R1+ R2 + ... + Rn

la conduttanza equivalente Geq di fl bipoli di conduttanza G1, G2,. . . , G,- in paral-lelo è:

Geq Gi+G2+"+Gn

Si osservi che: (a) ii parallelo di due resistori di resistenza R è un resistore di resistenza uguale a R/2; (b) ii parallelo di pii resistori con valori di resistenza diversi e un resistore di resistenza inferiore al valore piü piccolo delle resistenze;

, ma corrente i si ripartisce tra due resistenze R1 e R2 in parallelo secondo le formule ricavate nel Capitolo 2, esercizio 2.2:

• 01 . . 02 ii=i e 2=z 01+02 01+02

19

20 3 - Analisi di circuiti resistivi elementari - II

oppure, in termini di resistenze:

R2 . ._____ R et2=iRR

> una tensione v Si ripartisce tra due resistenze R1 e R2 in serie secondo le ricavate nel Capitolo 2, esercizio 2.3:

R1 Vi = V e v2

= V____ R +R2 R +R2

oppure, in termini di conduttanze:

_____ Cl VI = V - ev2=iCC

Esercizi 21

R 20(

Esercizi

qi (l(Alirc to rQiQ+Dt1!7 rn1vt7lenti Req del bipoli indicati nelle figure E-3.1, 3.3 quanto vale la resistenza equivalente nel ssi in corto circuito? ----------- 7-

P V

• = =

[-3.1

28c2 18Q

Figura E-3.2

12 Applicando partitori di tensione e/o corrente, calcolare tensioni e correnti iE rcuito della figura E-3.4. I valori dei componenti sono: E = 60 V, R1 = 19 1,

= 30, R3 = 701. 13 Trovare I nel circuito della figura E-3.5, usando le formule del partitore di - one.

Figura E-3.5

Figura [-3.3

Figura E-3.4


3.4

Si calcoli la corrente 11 nel circuito della figura E-3.6. 3.5

Si calcoli la tensione Vi nel circuito della figura E-3.7.

20A

Figura E-3.6

(a) (b)


R fl

(jt) (±) ToT

Figura E-3.11

R

Figura E-3.10

3.6 Si considerino i circuiti della figura E-3.8 e si determini sotto quali condizion essi sono equivalenti.

3.7 Diagrammare la caratteristica tensione-corrente del bipolo della figura E-3.9 I valori dei componenti sono: vb = 100 V, Rb = 40 1, R1 = 60 Q. Sfruttando ii graficc ottenuto, si determini un circuito equivalente fatto da un generatore di tensione Veq L serie ad una resistenza Req.

i4 : !: R1

3.8 Si consideri ii circuito della figura E-3.10. Si determini la tensione e1 de nodo 1 rispetto a! nodo 0. 39 Per ii circuito indicato nella figura E-3.11 si calcoli: (a) il rapporto tra 1 potenza P2 sul carico R e la potenza pi fornita dal generatore vi e, (b) la resistenz d'ingresso Ri ai morsetti del generatore.

1 I • I I - 1 14

Capitoo 4

Metodi generali di analisi - circuit resistivi

4.1 Generalitâ

h questo capitolo to studente e introdotto all'uso di un metodo generate di analisi, per ora limitatamente al caso di circuiti resistivi. Sara descritto nei dettagli it metodo d1ei nodi (Nodal Analysis (NA)), usato come strumento di base per l'arialisi di circuiti

np1essi, per i quali i metodi di analisi "a vista" sono di difficile, se non impossibile, applicazione.

4.2 II metodo del nodi: rchiami teorici ed esempi

di proporre esercizi da risolversi con it metodo dei nodi, verranno effettuati richiami teorici e presentati alcuni esempi.

L 11 Introduzione

I na1isi nodale (nodal analysis (NA), detta anche analisi con il metodo dei nodi) si —ico1a nei seguenti passi:

i. si numerano i nodi del circuito, prendendone uno come riferimento (indicato con 0). Quindi si assumono come incognite le tensioni dei nodi rispetto at nodo di riferimento prescelto. In accordo a [1] la tensione di un generico nodo k (rispetto al nodo di riferimento) sara net seguito indicata con it simbolo ek;

I I ogni nodo si scrive la legge di Kirchhoff delle correnti (KCL), assumendo per sem-plicitã 10 stesso verso di riferimento per tutti i rami incidenti net nodo (tipicamente

assume come verso positivo di riferimento quello uscente); si utilizzano le relazioni costitutive dei singoli rami per esprimere le correnti dei rami in funzione delle rispettive tensioni di ramo e delle correnti dei generatori di corrente indipendenti;

.4~ infine si usa la legge di Kirchhoff delle tensioni (KVL) per esprimere le tensioni dei rami in funzione delle tensioni dei nodi.

In genere i punti 2, 3 e 4 si fondono in uno solo, esprimendo immediatainente le inti, che intervengono nelle KCL ai nodi, in funzione delle tensioni dei nodi. A

23

24 4 - Metodli generali di analisi - circuiti resistivi

titolo d'esempio, facendo riferimento alla figura 4.1, la corrente i (uscente dal nodo k. puO essere espressa immediatamente come dd

i = - e3 )

ove si e fatto implicitamente uso della relazione costitutiva del ramo (punto 3) i = e della KVL (punto 4) v = ek - e3.

Figura 4.1 Legge di Kirchhoff defle tensioni: v = ek - ej

Osservazioni

1. Perché ii metodo possa essere applicato cos! come indicato, occorre che i singoli rami del circuito siano descritti da relazioni costitutive del tipo i = g(v), in modo the cia.scuna corrente di ramo possa essere espressa in funzione della corrisponden tensione di ramo;

2. In tal caso ii sistema di equazioni che descrive ii circuito puô essere scritto in for automatica, a vista;

3. Ii metodo permette di scrivere un numero minimo di equazioni e si presta bene ad essere utilizzato per analisi di circuiti di dimensioni limitate, usando carta e penna;

4. Nel caso siano presenti generatori ideali di tensione, indipendenti o dipendentL oppure amplificatori operazionali ideali, ii metodo dei nodi deve essere opportuna-mente adattato per poter essere utilizzato anche con questi componenti;

5. Nel caso sia richiesta una corrente come variabile d'uscita, ii metodo dei nodi ri-chiede una post-elaborazione, per poter ottenere la corrente richiesta a partire dalle tensioni dei nodi;

6. Nel caso di circuiti dinamici e lavorando nel dominio del tempo, la presenza di induttori porta a Scrivere equazioni integrali, ii che puô risultare scomodo per una soluzione numerica del sistema di equazioni che descrivono ii funzionamento de circuito;

7. Per i suddetti motivi il metodo non risulta sufficientemente generale da poter essere adottato nell'analisi automatica di circuiti per mezzo del calcolatore;

8. Per ovviare agli inconvenienti indicati, e stata introdotta una generalizzazione del metodo dei nodi, chiamata analisi nodale modificata (MNA), descritta in [2] (si veda anche [1], Cap. 8). 19

Nel seguito sara illustrato l'uso del metodo dei nodi nell'analisi di circuiti resistiv indicando le modifiche necessarie per estenderne l'utilizzo ai casi in cui siano preseni generatori ideali di tensione, dipendenti o indipendenti, e amplificatori operazionali.

§4.2 - Ii metodo dei nodi: richiami teorici ed esempi 25

F[FCi6 non deve essere visto come una limitazione. Infatti, come si vedrà in seguito, --a mite l'uso della trasformata di Laplace sara semplice estendere ai circuiti dinamici

tecniche usate per i circuiti resistivi.

4.2.2 Generatori di corrente indipendenti

consideri ii circuito indicato nella figura 4.2. In questo caso ii metodo dei nodi pUO ere applicato direttamente, senza varianti e senza alcuna modifica del circuito. In accordo alle regole prima enunciate, si scrivono le leggi di Kirhhoff delle correnti

a nodi 1, 2 e 3, esprimendo direttamente le correnti in funzione delle tensioni dei nodi, dielle conduttanze dei componenti e delle correnti dei generatori indipendenti.

Indicarido con e1, e2 ed e3 le tensioni dei nodi rispetto al nodo 0 di riferimento, si tengono le seguenti tre equazioni nelle tre incognite e1, e2 ed e3:

( e1G1 + (ei - e2)(G2 + C4) = isi (e2 - ej)(G2 + C4) + e2G3 + (e2 - e3)G5 = —is3 (4.1)

I. (e3 - e2)G5 + e3G6 = is3 - s2

i3

Figura 4.2 Circuito resistivo con soh generatori di corrente indipendenti

Riordinando le equazioni, ii sistema precedente puO essere scritto nella forma:

G1+G2+G4 —G2—G4 0 e i31 —C2 - C4 G2 + C3 + G4 + C5 —05 e2 = —is3 (4.2)

0 —G5 C5 + C6 e3 i3 - i2

La matrice dei coefficienti, di solito indicata con Yn è detta matrice delle condut-nze nodali (in seguito, nel caso di circuiti dinamici, verrà chiamata matrice delle

.uimettenze nodali). II sistema scritto possiede una semplice legge di formazione, the ne permette la

rittura immediata:

> gli elementi della matrice Yn di posto (i,i) (cioè sulla diagonale principale) risultailo essere la somma di tutte le conduttanze che collegano (direttamente) ii nodo i con tutti gli altri nodi;

> gli elementi della matrice Y, di posto (i,j) (cioè fuori dalla diagonale principale) risultano essere la somma di tutte le conduttanze che collegano (direttamente) ii nodo i con ii nodo j, con ii segno cambiato;

26 4 - Metodi generali di analisi - circuiti resistivi

c> ii vettore dei termini noti contiene la somma delle correnti dei generatori indip-denti, prese con ii segno - se ii loro verso e entrante nel nodo, con ii segno - in caso contrario.

Ii metodo dei nodi puO trattare anche circuiti contenenti generatori di tensione nel caso questi abbiano in serie una resistenza (generatori reali di tensione). Infar in questo caso, essi possono essere trasformati, usando la trasformazione Théveni Norton (si veda ii Capitolo 5, a pagina 42), in generatori di corrente, con in paralleb la stessa. resistenza (generatori reali di corrente). A titolo d'esempio, si consideri i circuito indicato nella figura 4.3.

R1

1

R Zg2

0

Figtira 4.3 Circuito resistivo con un generatore reale di tensione

Usando la trasformazione Thévenin-Norton, esso puô essere ridisegnato come mdi-cato nella figura 4.4.

C1Vg

1

0

Figura 4.4 Circuito resistivo di fig. 4.3 modificato usando la trasformazione Thévenin-Norton

Ii nuovo circuito ora contiene solo generatori di corrente indipendenti e le corn-spondenti equazioni possono essere scritte a vista, usando le regole prima enunciate:

§4.2 -- Ii inetodo del nodi: richiarni teorici ed esernpi 2T

r

I+G3 G1 1 Fe1l

- [

—i91 + Giv 1 (43) —C1 G1 + c2j Le2] - 2g1 - 1g2 - Givgj

= servazioni

> La matrice Y ê simmetrica; questo non sara piü vero quando saranno presenti anche generatori dipendenti;

> La legge di formazione della matrice Y descritta in precedenza è valida solo nel caso considerato, cioè per un circuito composto da resistori lineari e generatori di corrente indipendenti. Nel caso siano presenti anche generatori dipendenti, esiste aricora una legge di formazione di Y, ma un p0' piü complessa, che non verrà enunciata; II sistema puO essere risolto ricorrendo alla regola di Cramer. Ad esempio, nel caso del primo circuito considerato (figura 4.2), e2 è data da:

G1+G2+G4 is1 0 —G2 -G4 s3 —Cr;

e2 =

0 '1s31s2 G5+C6 detY (4.4)

> 'Una qualsiasi altra variabile puo essere ottenuta dalle tensioni dei nodi, sfruttando, se necessario, le relazioni costitutive dei rami del circuito. Ad esempio, sempre nel caso del circuito della figura 4.2, la corrente attraverso R2, con ii verso positivo dal nodo 2 verso ii nodo 1, e data da (C2 - ei)G2.

4..2.3 Generatori di corrente dipendenti

nche in presenza di generatori di corrente dipendenti ii metodo dei nodi puo ancora zt~sere applicato direttamente, senza varianti e senza alcuna modifica del circuito, aven-iO cura di esprimere le correnti dei generatori dipendenti in funzione delle tensioni dei oth.

Si consideri ii circuito indicato nella figura 4.5, ove è presente un generatore di cor-:e, dipendente dalla tensione V2. In accordo alle regole prima enunciate, si scrivono

ggi di Kirchhoff delle correnti ai nodi 1, 2 e 3, esprimendo direttamente le correnti funzione delle tensioni dei nodi el, e2 ed e3 e delle conduttanze dei componenti. Per

i corrente del generatore dipendente si ha:

gv2 = gm(C2 - e1)

(4.5)

aesta espressione della corrente del generatore dipendente viene utilizzata scrivendo h KCL al nodo 3. Si ottengono cosI Ic seguenti tre equazioni nelle tre incognite e1, e2 1 e3:

I eiGi+ (el —e2)(G2+G4) =

(e2 - ei)(G2 + G4) + e2G3 +(e2- e3)G5 = —is3 (4.6) (e - e2)G5 + gm(e2 - el) = is3 -


0

Figtira 4.5 Circuito resistivo con un generatore di corrente dipendente

Riordinando le equazioni, ii sistema precedente puO essere scritto nella forma:

r1 +G2 + C4 —C2 -C4 0e. i1—G2 —G4 G2+G3+G4+C5 —G5 e2 —is3 —gm - G5 C5 €3 s3 -

Osservazioni

t> A differenza del caso in cui sono presenti solo generatori di corrente indipenden la matrice Y non è piü simmetrica.

> Anche in questo caso ii sistema scritto possiede una .legge di formazione, un p0' piü complicata rispetto al caso di assenza di generatori dipendenti, che non verrà qu enunciata. Come al solito, ii sistema puô essere risolto ricorrendo alla regola di Cramer. Ad esempio, e1 ê data da: Ad

e1 =

is1 —G2—G4 0 —i53 G2 + C3 + G4 + C5 —05

s3 - s2 C5 - C5 detY

r> Una qualsiasi altra variabile puO essere ottenuta dalle tensioni dei nodi, sfruttando. se necessario, le relazioni costitutive dei rami del circuito. Ad esempio, la corrente attraverso R2, con ii verso positivo dal nodo 2 verso ii nodo 1, è data da (€2— ei)G2.

4.2.4 Generatori di tensione

Verranno ora considerati circuiti in cm sono presenti generatori di tensione (indipen-denti 0 dipendenti). Nel caso essi abbiano in serie un resistore, e possibile trasformarli_ usando la trasformazione Thévenin-Norton (si veda il Capitolo 5, a pagina 42), in un generatore di corrente con in parallelo la stessa resistenza, ricadendo cosi nei casi Ca-nonici trattabili con l'analisi nodale. Un esempio di questo modo di procedere è stato dato nel paragrafo precedente.

Nel caso non si voglia modificare ii circuito, oppure nel caso in cui i generatori

§4.2 - II metodo dei nodi: richiami teorici ed esempi 29

tensione non abbiano in serie nessun componente, è possibile operare come indicato nel iito.

Generatori di tensione con un terminale connesso al nodo di riferimento

consideri inizialmente ii caso di generatori ideali di tensione (indipendenti o dipen-1iti) in cui uno dei due terminali sia connesso direttamente al nodo di riferimento,

axne indicato nella figura 4.6.

/ /

t:i:'' I Figura 4.6 Generatore ideaie di tensione con un terminale connesso al nodo di riferimento.

osservi che la tensione del nodo k e nota (ovvero ek = v5) e quindi ii numero le tensioni dei nodi incognite diminuisce di uno. Di conseguenza, ii numero delle mazioni necessarie per l'analisi del circuito puo anch'esso diminuire di uno e quindi si evitare di scrivere un'equazione ad un nodo. D'altra parte, se si scrivesse l'equilibrio

le correnti al nodo k, interverrebbe la corrente i8 , che non puO essere espressa in un modo in funzione delle tensioni dei nodi e dovrebbe essere assunta come incognita iuntiva. base alle considerazioni precedenti si puo formulare la seguente regola.

Laso in c'ai siano presenti generatori di tensione (indipendenti o dipendenti) con un male connesso al nodo di riferimento, si puô ugualmente analizzare ii circuito con

i metodo dei nodi, purché non si scriva l'equilibrio delle correnti ai nodi corrispondenti terminali dei suddetti generatori di tensione.

Come primo esempio, si consideri ii circuito indicato nella figura 4.7. In accordo regola prima enunciata, si scrivono le leggi di Kirchhoff delle correnti al nodi 2 e

die non sono terminali del generatore ideale di tensione. Indicando con e1, e2 ed e3 tensioni dei nodi e osservando che e1 = Vb, si ottengono le seguenti due equazioni

due incognite e2 ed e3:

I (e2—Vb)Gl+e2G2+(e2—e3)G5 = 0 (e3 - Vb)G4 + e3G3 + (e3 - e2)G5 = 0 (4.9)

Come secondo esempio, si consideri ii circuito indicato nella figura 4.8. In esso sono


R1

ii R1 2 R5 13

_- V ) ,~ R2 >- R

0

Figura 4.7 Grcuto per ii primo esempio

presenti un generatore di tensione con un terminale connesso al nodo di riferimento un generatore di corrente dipendente dalla corrente attraverso R1, ovvero attraver ii generatore di tensione. Se si desidera, si puÔ trasformare ii generatore di tensk

ii

Figura 4.8 Circufto per 11 secondo esempo

con in serie R1 in un generatore di corrente equivalente, usando la trasformaione Thévenin-Norton. Cosl facendo si ottiene un circuito con soli generatori di corrente (indipendenti e dipendenti) che puO essere analizzato usando l'analisi nodale standard come indicato nel paragrafo precedente. Si noti che, in questo caso, la corrente che controlla ii generatore dipendente non ê piü la sola corrente attraverso R1, ma è la somma algebrica della corrente attraverso R1 e della corrente del generatore di corrente equivalente.

Se piü semplicemente si decide di non modificare ii circuito, si PUO procedere co indicato in precedenza: non si scrive la KCL al nodo 3, terminaJe del generatore id di tensione. Le KCL vengono scritte unicamente ai nodi 1 e 2.

Indicando con e1 ed e2 le tensioni dei nodi e tenendo conto che per la corrente generatore dipendente si ha

i3i=i3(e—ei)G1 , (4.

4.2 - Ii metodo del nodi: richiami teorici ed esempi 31

- gono le seguenti due equazioni nelle due incognite e1 ed e2:

I (ei - e)G1 + e1G2 + (e1 - e2)G3 - 3(e - ei)G j. = 0 (411) + (e2 - ei)G3 + /3(e - = 0

-€atori di tensione flottanti

I. : ii caso di generatori di tensione ideali (indipendenti o dipendenti) con nessun connesso al nodo di riferimento (generatori detti "flottanti" o, in inglese,

il metodo dei nodi non pub essere applicato nella modalità standard descritta -izio, poiché la corrente i attraverso ii generatore ideale di tensione (si veda la

2i 4-9) non pub essere espressa in alcun modo in funzione delle tensioni dei nodi. navia l'uso del metodo del nodi pub essere esteso anche a trattare questo caso

- .i-acendo la definizione di supernodo (si veda ad esempio [31)•

supernodo viene definito come la superficie chiusa che abbraccia un generatore zssione flottante e tutti gli eventuali elementi connessi in parallelo ad esso, come :o nella figura 4.9.

0

Figura 4.9 Definizione di "supernodo'

r ogni superficie chiusa, Si pub affermare che, istante per istante, la somma Le correnti uscenti da (o entranti in) un supernodo deve valere zero: è della legge di Kirchhoff delle correnti che permette di continuare ad usare nodi anche nel caso di generatori flottanti.

on riferimento alla figura 4.9 Si osservi che la legge di Kirchhoff delle iette di dire che

e3 =ek+v8 (4.12)

çuenza, in base aIl'eq. 4.12, una sola delle due tensioni di nodo (ek ed ;iderarsi effettivamente incognita, ad es. ek. Quindi ad un supernodo ê sola incognita e per esso si pub scrivere una ben definita legge di Kirch-

Tenti. Questo fatto permette di scrivere un sistema di equazioni, in ciii tra le incognite solo una delle tensioni dei terminali di ciascun genera-

)ne flottante e in cui, per ogni generatore di tensione flottante compare di equilibrio delle correnti al supernodo corrispondente.


Un esempio illustrerà meglio la tecnica descritta. Si consideri ii circuito nella figura 4.10.

R4

R, rmZ4 1 72 3

Vb

Figura 4.10 Esernpio di circuito con generatore di tensione flottante"

Esso contiene un generatore di tensione con un terminale connesso al nodo di rife-rimento e un generatore dipendente flottante. Indicate con e1, e2 ed e3 le tensioni di nodi, si ha immediatamente

e1 = Vb , e2 = e3 - rmi4 , con i4 = (e3 - ei)G4 (4.13

Dalla precedente equazione si ricava e2 in funzione di e3 e del generatore Vb

e2 = e3 —rm(e3 - ei)G4 = (1 —rmG4)e3 +rmG4Vb (4.14

Delle tre tensioni di nodo, solo e3 risulta essere incognita, essendo e2 ed e1 date dalle equazioni (4.13) e (4.14) scritte in precedenza. E quindi sufficiente un'unica equazione per risolvere ii problema: in accordo alle regole enunciate non si scrive la KCL al nodo 1 (terminale di un generatore ideale di tensione non connesso al nodo di riferimento) e si scrive soltanto la KCL corrispondente al supernodo indicato nella figura 4.10. Si ottiene:

e2G2+(e2e1)Gi+€3G3+(e3—ei)G40 (4.15

da cui, ricordando le equazioni (4.13) e (4.14)

[(1 —rmG4)e3 +TmG4Vb]G2+{[(1 — rmG4)eS+rmG4VbI —Vb}G1 +e3G3 +(e3 - V5)C. = (4.16

Dalla (4.16) si ottiene infine -

[G + C2 + C3 +G4 —rmG4(Gi +G2)]e3 = [G1 + G4 —rmG4(Gi + G2)]Vb (4.

Da ciii G1+G4—rmG4(Gi+G2

Vb 4.1 G1 +G2+G3+G4—rmG4(Gi+G2)

Assumendo i seguenti valori dei componenti: R1 = 1l, R2 = 1/3, R3 = 0,5l, R4 2Q, rm = 5, V = 20V, si ottiene e3 = 48,57V, da ciii, per la (4.14), e2 = —22,86

§4.2 - Ii metodo dei nodi: richiami teorici ed esempi 33

4.2.5 Amplificatori operazionali ideali

Xel caso ii circuito da analizzare contenga amplificatori operazionali ideali (OA) fun-imanti in zona lineare, è ancora possibile utilizzare l'analisi nodale, operando come

1icato nel seguito. Per una trattazione piü approfondita si veda [4]. Si inizi con l'esaminare i vincoli posti da un amplificatore operazionale ideale, con-

1erando la figura 4.11. Delle tre tensioni di nodo e+, e_ e ek, solo due sono effettiva-mite incognite, poiché e+ = e_, essendo nulla la tensione differenziale all'ingresso di

01 ideale. Inoltre, sempre nel caso di OA ideali, le correnti entranti nei morsetti + - sono entrambe zero. Nulla si puO invece dire sulla corrente d'uscita i, dell'OA, che erviene nella scrittura della KCL al nodo k e che, pur determinata dalla rimanente

srte del circuito, non puô essere agevolmente espressa in funzione delle tensioni di

Considerato ii fatto che la presenza dell'OA riduce di uno ii numero delle tensioni nodo incognite, pub essere ridotto di uno anche ii numero delle equazioni nodali.

Se si sceglie di non scrivere la KCL al nodo d'uscita k dell'OA, allora si raggiunge I risultato voluto: ridurre di uno ii numero delle equazioni e non fare intervenire la mirrente incognita i,.

Figura 4.11 Analisi del vincoli post[ da un OA ideate: c correnti i e i_ eritranti nei morsetti + e - entrambe nulle

Lulare la seguente regola: in e1.Li nel circuito siano presenti amplificatori operazionali ideali, si puO utilizzare ii metodo dei nodi, purché non si scriva l'equilibrio delle correnti ispondenti ai terminali d'uscita dei suddetti amplificatori. re che in un circuito contenente OA sono in genere anche presenti generatori ideali (indipendenti o dipendenti); per essi si continuano ad applicare le ciate nel paragrafo precedente.

sempio si consideri ii circuito indicato nella figura 4.12, ove l'OA è consi-le e funzionante in zona lineare. Si vuole calcolare la tensione d'uscita v dell'ingresso v8. Si osservi che e3 = e4 e che e1 = v, sicché le tensioni

ncognite sono soltanto e2, e3 e e5 = v. rdo alla regola precedentemente enunciata, non si scrivono le equazioni ai rninale di un generatore ideale di tensione con l'altro terminale connesso al rimento) e 5 (terminale d'uscita dell'OA), mentre si scrivono le equazioni

e 4. Si ottiene ii seguente sistema di tre equazioni nelle tre incognite e2,


R5

Fgura 4.12 Ana!isi di circuit[ contenenti OA ideali: esempio

( (e - v8)Gi + (e2 - e3)G2 + (e2 - v)G5 = 0

(e3 - e2)G2 + e3G6 = 0 (

I.. e3G3 + (e3 - v)G4 = 0

Si puo anche osservare che la terza equazione fornisce e3 come partizione tensione v tra C3 e C4. Infatti e3 poteva sin dall'inizio essere espressa come

e3e4= (G3+G4) (

Seguendo questa strada le incognite effettive si riducono a due giä all'inizio ed e ciente scrivere solo le prime due equazioni del sistema (4.19), ove e3 è sostituito dal (4.20). In ogni caso, la complessita dei calcoli delle due vie indicate è equivalente.

Usando le equazioni nodali nella forma indicata dalle eq. (4.19), si ottiene:

G1+G2+G5 —G2 —G5 C2 GIV E —C2 G2+G6 0 e3 = 0

0 G3+G4 —C4 [Vu 0

da cui

C1 +C2+C5 —C2 Civs —C2 C2+G6 0

0 G3 + G4 0

detY

Sviluppando i determinanti si ottiene la soluzione cercata:

- C1G2(G3+C4)v3

vu - C1GG4 + G1G4G6 + G2G4G6 + C4G5G6 - G2G3G5

R3

Fig,jra E-4J

Figura E-4.3

Esercizi

35

rcizi

II circuito della figura E-4.1 e già stato analizzato usando le formule del iitore di corrente e/o di tensione. Si calcolino nuovamente tensioni e correnti inco- ke ii metodo dei nodi. I valori dei componenti sono: E = 60V, R1 = =30Q, R3 =70Q.

42 II circuito della figura E-4.2 è giA stato analizzato usando la formula del re di tensione. Si calcoli nuovamente la corrente I usando ii metodo dei nodi.

20(

Figura E-4.2

3 ê già stato analizzato usando ripetutamente le di tensione. Si calcoli nuovamente la corrente I

,4 è già stato analizzato usando ripetutamente la lco1i nuovamente la tensione V1 usando 11 metodo

5O 60c2.

6O

boy1 40

Figura E-4.4

)V1 ()V7

Figura E-4.5

m 20V

1

R1 <R2

59

20V

Figura E-4.6

36 4 Metodi gerierali di analisi - circuiti resistivi

4.5 Teorema di Millman Nel circuito della figura E-4.5 Si calcoli la tensione nodo 1 rispetto al nodo di riferirnento 0 usando ii metodo dei nodi. La formula trc e nota come Teorcma di Millman.

4.6 Nel circuito della figura E--4.6 si calcolino tensioni e correnti con ii me: :.ai dei nodi.

4.7 Nel circuito della figura E-4.7, usando ii metodo dei nodi, si calcoli la cc- rente I. I valori dei componenti sono: V8 = 13V, R1 = 500f, R2 = lkfl, R3 = 2l?., R4 = 2,5kl, R5 = 6,5kl, R6 = 250ft

R1

vs

Figura E-4.7

Esercizi

37

Nel circuito della figura E-4.8, usando ii metodo del nodi, si calcoli: (a) ii tra la potenza p2 sul carico R e la potenza p, fornita dal generatore vi e (b) iza d'ingresso R vista ai morsetti del generatore.

vi

Figura E-4.8

Per i circuiti delle figure E-4.9 a, b e C 51 calcoli ii rapporto v,,/v,. Nel caso a E-4.9c, si calcoli inoltre la resistenza Ri = Vb/ib indicata nella figura.

Rp

ib

fe ib .3 tic Ru

Rk- VU

(a) (b)

hie ib

Vb hf b pvu R

(c)

Figura E-4.9


4.10 Nel circuito della figura E-4.10, senza trasformare i generatori, Si scrh7a I sistema di equazioni che permette l'analisi del circuito usando ii metodo dei nodi.

R3 iL

V S

Figura E-4.10

4.11 Nel circuito della figura E-4.11 si calcoli la tensione v-i,, usando ii dei nodi e senza trasformare i generatori. Successivamente si risolva ii problem rendo alla formula del partitore di tensione e si paragoni questa via a quella se precedenza.

R6

Vs1

Figura E-4.11

4.12 Nel circuito della figura E-4.12 si calcoli la tensione V7 usando ii dei nodi e senza trasformare i generatori.

4.13 Nel circuito della figura E-4.13 si calcoli la tensione v2 in funzi generatore v9, usando ii metodo dei nodi e senza trasformare i generatori. I w componenti sono: hfe = 50, hre = 2,5 X iO, hie = 1 k, hoe = 25 PS, R1 = R2 =4kg, Rf :=40k1.

Esercizi

39

G1

Figura E-4.12

R t.

+ V9

0


Ono, Nel circuito della figura E-4.14 si scriva ii sistema di equazioni che permette -are la tensione VA in funzione dei generatori v e i, usando ii metodo dei nodi trasformare i generatori.

- Amplificatore invertente Nel circuito della figura E-4.15 l'amplificatore ope- le è considerato ideale e funzionante in zona lineare. Usando l'analisi nodale, si Ia tensione v. Quanto vale la resistenza d'entrata R vista dal generatore v5?

- Amplificatore non invertente Nel circuito della figura E-4.16 si calcoli, usando :odo dei nodi, la tensione vu, supponendo l'amplificatore operazionale ideale e inante in zona lineare. Quanto vale la resistenza d'entrata Ri vista dal generatore

Rl

:'-a E-4.15 Amplificatore invertente

V

Figura E-4.16 Amplificatore non

V?1

-I-

V2

V.91

-i--!- -- Figura E-4.18 Amplificatore differenziaie Figura E-4.17 Sommatore

40 4 - iVietodi generali di analisi - (:ircuiti resistivi

4.17 Sommatore Nel circuito della figura E-4.17, usando ii metodo del no_ S calcoli la tensione v.

4.18 Amplificatore differenziale Nel circuito della figura E-4J8, si calcoli, U-&-!t ii metodo del nodi, la tensione v.3 in funzione di v31 e di v 2 , L'amplificatore operazic-ciail-e considerato ideale e funzionante in zona lineare.

viJ\AAL.. I

4.19 Convertitore di resistenza negativo Nel circuito della figura E-4.19, u do ii metodo del nodi, si calcoli l'amplificazione v39 /v 3 e la resistenza d'ingresso L'amplificatore operazionale e supposto ideale e funzionante in zona lineare.

4.20 Convertitore generalizzato Nel circuito della figura E-4.20, usando ii mel del nodi, si calcoli la resistenza R vista ai rnorsetti del generatore is.

V3

G7 GS AAA I AAA IAA C5 C6 U)

js1 G;

Figura E-4.19 Convertitore di resistenza nega- Figura E-4.20 Convertitore generalizzato tivO

R1

Figura 5.1

Captok 5

Uso de teorm di Millman, sovrpposzkme, Thvenin/Ncwton

5.1 Rkhiami teorci

fruttando i teoremi fondamentali dei circuiti elettrici e possibile, in molti casi, effet-:iare l'analisi di circuiti resistivi semplici, senza ricorrere all'uso di metodi generali di naIisi. Si richiamano brevemente i teoremi fondamentali che saranno usati nel corso

- questo capitolo.

> Teorema di Millman: e applicabile solo ad un circuito con la topologia indicata nella figura 5.1 (ovvero a circuiti ad esso riconducibili). La seguente formula di Millman consente di determinare la tensione tra i nodi A e B (si veda l'esercizio 4.5).

g +GkVk

VAB (5.1)

E Gk

leorema di sovrapposizione degli effetti: è applicabile ad ogni circuito resistivo lineare univocamente risolubile. Esso permette di determinare la soluzione come somma degli effetti dovuti a ciascun generatore indipendente agente da solo.

41

42 5 - Uso dei teoremi di Millman, sovrapposiziorie, Thévenin/Norton

cioè dopo aver sostituito tutti gli altri generatori indipendenti di tensione e di cor-rente rispettivamente con un corto circuito e con un circuito aperto. Ii teorema di sovrapposizione degli effetti non ê valido nel caso di circuiti non lineari. Teorema di Thévenin: consente di sostituire qualsiasi bipolo N ben definito' resistivo lineare controllato in corrente2 con un bipolo equivalente (si veda la figura 5.2) coinposto da una resistenza equivalente di Thévenin Re in serie con un gene-ratore ideale indipendente di tensione Veq. La tensione v q 1t) del generatore (nel seguito indicata anche con Vca(t)) e la tensione che si ha tra i terminali del bipolo I N quando sono chiusi su un circuito aperto. Essa e detta tensione a circuito aperto o anche tensione a v'uoto. La resistenza Req e la resistenza equivalente del bipolo N quando si pongono a zero tutti i generatori indipendenti, lasciando attivi tutti i generatori dipendenti. 44 Teorema di Norton: consente di sostituire qualsiasi bipolo N ben definito resi-stivo lineare controllato in tensione3 con un bipolo equivalente (si veda la figura 5.3) composto da una conduttanza equivalente di Norton Geq in parallelo con un generatore ideale indipendente di corrente. La corrente ieq(t) del generatore (nel seguito indicata anche con i,, (t)) e la corrente che scorre tra i terminali di N quan-do sono chiusi su un corto circuito. Essa è detta corrente di corto circuito. La conduttanza G q e la conduttanza equivalente del bipolo N quando si pongono a zero tutti i generatori indipendenti, lasciando attivi tutti i generatori dipendenti.

Si osservi che i bipoli equivalenti serie e parallelo, chiamati rispettivamente modelli di Thévenin e Norton, sono equivalenti a N in quanto hanno la stessa caratteristica nel piano (v,i). Se esistono entrambi gli equivalenti di Thévenin e Norton, le relazioni tra i relativi parametri sono: Geq = (Re q)' e Veq = Reqieq.

'1 p .4-

eq Geq V

Figura 5.2 Figura 5.3

1 Un bipolo è detto ben definito se e solo se non contiene alcun elemento circuitale accoppiato, elettricamente o no, con qualche variabile fisica esterna ad esso.

2 Un bipolo è detto controllato in corrente se ammette un'unica soluzione quando e alimentato da un generatore di corrente.

Un bipolo ê detto controllato in tensione se ammette un'unica soluzione quando ê alimentato da un generatore di tensione.

Esercizi 43

Esercizi 5.1 Uso del teorema di Millman Facendo uso del teorema di Millman (si veda

ercizio 4.5), si determino I, 12 e 13 nel circuito indicato nella figura E-5.1. 4-

J1

T20Q

I 12V 4\T 6V

12

0 5Q

10Q 5Q

13

Figura E-5.1

5.2 Uso del teorema di sovrapposizione Si consideri ii circuito della figura E-5.2 e giA analizzato neII'esercizio 4.18. Supponendo ideale l'amplificatore operazionale, si calcoli la tensione v,, facendo uso del teorema di sovrapposizione e usando le formule relative agli amplificatori invertenti e non invertenti ricavate negli esercizi 4.15 e 4.16.

+

VU

Figura E-5.2

3 Uso del teorema di sovrapposizione Ii circuito della figura E-5.3 rappresenta rote usata nei convertitori D/A. Ponendo R2 = R4 ed R3 = 1 kP si determinino i

gi dei componenti in modo che sia:

Ii 12 256 16

k. Th

Figura E-5.3

J? - <> <> <>

:f_ R2 R4 17)

Em R6

I _ Figura E-5.4

44 5 - Uso dei teoremi cli Millman, sovrapposizione, Thevenin/Norton

5.4 Uso dei teoremi di Thévenin o Norton Facendo uso del teorema di Thévenin. Si determini la corrente I nel circuito della figura E-5.4 assumendo E = 10 V, R1 = 511, R2 = 211, R3 = 311, R4 = 6n, R5 = 411 e R6 = 411. Si ripeta l'esercizio facendo ricorSo al teorema di Norton. 11 5.5 Uso del teorema di Thévenin Con l'uso ripetuto del teorema di Thévenin, ri-condurre ii circuito della figura E-5.5 ad un generatore di tensione con in serie un'unicc resistenza. Successivamente si calcoli la corrente I assumendo E = 100 V, R1 = 90 P- R2 = 1011, R3 -- 1k11, R4 = 10011, R5 = 1011, R6 = 100 Q, R7 = 100Q, R8 = ikil R = 1011.

]?:~ 14 R2 P..1

R1

T

R:11 R3 RT > P

E

Figura E-5.5

5.6 Uso del teorema di Thévenin Si consideri ii circuito della figura E-5.6, in cui ii bipolo indicato e resistivo, di resistenza RX incognita. Alla chiusura del tasto T, la tensione V si riduce a 80% della tensione che si aveva a vuoto. Si calcoli ii rapporto RXIR.

V0

Figura E-5.6

5.7 Uso combinato del teorema di sovrapposizione e del teorema di Thévenin Si consideri ii circuito della figura E-5.7. Nell'ipotesi di V40 = V30 = V20 = V10 = V0, Si calcoli la tensione VA del nodo A rispetto al nodo di riferimento.

Suggerimento: nel calcolare VA si faccia uso del teorema di sovrapposizione. In ogni rete ottenuta si usi ripetutarnente ii teorema di Thévenin.

5.8 Si determini ii circuito equivalente di Thévenin del bipolo della figura E-5.8.

5.9 Si determini ii circuito equivalente di Norton del bipolo della figura E-5.9.

Esercizi

F2R nW 2R2I2J?

I40

T

30

T

V20 V 10

Figura E-5.7 V -

RO-.

J?2 V2 V2

1 - f m v2

Figura E-5.8

Figura E-5.9

Calcolare ii circuito equivalente di Thévenin del bipolo della figura E-5.10. Th 1 Tri dei componenti sono: E = 5V, a = 3, @ 20, R1 = 2 kQ e R2 = 25 Q.

is

I I + RI 1

CVU I'5 R, V

Figura E-5.10

Si determinino i circuiti equivalenti di Thévenin e di Norton del bipolo o nella figura E-5.11.

