LOGICALOGICA

La logica è lo studio del ragionamento.La logica è lo studio del ragionamento.

La logica matematica è lo studio dei La logica matematica è lo studio dei ragionamenti utilizzati dai matematici e ragionamenti utilizzati dai matematici e

si occupa dei linguaggi formali, si occupa dei linguaggi formali, introducendo regole che garantiscono introducendo regole che garantiscono

la correttezza dei ragionamenti.la correttezza dei ragionamenti.

Nei linguaggi si distinguono :Nei linguaggi si distinguono :

LA SINTASSI LA SEMANTICA ENUNCIATI O PROPOSSIZIONI

LOGICA BIVALENTE O BINARIA

INSIEME DELLE REGOLE CON

LE QUALI COLLEGARE PAROLE O

SIMBOLI PER OTTENERE

FRASI CORRETTE

INSIME DEI SIGNIFICATI DA

ATTRIBUIRE ALLE PAROLE E

ALLE FRASI

ESPRESSIONI LINGUISTICHE DALLE QUALI

SI PUO STABILIRE SE UNA COSA È

VERA O FALSA

PRENDE IN CONSIDEREAZION

E UNA PROPOSIZIONE

CHE PUÒ ESSERE VERA O FALSA:

NON SONO POSSIBILI ALTRI

CASI

ENUNCIATIENUNCIATI

ENUNCIATI ELEMENTARI

ENUNCIATI COMPOSTI

NEGAZIONE DI UN ENUNCIATO

CONGIUNZIONE DI DUE ENUNCIATI

DISGIUNZIONE DI DUE ENUNCIATI

IMPLICAZIONE DI DUE ENUNCIATI

COIMPLICAZIONE DI DUE ENUNCIATI

►

ENUNCIATI ELEMENTARIENUNCIATI ELEMENTARI

Sono costituiti da un predicato e da uno o più Sono costituiti da un predicato e da uno o più nomi detti argomenti.nomi detti argomenti.

Es. Es. 5 è maggiore di 4 oppure in forma simbolica 5>45 è maggiore di 4 oppure in forma simbolica 5>4

p: il numero 3,2 (argomento) è un numero razionale (predicato)p: il numero 3,2 (argomento) è un numero razionale (predicato)

q: 5 (argomento) è maggiore (predicato) di 4 (argomento)q: 5 (argomento) è maggiore (predicato) di 4 (argomento)

☼

ENUNCIATI COMPOSTI ENUNCIATI COMPOSTI

Due o più enunciati semplici sono uniti da Due o più enunciati semplici sono uniti da connettivi che sono:connettivi che sono:

… …. e …. (. e …. ()) … ….o….(.o….()) se ….allora….(se ….allora….())

… ….se e solo se….(.se e solo se….())

☼

NEGAZIONE DI UN ENUNCIATONEGAZIONE DI UN ENUNCIATO

Si indica con p e si legge “non p” oppure Si indica con p e si legge “non p” oppure “p negato” è l’enunciato che è falso se p “p negato” è l’enunciato che è falso se p è vero ed è vero se p è falso.è vero ed è vero se p è falso.

La doppia negazione si indica con pLa doppia negazione si indica con p

pp pp ppVV FF VVFF VV FF

ESEMPI DI NEGAZIONE E ESEMPI DI NEGAZIONE E DOPPIA NEGAZIONEDOPPIA NEGAZIONE

p: 5 è un numero parip: 5 è un numero pari

p : 5 non è un numero parip : 5 non è un numero pari

p: 5 è minore di 10p: 5 è minore di 10

p: 5 non è minore di 10p: 5 non è minore di 10

p: non è vero che 5 non è minore di 10p: non è vero che 5 non è minore di 10

FALSOFALSO

VEROVERO

VEROVERO

FALSOFALSO

VEROVERO

☼

CONGIUNZIONE DI 2 ENUNCIATICONGIUNZIONE DI 2 ENUNCIATI

Si definisce Si definisce congiunzione di 2 congiunzione di 2 enunciati enunciati pp e e q q e si e si indica conindica con p pq q l’enunciato che è vero l’enunciato che è vero sese p p ee q q sono sono contemporaneamente contemporaneamente veri,mentre è falso in veri,mentre è falso in ogni altro caso.ogni altro caso.