Figura E-5.11

V

Capitolo 6

Doppi bipoli resistiv

Generalitá

opo di questo capitolo è avviare al calcolo dei piU comuni parametri descrittivi di dop-bipoli resistivi, quali la matrice delle resistenze a vuoto, la matrice delle conduttanze corto circuito e la matrice di trasmissione.

6.2 Richiami teorki

n doppio bipolo (o circuito a due porte) è un circuito con quattro morsetti accessibili, devono essere usati a coppie prestabilite 1-1' e 2-2', soggetti quindi al vincolo

posto dalla legge di Kirchhoff delle correnti) che la corrente i1 entrante nel morsetto la corrente i'1 uscente dall'altro morsetto 1' della coppia siano uguali. Analogo 10 per le correnti relative alla coppia 2-2'. Deve cioè essere:

•1 il=ii ,

coppie 1-1' e 2-2' sono frequentemente indicate, rispettivamente, come porta 1 e via 2. II funzionamento del doppio bipolo e descritto, oltre che dalle due correnti i1

anche dalle due tensioni di porta Vi e V2. I versi di riferimento sono quelli indicati figura 6.1

'1,- 2

2

2"

1

1' Figura 6.1 Doppio bipolo e versi di riferimento per tensioni e correnti

47

6 - Doppi bipoli resistivi

Osservazioni

> Delle quattro grandezze v1, v2, i1 e i2, solo due risultano essere indipendenti: note, o comunque fissate due di queste, le altre due risultano determinate, ovvero, detto con maggior precisione, risultano funzioni delle due grandezze scelte come variabili indipendenti. Nel caso di doppi bipoli lineari e resistivi, le suddette relazioni funzionali risultano essere lineari.

> E possibile scegliere sei distinte coppie di variabili indipendenti e di conseguenza un doppio bipolo è, salvo casi particolari, rappresentabile da sei distinte coppie di equazioni che ne descrivono ii funzionamento.

1. Resistenze a vuoto

V1 = r11i1 + T12Z2 V2 = r1i1 + 7'2i2

2. Conduttanze di corto-circuito

= gilvi + 912v2

- 921V1 + 922V2

3. Matrice ibrida 1

Vi = h1i1 + h12v2

h21i1 + h22v2

4. Matrice ibrida 2

ii = h 1vi + h' 2i2

V2 = h 1v1 + h 2i2

5. Matrice di trasmissione 1

tv2 + t12(—i2)

il = t21v2+t22(-i2)

Spesso, in alternativa ai simboli t11 , t12 ... Si usano i simboli A, B, C. D:

V1 = Av2+B(—i2)

ii = Cv2+D(—i2)

L'equivalenza tra i simboli è evidente dal confronto delle relazioni scritte:

Atii;Bti2; Ct21; D = t22


V2 = tv1 + t 12i1

= t 1v1 + t2i1

§6.2 - Richiami teorici 49

> Equivalenza: due doppi bipoli sono elettricamente equivalenti se le coppie di equa-zioni che ii descrivono sono uguali.

> Simmetria: un doppio bipolo che presenta lo stesso comportamento elettrico quan-do si scambiano fra loro la porta 1 e la porta 2 è detto (elettricamente) simmetrico. Un doppio bipolo che ammette un asse di simmetria verticale (simmetria struttu-rale) è (elettricamente) simmetrico. Per un doppio bipolo simmetrico risulta:

ril = r22 e r21 = 7'12

gii = 922 e 921 = 912

Reciprocità: un doppio bipolo fatto di bipoli e quindi non contenente genera-tori dipendenti (tra breve si vedrà che essi sono considerati dei doppi bipoli) e/o amplificatori operazionali, ha

r21 = r12

921 = 912

II doppio bipolo ,6 detto reciproco Doppi bipoli lineari resistivi elementari: nelle figure 6.2 - 6.6 sono mostrati i piü comuni doppi bipoli lineari resistivi, utili per costruire modelli di dispositivi fici anche complessi. Ad esempio, essi sono usati nei modelli di trasformatori reali - di componenti a semiconduttori, quali transistori e amplificatori operazionali.

scuno di essi è caratterizzato da due equazioni lineari:

i n1:n2 --Op o- -0 -

1 V2

0-

Figura 6.2 Trsformatore ideale

ii=D i2

= r mil V2

5.3 Generatore di tensione controllato Figura 6.4 Generatore di corrente controllato in tensione

V2

il =0 • +

V1

50


Figura 6.5 Generatore di corrente controllato Figura 6.6 Generatore di tensione controlla:: in corrente in tensione

o Trasformatore ideale:

o Generatore di tensione controllato in corrente:

V1 = 0

V2 = rmil

Generatore di corrente controllato in tensione:

il = 0

Yrn'1

o Generatore di corrente controllato in corrente:

V1 = 0

i2 ail

o Generatore di tensione controllato in tensione:

il = 0 V2 =

Figura E-6.1

E 6.2, si determini la condizione per cui i due doppi

I R7

RIl aT, Figura E-6.2

ra E-6.3, si calcoli la matrice [G] delle conduttanze

ra E-6.4, si calcoli la matrice [C] delle conduttanze

Figura E-6.4

1Q 4Q

22Q

Figura E-6.3

Esercizi

Esercizi

7.1 Nel circuito della figura E-6.1, si calcoli la matrice [J?] delle resistenze a -joto.

52

6 - Doppi bipoli_resistivi

6.5 Per ii circuito della figura E-6.5, si calcoli la matrice [T] di trasmissione.

6.6 Si consideri ii bipolo indicato nella figura E-6.6 e se ne calcoli la resistenzs K6. Successivamente si alimenti ii bipolo con un generatore ideale di tensione v5 e si indichi con v la tensione sul resistore R3. Si calcoli ii rapporto v,,/v,. I valori dei componenti solo: R1 = 100 ci, R2 = 600 ci, R3 = 50 ci e flh/fl2 = 2.


:aptoo 1

ti RC e RL di ordine uno

Generalità

usto capitolo propone le prime semplici analisi di circuiti elementari in transitorio. A J fine vengono considerati circuiti contenenti un solo elemento reattivo (o riconducibii tali), cioe con generatori, resistori e una sola C o una sola L. In akuni esercizi si .isiderano circuiti RC o RL con generatori costanti o costanti a tratti. In questi casi,

ai frequenti in pratica, l'analisi si riduce al calcolo di valori iniziali, valori finali e ante di tempo. Sono infine presentati un paio di circuiti con generatori variabili.

Richiami teorici

circuito lineare RC con un solo condensatore e descritto dalla seguente equazione enziale lineare del primo ordine (detta equazione di stato)

dv(t) - VC(t) + veq(t) (7.1)

dt - ReqC ReqC

E R 0 e la resistenza equivalente di Thévenin e veq (t) è la tensione a circuito aperto bipolo resistivo visto ai capi del condensatore. La variabile vC ê detta variabile di

In modo analogo, un circuito lineare RL con un solo induttore e descritto dall'e-ione di stato

dij(t) - iL(t) + ieq(t) (7.2)

dt - GeqL GeqL

W G g e la conduttanza equivalente di Norton e ieq(t) è la corrente di corto circuito id 5o10 resistivo visto ai capi dell'induttore.

tensione v(t) sul condensatore e la corrente iL(t) attraverso l'induttore sono :riabili di stato. In entrambi i casi i circuiti sono governati da un'equazione dif-

del primo ordine: di conseguenza essi vengono detti circuiti del primo ordine.

53

54 7 - Reti RC e RL di ordine uno

In presenza di generatori indipendenti costanti o costanti a tratti, l'equazione di stato che regola l'evoluzione per t > to di una qualsiasi tensione o corrente (indicat genericamente con x(t)) in un circuito lineare del primo ordine è:

dx(t) __.+x(00) 73' dt r r

dove si definisce -r = ReqC per un circuito RC e r = GeqL per un circuito RL, mentre x(oo) rappresenta lo stato di equilibrio (o di regime) che si raggiunge quando t —* 00. La costante r è detta costante di tempo. Si osservi che in presenza di generatori costanti. le equazioni (7.1) e (7.2) rappresentano un caso particolare dell'equazione (7.3) quando si ponga, rispettivamente, x(t) = v(t) e x(t) = iL(t).

La soluzione esplicita dell'equazione (7.3) per t > to è una funzione esponenzi ale'

x(t) = [x(t) - x(oo)] e_(t_to)/T + x(oo) (7.4)

che richiede la determinazione della condizione iniziale x(t), del valore finale x( e della costante di tempo i-. Ricordando la definizione di r, ii calcolo del suo valore richiede ii calcolo di Req oppure di Geq. *1

Ii valore finale x(oo) viene calcolato quando la rete ha raggiunto la condizione di regime. Poiché i generatori sono costanti per ipotesi, la condizione di regime implica che tutte le variabili elettriche siano costanti. In tale situazione, in un circuito RL l'induttore L si comporta come un corto circuito, mentre in un circuito RC ii con-densatore C si comporta come un circuito aperto. Di conseguenza ii calcolo di x(oo richiede l'analisi di un circuito puramente resistivo.

Se non già assegnata, ii calcolo della condizione iniziale x(t) si effettua analizzando;

c ii circuito RC all'istante t dove si sostituisce ii condensatore con un generatore tensione indipendente di valore uguale a v(t). Si noti che, tranne casi degeneri. vc(t) = Vc(ç) essendo v(t) una funzione continua del tempo;

t ii circuito RL all'istante t j dove si sostituisce l'induttore con un generatore di cor-rente indipendente di valore uguale a L(t). Anche in questo caso, se si esciudono casi degeneri, L(t) = iL(t) essendo iL(t) una funzione continua del tempo.

In presenza di generatori variabili e necessario ricorrere alla formula generale per la soluzione delle equazioni differenziali lineari del primo ordine non autonome a coefficienti costanti.

:L(0) =2A L J?.

Esercizi

55

Ercizi

7_I Dato ii circuito della figura E-7.1, si calcoli v(t) per t > 0 assumendo = 10, L = 1R, 19 = 1A e iL(0) = 2A.

7-2 Si consideri ii circuito indicato nella figura E-7.2 che si trova in condizioni i regime con ii tasto T chiuso. A1l'istante t = 0 ii tasto viene aperto. Si calcolino

e IL per > 0. Si assuma E1 = 2V, E2 1V, R1 = R2 2kf, R3 = 3k1, 7=05nF e L=6mH.

Figura E-7.1

Figura E-7.2

• consideri ii circuito indicato nella figura E-7.3 che si trova in condizioni )fl ii tasto T aperto. All'istante t = 0 ii tasto viene chiuso. Si scriva letterale di v(t). Assumendo E = 4mV, R9 = 10 kg, R = 100 ke diagrammi v(t) per t > 0.

+vC_

Ii

Figura E-7.3

I consideri ii circuito indicato nella figura E-7.4 dove R = 3 k, C = 2 nF e di tensione v, (t) ha l'andamento riportato nel grafico. Si disegni, indicando damento di v(t) per t > 0.

frcuiti RC con generatori costanti e interruttori Si consideri ii circuito in-

1a figura E-7.5, ove l'interruttore T si suppone aperto da lungo tempo fino e t1 = 1 s. Si supponga che T venga chiuso all'istante t1 e quindi riaperto

- iiet2 = 2 s. I valori dei componenti sono: Ve = 30V, R1 = 8kl, R2 = 21cc?.

V

R1 ±VL_

+ yR V

D. T



V((t)

VA

15 30 45 t

Figura E-7.4

R3 = 0,8 kf, R4 = 12 kl, R = 1,6 kQ e C = 250 pF. Determinare le espressioni d V(t) e VR(t) per t > 0 e diagrammare ii loro andamento in funzione del tempo.

7.6 Circuiti RL con generatori costanti e interruttori Ii circuito della figura E-7.€ si trova nella condizione indicata (interruttore T aperto) da un tempo sufficientemente lungo da ritenere estinto ogni transitorio. All'istante t = 0, T viene chiuso e succes-sivamente, esaurito ii transitorio, riaperto. Si disegnino le forme d'onda di v(t), i(t e VL(t) in funzione del tempo, successivamente alla chiusura e alla riapertura di T. I valori dei componenti sono: VE = 24 V, R1 = R2 = R3 = 10 1 e L = 50 mH.

7.7 Circuiti RL con generatori variabii Si consideri ii circuito della figura E-7.7. Ii generatore Ve(t) ha la forma d'onda indicata nella figura E-7.7 con E = 4V e t1 = 2jis. Si determini la corrente iL(t) supponendo che 10 = ZL(0) = 1 mA, L = 1 mH. R1 = R2 = 1 k2 e R3 = 500 &. Si disegni inoltre ii grafico di ZL(t) nell'intervallo 0-6 'is.

Figura E-7.7

Esercizi

57

Circuiti RL con generatori variabili Si consideri ii circuito della figura E-7.8. l'istante t = 0 ii tasto viene chiuso; si determini l'espressione di i(t) assumendo = 50 ), L = 0,211 e v, (t) = 150 sen (500 t) V, s. Si individui la risposta di transitorio . risposta forzata.

v5(t)

Figura E-7.8

Introduzione all 'uso della trasformata di Laplace

3.1 Generalit

I. :sto capitolo si propone di introdurre lo studente all'nso della trasformata di Laplace -l1e sue proprietã fondamentali, utili per l'analisi di circuiti lineari invarianti nel po. Saranno anche riviste le tecniche piü comuni per antitrasformare semplici iJoni rarionali.

2 La trasformata di Laplace = - aa di proporre esercizi sull'uso della Trasformata di Laplace, verranno effettuati

iü richiami teorici.

1 Definizione

una funzione del tempo f(t) definita per t > 0, la sua trasformata di Laplace w.uioIatera è definita nel modo seguente

00

F(s) = £[ f (t)] = JO f(t)e t dt (8.1)

iie -z = or + j w e una variabile complessa, chiamata freqnenza complessa. Si noti che Aft equazione (8.1) ii limite di integrazione inferiore è 0, per includere funzioni che _____ una discontinuità 0 Ull impulso all'istante t 0. L'integrale che definisce la '-nata di Laplace esiste sotto condizioni abbastanza deboli sulla funzione f(t),

raImente soddisfatte per i segnali usati in ingegneria. Una condizione sufficiente f(t) sia esponenzialmente limitata, cioê che esistano una costante M > 0 e

atante c tall che per qualsiasi t > 0 risulti If(t)I < Mect. La trasformata di e dunque un'operazione che, mediante l'integrale 8.1, fa corrispondere a una

rasformabile f(t) della variabile reale t una ben determinata funzione F(s) ±abile complessa s. Solitamente si dice che f(t) e F(s) formano una coppia di ste.

59

60 8 - Introduzione all'uso della trasformata di Laplace

8.2.2 Proprietà fondamentali

Nella tabella 8.1 sono elencate alcune funzioni del tempo di uso piü comune e le e rispondenti trasformate di Laplace. Le proprietà fondamentali della trasformata Laplace monolatera sono raccolte nella tabella 8.2.

Tabella 8.1 Trasformate di funzioni elementari

f Tipo F(s) = £[f (t)]

ót) impulso unitario 1

U(t) gradino unitario 1 - S

t rampa 1

esponenziale 1 s + a

sen(wot + th) sinusoide s sen 0 + W0 cos q

+ WO 2

cos(wot + ) cosinusoide s cos 0 - w0 sen 2 + w02

sen wot sinusoide smorzata WO

(s + a)2 + W02

e—at cos w0t cosinusoide smorzata S + a

(s + a)2 +

Tabella 8.2 Proprietâ fondamentali della trasformata di Laplace monolatera

Proprietà Dasformata

Linearità r[a1f1(t) + a2f2(t)] = a1Fi(s) + a2F2(5)

Derivazione £ [!I-f] = sF(s) - 1(0— )

Integrazione £ [f_ f(r) dT] F(s)

Ritardo nel tempo £[f (t - to)u(t - to)] = e_t0sF(s) , t0 > 0

Ritardo in frequenza £[esotf(t)] = F(s - S)

Teorema del valore iniziale f(0) = limo+ f(t) = lim8, sF(s)

Teorema del valore finale limt f(t) = lim3 0 sF(s), sF(s) regolare sull'asse j w e nel semipiano di destra.

Esercizi

61

IZI

S1 Si cakolino le trasformate di Laplace delle funzioni f(t) indicate nella figura E-8.1. Suggerimento: si esprimano le funzioni indicate come somma (algebrica) di

nzioni elementari.

Figura E-8.1

Si calcolino le antitrasformate delle funzioni seguenti

6(s+2)

82 +12

F s(s+2)(s+3) —2s3 +9s2 -2s+12 r 3F= s(s+1)(82+4)

10

4 F (s+1)(82+4s+13) 20

(s + 3)(s2 + 8s + 25) 10s2 +4 i Fs=

s(s+1)(s+2)2

-

mento: si scompongano le funzioni indicate in fratti semplici e si antitrasformino Ji fratti.

Capitolo 9

Metodi generali di anaIis - circuiti dinamici

3.1 Generalità

T:--sto capitolo introduce lo studente all'uso di metodi generali di analisi nel caso di uiti dinamici. Anche in questo caso ii metodo considerato è ii metodo dei nodi (No-

1 Analysis (NA)), usato come strumento di base per l'analisi di circuiti complessi, i quali metodi di analisi "a vista?' sono di difficile, se non impossibile, applicazio-Lavorando nel dominio di Laplace saranno calcolate alcune funzioni di rete, quali

- -denze, ammettenze e funzioni di trasmissione. Infine si calcolerà la risposta nel inio del tempo di semplici circuiti dinamici.

2 II metodo del nodi: richiami teorici ed esempi

- 1La di proporre esercizi su circuiti dinamici da risolversi con ii metodo dei nodi, :- nno fatti alcuni richiami teorici e presentati alcuni esempi.

1 Crcuiti dinamici

d caso ii circuito da analizzare contenga, oltre ai già considerati elementi resistivi, Ee elementi dinamici (quali induttori, condensatori, induttori accoppiati) lineari e

o invarianti, è ancora possibile utilizzare l'analisi nodale sia per scrivere ii sistema uazioni algebrico-integro-differenziali che governa ii circuito (in tal caso si dice

i lavora nel dominio del tempo), Sia per effettuare l'analisi richiesta usando la tra-ata di Laplace e sfruttando le regole del calcolo simbolico generalizzato. Quando a in queSto modo si dice che si lavora nel dominio della frequenza. Per una

Tne piU approfondita si vedano, ad esempio, [51, [6] e [7]. ::are nel dominio della frequenza offre parecchi vantaggi in confronto alla so-

.Aw diretta delle equazioni scritte nel dominio del tempo. Tra essi si ricordano i

Lasoluzione del problema d'analisi è ridotta alla soluzione di un sistema di equazioni "briche ed e facilitata dall'uso di tabelle di trasformate (si veda per esempio [81).

- ndizioni iniziali dei componenti dinamici diventano parte delle equazioni cir-e quindi sono automaticamente tenute in considerazione.

63

64 9 - Metodi generali di analisi - circuiti dinainici

3. A differenza dell'analisi nel dominio del tempo, quando si ha una discontinii-tA all'istante 0 non è necessario valutare le condizioni iniziali all'istante 0 1 e semplicemente richiesto di conoscere le condizioni iniziali all'istante 0— , immediatamente prima dell'inizio del transitorio.

4. L'analisi in regime sinusoidale di un circuito lineare risulta essere un caso parti lare, e PUO essere effettuata valutando un'opportuna funzione di rete per s = j ove s = a + j w, chiamata frequenza complessa, e la variabile complessa usata n trasformata di Laplace.

5. L'analisi nel dominio della frequenza fornisce una conoscenza piü profonda del c portamento del circuito e permette di stabilire, tra l'altro, condizioni di stab*Ji condizioni di attuabilità per un bipolo o un multiporte, ecc.

Nel seguito, dopo un breve richiamo delle regole che governano il metodo simbo generalizzato, verrà illustrato, tramite alcuni esempi, l'uso del metodo dei nodi nel si vogliano analizzare circuiti dinamici lavorando nel dominio della frequenza.

9.2.2 Le regole del calcolo simbolico

La tabella 9.1 raccoglie le equazioni costitutive nel dominio del tempo e della frequc za per i componenti circuitali considerati: resistori, condensatori, induttori e indutt accoppiati. Le grandezze V0, Io, 110 e 120 sono, rispettivamente, i valori iniziali, feriti all'istante 0— , della tensione ai capi del condensatore, della corrente attravei l'induttore e delle correnti primaria e secondaria attraverso gli induttori accoppiati.

Si consideri ora un generico bipolo, con condizioni iniziali nulle, e se ne definisca l'impedenza Z(s) e l'ammettenza Y(s), come indicato nella fig. 9.1 Nel caso dei

+ A 1 A(s) LI1

-O-- i(s)

V(s) Z(s)=yç_ V

Figura 9.1 Definizione di impedenza e ammettenza. Per ipotesi le condizioni iniziali devono essere nulle. S,

componenti elementari resistore, induttore e condensatore, le espressioni di impedeuze e ammettenze sono riportate nella tabella 9.2. Le equazioni costitutive della tabella 9.1 possono allora essere interpretate, da un punto di vista circuitale, come indicato nelle figure 9.2, 9.3 e 9.4.

II metodo simbolico insegna che l'analisi di un generico circuito dinamico (lineaie e tempo-invariante) puô essere effettuata usando le stesse tecniche di analisi studiate per i circuiti resistivi, purché Si US1flO le trasformate di Laplace di tensioni e correnü e si sostituisca ogni componente con la corrispondente impedenza (o ammettenza), introducendo gli opportuni generatori per tenere conto delle condizioni iniziali, come indicato nelle figure 9.2, 9.3 e 9.4.

p9.2 - Ii metodo del nodi: richiami teorici ed esempi 65

Tabella 9.1 Equazioni costitutive nel dominio del tempo e della frequenza. La variabile = o+jw êla variabile usata nel ]a trasformata di Laplace ed ê detta frequenza comp/essa. valori IfliZI2ll V0, I, 110 e 120 sl riferiscono all'istante O.

Componente Dominio del tempo Dominio della frequenza

Resistore R v(t) = Ri(t) V(s) = RI(s)

Condensatore C i(t) = C I(s) = sCV(s) - CVO oppure:

V(s)=-I(s)+--

Induttore L v(t) = V(s) = sLI(s) - LI0 oppure:

10 I(s)=—

1 — EV(s)+

Induttori vi (t) = L1 + M V, (s) = sLiIi (s)+sMI2(s)— accoppiati . .

v2(t) = M + L2 L1110 - MI20

M, L1, L2 V2 (s) = sMIi(s)+sL2I2(s)-

MI10 - L2120

oppure:

Vi(s)=sLi (II(S) — 10 +

sM (12(S) - 120

V2(S) = ,9M (1l(S) - +

120 sL2 (12(s) -

seguito si farà riferimento al metodo dei nodi, già ampiamente descritto nel a reti resistive, per illustrare, tramite un adeguato numero di esempi, l'uso del

idu simbolico nell'analisi dei circuiti dinamici. caso ii circuito non contenga generatori dipendenti o amplificatori operazionali,

-wema delle equazioni ai nodi puO essere scritto a vista, come nel caso di reti resistive. umendo, assunte come incognite le trasformate delle tensioni dei nodi rispetto

qdWwWb di riferimento, la matrice Y,, dei coefficienti, detta ora matrice delle ammettenze . e simmetrica e risulta cos! formata:

66

9 Metodi generali di analisi - circuiti dinamici

Tabella 9.2 Impedenza Z(s) e ammettenza Y(.5) di resistori, condensatori e induttc-

Componente Parametro Z(s) Y(s) -

Resistore R R C = 1/1?

Condensatore C _ SC

SC

Induttore L sL sL

Fgura 9.2 1 due circuiti equivalenti per un condensatore di capacitâ C nel dominio della frequeriza; /j e ii valore della tensione sul condensatore allistante O

I O.E— I(.) J + CD

Z=sL CD

V(s)

LI0

I]

- f(s)

Figura 9.3 I due circuiti equivalenti per un induttore di induttanza L nel dominio della frequenza; I è ii valore della corrente attraverso l'induttore alI'istante V.

gli elementi di posto (i,i) (cioè sulla diagonale principale) contengono la somma delle ammettenze che collegano ii nodo i con tutti gli altri nodi;

r> gli elementi di posto (i,j) (cioè fuori della diagonale principale) contengono la somma, cambiata di segno, delle ammettenze che collegano ii nodo i con ii nodo j:

Per quanto riguarda ii vettore dei termini noti, esso contiene nella posizione j la somma algebrica di tutti i generatori di corrente incidenti nel nodo j, assumendo come positive le correnti entranti nel nodo.

Si ricorda che, come già osservato nel caso di reti resistive, se la variabile d'uscita non è una tensione di nodo, occorre fare seguire alla soluzione del sistema scritto. un successivo passo per determinare la variabile richiesta, servendosi delle leggi di Kirchhoff delle tensioni e delle relazioni di ramo. Ad esempio, se è richiesta la corrente

I

§9.2 - Ii metodo dei nodi: richiami teorici ed esen

L1110 + M120 sM

li(s) --o e +

Vi(s) Z=sL1

sM Ii (s)

110 + I

V1(s) (1)

Figura 9.4 I due circuiti equivalenti, nel dominio della frequenza, per due induttori ac-coppiati di induttanza primaria L1, induttanza secondaria L2, induttanza mutua M. 110 e 120 sono I valori, rispettivamente, della corrente primaria e della corrente secondaria attraverso gil induttori L1 e L2 aIl'istante 0.

attraverso un condensatore C, connesso tra i nodi k e j, con verso positivo da k no j, si devono prima valutare Ek e quindi si pUÔ ricavare Ic = SC(Ek - Ei). Calcolata la trasformata della grandezza richiesta risolvendo ii sistema di equazioni briche, si ritorna nel dominio del tempo antitrasformando la funzione appena cal-

bxa. In tab. 9.3 sono riportate alcune regole di trasformazione e alcune trasformate Laplace elementari.

13 Esempi

na ora proposta una serie di esempi per illustrare l'uso del metodo dei nodi nel caso aLalisi di circuiti dinamici.

loiO 1

Eprim

o esempio si consideri ii semplice circuito RLC, indicato nella figura 9.5. Si calcolare l'uscita vo(t), quando l'ingresso ve(t) e un impulso di durata T = 1 s mpiezza E0 = 2 V, come indicato nella figura 9.6. I valori iniziali della tensione

wk a.i capi di C1 e della corrente iL attraverso L sono, rispettivamente, V10 = 1 V e = 1 A. La tensione inizia1e ai capi di C2 è nulla. I valori dei componenti sono-

J16 RL = 11, C1 =C2 = IF, L=2H. II circuito usato per l'analisi nel dominio della frequenza e rappresentato nella a 9.7, ove ii generatore reale di tensione ê stato sostituito da un generatore reale di

68

9 - Metodi generali di analisi - circuiti dinamici

Tabella 9.3 Regole di trasformazione e trasformate di Laplace elementari

funzione trasformata

ai fi ( t) + a2f2(t)

df cit

ft f( -) J0

d- -

f(t - to)u(t - t0)

S(t)

U(t)

t - 1 e—at (n—i)!

sen(wot + 4)

cos(wot + )

e—at senw0t

e at cosw0t

aiFi (s) + a2F2(s)

sF(s) - f(O-)

iF(s)

e_t08F(s) , t0 > 0

1

1 S 1

(s + a) s sen 0 + wo cos

2 + w02 S cos 0 - w0 sell 4'

2 + w02 wo

(s+a)2 Iwo2

(S+a) +w0

corrente equivalente e ove C1 e L sono stati sostituiti con i rispettivi circuiti equiv di fig. 9.2 e fig. 9.3 che fanno uso di un generatore di corrente per tenere conto condizioni iniziali. In tal modo ii circuito di fig. 9.7 contiene solo generatori di col e puô essere efficacemente analizzato con ii metodo dei nodi.

Re i?[

+

[']

Figura 9.5 Analisi di un circuito RLC

§9.2 - Ii rnetodo dci nodi: richiarniteoriciedesempi 69

E0 =2

0 T=1 t,s

Figura 9.6 Segnale d'ingresso per ii circuito RLC di fig. 9.5

+

V0

0

Figura 9.7 Circuito RLC trasformato per 'analisi nel dominio delta frequenza

Come detto in precedenza, trattandosi di un circuito che non contiene generatori ndenti o amplificatori operazionali, ii sistema delle equazioni ai nodi puO essere

irto a vista. Assunte come incognite le trasformate delle tensioni dei nodi, in questo E1 e E2, rispetto al nodo di riferimento (indicato con 0), Si ottiene:

1 1 1 r Il - I [EI]

Ve(s)Gc+CiVio I 1 SC2 +GL + 2 I I

[ L TL [ .s j

ituendo i valori numerici si ha:

[s+i+- 1 2s 2s I [Eu

IV(s) + 1 - - .9 I

1 S+1+II [EJ I L - 2sj I_ s

Facmdo riferimento alla fig 9.6, la tensione d'ingresso pUO essere scritta nella forma

ve (t) = E0 [u(t) - u(t - to]

70 9 - Metodi generali di analisi - circuiti dinamici

e la sua trasformata vale

Ve(s) = E0(1 _e_TS) 2(1 —e)

La trasformata Vo della tensione richiesta coincide con E2 e puo essere ottenuta dal sistema precedente usando la regola di Cramer. Ii risultato finale è ii seguente

E2 ______________ s 3/2 = s(s +282+23+1) + s3+2s2+2s+1

+ 33+2s2+2s+1

(9.1. I

Si osservi che la tensione cercata risulta essere somma di tre termini: ii primo e dovuta al generatore ye, mentre ii secondo e ii terzo dipendono (linearmente) dalle condizioii! iniziali. E cosI confermato ii risultato noto dalla teoria: la risposta completa risulta essere la somma della risposta con stato zero (cioè con condizioni iniziali nulle) e della risposta con ingresso zero (cioè con ye = 0). Scomponendo in fratti semplici ii primo termine si ottiene: I

1_eS 1 8(83+252 + +28 +1)

Antitrasformando si ricava:

2 2 -44 - 7 (s + 0,5)2 + (/

2)2] (1 - e 5) (9.

e(t) = - e1 - e OSt sent] u(t) -

1) 2 —o,5(t - 1) sen ((t - 1))] (t - 1) (9.3

Ii secondo termine puo essere spezzato in fratti nel seguente modo:

s —1 s+1 - 83 +2s2 +28+ls+1s2 +s+1

—1 1 v/2 s+0,5 s+1 +

(s + 0,5)2 + (/2)2 (s+ 0,5)2+ (/2)2 (9.4

Antitrasformando si ottiene:

e(t) =

e + e05 sent + e0,5t cos t] u(t) (9.5 V/ 13 2

p9.2 - Ii metodo dei nodi: richiami teorici ed eseinpi Ti

pr 9

o termine PUO essere spezzato in fratti nel seguente modo:

3/2 3/2 3 s 3 2 - ++1

3/2 - + 3 - 3 s+ 0,5

(9 6) - + 1 2 (s + 0,5)2 + (/2)2 2 (s+0,5)2+ (/2)2 •

Antitrasformando si ottiene:

= [et +_ sent - e 0'5 cos t] n(t) (9.7)

Sommando I tre contributi si ottiene la risposta complessiva:

co (t) = e2 (t) + e(t) + e2 (t) =

= [i - 0,5 et +T e 0,5t sen$1 - e 0'° cos t] n(t) -

e (t —1) _ e 0,5(t —1) sen ((t _1))] 1.11(t - 1) (9.8)

k flg. 9.8 O riportato l'andamento di vo(t) in fimzione del tempo.

Grafico di v(t)


sempio 2 :1 Come secondo esempio si consideri ii circuito indicato nella fig. 9.9, ove 1'OA e consi rato ideale e funzionante in zona lineare. Si vuole calcolare la funzione di trasmissi H(s) = Vu(s)/Ve(s). In questo caso le condizioni iniziali sono tutte nulle (per d nizione di funzione di trasmissione) e quindi i singoli componenti sono direttame sostituiti dalle loro impedenze o arnmettenze e non c'è necessità di disegnare ii circi "trasformato".

Figura 9.9 Analisi di un circuito dinamico con OA ideale

In accordo alla regole precedenteniente enunciate per i circuiti resistivi, non scrivono le equazioni ai nodi 1 (terminale di un generatore ideale di tensione con l'alt terminale connesso al nodo di riferimento) e 5 (terminale d'uscita dell'OA), mentre scrivono le equazioni ai nodi 2, 3 e 4. Si ricordi inoltre che, per i vincoli impo dall'amplificatore operazionale ideale risulta E3 = E4. Si ottiene ii seguente sistema tre equazioni nelle tre incognite E2, E3 E4 e Vu:

((E2 - V8)G11 + E2G12 + (E2 - E3)sC3 + (E2 - Vu)sC2 = 0 (E3—E2)sC3+(E3--V)G4 = 0

(E3G5+(E3—Vu)G6 = 0

Riordinando le equazioni nodali si ottiene:

Gii+G12+s(C2+C3) —sC3 —sC3 sC3 + C4

0 G5+G6

cia cui

—sC2 [E21[G,,Vs] —C4 E3=0 —C6 Vu 0

Gil +G12 + s(C2 + c3) —sC3 G11V8 —sC3 sC3 +C4 0

Vu = 0

detY C5+G6 0

9.2 - Ii metodo del nodi: richiami teorici ed esempi 73

i determinanti si ottiene la soluzione cercata, ove si ê posto G1 = G12:

H(s)Va G11(G5+G6) = x

vs C2G5 S

1 ( (7

G1G6\ C4] GIG s - +s (C i -

-2 \. 5 J L3J I/2t_3

!fflpiO 3 ,me ulteriore esempio di calcolo di funzioni di trasmissione si consideri ii circuito icato nella fig. 9.10, contenente un generatore dipendente. Si vuole calcolare la none di trasmissione H(s) = Vu(s)/Ve(s). Anche in questo caso le condizioni iali sono tutte nulle (per definizione di funzione di trasmissione) e quindi i singoli aponenti sono direttamente sostituiti daMe loro impedenze o ammettenze e non c'è cssitã di disegnare ii circuito "trasformato".

1

0

Figura 9.10 Circuito dinamico con generatore dipendente

In accordo alla regole precedentemente enunciate per i circuiti resistivi, non si scrive uazione al nodo 1 (terminale di un generatore ideale di tensione con l'altro terminale nesso al nodo di riferimento) ed e quindi sufficiente scrivere un'unica equazione a! Io 2. Indicando con V la tensione del nodo 2 si ottiene

VuGe + (V - Ve)(sCi + G1) - gm(Ve - V) = 0 (9.10)

x

vendo


Esempio 4

Come quarto esempio si consideri ii circuito indicato in fig. 9. 11, che si trova in condi ni di regime nella configurazione indicata, con tensione nulla ai capi di Cl. All'ist t = 0 l'interruttore T si chiude. Si vuole calcolare la tensione v3(t) per t > 0. I v dei componenti sono: R2 = R4 = 0,5 k1, Cl = C3 = 2 aF, E = 10 V.

Poiché ii circuito e considerato a regime prima della chiusura di T, si ottiene mediatamente che v3(0) = —E = —1OV. Ii circuito trasformato per l'analisi dominio della frequenza diventa quindi quello indicato in fig. 9.12, ove si è fatto per C3 del circuito equivalente che utilizza un generatore di corrente (fig. 9.2), in della successiva analisi da compiersi con ii metodo dei nodi.

R2 2

H

Ti :TC3TE

Hgura 9.11 Analisi di un circuito RC con interruttore

TI) 1 2

Figura 9.12 Analisi di un circuito RC con interruttore: circuito trasformato per 'analisi nel dominio della frequenza

.g. 9.12 sono indicati i nodi; si noti che la tensione richiesta v3 coincide con la del nodo 2 e che E(s) = E/s. Indicando con E1 ed E2 le trasformate delle

• dei nodi 1 e 2, si ottiene ii seguente sistema algebrico nelle incognite E1 ed

1sC1 E1+ (El —E2)G2 = 0

+ (E2 + )G4 + sC3E2 = —C3E (9.12) 1

§9.2 - Ii metodo dci nodi: richiami teorici ed esernpi 75

le equazioni Si ottiene:

sC1 + C2 —C2

1 IE2]E1

—C2 sC3 + C2 + G4] - —-C4 - C'3E

E opportuno osservare che, in alternativa alla via proposta, ii circuito di fig. 9.12 o anche essere analizzato scrivendo una sola KCL al nodo 2, facendo direttamente yrenire l'ammettenza del ramo formato dalla serie di R2 e C1. Si noti che ciO è iaIente ad utilizzare ii teorema di Millman per calcolare la tensione E2. Si ottiene:

E2Y2+(E2+)C4+sC3E2=—C3E, con Y2= SC1 sC1R2 +1

(usando ii teorema di Millman):

E — C + Q3

Vs(s)E2(s)=— S

sC1 C4 + sC3

+ sC1R2 +1

ndentemente dalla via scelta ii risultato finale è ii seguente:

(sCi + C2)(sC3 + G4)E V3 (S) —= E2 (S) =

- 2 s[s C1C3 + s(C3G2 + C1G2 + C1G4) + C2G41

;ituendo i valori numerici ed esprimendo le resistenze in ku e le capacità in nF i saranno espressi in ps), si ricava l'espressione finale di Vs(s):

- 10(3 +1)2

s(s2 +3s+ 1) (9.13)

lone ottenuta puO infine essere spezzata in fratti semplici:

V3 (3) - 10 41472 41472

s s + 216180 + s + 0,3820 (9.14)

AL:itrasformando si ottiene v3(t):

V3 (t) = —10— 4,472 e_2,618t +4,472e_0,3280t (t —~> 0, V. us) (9.15)

pio5

quinto esempio si consideri ii circuito indicato in fig. 9.13, che contiene due Lofi mutuamente accoppiati, con correnti iniziali nulle. Si vuole calcolare la fun-di trasmissione Vu/Ve. I vajori dei componenti sono: R = 40 k, Ru = 10 k,

) nF, L1 = 50 mH, L2 = 12,5 mH, M = 25 mH. Si noti che in questo Ca-


so, con i valori assegnati dei componenti, ii trasformatore ha accoppiamento unit - (L1L2—M2 --1).

Per poter analizzare ii circuito usando l'analisi nodale, occorre sostituire i d induttori accoppiati con un circuito equivalente che non contenga elementi accoppia In alternativa si potrebbe ricorrere all'analisi nodale modificata (si veda [21), ma ciô fuori degli scopi di questo testo. I due circuiti equivalenti piü comunemente utilizz sono indicati in fig. 9.14 e in fig. 9.15: ii primo nel caso che i due induttori accoppiati formino un doppio bipolo sbilanciato, ii secondo nel caso in cui si tratti di un dopp bipolo bilanciato.

R M

I +

I + Jo (jRu

Vs (s) L

Figura 9.13 Circuito con due induttori accoppiati.

L1)

Figura 9.14 Induttori accoppiati e circuito equivalente a T. Le condizioni di equivalenza sono: La = L1 M, '-'b = Al, L L2 - M. Nel caso di accoppiamento unitario

risulta: LaL + LaLc + LbLC = 0.

'1

EV2

0- 2V 1

0-

i L1 —M L2 12

V

V2

Figura 9.15 Induttori accoppiati e circuito equivalente bilanciato.

Nel caso dell'esempio proposto si ha un circuito sbilanciato e quindi ii circuito tra-sformato per l'analisi nel dominio della frequenza diventa quello indicato in fig. 9.16, ove i due induttori accoppiati sono stati sostituiti dal circuito equivalente a T di fig. 9.14. Si ottiene ii seguente sistema di due equazioni nelle due incognite E1 e E2 Vu: 1

9.2 - II rnetodo del nod]: richiarni teorici od esempi

I F —iT' 1

- (. SLb sLc -

(VuEi) + V(sC + G) 0 (9.16)

I? 2 I_

I + La j LCcIR[

T Ve(8) Lb ¶VU(s)

Fgura 9.16 Circuito equivalente nel dorninio della frequenza.

- : :dinando le equazioni nodali si ottiene:

ve R+SLa + L +

R+SLa

I I

+ sc + Gu Val - 0

sL SL(.

acui

1 1 1

R+SLa sLb I R+SLa

SLC

PF V'(J= detY

lutando i due determinanti e ricordando che in questo caso, poiché ii trasformatore coppiamento unitario, LaL& + LaLc + LbLC = 0, si ottiene l'espressione letterale

b funziOne di trasmissione cercata:

r) - - Lb 8 (9-17)

- V - (Lb + L(.)RC 2 +

- LaLb +

1

IR71,C LC(Lb + Lc)RC (1db + L)C

ituendo i valori numerici si ottiene la funzione di trasmissione richiesta:

V 625s 2 9 (9.18

Ve s +2500s+10

9 - Metodi generali di analisi - circuiti dinamici

Esercizi

9.1 Calcolo di impedenze Calcolare l'impedenza Z(3) dei bipoli indicati nelle figure E-9.1 - E-9.4

L1 ____

L''R4 C2 p

Figura E-9.1

Figura E-9.3

Figura E-9.2

0,4

0,16

Figura E-9.4

9.2 Ii circuito della figura E-9.5 viene usato per simulare un'induttanza con an capo a massa mediante resistenze, condensatori e amplificatori operazionali. Si calcoli l'impedenza Z(s) e l'induttanza equivalente Lpq .

Figura E-9.5

Esercizi

79

L3 Risonatore serie ideate Ii circuito della figura E-9.6, formato dal collegamento in serie di un induttore L e un condensatore C, senza la presenza di resistori, è noto come risonatore serie ideale.

+vC_ +L_

RS L

___z


Si supponga che, con l'interruttore S aperto, sia presente, ai capi del condensatore una tensione V0. Supponendo di chiudere S all'istante t = 0, si calcolino, in funzione Vco, L, C e w0

le espressioni di i(t), v(t), vL(t); l'energia E0 immagazzinata nel circuito prima della chiusura di S; le espressioni delle energie istantanee E(t) e EL(t) immagazzinate rispettivamente in C e in L; J'espressione dell'energia totale E(t).

• Risonatore serie reale Ii circuito della figura E-9.7, formato dal collegamento serie di un induttore L, un condensatore C e un resistore R8, e noto come risonatore ne reale. Si supponga che, con l'interruttore S aperto, sia presente, ai capi del 1ensatore C una tensione Vo. Supponendo di chiudere S all'istante t = 0, Si

le espressioni di i(t) e vc(t), nell'ipotesi che woL/R8 > 1/2, con wo = i,/Ld. Si esprimano I risultati facendo comparire esplicitamente le variabili V0, R3, wo e Q = woL/R; le espressioni delle energie istantanee E(t) e EL (t) immagazzinate rispettivamente in C e in L e dell'energia totale E(t), nell'ipotesi che sia Q >> I. Si discutauo i risultati ottenuti; il numero n di oscillazioni complete della corrente i(t) durante il transitorio affinché la sua ainpiezza si riduca a e volte l'ampiezza iniziale.

Calcolo di transitori Si consideri il circuito della figura E-9.8. Ii generatore kato fornisce una corrente costante e il circuito si trova in condizioni di regime. rante t = 0 il tasto T viene chiuso. Usando la trasformata di Laplace, Si determini

isione v(t) per t > 0, nell'ipotesi che L/R2 <4R2C.

Calcolo di transitori Si consideri il circuito della figura E-9.9. II generatore e una tensione V0 costante e il circuito si trova in condizioni di regime. La


tensione sul condensatore è nulla. All'istante t = 0 ii tasto S viene chiuso. Usando la trasformata di Laplace, si determini la corrente iH(t) per t > 0, nell'ipotesi che I componenti abbiano i valori seguenti: R = lIZ, C = IF, L = 2 H, Vo = 1V.

I? S

L IRA

(En1?

H + _____

- L


9.7 Calcolo di transitori Nel circuito della figura E-9.10 ii generatore fornisce U: tensione V0 costante e ii circuito si trova in condizioni di regime. All'istante t = 0 tasto T viene aperto. Si determini ii valore di i(t) prima dell'apertura di T, quim usando la trasformata di Laplace, si determini la corrente i(t) per t > 0.

T

Vo

I I cIII I i(t)

Th LAW t £1*i)

R \1T R i?2


98 Calcolo di transitori Nel circuito della figura E-9.11 ii generatore fornisce una corrente 10 costante e ii circuito si trova in condizioni di regime. All'istante t = 0 ii tasto T viene chiuso. Usando la trasformata di Laplace, si determini la tensione v(t) per t> 0, nell'ipotesi che I componenti abbiano i valori seguenti: Jo = 10 A, R = 211, R1 =R2 = lIZ, C1 = IF, C2 =2F.

9.9 Calcolo di funzioni di trasmissione Si consideri ii partitore RC della figura E-9.12. Se la tensione d'uscita v1 (t) e uguale alla tensione d'entrata Ve(t) a meno di una costante moltiplicativa, ii partitore e detto compensato. Si trovi ii legame che deve esistere tra R1, C1, R2 e C2 affinché il partitore risulti compensato. In tale ipotesi, di determini:

• ii legame di proporzionalità tra v e vg; • l'impedenza Z6 (s); r• v(t) nell'ipotesi che ii bipolo sia alimentato da un generatore di resistenza i

R8 e tensione a vuoto v8(t) uguale a un gradino unitario u(t).

Esercizi

+ R

C' 1

Ve

i

C2

Z(s)

Figura E-9.12 Partitore RC

4.10 Calcolo di funzioni di trasmissione Si consideri ii circuito della figura E-9.13-

calcoli la funzione di trasmissione Kr(s) =

Vg(

+

U

Figura E-9.13

Calcolo di funzioni di trasmissione Si consideri ii circuito della figura E-Indicato con R1 ii parallelo tra R11 e R12, si calcoli la funzione di trasmissione

V, (S)Ve (s)

+ V

Figura E-9.14

S2 9 - Metodi generali di analisi - circuiti dinamici

9.12 Calcolo di funzioni di trasmissione Si consideri ii circuito della figura E-9. Si calcoli la funzione di trasmissione

R2

Figura E-9.15

Si supponga ora che ii generatore sia un generatore sinusoidale, con Ve (t) =

per t < 0 e v, (t) = Vv1 senw1t per t > 0. Supponendo nulle le condizioni iniziali, e nell'ipotesi di VjAy = lOOmV, w1 = 27rf1 , f = 2500 Hz, si calcoli v(t) per t > 0. Successivamente:

si ripetano i calcoli nel caso che la frequenza sia f2 = 3000 Hz; c> Si determini quanto vale nei due casi ii rapporto tra l'ampiezza della risposta a

regime e quella del segnale in ingresso.

I valori dci cornponenti sono: R1 = 1kg, R2 = i,5 k, R4 = 12,2 kg, R5 = 1,22kft R7 = R3 = 1,5kQ, C3 = C6 = 47nF.

Capitoo ID

Introduzkme al egme sinusoidale

:2.1 Generalita

:-:o capitolo introduce all'uso dei fasori e delle loro proprietã. Inoltre, usando rrispondenza biunivoca tra fasori e grandezze sinusoidali, e introdotto ii metodo olico che consente di studiare i circuiti in regime sinusoidale a partire dalle me-

kIogie di analisi valide per i circuiti resistivi. In particolare sono proposti i primi onrcizi di scrittura delle leggi di Kirchhoff usando i fasori e ii calcolo di impedenze (o

mettenze) di bipoli che operano in condizioni di regime sinusoidale.

10.2 Richiami teorici

a1isi di un circuito lineare in regime sinusoidale puo essere svolta in modo semplice - tando la corrispondenza biunivoca tra funzioni sinusoidali e numeri complessi. Si

Wificbi con x(t) una generica tensione o corrente sinusoidale

x(t) = Am cos(wt + qS) (10.1)

w = 2irf e la frequenza angolare (f è la frequenza definita come ii reciproco del lo T della funzione sinusoidale), Am e 0 sono rispettivamente l'ampiezza (o valore .no) e la fa.se della sinusoide.

Fasore: Si definisce fasore ii numero complesso' X E C ii cui modulo e argo-:ento sono rispettivamente l'ampiezza (o valore massimo) e la fase della sinusoide.

- ricorda che un numero complesso z E C puô essere rappresentato: (a) in forma cartesiana = x + j y, dove x e y sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z, ossia

Re[z] e y = Im[z]; (b) in forma esponenziale z = jzj e3 Lz, dove jzj e Lz sono rispettivamente ii :iio e l'argomento di z. La formula di Eulero ej 0 = cos q5 + j sen 0 consente di ricavare facilmente

-.

-eiazioni tra le due rappresentazioni, ossia x = Izi cos(/z) e v = Izi Sen. (/z) oppure Izi = -Jx2 -+e arctan(y/x) + r(sgn(x) - 1)/2 essendo sgn(x) la funzione segno di x. Si definisce complesso

- to di un numero complesso z = x + j y = IzIei ilnumero z = x - j = jze_i. Infine, zi = zi + jy = IzileJ1 e z2 = x2 + jY2 = Iz2IeJ 2 valgono le seguenti regole per le

83

84 10 - Introduzione al regime sinusoidale

Pertanto si ha: x(t)=Am cos(wt +5)4==.X=IXIe (1

dove IXI = A e LX = 0. Si osservi che ii fasore rappresenta una grandez sinusoidale x(t) (sia essa una tensione o una corrente) alla frequenza angolare e tutte le grandezze elettriche all'interno del circuito (lineare) hanno a regime stessa frequenza angolare2.

r> Impedenza e Ammettenza: II comportamento di un bipolo in regime sinusoids e descritto dai fasori V = Vm ej 0- e I = 'm e associati rispettivamente aJ tensione (sinusoidale) v(t) = Vm cos(wt + ) e alla corrente (sinusoidale) i(t) Im cos(wt + qS) ai suoi terminali. Si definisce impedenza Z di un bipolo ii rappor tra il fasore della tensione e ii fasore della corrente. Si definisce ammettenza Y reciproco di Z. Pertanto si ha:

TiT

Z=-1 =R+jXHZIe

Y= =C+jB=IYIe

dove la parte reale e immaginaria dell'impedenza Z (ammettenza Y) sono dE rispettivamente resistenza R e reattanza X (conduttanza G e suscettanza B). Per un bipolo in regime sinusoidale valgono quindi le seguenti relazioni tra V e

V=ZI: I=YV

Leggi di Kirchhoff: per un circuito in regime sinusoidale valgono le relazioni, espresse in forma matriciale

o Al = 0 (legge di Kirchhoff delle correnti), dove A e la matrice di incidenza 16 ii vettore dei fasori delle correnti nei rami del grafo associato al circuito.

o ATE = V (legge di Kirchhoff delle tensioni), dove V e ii vettore dei fasori del tensioni dei rami del grafo associato al circuito e E ê ii vettore dei fasori del tensioni dei nodi rispetto al nodo di riferimento (dette "tensioni nodali").

Osservazioni

r> Le leggi di Kirchhoff e le relazioni costitutive (lineari) dei bipoli, espresse da re-lazioni algebriche tra fasori, consentono di studiare i circuiti in regime sinusoidale usando i metodi di analisi validi per i circuiti resistivi.

c> A volte una forma d'onda periodica f(t), di periodo T e caratterizzata dal suo valore efficace, invece che dal suo valore ma.ssimo.

operazioni tra numeri complessi: zl ± z2 = (X1 ± x2) + j(yi ± y2), Z1z2 = Iz1IIz2Iei( 1+ 2 ) e zl/z2 = ( Izl I/Iz2I)ei(1z2). Si dimostra facilmente che zz = 1z12, z + z = 2x = 2Re[z] e z - = j 2 = j2Im[z].

2 Per ii Teorema fondamentale sull'esistenza del regime sinusoidale, in un circuito lineare (stabile) con ingressi sinusoidali di frequenza angolare w tutte le tensioni e le correnti hanno, a regime, la medesima frequenza w.

10.2 - Richiami teorici 85

II valore efficace è definito come la radice quadrata del valor medio del quadrato dei valori istantanei della funzione f (in inglese 'root mean square', abbreviato in rms):

Tj rT

feff 0 [f (7)? dr (103 I.. T

Nel caso di una forma d'onda sinusoidale quale quella descritta dall'equazione 10.1. ii legame con tra valore massimo e valore efficace è molto semplice:

Xeff = Am/v'2- m/V' (10.4)

II valore efficace di una forma d'onda sinusoidale è usato di preferenza in campo energetico. In particolare, i valori di tensioni e correnti nelle reti di distribuzione dell'energia elettrica sono espressi in termini di valore efficace; cosi, ad esempio. le tensioni di 220 V distribuite nelle abitazioni private sono valori efficaci (e non valori massimi). Molti strumenti di misura, tra cui i multimetri piü econoniici. sono costruiti per fornire ii valore efficace di una tensione sinusoidale. Come conseguenza, ii modulo dei fasori viene spesso posto uguale al valore efficace della tensione o della corrente considerata. Visto ii legame stabilito dall'equazione 10.3, basta una semplice moltiplicazione per per passare a una rappresentazione in cui ii modulo del fasore e associato al valore massimo della forma d'onda sinusoidale considerata. In ogni caso, nel seguito ii modulo di un fasore X verrà sempre indicato con (XI: in base al contesto sara possibile comprendere agevolmente se si tratta di valore efficace o valore massimo.


Esercizi

10.1 Dato ii numero complesso z = 6e 1/6, se ne calcoli la parte reale e la immaginaria.

10.2 Dati due numeri complessi z1 = —1— j e z2 = 1+ j, se ne calcolino mo e argomento.

10.3 Si calcolino i numeri complessi risultanti dalle segiienti espressioni, fori do ii risultato in forma cartesiana.

15 e 14 (a) 3j4

+j2

8e_3200 10 (b) (2+j)(3-34) —5+j12

(c) 10 + (8ei0°)(5 - j 12)

(d) 2+ 3 + 4 5—j8

L (e)

(f) 8eu10°+6e_j200

9e 80 —4e 5°

10.4 Dati z1 = 2 + j 2 e Z2 = —2 + j 6, Si calcolino V1 = IV1 e0' = Z12

V2 = jV2e92 = Zl/Z2.

10.5 Calcolare e disegnare nel piano complesso i fasori I e V corrispondenti

a) i(t) = 25 cos (wt + ir/4), A

b) v(t) = —l5sen (wt +ir/6), V

10.6 Si calcolino le sinusoidi corrispondenti a ciascuno dei seguenti fasori.

(a) V1 = 60 e 150 , V con w = 1 rad/s

(b) V2 = 6 + j 8, V con w = 40 rad/s

(c) Ii = 2,8e'3, A con w = 377 rad/s

((1) 12 = —(0,5 + j 1,2), A con w = 1000 rad/s

Esercizi

87

:0.7 Si calcolino le seguenti espressioni utilizzando 1 fasori.

3cos(50t+10°)-5cos(50t-30°)

40 sen (30t) + 30 cos(30t - 71/4)

20sen (lOOt) -4- 10cos(100t + 60°)— 5sen (lOOt - 20°)

10.8 Usando 1 fasori, si calcoli la tensione yR per ii circuito indicato nella figura ove: v1(t) = 20cos(wt + 53,130)V, v2(t) = 19,68sen(wt + 152,80)V e v3(t) =

.5 cos(wt + 71,61°) V.

10.9 Si calcoli l'impedenza del bipolo indicato nella figura E-10.2 alla frequenza = 1 kHz. I valori dei componenti sono: R = 32 kQ e C = 5 nF.

RON


Si calcoli l'impedenza del bipolo indicato nella figura E-10.3, funzionante .lsazione w = lrad/s. I valori dei componenti sono: R = 1, C = 4F e = 211.

Z

Figura E-10.3

Capitolo 11

nalisi di circuiti in regime sinusoidale

uesto capitolo saranno proposti problemi riguardanti circuiti in regime sinusoidale, risolversi con ii metodo simbolico, ossia usando i fasori e sfruttando i metodi di Jisi e i teoremi fondamentali utilizzati nel caso di reti resistive.

1 Richiami teorici

ialisi di un circuito lineare in regime sinusoidale puo essere svolta rappresentando oni e correnti con i rispettivi fasori e usando le metodologie di analisi apprese

ca.so di circuiti resistivi, estese opportunamente al regime sinusoidale. Si faccia imento ai capitoli 10 (per le proprietà dei fasori) e 2-5 (per l'analisi di circuiti ;tivi).

89

9U 11 - Analisi di circuiti in regime sinusoidale

Esercizi

11.1 Nel circuito indicato in figura E-11.1 si determini i(t) a regime, sapendo che v, (t) = 2 cos (wt +ir/2), V, R = 1 Q e che, alla frequenza del generatore, X = -1 Q eXL==th. 4

Figura E-11.1

11.2 Si consideri ii circuito della figura E-11.2. Ii generatore Ve 6 un generatore di tensione sinusoidale, di frequenza f = 10 kHz. Nell'ipotesi di R = 1 kf, si calcoli C in modo che la tensione V sia sfasata di 1200 in anticipo rispetto a V.

Ve

Figura E-11.2

11.3 Dato ii circuito della figura E-11.3, si calcolino i suoi componenti in modo che la tensione V sia sfasata di 900 in ritardo rispetto alla tensione Ve alla frequenza di 20 kHz e inoltre sia uguale a 10 k1 ii modulo della sua impedenza d'entrata alla frequenza di 100 kHz.

R H

-0 D- -T-

Fgura E-11.3

Esercizi

91

Dato ii circuito della figura E-11.4, si calcoli la tensione v(t) a regime nendo 10 = 3mA, i8 (t) = Im sen(2irft) COfl Im = 2 m e f = 1kHz, R = lkQ e lOOnF.

RC1 Vu

Figura E-11.4

Dato ii circuito della figura E-11.5, si caicoli ii valor medio della tensione a regime assumendo Vo = 5 V, v, (t) = sen (21rft) con f = 4kHz, R1 = 2 kf e 4k.

R1

'V5

V)

+ VU

Figura E-11.5

:apitoo 12

Dotenze in regm2 snusoidaIe, rifasamento, adattamento energetco

1 Generalità

T -:sto capitolo introduce lo studente al calcolo della potenza (attiva, reattiva, appa-complessa) in regime sinusoidale. Inoltre si presentano esempi di progettazione

a reti elementari per ii rifasamento e l'adattamento energetico.


Massumono, brevemente le definizioni relative alla potenza entrante in un bipolo in e sinusoidale, ii teorema della conservazione della potenza complessa, le condiziom

il massimo trasferimento di potenza tra un generatore e un carico (adattamento getico) e ii rifasamento di un carico (monofase).

Potenza: si consideri un bipolo funzionante in regime sinusoidale, ai cui morsetti -Si misurano (con la convenzione degli utilizzatori) una tensione e una corrente rispettivamente di valore massimo I VI e III. La potenza attiva' (misurata in W) entrante nel (o fornita al, o assorbita dal) bipolo e espressa da

P= IVI III Cos

La potenza complessa S fornita al bipolo e espressa da

S=VI= IVIIIkos+iVIkenc4 =P+iQ

Ia potenza attiva è definita come ii valor medio della potenza istantanea p(t) = v(t)i(t) dove = VI cos(wi+LV) e i(t) = cos(wt+LI). Per semplificare la notazione si indica con 0 = LV—Z.1 asamento tra i fasori della tensione e della corrente. Si ricorda che IVI e III sono rispettivamite ori massimi (ovvero le ampiezze) delle sinusoidi che descrivono la tensione v(t) e la corrente i(t)..

seconda del contesto, come detto nel capitolo 10, IVI e I possono essere I valori efficaci sDondente tensione e corrente.

93

94 12 - Potenze in regime sinusoidale, rifasamento, adattamento energetico MR

dove Q e la potenza reattiva (misurata in VAR), definita come

Q= 1

j Vjj1jsen(/)

Ii termine cos 4 e detto fattore di potenza e ii modulo della potenza complessa e detto potenza apparente (misurata in VA), ossia ___

SI = IvIIII = p2 + Q2

Al fine di eliminare ii fattore 1/2 che compare nelle relazioni precedenti, vier introdotto, come detto nel capitolo 10, il valore effi care per una grandezza periodi x(t) con periodo T, cosI definito:

- Xeff = i f [X(,)]2 d, v/T

Per una grandezza sinusoidale con valore massimo (ovvero ampiezza) Xm si ottie Xeff = Xm/t/. Pertanto, se la tensione v(t) e la corrente i(t) sono descrit attraverso i valori efficaci, in tutte le formule precedenti non compare ii fattore 1/ e, nel caso di un bipolo resistivo, che ha cos 0 = 0, la potenza attiva entrante e data da P = RI 112 = V12 /R ed e quindi uguale alla potenza fornita allo stesso resistore R da una corrente (tensione) costante di valore uguale al valore efficac della corrente (tensione) sinusoidale considerata. 1 Conservazione della potenza: in un circuito lineare tempo—invariante che opera in regime sinusoidale, la potenza complessa si conserva; equivalentemente, impie- gando la convenzione degli utilizzatori per ciascun bipolo del circuito, Si ha I

>2VkI=0

dove 10, ii numero di lati del grafo associato al circuito.

> Massimo trasferimento della potenza: sia assegnato un generatore (reale) sinusoidale, specificato tramite ii corrispondente circuito equivalente di Thévenin con tensione a vuoto di valore massimo IEG I e impedenza ZG = R+j XG con R> 0, che alimenta un bipolo (detto anche carico) con impedenza ZL = RL + j XL. In regime sinusoidale, ii bipolo ZL riceve la massima potenza media Pm se e solo se ZL = Z. In tali condizioni si ha

D nO12

max -

dove lEd I è ii valore massimo (ovvero l'ampiezza) del generatore di tensione a vuot Nel caso si usino i valori efficaci e quindi lEd I sia ii valore efficace della tensione

§12.2 - Richiami teorici

95

la formula precedente diventa

D -

E 2

-' max

D Rifasamento: sia assegnato un bipolo efficace Veff e funzionante alla pulsazione w. attiva P con fattore di potenza cos 41 > connesso in parailelo a J3 che rifasa il can di potenza fino a cos 02 è

i alimentato da una tensione di valore Assumendo che l3 assorba una potenza

o (carico induttivo), ii condensatore C co in modo tale da aumentare ii fattore

= P(tanq5i—tanq52)

wVe2ff

06 12 Potenze in regime sinusoidale, rifasamento, adattamento energetico

Esercizi

12.1 Un bipolo di impedenza Z = (200 + j 300) 1 e alimentato da un generat ideale di tensione di valore efficace 2 V. Si calcoli la potenza attiva P assorbita bipolo.

12.2 Dato un generatore sinusoidale con tensione a vuoto di valore efficace e impedenza interna Z = (600 + j 100) l, si calcoli la potenza attiva massima che generatore puo erogare.

12.3 Un generatore sinusoidale con tensione a vuoto di valore efficace 5 impedenza interna ZG = (200 - j 100) Q alimenta un bipolo di impedenza Zc = (3 j 600) ft Si determini la potenza attiva PC fornita al bipolo Z.

12.4 Un bipolo di impedenza Z = (10 - j 50) Q e attraversato da una corrente di valore efficace III = 2 A. Si calcolino le potenze attiva e reattiva entranti nel bipolo.

125 Ii circuito indicato nella figura E-12.1 ê alimentato da un generatore i tensione di valore efficace di IV,I = 100V e di frequenza f = 200 kHz. Si calcolino potenze attiva e reattiva assorbite dal circuito. I valori dei componenti sono: R1 R2 = lOkfl e C2 2nF.

12.6 Si consideri ii circuito indicato nella figura E-12.2. II generatore forni una tensione sinusoidale di valore efficace IV1 I = 220V. Con l'interruttore S chi ii generatore fornisce una potenza attiva P = 800W, mentre ii valore efficace de corrente I e i = 10 A. Con l'interruttore S aperto i valori efficaci di I e V2 so rispettivamente: I I I = 10 e I V21 = 50V. Si determinino Z1, R e XL.

P7

+ P?.1

100V 2

Figura E-12.1

12.7 Data la rete indicata nella figura E-12. si determini ii valore efficace della tensione applicat reattiva assorbita dal condensatore C è uguale, in i IXcI = 100 IL

Esercizi

9:

:2.8 Si consideri ii circuito indicato nella figura E-12.4, funzionante in regime soida1e, di frequenza Ii = 50 Hz. Supponendo R1 = 150 1, R2 = 200 Q e XL =

I ?, si determini la capacitA necessaria per ii rifasamento totale (ovvero cos = 1) I punti A e B.

ra-

Fgura E-12.3

L

Figura E-12.4

I 2.9 Si consideri ii circuito della figura E-12.5 funzionante in regime sinusoidale, mentato da un generatore di tensione, con tensione a vuoto V8 = Em sen (27rfit),

edenza interna Zg = Rg + j Xg e chiuso su un carico Z,, R + j X. umendo Em = 10 V, fi = 1MHz, Zg = 100+j100 92 e Z = 5000—j2000, si

coli la potenza attiva Po entrante nel carico di impedenza Z. Interponendo tra ii generatore e ii carico ii doppio bipolo indicato nella figura E-12.6

318,3 pH e Ck = 222,6 pF, si calcoli un componente che inserito al posto di attui l'adattamento energetico tra ii generatore e ii carico. Si calcoli infine quanto la potenza attiva P2 che arriva sul carico in questo caso.

Zg Zq Zi

ZU Ck-

Figura E-12.5 Fgura E-12.6

Capitolo 13

Funzioni di rete e curve di risposta

questo capitolo saranno proposti esercizi che richiedono di

diagrammare per via grafica, usando i cosiddetti diagrammi di Bode, le curve di risposta in frequenza di semplici funzioni di rete;

D calcolare ii comportamento in regime sinusoidale di un circuito partendo dalla conoscenza dell'opportuna funzione di rete.


a di proporre esercizi su funzioni di rete e curve di risposta saranno effettuati richiami teorici.

1.1 Funzioni di rete

comportamento di un circuito elettrico puO essere adeguatamente descritto da un'op-ituna funzione di rete. Nel caso di circuiti dinamici lineari e invarianti nel tempo, thviduata una coppia di nodi tra i quali viene collegato un segnale d'ingresso (che th essere una tensione o una corrente) e una coppia di nodi ove viene misurata la iosta all'ingresso (generalmente la tensione tra la coppia di nodi o la corrente in un

polo che collega i due nodi), come indicato nella figura 13.1, una funzione di rete e Anita come ii rapporto F(s) tra la trasformata di Laplace della risposta all'ingresso b trasformata di Laplace del segnale d'ingresso, nell'ipotesi che siano state messe a ,v tutte le condizioni iniziali:

F(s) - - C(risposta all'ingresso)

£(segnale d'ingresso)

seconda dell'ingresso e dell'uscita considerata si possono avere sei diverse funzioni rete. Le configurazioni die portano a tali funzioni sono illustrate nella figura 13.1, 5itre la tabella 13.1 riassume le loro definizioni. servazioni

II concetto di funzione di rete ora introdotto e molto piü generale di quello origi-nato dalla teoria del regime sinusoidale, ove le funzioni di rete sono definite come

13 F7jnzioni di rete e curve di risposta

Figura 13.1 Le configurazioni che generano le sei possibili definizioni di funzione di rete 1

Tabella 13.1 Le sei possibih funzioni di rete per un circuito dinamico lineare e invariante nel tempo

Figura Definizione Denominazione Unità di misura'

(a) II =- V. Funzione di trasferimento in tensione Adimensionale

(b) H = f- Funzione di trasferimento in corrente Adimensionale

(c) = Ammettenza di trasferimento Siemens

(d) zt = Impedenza di trasferimento Ohm

(e) Y - Ammettenza d'ingresso Siemens

(f) Z = Impedenza d'ingresso Ohm

rapporto tra ii fasore dell'uscita e ii fasore dell'ingresso. Infatti, la funzione di rete F(s)

• fornisce (ponendo s = j w) lo stesso risultato ottenibile calcolando la corrisp dente funzione di rete definita in termini di rapporto di fasori;

0 permette di ottenere la risposta del circuito considerato quando sia soggetto un ingresso qualsiasi, di cui sia nota la trasformata di Laplace. Si ha infatti

risposta all'ingresso =,C —'[F(s) x L(segnale d'ingresso)]

§13.1 - Pichiami teorici 101

Le funzioni di rete sono funzioni razionali della variabile complessa s, con coeffi-rnti reali:

F(s) = rn-i bmsm+bm_iS -r...+bis+b0

as + a_ s"-' + ... + a1s + a0

Le funzioni di rete sono alla base di tutti i moderni procedimenti di sintesi dei drcuiti elettrici.

Curve di risposta

siderato un circuito (lineare, stabile e invariante nel tempo) funzionante in regime oida1e di pulsazione w, la funzione di rete F(s) j , F(j w) = IF(i w) I ej OM

±ce ii rapporto tra ii fasore dell'uscita e ii fasore dell'ingresso. Ad esempio, sup- do che l'ingresso sia un generatore di tensione Vi V4 & che l'uscita sia la

V = IVu I & e che la corrispondente funzione di trasferimento sia H, (s), si

Vu = H,(jw)V = IH(iw)I Vi = H(jw)IIVI

cui risulta: =

OVU = c1 + (w)

Lconseguenza, la conoscenza del modulo e della fase di una funzione di rete al variare Pa pulsazione w (ovvero della frequenza f = u/27r) permette di conoscere come varia riposta di un circuito al variare della frequenza del segnale in ingresso. Le curve di xlulo e fase al variare della frequenza vengono denominate rispettivamente risposta

mpiezza e risposta in fase. L'insi.eme delle due funzioni rappresenta la risposta in enza del circuito.

uso comune, a causa dell'ampio campo di valori coperti dai segnali elettrici e dal s-asto intervallo di frequenze in cui i circuiti possono operare, esprimere ii modulo della funzione di rete considerata in decibel (abbreviato in dB) e usare una scala logaritmica per la frequenza. Ii valore in decibel del modulo e definito dalla seguente relazione

IF(iw)dB = 2O log F(jw)

Poiché Passe delle ordinate ha una scala lineare (graduata in dB), mentre l'asse delle ascisse ha scala logaritmica, si suole parlare di diagrammi in scala semi-logaritmica.

•D Poiché una funzione di rete è una funzione razionale a coefficienti reali, I suoi zen e poli sono o reali o coppie complesse coniugate, con uguale molteplicità per ogni coppia.

:D II tracciamento delle curve di risposta e oggi reso agevole dall'uso dei moderni mezzi di calcolo, ma ê possibile ottenere un andamento approssimato fattorizzando

6 la funzione di rete (cioè calcolandone zeri e poli) e sommando (in modo algebrico) per via grafica I diagrammi elementari di modulo e fase corrispondenti agli zen e poll della funzione.

135

90

LL

N 0

-45

-5

-10 102 10' 100 101 102

O)/Z

40

35

30

Ni

102 13 - Funzioni di rete e curve di risposta

I diagrammi elementari di modulo e fase in funzione di w associati con uno zero rej (s+z), z> 0 o con una coppia di zeri complessi coniugati (s2 +2wos+wo2 ), >

sono indicati, rispettivamente, nelle figure 13.2, 13.3 e 13.4, 13.5. I diagrammi re-lativi ai poll sono identici a quelli degli zen, ma hanno segno opposto. Quesii,

' diagrammi elementari sono solitamente chiamati diagrammi di Bode. I diagram-mi in molti casi sono sufficientemente approssimati dal loro amdamento asintotica. indicato nelle figure 13.2, 13.3 nel caso di zero reale negativo.

c> La frequenza alla quale ii diagramma del modulo di una radice reale si discosta i 3 dB dalla sua approssimazione asintotica è spesso indicata come punto centrale'4 anche pulsazione di rottura o pulsazione d'angolo) del diagramma. Esso corrisponde alla frequenza per cui e w/z = 1. Nel caso di una coppia complessa coniugata, I punto centrale corrisponde alla frequenza per cui è w/wo = 1.

i> Ii grafico finale è ottenuto sommando (algebricamente) tutti i contributi dovuti agi zeri e ai poli, piazzando i singoli diagrammi elementari con ii loro punto centrale in corrispondenza di una pulsazione uguale al valore assoluto della radice reale o a quello del modulo della coppia complessa coniugata considerata.

> La via grafica si dimostra particolarmente utile nel caso in cui si debba effettuare un progetto: infatti, assegnato l'andamento del modulo (o della fase) di una fun-zione di rete al variare di w, la via grafica permette di risalire con una discreta approssimazione alla funzione di rete da realizzare, consentendo di determinar poli e zen.

Risposta in ampiezza Risposta in fase

fill

uryA _/451 bea

Approssimazione asintotica

10_2 10 10° 101 102

wlz

Figura 13.2 Diagramma del modulo (in dB) Figura 13.3 Diagramma della fase (in at variare delta pulsazione w di uno zero z reale at variare delta pulsazione w di uno zero z negativo negativo

§13.1 - Richiami teorici

idu (0/(00 lOu

102 10_1 lOu lOu

0)/COn

:-a 13.4 Diagramma del modulo (in dB) al Figura 135 Diagramma della fase (in gradi) al

della pulsazione w di una coppia di zeri variare della pulsazione w di una coppia di zen essi coniugati di modulo wU complessi coniugati di modulo w


Eserdzi

13.1 Diagrammare l'andamento del modulo (in dB, in scale semi-logaritmic delle seguenti funzioni di rete ál variare delta pulsazione w, usando i diagrammi di B asintotici. Per le funzioni c) e d) si diagrammi anche l'andamento delta faze at van di w.

a) F(s)= 2(s+20)

(s+2)(s+100)

b) F(s)=20 s(s+ 10)+ (.s 1)(s+20)

c) F(s) = 10 (s+2) S

S d) F(s) = 10

(.s+ 2)

13.2 Ii circuito delta figura E-13.1 rappresenta un doppio bipolo usato l'equalizzazione dei segnali provenienti da dischi fonografici incisi secondo le fbi RIAA (Record Industry Association of America). Si calcoli la funzione di trasmissi H(s) = V2/E. TJsando i diagrammi di Bode si diagrammi l'andamento del moc (in dB) e delta faze (in gradi) di H(j w) at variare delta frequenza f. Alla freque f = 1kHz it circuito introduce un'attenuazione delta tensione d'uscita rispetto a qu d'ingresso; quanti decibel deve guadagnare un amplificatore per compensare qu attenuazione? I valori dei componenti sono: R1 = 330 kl, R2 = 7,5 k, R3 = 30

= 82 k, C12 = 40nF, C2 = 2nF.

E V2

Figura E-13.1 Equahzzatore R[AA

Esercizi

Si consideri ii circuito della figura E-13.2, già proposto nell'esercizio 9d2.. di essere in regime sinusoidale, si determini

R2

Figura E-13.2

la frequenza fo del generatore per cui l'ampiezza del segnale d'uscita e massima; lo sfasamento q tra la tensione d'uscita e quella d'ingresso alla frequenza fo; il rapporto K tra le ampiezze dei segnali d'uscita e d'ingresso alla frequenza fo; II rapporto K3000 tra le ampiezze dei segnali d'uscita e d'ingresso nel caso la frequenza f del generatore sia uguale a 3000 Hz.

1ori dei componenti sono: R1 = 1 kl, R2 = 1,5 kQ, R4 = 12,2 k, R5 = 1,22 k, = R8 = 1,5k1, C3 = C6 = 47nF.

Capitolo 14

Doppi bipoli dinamici

:-..i Generalità

to capitolo si propone di:

calcolare, nel dominio della frequenza, semplici gruppi di parametri descrittivi per doppi bipoli dinamici lineari e invarianti nel tempo; determinare le condizioni di equivalenza per coppie di doppi bipoli di particolare utilità.

2 Richiami teorici

ichiami teorici fatti in precedenza per i doppi bipoli resistivi (capitolo 6, pagina 4) ono essere estesi al caso di doppi bipoli dinamici, cioe di doppi bipoli che conten-

no. oltre ad eventuali resistori, anche induttori e/o condensatori e/o trasformatori ramente induttivi. Nel caso di elementi lineari e tempo-invarianti, le rappresentazioni ate nel caso puramente resistivo possono essere estese usando per tensioni e correnti trasformate di Laplace delle corrispondenti grandezze nel dominio del tempo. In tal

si suole dire che si lavora nel dominio della frequenza. II vincolo fondamentale (uguaglianza delle correnti entranti e uscenti dalla stessa

ppia di morsetti) ora si scrive:

11 (8) = It (s) 12(S) = 12' (S)

zionamento del doppio bipolo è descritto, oltre che dalle due correnti 11 (s) e 12(s)j dalle due tensioni di porta V, (s) e V2(s). I versi di riferimento sono quelli mdicati

figura 14.1.

Dde quattro grandezze V1, V2, I e 12, solo due risultano essere indipendenti: note.. o comunque fissate due di queste, le altre due risultano determinate, ovvero, detto con maggior precisione, risultano funzioni delle due grandezze scelte come varia-bii indipendenti. Nel caso di doppi bipoli lineari, le suddette relazioni funzkMiah risultano essere lineari.

107

108 14 - Doppi bipoli dinamici

+ + Vi (s) V2(s)

0- -0

Figura 14.1 Doppio bipolo e versi di riferimento per tensioni e correnti

>t possibile scegliere sei distinte coppie di variabili indipendenti e di consegue: un doppio bipolo è, salvo casi particolari, rappresentabile da sei distinte coppie equazioni che ne descrivono ii funzionamento.