pp qq ppqqVV VV VV

VV FF FF

FF VV FF

FF FF FF

☺

DISGIUNZIONE DI 2 ENUNCIATI DISGIUNZIONE DI 2 ENUNCIATI

Si definisce Si definisce disgiunzione di 2 disgiunzione di 2 enunciati p o q e si enunciati p o q e si indica conindica con p ppp l’enunciato che è vero l’enunciato che è vero se almeno uno dei 2 se almeno uno dei 2 enunciati è vero, ed è enunciati è vero, ed è falso se entrambi gli falso se entrambi gli enunciati sono falsi. enunciati sono falsi. La scrittura “p o q” La scrittura “p o q” oppure “p vel q”.oppure “p vel q”.

pp qq p p q q

VV VV VV

VV FF VV

FF VV VV

FF FF FF

☺

ESEMPI DI CONGIUNZIONE E ESEMPI DI CONGIUNZIONE E DISGIUNZIONEDISGIUNZIONE

a:12 è divisibile per 3 a:12 è divisibile per 3

b:12 è divisibile per 2b:12 è divisibile per 2

aabb: 12 è divisibile per 3 e per 2: 12 è divisibile per 3 e per 2

p:3 è maggiore di 7 p:3 è maggiore di 7

q:3 è divisibile per 2q:3 è divisibile per 2

ppqq 3 è maggiore di 7 o è divisibile per 2 3 è maggiore di 7 o è divisibile per 2

VEROVERO

VEROVERO

VEROVERO

VEROVERO

VEROVERO

VEROVERO

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IMPLICAZIONE DI 2 ENUNCIATIIMPLICAZIONE DI 2 ENUNCIATI

Si definisce Si definisce implicazione di 2 implicazione di 2 enunciati p e q e si enunciati p e q e si indica con pindica con pq e si q e si legge “se p allora q”, legge “se p allora q”, l’enunciato che è l’enunciato che è falso nel caso in cui p falso nel caso in cui p sia vero e q falso ed è sia vero e q falso ed è vero in tutti gli altri vero in tutti gli altri casi.casi.

pp qq ppqq

VV VV VV

VV FF FF

FF VV VV

FF FF VV

☻

COMPLICAZIONE DI DUE COMPLICAZIONE DI DUE ENUNCIATIENUNCIATI

Si definisce Si definisce complicazione di due complicazione di due enunciati p e q e si enunciati p e q e si indica con pindica con pq e si q e si legge “p se e solo se legge “p se e solo se q” l’enunciato che è q” l’enunciato che è vero nel caso in cui i vero nel caso in cui i due enunciati siano due enunciati siano entrambi veri o entrambi veri o entrabi falsi ed è falso entrabi falsi ed è falso negli altri casi.negli altri casi.

p p qq ppqq

VV VV VV

VV FF FF

FF VV FF

FF FF VV

☻

ESEMPI DI IMPLICAZIONE E ESEMPI DI IMPLICAZIONE E COMPLICAZIONECOMPLICAZIONE

p:12 è divisibile per 4p:12 è divisibile per 4

q:12 è un numero pariq:12 è un numero pari

ppqq: se 12 è divisibile allora è un numero pari: se 12 è divisibile allora è un numero pari

p:8 è un numero primo p:8 è un numero primo

q:8 è divisibile per 5q:8 è divisibile per 5

ppqq 8 è un numero primo se e solo se è 8 è un numero primo se e solo se è d divisibile per 5 d divisibile per 5

VEROVERO

VEROVERO

VEROVERO

FALSOFALSO

FALSOFALSO

VEROVERO

☼

TAUTOLOGIETAUTOLOGIE

Una Una tautologiatautologia è una formula enunciativa è una formula enunciativa vera qualunque sia il il valore di verità vera qualunque sia il il valore di verità

degli enunciati elementari che la degli enunciati elementari che la compongono.compongono.

Le Le tautologietautologie sono dette anche leggi della sono dette anche leggi della logica.logica.

CONTRADDIZIONECONTRADDIZIONE

Una contraddizione è una formula che Una contraddizione è una formula che risulta falsa qualunque sia il valore di risulta falsa qualunque sia il valore di verità degli enunciati elementari che verità degli enunciati elementari che

la compongono.la compongono.

pppp(legge dell’identità)(legge dell’identità)

LOGICA DEI PREDICATILOGICA DEI PREDICATI

Un espressione linguistica che dipende da Un espressione linguistica che dipende da una o più variabili,appartenenti ciascuna a una o più variabili,appartenenti ciascuna a un prefissato dominio, si dice un prefissato dominio, si dice predicatopredicato o o anche anche enunciato apertoenunciato aperto..

Es.: “x è un numero primo” con x Es.: “x è un numero primo” con x N N (dominio)(dominio)

QUANTIFICATORIQUANTIFICATORI

Il simbolo Il simbolo si chiama si chiama quantificatore universalequantificatore universale e si legge e si legge per ogniper ogni o o per tutti.per tutti.Sia p(x) un predicato e sia D il dominio della sua variabile. Sia p(x) un predicato e sia D il dominio della sua variabile. L’espressione L’espressione x (p(x)) si legge “ per ogni x è vero p(x)” o anche x (p(x)) si legge “ per ogni x è vero p(x)” o anche “per tutti gli x del dominio, è vero p(x)” oppure “per qualsiasi x “per tutti gli x del dominio, è vero p(x)” oppure “per qualsiasi x appartenete a D è vero p(x)”appartenete a D è vero p(x)”

Il simbolo Il simbolo si chiama si chiama quantificatore esistenziale quantificatore esistenziale e si legge e si legge esiste esiste oo esiste almeno uno. esiste almeno uno.Se p(x) è un predicato e D è il dominio della sua variabile Se p(x) è un predicato e D è il dominio della sua variabile l’espressione l’espressione x(p(x)) si legge “esiste almeno un x per cui è vero x(p(x)) si legge “esiste almeno un x per cui è vero p(x)” oppure “esiste almeno un x dell’insieme D tale che è vero p(x)”p(x)” oppure “esiste almeno un x dell’insieme D tale che è vero p(x)”

ESEMPI DI QUANTIFICATORIESEMPI DI QUANTIFICATORI

Esempio:Esempio: x (x>5) x x (x>5) xN “esiste almeno un N “esiste almeno un numero naturale maggiore di 5” VERO.numero naturale maggiore di 5” VERO.Esempio:Esempio: n (2n +1 è pari) n n (2n +1 è pari) nN FALSO N FALSO perché n è un numero naturale, 2n è pari, quindi, perché n è un numero naturale, 2n è pari, quindi, 2n+1 è sempre dispari.2n+1 è sempre dispari.Esempio:Esempio: x (x x (x22≥0) x≥0) xQ “per ogni x razionale, Q “per ogni x razionale, xx22≥0” VERO.≥0” VERO.Esempio:Esempio: x (x x (x22>1) x>1) xQ FALSO perché Q FALSO perché afferma che qualsiasi numero razionale al afferma che qualsiasi numero razionale al quadrato è maggiore di uno.quadrato è maggiore di uno.

CONDIZIONI NECESSARIA E CONDIZIONI NECESSARIA E SUFFICIENTESUFFICIENTE

Condizione sufficiente:Condizione sufficiente:Consideriamo due predicati: Consideriamo due predicati: s(x): x è un multiplo di 6 s(x): x è un multiplo di 6

p(x): x è parip(x): x è pari xxNN

Tutti i valori di xTutti i valori di xN che rendono vero s(x) N che rendono vero s(x) rendono vero anche p(x). Dunque rendono vero anche p(x). Dunque sese è è vero s(x)vero s(x) allora allora è vero anche p(x). è vero anche p(x).

x(s(x)x(s(x)→p(x))→p(x))

CONDIZIONI NECESSARIA E CONDIZIONI NECESSARIA E SUFFICIENTESUFFICIENTE

Condizione necessaria:Condizione necessaria:Consideriamo due predicati:Consideriamo due predicati:s(x): x è un multiplo di 6 s(x): x è un multiplo di 6

p(x): x è parip(x): x è pari xxNN

Essere pari, per un numero naturale, non è Essere pari, per un numero naturale, non è sufficiente per essere divisibile per 6. possiamo sufficiente per essere divisibile per 6. possiamo affermare che essere pari è affermare che essere pari è necessarionecessario per per essere multiplo di 6.essere multiplo di 6.

p(x)p(x)s(x)s(x)

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Menini SamueleMenini Samuele

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Soliani MircoSoliani Mirco