1. Impedenze a vuoto

V1 = z1iI1+z1212 V2 = Z21 II + Z2212

2. Ammettenze di corto-circuito

Il = 12 = y21Vi+y22V2

3. Matrice ibrida 1

V1 = h1111+h12V2 12 = h2111+h22V2

4. Matrice ibrida 2

Il = hç1V1+h 2I2 V2 = I41V1+h2I2


V1 = tiiV2+t12(-12) Il = t21V2+t22(-12)

Spesso, in alternativa ai simboli t11 , t12... si usano i simboli A, B, C, D:

Vi = AV + B(-12) Ii = CV2+D(-12)

L'equivalenza tra i simboli e evidente dal confronto delle relazioni scritte:

A ti, ,Bt12 , C=t21, D = t22

p14.2 - PLichiazni teorici

Matrice di trasmissione 2

V2 = tç1v1 +t 2i1

12 = t21V1+t2211

Equivalenza: due doppi bipoli sono elettricamente equivalenti se sono descritti dallo stesso gruppo di parametri

o. Simmetria: un doppio bipolo che presenta Jo stesso comportamento elettrico quaD-do si scambiano fra loro la porta 1 e la porta 2 è detto (elettricamente) simmetricti Un doppio bipolo che ammette un asse di simmetria verticale (simmetria struttu-rale) e anche (elettricamente) simmetrico. Per un doppio bipolo simmetrico risulta:

z11 = z22 e z21 = Z12

Yli = Y22 e Y21 = Y12

D Reciprocità: un doppio bipolo fatto di bipoli (e quindi non contenente dipendenti e/o amplificatori operazionali) ha

Z21 = Z12

Y21 = Y12

II doppio bipolo e detto reciproco.

110

14 - Doppi bipoli dinamici

Esercizi

141 Per ii doppio bipolo della figura E-14.1 si calcoli la matrice Y delle mettenze di corto circuito.

14.2 Per ii doppio bipolo della figura E-14.2 si calcoli la matrice Z delle denze a vuoto. 1

12 rll2z


14.3 Per ii doppio bipolo della figura E-14.3 si calcoli la matrice Z delle r denze a vuoto.

14.4 Per ii doppio bipolo della figura E-14.4 si calcoli la matrice Y delle mettenze di corto circuito.

II: Figura E-143

11 L RV2

Figura E-14.4

14.5 Si determini per quali valori delle induttanze La, Lb e L ii dopj della figura E-14.5(b) ê equivalente al circuito formato dagli induttori mu accoppiati della figura E-14.5(a).

M 12 1 La L

+ + Vi L 1 L2II:±: V, *1+

(a) (b)

Figura E-14.5

T(11 L 1/~9

T I- V--

Esercizi

14.6 Si consideri ii circuito indicato nella figura E-14.6. Si calcoli C in modo the ii bipolo visto dai rnorsetti 1-i' si comporti come un circuito aperto alla frequenza fo = 20 MHz. Supponendo di applicare ai morsetti 1 - 1' un generatore ideale di tensione sinusoictale di frequenza fo si determini ii rapporto tra la tensione ai capi del condensatore prima calcolato e la tensione del generatore. Suggerimento: si sostituiscano gli induttori accoppiati con ii circuito equivalente one-nuto nell'esercizio 14.5

14.7 Si consideri ii bipolo indicato nella figura E-14.7 e se ne calcoli ii bipolo equivalente.

10 M

Ic

L I

Figura E-14.6

ii I i °-"-•jMI++-I-_I._ .+

V jV V2

Figura E-14.7

Si considerino i due doppi bipoli mostrati nella figura E--14.8. Si calcolino i i di L 1 , L' e del rapporto n1/n2 in modo che i due doppi bipoli siano equivalenti.

T fll:fl2 z2

Lc1 -L + V I Ll V2

0

il 11/1 4 -0

____ 0-

+

jjL2

+

v1 L1 v2

Figura E-14.8

itoo 15

lisi d crcifti con dioch ddeali

di questo capitolo e introdurre lo studente all'analisi di semplici circuiti conte-liodi ideali.

15.1 Richiami teorici ed esempi

?rna di proporre esercizi sull'analisi di circuiti con diodi ideali, verranno fatti alcuni ±ami teorici e presentati alcuni esempi.

1.1 II diodo

Vdo è un bipolo resistivo non lineare, che trova largo impiego in molte applicazioni nde interesse, quali rivelatori di segnali radio, convertitori di potenza (raddriz

moltiplicatori di tensione), limitatori di tensione, circuiti logici, ecc. Ii diodo zialmente costruito (John Ambrose Fleming, 1904) ricorrendo a tubi a vuoto um tube diode); oggi la maggior parte è realizzata usando semiconduttori (p-n on diode). Nel seguito si considererà ii comportamento di un diodo a semicon-re, così come appare ai suoi morsetti esterni, senza interessarci dei fenomeni fisici

,j& base del suo funzionamento.

151.2 Caratteristica v-i di un diodo a semiconduttore

5.1a figura 15.16 riportato l'andamento qualitativo della caratteristica tensione-corrente un diodo a semiconduttore ed ii simbolo usato per queSto elemento circuitale, in-

e con le convenzioni di segno per tensione e corrente. Tale caratteristica giace eramente nel I e Ill quadrante del piano v-i e quindi ii diodo ê un componente

Inoltre la caratteristica non è simmetrica rispetto all'origine: di conseguenza ii àxlo non è un dispositivo bilaterale. CiO significa che scambiando la connessione dci

i morsetti ii comportamento del dispositivo cambia e quindi ii simbolo circuitale iikttato deve essere dissimmetnico, come mostrato nella figura 15.1, per poter indicare

rettamente come ii diodo deve essere connesso nel circuito.

113

114 15 - Analisi di circuiti con diodi ideali

Facendo riferimento alla convenzione di segno adottata per misurare la te—rz. indicata nella figura 15.1, ii morsetto corrispondente al segno + viene chiamato am mentre quello corrispondente al segno - viene chiamato catodo, come indicato figura 15.2 ove sono anche mostrati due diodi reali: in essi ii catodo e contrassegna una sottile striscia colorata. Tornando alla caratteristica della figura 15.1, si poi

Breakdown • Reverse Forward

Vt1 V

Figura 15.1 Caratteristica tensione-corrente di un diodo a semiconduttore. Le scale no-sono indicate e le curve riportate sono da intendersi qualitative.

Anode Cathode

Figura 15.2 Simbolo del diodo e due diodi reali. La sottile striscia sulla destra dispositivi realiHndica ii catodo.

distinguere tre regioni:

1. per 0 <V <vd la corrente i assume valori piccoli fino a che, per v > Vd inizi crescere assai velocemente, con un andamento esponenziale. Ii diodo si corn per v > Vd , come una resistenza di valore molto piccolo. In questa regione ii e detto polarizzato direttamente (forward biased). Per diodi al silicio, la te Vd uguale a circa 0,6 V.

2. per Vbr < v < 0 la corrente ha valori molto piccoli (dell'ordine di MA), sic diodo si puo considerare una resistenza di valore molto elevato. In questa re ii diodo è detto polarizzato inversamente (reverse biased)

3. per v <Vbr ii diodo entra in una regione, detta di breakdown, in cui la corz cresce assai rapidamente cosa che, unita al valore generalmente elevato di Vbr, ( al danneggiamento irreparabile del dispositivo. 11

Ii diodo e costruito per funzionare nelle prime due regioni e sara cura del pri evitare polarizzazioni inverse che portino ii dispositivo nella regione di breakd

§15.1 - Richiami teorici ed esempi

115

Equazione descrittiva di un diodo a semiconduttore

buona approssimazione della caratteristica della figura 15.1, basata sull'analisi del )ortamento fisico dei materiali a semiconduttore, e fornita dalla seguente equazione

i = ic (e _)

Vd

(15.1)

i la corrente attraverso ii diodo, Cm la tensione ai capi del diodo,

F ê la corrente di saturazione nella regione di polarizzazione inversa, che assume valori riabili tra e 10 15 A è il coefficiente di emissione, variabile da 1 a 2 a seconda del procedimento di fabbri-

one e del semiconduttore usato. Tipicamente si assume n = 1. i costante VT ha la seguente espressione

VT= kT— (15.2)

ii la carica elementare di un elettrone (in valore assoluto) e la costante di Boltzmann e la temperatura assoluta in gradi kelvin

vale circa 26 mV alla temperatura ambiente di 300 K.

.4 II diodo ideale

molti casi, ii comportamento di un diodo reale puô essere approssimato con un mo-lo molto semplice, chiamato diodo ideale, la cui caratteristica è indicata nella figu-15.3. II simbolo e le convenzioni di segno sono sempre quelli indicati nella figura 15.2 iportati nuovainente nella figura 15.3, insieme con le equazioni di funzionamento.

Figura 15.3 Diodo ideale: sirnboo, equazioni di funzionarnento e caratteristica tensione-corrente

I diodo ideale si comporta essenzialmente come un interruttore: per v <0 la corrente I ê nulla e ii diodo non conduce (si dice anche che ii diodo è bloccato), mentre quando


i > 0 la tensione v e nulla ed il diodo si comporta come un corto circuito (c diodo conduce ). Si osservi che per un diodo ideale il prodotto vi è sempre quindi il diodo non assorbe potenza dal circuito esterno.

15.1.5 Analisi di circuiti con diodi ideali

I problemi che capita di dover aifrontare sono in generale di tre tipi:

1. determinare la caratteristica tensione-corrente di un bipolo; 2. determinare l'andamento nel tempo di una grandezza d'uscita (tensione o corre

quando il circuito considerato O soggetto a uno o pii ingressi il cui andamento: tempo è noto;

3. determinare il punto di f'unzionamento in continua del circuito. In questo si suppongono zero tutti 1 generatori di segnali variabili nel tempo eventual m presenti e si considerano agenti solo i generatori di tensione o corrente cost infine Si calcolano tutte le tensioni e le correnti del circuito in tale condiziom L'insieme di tali tensioni e correnti è chiamato punto di funzionamento in contina o, con termine a.nglosassone, DC operating point.

La strada che pub essere seguita in presenza di diodi ideali si basa sul metodo de falsa posizione. Poiché un diodo ideale pub assumere solo due stati (bloccato o col duttore), si suppone the i diodi presenti nel circuito si trovino in un determinato stag e successivamente per ogni diodo si verifica se l'ipotesi fatta e vera, ovvero se sac soddisfatte le sue equazioni di funzionamento (indicate nella figura 15.3), ovvero:

v> se il diodo è stato supposto bloccato, allora la tensione ai suoi capi (misurai secondo le convenzioni di segno della figura 15.3) deve risultare negativa;

c> se il diodo ê stato supposto conduttore, allora la corrente attraverso di esso (misi rata secondo le convenzioni di segno della figura 15.3) deve risultare positiva;

Seguono ora alcuni esempi per illustrare ognuno dei tipi di problema prima elencati

Tracciamento di caratteristiche

Si consideri il bipolo indicato nella figura 15.4(a). Ii diodo è supposto ideale e E > 0. Sai

vuole tracciare la caratteristica tensione-corrente del bipolo. Per risolvere il problema, si pub supporre che il diodo sia bloccato (figura 15.4(b)) e vedere per quali valori de-11M tensione v questa ipotesi e vera, ossia per quali valori di v la tensione vd ai capi diodo risulta negativa.

Poiché i = 0, sulla resistenza R la caduta di tensione e nulla e quindi v = E + da cui si ha:

Vd = V E

Di conseguenza vd è negativa (e quindi e corretta l'ipotesi che il diodo sia bloccato) per v < E. In tal caso la corrente i è nulla per tutti i valori di v inferiori a E (priiie tratto della caratteristica della figura 15.4(c)).

Per v > E il diodo é conduttore e il circuito si riduce a R in serie ad E. La correnTe i ha la seguente espressione:

v — E

R Ad

i 5.1 - Pdchiarni teorici ed esempi

ba di una semiretta, che parte dal punto (E,O) e ha pendenza hR. La car - - complessiva è rappresentata nella figura 15.4(c).

E V (c)

ura 15.4 Bipolo resistivo con tin solo diodo ideale (a), bipolo in cut II diodo e suppostc ccato (b) e caratteristica v-i del bipolo (c)

vuole ora tracciare la caratteristica del bipolo con due diodi ideali, con 10 e E rambi positivi, della figura 15.5(a). In questo caso occorre esaminare i quattro

ai indicati nella tabella 15.1 e vedere quali sono compatibili con le equazioni di -ñonamento dei diodi.

Tabella 15.1 I quattro stati che devono essere esaminati. C sta per conduttore" e B per Dloccato".

D 1 D 2

CC B B C B B C

Ii primo caso (D1 e D2 entrambi conduttori) è sicuramente impossibile. Infatti II teratore ideale di tensione E risulterebbe chiuso in cortocircuito, ii che è assurdo. Ii secondo caso (D1 e D2 entrambi bloccati) corrisponde alla configurazione indicata La figura 15.5(b). Si deve verificare per quale valore della tensione v d'ingresso le soni Vdl e Vd2 risultano entrambe negative. Dal circuito si ha Vdl = —v e Vd2 = v—E. conseguenza:

vdl<O per v>O; vd2<O per V<E

due condizioni risultano entrambe verificate per

0<v<E

it A.......7!...! .7! r.L!

I Vd2 v 10 V (4)10 + I _____ di

- I I () (d)

(e)

Figura 15.5 Bipolo resistivo con In > 0, E > U e due diodi ideali (a), bipolo in cui diodi sono supposti bloccati (b), bipolo in cui D1 conduce e D2 e bloccato (c), bipolo H cui D1 e bloccato e D2 conduce (d) e caratteristica v-i del bipolo (e).

Inoltre, in tale configurazione, la corrente i risulta essere costante e uguale a Is- 06 corrisponde al ramo intermedio (orizzontale) della caratteristica indicata nel figura 15.5(e).

11 terzo caso (D1 conduttore e D2 bloccato) corrisponde alla configurazione della figura 15.5(c). Da tale figura risulta Vd2 = — E < 0 e d1 = Io - i. Di conseguenza, pci-. ché la condizione Vd2 <0 e sempre verificata, la configurazione considerata è possibi. se d1 > 0, ovvero i <1g. Inoltre, in tale configurazione risulta v = 0. CiO corrisponde al ramo verticale di sinistra della caratteristica della figura 15.5(e).

Ii quarto caso (D1 bloccato e D2 conduttore) corrisponde alla configurazione della figura 15.5(d). Da tale figura risulta vdl = — E <0 e d2 = i - I. Di conseguenza, pci-ché la condizione Vdl <0 e sempre verificata, la configurazione considerata e possibile se d2 > 0, ovvero i> 10 Inoltre, in tale configurazione risulta v = E. CiO corrispon al ramo verticale di destra della caratteristica della figura 15.5(e).

§15.1 Richiami teorici ed esempi

119

rminazione della forma d'onda in uscita per effetto di un ingresso noto

nideri ii circuito indicato nella figura 15.6(a). In questo caso è presente un gene-di tensione v8(t). Considerando ideale ii diodo, si vuole determinare v(t), nel-

ei che v8(t) abbia un andamento sinusoidale, come indicato nella figura 15.6(d) a blu). Procedendo come nel paragrafo precedente, è immediato verificare che il

conduce per v8(t) > 0 (figura 15.6(b)), mentre e bloccato per v3(t) < 0 (figu-16(c)). L'andamento di v(t) e mostrato nella figura 15.6(d), con linea rossa. Si the ora in v(t) ê presente una componente continua. Filtrando opportunamente

si ottiene una tensione continua a partire da un segnale sinusoidale. Ii dispositivo primo semplice esempio di raddrizzatore.

4nR VU V. TRI VU

(a)

= 5 v = o ,59 11~

(c)

15.6 Circuito con un generatore di segnale e un diodo ideale (a), circufto in cui .odo è conduttore: v, > 0 (b), circuito in cui ii diodo è bloccato: v,. < 0 (c) e forms

onda del segnali d'ingresso e duscfta (d).

di un punto di funzionamento

a figura 15.7(a) e riportato un circuito, di cui si vuole calcolare ii punto di funzio-to. I valori dei componenti sono: E = 15 V, VBI = VB2 = 10 V, R = 1.

ino presenti generatori di segnale variabili nel tempo e quindi ii circuito ê pronto lanalisi. In questo caso solo uno tra i quattro casi possibili è compatibile con le

oni di funzionamento dei diodi. Iniziamo con ii supporre i diodi entrambi bloccati ra 1.5.7(b)). Perché questa ipotesi sia vera, le tensioni VD1 e VD2 devono essere

120

15 - Analisi di circuiti con diocli ideali

7R D2

VB1 VB2

(a)

I V R

VD1 2 VD2

TE -I-I VBi— VB2

Dl D2 VD2

TE I Bi-- VB2..

(c)

Figura 15.7 Circuto resistivo con due diodi ideali: calcolo del punto di funzionamento in continua. I valori dei componenti sono: E = 15V, VB1 = VB2 = 1OV, R = lS (a), bipolo in cul I diodi sono supposti bloccati (b), bipolo in cui D1 conduce e D2 e bloccato (c)

entrambe negative. Dal circuito della figura 15.7(b) Si ha':

VD = E—VB1 = 15-10 = 5V >0;

VD2 = —VB2 - E = —10 - 15 = —25V <0

Quindi D1 non puO essere bloccato. Cambio allora lo stato di D1 e considero ii nm circuito (figura 15.7(c)), in cui D1 è considerato conduttore e D2 ancora bloccato. questo caso deve essere iD1 > 0 e VD2 <0. Osservando ii circuito della figura 15. siha: 4

E—VB1 15-10 D1= R = 1 =5A>0;

VD2 —VB2 — VB1 =-10-10=-20V<0

Di conseguenza l'ipotesi fatta risulta compatibile con le equazioni di funzionamento I diodi e ii circuito funziona effettivamente nella condizione indicata nella figura 15.71

I calcoli effettuati permettono anche di determinare ii punto di funzionamento corrente attraverso R coincide con la corrente iD, attraverso ii diodo D1 e vale 5 A corrente attraverso D2 e nulla e la tensione del nodo di uscita ê uguale a VB1 = 101

Esercizi

Nel circuito della figura E-15.1 ii generatore fornisce una tensione e(t) = U (V, s) ed ii diodo e considerato ideale. Le resistenze valgono: Rg = 6l Ifl; ii rapporto di trasformazione del trasformatore ideale vale n1 : ri2 = 3. Si v(t) e se ne diagrammi l'andamento per t > 0.

e(t) $Mi — Figura E-15.1

Nel circuito della figura E-15.2 ii generatore fornisce una tensione con 'onda triangolare, come indicato nella stessa figura. Ii diodo e considerato Le due resistenze sono uguali e valgono R1 = R2 = 200 Q. Si diagrammi nto di v(t) per t > 0.

vS, V 10

—10

Figura E-152

Tracciare la caratteristica tensione-corrente del bipolo indicato nella figu-Ii diodo è considerato ideale e 10 > 0.

'Z.

'4 Figura E-15.3

Nel circuito della figura E-15.4 ii generatore v fornisce una tensione con donda sinusoidale, come indicato nella stessa figura. Ii diodo e considerato La resistenza R3 vale 100 Q e la pila fornisce una tensione di 6 V. Si diagrammi nento di v(t) per t > 0.

122 15 Analisi di circuiti con diodi ideali

R3 = iooci V3, V

Vs VU(t) C 2O TTT:T IM

Figura E-15.4

15.5 Tracciare la caratteristica tensione-corrente del bipolo indicato nella ra E-15.5. Ii diodo e considerato ideale e i valori dei componenti .sono: R = 1 E=1OV.

15.6 Tracciare la caratteristica tensione-corrente del bipolo indicato nella ra E-15.6. Ii diodo e considerato ideale ed E > 0.

VR El

V TI7E Figura E-15.5

Figura E-15.6

15.7 Si consideri ii circuito indicato nella figura E-15.7, ove i diodi sono derati ideali. La tensione v, varia nel tempo tra 0 e 150 V, con legge lineare. I dei componenti sono: R1 = 100 k1, V1 = 100 V, R2 = 200 kl, V2 = 25 V. Si traccino, quotando i punti significativi:

1. le curve di v(t) e v(t) in funzione del tempo, usando le stesse scale; 2. l'andamento delle correnti i1(t) e i2 (t) nei diodi, usando la stessa scala del

utilizzata per ii grafico precedente.

D I (i) R

—i-- V2-y

Vu Ji \ R11


15.8 Si consideri ii circuito indicato nella figura E-15.8, ove i diodi sono i siderati ideali. Si calcolino la tensione V e le correnti in ogni diodo. I valori componenti sono: VR = 25V, R1 = 5kf, R2 = 10 kg, V1 = by, V2 = 20V. Suggerimento: si determini il punto di funzionamento del circuito per via grafica, a intersezione della caratteristica del generatore (tensione a vuoto VR e resistenza int K2) con quella del bipolo non lineare collegato al generatore stesso.

+ I D1

V R,

D2

'

G0


Esercizi

Si determini la caratteristica tensione-corrente del bipolo indicato nella E-15.9 (1 diodi sono considerati ideali). Tenendo presente i risultati ottenuti, si iga un circuito che presenti ai suoi terminali la caratteristica della figura E-15.10.

10 Si consideri ii circuito indicato nella figura E-15.11, ove i diodi sono con- rati ideali. Si applichino ai morsetti A e B tensioni di OV e —5V in tutte le Jinazioni possibili e si calcoli ii valore della tensione al morsetto Y. Associando a lo stato 0 e a —5 V lo stato 1, si verifichi la validità della tabella E-15.11.

1000

Figura E-15.11

Tabella E-15.11

A B Y=AB 00 0 0 1 0 10 0 1 1 1

Parte II

Soluzion i

Tapjtoo 16

Uso delle Ieggll 6H Krchhoff

Eercizio 1.1 I ±cuito del problema è riportato nella figura 16.1 con i nodi numerati. Proceden-

n modo accorto, in generale si riescono ad ottenere le incognite cercate risolvendo ia'equazione alla volta. T. ad esempio, dalla KCL al nodo 3 si ottiene immediatamente i1: i1 +6 - 7 = 0,

cui ii 1A. I KCL al nodo 2 permette di calcolare i4: i4 - 8 - 6 = 0, da cui i4 = 14 A. In-

sfruttando ii valore di i1 appena calcolato, dalla KCL al nodo 1 si ottiene i2: 8_i'= 0, da cui i2 = —7A.

Anche per quanto riguarda le tensioni si puo procedere in modo analogo. Scrivendo KVL ai seguenti cammini chiusi (che in questo caso risultano essere maglie), ogni

L.-

azione permette di ricavare una delle tensioni incognite: 3-0: —7+v3+8=0,dacuiv3=-1V 2-0: V2 - 9 + 7 = 0, da cui V2 = 2 V 2-1: —Vi - V3 + 9 = 0, da cui V1 = 10V

+

1 8A 2 GA

±9\T L J SV

Figura 16.1

127

128 16 - Uso delle leggi di Kirchhoff

Esercizio 1.2

(a) Si faccia riferimento alla figura E-1.2(a). La corrente i2 pub essere calcolata sc do una KCL al nodo ove incidono le tre correnti da 8, -2 e 5 A. Si ha: 5+2-8+i2 da cui si ricava i2 = 1 A. Rimane un nodo in cui ora l'unica incognita è i1. La KC questo nodo è: i1 - 10—i2 —6-8 = 0, da cui risulta i1 = 25A.

(b) Si faccia riferimento alla figura E-1.2(b). Si inizi a scrivere la KCL al nodo solo una corrente è incognita: 4+2-3— i1 = 0, da cui si ricava i1 = 9 A. Nel secc nodo l'unica incognita ê ora i2. La KCL a questo nodo è: —5+6+ i1 + i2 = 0, da risulta i2 = —10 A.

(c) Si faccia riferimento alla figura E-1.2(c). Scrivendo una KCL alla superficie abbraccia tutto il circuito si ottiene: —i1 - 3 + 5 - 5 = 0, da cui si ricava i1 = —3

Si scriva ora una KCL alla superfice chiusa che abbraccia i due nodi ove mci i1 e i2: —i1 —i— 5+i2 = 0, da cui risulta i2 = 3A.

Esercizio 1.3 Si consideri il circuito riportato nella figura 16.2 Scrivendo le KVL ai seguenti c chiusi (maglie), ogni equazione permette di ricavare una delle tensioni incognite: 2-3-4-2: —V3 + 14— 10 = 0, da cui V3 = 4V 6-1-2-3-6: 8 + 11 - v3 + v2 = 0, da cui v2 = —15V 3-4-5-6-3: 14 - 15 - vi - V2 = 0, da cui v1 = 14V

Figura 16.2

Esercizio 1.4 Si consideri il circuito riportato nella figura 16.3, ove sono numerati i nodi e in le correnti. Scrivo le KCL ai vari nodi, supponendo per ora diverse i1 e i2: nodo 1: —i1 + i3 + i4 = 0; nodo 2: —i3+i5+i6=0; nodo 3: —i4—i5+i7=0; nodo 4: i2 - i6 - i7 = 0; Sommando le quattro equazioni si ottiene —i1 + i2 = 0 e quindi i1 = i2 come v verificare. Posto ora i1 = i2 = i nelle equazioni precedenti, ê immediato verifica esse sono linearmente dipendenti (sommando le 4 equazioni si ottiene 0 = 0), asserito dalla teoria.

16 - Uso delle leggi di Kirchhoff 129

Fgura 16.3

tizio 1.5 ccia riferimento alla figura E-1.5. Scrivendo la KCL al nodo ove incidono i1, i2 e

si ottiene -i1 +i2 + j3 = 0, da CU1 si ricava i3 = i1 - i2 = 1,3A.

cizio 1.6 6ccia riferimento alla figura E-1.6. Scrivendo la KCL alla superfice chiusa che Lraccia tutto ii circuito e taglia i rani ove scorrono i, e jb, si ottiene immediatamente = ii' -endo le KCL ai nodi del circuito ove incidono le correnti incognite, si ottengono

guenti equazioni: i5 - = 0, ma ib a e quindi i6 i4 + i5 -

13 + j5 = 0, da cui ii = i3 - i5, -i4 = 0, da cui i2 = -i3 +i4.

cizio 1.7 tfrcia riferimento alla figura E-1.7: fl.al nodo da cui esce ih: ih - 2 - 3 = 0, da cui ih = 5A; D. al nodo in cui entra i: -it, -1+2 = 0, da cui i = lÀ;

L al nodo da cui esce i: i - ih +4 0, da cui i = 1 A; rial nodo da cui esce i: iy -j +i = 0, da cui it,, =OA;

a1 nodo in cui entrai: -i+1-4=0,da cui i=-3A.

iol.8 a riferimento alla figura E-1.8. Scrivendo la KVL alla maglia di sinistra si

V2 + 1 - 10 = 0, da cui V2 = 9 V. Scrivendo la KVL alla maglia di destra si r2 -v4+7=0,da cui v4=v2+7=16V.

"01.9 riferimento alla figura E-1.9. Scrivendo la KVL alla maglia di destra si ottiene:

2-2 = 0, da cui v = 0 V. Ora Si pUÔ calcolare V, scrivendo la KVL alla maglia ro-alto: v5 + v, - 1-3 = 0, da cui 1x = -vs, + 1 + 3 = 4V. Infine nella maglia o-basso Si puO scrivere: VBA - - 4 = 0, da CW VI3A = V +4 = 8V.

Capftoo 17

Anas d(h drct Esstiv eemntir

Esercizio 2.1 ::ivendo la legge di Ohm al circuito della figura E-2.1 si ottiene:

5I+ III +9I=50,da cui I=50/(5+11+9)=2A.

Conoscendo la corrente uscente dal generatore Si pUO calcolare la potenza da esso -rogata:

- 50 x 2 = 100W potenze assorbite dai singoli resistori sono:

?=RiI2 =5X4=20W ?;?2 =R212 = 11 x4=44W PR3 =R312 =9X4=36W

La potenza fornita dal generatore e uguale alla somma delle potenze dissipate dai ngoli resistori: Pg = PR1 + PR2 + PR3

Esercizio 2.2 Con riferimento al circuito della figura E-2.2, detta v la tensione al capi di R1 e R2,

rivendo una KCL al nodo in cui incide i Si ottiene: j= i1 + i2 = vGi + vG2 = v(Gi + C2), da cui v = i/(G1 + C2). Si ottiene quindi:

C' z =vC, =1

Ci +C2

= vC2 = 'is, + C2

Rcordando che C1 = 1R1 e che C2 = 1/R2, si ottengono le formule in termini di -isistenze:

R2 + R2

131

132 17 - Analisi di circuiti resistivi elementari - I

e R1 +R2

Le formule ottenute sono note come "formule del partitore di corrente".

Esercizio 2.3 Con riferimento al circuito della figura E-2.3, detta i la corrente che attraversa R2, scrivendo una KVL alla maglia, si ottiene: V = V1 + V2 = iRi + iR2 i(Ri + R2), da cui i = v/(Ri + R2). Si ottiene quindi:

• R1 = zR1 = VR + R2

e • R2

= zR2 = V R1 + ft2

Ricordando che Ri = 1/C1 e che R2 = 1/C2, si ottengono le formule in termir conduttanze:

G2 V1 = V

C1

e V2

= i 1 +G2-

Le formule ottenute sono note come "formule del partitore di tensione".

Esercizo 2.4

(a) Con riferimento alla figura E-2.4(a), una KVL alla maglia formata dal permette di scrivere

15 —V1—V2 -5+V3—V4+10+V5=0

Usando la legge di Ohm, le tensioni possono essere espresse come prodotto della I per la corrispondente resistenza:

15-1O1-10I-5-21-61+10-121

Dall'equazione precedente si ricava I = 20/40 = 0,5A. Conoscendo I si calcolare le tensioni:

V1 =V2=lOxO,5=5V, V=-2x0,5=-1V

V4=6x0,5=3V, V5 =-12x0,5=-6V

Ixifine, usando la legge di Kirchhoff delle tensioni, si ottiene VAB:

VAB = V2+5—V3+V4 —10 = 5+5+1+3-10 = 4V

17 - Analisi di circuiti resistivi elementari - I 133

b) Si consideri ii circuito della figura E-2.4(b). Usando la legge di Ohm si ottiene immediatamente I = 100/10 = 10A. La legge di Kirchhoff delle tensioni permette poi di scrivere: 100 = 2012 + 40 + 1012, da cui 12 = 60/30 = 2 A. Infine si ha V, =40+2012=80V. (c) Si consideri ii circuito della figura E-2.4(c). Dovendo essere VAB = bOy, la corrente 12 deve valere 12 = (100 - 40)/(20 + 10) = 2 A. La corrente attraverso R deve valere IR = VAB/R = 100/100 = 10A. La corrente uscente da Vb vale (Vb - VAB)/10 Le di conseguenza deve essere

Vb - VAB —IR+'2 = (10+ 2), A 10

cui V&/10 = 22 A e quindi Vb=22OV

se R viene staccata dal circuito, si ottiene immediatamente:

V() - 40 12 =180/40=4,5A

10+20+10

Esercizio 2.5 Con riferimento al circuito della figura E-2.5, la potenza fornita dal generatore è V9i I e sale 100W. Quindi I = 1 A. hnoltre la potenza fornita dal generatore deve uguagliare Ia somma algebrica delle potenze assorbite dagli altri elementi circuitali:

100 = P + 2012 + 601

ta cui P = 100-20-60 = 20W. Infine, essendo I = 1 A e P = 20W, La tensione V deve valere 20 V.

ercizio 2.6 n riferimento al circuito della figura E-2.6, la potenza fornita dal generatore vale LI = 1W e quindi V = 10 V. Inoltre la potenza fornita dal generatore deve ugua-are la somma algebrica delle potenze assorbite dagli altri elementi circuitali. Detta la potenza assorbita dall'elemento circuitale incognito, si ha:

1 =P-}-V2/R+0,06V

icui P = 1-0,2 - 0,6 = 0,2W. Infine, essendo V = 10 e P = 0,2W, la corrente I ve valere 0,02 A. I calcoli possono ora essere ripetuti nel caso che la potenza fornita ii generatore 191 sia di 3W. Si ottiene: V = 30V e P = 3 - 302/500 - 30 x 0,06 = - 9/5 - 1,8 = —0,6W. Quindi ii componente circuitale incognito si comporta ora i generatore, erogando una potenza di 0,6W. Infine VI = —0,6W da cui segue

—0,6/30 = —0,02 A.

dpftoo 18

Analisi di circuiti resstv elementari - ii

ercizio 3.1 riferimento al circuito della figura E-3.1 si ottiene:

R Req n

endo tutti gli n resistori in parallelo ed avendo indicato con R ii valore comune di istenza (R = R1 = R2 = R_1 = Rn).

Con riferimento al circuito della figura E-3.2 si osserva che si hanno connessioni liste di tipo serie e/o parallelo. In questi casi conviene partire dal resistore piCi lontano -T - i morsetti d'ingresso e risalire verso l'ingresso sostituendo gruppi di componenti con ia loro resistenza equivalente. CosI, ad esempio, si riconosce immediatamente che la iesistenza da 81 e in serie alla resistenza da 16Q ed ii tutto è in parallelo alla resistenza Oa 481Z. La resistenza equivalente di questo gruppo di componenti è:

(8 + 16)48 Reqi (8+16)+48 = 1611

questo punto, ii gruppo delle tre resistenze da 811, 1611 e 4811 puO essere sostituito ll'unica resistenza Reqi. A sua volta Reqi ê in serie alle due resistenze da 611 e da 1811 e ii tutto è in parallelo

a resistenza da 1011. La resistenza equivalente di questo gruppo di componenti è:

- (6+Reqi+18)10 = 811 Re

q2 - (6+Reqi+18)+10

Procedendo allo stesso modo, si osserva che Req2 e in serie alle due resistenze da 32 e da 2811 e II tutto è in parallelo alla resistenza da 6811. La resistenza equivalente d

135


si calcola e ora quella dell'intero circuito:

Req - (32 + Req2 + 28)68 = 3411

(32 + Req2 + 28) + 68

Con riferimento al circuito della figura E-3.3 si osserva che la resistenza equiva] è data dalla serie delle due resistenze da 2011 e 4511 in parallelo alla serie delle resistenze da 3011 e 511. Si ottiene:

(20 + 45)(30 + 5) Req (20 + 45) + (30+5) =

22,7511

Se i terminali a e b sono collegati da un corto circuito, le due resistenze da 2011 e sono ora in parallelo e ii tutto e in, serie al parallelo delle due resistenze da da 4 511. La resistenza equivalente è:

20x30 45x5 Req

= 20+30 + 45+5 = 16,511

Esercizio 3.2 Con riferimento al circuito della figura E-3.4, applicando la formula del parti tensione si ottiene:

R2R3

R2+R3 E=31,5V -2 fl'3

R1 + R2+R3

mentre l'applicazione della legge di Ohm alla resistenza equivalente vista dal E consente di calcolare la corrente I

E 11= =1,5A

R1+ R2R3

R2+R3

La corrente I si ripartisce tra R2 ed R3 in base alla regola del partitore di per cui:

R3 R2 12 = = 1,OA; 13 = I = 0,45A

R2+R3 R2+R3

Esercizio 3.3 Le due resistenze da 2011 sono in parallelo ad un generatore ideale di tensione e qui non influenzano ii valore di I. Di conseguenza non intervengono nei calcoli e ci si rid al circuito indicato nella figura 18.1.

Pertanto, utilizzando la formula del partitore di tensione, la tensione e1 del nod

18 - Analisi di circuiti resistivi elementari - II -

Figura 18.1

1

:1 e1 = 200_1/60 + 1/40+ 1/40 = 150V

+ 1/60 + 1/40 + 1/40

-ui, usando la legge di Ohm, si ricava:

I==3,75A 40

Eercizio 3.4 :)iicando ii partitore di corrente at circuito delta figura E -3.6 si ottiene la corrente

= :el resistore da 321:

11 =20 60 1040

10+40

::ta corrente P si ripartisce tra le resistenze da 101 e 40, per cui si ha:

40 = 10+40

= 96A

Esercizio 3.5 -i plicando (due volte) ii partitore di tenSione al circuito delta figura E-3.9 si ottiene:

40 =20V

60+40

do V' la tensione sul resistore di 10M data da:

100(60 -- 40)

v1 = 100 1UU-I-(bU+4U)

=50V 100(60+40)

50+ 100 + (60 + 40)


Esercizio 3.6 Facendo riferimento alla figura E-3.8(a), si ottiene:

v = R3 i + V8

Per ii circuito della figura E-3.8(b), si ottiene:

v = (i + ip)Rp =Ri+Ri

Per l'equivalenza deve essere:

R8 = R; V .5 = Ri ovvero i = v8 /R

Esercizio 3.7 Ricavando ii legame tensione-corrente per ii circuito della figura E-3.9 si ottiene:

i = v/Ri + (v - Vb)/Rb = v(1/Ri + 1/Rb) - Vb/Rb

Sostituendo i valori dei componenti si ha:

i=v-2,5 (A, V) 24

La caratteristica del bipolo e mostrata nella figura 18.2. La caratteristica del gener

i. A

"V

Figura 18.2 Caratteristica del bipolo della figura E-3.9

reale di tensione fatto da Req in serie a Veq è:

i=(vVeq)/Req = 1 Req Req

Dal confronto fra le due equazioni si ricava:

Req = 24f

= 6 0 V

18 - Analisi di circuiti resistivi elementari - II

sservazione

er tracciare la caratteristica i-V Si PUO seguire una via piü rapida. Infatti, trattandosi dl un circuito resistivo lineare, la caratteristica è sicuramente una retta. Per poterla tracciare sono sufficienti due soli punti, che possono essere scelti a piacere. I piü comodi sono senza dubbio la tensione a vuoto (vO) e la corrente di corto circuito (i). La tensione a vuoto (cioè con i = 0) puo essere ottenuta usando la formula del partitore th tensione:

VO = Vb = 100 = 60V

R ± Rö

La corrente di corto circuito (cioè con v = 0) si ottiene usando semplicemente la legge Ohm:

Vb == —2,5 A

Infine, per quanto riguarda l'equivalenza richiesta, basta osservare che i due circuiti rono avere stessa tensione a vuoto e stessa corrente di corto circuito. Per il generatore le di tensione fatto da R6q in serie a Veq Si ottiene immediatamente che la corrente corto circuito vale _Veq/Req, mentre la tensione a vuoto vale Veq. Ne seguono cnediatamente le condizioni trovate in precedenza.

rc,zio 3.8 sto esercizio sara svolto phi avanti con il metodo dei nodi (si veda l'esercizio 4.5). si vuole usare una via diversa, senza ricorrere al metodo dei nodi. Sfruttando

uivalenza ricavata nell'esercizio 3.6 precedente, si trasformano tutti i generatori di ione in generatori di corrente di valore v1G1, v2G2,..., v_1G_1, VnGni con in

allelo resistori di conduttanza C1, C2,..., G.1, C. Si ottiene cosl il circuito ivalente indicato nella figura 18.3. La tensione e1 del nodo 1 rispetto al nodo 0

v1G1 + v2G2 + .. + v,_iG_1 + vG C1+ C2 + + G_1+ G

:esta formula ,6 nota come teorema di Millman.

viCiJ V2G2 vnG J U1) (f (f) c1 CT,

Figura 18.3

rcizio 3.9 esto esercizio sara svolto piü avanti con il metodo dei nodi (si veda l'esercizio 4.8). i si vuole usare una via diversa, senza ricorrere al metodo dei nodi. Si faccia

mento alla figura 18.4. Dalla definizione di potenza si ha:


sl

Vi

Figura 184

Pi = v.i1 = 'Vi VI /R1 P2 = R(gmv)2

ma

di conseguenza:

= x Pi

vi =

+ gmvl ) R2 + v t

R1 V1

v 1 [(— +gmvi)R2 +1)1]

D D2 2 .LLc.L19m

- Ri+R2(1+gmRi)

Per quanto riguarda Ri si ha:

Vi = R1i1 + R2 (ii + gmVi) = Ru1 + R2(ii + gRii1) = [R1 + R2(1 + gmRi)

da cui Rz =v2/i1 =R1 +R2(1+gm Ri)

:ptoo 19

'1etod gener2H di andlls - ccuft esistvi

.serczio 4.1 vuole usare ii metodo dei nodi per analizzare ii circuito della figura E-4.1, problema risolto sfruttando le formule dei partitori di tensione e/o corrente. Senza trasformare

circuito, è sufficiente una KCL al nodo ove sono collegate R1, R2 e R3: - E)Gi + VG2 + VG3 = 0, da cui V(G1 + C2 + C3) = EC1 e quindi

EG1 - G1+G2+G3

4ituendo i valori numerici si ottiene V = 31,5 V. lie, usando la KYL e la legge di Ohm si ha: = E — V = 60-31,5 = 28,5V, Ii = V1 /R1 = 1,5A, 12 = V/R2 = 105A.

= V/R3 0,45 A.

razio 4.2 iiole usare ii metodo dei nodi per analizzare ii circuito della figura E-4.2, problema risolto sfruttando le formule dei partitori di tensione e/o corrente. servi che le due resistenze da 40P e quella da 60n sono connesse tra gli stessi nodi. suma come nodo di riferimento quello cui sono connesse le suddette tre resistenze

generatore da 200 V, si indichi con A l'altro nodo cui sono connesse le tre resistenze Ml eA la sua tensione rispetto al nodo di riferimento. Senza trasformare ii circuito, ifficiente scrivere una KCL al nodo A per ottenere:

1 1 1 (eA -200) + eA( + + = 0

5

60 40 40

200/5 eA= =150V

1/5+1/60+1/40+1/40

la legge di Ohm si ha la soluzione cercata: I = 150/40 = 3,75 A.

141

142 19 - Metodi gerierali di analisi - circuiti resistivi

Esercizio 4.3 Si vuole usare ii metodo dei nodi per aiializzare ii circuito della figura E-4.3, proble gia risolto sfruttando le formule dei partitori di tensione e/o corrente. Si numerino i nodi come indicato nella figura 19.1. Trattandosi di un circuito di so

1

32

I 1O2~

Figura 19.1

bipoli si PUÔ scrivere a vista ii sistema di equazioni necessarie per l'analisi nodale:

[32+

1 1 -

-

IC2eu [20]

i i +

1 1 j T2 T2 TO TO- L -

Ricorrendo al metodo di Kramer si puô calcolare la sola soluzione che ci serve, cioè

1 1 I 20

- 0 0,625 e2

= 96V

1 1 1 0,00651042 =

- I 1 1 1 1!

I -

Usando la legge di Ohm si ha la soluzione cercata: 11 = e2 /10 = 9,6 A.

Esercizio 4.4 Nella figura 19.2 sono indicati i nodi cui scrivere le KCL. Ii nodo 0 e ii nodo d riferimento. Dette e1 e e2 le tensioni dei nodi 1 e 2 rispetto al nodo di riferimento, si ottengono seguenti equazioni:

f (e1 - 100)/50 + (el - e2)/60 = 0

(e - ei)/60 + e2/40 = 0

19 - Metodi generali di analisi - circuiti resistivi

i 2

boy IOW 2 V. 40Q

Fgura 19.2

equazioni precedenti Si ScrivOflo nella forma seguente:

1 1 1 1 - e-,] [2]

1 1 1 e2 0 60 60+40

Risolvendo Si ottiene:

V( C2 =

1 1 12 50 + 100 + 60

1 60

1 1 1 1 50+100+60 60

1 1 1 60 60+40

- 2 x 0,01667 - 20V 0,001667

Esercizio 4.5 Q- esto problema e già stato risolto per altra via (si veda ii Capitolo 3, esercizio 3.8). tr" lo si vuole risolvere ricorrendo al metodo dei nodi. Nella figura 19.3 e indicato ii

:o 1 cui scrivere l'equilibrio delle correnti. Ii nodo 0 e ii nodo di riferimento.

1

V

Figura 19.3

= =etodo dei nodi si hasa sui due seguenti passi:

= Si scrive la KCL al nodo 1:

ii+i2+...+in=0


ove i versi positivi sono quelli uscenti. 2) Si esprimono le correnti in funzione della tensione del nodo 1 rispetto al nodo di

riferimento:

(e1 - vi)Gi + (el - v2)G2 + • - + (e1 - Vn)Gn = 0

L'equazione precedente permette ii calcolo di e1. Risolvendo si ottiene:

ei(Gj + G2 + + G) = v1G 1 + v2G2 + + vG (19.

Ii risultato finale, noto come teorema di Millman, è:

v1G1 + v2G2 + + vC el =

G1+G2+...+cn (19.

ovvero, in termini di resistenza:

Cl =

V1 V2 Vn —+—+...+-- R1 R2 Rn 1 1 1 R1 R2 Rn

Per quanto riguarda l'utilità di questo teorema, si puo osservare che esso permeue di scrivere immediatamente le equazioni finali che forniscono V ed CA rispettivamenie negli esercizi 4.1 e 4.2.

Esercizio 4.6 La figura 19.4 mostra ii circuito della figura E-4.6, trasformato sostituendo i generat reali di tensione con generatori reali di corrente equivalenti. Effettuata la trasforma-zione si hanno ancora due resistenze da 201 in parailelo che nella figura 19.4 sono state sostituite dalla loro resistenza equivalente (10). Facendo riferimento alla nume-razione dei nodi indicata nella figura si possono scrivere direttamente le equazioni che permettono ii calcolo delle tensioni dei singoli nodi:

ri 1 1 1

10++i — i [: i=ri — T

10

1 J [ej 1 1 — T

Ii determinante della matrice dei coefficienti vale A = 0,024. Le tensioni dei nodi valgono: e1 = 12,08V, e2 = 4,58V, e3 = 1,67V. Note le tensioni C1, e2 ed e3 , le correnti Si POSSOflO calcolare agevolmente, usando la legge di Ohm. I loro valori, iL ampere, sono riportati nella figura 19.5

Esercizio 4.7 La figura 19.6 mostra ii circuito della figura E-4.7, trasformato sostituendo il

0,521

A t t792 O7SO

ioci

Figura 19.6

0,458 0,333

1OQ <5Q

0

Figura 19.5

19 - Metodi generali di analisi - circuiti resistivi 14.3

5Q

0

Figura 19.4

tore reale di tensione con ii generatore reale di corrente equivalente. Nella stessa ura è indicata la numerazione dci nodi. Le equazioni nodali possono essere scritte

èrettamente:

G2+C4+C5 —C2 —C4 0

—C2 —C3 e2 = V8 /Ri

C4 C3 + C4 + C6 e3 0

Esprimendo le resistenze in k, si ottiene:

20Q 20V

I


1 1 1 1 1+25+65 2.5

1 1 e1 0 —1 +i+ -- e2 = 26

0,oF 2 2

e3 0 1 1 1 1 1 2,5 2 22,5+0,25

Risolvendo ii sistema si ottiene:

ej'=6,5V, e3='1,5V

Sfruttando la legge di Ohm si puO calcolare I:

6,5 - 1,5

1= =2mA 2,5

Esercizio 4.8 Questo problema è già stato risolto per altra via (si veda ii Capitolo 3, esercizio Qui lo si vuole risolvere usando ii metodo dei nodi. La figura 19.7 mostra ii cii della figura E-4.8, con indicato l'unico nodo a cui occorre scrivere l'equilibrio correnti. II nodo di riferimento e ii nodo 0. Ii metodo dei nodi permette di cal( agevolmente la tensione el del nodo 1 rispetto al nodo di riferimento. Si puO scr

ejG2+(e1 —v)G1 —gmvi =0, con v1 =nj —e1

da cui si ottiene:

R

ii

V i,

Figura 19.7

C2 v, da cui v1 vi - - V.

G

i+C2+gm Gi+G2+gm

A questo punto Si POSSOflO ricavare le potenze p, p2 e ii loro rapporto:

- 12 P2 Rc(gmvi ) 2 Rg Pi = V u1 = V iV I G1

G1 +G2+gm (C1+G2+

19 - iVietodi generali di analisi - circuiti resistivi

2,-i nfl22 P2 - R

- 1-k.cJg

- CG1(Gi+G2+gm) - Ri+R2(1+gmRi)

Si PUO calcolare Rj:

Gi+G2+gm =R +R2(1+gmRi) R = = (v/v1)R1 = R1 G2

izio 4.9

) La figura 19.8 mostra ii circuito della figura E-4.9(a), con indicato ii nodo k. nico nodo a cui occorre scrivere l'equilibrio delle correnti. Ii nodo di riferimento e il go 0. Si pub scrivere:

ek - /AVgk ek/R1: +

R2 + R O COfl V9k = V8 - ek

isolvendo rispetto a ek Si ottiene:

Figura 19.8

liRk ek =

corrente che circola in Rk (e quindi anche in R) vale ek/Rk e quindi v" - j-R.

pub cosl ottenere ii risultato cercato;

VU - pR

- R+R+(1+/i)Rk

) Nella figura E-4.9(b) compaiono i parametri hi, e h1, usati comunemente in •ttronica. II pararnetro hi, rappresenta una resistenza e si misura quindi in Z. II rametro hfe adimensionato e rappresenta un'amplificazione di corrente. Per : - circuito ii metodo dei nodi porterebbe a scrivere semplicemente l'equazione di rtitore di tensione. Di conseguenza, senza scrivere KCL ai nodi, si ottiene immedia-Lnente ib = vs/(hje + R8 ). Passando a considerare la maglia di destra si ha II risulraio


cercato:

vu = R'ahf e b = VhfRu/(R8 + hie), e quindi v/v3 = — hieRu/(Rs + hie

(c) La figura 19.9 mostra ii circuito della figura E-4.9(c), con indicato ii nodo 1, un nodo a cui occorre scrivere l'equilibrio delle correnti. Ii nodo di riferimento è ii nodc a cui e collegato ii morsetto - del generatore di tensione. La KCL al nodo 1 porta

1

Figura 19.9

scrivere: ___

—el - v e1 - v ______

R8 +h- hf eib + = 0, COfl Zb =

R + hje ' e1

Risolvendo rispetto a e1 e osservando che vu = e1 Si ottiene:

R(1+hie) vs.

Rs + hie +Ru(1+hf e )

da cui vu Ru(1+hfe)

Vs Rs + hie +R(1+hie)

La corrente che circola in Ru vale (1 + hf 6 )ib e quindi la tensione ai morsetti d' V = hje j, + Vu = hib + R(1 + h1 6)ib. Si puO cosI ricavare la resistenza d'ir

Ri = hi,(-,, R L (i + hf ( .)

Esercizio 4.10 Questo problema e una variante dell'esercizio 4.8. La figura 19.10 mostra ii circu analizzare. A causa della presenza di RB ora ii numero di nodi da considerare due. Se si e interessati alla tensione ai capi di RL, la Si PUÔ avere direttamente uscita del sistema di equazioni nodali aggiungendo il nodo 3, come indicato nella 19.10. Ii nodo di riferimento e ii nodo 0 a cui è collegato ii morsetto - del gene: di tensione. Si possono scrivere le equazioni seguenti:

19 - i'vletodi generali di analisi - circuiti resistivi 14

VS

Fgura 19.10

( (e1 - v)/R8 + el/RB + (e1 - e2)/hie= 0 ) (e2 - ei)/h1 + e2/RE - hi e'tb = 0

1 C3/RL + hf €ib = 0 COfl ib = (el - e2)/hie

tre equazioni precedenti, tenendo conto dell'espressione di ib in funzione delle tensio-dei nodi (ib = (Ci - e2)/hie) si scrivono nella forma seguente, pronta per la soluzione a ii metodo di Kramer:

—1 o R8 RB hie hie _±_L Li_L 1 h e hie hie RE hie hie - e3

hie hie RL-

noti che, se si fosse trasformato ii generatore reale di tensione in UflO di corrente uivalente, si sarebbe ottenuto ii medesimo sistema di equazioni.

Eserdzio 4.11

Todapprima ii metodo del nodi per aal o crcuito,i i facendo riferimento L1a figura 19.11.

Figura 19.11


Scrivendo una KCL al nodo 1 si ha:

vG7 + (v - 5v)C6 = 0

da cui R7

VU =

G6+G7 L5VRR

Usando la formula del partitore di tensione si ricava inoltre:

R3 V= Vs1

R2+R3+R4

Sostituendo nell'equazione precedente si ha il risultato cercato:

R3 R7 V?2 = p5 V

R2 + R3 + R4 R6 + R7

Non volendo usare il metodo dei nodi, basta osservare che si è in presenza di maglie e in ciascuna di esse si possono calcolare le variabili richieste dal prob usando le formule del partitore di tensione. Con un partitore si puO ottenere la van v che controlla il generatore dipendente (si veda l'equazione precedente). Con un partitore si ottiene v, ottenendo cosI la stessa equazione scritta in precedenza us il metodo dei nodi.

Esercizio 4.12 Facendo riferimento alla numerazione dei nodi nella figura 19.12 e osservando che V6 e V7 = pv6, si ottiene

C

=

Figura 19.12

J (e1 - v8i)G2 + (el - v6)G3 + (ei - v6)G4 = 0

1 (v6—ej)G3+v6G5 = 0

Le equazioni precedenti possono essere riscritte nella forma seguente,


ione con ii metodo di Kramer:

G2 + C;3 + C4 —C3 -jiG4 [el] - [G2Vsl] —C3 G3 +G5 V6 0

vendo per v6 si ottiene:

pG2G3v8 i V7 = jiV6 =

G2G3 + C3G4 + G2C5 + G3G5 + G4G5 - jiG3G4

Esercizio 4.13 Si faccia riferimento alla numerazione del nodi nella figura 19.13. Anche in questo caso I simboli hie, hre, hI e e h,e sono mutuati dall'elettronica: hie e 1/h0 sono valOri di re-

enze, misurati in ; hre e hf e sono parametri adimensionati e rappresentano, rispet-:Vamente, un'amplificazione di tensione e un'amplificazione di corrente. Osservando

R1

V 9

+

3:3

Figura 19.13

Hie e2 = V2, Si ottiene

I(ei—vg)Ci+(ei—hrev2)j--+(ei—v2)G1 = 0

I (v2—el)Cf+hf eib+v2(ho +C2) = 0

t. b = ( - hrev2)/hie

equazioni precedenti possono essere riscritte nella forma seguente, pronta per La izione con ii metodo di Kramer:

C1 + 1/hie + Cf —hre/hie - Cf [e

h h 1_ 7 C 1g

—C1 + hf e/hie Cf - fere ± JmQ( + C2 Lvi - o

&tuendo i valori numerici e esprimendo le resistenze in Msi ottiene:

1 1,125 —0,025251 lei] - F0,lVg 012875 j Li - [ o

I


Infine, risolvendo per v2:

- 1

1,125 O,lVg 49,975 0 -

V2 - - —3,15v g 1,125 -0,02525 49,975 0,2875

Esercizio 4.14 Si faccia riferimento alla numerazione dei nodi nella figura E-4.14. Ii nodo di rifer- mento e quello cui è connesso ii terminale - di v3. Secondo le regole enunciate n. sotto-paragrafo 4.2.4, non si scrivono le KCL ai nodi 1 e 3, ma soltanto ai nodi 2 e -L Le incognite sono le tensioni e2 ed e4 dei nodi 2 e 4: infatti si ha e1 = v e, per quam• riguarda e3, si puO scrivere:

e3 = TmZl = Tm e2—e3

Ri

da cui Si ricava e3 in funzione di e2:

R1e3 rm(e2 - e3); (R1 + rm)e3 = rme2; e3 = rm R1 + r7

Infine si osservi che la tensione cercata VA coincide con e3. Si possono scrivere le seguenti equazioni:

I(e2 -v8)G8 + (e2 - e3)G1 + (e2 - e4)G3 = 0

(e4 - e3)G2 + (64 - e2)G3 = 0 Tm e3

= R1 +rme2

Le equazioni precedenti possono essere riscritte nella forma seguente, pronta per soluzione con ii metodo di Kramer:

Gir 1 m + G3 -C3 I i,i [G3V,1Ri+Tm

_G3_2R+ c2+c3 [ej = is

,- Tm

Esercizio 4.15 Si faccia riferimento alla figura E-4.15 e si assuma come riferimento ii nodo a cui 41 connesso ii morsetto - del generatore v3. In accordo alle regole enunciate nel paragrafm 4.2.5, non si scrive la KCL al terminale d'uscita dell'ampliflcatore operazionale e new - pure al terminale del generatore ideaje di tensione non connesso al nodo di riferimentQ. Rimane ii nodo - (morsetto invertente). Inoltre, dette v e v_ le tensioni del node + e - rispetto al riferimento, l'amplificatore operazionale impone ii vincolo v = e quindi, poiché ii nodo + coincide con ii nodo di riferimento, si ha v = v = 0. La


al nodo - (morsetto invertente) si scrive:

(v_ - v)/RI + ( v_ - v)/R2 = 0, ovvero v8/R1 = -v/R2

vu = --vs 11,1

ricordando che la corrente i_ entrante nel morsetto - è zero, si ha

R=R1

rcizio 4.16 faccia riferimento alla figura E-4.16 e si assuma come riferimento il nodo a ciii è imesso ii morsetto - del generatore v. In accordo alle regole enunciate nel paragrafo 2.5, non si scrive la KCL al terminale d'uscita dell'amplificatore operazionale e new ire al terminale del generatore ideale di tensione non connesso al nodo di riferimento. imane il nodo - (morsetto invertente). Inoltre, dette v e v_ le tensioni del nodo e - rispetto al riferimento, l'amplificatore operazionale impone il vincolo v = v_

quindi, poiché in R8 non scorre corrente (i+ = 0), si ha v = v_ = v. La KCL a! 10 - (morsetto invertente) si scrive:

v3/Ri + (v3 - v)/R2 = 0, ovvero v8(1/Ri + 1/R2) =

cui

We, poiché la corrente i entrante nel morsetto + è zero, ne segue che la resistenza dingresso Ri e infinita.

Esercizio 4.17 Si faccia riferimento alla figura E-4.17 e si assuma come riferimento il nodo a ciii e connesso il morsetto - dci generatori (non indicati nella figura) V61, Vs2, v. Seguendo le stesse regole usate nei due esercizi precedenti, ê sufficiente scrivere una KCL al nodo - (morsetto invertente) dell'amplificatore. Inoltre, dette v e v_ le iensioni del nodo + e - rispetto al riferimento, l'amplificatore operazionale impone ill vincolo v v e quindi, poiché il nodo + coincide con il nodo di riferimento, si ha

= v_ = 0. La KCL a! nodo - (morsetto invertente) si scrive:

v1/R1+v2/R2+• . •+Vfl/Rfl+v'LL/RF 0

cui

vu= -Rp(Ri- vi

--+ V2 ---+•+ Vn

R2 R

Esercizio 4.18 Si faccia riferimento alla figura E-4.18 e si assuma come riferimento il nodo a ciii e


connesso ii morsetto - dei due generatori v9 . e Vs2. Seguendo le stesse regole usate Iii esercizi precedenti, e sufficiente scrivere due KCL: una al nodo - (morsetto inverter e una a! nodo + (morsetto non invertente) dell'amplificatore. Tuttavia, l'equazi al nodo + e equivalente a quella di un partitore di tensione che permette di rica\ immediatamente la tensione del nodo +:

R4 = R3 + R4v32

Di conseguenza ê possibile scrivere una sola KCL al nodo - (morsetto invertente):

(v_ - v31)/R1 + (v_ - v)/R2 = 0

Inoltre l'amplificatore operazionale impone ii vincolo v_ = v e quindi v_ = v'

R3+ R4 V82. Sostituendo l'espressione di v_ nell'equazione precedente e risolv rispetto a vu Si ottiene:

/ H9'\ R / R2'\ R4 R2 VU 1+)v_—--v8i = 1+-) R:+R4VS2Rl1RI

Esercizio 4.19 Si faccia riferimento alla figura 19.14 e si assuma come riferimento il nodo 0 a cui connesso ii morsetto - del generatore v8. Seguendo le stesse regole per la scelta d

Vs

+

Figura 19.14

nodi usate negli esercizi precedenti, e sufficiente scrivere una KCL al nodo + ( non invertente), indicato con 1 nella figura. La KCL al nodo 1 si scrive:

v+Gi+(v+—v)G2=0

Inoltre l'amplificatore operazionale impone ii vincolo v = v_ e quindi v =

v8G1 + (v8 - v)G2 = 0

19-Metodi generali di analisi - circuiti resistivi

:a cui

vs R1

Per ii calcolo della iesistenza d'ingresso Ri, la corrente i indicata nella figura vale:

Vs - Vu 1 - 1 - R2/R1 R2

L = Rf =

Rj = R 1 Rf

I Enteressante osservare che, nei limiti di validità del modello usato per l'amplificatore eale, ii circuito proposto è equivalente ad un resistore con resistenza negativa.

serdzio 4.20 faccia riferimento alla numerazione dei nodi nella figura E-4.20. Le KCL vanno

critte al soli nodi 1, 3, 5. Ii nodo di riferimento è, come al solito, indicato con 0. La enza cercata e R = ei/i8i e quindi basterà calcolare la tensione e1 del nodo 1 in one del generatore is, per risolvere ii problema assegnato. Le equazioni nodali Si 0110:

( (e - e2)G5 = isi (e3 - e)G6 + (e - e)G.' = 0

I. e5G9 + (e - e4)G8 = 0

r effetto dei vincoli imposti dagli amplificatori operazionali si ha:

e1 = e3 = €5

ituendo e1 a €3 ed e5 nelle equazioni precedenti, esse possono essere riscritte nella a seguente, pronta per la soluzione con ii metodo di Kramer:

G5 —05 0 €i [is, G6+G7 —G6 G7 e2 = 0 G8+G9 0 G8 Ie4 0

is! G5 0 o —C6 —C7 o 0 —C8 G6G8

e1 = C5 —G5 0 = G5G7G9 is1

G6 + G7 —C6 —C7 G8+C9 0 —C8

R- - C6G8 - R5R7 R9

- SS1 - G5G7C9 - R6R8

e1:

si ha:

CpitoIo 20

Uso dei teoremi di Millman, sovapposizione, Thêvenin/ Norton

W-* i6~

mendo5.1

ii nodo B in basso come nodo di riferimento, la formula di Millman (5.1) 11---zente di scrivere

VAB25 E1G1 - E2G2 + E4G4

= = 10,636V G1+G2+G3+G4 2,35

si ottengono le correnti richieste:

VAB

= _VAB —E1 = 2,72A; 12 =

VAB +E2 = 0,732 A; 13 = = 1,064A

R R2 R3

E.sercizio 5.2 aendo V82 = 0 e successivamente v i = 0, utilizzando i risultati ottenuti negli

I--rcizi 4.15 e 4.16 si ha

R2 vt1Iv82=o =

R1 --vs1

R4 Vu21v810 = V32

R3+R4 \ R)

cui si ricava, usando ii teorema di sovrapposizione

Vu = Vul + Vu2 -- Vs ( l + R4

1+ Vs2 R1 R3+R4 R1)

157

158 - 20 -Uso dei teoremi di Millman, sovrapposizione, Thévenin/Norton

Esercizio 5.3 Usando ii teorema di sovrapposizione Si calcola 14 = I + I' dove:

F> I e la corrente dovuta a I, quando 12 = 0

/ R3 R1 14

= R3+R4R1+R"

COfl = R2 + R3R4 R3+ R4 F> I' e la corrente dovuta a 12, con 11 = 0

R 14

R$ + R4 12

con R - (R1 + R2)R3 - R1 + R2+ R3

Dovendo essere 14 = Il '2 + , dalle equazioni (20.2) e (20.1) si ottengono le 256 16

condizioni:

1 Rp+R4 - 16

R3 R1 1

R3+R4R1+R0, - 256

Dividendo la (20.4) per la (20.3) e sostituendo le espressioni di R e Rfl si ha

R1 _1 R, +R2 16

R2 R1=

15

Si ponga ora R2 = R4 = R. La condizione (20.3) si scrive:

R4 R4 1+—+ =16

R3 R1+R2

Sostituendo (20.6) in (20.7) e utilizzando R2 =R4= R si ricava R = 14,0625 cui:

R2 = R4 = 14,0625 k; R1 = 937,5 Q

20 - Uso dei teoremi di Millznan,sovrapposizione, Thévenin/Norton

Esercizio 5.4 Calcolare ii circuito equivalente di Thévenin al terminali del resistore R2 (si veda la figura 20.1) percorso dalla corrente I, implica calcolare la resistenza equivalence di Thévenin Req e la tensione a circuito aperto (ovvero la tensione a vuoto) v(t) del bipolo risultante dopo aver staccato R2 dal circuito.

Per Req si ha: RR1

Re = R+R1 =3,264 (20.8)

dove R R3 + R4+R5 + R6 = 9,4 ft La tensione a circuito aperto veq(t) Si calcola

sando la formula del partitore di tensione

R+ R

veq(t) = E = 6,528V (209)

utilizzando le equazioni (20.8) e (20.9), la corrente I risulta essere:

1= veq(t) =1,24A

Req +R2

problema proposto puO essere anche risolto ricorrendo al teorema di Norton. La aduttanza Ggq non e altro che ii reciproco di Req e quindi I calcoli da effettuare sono stessi indicati in precedenza. Resta da calcolare la corrente di corto circuito i tal fine, con riferimento alla figura 20.1, occorre sostituire la resistenza R2 = Al i cui capi si vuole calcolare ii circuito equivalente di Norton) con un corto circuito

o1are la corrente che lo percorre. Si ha semplicemente

2eq = E = - 10

-- 2A

osservi che risulta, come previsto dalla teoria, i,q = veq/Req. La corrente I ri 1 problema si ottiene ora con un partitore di corrente:

Re -- 2_3,264 =

1,24 A 3,264+2

160 20 - [iso dei teoremi di Millman, sovrapposizione, Thévenin/Norton

Eserdzio 5.5 Per i vari sotto-circuiti niportati nella figura 20.2 si ottengono I circuiti equivalent--'

Thévenin con i seguenti valori: d (1) R3 __________ (1) - R3(R1+R2) =90,9Q Veq = R3 + R2 + R1 E 90,9 V Req - R3+ R2+ R1

eq (2) R5 2

___________ Veq - R

5 + R4 + R1 Veq

(1) -4,52 V Rq = R, (R(') + R4)

eq R5+R4+Rq

(3) R7 (2) ______ _ R2 Veq 2,16 V

= R7(4) + R6)

Veq = 52,3

,R7 + R6 + eq R7+ R6+ Req

R2

R3

r'I'\ (1) + - - Veq -

H

(2)

nV

(3) Veq veq

Figura 20.2

Infine,

= R(3)eq = 2,03 mA

eq +R8+R

20 - Uso dei teoremi di Millman, sovrapposizione, Thévenin/Norton 161

rcizio 5.6 mdo il tasto è ancora aperto il circuito equivalente di Thévenin del bipolo a sinistra tasto ha una tensione a vuoto V e una resistenza Req uguali a

R V0 R2 _R V = R+RV0 , Req = R+R

Alla chiusura del tasto il bipolo resistivo di resistenza R Si collega al circuito equiva-lente di Thévenin, come indicato nella figura 20.3. La tensione su R deve essere 80% della tensione the si aveva a vuoto. Pertanto

-Rx Y R

R+ 2 --

cui Si ottiene: Rx =0,8R+0,4R

R 2 R

R 9

+

C),8 R

Figura 20.3

izo 5.7 cando ii teorema di sovrapposizione al puO scrivere:

VA =V2"+ VAT + VA" +VA'

V1111 = VAIV3OV2OViOO , VX' VAV40V20VIOO, V = VAIV40VSOV1OO, and

= VAIV40V30V200.

iamo con il calcolo di Vi', ovvero della tensione VA quando agisce unicamente e gli altri tre generatori sono posti a zero, come indicato nella figura 20.4. Come

mo passo si puo determinare il circuito equivalente di Thévenin del semplice bipolo sinistra della linea tratteggiata. A vista si ottiene Veq = V40/2 e Req = 2R

}il

A

TI/f, A 1/110

8 ri/f,' - 110 A - 16

162 20 - Uso dei teoremi di Millman, sovrapposizione, Thevenin/Norton

21 2R V'

VIO

Figura 20.4

TI//I A

Figura 20.5

Ii circuito da analizzare diventa ora quello indicato nella figura 20.5. Calcolando ii circuito equivalente di Thevenin del bipolo alla sinistra della linea tratteggiata nella figura 20.5, si ottiene immediatamente Veq = V40/4, mentre ancora si ha Req = 2R. II nuovo circuito da analizzare si riduce a quello della figura 20.6.

: 't A


Applicando nuovamente ii teorema di Thévenin al circuito della figura 20.6 si ottiene infine ii circuito della figura 20.7, che permette di cai.colare

- - T7

VA 16 16

1/F V0 ,, V0 Ripetendo ii procedimento negh altri tre casi, si ottiene VA = --- , VA = e

20 - Use del teoremi di Millman, sovrapposizione, Thévenin/Norton 163

Vo = In definitiva, VA risulta essere uguale a

Esercizo 5.8 _1vendo la KCL al nodo (con ii vincolo i = 0) si ha

G, (v2 - ye) + G2v2 + 9mV2 = 0

da cul si deterrnina la tensione a circuito aperto v = v2

0- 41

Veq = C1 +G+g

Per ii calcolo della resistenza equivalente di Thévenin si considera ii circuito della .ra 20.8, ove e stato messo a zero ii generatore di tensione e si e alimentato ii circuito un generatore di tensione v.

I

R1

Figura 20.8

icando nuovamente la KCL al nodo si ha (V2'= v)

(C1 +G2)v+gmv =i

cui si determina Req

V 1 Req

= c1 + C2 + g,

EL3ercizio 5.9 nettendo ai terminali di uscita un corto circuito si ottiene ii circuito della figura

9. Essendo v1 = v, la corrente di corto circuito ice vale

164 20 - Uso dei teoremi di Millman, sovrapposizione, Thévenin/Norton

+v1-

VI

+

V

Figura 20.9 Fgura 20.10 4 Per ii calcolo della resistenza equivalente Req di Thévenin, si pone v = 0 e si applica un generatore di tensione v. Si ottiene quindi ii circuito della figura 20.10 dove v1 - e la corrente entrante nel bipolo vale i Cv + Gd(V - jvi). Pertanto si ha

1 R

- G+(1+JL)Gd

Esercizio 5.10 Scrivendo la KCL al nodo (con ii vincolo i = 0) si ha

C2v+/3i5 =0

Essendo i = G, (E - av ) si ottiene

Veq Vu = —5V

Per ii calcolo della resistenza equivalente di Thévenin si considera ii circuito della 20.11, ottenuto dal circuito assegnato ponendo E = 0 e alimentando ii bipolo generatore di tensione v.

R1

r'V\Ar v/k pis

Fgura 20.11

Scrivendo nuovamente la KCL al nodo e detta iu la corrente entrante, si ha

G2v+ Pis =i,

dove i,, = —Giav.

20 - Uso dei teoremi di Millman, sovrapposizione, Thevenin/Norton 165

Req Vale

Req =vu=G2— a,6G, = 100Q

cizio 5.11 endo la KVL alla maglia di uscita si ha v AVd in quanto il vincolo che il bipolo vuoto e la topologia del circuito implicano che la corrente in R sia nulla (si veda nella figura 20.12). Essendo inoltre vd = E - V, si ricava che:

Veq = Vu = E 1+A

1 calcolo della resistenza equivalente di Thévenin si considera il circuito della figura con E = 0 e un generatore di tensione v che alimenta il bipolo. Scrivendo la KCL

)do si ha i = G(v - Avd) con vd = —v. Quindi si ricava che

V R Req= i+A

nfine per il calcolo della corrente di corto circuito i,, si considera il circuito della a 20.14. Immediatamente si ha i,q = GAVd con vd = E. Pertanto, i,q = GAE R. In alternativa si potrebbe ottenere i,q usando la relazione i,q =veq /Req.


Av 1 ieq

itolo 21

oppi bipoli resistivi

rcizio 6.1 consideri ii circuito con la porta 2 a vuoto e la porta 1 chiusa su un generatore ale di corrente (figura 21.1). Calcolando la resistenza equivalente ed usando la legge

1c2 4Q

ii

Figura 21.1

Ohm si determina la tensione v1 in funzione della corrente i1 del generatore

6(4+2) v12=0 = 1+

tensione v2 puO essere determinata applicando la formula del partitore di corrente n do la legge di Ohm

6 v21i0 =z1642 x2

V1 r V2 12

r11 =— =4 - =---- = = ic

1 i20 i2=O 6+4+2

167

168 21 - Doppi bipoli resistivi

Si consideri ora la porta 1 a vuoto e la porta 2 chiusa su un generatore ideale di (figura 21.2). Procedendo analogamente a quanto fatto sopra si trova

IQ 4

Figura 21.2

2(6+4) v2i1=0 = 2+6+412

vif1=0=i262 x6

Da cui

V2 5 2 x 6

r22=---- =-2 r12=— i1=0 6+4+2

La matrice delle resistenze a vuoto risulta pertanto essere:

rl1[R]=

5/3

Osservazioni

I parametri r11 e r22 potevano essere calcolati ricordando ii loro significato fisi Infatti essi rappresentano, rispettivamente, la resistenza alla porta 1, quando porta 2 è a vuoto e la resistenza alla porta 2 quando la porta 1 è a vuoto. Data semplicitaA del circuito queste resistenze si possono calcolare a vista. Si noti the r12 = r21. Infatti ii doppio bipolo e formato soltanto da bipoli (non so presenti generatori dipendenti e/o amplificatori operazionali) e quindi, come dei a pagina 49, esso è reciproco. Di conseguenza r12 e r21 sono uguali, come verifici

risolvendo l'esercizio proposto. .4

Esercizio 6.2 I due doppi bipoli sono equivalenti se sono descritti dallo stesso gruppo di param in particolare se hanno, ad esempio, la stessa matrice delle resistenze a vuoto. mol poichê entrambe le reti sono simmetriche (per cui r12 = r21 e r11 = r22) bastano

21 - Doppi bipoli resistivi - 169

I parametri per rappresentare ciascuna rete. consideri la rete a T con la porta 2 a vuoto e la porta 1 chiusa su un generatore di Tente. Si ha

vi 0 = 2RT il V2 .o = RT i1

I CUi V1

ril = - = 2RT T21 = - RT i2=O i2=0

uttando la simmetria della rete Si ottiene la matrice delle resistenze a vuoto

2RTRT [R] =

RT 2RT

consideri ora la rete a ir , con la porta 2 a vuoto e la porta 1 chiusa su un generatore corrente. Otteniamo

2 Rir. 1 1i2=O R- i1 2 i2=O

prima, sfruttando la simmetria della rete si ottiene la matrice delle resistenze a

[R]= RIr

doppi bipoli sono equivalenti se RT = -

ercizio 6.3 consideri ii circuito con la porta 1 chiusa su un generatore di tensione e la porta 2 corto-circuito (figura 21.3). Si usi ii metodo dci nodi per analizzare ii circuito. Si 1ga ii nodo 0 (che coincide con ii nodo 2) come riferimento e si indichi con e1 la isione del nodo 1 rispetto al riferimento. Si scriva la KCL al nodo 1:

(e1 - vi ) + e1 + + 2i 1 = 0

ii 1

= (1)1 -

ivendo, si ottiene e1 in funzione di Vi:

1 e1 = —v1 (21.1)

1 3 ii = (v1 - e1) = Vi (21.2)

8 20


2i1

V1

Figura 21.3

Facendo riferimento ancora alla stessa figura risulta

1. 1 - 2z1 = v1 (2

Sfruttando le equazioni 21.2 e 21.3 si ottengono i primi due parametri cercati:

il 3 1 911-- IV2O

S, 921 =V1 V2=0= 4S

Si consideri ora ii circuito con la porta 2 chiusa su un generatore di tensione e la poiia 1 in corto-circuito (figura 21.4). Si usi ancora ii metodo dei nodi per analizzare I

2i1

V2

il 0

Figura 21.4

circuito. Come prima si scelga ii nodo 0 come riferimento e si indichi con e1 la

21 - Doppi bipoli resistivi .T1

1 rispetto al riferimento. Si scriva la KCL al nodo 1:

(el—v2)+ei(+)+2i1 =0

1 = —e1

ivendo, Si ottiene e1 in funzione di v2:

el = 4

(21.4i 10

v2—e1 1 - = ______ - . = (21.oj

riferimento ancora alla stessa figura risulta

1 8 20

(21.6,

le equazioni 21.5 e 21.6 Si ottengono gli altri due parametri cercati:

1 922 = = 4 S, 912 = Iv1=O =

la matrice delle conduttanze di corto circuito è:

20 [C]=[20 ]s

come, in questo caso, la presenza di un generatore dipendente renda ii doppio non reciproco (912 921).

zio 6.4 sideri ii circuito con la porta 1 alimentata da un generatore ideale di tensione e ta 2 in corto-circuito (figura 21.5). In tale configurazione si devono calcolare i1 funzione di v1. solito si ricorre al metodo dei nodi, assumendo come riferimento ii nodo 0, cm gato ii morsetto - del generatore di tensione. L'unico nodo di occorre scrivere ibrio delle correnti e ii nodo 2, in quanto ii nodo 1 e connesso ad un generatore di tensione con l'altro terminale connesso al nodo di riferimento. Applicando la

r


V1

0

Figura 21.5

KUL a! nodo 2 si ottiene

(e2 —vl) 1

+e2 1

+2io =0

V1 con z0 =

Risolvendo, si ottiene 62 in funzione di v1:

3 e2 VI (

C quindi

ii = io + (vi - e2) 1 = 5

VI

Riferendoci ancora alla stessa figura risulta

13 = —e2 = V1

I Sfruttando le equazioni 21.8 e 21.9 Si ottengono i primi due parametri cercati:

ii 5 i2 3 gii =—_0 =--S, g21=-_0 =-S

V1 J2 8 V1V2_ 8

Si consideri ora la porta 2 alimentata da un generatore di tensione ideale V2 e la 1 in corto-circuito. Ii resistore da 31 risulta in parallelo con ii corto circuito, pen io = 0 e quindi

V2 V2 V2 7 12

= = il = i2 = -

Dalle equazioni 21.10 Si ottengono quindi le altre due conduttanze di corto-circui

11 922 = - = - S 912 = - = -- S

V2 v1=O 8 V2 vi=O 8


matrice delle conduttanze di corto circuito risulta essere

[ ] [C]

= Osservazione

Si noti come, anche in questo caso, la presenza di un generatore dipendente renda il doppio bipolo non reciproco (912 0 921).

Esercizio 6.5 Si consideri ii circuito con la porta 1 alimentata da un generatore ideale di tensione e là porta 2 aperta, come nella figura 21.6. La corrente i1 risulta essere

V1

+

V2

Rgura 21.6

• ' - 10+20 - 30

ikpplicando la KVL alla maglia di destra si ricava

v20 = 20i1 - 3i1 = 17i1 = 17 vj 30

Da cui

t11A= 30 —

V2 j20 17

consideri ora la porta 2 in corto-circuito. La corrente i2 è ora la corrente di corto-cuito (con verso positivo entrante). Applicando la KVL alla maglia esterna si ricava

v1 -3i1 V1 11v2=O = 10 7 dacui

i V2O = 13


La corrente i2 puO essere determinata scrivendo una KCL all'unico nodo presente:

3i1 . 17. 17 i2lv_.O = - i = -i1 - x

20 20 13

Da cui V1 20x13

t12-= B=— =

i2 V20 17

Per ii calcolo di t21 M C, si consideri ii circuito con la porta 1 alimentata da generatore ideale di corrente i1 e la porta 2 a vuoto (figura 21.7). La tensione i

1O2 3i1 I ::

V9

Figura 21.7

trova applicando la KVL alla parte destra del circuito

v20 = 20i - 3i1 = 17i1

Da cui

t21EEC-1 =-S V2 2O

17

Infine, si consideri la porta 2 chiusa in corto-circuito. La corrente i2 puO essere scrivendo la KCL all'unico nodo presente

3i1 17.

i2 1112=0 = - i + = -z120 20

Da cui

i1 20 t22 D=---

2 I V2=0 17

La matrice di trasmissione del doppio bipolo risulta pertanto essere

30 260

[T]= 17 17

20

17 17

21 - Doppi bipoli resistivi 15

rdzio 6.6 resistenza ai morsetti primari del trasformatore ideale vale R = (ni /n2)2R3 = 0. Di conseguenza Re data da R1 in serie al parallelo di R2 e R:

R2R'3 600 x 200 ReR1+ =100+ =25O

R2+ R13 600+200

la seconda parte del problema si pUÔ fare riferimento alla figura 21.8. La corrente

'flr

V

Figura 21.8

I mie i = Vs /Re e quindi, con un partitore di corrente si ottiene R2 / R2+R3

endo conto delle equazioni del trasformatore ideale, si puO quindi calcolare v, in --,.one di ye:

Vu = R3 ni. = R3 n1 R2 v - - / -

Th2 R2 + R3 Re

:tuendo i valori numerici si ottiene ii rapporto richiesto:

= 0,3 vs

Thpftoo 22

eti RC e RL di ode uno

Eercizio 7.1 lo di v,, (t) richiede ii calcolo della condizione iniziale v. (0+), del valore finale e della costante di tempo r:

Vu (t) = [vu (0+) - v(oo)] e_t/T +v(oo) (22.1)

- ndo riferimento al circuito della figura E-7.1, la resistenza equivalente vista dal-ittore una volta messo a zero ii generatore di corrente indipendente è:

R (R+R)R2 eq - R+R+R -

si ricava la costante di tempo del circuito 'i- = L Geq = 3/2s. lo di v(0) si basa sul circuito della figura 22.1 ottenuto sostituendo l'induttore generatore di corrente di valore uguale a iL(0) = 2 A.

1A v(0)

Figura 22.1

la sovrapposizione degli effetti si ottiene:

Vu (0) = (R+2R R R

iL(0)Ig) R + R + 2 R

)R=lv

177

178 22 - Reti RC e RL di ordine urio

Infine, ii valore finale v(oo) si ottiene considerando l'induttore un corto ci regime. Pertanto si ha:

R2 1

R

19 v(oo)

= +R =

Sostituendo i valori ottenuti in (22.1) si ottiene la seguente l'espressione di v(t):

vu (t) = (e_(2/3)t+1) v

Un metodo equivalente per calcolare vu (t) consiste nel calcolo preliminare della van di stato iL(t). La condizione iniziale e data e quindi non occorre calcolarla. La cosi di tempo è la stessa calcolata in precedenza. La corrente a regime iL(OO) Si ca considerando l'induttore come un corto circuito. Pertanto si ha:

R ZL(OO)

R+R =

Quindi si ottiene la corrente iL(t) per /; > 0:

L(t) = [i L(0) - i j (oc)J e_t/T +ZL(OO) = (3 e 213 +i) A

Sostituendo l'induttore con un generatore di corrente indipendente di valore iL(t), si calcola v(t) per t > 0 mediante la sovrapposizione degli effetti:

vu = (R+2R 1,) R+ ( R R2R i L(t)) R= (e—(2/3) t +1) v

L'andamento di v(t) ê riportato nella figura 22.2.

I i t

Figura 22.2

Esercizio 7.2 Sebbene ii circuito contenga due elementi reattivi e possa apparire di ordine superi a uno, in realtà, all'apertura del tasto T, esso si riduce a due circuiti separati, entrai del primo ordine. I transitori in questi due circuiti possono quindi essere calcolati le regole apprese. I

22 - Reti RC e RL di online, uno -

me prima cosa occorre calcolare le condizioni iniziali sul condensatore e su11-e. A11'instante t = 0 l'interruttore ê chiuso e l'induttore in condizione di regime porta come un corto circuito, mentre ii condensatore come un circuito aperto. to si ha:

v(0) = v(0) = 2V

iL(0)=iL(0) =

)ertura dell'interruttore si hanno due circuiti del primo ordine separati, riportati figura 22.3.

H1

C

H11 H

Figura 22.3

ito con ii condensatore C si ha:

vC(oo) = (R1R2) E1 = lv

rc=ReqC= RiR2CO5 lis

(t) = [v(0) - vc(oo)] e_tI7-0 +vC(oo) = e2t +1, V, us per t > 0.

to con l'induttore L si ha:

ZL(OO) = E2

- = 1 mA

TL = Geq L = L = 2 S

180 22 - Red RC e RL di ordine uno

da cui ZL(t) = [iL(0) _iL(oo)Je_tITL +ZL(oO) = e,5t+ , mA,is pert > 0.

Gli andamenti temporali di v(t) e iL(t) sono riportati nella figura 22.4

iL,mA 4/3

2.0

Fgura 22.4

Eserdz,o 7.3 Per ii circuito indicato nella figura E-7.3 si ha v(t) = —v(t) in quanto per un plificatore operazionale ideale v = v_. Inoltre v(0) = 0, in quanto, a regime a aperto, in R non scorre corrente. Di conseguenza v(0+) = —v(0) = 0, mentre

Vu (.Do) = E = —40mV

Ii calcolo della costante di tempo richiede di calcolare la resistenza equivalE vista dal condensatore C, ossia la resistenza del circuito riportato nella figura

-4- V -

=

Figura 22.5

Si osservi che i1 = i9 + i_. Ma le correnti i9 e i_ sono entrambe nulle, per 1 v

22 - Reti RC e RL di ordine uno 11

i dall'amplificatore operazionale. Quindi i1 (t) = 0. Di conseguenza si rica'va nte che:

W) = ZR(t) = VW

Req = v/i = R e quindi r = Req C = 0,1 s. Infine si ricava che per t > 0

v(t) = [v(0) - v(oo)J e-t/7 +v(oo) = 40 (e—lot —1) , mV,s

nel tempo è riportato nella seguente figura 22.6

v,mV 0,1 0,2 0,3 t,s

-40

Figura 22.6

do 'T.4 mento di Ve(t) riportato nella figura 22.7. Si tratta di un andamento costante i e ogni intervallo in cui V e costante ha la durata di 15 p.s.

v, v,V (r= 3s)

15 3() 45 t, us

Figura 22.7

costante di tempo r del circuito vale:

R2 '7- = C = 3 us

r << 15 p.s, ii condensatore C ha tempo di raggiungere (a tutti gli effetti pratici) izione di regime in ogni intervallo in cui Ve si mantiene costante. ervallo 0 < t < 15 p.s in cui v, (t) ha ii valore costante V = 2 V, quando t -+ 15 p.s one vc a capi del condensatore ha ormai praticainente raggiunto ii valore finale. o considerando ii condensatore un circuito aperto:


vC(oo)= R ' R + R

Si osservi che la tensione v(t) coincide con La tensione v(t) ai capi del conde: e quindi v(oo) = vc(oo) = 1V. All'istante iniziale t = 0 ii circuito si trova in condizioni di regime con v6 = 0 e v(0) = 0. Ne segue che anche ii valore iniziale v(0) è zero. Pertanto per 0 <t < 15 j1s si ha:

v(t) = _e_t'3 +1, V,ps

All'istante t = 15 lis ii generatore va a zero e inizia un nuovo transitorio, con costante di tempo T. Questa volta 11 nuovo valore iniziale coincide con ii finale del transitorio precedente (IV), mentre ii nuovo valore finale ê zero.

NelPintervallo 15 us < t < 30 ]1s si ha:

v(t) = e- (t-15)/3, V, IS

essendo v(15) = 1V ed v.,(oo) = 0. Ii processo si ripete in modo analogo negli istanti successivi. La forma d'onda siva di v(t) è disegnata nella figura 22.7.

Eserdzio 7.5 Si determinano preliminarmente i circuiti equivalenti di Thévenin ai terminali del formato della serie del condensatore C e del resistore R, nei due casi di interrut aperto e chiuso:

l'interruttore T è aperto (si veda la figura 22.8)

a R2 Vcq R+R26V

R1R2 eq - R1 +R2 +R3

= 24 kg

PU. eq

—EVV\I- a Lveq

Fgura 22.8

22

Figura 22.9

> l'interruttore T e chiuso (si veda la figura 22.9)

.a resistenza equivalente R q è calcolata ponendo a zero ii generatore Ve e vale:

R5R4 eq =

R5 e la resistenza equivalente di R3 in serie al parallelo di R1 e

R5 = + R3 = 2,4 kg

ii calcolo della tensione a vuoto conviene ridisegnare ii circuito come indicato eq . figura 22.10 e usare la sovrapposizione degli effetti. Si ottiene:

(____R1R2 + R3(R1 + R2) R2R4

irg-- R1R2 + (R3 + R4)(R1 + R2) + R1R2 + (R3 + R4)(R1 + R2)) Ve = 1OV

circuito equivalente e indicato nella figura 22.11.


I circuiti equivalenti trovati, connessi alla serie condensatore C e resistore R, per-tono di calcolare le forme d'onda richieste, nei differenti intervalli di tempo in cm T erto o chiuso. Cos!, ii circuito di Thévenin riportato nella figura 22.8 connesso aBa

ie condensatore C e resistore R porta al circuito della figura 22.12 che consente di


determinare la tensione v(t) negli intervalli di tempo in cui T è aperto, mentre ii cir-cuito della figura 22.11 porta al circuito della figura 22.13 che consente di determinare la tensione v(t) negli intervalli di tempo in cui T ê chiuso. 4

R

Req v q

Figura 22.12 Circuito per ii cIcoIo di v (t) nel Figura 22.13 Circuito per ii calcolo di vc(t) rid caso di T aperto caso di T chiuso

Per 0 < t < 1— l'interruttore T e aperto da lungo tempo e quindi

v(1) = v(1) = V q 6V

All'istante t = I s l'interruttore si chiude. Ii valore di v(1) = v(1) = 6V e valore iniziale del nuovo transitorio, mentre a regime la tensione sul condensatore e Ia costante di tempo sono (usando ii circuito della figura 22.13):

VC(C)O) = V q = 1OV

T0 =(R q +R)C0,9S

Pertanto per 1 s < t < 2s (T chiuso) si ha:

VC (t) = 10— 4e_(t_1)/09, V,s

da cui di determina la seguente condizione iniziale per ii transitorio successivo t > (interruttore aperto): 49

v(2) = v(2) = v(2) = 10 - 4e 2_1)'0,9 = 8,68 V

L'analisi per t > 2 (T aperto) Si basa sul circuito della figura 22.12. Da questa fig= si ricava che:

vC(oo) = = 6V

'Ta (R q +R)C = is

Quindi per t > 2 si ha:

VC (t) = 6 + 2,68e_(t_2), V,s

La forma d'onda di v(t) e riportata nella figura 22.14. Si osservi che v(t) funzione continua del tempo.

22 - Heti RC e RL di ordine uno 151

Figura 22.14

er ii calcolo di VR(t) si procede in modo analogo. Si riportano per brevità solo i calcoli ssenziali:

t> 0 < t < 1 (interruttore aperto)

kircuito si trova in condizioni di regime, quindi C è un circuito aperto e in R non corre corrente. Pertanto yR = 0 in tutto l'intervallo, fino all'istante t = 1.

t' 1 <t < 2 (interruttore chiuso)

Alla chiusura di T devo calcolare VR(1+) sostituendo ii condensatore con un generatore di tensione di valore uguale a VC(1+) = vc(l) = 6V come indicato nella figura 22.15.

v(1) =6V

Vq = 10\1"T

Figura 22.15

ottiene

VR(1) = RR° [vq —v(1)} 1,78V

eq

osservi che VR(1 ) VR(1 ). r t - cc si ha inoltre vR(oo) = 0 e la costante di tempo vale sempre r = 0,9 s. In nitiva per 1 < t < 2 si ha:

VR(t) = 1,78 e-('-')/0,9, V,s (22.2

;i che ii valore VR(OO) = 0 non viene raggiunto perché l'interruttore T commuta appena un secondo, a fronte di una costante di tempo r = 0,9 s.


t> 2 (interruttore aperto)

In condizioni di regime si ha vR(oo) = 0, mentre VR(2+) si ottiene sostituendo I condensatore con un generatore di tensione di valore pari a V(2+) = vc(2j = 8,68 V..

vc(2)=88V

v 1 =6V --

R = 1, 6kQ VR(2)

Figura 22.16

Con riferimento al circuito della figura 22.16 si ottiene:

R vR(2 F )= [v q vc(2)] =-1,07V R + eq

Si osservi che ii valore di vR(2 ) e ricavato dall'equazione (22.2) ponendo t = 2, os vR(21 = 0,59 VR(2).

In definitiva per t> 2 si ha:

VR(t) =_1,07e_(t_2) (223

La forma d'onda di VR(t) è riportata nella figura 22.17. Si osservi che v j (t) è discon-tinua negli istanti in cui l'interruttore commuta.

VR,V

1,78- 1 H

0,59- 0 N

—1 —1,07

Figura 22.17

Esercizio 7.6 Al1'istante t = 0 ii circuito e in condizioni di regime in quanto per ipotesi si ri estinto ogni transitorio. Pertanto, l'induttore si comporta come un corto circuito ( VL(0) = 0) e la corrente in esso e

22 - Red RC e RL di ordine uno 18

VE =1.2A R1+R3

CiO consente di determinare la condizione iniziale i(0) = 40) = 1,2 A e ii valore della tensione v(0)

v(0) = R3i(0) = 12V

mentre le condizioni iniziali v(O+) e vL(O+2, calcolate sostituendo l'induttore L con un generatore di corrente di valore pan a i(O ) = 1,2 A, sono

v(0) = Ri(0) = 6V

VL(0 ) = VE - Rii(0) - Ri(0) = 6V

P1. R2R3 m vendo dicato con R = 5 ft R2+ -t3

hiuso l'interruttore ed estinto ii transitorio, le grandezze richieste a regime (per cui induttore ê un corto circuito) sono:

VL(OO) = 0

v(oo) R+R1VE =8V

VE R+R1 =1,6A

la costante di tempo del circuito è:

L L =3,3ms

Req R+R1

d'onda corrispondenti sono riportate nella figura 22.18. ii transitorio l'interruttore si riapre ad un generico istante indicato con to. lisi precedente si ricava:

i(t) - i(ç)=1,6A

v(t) = 8V

v(t) R3i(t)=16V

VL(t0) = 0

VL(t) = VE—Rli(t)—R3i(t)=-8V


VE -

= 1,2A z(oo) R1+R3

v(oo) = R3

vL(oo) = 0

L L

== R + R3 = 2,5ms. Req

Le forme d'onda corrispondenti sono riportate nella figura 22.18.

v

1-6

12

iEiiiiiiiii . Tj

6 i=3,3ms 4 2=2,5ms

lt

i,A

VLV

Figura 22.18

22 - Reti RC e RL di ordine uno 7S

rcizio 7.7 inzionamento del circuito e regolato dalla seguente equazione differenziale, ottenuta 'equazione (7.2) ponendo G q L = T e ieq (t) = Geqveq(t).

diL(t) — iL(t) + veq(t) (22.4) dt — T L

al circuito della figura E-7.7 risulta:

R2 = Ve (t)

veq(t) R1 +R2

Req = R3 + R1R2 = 1 k1 Geq R1+R2

r = L/Req = 1 iis

Nell'intervallo 0 < t <t1 , ii generatore fornisce una tensione che cresce linearmente nel tempo:

—

R2 - H2 E ve(t) —t = ht = 106t,(V,$)

vcq(t) R1 + R2 R1 + R2 t1

endo nota la condizione iniziale iL(0), la soluzione dell'equazione (22.4) per 0 < t < ti essere scritta nella seguente forma

t ZL(t) = iL(0) e_ttr + f

e_(t_t')/T veq(t') dt' = iL(0) e_tIT + f

e_(t_t')/T L Tdt

e ricordando che f e dx = eax - 1/a2 ), si ottiene:

L(t) = (i + e 1 +t — ---r (22.5) R (J eq

t > ti la tensione del generatore e costante e uguale a zero. Si puo usare la ica utilizzata per i circuiti di ordine uno con generatori costanti. La corrente iverso l'induttore tende a zero per t —+ co e ii valore iniziale si calcola valutando iazione (22.5) all'istante t1. L'espressione della corrente iL(t) risulta essere

ZL(t) = {iL(tfl - iL(OO)] e_(t_t1)IT +L(OO) = iL(t) e_(t_t1)/T

Ido iL(oO) = 0 e iL(tt) = iL(tfl = (i + _T) e_tl/T +—!— h 1 - -T. eq Req Req

ituendo i valori numerici si ha:

o < t < 2ps: ZL(t) = 2 e_t +t — 1, mA,ps t > 21is: ZL(t) = 1,27e- (t-2) , mA,jis


1.5

iL(t),mA

"0 I 2 3 4 5 6 t,j.ts

Figura 22.19

L'andamento di Wt) è riportato nella figura 22.19.

Esercizio 7.8 Facendo riferimento all'equazione (7.2), ii funzionamento del circuito e regolato d seguente equazione differenziale:

diL(t) ZL(t) + v3(t) dt - LG L

dove si e posto iL(t) = i(t), T = L = 4 m e v. (t) = 150sen(500t)V,s. La soluzione di questa equazione differenziale per t > 0 risulta essere:

ZL(t) = Ke_tiT + f e_(t_t')/T v3(t') dt'

Risolvendo l'integrale e ricordando che f e" sen x dx a+ (a sen x - cos x),

ottiene ZL(t) = 1,2 e_250t+1,34 sen (500t_ 1)11) A

dove la costante K e stata determinata imponendo che iL(0+) = iL(0) = 0 in quantc l'interruttore e aperto all'istante t = 0— e la differenza a sen x—cos x e stata trasformata in un'unica funzione sinusoidale con fase non nulla. La risposta in transitorio e rappresentata dal termine

1,2 e_250t, A, s

mentre la risposta forzata è

1,34 sen (500t - 1,11), A,s

Capitolo 23

ntroduzione dII'uso della trasformata di Laplace

Eiercizio 8.1 do riferimento alle funzioni diagrammate nella figura E-8.1 e tenendo conto del

- erimento, Si ottiene:

ura E-8.1a: la funzione f(t) puO essere pensata come somma di una rampa unitaria - - e di una rarnpa unitaria negativa, traslata in 1: r(t - 1), cui si sottrae un gradino

- io traslato in 1: 'u(t - 1), come indicato nella figura 23.1. Usando le trasformate entari riportate nella tabella 8.1 si ottiene:

1 e-s e-s F(s)=—--------- .9 .9 S

f(t) _________

L:.i.

Figura 23.1

191

192 23 - Introduzi one all'uso della trasformata di Laplace

figura E-8.1b: la funzione f(t) PUO essere pensata come differenza tra un gradino tario u(t) e un gradino unitario traslato in T: u(t - T), come indicato nella figura Usando le trasformate elementari riportate nella tabella 8.1 si ottiene: Id

1 e—Ts F(s)=--

8 S

f(t) U(t)

u(t T)

A

4

Figura 23.2

figura E-8.1c: la funzione f(t) pub essere pensata come differenza tra un gradi ampiezza 2: 2u(t) e una rampa di pendenza 2: 2r(t), cui viene sommata una rai di pendenza 2, traslata in 1: 2r(t - 1), come indicato nella figura 23.3. Usan& trasformate elementari riportate nella tabella 8.1 si ottiene:

2 2 e—s F(s)=---H-2---82

figura E-8.1d: la funzione f(t) e una rampa con pendenza 2. Usando le elementari riportate nella tabella 8.1 si ottiene:

figura E-8.le: la funzione 1(t) pub essere ottenuta come nel caso della figura 8.1a, traslando ii gradino unitario in 4, anziché in 1. Usando le trasformate e1eme riportate nella tabella 8.1 si ottiene: -

1 e—s e-4s F(s)=—-------

8 8 S

23 Introduziorie all'uso della trasformata di Laplace

t

2u(t) —2r(t) 2r(t - 1)

Figura 23.3

rcizio 8.2 Seguendo ii suggerimento, si spezzi la funzione data in fratti semplici:

F(s) — 6(s+2)

— (s + 1)(s + 3)(s + 4) - s+1 s+3 s+4

calcolino le costanti A1, A2, A3:

_ s(s+2) 1 = A1 - F(s)(s+1)I (s+3)(s+4)I_

I A2 = F(s)(s + 3)1=_

s(s+2) =3

= (s + 1)(s +T) s=-3

s(s+2) = F(s)(s + 4)I_4 = (s + 1)(s + 3)

da cui: F(s) = 1 3

+ - 4 s+1 s+3 s+4

Ricorrendo alla tabella 8.1 si ottiene l'antitrasformata cercata:

f(t) =.C'[F(s)] = e_t+3e_3t_4e_4t, t>O

2) Operando come nell'esercizio precedente, si spezzi la funzione assegnata i semplici:

82+12 A0 A A2

I F(s)= =—+---+--- s(s+2)(s+3) s 8+2 s+3

194 23 - Introduzione all'uso della trasforinata di Laplace

Si calcolino le costanti A0, A1, A2:

52 +12

A0 = F(s)s18_0 =

=2 (s + 2)(s +3)

A1 = F(s)(s + 2)I$=_2 =

82+12 =-8

s(s + 3) s=-2

A2 = F(s)(s + 3)I=_3 = 2 +12

= 7 s(s + 2) Is=_3

da cui: F(s) = 2 - - 8 - + 7

s s+2 s+3

Ricorrendo alla tabella 8.1 si ottiene l'antitrasformata cercata:

f(t) = £[F(s)] = 2u(t) - 8e_2t +7e —31 , t > 0

3) Si scomponga la funzione assegnata in fratti semplici. t presente una coppia ik

poli immaginari coniugati: se non si vuole passare nel campo complesso è necessaiio introdurre un fratto di ordine 2:

—2 +9s2 -2s+12 A0 A1 B1s+B0 F(s) = = - + + (23.1)

s(s +1)(s2 +4) $ s+1 s2 +4

Si calcolino le costauti A0, A1, B1 e B0 :

—2s+9s2-2s+i2 =3 A0 = F(s)s18_0 = (s + 1)(s2 +4) 8=0

—2s3+9s2-2s+121 5 A1 = F(s)(s + 1)I=_ (2 +4)

Per calcolare B1 e B0 si potrebbe ricorrere al principio di identità del polinomi, sri-luppando arnbo i membri dell'uguaglianza 23.1 precedente e uguagliando i coefficienti delle potenze di uguale grado. Si preferisce seguire un'altra via che, pur non essende sempre usabile, ha ii pregio della semplicità. Si consideri la funzione sF(s) e si faccia ii limite per 5 - 00:

( As B1s2 +Bos'\ urn sF(s) = urn A0 + - + 2

) s.-+oo 6--+00 S + 1 s +

Valutando i limiti si ottiene:

—2=A0+A1+B1, dacui: ]31 =-2—A0 —A 1 =0

23 - Introduzione all'uso della trasformata di Laplace 19

Per calcolare B0, Si pUO calcolare ambo i membri dell'equazione 23.1 per uno stesso a1ore di s, che non sia un polo di F(s). Si scelga un valore "comodo": s = 1.

IF(s)I_1 = + + B1s + Bo l 17 A1 B1 + B0

S s+1 s2 +4 ] .dacui: =A0++

S:stituendo i valori di A0, A1 e B0 già calcolati, si ottiene B1 = 6. Riassumendo, la :.imposizione effettuata è la seguente:

2s3 +9s2 _2s +12 3 5 3 x 2 F(s)= - 8( +4) ___ + 2 + 228 8+1

alla tabella 8.1 si ottiene l'antitrasformata cercata:

f(t) = L'[F(s)] = 3n(t) - 5 e_t+3sen 2t, t >0

Si scomponga la funzione assegnata in fratti semplici. E presente una coppia di i complessi coniugati: se non si vuole passare nel campo complesso è necessario odurre un fratto di ordine 2:

F(s) = ______ 10

= A1 _______

(8+1)(s2+4s+13) B1s+B0

s+4s+i3 (23.2)

'

calcolino le costanti A1, B1 e B0:

10 A1 = F(s)(s + 1)__ =2 13__ = 1

consideri la funzione sF(s) e ne calcoli ii limite per s - Do:

sF(s) = urn(limAis + B1s2 + B0s \

s-+oo s—*oo S + 1 2 +4s+13)

utando ii lirnite di ciascun membro dell'uguaglianza precedente si ottiene:

0=A1+B1, dacui: B1 =— A1 =-1

calcolare B0, si possono calcolare ambo i membri dell'equazione 23.2 per uno stesso re di s, che non sia un polo di F(s). E conveniente scegliere un valore "comod&': 0.

Is A1 B1s-j-Bo 1 10 B0

F(s)3_0= +32+48+13]S=O ,dacui:

ituendo ii valore di A1 già calcolato, si ottiene B0 = —3. Riassumendo, la

196 23 - Introduzione all'uso della trasformata di Laplace

scomposizione effettuata è la seguente:

10 1 s+3 (8+1)(82 +4s+13) = +l - 82 +45+13

Per antitrasformare ii secondo fratto sfruttando la tabella 8.1 è opportuno scrivere fratto nel modo indicato nel seguito, in modo da far comparire fratti identificabili a le coppie di trasformate indicate nelle ultime due righe della tabella 8.1.

1 s+3 1 s+3 F(s) = 3+1 - 2 +4,s+ 13 = - (s+ 2)2 +3 2 =

1 s+2 1 1 s+2 1 3 s+1 (s+2)2+32+(s+2)2+32 s+1(s+2)2+323(s+2)—

Ora tutti i fratti sono agevolmente riconoscibili in quelli indicati nella tabella 8.1 - puO ottenere l'antitrasformata cercata:

f(t) = F--'[F(s)] = e_t - e_2t 1cos 3t + sen3t] , t> o

La soluzione puo avere una forma alternativa ponendo cos 3t+ sen 3t = A(cos 3t -

Poiché A(cos 3t + 4)) = A cos 3t cos 4) - A sen 3t sen. 4), deve essere

fAcoscb = 1 A sen 4) = —1/3

da cui: A -\/-I 1/9 /1i/3, 4) = arctan(-1/3) = —180,43 = —180 ,43rad. ISO La soluzione puO quindi essere messa nella forma:

f(t) = £'[F(s)] = e_t - ,302t cos 3t - i8°.43) , t > o

5) Questo esercizio ê del tutto simile al precedente. Si riportano solo i pas fondamentali e ii risultato. Si scomponga la funzione assegnata in fratti semplici:

F(s) - 20 - A1 Bis+Bo - 2 2s+10 - - (s+3)(s2+8s+25) - +3 + S2 +8s+25 s+3 - +8s+25 -

2 2s+10 2 [ s+4 1 s+3 - (s+4)2 +32 = s+3 —2 L(s +4)2_+32 + (s+4)2 + 3 2

23 - Introduzione all'uso della trasformata di Laplace

trasformando:

At) = L[F(s)] = 2e_St - e_4t [2cos3t+ sen3t]

2 e_3t — /i e_4t cos (3t — j180,43) , t> o10

Si scomponga la funzione assegnata in fratti semplici. E presente un polo reai pio e quindi ê necessario introdurre un fratto di ordine 2:

F(s)= 1082 +4 A0 A1 B() B1

—----------- s(s+l)(s+2)2

= + + + s s+i s+2 ( 9 +2)2

A1 e B1 Si possono calcolare immediatamente:

1052+4

I A0 = F(s)s13_0 = ______________ =

(s + 1)(s + 2)2 s=0

1082 +4 A1 = F(s)(s + 1)1 s(s + 2)2 L_1 —14

= B1 = F(s)(s + 2)21s2 = 1082+4

22s(s + 1) s=-2

calcolare B0 si PUO ancora considerare la funzione sF(s) e fare ii limite per s — c:

= urn A0 + s+1 8+2 (s+2 )2 ) (

A js B0s B1s +—+

8-400 .5-+00

utando 1 limiti si ottiene:

0=A0 +A1+B0, dacui: Bi=—A0—Ai=13

la sconiposizione effettuata e la seguente:

1082 +4 1 14 13 22

F(s)= =-----+---+ s(s+1)(s+2) s s+1 s+2 (s+2)

orrendo alla tabella 8.1 si ottiene l'antitrasforrnata cercata:

f(t) = L 1 [F(s)] = u(t) — 14 e_t +13 e_21 + 22t e_2t, t > 0

Thpftollo 24

'.ietodi genera d - drcuiti dinrnd

rcizio 9.1 :orda che l'impedenza del bipolo puo essere calcolata usando le stesse regole enun-e nel caso di circuiti resistivi, sostituendo le resistenze dei resistori con le impedenze

- bipoli che costituiscono ii circuito in esame. Facendo riferimento al bipolo della figura E-9.1 risulta che L3 e R4 sono in serie e

collegati in parallelo a C2, ii tutto in serie a L,. Di conseguenza:

Z(s) = sL1 + 1

= sL, + 2 sL3+R4

1 s C2L3 + sC2R4 + 1 S 2+L+p

Thnsiderando ii bipolo della figura E-9.2, ii trasformatore ideale presenta al suo sso una resistenza Re = (mj/n2)2R. Questa resistenza Re 6 in parallelo a L' ed

wto e in serie a Lvi. Di conseguenza:

0.1 Z(s) = sLcl

+ sL'(ni/n2)2R sL'(n1/n2)2 + R

el caso del bipolo della flgura E-9.3, ê opportuno richiamare le equazioni di Honamento del trasformatore puramente induttivo:

V1 = sL1I1+sMI2 V2 = sMI1 + sL2I2

edenza Z impone un vincolo tra V2 e 12: V2 = —Z,,I2 e quindi, dalla seconda recedenti equazioni si ottiene:

- sL2I2 = sMI,,da Cu' 12

199

01


Sostituendo nella prima equazione:

s2M2I1 Vi = .sL 11 -.______

Z, + sL

L'impedenza cercata ê 22

Z(s)= =sL1 - Z+sL2 11

Nel caso del bipolo della figura E-9.4, e opportuno sostituire ii trasformatore mente induttivo con ii suo circuito equivalente a T (per dettagli si veda ii capitolo doppi bipoli dinamici e l'esercizio 14.5 a pagina 110). Il bipolo diventa quello rip nella figura 24.1. In questo caso è ancora possibile calcolare l'impedenza comp]

111 0,6 H -0,24 H

024 H 16Q

z 2Za

Figura 24.1 BpoIo con ii trasformatore sostituito dal suo equivaiente a T

mediante serie e/o paralleli di impedenze elementari. L'induttore da —0,24H serie la resistenza da 0,1611 fornisce un'impedenza Z1 (s) = 0,16 - 0,24s. A sua Z1 ê in parallelo al bipolo formato dalla serie dell'induttore da 0,4 H e ii conden da 0,625F. Complessivamente si ottiene l'impedenza

7_ (Q

) - (016 - 0,24s) + (0,4s + 0,625) -

2 + s + 10

(0,16 - 0,24s)(0,4s + 1

0,625)

-O,6$ + 0,482 -2.4s+ 1,6

L'impedenza finale si ottiene aggiungendo in serie a Z,, ii bipolo formato dalla delle resistenza da 111 e dell'induttore da 0,611:

Z(s) = 1 + 0,6s + Z,,() = 1 + 0,6s + -0,6s + 0,482- 2,4s +1,6

= 282 +4.6,9—

s2 +s+10

Esercizio 9.2 Quando, come in queSto caso, non è possibile ricondurre ii calcolo dell'imi bipolo a una successione di connessioni serie/parallelo, occorre rifarsi alla d impedenza (si veda la figura 9.1 a pagina'64): si alimenta ii circuito con un (di tensione o di corrente) e poi si valuta ii rapporto tra la trasformata delle

24 - Metodi generali di analisi - circuiti dinamici 201

setti e la trasformata della corrente entrante, ottenendo cosi Z(s) = V(s)/I(s). In to problema, volendo usare ii metodo dei nodi, e conveniente alimentare ii circuito un generatore ideale di tensione Ve, riducendo cosi ii numero di equazioni necessarie analizzare ii circuito (figura 24.2). Poiché la corrente entrante nei morsetti + dei amplificatori operazionali è nulla, la corrente I sara:

I- R

E quindi necessario calcolare la sola tensione Vu. Usando la regola riportata a pagina 33

V11

Figura 24.2

corre scrivere le KCL ai soli nodi 1 e 2 indicati nella figura 24.2. Inoltre si osservi e, per i vincoli imposti dagli amplificatori operazionali, le tensioni dei nodi 1 e 2 ispetto al nodo di riferimento 0) sono entrambe uguali a V6. Indicando con V' la !nsione al nodo terminale d'uscita del primo amplificatore operazionale, si ottengono seguenti due equazioni ai nodi prescelti:

V6G1+ (Ve V')G1 = 0 (Ve - V')G2 + (l7 - V)sC = 0

vendo si ha Vu - sC—G2

sG V

e quindi:

V6 = R R Rve Ve c-c2 1SC—G2 =sCRR2 I VeVu

V6 V6 c sC s

L bipolo è quindi equivalente ad un'induttanza di valore:

Leq = CRR2

202 - 24 - Metodi generali di analisi - circ:uiti dinamici

Esercizio 9.3 II circuito usato per l'analisi nel dominio della frequenza e rappresentato nella figu-ra 24.3, ove compare ii generatore Vco/s per tener conto della tensione iniziale sul condensatore. Usando la legge di Ohm si ottiene:

VCO/S Vo 1 1 con w0 —

sL + 1/sC L s2 + w' VLC

V(,-VCO - = V 2

= - ____

S sC s+w

Inoltre e VL(S) =

VC

±rH(k7—p~

Figura 24.3 Circuito trasformato per 'analisi del risonatore serie ideale

La risposta nel dominio del tempo si ottiene calcolando le antitrasformate delle funzioni trovate in precedenza, usando la tabella 9.3:

V0 z(t) = —senw0t

woL

VC (t) = —VL(t) = V0 cosw0t

L'energia E0 immagazzinata nel circuito prima della chiusura del tasto S coincide con quella immagazzinata nel condensatore (la corrente i(t) e nulla e quindi è nulla l'energia immagazzinata nell'induttore) :

E0 = -CV C20

Alla chiusura di S le espressioni delle energie istantanee immagazzinate nel condensa-tore e nell'induttore sono:

E(t) = Cvc(t)2 = 'CIV2 cos2 w0t - E0

(1 + cos2wot) 2

2 - 1 Vc0 EL (t) Li(t) - sen 2wot = (1 - cos 2w0t)

L'energia totale ê: E(t) = E(t) + EL(t) = E0. Essa risulta costante ed uguale all'e-nergia iniziale, com'era da aspettarsi, essendo 11 circuito privo di elementi dissipativi.

24 - ivletodi generali di analisi - circuiti dinamici 203

L.arcizio 9.4 - uito usato per 1'analisi nel dominio della frequenza è rappresentato nella figu-

.4, ove compare ii generatore V0/s per tener conto della tensione iniziale sul -i - nsatore. Tisando la legge di Ohm si ottiene:

V 0/s Vo 1 1 w0 L

S sL + R8 + 1/sC = L 2 + + w

= e Q = -h---

V0 I VC(8) -- Vo

s sC 2 C7() 2 S +5+()

- :sposta nel dominio del tempo si ottiene calcolando le antitrasformate delle funzioni

+ VC - V

c Co

Figura 24.4 Circuito trasformato per I'analisi del risoiiatore serie reale

e in precedenza, usando la tabella 9.3 e tenendo conto che, nell'ipotesi fatta di 0L i . = -a-- > 1/2, poll di I(s) e Vs(s) sono complessi coniugati e valgono:

w0 ./4Q2 -1 Sl,2 —±J2Q

0

poter usare la tabella 9.3 è opportuno riscrivere I(s) e V() nella forma seguente:

\/4Q2 _1 2 2Q

W()

R.9 4(22 - 1 / W 2 (4Q2 - 1 2

• S+) 2Q

W

Cc)0 C.)O

TI\ TI 2Q 2Q VC(s) = VJ

( \2

• S+) 2Q WO)


=vJ

wo s+____

2 / W'\ (4Q2_1 \2

(\\S+) 2Q

WQ)

WO

2Q

2 (v/Q21 \ / w0\ _______ s~)

2Q WO)

Finalmente dalla tabella 9.3 Si posSOnci ottenere le antitrasformate cercate:

t 4 V0 2 — e 2Q sen

Q2 - 1 w0t z(t)

= R/4Q2_1 2Q

V( ()-

() e senw0t, per Q>> 1

QRS

WO- 1 1 - 1

1

V(t) = Vø e2Q 2Q

0 4Q2 - 1 2Q WOj = wt + sen

WO (v/4Q2 _1 1

= 2Q Vcoe 2Q ______

4Q2 - 1 2Q

wot - arctan 4Q2

- I)

WO t

VC0e 2Q cosw0t, per Q>> 1

Usando le espressioni approssimate del caso Q>> 1, le espressioni dell'energia i tanea immagazzinata nel condensatore, nell'induttore e nell'intero circuito diverj

E ; (t) eQ(i + cos2wüt)

EL (t) eQ(i - cos2wot)

U0

E(t) = E(t) + EL(t) 2

ove E0 =CV020 è l'energia iniziale immagazzinata nel circuito prima dell

del tasto S, coincidente con quella immagazzinata nel condensatore. A differenza del risonatore ideale, l'energia totale immagazzinata nel

estingue con legge esponenziale, per effetto della presenza del resistore, con d( logaritmico wo/Q, tanto minore quanto piU e elevato ii Q del risonatore.

Per quanto riguarda ii numero di oscillazioni complete di i(t), 6 opportuno


questa forma:

v'4Q2 - i(t) = A(t)sen 2Q w

ot

A(t) = 2 — e 2Q

Rs \/ 2 _1

piezza dell'oscillazione, variabile nel tempo, il cui valore iniziale (cioè per t = 0)

10 = A(0) - Vc02 R8 /4Q2 - 1

tante t1 in cui l'ampiezza A(t) si riduce a e volte il suo valore iniziale ê determi- o dalla seguente equazione:

C4.1O I0e 2Q =I0 e

vale t1 = ir. wo

oscillazione completa richiede un tempo T uguale al periodo della sinusoide:

2ir

T

/4Q2 -1

2Q WO

lero di oscillazioni complete è quindi dato da

2Q

n=ti/T=WO

\/4Q2 -1

2Q 0

4Q2_1Q per Q>>i

rcizio 9.5 metodo simbolico richiede di conoscere i valori iniziali all'istante 0 della tensione capi del condensatore e della corrente attraverso l'induttore. Essendo il circuito unentato da un generatore costante e a regime prima della chiusura di T, all'istante il condensatore è equivalente ad un circuito aperto e l'induttore ad un corto-circuito.

i corrente iniziale attraverso l'induttore puO essere calcolata mediante un partitore corrente:

R1 Jo = iL(O—)I +R2

206 24 Metodi gencrali di analisi - circuiti dinarnici

mentre, per ii condensatore:

VO V(, (0 = R910 = 'R+R

Ii circuito usato per l'analisi nel dominio della frequenza è rappresentato nella ra 24.5, ove compaiono i generatori Vo/s e LI0 per tener conto dei valori iniziali app calcolati. Ii resistore R1 non compare piU, poiché, dopo la chiusura di T, viene a varsi in parallelo ad un corto circuito. La tensione del nodo 1 coincide con la tensi VC richiesta. Usando ii teorema di Millman (oppure ii metodo dei nodi, scrivendo

V

L C

I['

i s

Figura 24.5

KCL al nodo 1), Si ottiene:

LI0 V 0

VC (S) s L10+V0LCs

= = =V0 + c 2 + .c s2LC + sLG2 +1 S

sL +RC+L

Per semplicità di notazione si ponga

1 - 1 VOCR2C

I poli della funzione sono:

1 51,2

2R2C R2 C2 LC

Nell'ipotesi L/R2 <4R2C, i poli sono complessi coniugati e possono essere scrit forma seguente:

S1,2_2RC±if_4R2C2 'Jo


k=2c rLC

le notazioni introdotte, l'espressione di VC diventa:

s+h V(s)=Vø

(s +

del cakolo dell'antitrasformata, VC puo essere riscritta nel modo seguente:

s+k+h - k F s+k h - k w 0 1 Vc( s) =Vo(k)2 L(s+k )2 +w wO w+ (s+k)2+]

la tabella 9.3 si ottiene la risposta nel dominio del tempo:

VC (t) = V0 e- [

h-k 1 = +

-

kY()

cosw0t+ senwoti V0 W W j

I _ = arctan W0

h - k

ercizio 9.6 i primo passo consiste nel calcolo dci valori iniziali. Essendo ii circuito alimentato da in generatore costante e a regime prima della chiusura di S, aIl'istante O l'induttore e equivalente ad un corto-circuito. La corrente iniziale attraverso l'induttore puo essere calcolata ricorrendo aMa legge di Ohm: Io = iL(0 ) = Vo/(2R). La tensione iniziale sul condensatore è nulla.

II circuito usato per l'analisi nel dominio della frequenza e rappresentato nella Igura 24.6, ove compare ii generatore LV0/(2R) che tiene conto del valore iniziale appena calcolato. Si noti che, tra i due possibili circuiti equivalenti per un induttore con corrente iniziale non nulla, è stato scelto ii modello serie in vista del successivo uso

ir teorema di Millman. La corrente IR cercata puô essere valutata quando sia nota la tensione E1 del nodo

V0 --E1

IR(S) S R

Isando ii teorema di Millman (oppure ii metodo dci nodi, scrivendo una KCL al nodo

208 24 - Metodi generali di analisi - circuiti dinarnici

rR

C

0

Figura 24.6

1), si ottiene (prima in forma letterale e poi sostituendo 1 valori numerici):

LV0

__ 1 1

El (s) s R+sL 8 1+2s

+sC 1+ +s

1+s = = 1 1 s(2s2 +3s+2) —

R+sL 2s

Ora si puo calcolare Ij:

V0

1 1-Fs 82 + 8 +0,5 IR(8)

= R s - s(232 +3s+2) 5(82 + 1,5s + 1)

I poli della funzione sono complessi coniugati e valgono:

3.'/ 81,2 = ±J

Per antitrasformare spezzo la funzione in fratti semplici:

s2 +s+O,5 A0 B1s+B0 IR(8)= =—+ 8(8 2 +1,53 +1) S 52 +1,55 +1

Calcolo A0: A0 = SIR(S)16 0 = 0,5

24 - Metodi generali dianalisi - circuiti dinamici 209

-: calcolo di B1 moltiplico IR(s) per s e considero ii limite per s —* 00:

2 + s + 0,5 urn SIR= urn s-+oos2 +1,5s+1

:.piendo la stessa operazione sulla funzione spezzata in fratti ottengo:

urn S [A0 + B1s+Bo 1

8400 L S 82+1,55+1] =A0+B1

-L confronto ne segue the A0 + B1 = 1 e quindi B1 = 1 — A0 = 0,5. i il calcolo di B0 calcolo ambo i rnernbri dell'equazione 24.1 per uno stesso valore di hhpd esempio s = 1

92±3+05 A0 I Bis+B0 2 + 15s+ 1) s—I - s 8=1

+ s2 +

s(s 1,5s+ 1

-,--Ii si ha: 5 + B0

5/7=1/2+ 07

dacui Bo=1/4 7/2

in definitiva, 'R viene scomposta nel modo seguente:

- 92 +8+0,5 - 0,5 075s+1/4 — s(s2 + 1,5s +1) — $ + s2 + 1,5s + 1

poter sfruttare la tabella 9.3, ii secondo fratto viene modificato, sfruttando la scenza del poli, nel modo seguente:

0,5s+1/4 s+1/2 s+3/4-1/4 + 1,58 + 1

0, 5 + 3/4)2 +

(\[)2 = 0,5

(s + 3/4)2 + (c)

05 s+3/4 1 p7/4 1 ("/7-)2 -

(3/4)2 (V/7)-)j

:a si PUO scrivere l'antitrasformata finale:

l - ZR(t) = + e— (3/4)t 1 se LcosT _ n V __], I > 0; (A, s) 2 2

210 24 - Metodi generali di analisi - circuiti d.inamici

Esercizio 9.7 1 Seguendo quanto illustrato dettagliatamente negli esercizi precedenti, si elencano in modo schematico i vari passi da compiere per effettuare 11'analisi in transitorio circuito, usando ii metodo simbolico.

Calcolo dei valori iniziali

II circuito e alimentato da un generatore costante ed ê a regime prima dell'apertura T: all'istante 0- gli induttori sono equivalenti a del corto-circuito. La corrente iniz attraverso l'induttore in senie a R2 puO essere calcolata ricorrendo alla legge di Oh Io = i(0) = V0/R2. La corrente iniziale attraverso l'induttore in senie a R1 e n causa della presenza del corto circuito dovuto al tasto T chiuso.

Circuito trasformato

Ii circuito usato per l'analisi nel dominio della frequenza è rappresentato nella ra 24.7, ove compare ii generatore LV0/R2 che tiene conto del valore iniziale a na calcolato. Si noti che, tra I due possibili circuiti equivalenti per un induttore corrente iniziale non nulla, è stato scelto ii modello serie che rende l'analisi pin semp

Calcolo delta variabile nel dominio della frequenza

La corrente I cercata puO essere valutata usando la legge di Ohm nell'unica presente nella figura:

V0 LV _____Vo s+R2/L R+2sL I (R

S L$+

con R = R1 + R2.

L R=R+R

n L

Figura 24.7 Circufto trasformato per 11 calcolo deHa corrente 1(3)

Calcolo deli 'antitrasforma ta

Spezzo la funzione in fratti semplici e antitrasformo I singoli fratti:

V0 s+R2/L A0 A1

I (R\] (R 2L 2L

24 - Metodi generali di analisi - circuiti dinarnici 211

Icolo A0 e A1 : A0 = sI(s)18=o = V0/R

R V0R1—R2 A1 = (s + --)I(8)I_1 /(2L)

2L IL hfl

lie tabelle di trasformate elementari si ottiene:

vo i(t) =I + R1 —R2 e_t], t > 0; (A, s)

R 2R2

Osservazioni

> E interessante osservare che, in questo esempio, le correnti attraverso i due induttori hanno una discontinuià all'istante t = 0. CiO è dovuto al fatto che, all'apertura di T, nasce un nodo in cui convergono solo induttori.

tSi noti che questo problema in realtà coinvolge un circuito RL di ordine 1, poiché, all'apertura di T, i due induttori si trovano in serie e sono quindi equivalenti ad un unico induttore di induttanza 2L. Di conseguenza l'analisi puO anche essere effettuata usando i semplici metodi illustrati nel Capitolo 7. Tuttavia, in questo caso, occorrerebbe determinare ii valore della corrente i all'istante t = 0+, ii che implica ii ricorso ad un ragionamento che fa uso della conservazione del flusso passando da t = 0 a t = 0+. Al contrario, usando la trasformata di Laplace, è necessario conoscere ii valore iniziale calcolato all'istante t = 0, che puO essere determinato analizzando una semplice rete resistiva.

Esercizio 9.8 elencano in modo schematico i vari passi da compiere per effettuare l'analisi in

-nsitonio del circuito, usando ii metodo simbolico. :alcolo del valori iniziali

:i circuito e alimentato da un generatore costante ed è a regime prima della chiusura T: all'istante 0 i condensatori sono equivalenti a dei circuiti aperti. Le tensioni

nziali ai capi di C1 e C2 possono essere calcolate ricorrendo ad un partitore di corrente poi alla legge di Ohm:

I R + R1+ R2 R1 =5 V

V20=v(0)= R+Rl+R2R25V

ircuito trasformato

hL circuito usato per l'analisi nel dominio della frequenza è rappresentato nella figu-24.8, ove compaiono i generatori C1 V10 e G2V20 che tengono conto dei valori iniziali pena calcolati. Tra i due possibili circuiti equivalenti per un condensatore con tensio-niziale non nulla, 6 stato scelto ii modello parallelo che rende l'analisi pit semplice.

212 24 - Metodi generali di analisi - circuiti thnamici

C1 Vio I I C2 V20

Cl R1 R2 -

Figura 24.8 Circuito trasformato per ii calcolo della tensione V(s)

Calcolo della variabile nel dominio della frequenza

La corrente V cercata puô essere valutata usando ii metodo dei nodi e scri l'equilibrio delle correnti al nodo 1. (oppure usando ii teorema di Millman):

V(sCi+sC2+Gi+G2)=C2V20—C1V10

da cui V(S)

C2V20—C1V10 - 5 5 1 (s) -

- - 3s+2 - 3s+2/3

Calcolo deII'antitrasformata

In questo caso V(s) non deve neppure essere scomposta in fratti e la soluzione dominio del tempo si ottiene immediatamente dalle tabelle di trasformate elemeni

t>O; (Vs)

Osservazioni

E interessante osservare che, in questo esempio, le tensioni ai capi dei due cond• tori hanno una discontinuià all'istante t = 0. CO ê dovuto al fatto che, all'ap di T, nasce una maglia di soli condensatori. 44 ' Si noti che anche questo problema in realtà coinvolge un circuito RC di ordin poiché, alla chiusura di T, i due condensatori si trovano in parallelo e sono qui equivaienti ad un unico condensatore di capacità C1 + C2 = 3 F. Di consegue l'analisi potrebbe anche essere effettuata usando i semplici metodi illustrati Capitolo 7. Tuttavia, in tal caso, occorrerebbe determinare ii valore delle tensi sui due condensatori all'istante t = 0+, ii che implica ii ricorso ad un ragioname che fa uso della conservazione della carica passando da t = 0 a t = Ot contrario, usando la trasformata di Laplace, è necessario conoscere i valori iniz calcolati all'istante t = 0, che possono essere determinati analizzando una semp rete resistiva.


io 9.9 k la costante moltiplicativa (reale e positiva), la condizione richiesta impone che

Vu(s) =k Vs(s)

con Z1 ii parallelo di R1 e Ci e con Z2 quello di R2 e C2, si ha:

Vu(s) -

Ve() - Zi + Z2

R1 R2 e Z2=

sC1R1+1' sC2R2+1

Vu(s) - (sC1R1 + 1)R2

Va(s) - (sC2R2 + 1)R1 + (sC1R1 + 1)R2

R1C1 - R2C2

Vu(s) R2

Vs(s) - R1 + R2

Vu(s)k' k— R2

Ve (8) R1 +R2

e richiesto. Nell'ipotesi che valga la condizione R1C1 = R2C2 = , l'impedenza del bipolo Lplessivo vale

H, + R2

ZeZ1+Z2 sr +i

Si supponga ora di alimentare ii partitore compensato con un generatore con ten-ie a vuoto V e resistenza interna R8. La tensione Ve all'entrata del partitore

R, +R2

v-v Ze - s+i -v R1+ R2vs

— Rs+ze R+RR2 SR+R+R+R sy + 1


Nel caso in cui v(t) sia un gradino unitario, si ha Ve = 1/s e quindi:

R1+R2

TRs s+ / R1+R2+R8 \ ( 1

rR8 )

Sfruttando ii fatto che ii partitore ê, per ipotesi, compensato, si ottiene la risposta ad un gradino unitario di V3 :

____ R2 R1+R2 1 =R2 V,Vu(s) R, +R2 = R1 + R2 TR, ( R + R2 + R

SS+ y8 )

1 -R8 ( R1+R2+R3'\

rR5 )

Ora non resta che spezzare la funzione in fratti semplici e arititrasformare i si fratti:

Va(s)= R2 1 A0 A1

1R9 ( R1 +R2 +Rs) S 7R1 + R2 + R8 TR.

Calcolo A0 e A1:

A0 = R1+R2+R3

( R1 +R2+R5 ) A1 = s +

R vu (s),

- R1 + R2 + R

Dalle tabelle di trasformate elementari si ottiene:

r R1+R2+R3t1 R2

v(t) = R + R2 + R [1 - e u(t)

Esercizio 9.10 Nel calcolo di una funzione di trasmissione, per definizione, sono da considerarsi in tutte le condizioni iniziali. Di conseguenza ii circuito in esame non richiede l'aggä di generatori in serie o parallelo a condensatori e/o induttori. Ii circuito usato l'analisi con ii metodo del nodi e riportato nella figura 24.9, ove ii generatore ideal tensione è stato sostituito da un generatore reale di corrente equivalente ed è indica numerazione dei nodi usati nell'analisi. Si ottiene ii seguente sistema di tre equaz nelle tre incognite E1, E2 e E3 V, con l'aggiunta dell'equazione descrittira

Rd

RL> H

CS


0

Figura 24.9 Circuito per ii caIcoo di K:(s) = Vu/Vg

dipendente:

E1(G9 -FG1) = V9G9

E2(Gs +SC8)+(E2—E3)Gd—gmV = 0 (E3 — E2)Gd + E3GL + gmV = 0

gmV = gm(Ei - E2)

o le equazioni nodali si ottiene:

r i + Gg 0 0 E1 [Vg G9 —gm Gd + G8 + g + sC3 —Gd E2 = 0 gm 9mGd GL+Gd [E3 0

(24.2)

I—gm Gd+Gs +gm+sCsI

KE31 gm —g?fl — Cd

= Vg Rq IGi+Gg 0 0 I

I —g,-,. Gd + G8 + g + SCs Gd I Ym Gd GL+Gd

:pando i determinanti si ottiene la soluzione cercata:

gmGg (3+ RSGS) vu

K, (s)= = - Is+ GG8 + GL(gm + Gd + Cs)

t (G1+G9)(Gd+GL) C8 (Gd+GL)

9.11 usato per l'analisi con ii metodo dei nodi è riportato nelia figura 24.10, ove la numerazione dei nodi usati neli'analisi. Sono sufficienti solo due equazio-indicati nella figura, con l'aggiunta del vincolo imposto dali' amplificatore


11

Fgura 24.10 Circuito per ii caIcoo di Ku(s) = V,,/V,,

operazionale:

((P2i - Ve)Gii +E1G12 +(Ei - V)sC2 +(E1 - E2)sC3 = 0 (P22 - Ei)sCs + (P22 - V)G4 = 0

I.E2 =0

Riordinando le equazioni nodali si ottiene:

[c11 + C12 + s( 2 + C) —sG21 FE1 VG11

L sC3 G4][Vu - - 0

Risolvendo si ottiene V in funzione di ye e quindi la funzione di trasmissione

Kv -

V sC3G11 V - sC2C + sG4(C2 + C3) + (C11 + G12)G4

Eserdzo 9.12 Ii circuito usato per Panalisi con ii metodo dei nodi è riportato nella figura e indicata la numerazione dei nodi usati nell'analisi.

Figura 24.11 Circuito per ii calcoo di Ku(s) = VV./Ve


Le equazioni ai nodi vanno scritte solo ai nodi 2, 4 e 6. Tenendo conto che gli arnpli-ficatori operazionali impongono ii vincolo E2 = E4 = E6 = 0 e che E1 = V6 , le sole incognite risultano essere V, E5 ed E7. Le equazioni ai nodi, con l'aggiunta del vincolo imposto dagli amplificatori, diventano:

( (E2 Ve)Gi +(E2 Vv,)(G4+C3)+(E2E7)G2 = 0 I (E4—V)G5+(E4—Es)sC6 = 0

l(E6 - E5)G7 + (E6 - E7 )G8 = (24.4)

E2 =E4 -E6 =0

iordiriarido le equazioni Si ottiene:

G4+sC3 0. C2 V —V6 G1 C5 .sC6 0 E, = 0 0 G7G8 E7 0

Risolvendo ii sistema si ottiene V in funzione di V6 e quindi la funzione di trasmissione chiesta:

K - sG1C6G8

Vk) - - s2C3C6G8 + sG4C6G8 + G2G5G7

- tassa ora alla seconda parte del problema. Per t > 0 viene applicato un ingresso isoidale v6 (t) = VM senw1t, con condizioni iniziali nulle e nell'ipotesi di VM =

'i my, w1 = 27rfi , fi = 2500 Hz. La trasformata dell'ingresso vale:

V6(S)=VM 21 2 S +0)1

trasformata della tensione in uscita vale:

17U (s) = Ve. = VM 2 2 - G6G8 + G2G5G7] = E S2c3G6C8 +sCsC1G6G8

S +W1

- —VM sG1C6G8

+ w 2 s2C3C6G8 + sC4C6C8 + C2G5G7

- VMi S --k

S

- R1C3 2 +W 2 1 R8 - 2

+w 2 +bs +w +

C3R48 +

C3R2R5C6R7

- :mendo le resistenze in k1, le capacitä in 1iF, i tempi in ms, le frequenze in kHz Tfljfl in V, si ottiene:

k = 2,1276596V/ms, w1 = 15,707963krad/s

b = 1,743983 ms— 1 , w = 15,728112krad/s

218 - 24 - Metodi generali di analisi - circuiti dinamici *1

Con i valori assegnati dei componenti, oltre alla coppia di poli immaginari coni in ± j w1 = ± j 15.70796, krad/s, è presente una coppia di poli complessi coniugth —0 0 ± j wo = —0.8719916 ± j 15.703921, krad/s.

Scomposizione in fratti semplici

La scomposizione in fratti semplici assume la forma:

S A1s+Ao B1s+B0 Va(s) = —k 2 9 2 2 2 + 2 2 = (24

s +w1 s+bs+w s +w1 (s+o0) +w0

A A* Bis+Bo = s — jwl + s+jwl + (s+uo)2+wg

ove A* e ii complesso coniugato di A. Come si vedrà tra breve, i valori di B1 e possono essere calcolati facilmente una volta determinati A1 e A0. A loro volta, 4 A0 sono determinati abbastanza agevolmente dopo aver calcolato ii numero compi A. Iniziando da quest'ultimo si ha:

A=V(s—jw1)I= 1 = _k :2+bs +2 —0,014096613+j 0,60W~ ls=j W,

Per i calcoli successivi e piU conveniente esprimere A in forma polare:

A = pe ° = 0,609837010e 1'59391376

Si puo cosl ottenere ii primo fratto in una forma comoda per essere antitrasforma

A1s+A0 - A

A* - pe0 +

--

2pcos9s-2pw1 senO

2 +

—jWi 3+

con

s+w ' 1

A1 = 2p cos O = —0,028193225 A0 = —2pw. sen 0 = —19,153476

Ricorrendo alla tabella 9.3 Si ottiene subito la corrispondente antitrasformata:

[2p

cos

0s-2pwlsene ]

= 1,219674cos(15,707963t+ 1,593914) = 1,219674 sen(15,707963 t + 1,593914+ir

1,219674 sen(15,707963 t + 3,164710) 1,22 sen(15,71 t + ir), t > 0; (krad/s, ms

Passiamo ora al calcolo di B1 e B0. Come detto in precedenza, esso puO essere lato dalla conoscenza di A1 e A0.


Come primo passo, calcoliamo ambo i membri dell'uguaglianza 24.5 per s 0, ricor-Jando c cr +w =w:

Ao pruno membro: V(0) = 0; secondo membro : +

Bo w•1 w;

Ja cui: OF B0 = — A0- = 197 202644

Wi

Moltiplichiamo ora per $ ambo i membri dell'uguaglianza 24.5 e poi consideriamone i limiti per 8 -4 oo:

primo membro: urn sV(s) = 0; s—*oo

secondo membro: u[

rn S Ais+Ao Bis+Bo 1

2 + + (s + oo)2 + gj = A1 + B1

.5-400 •

cui: B1 = — Al = 0,028193225

endo B1 e B0 Si PUÔ ora riscrivere ii secondo fratto dell'equazione 24.1 in modo ad essere antitrasformato sfruttando la tabella 9.3:

B1s+B0B s+Bo/Bi _B+B0IB1a0_

(s+u0)2+w - B, ('S 1 (s+cro)2 +w -

B1 S + a0

+ B1 Bo/B1 - °o WO =

(s + ao )2 + w W0 (s + 070)2 + WO

Lantitrasformata è:

B1s + B0 = B1 e 1

— aOt coswot + B0/B1 - a0

senwot] = (s+o-0)2 +wo w0

= _1,22155e_0,899163t sen(15,703921t - 3,1185108) ,t > 0; (krad/s, ms, V)

umendo, risulta:

Vu = V r + tUfr _1,22155e_O,87i99163t sen(15,703921t - 3,1185108) + + 1,219674sen(15,707963t+71),t>0; (krad/s, ms, V), t>0

Yell'equazione precedente, ii termine v, rappresenta la risposta transitoria del circui-- i dovuta ai suoi modi di oscillazione propri. Essa tende a zero per t - oo. Ii termine

rappresenta la risposta forzata (detta anche permanente o a regime), dovuta alla :rèsenza del generatore sinusoidale Ve. Tale risposta ha la stessa frequenza del gene-

tore e un'arnpiezza e fase diverse. In questo caso lo sfasamento è circa uguale a r-


Alla frequenza Ii = 2500 Hz, ii rapporto K2500 tra l'ampiezza della risposta a e quella del segnale in ingresso vale:

K2500 = 1.219674/0.1 12.20

Ripetendo i calcoli, secondo la strada indicata, per una frequenza 12 = 3000 ottiene ii seguente risultato:

v(t) = V. + Vu = _0,356006 e_O,87199163t sen(15,703921t + 1.871453) +

+ 0,3554583sen(18.849556t+0.2956474+7r/2),t>0; (krad/s, ms, V),

Alla frequenza Ii = 3000 Hz, ii rapporto K3000 tra l'ampiezza della risposta a e quella del segnale in ingresso vale:

K3000 = 0,3554583/0,1 3,55

ptoIo 25

ntroduzione 2ll regm susode

Eercizio 10.1 - 1izzando definizioni e proprietà dei numeri complessi si ha:

z = 6e'6 = Gcos () + j6sen () 6 + j6 = 51962 +j3

Esercizo 10.2 :iizzando definizioni e proprietà dei numeri complessi Si ha:

=

Zz1 = arctan - 7r = 3 7r

Iz2 =

Lz2 = arctan(i) = IT

ercizio 10.3 - TJzzando definizioni e proprietà dei numeri complessi si ha:

a

15e'4 iO,6FjiO,6 + 2= +j2 = —0,42+j2,97+j2 = —0,42+j4,97

3—j4 3—j4

221

222 25 Introduzione al regime sinusoidale

(b)

Se- j20° 10 7.52—j2,74

(2+j)(3—j4) + —5+j12 10—j5 —(O,3+jO,71) =

= 0,71+j0,08-0,3—j0,71 =0,41—jO.63

(c) 10+ (8e 50. ) (5 - j 12) = 10+ (5,14+ j6,13)(5 - j 12) = 109,25 - j31.0

(d) 3+j4

2+ =2-0,19+jO,49= 1,81+j0,49 5—j8

4e'°° +1 . = 3194—j0169+ 2,98+jO,31 =3,94—j0,69+0,26 —j

= 4,2—j1,39

8&10 +6e_j200 7,88+j1,39+5,64—j2,05 13,52—j0,66 -05

9eJ80°_4ej500 - 1,56+j8,86-2,57—j3,06 - —1,0i+j5,8 -- '

Eserdzio 10.4 E conveniente esprimere zi e z2 in forma esponenziale:

= 2\/e'4 - 2/e °

Z2 = 2v ej(arctan(_3)) = 2/1e i 108,43°

Le proprietà delle operazioni di moltiplicazione e divisione tra due numeri corn: consentono di ottenere:

Vl = IV, I ej 01 =z1z2 =8v/'ej153,43°

02 V2 = I V21 ej _ = _e_j63,43°

Esercizio 10.5 Ricordando che ii fasore e stato definito a partire da una sinusoide espressa nella cos(.) e che cos(a + ,7r/2) = - sen (a), si ha:

(e)

(f)

25 - Introduzione al regime sinusoidale

i(t) =25COS (wt+ ) , A I= 25e3 , A

2r

) (Uj

V=15e 3 ,V

I corrispondenti fasori sono rappresentati nella figura 25.1. La loro lunghezza e lega-:a. tramite opportune scale (una per la corrente e una per la tensione, non indicate Le)-Ia figura), ai valori massimi (oppure ai valori efficaci) delle grandezze sinusoidali appresentate.

3 irn

2.5

2

1.5

0.5

Figura 25.1

Esercizio 10.6 Le sinusoidi espresse nella forma cos(.) corrispondenti a ciascuno dei seguenti fasori

a w = 1 tad/s

V1 = 60e' ° . V vi(t) = 60 COS t + , v 12

) w=40rad/s

V2 6+ j 8 = 10 ej5S,1°, v V2 (t) 10 cos (4ot + 53,10 v1800


(c) w = 377 rad/s

I1 =2,8e 3 ,A =ii(t)=28 cos (377t_)A

(d) w = 1000 rad/s

12 = —(0,5+j 12) = 1,3e_u1126°, A i2(t) =1,3cos (377_ 11260 ).

Esercizio 10.7 Per eseguire le somme (algebriche) richieste, e conveniente trasformare le sinusoi& fasori. I fasori ottenuti possono essere sommati (algebricamente) e ii risultato di z somma consente di ricavare la corrispondente grandezza sinusoidale nel dominio tempo. Nei tre casi in esame si ha:

(a) 3 cos(50t + 100) - 5 cos(50t - 30°)

Passando ai fasori

3e 0° —5e ° = 2,95+j0,52 —4,33+j2,5 = 3,32ej1140

da CU1 Si ricava

3 cos(50t + 100) - 5 cos(50t - 300) = 3,32 cos(50t + 1140)

(b) 40 sen (30t) + 30 cos(30t - ir/4) = 40 cos(30t - 71/2) + 30 cos(30t - 71/4)

Passando ai fasori

.71 .71

— J — J -

40e +30 e- =—j40+21,21—j21,21=2121—j61,21=64,78e

da CU1 Si ricava

40 sen (30t) + 30 cos(30t - ir/4) = 64,78 cos(30t - 70,9°)

(c) 2O sen lOOt+ l0 cos (lOOt+60°) + 5sen (I 00t - 20°) =

= 20cos(100t - 90°) + lOcos(lOOt + 60°) + 5cos(100t - 200 - 900)

Passando ai fasori

20e2+10e3+5eih]00 = —j20+5+j8,66+1,71+j4,7=944e -

25 Introduzione al regime •sinusoith3le

da CUi Si ricava

20 sen lOOt + 10cos(100t + 600) + 5sen (lOot —20°) = 9,44cos(100t - 44,70)

Esercizio 10.8 Si ricavarlo i fasori associati a vi(t), v2(t) e v3(t):

vi (t) = 20cos(wt + 53,130) == V1 = 20e" 0, V

= 19,68sen (wt +152,8°) = 19,68cos(wt+152,80 -900) 4==> V2 = 19,68 e j 62,8° , V

v3 (t) = 4,215cos(wt+71,610) V3 = 4,215e 71'610 , V

Xpplicando la KVL in termini di fasori alla maglia, si ha:

I V = V1 - V2 + V3 = 20e 53"3° —19,68e 62'8° +4,215e 71,610 , V

Ricavando le parti reali e immaginarie si ottiene:

VR = 12+j16— (9+j1715)+1,33+j4 =4,33+j2,5 = 5e 300 , V

cui si determina VR(t) = 5cos(wt + 300), V.

Esercizio 10.9 Limpedenza del condensatore è Zc = j Xc dove la reattanza del condensatore risulta

sere: Xc _X=__ 1 =-31783k

wC 2-n- f C

Indicando con Z1 l'impedenza del bipolo (lella figura 25.2 Si ha:

• X - j Xc R +

j Xc = j Xc

1 R+jX X

Essendo Xc/R —1 Si ottiene

Zi 1-

Pertanto l'impedenza Z del bipolo della figura E-10.2 è:

ZR jX(2—j) 1+j2 ( J l

2 .\ Zi+RRR(l_j)+jXc(2_j)_R j3 =32

)k

226 25 - Introduzione a] regime sinusoidale

Figura 25.2

Esercizio 10.10 L'iiripedenza Z del bi1)o1O e:

Z Xc+ J?(R+jXL) =j

R+R+JXL

dove

R = 1

= wL=2l

=

Sostituendo I valori numerici Si deterinina

.1 1+j2 .1 6+j2 3

8

alisi d crcuft regrne sinusoidale

;izio 11.1 ido riferimento al circuito della figura E-11.1 si sostituisce ii generatore v in con ii resistore R con ii corrispondente bipolo di tipo Norton. Si ottiene quindi cuito della figura 26.1, ove I e I. sono fasori. Dai dati del problema risulta 2e'2 =j2, A.

I

=

R

L

Figura 26.1

roducano le seguenti amrnettenze

1 1 —1

le formule del partitore di corrente in termini di ammettenze, ii fasore I della

_ - j2 2ej2,68 A

p - '1+2+3 1±j2 \/

- z(t) = cos(ct 2,68), A

227

228 26 - Analisi di circuiti in regime sinusoidale

Esercizio 11.2 Facendo riferimento al circuito della figura E-11.2, e analizzando ii circuito fasori si ha:

Vu 1 Ve_R R 1+jWRC2)e R R (wRC 1

R+ - jwC

Pertanto V - 1wRC+j Ve - 2wRC -j

Imponendo che LV - ZV = 1200 si ottiene la condizione:

Z(wRC + j) - Z(wRC - j) = 1200

da cui si ricava

arctan(-k) - arctan (wRC_-) = 2arctan (

wRC) = 1200

e quindi

= tan(600 ) =

wRC

Fissando w = 27r104, rad/s e R = 1 kQ Si ottiene

C == 9,19nF

Eserdzio 11.3 Facendo riferimento al circuito della figura E-11.3, si sostituisce ii generatore r di tensione con ii suo equivalente Norton, come indicato nella figura 26.2. Usando fasori, con ii metodo dei nodi si calcola la tensione V1 del nodo 1 (rispetto al nodo riferimento):

4

V1 V1 ____

1 1 R jwC jWC

Risolvendo la precedente equazione si ottiene

wRC V1 = 1. V,

1+jwRC+ 1+jwRC

26 Analisi di circuiti in regime sinusoidalc

229

±

vu

0

Figura 26.2

ciii si ricava

V. R±--- jwC

auto dalla relazione

va 1 - 1

V€(1+jwRC)2 +jwRC 1—(wRC)2 +j3wRC

P che la tensione V è sfasata di 900 in ritardo rispetto alla tensione Ve alla a fo = 20 kHz, se e solo se R e C soddisfano la condizione 1 - (wRC)2 = 0,

(w0RC)2 = (2i'rfoRC)2 = 1

(26.1)

iza d'entrata si ha

1

Z(jw)=R+ C 2 jwC

H +

jwC

ucendo ii rapporto (fi = 100 kHz)

Wi 2rrf

WO 2rrfo

- 1—(wRC)2 +j3wRC

- jwC(2+jwRC)

niiJizzando la condizione (26.1), si puO riscrivere Z(j w) alla frequenza fi come segue

230 26 - Analisi di circuit] in regime sinusoidale

Z(jwi) = 1— —wR2C2 + j 3woRC

WO WO - — 24+j15

j —woRG(2 + j 1 woRC) -j(2+ j5) w0R

Pertanto imponendo che ii modulo dell'impedenza valga 10 kQ si ha

= 1,051R= 104

ossia R = 9,514 kft A questo punto e possibile determinare ii valore della capaci usando l'equazione (26.1)

C — = 83674 p wO R

Esercizio 11.4 Applicando ii teorema di sovrapposizione degli effetti, ii contributo del generad costante Io risulta essere vi = RIO = 3V.

L'effetto del generatore sinusoidale i8(t) si determina analizzando ii circuito frequenza w = 27rf e utilizzando i fasori. Assumendo come riferimento la fase generatore, si ha I = 'm e V,,2 = Z I dove

Mb

Z=IZIe= lRC

Sostituendo i valori numerici si ottiene I Z= 846,73 Q e p = Z = —0,561 ra. cui si determina

Vu = V1i + Vu2 = Vzt l + IV,,21 sen(wt + o) = 3 + 1,69 sen(wt. - 0,561), (V,s,rad

Esercizio 11.5 II teorema di sovrapposizione degli effetti consente di scrivere

VU = VuIVo Q + VuvO = V1 + Vu2

Quando agisce solo v8(t) la tensione vu, ha valor medio nullo, mentre quando solo V0 la tensione Vu2 ha valore costante, per cui il valor medio di vu risulta

R2 VuVu2

11 + V03,33V

R2

Thpitolo 27

Potenze in regime sinusodale, rifasamento, adattamento energetico

Ese-cizio 12.1 - - Jo riferimento al circuito della figura 27.1, tenendo conto che si sta lavorando con

efficaci, si ottiene:

1200 1 1 200

P=1E12Re[Y]=4Re.300j=2oo23Oo2 =6,15mW

+ P El =2\ - z=200+j300c2

Figura 27.1

dzio 12.2 :aiido la formula che fornisce la potenza attiva massima che ii generatore puO

si ha

25 max 4R9

=0.010410rnW

Hzio 12.3 Jo riferimento al circuito della figura 27.2 si ha:

pC El 2 100

= lIl2Re[Zc] IZG + Zc12

= 5002 + 5002300 = 60 m_RC

231

232 27 - Poterize in regime sinusoidale, rifasamento, adattamento energetico '

E El:IIIc

Zc

Figura 27.2

Esercizio 12.4 Applicando le formule per ii calcolo della potenza attiva e reattiva di un bipoic impedenza Z, ricordando che si stanno utilizzando valori efficaci, si ha:

P = III2Re[Z] = 40W, Q = 1121m[Z] = —200 VAR

Esercizio 12.5 Facendo riferimento al circuito della figura E-12.1 si ha che l'impedenza del bipolo

j Z=R1+R2X2

R2+3X2

dove

X2= —398

wC2

Pertanto si ha

= 10 2+j25,13 k)

1+j25,13

da cui si ricava

P = IVl2Re[Y] 1W, Q = 1V 2Im[Y] = —0,0395 VAR

essendo Y = 1/Z = (99,66 + j 3,95) i1 1.

Esercizio 12.6 Si ponga Z1 = R1 +jX1. Quandol'interruttore ê chiuso P = I2RcçZ] = 111 2R1. cui Si ricava

P 800 R1

= iiF = 100= 8

Inoltre, essendo IZI = lVi / III = 22 Q, si ha

X, = ±V IZ12 - R 2 = ±2/iöl

P 27 - Potenze in regime sinusoidale, rifasamento, adattamento energetico 233

come con l'interruttore aperto ii modulo dell'impedenza Z = Z1 + R + j XL = (R1 + ± j(Xi + XL) non cambia (e sempre = 22,Q in quanto II I = 10 A anche con

rnterruttore aperto), allora Z1 deve essere capacitiva (in modo che JX, + XLI < IX, 1) quindi X1 = —2v'iO1. Quindi Z1 risulta completamente determinato.

Per determinare R e XL, si impongono le condizioni con l'interruttore S aperto. 5ia

111= 'vu

IZ1+R+iXLI' V21=jR+jXLIIII

the possono essere riscritte in questo modo

vll - (Ri+R)±j(Xi +XL)

II - 1v21

= jR+jX( I"

Inserendo i valori numerici, si ha

(22)2 = R+R2 +2RiR+X?+X+2XiXL (27.1)

(5 )2 = R2 +X (27.2)

tuendo (27.2) in (27.1) e ricordando che R+ X? = (22)2 fZ2 si ottiene

—25 = 2R1R + 2X1XL

determinato in precedenza i valori di R1 e X1 si ricava

—25= 16R-4v'iöXL

e quindi

viO 25 (27.3) R= Xi, -

16

Sostituendo (27.3) in (27.2) e svolgendo I calcoli si ottiene la seguente equazione che nsente di determinare XL

7,56X. - 8,01XL - 22,56 = 0

da cui si ricava XL = 2,34 Q (ii valore negativo di XL e da scartare in quando la reattanza 6 induttiva). Infine, sostituendo questo valore in (27.3) si ha R = 4,42 Q.

234 27 - Potenze in regime sinusoidale, rifasamento, adattamento energetico

Esercizio 12.7 Indicando con VC la tensione ai capi del condensatore C ed essendo dati IXcI e la relazione Qc = IVcI 2IXc implica che

VcI = /QcXc = io/iv Di conseguenza la potenza attiva assorbita dal resistore R2 risulta essere

IV

P2 C12

— low

Indicando con S1 = P2 + j Qc La potenza complessa assorbita dal bipolo 13 compoi dal parallelo di R2 e C, ii legame tra la potenza apparente I S1 1, la tensione VC e corrente I sul bipolo I3 (la corrente 1 6 quindi entrante nel terminale A) risulta

iS,! = VP+Q tVcIIIi

da cui Si ricava

10 \f2 - ---A

- IVcI ioviöv Ció consente di ricavare la potenza attiva P1 assorbita dal resistore R, e la complessa S assorbita dal bipolo di terminali A e B

P1 = R!11 2 = 20 W

S=P+jQ= (PI +P2)+jQc

La relazione (27.4), conseguenza del Teorema di conservazione della potenza compid consente di ricavare ii valore efficace della tensione V applicata tra i terminali A e

81 = 70,7 V III I'!

Esercizio 12.8 Facendo riferimento al circuito della figura E-12.4 si ha che l'impedenza del bi

jXLR2 j46000 ZAB R1 + = 150 + = 281,86e20' ° ci

R2+jXL 200+j230

per cui l'ammettenza risulta essere

YAB = = 1 e_20,57° ci-' = (3,32 - j 1,25) mci 1

ZAB 281,86

27 - Pot enze in regime sinusoidale, rifasamento, adattamento energetico 235

Uttendo in parailelo al bipolo una capacità C, l'impedenza complessiva Y e

V = YAB + j WC = Re[YABI + j(Im[YAB] + WC) = J YJ ej ZY

avere rifasamento completo si impone che cos(02) = cos(—LY) = 1, ossia LY = 0. sta condizione equivale ad imporre che

Im[YABJ+wC=0

cui Si ricava

—Im[YAB] - 1,2510 =3.97pF C= w

- 2r5O

:izio 12.9 iderando inizialmente ii carico collegato direttamente al generatore come indicato figura E-12.5, si ha

III2 = 2 2 _______________ 'Emi 2

R(R

1E M12

P0 = R = - +)2(X+X2 =8,4mW

ponendo ii doppio bipolo come mostrato nella figura E-12.6, ii carico Z1 visto dal ratore (reale) composto dalla serie del generatore V8 e da Z. risulta essere:

jXc(Z+jXL) =Z1 +100—j700

X=—_1 =-7151

2lrflCk

XL = 21rfi L2 2kl

izza la condizione di adattamento energetico se e solo se Z = Z; deve quindi Zi = j 600 11 = j 2irfi Li da cui si ricava

L1 = 600 j; 600

lO 6 = 9514 pH

tale situazione la potenza P2 che arriva sul carico Z è la stessa assorbita dal Z (in quanto ii doppio bipolo interposto non dissipa potenza, essendo privo di

e!lze) ed e la massima che ii generatore puO erogare; P2 risulta essere

1 E M 12

P2= =125mW

Capftollo 28

Funzionii d rete e curve cH isposta

Esercizio 13.1

Le funzioni di rete sono già fattorizzate e quindi Si COnc'SCOno già poli e zen, tutti rea-li. Le risposte in ampiezza sono ottenute sommando (in modo algebrico) i diagram-mi (asintotici) elementari di radici reali, partendo da un arbitrario livello di rifeni-mento e piazzando ii punto centrale di ciascuno di tali diagrammi in cornispondenza di una pulsazione w uguale al valore assoluto della radice considerata. Nel caso a) ii livello di riferimento coincide con l'asintoto orizzontale per w —+ 0. Anche nel caso b) si ha un asintoto onizzontale, questa volta per w —+ 00, non coincidente con ii livello di rifenimento. II livello di questi asintoti orizzontali puO essere calcolato al termine del procedi-mento e serve per graduare la scala delle ordinate. Si ha

a) urn 20 log IF(jw)I = 20 log 2/10 = 14 dB

b) urn 20 log F(jw) I = 20 log 20 26 dB • w—*oo

I risultati finali sono mostrati nelle figure 28.1 e 28.2.

-14 dB 1 2 10 20 100

I cradj

-20 dB/dec ..

Figura 28.1

237


26 dB

2 20 dB/dec

20 dB/dec 10 20

Figura 28.2

c), d) Le risposte in ampiezza vengono disegnate sommando (in modo algebrico) I grammi elementari di radici reali. In questo caso una radice è nell'origine (polo caso c e zero nel caso d) e ii diagramma corrispondente e una retta con pende di 20 dB/dec, positiva nel caso di uno zero e negativa nel caso di un polo. Per la risposta in fase potremmo usare l'approssimazione asintotica della figura 1 tuttavia, data la semplicità della funzione di rete, Si PUO usare l'espressione es dell'andamento della fase. Si ha:

c) LF(jw) = - arctan 2 - d) ZF(j

2w) = arctan -

w w

Le curve di risposta per le ampiezze e le fasi risultano pertanto essere q riportate nelle figure 28.3 e 28.4.

-20

20 dB

2 w rad/s

00 2

::z 11 Figura 28.3

Osservazioni

La coppia zero nell'origine - polo reale (ovvero zero reale - polo nell'origine) fornf.s un contributo al modulo che corrisponde a quello di un polo reale (ovvero di uno zero reale) ruotato di 1800 rispetto ad un asse verticale passante per ii punto centrale.

28 - Funzioni di rete e curve di risposta 239

2 20 dB

-20 dB/dec w rad/s

wIa/s

Figura 28.4

o 13.2 e trasformare ii ramo contenente ii generatore di tensione ed ii resistore R1 nel equivalente di Norton. Calcoliamo anche l'ammettenza equivalente al ramo

nte R2 , R4 e C1

1

C4 + sC1

R2 + G4+sCi sC1R2 + R2G4 + 1

o modo otteniamo ii circuito della figura 28.5 che puO essere studiato con ii del nodi. Si ottiene ii sistema

—C3

I1V11 EC1

—C3 G3+sC2 LV2i 0

R:

y C2

Figura 28.5

! :nzione di trasferimento risulta essere

G1G3 - G1G3

- E - (C 1 +G3+Y)(Ga -i-sC2)—C - C1G3+sC2(C1 +G3)+(C3+sC2)Y

:uendo i valori numerici (resistenze in k1, capacitA in nF e frequenze in MHz) Si

240 28 - Funzioiii di rete e curve di risposta

ottiene 40s+0,0121951

- 300s +1,0914634

s + 0,00363821 H(s)

= 300 100800052 + 14527,317s + 511158536

2,98.10-4 s+ 0,00364 = (s + 0,000361207)(s + 0,0140508)

Le frequenze dei poli e degli zeri risultano essere

Orz - -0,00364Mrad/s = 579 Hz

-0,000361Mrad/s = 5775 Hz

cr -0,141 Mrad/s AV2 =2.24 kHz

Ii guadagno dell'equalizzatore a w = 0 rad/s è

20 log H(0) = -13,4dB

Alla frequenza di un 1kHz (w = 27r• iO- ) l'attenuazione è

2,98 10-4 (0,00364 + j27r iO- ) 2OlogIH(jw)I

= 201og (0.000361 +2• 10-3) (0,014051 +j2 lO)

-33)02 dB

Per compensare tale attenuazione è necessario un amplificatore che realizzi un gua-dagno di 33,02 dB. Le curve di risposta in ampiezza e fase sono mostrate nella figura 28.6.

Esercizio 13.3

Per risolvere ii problema e necessario calcolare la funzione di trasmissione K, (s) = Essa è già stata caJcolata neIl'esercizio 9.12 e vale:

K V sG1C6G8 Ve-c(s) - - - s2C3C6G8 + sG4C6G8 + G2G5G7

I valori dei componenti sono: R, = 1 k, R2 = 1,5k&2, R4 = 12,2 kg, R5= 1122 R7= R8 = 1,5k1, C3 =C6 =47nF. La funzione di trasmissione puO essere riscritta nella forma:

Ku (s) = -k S

S +bs+w,

28 - Funzioni di rete e curve di risposta

241

102 io

102 ia3 io 10, Frequenza, Hz

Figura 28.6

1 I R8 _______ ________________

= R1C3' b C3R4'

W V C3C6R2R5R7

svolgere i calcoli è spesso opportuno usare un insieme di unità di misura coerenti, ;e da queue del Sistema Internazionale. In questo caso risulta conveniente espri-le resistenze in k1, le capacità in pF, le frequenze in kHz. Con questa scelta le iti prima definite assumono I valori:

k = 21,27660krad/s, b = 1,743983krad/s, w = 15,728112krad/s

analizzare ii circuito in regime sinusoidale si pone s = j w nella funzione di

K(jw)=—k 2 (w—w2 )+jbw (28.1)

verificare che ii massimo del modulo della funzione (28.1) si ottiene per e w0 = w, cui corrisponde una frequenza:

fo = wo /(2ir) = w,/(2ir) = 2,503 kHz

tale frequenza la funzione di trasmissione risulta reale negativa e quindi lo sfasa-to tra tensione d'uscita e quella d'ingresso è uguale a ir:

0=ir (ffo)


Ii modulo della funzione di trasmissione per s = j w rappresenta ii rapporto ampiezze dei segnali d'uscita e d'ingresso alla frequenza f = w/27r. Alla frequenz. esso vale:

=k/&=12,20 e fo

Si confronti questo risultato con quello ottenuto (ad una frequenza leggermente dive:. 2500 Hz) nell'esercizio 9.12. Procedendo in modo analogo si PUO calcolare ii rapporto K3000 tra le ampiezze : segnali d'uscita e d'ingresso nel caso la frequenza f del generatore sia uguale a 300C Si ha:

w = k 2.

(w — w2)+jbwI

con w = 67r krad/s. Sostituendo i valori numerici nell'equazione (28.2) e calcoland: modulo si ottiene:

K3000 = 3.554583 3.55

Si noti l'accordo con i risultati ottenuti nell'esercizio 9.12, usando una via piü ag,

Capitoo 29

Dopp bipoli dinarnd

rzuo 14.1 ta la struttura a ir del doppio bipolo, ii calcolo della matrice Y delle conduttanze di to circuito risulta particolarmente semplice. Inserendo un generatore di tensione alla ia 1 e chiudendo in corto-circuito la porta 2 si ottiene, nel dominio della frequenza, ircuito della figura 29.1 Quindi

7-'

.v1 +

V2

Figura 29.1

I Yii=

Il— I =sC+G V1 il

l y2i

=—V=–G

1 1"2=O

ersa, introducendo un generatore di tensione alla porta 2 e chiudendo in corto-ito la porta 1 si ottiene, sempre nel dominio della frequenza, ii circuito della figura Da cui si ricava

=—G Y22 = = - -+G V2 V1=0 V2 v1=0 .sL

i che ii doppio bipolo è reciproco, essendo formato dalla connessione di bipoli. i Y12 = Y21, come verificato dall'analisi precedente.

243

At


V2

Figura 29.2

Osservazioni

La matrice delle conduttanze di corto circuito puO essere trovata in modo immedia Si consideri ii circuito della figura 29.3, in cui si SOflO alimentate le due porte con d generatori di corrente ideali. Scrivendo l'equilibrio delle correnti ai due nodi del circui si ottiene immediatamente:

(C+sC) -c

-c = 12 SL

12

sc :s sj

Figura 29.3

Esercizio 14.2 Data la struttura a T del circuito, ii calcolo della matrice delle impedenze a ê particolarmente semplice. Chiudiamo le porte del doppio bipolo su una coppia generatori di tensione ideali ottenendo, nel dominio della frequenza, ii circuito dE figura 29.4. L'applicazione della KVL alle maglie conduce al sistema

I v1= sc t V2 = R(I.+I2) + sLI2

- R+sL - (R + sL)(G + sC) + 1

R+sL - sLC +1+ sCR +82 LC +1 - 82LC + (RC + LG)s +2

zi1 = 1

C+sC+ R + sL

R+ sL

29 Doppi bipoli dinamici

245

V1

Figura 29.4

Cu'

z= +R R

R SL+R

Esercizio 14.3 Gil elementi Zii e Z22 della matrice delle impedenze a vuoto possono essere calcolati usando la loro interpretazione fisica di impedenze d'ingresso del doppio bipolo rispetti-vamente alla porta 1 (con la porta 2 a vuoto) ed alla porta 2 (con la porta 1 a vuoto). In questo modo si ottiene

1

= (L G+sC

- s2LC+sIC+i - 82 LCC + sLC2 + 2G + sC

I

82LC+sLG+1

- 82LCR+sL+R -

32LC + (RC + LG)s +2

ii calcolo di Z12 introduciamo un generatore di corrente 12 alla porta 2 lasciando


la porta 1 aperta. Con un partitore di corrente e la legge di Ohm troviamo

R -& V112 sC R R

R _____ R+sL+

R+ I2 R

sc

R+sL + sRC+1 sRC--i

R2 R = 12 s2RLC + sR2C + sL + 2R 12

82-LC + (RC + LC)s + 2

Da cui V1 I R

Poiché ii doppio bipolo e formato dalla connessione di bipoli, esso è reciproco e q Z21 = z12. Solo a scopo di verifica, calcoliamo comunque Z21. A tal fine si chiuda la porta un generatore di corrente I e si lasci a vuoto la porta 2. Si ottiene:

R/(sC) R R + 1/(sC) sRC + 1

V2=I R=I1 R R/sC) R

R+ sL+ R+ 1/(sC) R+ sL + sRC+ 1

R2 R

= (sRC+l)(R+sL)+R =11

82LC+(]?C+LG)s-F2

Da cui, come previsto, si ottiene la stessa espressione ottenuta per Z12

z21 =— = 11 [•,=O

R s2 LC+ (RC +LC)s+2

Esercizio 14.4 Alimentiamo la porta 1 con un generatore di tensione ideale e chiudiamo in circuito la porta 2. Si ottiene ii circuito della figura 29.5.

Figura 29.5

29 - Doppi bipoli dinainici -

ii calcolo di Y11 possiamo scrivere l'equilibrio delle correnti al nodo in cui entra la nteI1, ottenendo

V 1 Ii=

1 --+ (Vi +rm Ii)

iamo ricavare quindi 11 in funzione di V1, da cui

1 1 '1 1 R+sL V, IV2=0

R sL

ii calcolo di Y21 osserviamo che

1 12 = —(V1 +rm Ii)-

sL

er l'equilibrio delle correnti al nodo d'ingresso,

It, –V1 G+12 =0

r 21 12 =- - -(VI G–I2)

Ricavando 12 in funzione di V1 e dividendo segue che

12 1 R+rm

VI V2=0 1– - RsL – rm

Alimentiamo ora la porta 2 con un generatore di tensione ideale e chiudiamo ill (art 0- cuito la porta 1. Si ottiene ii circuito della figura 29.6.

Ii 112

R V2

Figura 29.6

A questo punto abbiamo 11 = –1. Tenendo conto di ciO e applicando la legge di Klichoff delle tensioni alla maglia esterna si ottiene

V2+ R,,, 12 - .sLI2 = 0

248 - 29 - Doppi bipoli dinamici

da cui I 1 = V2 I V1=0 sL — rm

Sfruttando la relazione 11 = —12 si ricava

Ii 1 V2 v1=0 rm — sL

Si noti che, in questo caso, ii circuito non ,6 reciproco ed infatti 1'12 Y21.

Esercizio 14.5 I due circuiti sono equivalenti se sono descritti dallo stesso gruppo di parametri. Con-sideriamo la matrice delle impedenze a vuoto. Per ii circuito costituito dalla coppia d induttori mutuamente accoppiati abbiamo, nel dominio della frequenza,

f V1 = sL1I1+sMI2

V2 = sMIi+sL2I2

La matrice delle impedenze a vuoto risulta pertanto essere

= [

sL1 sM

sM sL2]

L'applicazione delle KVL e KCL al doppio bipolo della fiura E-14.5(b) permett ricavare

I V1 = SLaI1+SLb(Il+12)

V2 = sLj + sLb(I1 + 12)

Da cui

Z- 1S(1 a+Lb) sLb

- L $Lb s(L+Lb)

I due doppi bipoli sono pertanto equivalenti se e solo se

Lb = MI L(, = L1 -Nil, L = L2 - M

Esercizio 14.6 Seguendo ii suggerimento, sostituisco ii trasformatore con ii suo circuito equival T, usando i risultati ricavati nell'esercizio 14.5. Ii bipolo risultante è mostrato figura 29.7. L'impedenza Z(s) di tale bipolo vale:

A /F

+ MD- ISC

+ s(L2 + MD] - .11V1

s(Li + L9 + 2IiVI) + SC

29 - Doppi bipolidinamici 249

PercliO ii bipolo risulti un circuito aperto alla alla pulsazione wo = 27rf0 deve essere Z(jwo) = oo. Ciô si ottiene per

l — wC(Li +L2 +2Mj)O

vvero per

C= 1

=6.33pF (29.2) w(Li+L2+2IMI)

assando alla seconda parte dell'esercizio, si alimenta ii bipolo con un generatore ideale

9 L I + 11111 1 vs

Figura 29.7

Figura 29.8

tensione sinusoidale di frequenza fo, come indicato nella figura 29.8. Poichè C ha ii alore calcolato in precedenza con l'equazione 29.2, l'impedenza del bipolo è infinita e

iindi I = 0. Di conseguenza 11 = e V3 = V1. Usando la formula del partitore di isione si ha:

1

VC VC jwoC 1 I iwo(L2+IMI)+ 1 - 1—wC(L2+M)

j Woe

Tsando per C l'espressione fornita dalla 29.2, si ottiene ii risultato cercato:

I.. VC 1 Li+L2+21M1 10

6 wo (LI + L2 + 21MI) Li+IMI 3

Esercizio 14.7 due induttori accoppiati risulta i1 = i2. Lavorando nel dominio della frequenza,

f --:iazioni descrittive di due induttori accoppiati sono:

I V1 = sLiIi+sMI2

= sMIi+sL2I2

250 - 29 - Doppi bipoli dinamici

usando ii vincolo I = 12 si ha:

Vi = sL 1 I 1 + sMIi

da cui: =s(Li+M)

Ii bipolo assegnato e quindi equivalente ad un induttore di induttauza Leq =

Esercizio 14.8 Ricordando le equazioni descrittive del trasformatore ideale (si veda pagina ponendo k = n1/n2, la tensione V1 alla porta 1 vale:

12 Vi = sLc1 Ii + sL'(Ii + = s(Lc1 + L')11 + 412 Alla porta 2 si ha:

V2 = sL'(I 12 L L' 1+)=s--Il+sI2

Diconseguenza, la matrice Z delle impedenze a vuoto è:

s(L(,,1 + Ii) 8ç Z-

s-k- S

Per essere equivalenti, i due circuiti della figura E-14.8 devono avere uguali impedenze a vuoto. Quindi per l'equivalenza deve essere:

Dalle equazioni precedenti e tornando al rapporto r12/ni Si ottiene ii risultato ri

{L=M/L2

M2 L1 =

Esercuzio 15.1 • Facendo riferimento al circuito della figura E-15.1 e conveniente sostituire ii trasfor-

matore ideale chiuso su & con la resistenza equivalente R = (m1/n2)2R = 9f!, come indicato nella figura 30.1.

Rq

=

Figura 30.1

Ci si trova in una situazione simile a quella illustrata nella figura 15.6(a): ii diodo conduce quando e(t) > 0 e non conduce quando e(t) <0. Inoltre, detta Ve la tensione ai capi di Re, per effetto del trasformatore sara

Vu = (fl2/fll)Ve = (1/3)Ve

In definitiva: e(t) > 0: ii diodo conduce e ye si ottiene usando la formula del partitore di tensione:

0* ye = e(t)R/(R + Re) = (3/5)e(t)

Di conseguenza

(fl/fli)Ve = (1/3)ve = (1/5)e(t) = 2sen2t (V, s)

I e(t) <0: il diodo non conduce, la corrente attraverso R e nulla e quindi

vIL (t) = Ve(t) 0

251


La soluzione e indicata nella figura 30.2.

e(t), v(t), V v(t)

Figura 30.2

Esercizio 15.2 Facendo riferimento al circuito della figura E-15.2, in questo caso Si pu6 trarre vanta dall'uso del teorema di Thévenin. Scambiando tra loro R2 e ii diodo (cosa possib - poiche i due componenti sono in parallelo) e facendo l'equivalente di Thévenin del circuito che comprende ii generatore, R1 e R2, ii circuito iniziale si riduce a queF± rappresentato nella figura 30.3, con R = R1R2/(R1 + R2) = 100n e Veq = v8/2.

R = 100Q

V(J :jz v(t)

Figura 30.3

Nuovamente ci Si trova in una situazione simile a quella illustrata nella figura 15. ii diodo conduce quando veq(t) > 0 e non conduce quando veq(t) < 0. Con c conduttore si ottiene vu = 0, mentre quando il diodo non conduce e v = Veq La soluzione e indicata nella figura 30.4.

V, V

Figura 30.4

'S

30 - Analisi di circuiti con diodi ideali 253

Esercizio 15.3 Per tracciare la caratteristica richiesta, cerchiamo per quali valori di tensione v e cor-rente i ai morsetti del bipolo ii diodo conduce oppure no. Si faccia riferimento alla figura 30.5, ove sono indicati 1 versi di riferimento per la tensione Vd e la corrente id del diodo.

'1

+ - V R.<> 'u( , ) 'L'j

Figura 30.5

Se ii diodo conduce è Vd = 0 e quindi anche v = 0, poiché i tre elementi del bipolo sono in parallelo. Perché questa condizione sia possibile deve essere id > 0. Ma id = 10—i e quindi ii diodo conduce solo se 10 —i > 0, ovvero solo se i <Jo. Questa condizione corrisponde al primo ramo della caratteristica:

v=0, i<10

• Quando ii diodo non conduce ê id = 0. Perché questa condizione sia possibile deve essere Vd < 0. Ma Vd = —v e quindi ii diodo conduce solo se v > 0. La corrente i vale i = Jo + v/R. Questa condizione corrisponde al secondo ramo della caratteristica:

v>0, i=Io+v/R

caratteristica completa è riportata nella figura 30.6.

I(

V

Figura 30.6

Eserdzio 15.4 Facendo riferimento al circuito della figura E-15.4, ii diodo conduce quando id (misu-rato con ii verso di riferimento previsto per i diodi) e positivo. Ora è

__6) = —(v3 + 6)/R


Quindi ii diodo conduce per tutti i valori di t per i quali e v8 (t) < —6 V. In tale situazione la tensione v(t) resta fissata a —6V. Quando v3(t) > —6 V, ii diodo non conduce e v,,, (t) = v, (t). La soluzione e indicata nella figura 30.7.

V.a, V', V vu(t)-

9() vs(t).......

I2 1 —20

Figura 30.7

Esercizio 15.5 Facendo riferimento al circuito della figura E-15.5 e conveniente sostituire ii bipolo formato dalle due resistenze R e dal generatore E con ii suo equivalente di Thévenin. come indicato nella figura 30.8. iad

.5kQ

V117 5V

0 :F Figura 30.8

Ci si viene cosl a trovare nella situazione illustrata nella figura 15.4(a): ii diodo conduce quando v> 5V e non conduce quando v < 5V.

Con diodo conduttore si ottiene i = mA, mentre per V < 5 V e i = 0. La soluzione e indicata nella figura 30.9.

i.rnA

0 5 10v ,V

Figura 30.9

30 - Analisi di circuiti con diodi ideali 2.3.3

erdzo 15.6 circuito di CUI Si vuole tracciare la caratteristica e stato ridisegnato nella figura 30.10, re sono state indicate le tensioni e le correnti dei due diodi. Si osservi che i due diodi )n possono condurre entrambi poiché in tal caso sarebbe violata la legge di Kirchhoff Me tensioni. I casi possibili sono dunque soltanto tre, indicati nella tabella 30.1.

+0

_

D 7Vd1 Vd2 D2

I - +jd 'JE I

Figura 30.10

Tabefla 30.1 I tre stati che devono essere esaminati. C sta per 'conduttore' e B per "bloccato".

D1 D2 B B C B B C

D1 e D2 entrambi bloccati: in questo caso è i = 0 e le tensioni Vdl e Vd2 devono essere entrambe negative. Ma Vdl = V - E e Vd2 = —v - E e quindi Vdj e Vd2 SOnO entrambe negative per —E <v <E. Ii ramo corrispondente della caratteristica ê quindi:

i=0, —E<v<E

D1 conduttore e D2 bloccato: in questo caso e v = E, la corrente id, deve essere positiva, la corrente id2 zero e la tensione Vd2 deve essere negativa. Quest'ultima condizione é sicuramente verificata poiché nella situazione ipotizzata risulta Vd2 = —2E <0, essendo E> 0 per ipotesi. Infine, essendo idl = i, ecco che l'ipotesi fatta sullo stato dei diodi ê vera per i> 0. Ii ramo corrispondente della caratteristica ê quindi:

i>0, v=E

D1 bloccato e D2 conduttore: questo caso è analogo a! precedente. Risulta v = la corrente id2 deve essere positiva, la corrente idl 6 zero e la tensione Vdl deve essere negativa. Quest'ultima condizione e sicuramente verificata poiché nella situazione ipotizzata risulta ancora VdJ. = — 2E < 0, essendo E > 0 per ipotesi. Infine, essendo d2 = —i, ecco che l'ipotesi fatta sullo stato dei diodi è vera per i < 0. II ramo

,corrispondente della caratteristica e quindi:

i<0, v=—E



i

V

Figura 30.11

Esercizio 15.7 Ii circuito the si vuole analizzare è ridisegnato nella figura 30.12, ove sono indicate tensioni v1, v2 e le correnti i1, i2 dei due diodi e si e indicato con A ii nodo cui so connessi gli anodi dei due diodi. Valgono le seguenti considerazioni:

RI . A 2 -

±

Vi(t)

VI Di V

v(t)

100\' 25V

Figura 30.12

1. Finché v(t) < V2 = 25V, nessuno dei due diodi conduce, altrimenti, se i diodi conducessero, entrambe le correnti i1 e i2 sarebbero negative, ii che sare incompatibile con l'ipotesi fatta. Di conseguenza:

v.,, (t) = V2 = 25V per vi (t) <V2 = 25V

2. Se v(t) > V2 = 25V, ii diodo D2 inizia a condurre, mentre D1 rimane bloccato finché la tensione VA del nodo A rimane inferiore a V1 = 100 V. Si osservi che in questo caso VA coincide con v, poiché D2 conduce. Ii valore di v(t) e dato dalla seguente equazione:

V(t)[V(t)—V2] R2

+=[v(t)25]±25, perv(t)>V=25V

R1+R2 3

30 - Analisi di circuiti con diodi ideali

2

da cui:

2 2 vU () = vi (t) + , per vi (t) > V2 = 25V

Ii valore VA = v. = V1 = 100 V viene raggiunto per

2 25 v(t) + -- = 100V

da cui v. = 137,5V 3. Quando v(t) > 137,5V entrambi i diodi conclucono e la tensione Vu(t) rimane

fissata al valore V1 = 100 V

o < vi < 25: v=25V

25 < vi < 137.5: vu --- vi +_V

137,5 < vi < 150 V,, = 100V

le correnti i1 e i2 attraverso i diodi si ha:

0< vi < 25: i1 =i2 =0

25 < vi < 137,5 il = 0; i2 = Vl_ 2O mA 300

137,5 < vi < 150: ii=ViOO_i2,mA; i2=0,375rnA 100

soluzione è indicata nella figura 30.13.

V7

150 137,5 - /

1004----

50

25

i, jiA

500

375

250

125

Figura 30.13

I

Figura 30.15

258 30 - Analisi di circuiti con diodi idcali

Esercizio 15.8 Seguendo ii suggerimento, ii circuito non lineare di cm Si vuole trovare la caratteristica e mostrato nella figura 30.14. Esso puô essere considerato ii parallelo di due bipoli elementari del tipo indicato nella figura 30.15, ove sono segnate le tensioni Va, Vb e le correnti i b dei due diodi Da e Db.

La caratteristica cercata si puO ottenere sommando, a parità di tensione, le correnti entranti nei due bipoli elementari del tipo indicato nella figura 30.15, in cui si ê posto Vg uguale, rispettivamente, a V1 e V2.

11

La

V1

)9

Figura 30.14

Riferendoci al circuito della figura 30.15, seguendo ragionamenti simili a qucili effettuati negli esercizi precedenti, ê immediato veriflcare che

1. i due diodi non possono essere entrambi bloccati, in quanto in questo caso risulte-rebbe vb > 0 e quindi Db non potrebbe essere bloccato;

2. per V < V9, Da e bloccato, mentre Db conduce. Di conseguenza, ê I = 0 per V<Vg ; II

3. per V > 1/s7 ii ruolo dei diodi si inverte: Da conduce, mentre D& è bloccato e 1= V/Ri;

4. una considerazione a parte merita ii caso in cui entrambi i diodi conducono. In questo caso V = V9 , la corrente entrante I, essendo coincidente con i, deve essere positiva. Inoltre anche la corrente ib = I - V/R1 deve essere positiva e quindi la corrente entrante I, oltre a essere positiva, deve essere inferiore a 1/9/R1 .

In deflnitiva, la caratteristica del bipolo della figura 30.15 è quella riportata nella figura 30.16.

Figura 30.16

30 - Analisi di circuiti con diodi ideali 259

! La caratteristica del bipolo della figura 30.14 si ottiene sommando due caratte-ristiche del tipo indicato nella figura 30.16, ponendo V9 uguale, rispettivamente, a

= 10 V e V2 = 20 V e R1 = 5 kft Ii risultato è mostrato nella figura 30.17, ove e anche tracciata la caratteristica del generatore (tensione a vuoto 25 V e corrente di corto-circuito I, = VR/R2 = 25/10 = 2,5 mA). Dalla stessa figura si ricava che, nel punto di funzionamento, è V- = 10 V.

12. 2V

10.

0 5 10 15 20 25 V. V

Figura 30.17

Di conseguenza:

1. D6 non conduce, poiché V <V2 = 20 V; 2. D2 conduce e ID2 = V2 /R1 = 4mA; 3. 'R2 = (VR - V)/R2 = 1,5 mA; 4. D5 conduce e 'D5 = 1R2 = 1,5 mA; .5. D1 conduce e 'Dl = 'rn - 'R2 = 0,5 mA;

Esercizio 15.9 II circuito di cui si vuole trovare la caratteristica e mostrato nella figura 30.18, ove sono segnate le tensioni Vdl, Vd2 e le correnti idl, id2 dei due diodi D1 e D2. Si noti che i coincide con Zdl.

i

Ivd, DI

Av~d2 RI

_ V1

Figura 30.18

F Tnnanzitutto si osservi che i due diodi non possono essere entrambi bloccati. Infatti in questo caso risulterebbe vd2 = V1 > 0 e quindi D2 non potrebbe essere bloccato. Di conseguenza rimangono da considerare i soli tre casi indicati nella tabella 30.2. 1. D bloccato e D2 conduttore: in questo caso, poiché i idl, i = 0 e la tensione

Vdl deve essere negativa, mentre la corrente id2 deve essere positiva, con Vd2 = 0.

260 30 Analisi di circuiti con diodi ideali

Tabella 30.2 1 tre statl che devono essere esminati. C sta per 'conduttore" e B per "bloccato".

D, D2

BC C B C C

Nelle condizioni ipotizzate è v = Vfl - Vd2 = Vdl e quindi Vdl <0 per v <0. Inoltre la corrente id2 vale id2 = V1/R1 ed e quindi sicuramente positiva e di conseguenza e corretta l'ipotesi che D2 sia bloccato. Concludendo, l'ipotesi fatta sullo stato de diodi è vera per v < 0. Il ramo corrispondente della caratteristica è quindi:

v<0, i=0

2. D1 conduttore e D2 bloccato: in questo caso la corrente id, deve essere positiva, con Vdl = 0 mentre la tensione Vd2 deve essere negativa, con id2 = 0. Nella condizione ipotizzata = (v + V1)/R1 e quindi, essendo v > 0 (si ricordi che se v <0 Cl Si trova nel caso 1 precedente) risulta idl > 0. Inoltre Vd2 = —v e quindi se v > 0 risulta anche Vd2 < 0. Concludendo, l'ipotesi fatta sullo stato del diodi ê vera per v > 0 e la corrente i vale i = (v + V1)/R1 . Ii ramo corrispondente della caratteristica e quindi:

v>0, i=(v+Vi)/Ri

3. D e D2 entrambi conduttori: in questo caso è v = 0 e le correnti id, e id2 devono essere entrambe positive. Poiché i ldl, risulta idl > 0 per i > 0. Inoltre d1 + id2 = V1/R1 e quindi id2 = V1/R1 - di = V1/R1 - i. Di conseguenza id2 > 0

per i < V1/R1. Concludendo, l'ipotesi fatta sullo stato dei diodi è vera per i compreso tra zero e V1/R1. Ii ramo corrispondente della caratteristica è quindi:

v=0 7 0<i<Vi/Ri


KG VI

7TI-

Figura 30.19

Per quanto riguarda la seconda parte del problema, basta osservare che se rovescio diodi e la polarità della pila (come indicato nella figura 30.20) si ottiene la caratteristica mostrata nella figura 30.21 Tenendo presente che la caratteristica di due bipoli conness in parallelo è ottenuta sommando, a parità di tensione, le correnti dei singoli bipoL la caratteristica richiesta (figura E-15.10) si ottiene connettendo in parallelo i bipoi

30 - Analisi di circuiti con diodi idea.li 261

D I


figure 30.20 e 30.18, come indicato nella figura 30.22, ove deve essere V1/R1 = Io 1=G0.

'1 Figura 30.22

rdzio 15.10 ificare la validitã della tabella E-15.11 richiede di anaJizzare quattro differenti circui-corrispondenti alle quattro condizioni di alimentazione indicate nella tabella stessa,

determinare ii punto di funzionamento di ognuno di essi. Qui si mostrerà ii modo di cedere nel caso corrispondente alla seconda riga di detta tabella. Lo studente potrà

endere ii metodo agli altri tre casi. rcuito di cui si vuole trovare ii punto di funzionamento è mostrato nella figura 30.23,

me sono segnate le tensioni Vdl, Vd2 e le correnti idi, d2 dei due diodi D1 e D2.

H +vd1- td1 A A A N..J

V V

iooc AAA V

H + 1(!<

RB=10k

1VB = 5V

Figura 30.23

icordi che, a differenza del caso in cui si voglia tracciare la caratteristica del bipolo, ,do si sta cercando ii punto di funzionamento 6 sufficiente trovare la situazione

262 30 - Analisi di circuit] con diodi ideali

(diodi in conduzione o bloccati) che soddisfa le ecluazioni descrittive per entrambi i diodi. In altre parole, non ê detto che si debbano esplorare tutte le quattro possi bili configurazioni legate alla conduzione o meno dei due diodi: appena si trova u configurazione valida, la ricerca del punto di funzionamento è completata.

Nel caso in esame, partiamo dalla situazione in cui entrambi I diodi conduco (figura 30.24). Perché questa ipotesi sia valida, le correnti id, e id2 devono ess entrambe positive. Si ha:

VU

Figura 30.24

Vu/R + (V + V2)/R + (Vu + VB)/RB = 0

da CU1 si ricava V = —2,51 V e quindi idl = —V/R> 0, mentre id2 = (—V7 - Vu)/R = —24,9 mA <0. Quindi D2 non puO condurre.

Provo allora a cambiare solo lo stato di D2, come indicato nella figura 30.25.

d1 D1

Figura 30.25

In questo caso deve risultare idl > 0 e Vd2 <0. Si ha:

V/R+ (Vu +VB)/RB =0

da cui si ricava V = —0,05 V e quindi idl = —V/R = 0,5 mA> 0 e Vd2 = —V2 - V =1 —4795 V < 0. Di conseguenza l'ipotesi fatta e valida e ii punto di funzionamento fornisce una tensione V = —0,05 0, corrispondente ad uno zero logico, come indicato nella tabella E-15.11. Procedendo in modo analogo lo studente puO facilmente verificare le altre tre situazioni indicate nella medesima tabella.

bliografia

1] L.O. Chua, C.A. Desoer, E.S. Kuh, Linear and nonlinear circuits, McGraw-Hill, New York, 1987.

121 C.W. Ho, Ruheli , Bremman , The modified nodal approach to network analysis, IEEE Trans. on Circuits and Systems, vol. CAS-22, pp. 504-509, 1975.

131 C. K. Alexander, M. N. 0. Sadiku, Circuiti elettrici - Terza edizione, Mc Gnaw-Hill, Milano, 2008, Cap. 3.

41 J. Vlach, K. Singhal, Computer methods for circuits analysis and design, Van Nostrand Reinhold, New York, 1983.

i] R. A. DeCarlo, P.-M. Lin, Linear circuits analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1995.

161 M. Biey, I. A. Maio, "Frequency-domain Circuit Analysis", Wiley Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering, J. G. Webster, editor, Vol.7, pp.738-751, J. Wiley & Sons, New York, 1999.

fl C. Beccari, Circuiti elettrici lineari - Analisi del comportamento dinamico, CLUT,

ITorino, 2002. F. Oberhettinger, L. Badii, Tables of Laplace Transforms, Springer-Verlag, Berlin, 1973.

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